ARTICLE · 1147104

高中数学解析几何题型剖析-3

发布时间：2026-10-09 20:20:05 最近访问：2026-10-09 20:20:06

高中数学解析几何题型剖析-3

湖北高三数学 · 解析几何专题训练集

第三篇｜30 道分层训练题

A 层保分 10 题 · B 层突破 12 题 · C 层冲刺 8 题

这是系列的第 3 篇，也是最需要动手的一篇。30 道题按难度分三层：A 层（10 题，6–8 分钟，正确率 ≥ 95%）：求方程、轨迹、基本量，练到条件反射；B 层（12 题，12–15 分钟，正确率 ≥ 75%）：设参 → 联立 → 韦达 → 代入目标式；C 层（8 题，18–22 分钟，正确率 ≥ 50%）：含参讨论、范围最值、隐形圆。

约 1.1 万字。建议先做题再翻解析 —— 解析就写在每道题下面。

4分层训练集：30 道题

A 层保分（第 1 问 + 小题）· B 层突破（第 2 问前半）· C 层冲刺（压轴后半）。先做题，再对答案——解析就写在每道题下面。

A · 保分 · 第 (1) 问、选择填空

题量10

单题限时6–8 min

正确率门槛≥ 95%

目标求方程 / 轨迹 / 基本量形成条件反射，零失误

B · 突破 · 第 (2) 问前半

题量12

单题限时12–15 min

正确率门槛≥ 75%

目标设参 → 联立 → 韦达 → 代入目标式，稳拿中间结论

C · 冲刺 · 第 (2) 问后半、创新设问

题量8

单题限时18–22 min

正确率门槛≥ 50%

目标含参讨论、范围最值、反求参数、隐形圆

限时组合方案：单点突破 A×3 / 20 min；常规组合 A×1+B×2 / 40 min；压轴组合 B×1+C×1 / 35 min；全真混编 8 题（A3/B3/C2）/ 90 min。

A 层 · 保分（10 题）

A1求方程 · T1 · 6 min

已知椭圆 C: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 的离心率为 √2/2，且过点 (2, √2)。求 C 的方程。

M6 几何优先待定系数

▍ 答案与解析

e² = 1/2 ⇒ c² = a²/2 ⇒ b² = a² − c² = a²/2。代入 (2, √2)：4/a² + 2/(a²/2) = 1 ⇒ 4/a² + 4/a² = 1 ⇒ a² = 8，b² = 4。C: x²/8 + y²/4 = 1

A2求方程 · T1 · 6 min

已知双曲线 C: x²/a² − y²/b² = 1 (a > 0, b > 0) 的离心率为 √5，且过点 (2, 2√3)。求 C 的方程。

M6注意 e > 1

▍ 答案与解析

e = √5 ⇒ c² = 5a² ⇒ b² = c² − a² = 4a²。代入 (2, 2√3)：4/a² − 12/(4a²) = 1 ⇒ 4/a² − 3/a² = 1 ⇒ a² = 1，b² = 4。C: x² − y²/4 = 1

A3焦点弦 · T10 · 5 min

抛物线 y² = 4x 的焦点为 F，过 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，若 |AF| = 3，求 |BF|。

M6 焦点弦倒数和

▍ 答案与解析

y² = 4x ⇒ 2p = 4 ⇒ p = 2。焦点弦恒等式：1/|FA| + 1/|FB| = 2/p = 1。1/3 + 1/|BF| = 1 ⇒ |BF| = 3/2验算：|AF| = x₁ + 1 = 3 ⇒ x₁ = 2，y₁ = 2√2；直线 y = 2√2(x−1) 与 y²=4x 联立得 2x²−5x+2=0 ⇒ x = 2 或 1/2 ⇒ |BF| = 1/2+1 = 3/2 ✓

A4点差法 · T7 · 6 min

椭圆 x²/4 + y²/3 = 1 的一条弦 AB 的中点为 M(1, 1/2)，求直线 AB 的方程。

M4 点差法必须验 Δ

▍ 答案与解析

先判 M 在椭圆内：1/4 + (1/4)/3 = 1/3 < 1 ✓k_AB · k_OM = −b²/a² = −3/4，k_OM = (1/2)/1 = 1/2 ⇒ k_AB = −3/2。AB: y − 1/2 = −(3/2)(x − 1)，即 3x + 2y − 4 = 0验算：联立得 3x²−6x+1=0，Δ = 24 > 0 ✓，中点横坐标 = 1 ✓

A5定点 · T2 · 10 min · 2020 真题换数

椭圆 C: x²/4 + y² = 1，A(−2, 0)、B(2, 0) 为左、右顶点，P 为直线 x = 4 上的动点，PA 与 C 的另一交点为 M，PB 与 C 的另一交点为 N。证明：直线 MN 过定点，并求出该定点。

M1 设线M3 韦达一般结论 a²/m

▍ 答案与解析

秒杀：由 §1 必背的一般结论，A(−a,0)、B(a,0)、P 在 x = m 上 ⇒ MN 恒过 (a²/m, 0)。此处 a = 2、m = 4 ⇒ 定点 (1, 0)。完整推导（考场要写）：设 P(4, t)。PA: y = (t/6)(x+2)，联立 x²+4y² = 4 ⇒ M( 2(9−t²)/(9+t²), 6t/(9+t²) )PB: y = (t/2)(x−2)，联立 ⇒ N( 2(t²−1)/(1+t²), −2t/(1+t²) )取 t = 1：M(8/5, 3/5)、N(0, −1)，MN: y = x − 1，交 x 轴于 (1, 0)；取 t = 2：M(10/13, 12/13)、N(6/5, −4/5)，MN 斜率 −4，同样过 (1, 0)。⇒ 定点 (1, 0)。

A6轨迹 · T1 · 5 min

动点 P 到点 F(0, 1) 的距离等于它到直线 y = −1 的距离，求点 P 的轨迹方程。

M6 定义法

▍ 答案与解析

符合抛物线定义：焦点 (0,1)、准线 y = −1 ⇒ 顶点 (0,0)，p/2 = 1 ⇒ p = 2，开口向上。x² = 4y代数法验证：√(x²+(y−1)²) = |y+1| ⇒ x² + y² − 2y + 1 = y² + 2y + 1 ⇒ x² = 4y ✓

A7离心率 · T9 · 3 min

双曲线 x²/a² − y²/b² = 1 (a > 0, b > 0) 的一条渐近线方程为 y = 2x，求该双曲线的离心率。

▍ 答案与解析

渐近线 y = ±(b/a)x ⇒ b/a = 2 ⇒ b² = 4a² ⇒ c² = a² + 4a² = 5a² ⇒ e = c/a = √5

A8焦点弦长 · T10 · 6 min

椭圆 C: x²/4 + y²/3 = 1 的左焦点为 F₁，过 F₁ 的弦 AB 的倾斜角为 60°，求 |AB|。

M6 焦点弦公式

▍ 答案与解析

a = 2、b = √3、c = 1。焦点弦长公式：|AB| = 2ab²/(a² − c²cos²θ) = 2·2·3/(4 − 1·¼) = 12/(15/4) = 16/5代数验证：F₁(−1,0)，l: y = √3(x+1)，代入 3x²+4y²=12 得 15x²+24x = 0 ⇒ x = 0 或 −8/5 ⇒ 两点 (0, √3)、(−8/5, −3√3/5) ⇒ |AB| = √(64/25 + 192/25) = 16/5 ✓

A9焦半径范围 · T10 · 5 min

椭圆 C: x²/9 + y²/4 = 1 上的点 P 到左焦点 F₁ 的距离的取值范围。

M6 焦半径

▍ 答案与解析

a = 3、b = 2、c = √5、e = √5/3。焦半径 |PF₁| = a + e·x₀ = 3 + (√5/3)x₀，x₀ ∈ [−3, 3]。⇒ |PF₁| ∈ [3 − √5, 3 + √5]端点验证：x₀ = −3（左顶点）⇒ 3−√5 ✓；x₀ = 3（右顶点）⇒ 3+√5 ✓

A10隐形圆 · T5 · 6 min · 2025 全国一卷第 7 题风格

已知圆 C: x² + y² = r² (r > 0)，若圆 C 上到直线 l: 3x + 4y − 10 = 0 的距离等于 1 的点恰有 2 个，求 r 的取值范围。

M6 几何优先平移两条平行线

▍ 答案与解析

圆上点到 l 距离为 1 ⇔ 圆与"距 l 为 1 的两条平行线"的交点总数恰为 2。两条平行线：3x+4y−10 = ±5 ⇒ 3x+4y−15 = 0（距原点 3）与 3x+4y−5 = 0（距原点 1）。· r < 1：0 个；· r = 1：与近线相切，1 个；· 1 < r < 3：与近线交 2 个、远线 0 个，共 2 个 ✓· r = 3：2 + 1 = 3 个；· r > 3：4 个。⇒ r ∈ (1, 3)

B 层 · 突破（12 题）

B1求方程 + 面积反求直线 · T1+T4 · 14 min · 2024 真题换数

已知 A(0, 2) 和 P(2, 1) 为椭圆 C: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0) 上两点。(1) 求 C 的离心率；(2) 若过 P 的直线 l 交 C 于另一点 B，且 △ABP 的面积为 4，求 l 的方程。

M3面积反求三步法柯西判有无解

▍ 答案与解析

(1) A(0,2) ⇒ 4/b² = 1 ⇒ b² = 4。P(2,1) ⇒ 4/a² + 1/4 = 1 ⇒ a² = 16/3。e = √(1 − 4/(16/3)) = √(1 − 3/4) = 1/2；C: 3x² + 4y² = 16。(2) |AP| = √(4+1) = √5；直线 AP: y − 2 = −(1/2)x ⇒ x + 2y − 4 = 0。S = ½·√5·d = 4 ⇒ d = 8/√5 ⇒ |x_B + 2y_B − 4| = 8 ⇒ x+2y = 12 或 −6。柯西：(x+2y)² ≤ (3x²+4y²)(1/3+1) = 16·4/3 = 64/3 ⇒ |x+2y| ≤ 8/√3 ≈ 4.62 ⇒ x+2y = 12 无解，取 x+2y = −6。联立 3x²+4y²=16 与 x = −6−2y ⇒ 16y²+48y+32 = 0 ⇒ y = −1 或 −2 ⇒ B(−2, −1) 或 B(0, −2)。l: y = x/2 或 y = (3/2)x − 2补验 l ⊥ x 轴：x = 2 ⇒ B(2,−1)，S = 2 ≠ 4，舍去。

B2斜率之和 → 定点 · T2+T7 · 13 min · 2017 真题换数

已知椭圆 C: x²/9 + y²/4 = 1，Q(0, 2) 为上顶点，直线 l 不经过 Q 且与 C 交于 A、B 两点，若直线 QA 与 QB 的斜率之和为 −1，证明：l 过定点，并求出该定点。

M3 标准式M5

▍ 答案与解析

设 l: y = kx + m (m ≠ 2)。联立 4x² + 9(kx+m)² = 36 ⇒ (4+9k²)x² + 18kmx + 9m² − 36 = 0。x₁+x₂ = −18km/(4+9k²)，x₁x₂ = 9(m²−4)/(4+9k²)。k_QA+k_QB = (kx₁+m−2)/x₁ + (kx₂+m−2)/x₂ = 2k + (m−2)(x₁+x₂)/(x₁x₂)= 2k + (m−2)·[−18km/(9(m²−4))] = 2k − 2km/(m+2) = 4k/(m+2) = −1⇒ m = −4k − 2 ⇒ l: y = k(x − 4) − 2 ⇒ 恒过定点 (4, −2)。

B3角相等 · T7 · 12 min · 2018 真题换数

椭圆 C: x²/4 + y²/3 = 1，F(1, 0) 为右焦点，过 F 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，点 M 的坐标为 (4, 0)。证明：∠OMA = ∠OMB。

M1 设 x = my+1注意 M = (a²/c, 0)

▍ 答案与解析

∠OMA = ∠OMB ⇔ k_MA + k_MB = 0。（M(4,0) 恰为 a²/c = 4/1 = 4）设 l: x = ty + 1（一步避开斜率讨论）。代入 3x²+4y² = 12：(3t²+4)y² + 6ty − 9 = 0 ⇒ y₁+y₂ = −6t/(3t²+4)，y₁y₂ = −9/(3t²+4)。k_MA+k_MB = y₁/(x₁−4) + y₂/(x₂−4) = y₁/(ty₁−3) + y₂/(ty₂−3)，分子 = 2t·y₁y₂ − 3(y₁+y₂) = 2t(−9/(3t²+4)) − 3(−6t/(3t²+4)) = (−18t + 18t)/(3t²+4) = 0 ✓补验 l ⊥ x 轴：x = 1 ⇒ A(1, 3/2)、B(1, −3/2)，k_MA = −1/2、k_MB = 1/2，和为 0 ✓

B4抛物线 + 向量分点 · T4+T8 · 14 min · 2019 真题换数

抛物线 C: y² = 4x 的焦点为 F，斜率为 1 的直线 l 与 C 交于 A、B，与 x 轴交于 P。(1) 若 |AF|+|BF| = 8，求 l 的方程；(2) 若向量AP = 3向量PB，求 |AB|。

M6 焦半径朝坐标轴消元

▍ 答案与解析

p = 2。|AF|+|BF| = x₁+x₂+2。(1) x₁+x₂ = 6。l: y = x + t ⇒ (x+t)² = 4x ⇒ x²+(2t−4)x+t² = 0 ⇒ x₁+x₂ = 4−2t = 6 ⇒ t = −1。l: y = x − 1（Δ = 32 > 0 ✓）(2) 改写为 x = y − t，联立得 y² − 4y + 4t = 0 ⇒ y₁+y₂ = 4，y₁y₂ = 4t。P 在 x 轴上 ⇒ y_P = 0，向量AP = 3向量PB ⇒ −y₁ = 3y₂ ⇒ y₂ = −2、y₁ = 6 ⇒ y₁y₂ = −12 = 4t ⇒ t = −3。x₁ = 36/4 = 9，x₂ = 4/4 = 1 ⇒ |AB| = √(64 + 64) = 8√2

B5双曲线 + 弦长积 · T1+T8 · 15 min · 2021 真题换数

在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F₁(−√5, 0)、F₂(√5, 0)，点 M 满足 |MF₁| − |MF₂| = 2，记 M 的轨迹为 C。(1) 求 C 的方程；(2) 设点 T 在直线 x = 1/2 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A、B 和 P、Q，且 |TA|·|TB| = |TP|·|TQ|，求直线 AB 与 PQ 的斜率之和。

M3 参数 t 表示距离必写 x ≥ 1

▍ 答案与解析

(1) 2a = 2 ⇒ a = 1，c = √5 ⇒ b² = 4 ⇒ C: x² − y²/4 = 1（x ≥ 1，只取右支）(2) 设 T(1/2, n)，过 T 的直线方向 (1, k)，点 = (1/2+t, n+kt)，|T·| = |t|√(1+k²)。代入 C：(4−k²)t² + (4−2nk)t − (n²+3) = 0 ⇒ |TA|·|TB| = |t₁t₂|(1+k²) = (1+k²)(n²+3)/|4−k²|两直线都要交右支于两点 ⇒ t₁t₂ > 0 ⇒ |k| > 2 ⇒ |4−k²| = k²−4。(1+k₁²)/(k₁²−4) = (1+k₂²)/(k₂²−4) ⇒ 交叉相乘化简：k₂² − 4k₁² = k₁² − 4k₂² ⇒ 5k₂² = 5k₁² ⇒ k₁ = ±k₂。两直线不同 ⇒ k₁ = −k₂ ⇒ 斜率之和 = 0

B6双曲线 + 斜率之和 · T1+T7 · 13 min · 2022 真题第(1)(2)问前段

已知点 A(2, 1) 在双曲线 C: x²/a² − y²/(a²−1) = 1 (a > 1) 上。(1) 求 C 的方程；(2) 直线 l 交 C 于 P、Q 两点，直线 AP、AQ 的斜率之和为 0，求 l 的斜率。

M3收尾因式分解出 (k+1)

▍ 答案与解析

(1) 4/a² − 1/(a²−1) = 1，令 u = a²：4(u−1) − u = u(u−1) ⇒ u² − 4u + 4 = 0 ⇒ u = 2 ⇒ C: x²/2 − y² = 1(2) 设 l: y = kx+m，联立得 (1−2k²)x² − 4mkx − 2m² − 2 = 0 ⇒x₁+x₂ = 4mk/(1−2k²)，x₁x₂ = −2(m²+1)/(1−2k²)。k_AP+k_AQ = 0 ⇒ 2k·x₁x₂ + (m−1−2k)(x₁+x₂) − 4(m−1) = 0，代入韦达、乘以 (1−2k²)、除以 4 得：1 − k(2k+1) − m(k+1) = 0 ⇒ (k+1)(m + 2k − 1) = 0m = 1−2k 时 l 过 A(2,1)，与题意矛盾，舍去 ⇒ k = −1

B7点差法 + 弦长 · T7+T4 · 12 min

椭圆 C: x²/16 + y²/9 = 1。(1) 求以点 M(2, 3/2) 为中点的弦所在直线的方程；(2) 求该弦的弦长。

M4必须验 M 在椭圆内

▍ 答案与解析

M 在椭圆内：4/16 + (9/4)/9 = 1/4 + 1/4 = 1/2 < 1 ✓(1) k·k_OM = −9/16，k_OM = (3/2)/2 = 3/4 ⇒ k = −3/4。3x + 4y − 12 = 0(2) 联立 9x²+16y² = 144 与 y = 3 − (3/4)x ⇒ 18x² − 72x = 0 ⇒ x = 0 或 4 ⇒ 两点 (0, 3)、(4, 0)。弦长 = √(16 + 9) = 5

B8面积最值 · T4+T5 · 14 min

椭圆 C: x²/4 + y²/3 = 1，过右焦点 F(1, 0) 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，求 △OAB 面积的最大值（O 为原点）。

M1 设 x = ty+1面积 = ½·|OF|·|y₁−y₂|

▍ 答案与解析

AB 过 x 轴上的 F(1,0)，且 A、B 在 x 轴两侧 ⇒ S = ½·|OF|·|y₁ − y₂| = ½|y₁−y₂|。设 l: x = ty+1，代入 3x²+4y² = 12 ⇒ (3t²+4)y² + 6ty − 9 = 0 ⇒(y₁−y₂)² = (y₁+y₂)² − 4y₁y₂ = 36t²/(3t²+4)² + 36/(3t²+4) = 144(t²+1)/(3t²+4)²⇒ S = 6√(t²+1)/(3t²+4)。令 u = t² ≥ 0，S² = 36(u+1)/(3u+4)²，对 u 求导恒负 ⇒ 递减 ⇒ 最大在 u = 0。S_max = 6/4 = 3/2（此时 l ⊥ x 轴，即通径 x = 1）

B9定值 · T3 · 12 min

抛物线 C: y² = 4x，过定点 M(4, 0) 的直线 l 交 C 于 A、B 两点（A、B 不重合）。证明：OA ⊥ OB（O 为原点）。

M2 参数设点或直接设 x = ty+4

▍ 答案与解析

设 l: x = ty + 4，联立 y² = 4x ⇒ y² − 4ty − 16 = 0 ⇒ y₁y₂ = −16，y₁+y₂ = 4t。x₁x₂ = (y₁²/4)(y₂²/4) = (y₁y₂)²/16 = 256/16 = 16。向量OA·向量OB = x₁x₂ + y₁y₂ = 16 − 16 = 0 ⇒ OA ⊥ OB一般规律（见 C4）：过 (m, 0) 的直线 ⇒ y₁y₂ = −2pm、x₁x₂ = m²；OA⊥OB ⇔ m² = 2pm ⇔ m = 2p = 4 ✓

B10焦点弦最值 · T4+T10 · 13 min

抛物线 C: y² = 4x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 交 C 于 A、B 两点。(1) 求 △OAB 面积的最小值；(2) 求 1/|AF| + 1/|BF| 的值。

M6 焦点弦

▍ 答案与解析

(1) 设 l: x = ty+1，联立得 y² − 4ty − 4 = 0 ⇒ (y₁−y₂)² = 16t²+16 = 16(t²+1)。S = ½·|OF|·|y₁−y₂| = ½·1·4√(t²+1) = 2√(t²+1) ≥ 2 ⇒ S_min = 2（t = 0，即通径 x = 1）(2) 焦点弦恒等式 1/|FA| + 1/|FB| = 2/p，p = 2 ⇒ = 1

B11双曲线焦点弦范围 + 存在性 · T5+T6 · 16 min

双曲线 C: x²/4 − y²/5 = 1 的右焦点为 F(3, 0)，过 F 的直线 l 交 C 的右支于 A、B 两点。(1) 求 |AB| 的最小值；(2) 是否存在这样的 l，使 |AB| = 6？若存在，求出 l 的斜率。

注意"同支"约束Δ 与支的判定

▍ 答案与解析

设 l: y = k(x−3)，代入 5x² − 4y² = 20 ⇒ (5−4k²)x² + 24k²x − 36k² − 20 = 0。A、B 同在右支 ⇒ x₁+x₂ > 0 且 x₁x₂ > 0 ⇒ 需 5−4k² < 0 ⇒ k² > 5/4（即比渐近线更陡）。此时 x₁+x₂ = 24k²/(4k²−5)，x₁x₂ = (36k²+20)/(4k²−5)。(x₁−x₂)² = 400(k²+1)/(4k²−5)² ⇒ |AB| = 20(1+k²)/(4k²−5)令 u = k² > 5/4：f(u) = 20(1+u)/(4u−5)，f′(u) = −180/(4u−5)² < 0，递减。u → +∞（l ⊥ x 轴）⇒ f → 5 ⇒ |AB|_min = 5（正是通径 2b²/a = 5）(2) 20(1+u)/(4u−5) = 6 ⇒ 20+20u = 24u−30 ⇒ u = 25/2 ⇒ 存在，k = ±5√2/2

B12定值 + 弦长范围 · T3+T5 · 18 min

椭圆 C: x²/16 + y²/9 = 1，直线 l: y = kx + m 与 C 交于 A、B 两点，且 OA ⊥ OB（O 为原点）。(1) 证明原点 O 到直线 l 的距离为定值，并求出该定值；(2) 求弦长 |AB| 的取值范围。

M3 韦达装配x₁x₂ + y₁y₂ = 0

▍ 答案与解析

联立 9x² + 16(kx+m)² = 144 ⇒ (9+16k²)x² + 32kmx + 16m² − 144 = 0。x₁+x₂ = −32km/D，x₁x₂ = (16m²−144)/D，D = 9+16k²。y₁y₂ = k²x₁x₂ + km(x₁+x₂) + m² =9(m² − 16k²)/DOA⊥OB ⇒ x₁x₂ + y₁y₂ = 0 ⇒ 16m² − 144 + 9m² − 144k² = 0 ⇒ 25m² = 144(1+k²)⇒m² = 144(1+k²)/25(1)d = |m|/√(1+k²) =12/5（定值）一般结论：椭圆 x²/a²+y²/b²=1 中 OA⊥OB ⇒ d = ab/√(a²+b²)，此处 4·3/5 = 12/5 ✓(2)|AB|² = (1+k²)[(x₁+x₂)² − 4x₁x₂] = 64(1+k²)(729+2304k²)/[25(9+16k²)²]令 u = k² ≥ 0，化简得 |AB|² = (64/25)·9·[1 + 49u/(9+16u)²]。u/(9+16u)² 在 u = 9/16 取最大 1/576。⇒ |AB|² ∈ [576/25, 25] ⇒|AB| ∈ [24/5, 5]端点：k = 0 ⇒ l: y = ±12/5，|AB| = 24/5；k = ±3/4 ⇒ 两点 (0,3)、(−4,0)，|AB| = 5 ✓

C 层 · 冲刺（8 题）

C1矩形周长下确界 · T4+T5 · 22 min · 2023 真题同构变式

抛物线 C: y² = 4x 上有三点 A、B、C，且 ∠ABC = 90°。证明：|AB| + |BC| > 3√3。

M2 参数设点等号退化检验

▍ 答案与解析

设 A(t₁², 2t₁)、B(t₂², 2t₂)、C(t₃², 2t₃)。抛物线上两点连线斜率 = 2/(横坐标参数之和)：k_BA= 2/(t₁+t₂) = 2/s，k_BC= 2/(t₂+t₃) = 2/t，其中 s = t₁+t₂、t = t₂+t₃。BA ⊥ BC ⇒ (2/s)(2/t) = −1 ⇒st = −4。|AB| = |t₁−t₂|·√(1 + 4/s²) = |s − 2t₂|·√(s²+4)/|s|，同理 |BC| = |t − 2t₂|·√(t²+4)/|t|。由 t = −4/s 得 √(t²+4)/|t| = √(s²+4)/2，故|AB|+|BC| = √(s²+4)·[ |s − 2t₂|/|s| + |4/s + 2t₂|/2 ]令 p = 2t₂，X = s − p、Y = 4/s + p，则 X + Y = s + 4/s = K（定值）。对固定 s 最小化 |X|/|s| + |Y|/2：· 0 < s ≤ 2：最小值为 K/2 ⇒ |AB|+|BC| ≥ (s²+4)^(3/2)/(2s)，在s = √2取3√3· s ≥ 2：最小值为 K/s ⇒ |AB|+|BC| ≥ (s²+4)^(3/2)/s²，在s = 2√2取3√3但两种情形取等时分别导致 C 与 B 重合、A 与 B 重合（矩形退化）⇒ 非退化时严格大于。⇒|AB| + |BC| > 3√3（3√3 是下确界，取不到）数值验算：t₂ = 0、t₁ = 2、t₃ = −2 ⇒ |AB|+|BC| = 4√2 ≈ 5.657 > 3√3 ≈ 5.196 ✓

C2垂直焦点弦 · T4+T5 · 18 min

抛物线 C: y² = 4x 的焦点为 F，过 F 的两条互相垂直的直线分别交 C 于 A、B 和 D、E。求四边形 ADBE 面积的最小值。

M6 焦点弦对角线垂直 ⇒ S = ½·d₁·d₂

▍ 答案与解析

四边形 ADBE 的两条对角线是 AB 与 DE，它们交于 F 且互相垂直 ⇒ S = ½·|AB|·|DE|。抛物线焦点弦：|AB| = 2p/sin²θ = 4/sin²θ（p = 2），|DE| = 4/sin²(θ+90°) = 4/cos²θ。S = ½ · 16/(sin²θ·cos²θ) = 8/((1/4)sin²2θ) = 32/sin²2θ ≥ 32当 sin²2θ = 1（θ = 45°）取最小值 32，此时 |AB| = |DE| = 8。

C3定点一般化证明 · T2 · 22 min · 2020 真题的完整推广

椭圆 C: x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0)，A(−a, 0)、B(a, 0) 为左、右顶点，P 为直线 x = m（m > a）上的动点，PA 与 C 的另一交点为 M，PB 与 C 的另一交点为 N。证明：直线 MN 恒过定点，并求出该定点坐标。

M1 + M3"令参数系数为 0"的教科书演示

▍ 答案与解析

设 P(m, t)。PA: y = t(x+a)/(m+a)。联立 b²x² + a²y² = a²b² 并乘以 (m+a)²：[b²(m+a)² + a²t²]x² + 2a³t²x + a⁴t² − a²b²(m+a)² = 0，一根为 x = −a ⇒x_M= a[b²(m+a)² − a²t²]/D₁，y_M= 2ab²t(m+a)/D₁，D₁ = b²(m+a)² + a²t²。PB: y = t(x−a)/(m−a)，同理（把 a 换成 −a）：x_N= −a[b²(m−a)² − a²t²]/D₂，y_N= −2ab²t(m−a)/D₂，D₂ = b²(m−a)² + a²t²。计算 M、N 与点 (a²/m, 0) 的斜率：x_M− a²/m = a(m+a)[b²(m²−a²) − a²t²]/(m·D₁)，x_N− a²/m = −a(m−a)[b²(m²−a²) − a²t²]/(m·D₂)。⇒ y_M/(x_M−a²/m) = y_N/(x_N−a²/m) =2b²tm/[b²(m²−a²) − a²t²]（相等！）⇒ M、N、(a²/m, 0) 三点共线 ⇒MN 恒过定点 (a²/m, 0)验算：2020 真题 a = 3、m = 6 ⇒ (3/2, 0) ✓；A5 题 a = 2、m = 4 ⇒ (1, 0) ✓

C4抛物线定值一般化 · T3 · 18 min

抛物线 C: y² = 2px (p > 0)，过定点 M(m, 0)（m > 0）的直线 l 交 C 于 A、B 两点。(1) 证明 y_A·y_B 与 x_A·x_B 均为定值，并求出这两个定值；(2) 求向量OA·向量OB 的值（O 为原点），并求出使 OA ⊥ OB 成立的 m。

M2 参数设点或设 x = ty+m

▍ 答案与解析

设 l: x = ty + m（抛物线开口沿 x 轴，保留 y）。联立 y² = 2p(ty+m) ⇒ y² − 2pty − 2pm = 0。(1) y_Ay_B = −2pm（定值）；x_Ax_B = (y_A²/2p)(y_B²/2p) = (y_Ay_B)²/(4p²) = m²（定值）(2) 向量OA·向量OB = x_Ax_B + y_Ay_B = m² − 2pm（也是定值！）OA ⊥ OB ⇔ m² − 2pm = 0 ⇒ m = 2p过焦点 (p/2, 0) 时 m = p/2 ⇒ y_Ay_B = −p²、x_Ax_B = p²/4，与 §1 速查卡一致 ✓

C5垂直焦点弦四边形面积范围 · T4+T5 · 20 min · 2016 真题同构变式

椭圆 C: x²/4 + y²/3 = 1，过左焦点 F₁(−1, 0) 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，过 F₁ 且垂直于 l 的直线交 C 于 D、E 两点。求四边形 ADBE 面积的取值范围。

对角线垂直 ⇒ S = ½·d₁·d₂焦点弦公式

▍ 答案与解析

四边形 ADBE 的两条对角线 AB、DE 交于 F₁ 且垂直 ⇒ S = ½·|AB|·|DE|。a = 2、b = √3、c = 1。椭圆焦点弦长公式 |AB| = 2ab²/(a² − c²cos²θ) = 12/(4 − cos²θ)。DE 的倾斜角为 θ+90° ⇒ |DE| = 12/(4 − sin²θ)。S = ½ · 144/[(4−cos²θ)(4−sin²θ)] = 72/[16 − 4(cos²θ+sin²θ) + sin²θcos²θ] = 72/(12 + sin²θcos²θ)sin²θcos²θ = ¼sin²2θ ∈ [0, 1/4] ⇒ 分母 ∈ [12, 49/4] ⇒ S ∈ [288/49, 6]验算：θ = 0 ⇒ |AB| = 4（长轴）、|DE| = 3（通径）⇒ S = 6 ✓；θ = 45° ⇒ |AB| = |DE| = 24/7 ⇒ S = 288/49 ✓

C6存在性 · T6+T5 · 20 min

椭圆 C: x²/16 + y²/9 = 1，直线 l: y = kx + m 与 C 交于 A、B 两点，M 为线段 AB 的中点。是否存在实数 k，使得 |OM| = |AB|/2（O 为原点）？若存在，求出 m 的取值范围。

条件翻译陪位：|OM| = |AB|/2 ⇔ ∠AOB = 90°

▍ 答案与解析

条件翻译（本题题眼）：M 为 AB 中点 ⇒ |AM| = |BM| = |AB|/2。|OM| = |AM| = |BM| ⇒ O 在以 M 为圆心、|AB|/2 为半径的圆上，即以 AB 为直径的圆上 ⇒ ∠AOB = 90°（反之亦然）。由 B12 的推导（把 a² = 16、b² = 9 代入）：OA⊥OB ⇒ m² = a²b²(1+k²)/(a²+b²) = 144(1+k²)/25。Δ 检验：Δ = −576m² + 5184 + 9216k²，代入 m² 得 (46656 + 147456k²)/25 > 0，恒成立。⇒ 对任意 k 都存在，且 m² = 144(1+k²)/25 ≥ 144/25 ⇒ |m| ≥ 12/5。存在；m ∈ (−∞, −12/5] ∪ [12/5, +∞)

C7过顶点两垂直弦 → 定点 · T2 · 20 min

椭圆 C: x²/4 + y² = 1，A(2, 0) 为右顶点，过 A 的两条互相垂直的直线分别交 C 于另一点 M、N。证明：直线 MN 过定点，并求出该定点。

M1k → −1/k 代入

▍ 答案与解析

设 AM: y = k(x−2)。联立 x² + 4y² = 4 ⇒ (1+4k²)x² − 16k²x + 16k² − 4 = 0，一根 x = 2 ⇒x_M= (8k²−2)/(1+4k²)，y_M= k(x_M−2) =−4k/(1+4k²)。AN 斜率为 −1/k，把 k 换成 −1/k：x_N= (8/k² − 2)/(1 + 4/k²) =(8−2k²)/(k²+4)，y_N=4k/(k²+4)。用特值定位定点：取 k = 1 ⇒ M(6/5, −4/5)、N(6/5, 4/5)，MN: x = 6/5；取 k = 2 ⇒ M(30/17, −8/17)、N(0, 1)，MN: y = 1 − (5/6)x，代入 x = 6/5 得 y = 0 ✓；取 k = 1/2 ⇒ M(0, −1)、N(30/17, 8/17)，MN: y = −1 + (5/6)x，同样过 (6/5, 0) ✓。⇒定点 (6/5, 0)一般结论：椭圆 x²/a²+y²/b²=1，过右顶点 (a,0) 作两垂直弦，另两点连线恒过 ( a(a²−b²)/(a²+b²), 0 )。此处 2·3/5 = 6/5 ✓

C8定值 + 最值 · T3+T5 · 20 min

椭圆 C: x²/4 + y²/3 = 1，A(−2, 0)、B(2, 0)，P 为 C 上异于 A、B 的动点，直线 AP、BP 分别交直线 x = 4 于 M、N。(1) 证明 y_M·y_N 为定值，并求出该定值；(2) 求 |MN| 的最小值。

M3三角换元求最值

▍ 答案与解析

设 P(x₀, y₀)，满足 x₀²/4 + y₀²/3 = 1 ⇒ y₀² = 3(4 − x₀²)/4。AP 斜率 y₀/(x₀+2) ⇒ 在 x = 4 处 y_M= 6y₀/(x₀+2)；BP 斜率 y₀/(x₀−2) ⇒ y_N= 2y₀/(x₀−2)。(1)y_My_N= 12y₀²/(x₀²−4) = 12·[−3(x₀²−4)/4]/(x₀²−4) =−9（定值）(2)|MN| = |y_M− y_N| = |y₀|·|4x₀ − 16|/|x₀²−4| = 4|y₀|(4−x₀)/(4−x₀²) =2√3(4−x₀)/√(4−x₀²)令 x₀ = 2cosθ（θ ∈ (0, π)），√(4−x₀²) = 2sinθ ⇒ |MN| = 2√3(2−cosθ)/sinθ。对 f(θ) = (2−cosθ)/sinθ 求导：f′ = (1 − 2cosθ)/sin²θ ⇒ 极小在 cosθ = 1/2，f = √3。⇒|MN|_min = 2√3·√3 = 6（此时 x₀ = 1，y₀ = 3/2，y_M= 3、y_N = −3 ✓）

做完 30 题后的自检：回到 §2.1 的触发映射表，随机抽 10 条"题干关键词"，要求自己在 30 秒内写出"立刻想到什么 + 第一步动作"。写不出的，回去把对应题重做一遍。

下一篇：公式速查卡 + 14 天复习计划

考前 10 分钟过一遍的速查卡，以及一份可执行的 14 天专题计划。

相关学习资料