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第 04 讲 数列求和 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：裂项相消求和法
题型二：错位相减求和法
题型三：分组求和法
题型四：倒序相加求和法
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1.公式法
(1)等差数列前 项和公式 ;
(2)等比数列前 项和公式
2.裂项相消求和法:
裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前 项和变成首尾
若干少数项之和,从而求出数列的前 项和.
①
②
③
④
⑤
3.错位相减求和法:
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求.q倍错位相减法：若数列{c
n
}的通项公式 ，其中{a
n
}、{b
n
}
中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列
的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q倍错位相减
法．
4.分组求和法:
如果一个数列可写成 的形式，而数列 ， 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和
的数列，那么可用分组求和法.
5.倒序相加求和法:
即如果一个数列的前 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前
项和.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：裂项相消求和法
典型例题
例题1．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知数列 是递增的等差数列， 是
与 的等比中项，且 .若 ，则数列 的前 项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为数列 是递增的等差数列，所以数列 的公差 .
由题意得 ，
解得 或 （舍去）.
所以 .
所以 .
所以 .
故选：A
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式 为数列 的前 项
和，则 ___________．【答案】
【详解】由题知： ，所以
，
故答案为：
例题3．（2022·全国·高二课时练习）数列 的通项公式 ，若 ，则
_______．
【答案】99
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：
例题4．（2022·广东·罗定邦中学高二期中）已知 是公差为 的等差数列，其前 项和是 ，且
.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ；
【答案】（1） ；（2） .
【详解】（1）由题意， ，解得 ，
∴ .
（2）由 ，
∴ .
例题5．（2022·全国·高二课时练习）设 是等比数列 的前 项和，已知 ，
(1)求 和 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．【答案】(1) ， ；
(2)
（1）设 的公比为q，由题可得 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ， ；
（2）由（1）得 ，
所以
题型归类练
1．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知数列 是公差为2的等差数列，它的前n项和为
Sn，且 成等比数列.
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
【答案】（1） ，（2）
【详解】（1）因为数列 是公差为2的等差数列，且 成等比数列，
所以 即 ，解得 ，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
所以 .
2．（2022·四川·射洪中学高三阶段练习（文））已知等差数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 ．【答案】(1)
(2)
（1）由题意得： ，所以 是公差为2的等差数列，则 ；
（2）由题知
则
3．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知等差数列 的前 项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
（1）设数列 的公差为 ，∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
（2） ，
∴ ．
4．（2022·福建省建瓯市芝华中学高三阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，若
， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 （ ），求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
（1）因为等差数列{an}中， ， ，所以 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）因为
= ，
则
= .
5．（2022·安徽·高三开学考试）已知数列 满足 且 ，且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）解：因为 ，所以 ，
两式相减得 ，
当 时， ， 又 ，所以 ，
所以 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ；
（2）证明： ，
所以 ， 由 ，得 ，
所以 ，
综上， .
题型二：错位相减求和法典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 中， ，则数列 的前9项和为
_____________．
【答案】
【详解】解：数列 的前9项和
，
，
两式相减得 ，
.
故答案为： .
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列 满足 ，前7项和为
（Ⅰ）求 的通项公式
（Ⅱ）设数列 满足 ，求 的前 项和 .
【答案】(1)
(2) .
解析：
（Ⅰ）由 ，得
因为 所以
（Ⅱ）
例题3．（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））已知等差数列 的前 项和为 ，且
， ．(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
（1）解：设 公差为 ，由已知有
解得
∴数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知，
∴ ①
①×2，得
②
① ②得
∴数列 的前 项和 .
例题4．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））记各项均为正数的等比数列 的前
项和是 ，已 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；
(2) .
（1）设等比数列 的公比为 .因为 ，
所以当 时， ，解得 ；
当 时， ，则 .
因为 是等比数列，所以 ，即 ，
整理得 ，解得 （舍去）或 .
所以 ，
所以 .
（2）
由（1）得 ，
所以 ①
则 ②
①-②得
所以 .
例题5．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知等比数列 的公比 ，且.
是 的等差中项.数列 满足 ，数列 的前 项和为 .
(1)求 的值；
(2)求数列 的通项公式.
【答案】(1)(2)
(1)由题意可得 ，可得 ，即
解得 ，即
(2)由（1）可得：
设数列 的前 项和为 ，即
当 时，
当 时，
∴ ，即
当 时，则
令 ，则
两式相减得：
∴ ，则
∴
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和 ，记 ，则数列 的前n项
和 _______.
【答案】
【详解】当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，综上： ， ，
所以 ，
所以 ①，①× 得：
②，
两式相减得： ，
所以
故答案为：
2．（2022·吉林·长春十一高高二期末）已知等差数列 的前n项和为 ，数列 为等比数列，且
， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，由题意得： ，解得： ，所
以 ，由 得： ，所以 ，所以
（2） ，则 ①，
②，两式相减得：
，所
以
3．（2022·河北邯郸·二模）已知等比数列{ }的公比 ，且 ， ．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设数列{ }的前n项和为 ，求数列{ }的前n项和．
【答案】(1) ；(2) .
(1)由 ，或 （舍去），
所以 ；
(2)由（1）可知 ，所以 ，
所以 ，设数列{ }的前n项和为 ，
，
，
，得 ，
即 .
4．（2022·广东·大埔县田家炳实验中学高二阶段练习）已知等差数列 的前n项和为
，数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
（1）设等差数列 的公差为 ， ，解得 ，所以
；又 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，即 ．
（2）因为 ，
所以， ①
②.
①－②得，， .
题型三：分组求和法
典型例题
例题1．（2022·吉林·长春十一高高二期末）已知数列 满足 ， ，则数列 前
项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，当 为偶数时， ，
因此，数列 前 项和为 .
故选：D.
例题2．（2022·江苏·高二）数列 满足 ， ， 则数列 的前
项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为 且 为奇数时 ，
所以所有奇数项构成 为首项， 为公差的等差数列，
又因为 且 为偶数时， ，
即所有偶数项构成 为首项， 为公比的等比数列，
所以
.
故选：D.
例题3．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））若数列 满足 ，
，则其前 项和为___________.
【答案】
【详解】 ，
故答案为：
例题4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）在数列 中， ， （ ）．(1)证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(1)明：因为 ＝ ，
数列 {an+n} 是首项为 a+1＝2，公比为2的等比数列，
1
那么 ，即 ．
(2)由（1）知 ，
＝ ＝
例题5．（2022·广东佛山·高二期中）已知等差数列 的前 项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；
(2) .
(1)设 公差为 ，由 得， ，解得 ，
∴ ；
(2)由 得 ，
∴ .
题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）记 为数列 的前 项和，若 ， ，且 ，
则 的值为（ ）
A．5050 B．2600 C．2550 D．2450
【答案】B
【详解】当 为奇数时， ，数列 是首项为1，公差为2的等差数列；当 为偶数时， ，数列 是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列.
则 .
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习（文））已知在前n项和为 的数列 中， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，有 ，
则 ．
故选：C
3．（2022·山西·太原师范学院附属中学高二开学考试）已知数列 的通项公式是 ，则
________.
【答案】
【详解】 .
故答案为：
4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）在公差为 的等差数列{ }和公比为 的等比数
列{ } 中
(1)求数列{ }与 的通项公式；
(2)令 ，求数列{ }的前 项和 ．
【答案】(1) ，
(2)
(1)根据题意，得 ，解得 ，则 ；
又得 ，解得 ，由 得， ，
则 ．
(2) ，
∴ ．.
5．（2022·全国·高三专题练习（理））已知各项均为正数的等差数列 满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，若 ，求 的前 项和 .
【答案】(1) 或
(2)
（1）设各项均为正数的等差数列的公差为 .
由 ，且 .
得 解之得 或
故 或 .
（2）由于 ，所以 .
所以 .
根据等差数列、等比数列的前 项和公式，
得 .
题型四：倒序相加求和法
典型例题
例题1．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）已知正数数列 是公比不等于1的等比数列，且
，试用推导等差数列前𝑛项和的方法探求：若 ，则
（ ）
A．2018 B．4036 C．2019 D．4038
【答案】D
【详解】 ，
∵函数∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ .
故选：D.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，等差数列 满足 ，则
__________．
【答案】 ##
【详解】 .
依题意 是等差数列，
令 ，
，
结合等差数列的性质，两式相加得 .
故答案为： .
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
______．
【答案】4043
【详解】由题意，函数 ，
可得
，
设 ，
则两式相加，可得
，
所以 .
故答案为： .
例题4．（2022·全国·高二课时练习）已知 为等比数列，且 ，若 ，求
的值．
【答案】2021
【详解】因为 为等比数列， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
同理可得 ，
所以
例题5．（2022·全国·高二课时练习）设 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点
为函数 的“拐点”，经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”和对称中心，且
拐点就是对称中心．若 ，则函数 的对称中心为______；
______．
【答案】
【详解】解析： ， ，
令 ，解得 ，
又 ，
所以函数 的对称中心为 ，所以 ，所以 ．
故答案为： ； .
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若公比为 等比数列 满足，
，则 ______.
【答案】1010
【详解】 ，
∵ ，
设
即
故 ，解得 .
故答案为： .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，数列 满足
，则 __________．
【答案】
【详解】因为
，
相加得 所以 ，
故答案为:2018
3．（2022·全国·高三专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一
个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对
的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现
一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数 ，设数列 满足，若 ，则 的前n项和 _________．
【答案】
【详解】由 得，
，
由 ，
得 ，
故 ，
故 ，
所以 ，
则 ，
两式相减得：
故 ，
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数 ，则
___________.
【答案】
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
设 ,
,
由 ，得即 ，于是有 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
5．（2022·安徽·六安一中高二期末）已知函数 ，数列 是正项等比数列，且 ，则
__________．
【答案】 ##9.5
【详解】函数 ，当 时， ，
因数列 是正项等比数列，且 ，则 ，
，同理 ，
令 ，
又 ，
则有 ， ，
所以 .
故答案为：
