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【小学数学模型】01|等积模型|把这一类题一次讲透
数学模型 · 小学数学 · 第 01 篇
01｜等积模型｜把这一类题一次讲透
一、开门见山：这节课解决什么问题
同学们先看一道小升初常考的送分题：两条平行线中间夹着一个三角形，顶点在上面那条线上随便挪，问面积变不变。很多同学第一反应是「挪了位置形状变了，面积肯定变」，结果掉进坑里。今天我们就把「等积模型」彻底讲透——学完这节课，凡是在平行线间「同底等高」的面积题，你一眼就能看出面积相等，还能把复杂图形转化成简单图形来算，这类题在小升初卷子里几乎是年年必考。
二、知识清单：先把地基打牢
用好等积模型，下面几个知识点必须先过关：
●三角形面积公式：S=12×底×高。等积模型的一切结论都从这个公式长出来。
●平行线间的距离处处相等：两条平行线之间，无论在哪里量，垂线段都一样长。这是等积模型的「灵魂」。
●平行线的判定：题目说平行才算数，只凭图形「看起来平行」不能直接当平行用。
●高的找法：三角形的高是从顶点向底边所在直线作的垂线段，顶点在对边上的「投影」落在延长线上也没关系。
三、概念讲透：这个模型到底在说什么
等积模型说的是这样一件事：夹在两条平行线之间的三角形，如果底相同（或者相等），那么它们的高都等于平行线之间的距离，而平行线间的距离处处相等，所以这些三角形的面积全部相等。同学们注意，「等积模型」其实是「同底等高」与「等底同高」两种情况的统称——底是同一条边，顶点在平行线上跑，叫同底等高；底是等长的两段，顶点在同一条线上，叫等底同高，结论一样：面积相等。
为什么成立？我们把公式摆出来就清楚了。设两条平行线间的距离为 h，公共底为 BC，那么不管顶点 A 在另一条平行线上的哪个位置，S△ABC=12×BC×h。BC 没变，h 没变，乘积自然没变。形状确实在「变瘦变胖」，但底和高的乘积纹丝不动。这就像把一团面捏成不同形状，重量永远不变。理解了这一点，就不会被图形的样子骗了。
什么时候调用它？题干里出现「两条平行线」，并且平行线之间夹着同底（或等底）的三角形，要求面积相等关系或者做面积转化，就是等积模型的信号。它最常用来「搬面积」：把一个位置不好算的三角形面积，搬到一个好算的位置上。要和后面的「金字塔模型」区分开——金字塔要求线段平行且涉及比例，等积模型只关心面积相不相等，不涉及相似比。
四、核心公式（每个字母都要认识）
●S△ABC：三角形 ABC 的面积；
●BC：三角形的底，取平行线之间那条公共底（或等长的底）；
●h：底边上的高，在等积模型里它就等于两条平行线之间的距离，处处相等；
●常见变形：已知面积和底求高，h=2SBC；已知面积和高求底，BC=2Sh。
五、图形长什么样
模型结构示意图
1先找平：题干或图中有没有一组平行线？没有平行线，直接跳过本模型。
2再找底：平行线之间夹着的三角形，是否共用同一条底（或两条底相等）？
3看顶点：三角形的顶点是否都在另一条平行线上？是 ⇒ 高都等于平行线间距。
4下结论：同底等高 ⇒ 面积相等，可以进行转化、比较或计算。
5要计算时：面积 = 底 × 平行线间距 ÷2，与顶点具体位置无关。
六、标准解题流程
1找到两条平行线与公共底（或等长的底）。
批注 这一步务必在图上用笔把平行线和底边描出来，防止把「看着像平行」的两条线当成平行线。
2确认三角形顶点都在另一条平行线上（即同底等高）。
批注 顶点必须在平行线上，高才等于线间距离；顶点不在线上就不能套用。
3利用面积相等关系进行转化、比较或计算。
批注 比较题直接写「面积相等」；计算题把高换成平行线间距代入公式，别忘了除以 2。
七、例题精讲：从基础到变式
例1（基础）
题目
两条平行线 a∥b，点 A 在直线 a 上，B、C 在直线 b 上，已知 S△ABC=12 平方厘米。D 是直线 a 上另一个任意点，求 S△DBC。
例1 题图
审题关键
圈出「a∥b」「A、D 都在直线 a 上」「任意点」——「任意」二字就是在提示你：位置不影响面积。
规范解答
△ABC 与 △DBC 有公共底 BC。顶点 A、D 都在直线 a 上，而 a∥b，所以这两个三角形的高都等于平行线 a、b 之间的距离，属于同底等高。根据等积模型，
S△DBC=S△ABC=12（平方厘米）
方法提炼
同一条底、顶点在同一条平行线上，面积就锁死了，与顶点位置无关。
例2（变式）
题目
（变式）两条平行线间的距离是 6 厘米，△ABC 的底 BC=10 厘米且在下方平行线上，顶点 A 在上方平行线上。求 S△ABC。
例2 题图
审题关键
变式把「比面积」换成了「算面积」，给的是平行线间距——它就是三角形的高。
规范解答
顶点 A 在上方平行线上，底 BC 在下方平行线上，所以 △ABC 的高就是平行线间的距离 6 厘米。
S△ABC=12×10×6=30（平方厘米）
无论 A 在上方平行线上如何移动，面积都不变。
方法提炼
平行线间距就是高——看到「平行线间距离」要立刻反应出「这是白送的高」。
八、小升初常考题型精讲
题型一：同底等高直接判等型
题目
两条平行线 a∥b 之间，△ABC 与 △DBC 有公共底 BC，顶点 A、D 都在直线 a 上。若 S△ABC=15 平方厘米，则 S△DBC=（ ）
A．15 平方厘米 B．30 平方厘米 C．7.5 平方厘米 D．无法确定
题型一 题图
审题关键
公共底 BC＋两顶点同在直线 a 上，标准的同底等高结构。
规范解答
同底 BC，等高（平行线间距离处处相等），由等积模型，面积相等，S△DBC=15 平方厘米。
方法提炼
这类题考的就是「敢不敢写相等」，识别出结构就不要犹豫。
题型二：给间距求面积型
题目
两条平行线间的距离为 5 厘米，△ABC 的底 BC=8 厘米，且 B、C 在下方平行线上，顶点 A 在上方平行线上。S△ABC= ____ 平方厘米。
题型二 题图
审题关键
「平行线间的距离」就是三角形的高。
规范解答
高 =5 厘米，S=12×8×5=20（平方厘米）。无论 A 在上方平行线上怎么移动，面积都不变。
方法提炼
间距即高，底乘高除以 2，一步出结果。
题型三：梯形中的等积转化型
题目
梯形 ABCD 中 AD∥BC，AD=4、BC=10、梯形的高为 6，则 S△ABC=（ ）
A．24 B．30 C．60 D．15
题型三 题图
审题关键
AD∥BC 就是一组平行线；△ABC 以 BC 为底，顶点 A 在与 BC 平行的直线 AD 上。
规范解答
△ABC 的高就是梯形的高 6，
S△ABC=12×10×6=30
同理 S△DBC 也等于 30（同底等高）。注意 AD=4 是干扰条件。
方法提炼
梯形里藏着天然的平行线，求「跨梯形」的三角形面积时先想等积模型；别被多余数据带跑。
题型四：顶点平移面积不变型
题目
平行线 a∥b 间，△ABC 的底 BC 在直线 b 上，S△ABC=24 平方厘米。把顶点 A 沿直线 a 平移到 A′（不与 A 重合），则 S△A′BC= ____ 平方厘米。
题型四 题图
审题关键
「沿直线 a 平移」——顶点始终没离开平行线。
规范解答
同底 BC，顶点 A、A′ 都在平行线 a 上，高都等于平行线间距离，属于同底等高，面积不变，仍为 24 平方厘米。
方法提炼
只要顶点在平行线上「滑动」，面积就是「钉死」的。
题型五：平行四边形对角线平分面积型
题目
平行四边形 ABCD 的面积为 48，对角线 AC 把它分成 △ABC 和 △ACD 两部分，则 S△ABC=（ ）
A．12 B．16 C．24 D．48
题型五 题图
审题关键
平行四边形两组对边分别平行，B、D 在对角线两侧对称分布。
规范解答
△ABC 与 △ACD 有公共底 AC，顶点 B、D 到 AC 的距离相等（平行四边形对边关于对角线等距），同底等高面积相等，各为 48÷2=24。
方法提炼
平行四边形的一条对角线必把面积平分，这是等积模型的直接推论，可以直接当结论用。
九、真题再现：经典考题拆解
考题（经典考题）
题目
如图情境，直线 a∥b，点 B、C、E 在直线 b 上，BC=CE=6 厘米，点 A 在直线 a 上，平行线间的距离为 4 厘米。求 S△ABC+S△ACE。
考题 题图
审题关键
两个三角形共用顶点 A，底 BC、CE 等长且在同一条平行线上——这是「等底同高」。
规范解答
△ABC 与 △ACE 的底 BC=CE=6 厘米，高都等于平行线间距离 4 厘米。
S△ABC=S△ACE=12×6×4=12（平方厘米）
S△ABC+S△ACE=12+12=24（平方厘米）
方法提炼
等底同高也是等积模型的一员；两块面积相等时，算一块乘 2 即可。
考题二（改编自常见考题）
题目
梯形 ABCD 中 AD∥BC，对角线 AC、BD 交于点 O。已知 S△ABC=20 平方厘米，求 S△DBC。
考题二 题图
审题关键
△ABC 与 △DBC 共用底 BC，顶点 A、D 都在与 BC 平行的边 AD 所在直线上。
规范解答
因为 AD∥BC，所以点 A、D 到 BC 的距离都等于梯形的高。△ABC 与 △DBC 同底等高，由等积模型，
S△DBC=S△ABC=20（平方厘米）
方法提炼
梯形里「同底跨腰」的两个三角形面积必相等，这个结论在蝴蝶模型里还要反复用到。
十、易错点与避坑指南
✗ 常见错误顶点一移动，就认为面积跟着变。
✓ 正确做法抓住「平行线间距离处处相等」这一本质——底不变、高不变，面积就不变，变的只是形状。
✗ 常见错误看图觉得两条线平行就直接套用。
✓ 正确做法适用边界是两条线必须真正平行（题目给出或能证明），「看起来平行」不算数，先证明再使用。
✗ 常见错误算面积时底乘高忘记除以 2。
✓ 正确做法三角形面积永远带 12，写完检查一遍。
✗ 常见错误把与底不平行的那条线上的点也当成「等高顶点」。
✓ 正确做法只有顶点在与底平行的直线上，高才等于线间距离。