圆的切线是初三数学几何部分的硬骨头，中考几乎每年都考，而且经常作为压轴题的中间步骤出现。很多同学公式定理背了不少，但一碰到"证明AB是圆O的切线"就卡住，不知道第一步该干什么。问题出在两个地方：不知道切线的判定有两条路、不知道该走哪条路，以及证明时跳步——连了半径但不证垂直，或者证了垂直但不连半径。
先记住切线的两个核心。判定切线有两条路：第一条，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是切线；第二条，圆心到直线的距离等于半径的直线是切线。切线的性质：切线与过切点的半径垂直。今天用3道题把判定方法和性质应用中最容易出错的地方讲清楚。
第1题：有公共点和没公共点，证法完全不同
题目：下列证明"直线AB是圆O的切线"的方法，正确的是：A. 连接OA，因为OA是半径，所以AB是切线B. 连接OA，因为OA⊥AB（已证），所以AB是切线C. 过O作OC⊥AB于C，因为OC = r（已证），所以AB是切线D. 过O作OC⊥AB于C，因为OC是半径，所以AB是切线典型错误：选A，认为连了半径就是切线。选D，认为作了垂直就是切线，不验证距离是否等于半径。
正确答案：B和C正确，A和D错误。
错在哪？对切线判定定理的理解不完整，只记了一半。切线的判定有两条路，根据"直线和圆有没有已知公共点"来选择。情况一：直线和圆有已知公共点（已知点在圆上）——连半径，证垂直。 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 做法：连接圆心和公共点（这个点就是切点），然后证明这条半径与直线垂直。两个条件缺一不可：必须是半径（连的是圆心到圆上的点），必须垂直（要证出来，不能默认）。 A. 错误。连接OA，OA确实是半径，但只连了半径没证垂直。半径和直线的夹角不一定是90度，不垂直就不是切线。这个错误最常见——同学以为"连了半径"就万事大吉，忘了还必须证明垂直。 B. 正确。连接OA（半径），并且已经证明了OA⊥AB。满足"经过半径外端且垂直于半径"，所以AB是切线。这是"有公共点"时的标准证法。情况二：直线和圆没有已知公共点（不知道切点在哪）——作垂直，证等于半径。 判定定理：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线。 做法：过圆心向直线作垂线段，然后证明这条垂线段的长度等于圆的半径。两个条件缺一不可：必须作垂线（得到距离），必须证距离等于半径。 C. 正确。过O作OC⊥AB于C（得到垂线段OC，即圆心到直线的距离），并且已经证明了OC = r。距离等于半径，所以AB是切线。这是"无公共点"时的标准证法。 D. 错误。过O作OC⊥AB于C，这步是对的。但只说"OC是半径"没道理——C是你作的垂足，你怎么知道C在圆上？必须证明OC的长度等于半径r，才能说明C在圆上、AB是切线。直接说"OC是半径"是跳步，逻辑不通。怎么判断用哪种方法？看题目条件。如果题目说"直线AB经过圆O上的点A"或图上明显有公共点，用"连半径证垂直"。如果题目只说"直线AB与圆O的位置关系"，没说有公共点，用"作垂直证半径"。记住口诀：有公共点连半径证垂直，无公共点作垂直证半径。口诀：有公共点连半径证垂直，无公共点作垂线证半径。连了半径不证垂直不行，作了垂线不证等径不行。两步走完才算证明完整。第2题：切线性质——连切点半径得直角三角形
题目：如图，PA与圆O相切于点A，圆O的半径为3，OP = 5。求：（1）PA的长；（2）∠APO的度数；（3）若PB是圆O的另一条切线，切点为B，求∠APB的度数。典型错误：不连OA就开始算，找不到直角三角形。或者第三问不知道用切线长定理。
正确解法：
（1）连接OA。 因为PA是圆O的切线，切点为A，根据切线性质：OA⊥PA。 所以∠OAP = 90度，三角形OAP是直角三角形。 在Rt▵OAP中，OA = 3，OP = 5，由勾股定理： PA = √(OP² - OA²) = √(25 - 9) = √16 = 4
（2）在Rt▵OAP中，OA = 3，OP = 5。 cos∠APO = PA / OP = 4/5 ∠APO ≈ 36.87度
（3）连接OB。 因为PA、PB都是圆O的切线，切点分别为A、B，P是圆外一点。 根据切线长定理：PA = PB，且OP平分∠APB。 所以∠APO = ∠BPO = ∠APB / 2。 由第（2）问知∠APO ≈ 36.87度，所以∠APB = 2∠APO ≈ 73.74度。
错在哪？不连切点半径，就不会出现直角三角形，后面什么都算不了。切线性质的核心就一句话：切线垂直于过切点的半径。已知切线，第一反应就是连接圆心和切点，得到一个直角三角形。 第（1）问分析：PA是切线、A是切点，所以连接OA就得到OA⊥PA，∠OAP = 90度。有了直角三角形，已知半径OA = 3和斜边OP = 5，用勾股定理求PA = 4就顺理成章。如果看到切线不连半径，你手上只有一条线段PA和一个点O，根本没法算。 第（2）问分析：有了直角三角形，求角度就用三角函数。cos∠APO = 邻边/斜边 = PA/OP = 4/5。这个角度也可以通过记住"3-4-5"直角三角形的特征角直接判断：∠APO的对边OA = 3、邻边PA = 4、斜边OP = 5，所以∠APO约等于36.87度。 第（3）问分析：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线长相等（PA = PB），且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角（OP平分∠APB）。这就是切线长定理。所以∠APB = 2 × ∠APO。注意：用切线长定理的前提是从圆外同一点引两条切线，如果只有一条切线就谈不上切线长定理。 切线性质题的固定套路： 第一步：看到切线，连切点和圆心，得到直角三角形。 第二步：在直角三角形中用勾股定理求边、用三角函数求角。 第三步：如果出现两条切线从同一点引出，用切线长定理（PA = PB，OP平分∠APB）。 还有一个容易遗漏的细节：连接OA之后，OA既是半径又是直角三角形的一条直角边。半径的作用不只是"到切点的距离"，它还是直角三角形中的已知边长，要善加利用。口诀：见切线连半径得直角，勾股定理求边三角函数求角。圆外一点两条切线，切线长相等连线平分夹角。第3题：综合题——先证切线再用切线性质
题目：如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E。求证：（1）DE是圆O的切线；（2）若AB = 6，∠BAC = 60度，求DE的长。典型错误：第一问不知道D在圆上所以用"作垂直证半径"的方法，多走了弯路。或者连了OD但不证OD⊥DE。第二问不会利用切线性质构造直角三角形。
正确解法：
（1）证明DE是圆O的切线。 因为点D在圆O上（AD交圆O于点D），所以D是已知公共点。 用"连半径证垂直"的方法：连接OD。
需要证明OD⊥DE，即∠ODE = 90度。 因为OA = OD（都是半径），所以∠OAD = ∠ODA。 因为AD平分∠BAC，所以∠EAD = ∠OAD = ∠ODA。 所以OD ∥ AE（同位角相等，两直线平行）。 因为DE⊥AE（已知），且OD∥AE， 所以OD⊥DE（垂直于两条平行线中一条的直线也垂直于另一条）。 又因为OD是半径，D是半径的外端点，OD⊥DE， 所以DE是圆O的切线（经过半径外端且垂直于半径的直线是切线）。
（2）求DE的长。 AB是直径，AB = 6，所以半径OA = OD = 3。 连接OC（C在圆上），因为AB是直径，∠BAC = 60度， ∠ACB = 90度（直径所对的圆周角是直角）， 在Rt▵ABC中，∠BAC = 60度，AB = 6， AC = AB × cos60度 = 6 × 1/2 = 3。
因为AD平分∠BAC，∠BAC = 60度，所以∠EAD = 30度。 在Rt▵ADE中（∠AED = 90度）， ∠EAD = 30度，需要先求AD。
连接BD。因为AB是直径，∠ADB = 90度。 在Rt▵ABD中，∠BAD = 30度（AD平分∠BAC = 60度），AB = 6， AD = AB × cos30度 = 6 × (√3/2) = 3√3。
在Rt▵ADE中，∠EAD = 30度，AD = 3√3， DE = AD × sin30度 = 3√3 × 1/2 = 3√3/2。
错在哪？这类综合题把"证明切线"和"应用切线性质"串在一起考，每一步都有陷阱。第一问的陷阱：判别用哪种证法。题目说"AD交圆O于点D"，说明D在圆上，D是已知公共点。所以用"连半径证垂直"——连接OD，然后证OD⊥DE。如果误用"作垂直证半径"，就得多证一步"垂足在圆上"，白走弯路还容易出错。 连接OD后怎么证垂直？这道题的关键是用平行传递垂直： OA = OD（半径）→ ∠OAD = ∠ODA（等边对等角） AD平分∠BAC → ∠EAD = ∠OAD 所以∠EAD = ∠ODA → OD∥AE（同位角相等） DE⊥AE（已知）→ OD⊥DE（平行传递垂直） 这条推理链每一步都不能跳。很多同学写到OD∥AE就直接说"所以OD⊥DE"，忘了写"因为DE⊥AE且OD∥AE"这个依据，中考会扣步骤分。第二问的陷阱：怎么用切线性质。第一问证出DE是切线后，第二问求DE的长。有同学想直接用"切线垂直于半径"来构造直角三角形ODE，但ODE虽然是直角三角形（∠ODE = 90度），只知道OD = 3（半径），OE不知道，DE不知道，两个未知数一个方程，不够用。所以这道题不能只靠切线性质，还要结合圆周角定理和直角三角形来算。 正确思路是绕回▵ADE：∠AED = 90度（DE⊥AE），∠EAD = 30度（角平分线），AD = 3√3（在Rt▵ABD中用cos30度算）。有了AD和∠EAD，就能在Rt▵ADE中求DE。 这里用到了两个圆的重要定理： 一、直径所对的圆周角是直角（∠ACB = 90度、∠ADB = 90度）。看到直径就要想到圆周角90度，这是圆中构造直角三角形最常用的方法。 二、切线的性质是辅助工具，不是万能的。切线给了你一个直角（∠ODE = 90度），但不一定能直接解出所有未知量。要根据题目条件灵活选择在哪个直角三角形中计算。口诀：点在圆上连半径证垂直，用等腰和平行传递角。直径对圆周角是直角，切线给一个直角不够就换个三角形算。切线判定和性质的三个核心
把3道题串起来看，切线的核心就三点：
第一，判定切线先看有没有公共点。有公共点（点在圆上）用"连半径证垂直"，无公共点用"作垂直证半径"。两条路只走一条，走错了就多走弯路。连了半径必须证垂直，作了垂线必须证等于半径，两步缺一步就不完整。
第二，看到切线第一反应是连切点半径，得到直角三角形。切线垂直于过切点的半径，这个直角是白给的，不用白不用。在直角三角形中用勾股定理求边、用三角函数求角，这是切线性质题的固定套路。
第三，综合题把证明和应用串起来考。先证切线（判定），再用切线性质解题。但切线给的直角不一定够用，要结合圆周角定理（直径对圆周角90度）、角平分线、平行线等工具灵活解题。看到直径想圆周角90度，看到切线想连半径得直角，两个直角三角形切换着用。
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