大题02数列（6大题型）（原卷版）_数学_二轮复习_2024年_2024年高考数学第三次模拟资源精选_资料_模块六大题精做

大题 02 数列
数列是高考数学的热门考点之一，其中等差(比)数列的通项公式，前n项和公式，以递堆数列为命题背景
考查等差(比)数列的证明方法，以及等差（比）数列有关的错位相减法和裂项相消法求和是考查的重点内
容。有时也会结合不等式进行综合考查，此时难度较大。
题型一：等差数列与等比数列证明
（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知数列 满足 ， .
（1）求 ， ；
（2）求 ，并判断 是否为等比数列.
判断数列是否为等差货等比数列的策略
1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断；
2、若要判断一个不是等差（等比）数列，则只需说明某连续三项（如前三项）不是等差（等比）数列即
可。1．（2022·全国·高三专题练习）记数列 的前 项积为 ，且 ，其中 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）求证：数列 是等比数列．
2．（2022·河南·高三校联考专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）求数列 的通项公式．
题型二：分组转化法求数列的前n项和
（2024·贵州贵阳·贵阳一中校考一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在数列 中， ，求数列 的前 项和 ．
1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，
注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
2、常见类型：（1）分组转化法：若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列：
n n n n n
（2）奇偶并项求和：通项公式为a＝的数列，其中数列{b}，{c}是等比数列或等差数列。
n n n
1．（2024·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，
．
（1）若数列 满足 ，求 的通项公式；
（2）求数列 的通项公式，并求 ．
2．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .等比数列
是正项递增数列，且 .
（1）求数列 的通项 和数列 的通项 ；
（2）若 ，求数列 的前 项和.
题型三：裂项相消法求数列的前n项和
（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相
消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
1 1 1 1 1 1 1 1
 (  )  (  )
（1） n(nk) k n nk （2）4n2 1 2 2n1 2n1
1 1 1 1  2n1 1 1
     
（3）
n(n1)(n2) 2n(n1) (n1)(n2)
（4）
n2(n1)2 n2 (n1)2
n1 1 1 1  1 1
     ( nk  n)
（5） n2(n2)2 4n2 (n2)2  （6） nk  n k
2n (2n11)(2n 1) 1 1
  
(2n11)(2n 1) (2n11)(2n 1) 2n 1 2n11
（7）
1．（2024·四川·高三校联考期末）在等差数列 中， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
2．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知正项数列 的前n项和为 ．
（1）求数列 的前n项和 ;
（2）令 ，求 的前9项之和．题型四：错位相减法求数列的前n项和
（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
1、解题步骤
2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S －qS”的表达
n n n n
式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
c =(An+B)⋅qn
3、等差乘等比数列求和，令 n ，可以用错位相减法．
T =(A+B)q+(2A+B)q2 +(3A+B)q3 +...+(An+B)qn
n ①
qT =(A+B)q2 +(2A+B)q3 +(3A+B)q4 +...+(An+B)qn+1
n ②
得： ．
An B A B A
T =( + − )qn+1 −( − )q
整理得：
n q−1 q−1 (q−1) 2 q−1 (q−1) 2
.1．（2024·浙江金华·高三统考期末）已知数列 是等差数列， ， ，且 ， ， 构成等比
数列，
（1）求 ；
（2）设 ，若存在数列 满足 ， ， ，且数列 为等比数列，求 的
前 项和 ．
2．（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且满足
．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求数列 的前 项和 ．
题型五：数列与不等式综合问题
（2024·广东广州·统考二模）已知数列 中， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，记 为 的前 项和，证明： 时， .
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题
来求解；
二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
1．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递增的等比数列 满足 ，且 是 和 的
等差中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ,设数列 的前n项和为 ，且对任意 ，都有 恒成立，
求实数m的取值范围．
2．（2024·云南保山·高三统考期末）已知 为等比数列，且 为数列 的前 项和， ，
.
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，求证： .
题型六：数列中的探究问题
（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）已知等比数列 的前 项和为 ，且
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在3
项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方
法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来
进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不
定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：
①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②
归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而
得出原命题结论成立．
1．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知数列 与数列 满足下列条件：①
， ；② ， ；③ ， ，记数列 的前 项积为
.
（1）若 ， ， ， ，求 ；
（2）是否存在 ， ， ， ，使得 ， ， ， 成等比数列？若存在，请写出一组 ， ， ， ；
若不存在，请说明理由；
（3）若 ，求 的最大值.
2．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知正项数列 满足：
.
（1）设 ，试证明 为等比数列；
（2）设 ，试证明 ；（3）设 ，是否存在 使得 为整数？如果存在，则
求出 应满足的条件；若不存在，请给出理由.
1．（2024·安徽六安·高三统考期末）已知数列 的前 项和为 ， .
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）当 时，设 ，求数列 的前 项和 .
2．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知数列 中， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．
3．（2024·山西临汾·统考一模）已知数列 的首项 ，且满足 ，等比数列 的首
项 ，且满足 .
（1）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和4．（2024·河北·高三高碑店一中校联考期末）在数列 中， ，且
.
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，数列的前 项和为 ，求
5．（2024·浙江·校联考一模）已知数列 满足 ，记数列 的前
项和为 ．
（1）求 ；
（2）已知 且 ，若数列 是等比数列，记 的前 项和为 ，求使得 成立的
的取值范围．
6．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ．问：是否存在 ，使得 ， 成等比数列，若
存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
1．（2023·全国·统考高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
（1）求 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 ．
2．（2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ．
3．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
（1）证明： 是等差数列；
（2）若 成等比数列，求 的最小值．
4．（2023·天津·统考高考真题）已知 是等差数列， ．
（1）求 的通项公式和 ．
（2）设 是等比数列，且对任意的 ，当 时，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及前 项和．
5．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分别为数
列 的前 项和．（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
6．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
（1）证明： ；
（2）求集合 中元素个数．
8．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为
．
（1）若 ，求 ；
（2）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．9．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
10．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
（1）求 与 的通项公式；
（2）设 的前n项和为 ，求证： ；