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专题22.4 二次函数与一元二次方程【六大题型】
【人教版】
【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】......................................................................................................................1
【题型2 抛物线与x 轴交点上的四点问题】..........................................................................................................2
【题型3 由二次函数解一元二次方程】..................................................................................................................3
【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】.....................................................................................3
【题型5 由二次函数的图象解不等式】..................................................................................................................4
【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】.............................................................................................5
【知识点1 二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况】
根的判别式
二次函数的图象
二次函数与x 轴的交点坐标
一元二次方程根的情况
△＞0
抛物线
与x
轴交于
，
两
点，且
，
此时称抛物线与x 轴相交
一元二次方程
有两个不相等的实数根
△＝0
抛物线
与x
轴交切于
这一点，此时称
抛物线与x 轴相切
一元二次方程
有两个相等的实数根
△＜0
抛物线
与x
轴无交点，此时称抛物线与x 轴相
离
一元二次方程
在实数范围内无解（或
称无实数根）
【题型1 抛物线与x 轴的交点情况】
【例1】（2022 春•西湖区校级期末）抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+mx+n 与x 轴只有一个交点（x1，
0）．下列式子中正确的是（ ）
A．x1﹣x2＝m
B．x2﹣x1＝m
C．m（x1﹣x2）＝n
D．m（x1+x2）＝n
【变式1-1】（2022 春•澧县校级月考）抛物线y＝x2+2x﹣3 与坐标轴的交点个数有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【变式1-2】（2022•广阳区一模）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c 与x 轴只有一个交点，且过点A（m﹣2，
n），B（m+4，n），则n 的值为（ ）
A．﹣9
B．﹣16
C．﹣18
D．﹣27
【变式1-3】（2022 春•汉滨区期中）已知抛物线y＝x2+bx+c 与x 轴的两个交点之间的距离为6，对称轴为
x＝3，则抛物线的顶点P 关于x 轴对称的点P'的坐标是（ ）
A．（3，9）
B．（3，﹣9）
C．（﹣3，9）
D．（﹣3，﹣9）
【题型2 抛物线与x 轴交点上的四点问题】
【例2】（2022•武汉模拟）二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为
二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x 的方程1+（x
﹣m）（x﹣n）＝0 的两根，且m＜n，则m，n，s，t 的大小关系是（ ）
A．s＜m＜n＜t
B．m＜s＜n＜t
C．m＜s＜t＜n
D．s＜m＜t＜n
【变式2-1】（2022•定远县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，
0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3 的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的
是（ ）
A．x1＜﹣1＜5＜x2
B．x1＜﹣1＜x2＜5
C．﹣1＜x1＜5＜x2
D．﹣1＜x1＜x2＜5
【变式2-2】（2022•张店区期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t 是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣
t2﹣1＝0 的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0 的两根分别为p，q（p＜q），判断
m，n，p，q 的大小关系是（ ）
A．p＜q＜m＜n
B．p＜m＜n＜q
C．m＜p＜q＜n
D．m＜n＜p＜q
【变式2-3】（2022•河东区期末）已知抛物线y＝x2+bx+c 的图象与x 轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜
β），而x2+bx+c﹣2＝0 的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N 的大小顺序为（ ）
A．α＜β＜M＜N
B．M＜α＜β＜N
C．α＜M＜β＜N
D．M＜α＜N＜β
【题型3 由二次函数解一元二次方程】
【例3】（2022•娄底一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）与（3，0）两点，关于x 的
方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是5．则关于x 的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）
有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．﹣2 或4
B．﹣2 或0
C．0 或4
D．﹣2 或5
【变式3-1】（2022•潮南区模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x 轴的一个交点为（﹣
1，0），则关于x 的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0 的根是 ．
【变式3-2】（2022•咸宁一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c 为常数，且a≠0）的y 与x 的部分对
应值如下表：
x
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
y
6
0
﹣6
﹣4
6
则关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0 的根是 ．
【变式3-3】（2022•永嘉县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
且关于x 的方程﹣x2+bx+c+d＝0 有两个根，其中一个根是6，则d 的值为（ ）
A．5
B．7
C．12
D．﹣7
【知识点2 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）】
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h 的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型4 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】
【例4】（2022•平度市期末）如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10 中x，y 的一些对应值，则可以估计一元
二次方程x2+2x﹣10＝0 的一个近似解为（ ）
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
1.25
…
A．2.2
B．2.3
C．2.4
D．2.5
【变式4-1】（2022•灌云县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表，则
方程ax2+bx+c＝0 的一个解的范围是 ．
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
【变式4-2】（2022•渠县一模）如图，是二次函数y＝ax2+bx﹣c 的部分图象，由图象可知关于x 的一元二
次方程ax2+bx＝c 的两个根可能是 ．（精确到0.1）
【变式4-3】（2022 秋•萍乡期末）代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c 是常数）中，x 与ax2+bx+c 的对应值
如下表：
x
﹣1 −1
2
0
1
2
1
3
2
2
5
2
3
ax2+bx
+c
﹣2 −1
4
1
7
4
2
7
4
1 −1
4
﹣2
请判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c 是常数）的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的
（ ）
A．−1
2 ＜x1＜0，3
2 ＜x2＜2
B．﹣1＜x1＜−1
2
，2＜x2＜5
2
C．−1
2 ＜x1＜0，2＜x2＜5
2
D．﹣1＜x1＜−1
2
，3
2 ＜x2＜2
【题型5 由二次函数的图象解不等式】
【例5】（2022 秋•垦利区期末）如图，抛物线y＝ax2+c 与直线y＝mx+n 交于A（﹣1，p），B（3，q）两
点，则不等式ax2﹣mx+c＜n 的解集为（ ）
A．x＞﹣1
B．x＜3
C．﹣1＜x＜3
D．x＜﹣3 或x＞1
【变式5-1】（2022•定远县二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如
下表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
请求出当y＜0 时x 的取值范围 ．
【变式5-2】（2022•工业园区校级模拟）若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c 为常数）的图象如图所示，则
关于x 的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0 的解集为 ．
【变式5-3】（2022•驿城区校级期末）如图，二次函数y＝x2﹣4x+m 的图象与y 轴交于点C，点B 是点C
关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A（1，
0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m 的x 的取值范围是（ ）
A．x≤1 或x≥4
B．1≤x≤4
C．x≤1 或x≥5
D．1≤x≤5
【题型6 由二次函数与一次函数交点个数求范围】
【例6】（2022•虞城县三模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c（a＞0）．
（1）若抛物线与直线y＝mx+n 交于（1，0），（5，8）两点．
①求抛物线和直线的函数解析式；
②直接写出当a（x﹣2）2+c＞mx+n 时自变量x 的取值范围．
（2）若a＝c，线段AB 的两个端点坐标分别为A（0，3），B（3，3），当抛物线与线段AB 有唯一公
共点时，直接写出a 的取值范围．
【变式6-1】（2022•余姚市一模）已知：一次函数y1＝2x﹣2，二次函数y2＝﹣x2+bx+c（b，c 为常数），
（1）如图，两函数图象交于点（3，m），（n，﹣6）．求二次函数的表达式，并写出当y1＜y2时x 的
取值范围．
（2）请写出一组b，c 的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由．
【变式6-2】（2022•河南模拟）小新对函数y＝a|x2+bx|+c（a≠0）的图象和性质进行了探究．已知当自变
量x 的值为0 或4 时，函数值都为﹣3；当自变量x 的值为1 或3 时，函数值都为0．探究过程如下，请
补充完整．
（1）这个函数的表达式为 ；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质： ；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线y＝k 与函数y＝a|x2+bx|+c 有三个交点，则k＝ ；
②已知函数y＝x﹣3 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式a|x2+bx|+c≤x﹣3 的解集：
．
【变式6-3】（2022•海珠区一模）令a、b、c 三个数中最大数记作max{a，b，c}，直线y= 1
2
x+t 与函数y＝
max{﹣x2+4，x﹣2，﹣x﹣2}的图象有且只有3 个公共点，则t 的值为 ．
