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专题04 裂项相消法求数列前n 项和
1．设数列{an}的前n 项和Sn= 3
n+1
2 −3
2
，数列{bn}满足bn=
1
(n+1)log3an
．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列{bn}的前n 项和T n
，cn=
an
1−T n
，求数列{cn}的前n 项和Rn
．
2．在公差不为零的等差数列{an}中，a1=2且a1
，a3
，a11
成等比数列．
(1)求通项公式an；
(2)令bn=
1
an
2+an−2
，求数列{bn}的前n项和Sn
；
3．已知等差数列{an}前n项和为Sn,a3=5,S6−S3=27，数列{bn}前n项积为T n=3
n(n+1)
2
.
(1)求{an},{bn}的通项公式；
(2)设cn= anbn
n
2+n
，求数列{cn}的前n项和Qn
.
4．已知数列{an}的前n 项和为Sn
，且Sn=n
2+2n.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
1
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(2)设bn=
1
anan+1
， 求数列{bn}的前n 项和.
5．设{an}是等差数列，其前n项和为Sn
（n∈N
*），{bn}为等比数列，公比大于1．已知a1=1，b1= 4，
b2+ S2=11，b3+ S3=22．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn=(−1)
n (3an+1−1)
an(an+1)bn
，求{cn}的前2n项和；
(3)设dn=anbn，求证：
1
d2−d1
+
1
d3−d2
+
1
d4−d3
+⋯+
1
dn+1−dn
< 1
4 ．
6．已知数列{an}的前n 项和为Sn，且满足a1= 1
2
，an+ Sn−1Sn=0(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{(2n+1)an
2}的前n 项和.
7．已知在等差数列{an}中，a1+a5=18,a6=15.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{
1
an−1an}
的前n项和Sn
.
2
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8．记Sn
为数列{an}的前n 项和，已知a1=1，{2Sn
nan
}是公差为2 的等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：∑
i=1
n
[(i+1)aiai+1]<1．
9．记Sn
为数列{an}的前n 项和，已知2Sn=nan
，且a2=1．
(1)求证：数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)从下列三个条件中选一个填在横线上，并完成下列问题．
若_________，求数列{bn}的前n 项和T n
．
①bn=an⋅2
n；②bn=(−1)
nan+2
n；③bn=
2
(n+2)an+1
．
10．设Sn
为数列{an}的前n项和，an>0，an
2+2an+1= 4 Sn
.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{(−1)
n(
4 n
anan+1)}
的前n项和T n.
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11．已知数列{an}中，a1=1，an+1= (n+1)an
n+2an
，数列{bn}的前n项和为Bn
，2Bn+3=bn+1
，b1=3．
(1)求证：数列{
n
an}
为等差数列，并求{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn= 4 anan+1
nbn
，且数列{cn}的前n项和为T n
，求T n
．
12．从①(an+1)
2=an−1
2
+ 4 an+2an−1+1(n≥2),an>0，②nan+1=(n+1)an+1，③前n项和Sn
满足
n Sn+1
Sn+n =n+1中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.
已知数列{an}的首项a1=1，且__________.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=
2
anan+1
，求数列{bn}的前n项和T n.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
13．已知在等差数列{an}中，a1+a5=7,a6= 13
2
.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{
1
anan+1}
的前n项和Sn
.
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14．记Sn
为数列{an}的前n 项和．
(1)从下面三个条件中选一个，证明：数列{an}是等差数列；
①Sn= n(an+1)
2
(n∈N
∗)；②数列{
Sn
n }
是等差数列；③数列{2
an}是等比数列．
(2)若数列{an}为等差数列，且a1=1，a3=5，求数列{
n
(n+2)Sn}
的前n 项和T n
．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
15．设数列{an}前n 项和Sn满足Sn+an= n−1
n
2+n
，n∈N
∗．
(1)证明：数列{Sn−
1
n+1}为等比数列；
(2)记1
bn
=
1
n+1 −Sn，求数列{
bn
(bn−1)(bn+1−1)}
的前n 项和T n．
16．设正项数列{an}的前n 项和为Sn
，已知a3=5，且an+1
2
= 4 Sn+ 4 n+1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn= (−1)
n⋅2n
anan+1
，求数列{bn}的前n 项和T n
.
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17．已知Sn
为数列{an}的前n 项和，a1=1，且nan−Sn=n
2−n,n∈N
*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=
2
an
(2
an−1)(2
an+1−1)
，求数列{bn}的前n 项和T n
．
18．记Sn为等差数列{an}的前n 项和，已知a3=5,S9=81，数列{bn}满足
a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn=(n−1)⋅3
n+1+3.
(1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式；
(2)数列{cn}满足cn=¿，n 为偶数，求{cn}前2n 项和T 2n.
19．已知数列{an},{bn}满足bn=an+n
2,a1+b1=3,a2+b2=8，且数列{an}是等差数列.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)记数列{
1
bn}
的前n项和为Sn
，求证：1
2 ≤Sn<1.
20．已知数列{an}是公差为d (d ≠0)的等差数列，且满足a1=1,an+1= x an+2.
(1)求{an}的通项公式；
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(2)设bn=(−1)
n⋅
4 n
anan+1
，求数列{bn}的前10 项和S10.
21．已知数列{an}、{bn}，满足a1=100，an+1=an
2，bn=lgan
.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)若cn=log2bn+log2bn+1+⋯+log2b2n
，求数列{
1
cn}
的前n项和Sn
.
22．已知数列{an}满足a1=3，2an+1−anan+1=1．
(1)记bn=
1
an−1求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{
1
bnbn+1}
的前n项和．
23．已知正数数列{an}，a1=1，且满足an
2−(n−1)anan−1−nan−1
2
=0(n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn= n−1
an
，求数列{bn}的前n项和Sn．
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24．在①cn= an+1−an
2
n
，②cn= 1
an+1
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知数列{an}为递增数列且满足an+1
2
−2an+1an+an
2= 4 n
2，a1=0且________，求数列{cn}的前n项和
Sn．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
25．进行独立重复试验，设每次成功的概率为p(0< p<1)，则失败的概率为1−p，将试验进行到恰好出现
r次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称X服从以r，p为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为
X ∼NB (r , p)．
(1)若X ∼NB(3, 1
3)，求P(X =5)；
(2)若X ∼NB(2, 1
2)，n∈N
*，n≥2．
①求∑
i=2
n
❑P(X =i)；
②要使得在n次内结束试验的概率不小于3
4
，求n的最小值．
26．已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn
，S6
S3
=9，bn=
an
(an−1)(an+1−1)
，且b1= 2
3
．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和T n
．
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27．已知数列{an}满足：a1= 1
2
，3an+1
an
= 1+an+1
1+an
.
(1)求证：{
1
an
+1}
是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)设bn=3
n⋅anan+1
，求数列{bn}的前n项和Sn
.
28．已知数列{an}，a1=2，且满足an+1+2an=2
n+2，n∈N
∗．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=∑
k =1
n
(ak
2−ak)，求数列{
an
bn}
前n 项的和Sn．
29．①数列{an}中，已知a1= 1
2，对任意的p，q∈N ∗都有ap+q=ap+aq，令bn=
1
anan+1
. ②函数f (x)对任
意x∈R有f (x)+ f (1−x)=1，数列{an}满足an= f (0)+ f(
1
n)+ f(
2
n)+⋯+ f(
n−1
n )+ f (1)，令
bn=
1
(an−1
2)(an+1−1
2)
.
在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)数列{an}是等差数列吗？请给予证明.
(2)求数列{bn}的前n项和T n
.
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30．已知数列{an}为等差数列，a5=6，a11=12；{bn}为等比数列，其前n 项和Sn=2
n+1−2.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)cn=
1
an⋅log2bn
，求{cn}的前n 项和T n.
31．已知数列{an}中，a1=1，an= an+1
2
n
，n∈N
*．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn= log2an
2+3n，数列{
1
bn}
的前n 项和Sn
，求证：Sn< 3
4
．
32．设数列{an}的前n 项和为Sn，已知a1=1，且数列{3−2Sn
an }
是公比为1
3
的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=
3
n
(an+1−1)(an+2−1)
，数列{bn}的前n 项和为T n
，证明：T n< 1
4
．
33．已知等差数列{an}的前n项和为Sn
，且1，a2
，a5
成等比数列，S5=a13
.
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(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=
1
anan+1
，求数列{bn}的前n项和T n.
34．已知数列{an}中，a1= 1
3
，an+1=
an
2−an
．
(1)记bn= 1
an
−1，证明：数列{bn}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)记cn=2
nanan+1
，求数列{cn}的前n项和Sn
．
35．已知正项数列{an}满足:anan+1−an+1−3an+ 4 =0,且2a2
2−3a2−5=0.
(1)证明数列{
1
an−2}
是等差数列;
(2)若bn=
an
2n
2+3n+1
,求数列{bn}的前n项和.
36．设正项数列{an}的前n项和为Sn
，已知an
2+an=2Sn(n∈N
∗)．
(1)求{an}的通项公式；
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(2)设bn= an+1
an
+ an
an+1
，求数列{bn}的前n项和．
37．公比为q 的等比数列{an}满足a1+a5=17,a4+a8=136.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn= log2an，记{bn}的前n 项和为T n，求1
T 2
+ 1
T 3
+⋯+
1
T n+1
.
38．已知数列{an}是公差为2 的等差数列，其前3 项的和为12，{bn}是公比大于0 的等比数列，b1=3，
b3−b2=18.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足cn=
4
anan+1
+bn，求{cn}的前n项和T n.
39．已知数列{an}的前n项和为Sn
，且满足a1=2，Sn+1=2Sn+2．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)记bn=
nan
(n+1)(n+2)，求数列{bn}的前n项和T n．
40．将正奇数数列1，3，5，7，9…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表．
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(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列{an}，求数列{an}的通项公式；
(2)设bn= 2
n(1−n)
an+1
，求数列{bn}的前n 项和T n
．
13
