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专题22.2 二次函数的图象【六大题型】
【人教版】
【题型1 二次函数的配方法】...............................................................................................................................1
【题型2 二次函数的五点绘图法】.......................................................................................................................3
【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】................................................................................................6
【题型4 二次函数图象的平移变换】.....................................................................................................................7
【题型5 二次函数图象的对称变换】................................................................................................................. 8
【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】.......................................................................................................9
【知识点1 二次函数的配方法】
y =ax
2+bx +c (a≠0)
=a(x
2+ b
a x + c
a) ①提取二次项系数；
=a[x
2+ b
a x +(
b
2a)
2
−(
b
2a)
2
+ c
a]
②配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方；
=a[(x + b
2a)
2
+ 4 ac−b
2
4 a
2 ]
③整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项;
=a(x + b
2a)
2
+ 4 ac−b
2
4 a
2
④化简：去掉中括号.
二次函数的一般形式y =ax
2+bx +c (a≠0)配方成顶点式y =a(x + b
2a)
2
+ 4 ac−b
2
4 a
2
，由此得到二次函数对
称轴为
，顶点坐标为
．
【题型1 二次函数的配方法】
【例1】（2022 秋•饶平县校级期末）用配方法将下列函数化成y＝a（x+h）2+k 的形式，并指出抛物线的
开口方向，对称轴和顶点坐标．
（1）y= 1
2
x2﹣2x+3；
（2）y＝（1﹣x）（1+2x）．
【变式1-1】（2022•西华县校级月考）用配方法确定下列二次函数图象的对称轴与顶点坐标．
（1）y＝2x2﹣8x+7；
（2）y＝﹣3x2﹣6x+7；
（3）y＝2x2﹣12x+8；
（4）y＝﹣3（x+3）（x﹣5）．
【变式1-2】（2021•邵阳县月考）把下列二次函数化成顶点式，即y＝a（x+m）2+k 的形式，并写出他们顶
点坐标及最大值或最小值．
（1）y＝﹣2x﹣3+ 1
2
x2
（2）y＝﹣2x2﹣5x+7
（3）y＝ax2+bx+c（a≠0）
【变式1-3】（2022•监利市期末）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题
例如：因为5a2≥0，所以5a2+1≥1，即：当a＝0 时，5a2+1 有最小值1．同样，因为﹣5（a2+1）≤0，
所以﹣5（a2+1）+6≤6 有最大值1，即当a＝1 时，﹣5（a2+1）+6 有最大值6．
（1）当x＝ 时，代数式﹣3（x﹣2）2+4 有最 （填写大或小）值为 ．
（2）当x＝ 时，代数式﹣x2+4x+4 有最 （填写大或小）值为 ．
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是14m，当花园与墙相邻的边长为多少时，
花园的面积最大？最大面积是多少？
【知识点2 二次函数的五点绘图法】
利用配方法将二次函数
化为顶点式
，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，
然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与
轴的交点
、以及
关于对称轴对称的点
、与
轴的交点
，
（若与
轴没有交点，则取两组关于
对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与
轴的交点，与
轴的交点.
【题型2 二次函数的五点绘图法】
【例2】（2022•东莞市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
5
2
1
2
5
…
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当x＝6 时，求y 的值；
（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象．
【变式2-1】（2022•竞秀区一模）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3
（1）求出该抛物线顶点坐标．
（2）选取适当的数据填入表格，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象．
x
…
…
y
…
…
【变式2-2】已知二次函数y＝ax2﹣2 的图象经过（﹣1，1）．
（1）求出这个函数的表达式；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出此函数的开口方向、顶点坐标、对称轴．
【变式2-3】（2022•越秀区模拟）如图，已知二次函数y =−1
2 x
2+bx +c的图象经过A（2，0）、B（0，
﹣6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x 轴的另一个交点；
（3）在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴．
【知识点3 二次函数的图象与各系数之间的关系】
① 二次项系数
：总结起来，
决定了抛物线开口的大小和方向，
的正负决定开口方向，
的大小决定
开口的大小．
②一次项系数
：在
确定的前提下，
决定了抛物线对称轴的位置，对称轴
在
轴左边则
，在
轴的右侧则
，概括的说就是“左同右异”
③常数项
：总结起来，
决定了抛物线与
轴交点的位置．
【题型3 二次函数的图象与各系数之间的关系】
【例3】（2022 春•玉山县月考）函数y＝ax2﹣a 与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】（2022•邵阳县模拟）二次函数y＝ax2+b 的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b 的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（2022•凤翔县一模）一次函数y＝kx+k 与二次函数y＝ax2的图象如图所示，那么二次函数y
＝ax2﹣kx﹣k 的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（2022•澄城县三模）已知m，n 是常数，且n＜0，二次函数y＝mx2+nx+m2﹣4 的图象是如图
中三个图象之一，则m 的值为（ ）
A．2
B．±2
C．﹣3
D．﹣2
【知识点4 二次函数图象的平移变换】
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式
，确定其顶点坐标
；
②保持抛物线
的形状不变，将其顶点平移到
处，具体平移方法如下：
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移 |k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2
y=ax 2+k
y=ax2
（2）平移规律：在原有函数的基础上“
值正右移，负左移；
值正上移，负下移”．概括成八个字“左
加右减，上加下减”．
【题型4 二次函数图象的平移变换】
【例4】（2022•绍兴县模拟）把抛物线y＝ax2+bx+c 的图象先向右平移2 个单位，再向上平移2 个单位，
所得的图象的解析式是y＝（x﹣3）2+5，则a+b+c＝ ．
【变式4-1】（2022•澄城县二模）要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3 的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图
象（ ）
A．向右平移1 个单位，再向上平移3 个单位
B．向右平移1 个单位，再向下平移3 个单位
C．向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位
D．向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位
【变式4-2】（2022 秋•滨江区期末）将抛物线y＝ax2+bx﹣1 向上平移3 个单位长度后，经过点（﹣2，
5），则4a﹣2b﹣1 的值是 ．
【变式4-3】（2022•澄城县二模）二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a 为常数）图象的对称轴为直线x＝2，
将该二次函数的图象沿y 轴向下平移k 个单位，使其经过点（0，﹣1），则k 的值为（ ）
A．3
B．4
C．2
D．6
【知识点5 二次函数图象的对称变换】
（1）关于
轴对称
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
（2）关于
轴对称
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
关于
轴对称后，得到的解析式是
；
（3）关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是
；
关于原点对称后，得到的解析式是
；
（4）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是
；
关于顶点对称后，得到的解析式是
．
【题型5 二次函数图象的对称变换】
【例5】（2022•绍兴县模拟）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2a﹣b）x+b+1 与y＝﹣x2+
（a+b）x+a﹣4 关于x 轴对称，则a+b 的值为（ ）
A．﹣5
B．3
C．5
D．15
【变式5-1】（2022•苍溪县模拟）抛物线y＝﹣（x+2）2关于y 轴对称的抛物线的表达式为 ．
【变式5-2】（2022•蜀山区校级二模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3 绕着原点旋转180°，所
得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
B．y＝﹣（x+1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2
D．y＝﹣（x+1）2+2
【变式5-3】（2022 春•仓山区校级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝kx2+4kx+8（k≠0）与
抛物线L2关于x 轴对称，且它们的顶点相距8 个单位长度，则k 的值是（ ）
A．﹣1 或3
B．1 或﹣2
C．1 或3
D．1 或2
【题型6 利用对称轴、顶点坐标公式求值】
【例6】（2022•苍溪县模拟）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1 图象经过原点，则a 的取值为
（ ）
A．a＝±1
B．a＝1
C．a＝﹣1
D．a＝0
【变式6-1】（2022•合肥模拟）如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2 的顶点到x 轴的距离是4，则c 的值等于 ．
【变式6-2】（2022•襄城区模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c 的顶点在x 轴上，点A（m﹣1，n）和点B
（m+3，n）均在二次函数图象上，求n 的值为 ．
【变式6-3】（2022•公安县期中）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣1，根据下列条件求m 的值．
（1）图象的顶点在y 轴上．
（2）图象的顶点在x 轴上．
（3）二次函数的最小值是﹣1．
