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专题03 分组（并项）法求数列前n 项和
1．在等差数列{an}中，已知公差d =2，a2是a1与a4的等比中项.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=an(n+1)
2
，记T n=−b1+b2−b3+b4+⋯+(−1)
nbn，求T n.
2．已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1= 4，b4=20，且{bn−an}是等比数列.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和.
3．已知递增等差数列{an}满足a1+a5=10，a2⋅a4=21，数列{bn}满足2log2bn=an−1,n∈N ∗.
（1）求{bn}的前n 项和Sn
；
（2）若T n=nb1+(n−1)b2+⋯+bn
，求数列{T n}的通项公式.
4．已知{an}为等差数列，{bn}为单调递增的等比数列，a1=b1=1，a2+a4=6，a3b3=12.
（1）求{an}与{bn}的通项公式；
（2）求数列{an+bn}的前n项和Sn
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5．已知数列{an}的前n项和为Sn= 3
2 n
2−1
2 n.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列bn=[lgan]，[x]表示不超过x的最大整数，求{bn}的前1000 项和T 1000
.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn
, a1=2，an+1= Sn+2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=an+ log2a2n−1
，求数列{bn}的前n项和T n
．
7．已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
（1）证明{an+1}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和公式.
8．设{an}是等差数列，{bn}是等比数列.已知a1= 4 ,b1=6，b2=2a2−2,b3=2a3+ 4.
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}满足c1=1,cn=¿其中k ∈N
∗.
（i）求数列{a2
n(c2
n−1)}的通项公式；
（ii）求∑
i=1
n
a2
ic2
i (n∈N
∗).
2
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9．已知数列{an}，Sn
是其前n项的和，且满足3an=2Sn+n(n∈N
∗)
（1）求证：数列¿为等比数列；
（2）记T n= S1+ S2+…+ Sn，求T n的表达式．
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn
，公差为d，已知a1=1,S3=9
（1）求数列{an}的通项公式;
（2）若bn=(−1)
n⋅an
2，求数列{bn}的前n项和T n
.
11．已知正项数列{an}和{bn},Sn
为数列{an}的前n项和，且满足4 Sn=an
2+2an
，an=2log2bn(n∈N
*)
（1）分别求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）将数列{an}中与数列{bn}相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为
T n，求T 100．
12．已知数列{an}是一个公比为q(q>0,q≠1)的等比数列，a1=1,Sn是数列{an}的前n 项和，再从条件
①､②､③这三个条件中选择一个作为已知，解答下列问题：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=2log2an−7，求数列{bn}的前n 项和T n的最小值.
条件①：4 a2,3a3,2a4成等差数列；条件②：Sn=2an−1；条件③：S3=7.
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注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn
，S5=25，且a3−1，a4+1，a7+3成等比数列.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=(−1)
nan+1，T n
是数列{bn}的前n项和，求T 2n
.
14．已知数列{an}的前n 项和Sn满足4 an−3 Sn=3,其中n∈N
∗.
（1）证明：数列{an}为等比数列；
（2）设bn= 1
3 an−4 n+1,求数列{bn}的前n 项和T n.
15．已知数列{an}中，a1=1，an+1=¿.
（1）求证：数列{a2n−3
2}是等比数列.
（2）记Sn
是数列{an}的前n项和：
①求S2n；
②求满足Sn>0的所有正整数n.
16．数列{an}前n项和为Sn
，满足：a1=2，an+1=2Sn+2.
（1）求证：数列{Sn+1}是等比数列；
（2）求和：S1+ S2+⋅⋅⋅+ Sn.
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17．已知正项等比数列{an}满足a1= 1
2 ，a1a5= 4(a3−1)
(1)求{an}的通项公式：
(2)求数列{n+an}的前n 项和Sn.
18．已知数列{an}的前n项的和为Sn
，且满足Sn=2an−1(n∈N ∗).
(1)求数列{an}的通项公式an
及Sn
；
(2)若数列{bn}满足bn=|Sn−31|，求数列{bn}的前n项的和T n
.
19．已知数列{an}满足：a1=1，且an+1=¿．设bn=a2n−1
．
(1)证明：数列{bn+2}为等比数列，并求出{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前2n 项和．
20．在①a3=5，S9=63；②3a2=a10，S2=7；③a1=3，S8−S6=19这三个条件中任选一个，补充在下列
问题中的横线上，并解答．
已知等差数列{an}的前n 项和为Sn
，______，数列{bn}是公比为2 的等比数列，且b2=a2
．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
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(2)数列{an}，{bn}的所有项按照“当n 为奇数时，bn
放在前面；当n 为偶数时，an
放在前面”的要求进行
“交叉排列”，得到一个新数列{cn}；b1
，a1
，a2
，b2
，b3
，a3
，a4
，b4
，…，求数列{cn}的前4 n+3项和
T 4n+3．
21．已知数列{an}满足2an=an−1+an+1(n≥2)，且a1=2,a2+a3+a4=18
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=|(√2)
an−1000|，求数列{bn}的前15项和T 15（用具体数值作答）.
22．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn
．若a1=2,S7= 4(a2+a5)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=2an+2
an，数列{bn}的前n项和为T n
，求T n
．
23．已知数列{an}的前n 项和为Sn
，且满足a1=1，2Sn+1= Sn+2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=an+ 1
an
，求数列{bn}的前n 项和T n．
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24．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn
，a1=2，且a2
，a3+2，a4
成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn= 1
an
+ log2an，求数列{bn}的前n项和T n
25．已知数列{an}的前n 项和为Sn
，数列{bn}为等差数列，且满足
a1=−1,a2+b3=0,Sn=2an+bn(n∈N
∗)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若c1=b1,c2n=c2n−1+b1,c2n+1=c2n+an
，求数列{cn}的前2n项和T 2n
．
26．已知Sn=2
n+1−λ(λ∈R)是等比数列{an}的前n项和．
(1)求λ及an；
(2)设bn= 1
an
+ log2an，求{bn}的前n项和T n．
27．已知数列{an}满足，an+1=¿，a1=1．
(1)若数列{bn}为数列{an}的奇数项组成的数列，{cn}为数列{an}的偶数项组成的数列，求出c1
，c2
，c3
，并
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证明：数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的前22 项和．
28．已知数列{an}的首项a1= 2
3
，且满足an+1= 2an
an+1
.
(1)求证：数列{
1
an
−1}
为等比数列；
(2)若1
a1
+ 1
a2
+⋯+ 1
an
<2023，求满足条件的最大整数n.
29．已知数列{an}是等差数列，a1=1，且a1
，a2
，a5−1成等比数列．给定k ∈N
∗，记集合
{n∣k ≤an≤2
k ,n∈N
∗}的元素个数为bk．
(1)求b1，b2的值；
(2)求最小自然数n 的值，使得b1+b2+…+bn>2022．
30．已知公差不为0 的等差数列{an}中，a1=1，a4是a2和a8的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式：
(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak +1(k =1,2,⋯)之间插入2
k，使它们和原数列的项构成一
个新的数列{bn}，记{bn}的前n项和为T n，求T 20的值.
31．已知数列{an}的前n项和为Sn
，Sn=2an−1.
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(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=2n+1，求数列{an+bn}的前n项和T n
.
32．已知数列{an}满足：a1= 1
2
，a2=1，an+2+ 4 an=5an+1，对一切正整数n成立．
(1)证明：数列{an+1−an}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项之和．
33．已知等差数列{an}的前三项和为15，等比数列{bn}的前三项积为64，且a1=b1=2.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=¿，求数列{cn}的前20 项和.
34．已知Sn
为数列{an}的前n 项和，Sn+2=2an
.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=¿，求{bn}前12项的和.
35．在数列{an}中，a1=20，an+1=|an−3|．
(1)求{an}的通项公式；
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(2)求{an}的前n 项和Sn
．
36．记数列{an}的前n 项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak 和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}
的前40 项和.
37．已知等差数列{an}的前n 项和为Sn
，满足a3=6，_____________．
在①S3=a6；②S4=20；③a2+a5+a8=30这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如
果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”）
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=2
an+an
，求{bn}的前n 项和T n
．
38．已知数列{an}的前n 项和为Sn
，a1=2，a2= 4，且Sn+2−2Sn+1+ Sn=2.
(1)证明：数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足，b1=1，b2+b3=0，求数列{an⋅bn}的前2n项和T 2n
.
39．已知{an}为等差数列，且an+1=2an−2n+3．
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(1)求{an}的首项和公差；
(2)数列{bn}满足bn=¿，其中k、n∈N
∗，求∑
i=1
60
bi
．
40．记等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn
；等比数列{bn}的公比为q，前n项和为T n
，已知b3＝4 a1
，
S4＝b3+6，T 3＝7a1．
(1)求d和q；
(2)若a1＝1，q＞0，cn＝¿求{cn}的前2n项和．
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