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Evan Chen 第三章 习题(3)
第三章 习题（3）
我们继续！
分析：
这题其实构型非常简单，最难的部分就是找到哪个角是直角。
其实挨个让三个点都当一遍直角顶点就行了，最后会发现只可能 是直角顶点，而另外两种情况是不可能 的。（自己画图就能看出来了，非常显然不能）
所以我们只需要证明 即可。
证明这件事情有很多不同的方法：
第一个想法就是 “补短”，也就是 “倍长中线”。 第二个想法就是看出 的性质。 最后一个想法是最朴素的想法，就是在直线系里面直接进行 三角计算。
证明：
【法一】：
延长 到点 ，使得 。
那么由全等易得
所以
而
所以由三线合一知
此即 为以 为直角顶点的直角三角形！
证毕。
【法二】：
因为 为 上的中线，而且 ，所以 为 的重心！
因此取 中点 ，可知
所以 ，
此即 为以 为直角顶点的直角三角形！
证毕。
【法三】：
如图设角和边。
由 余弦定理 可知
所以
因此
得到
此即
所以
证毕。
分析：
三个三角形的底是一样的，所以只要看高就可以。
所以考虑三个顶点到 的距离，只需证明这三个距离里面有一个为另外两个之和即可。
然后根据图像我们也能猜出来应该是橙色的那个最大，所以我们就可以尝试考虑证明
然后接下来这点比较难：
一方面，看到 这条线，我们自然而然会想考虑 这个点。
另一方面，这种 “面积之和” 的题目也有一个小技巧值得记忆，就是可以点出两个顶点连线的中点，这样面积之和就是中间这个三角形面积的两倍！
如下图：
（本质这也就是 定比分点公式 的一个应用罢了）
因此我们有这两个动力驱使我们去考虑重心 和 中点 ，这样问题就迎刃而解了！
证明：
取 中点 ，那么易得
所以
而
所以
因此
在一般情况下，三个顶点会落在直线 的两侧，一侧两个点，一侧一个点。
那么有两个点的那一侧的那两个点与 组成的三角形的面积之和等于剩下一个三角形的面积！
证毕。
分析：
这显然就是 塞瓦定理 的题目，所以只要看一个角上的情况就可以了！（如下）
这道题目用角元形式和边元形式都可以做，而且都不算难，主要的转化方式就是利用 “共边模型”。
本质上就是要充分利用这个正方形的性质，比如平行，， 这种。
然后这道题目就迎刃而解了。
证明：
【法一】：（边元形式）
因为
所以
而
如果使用简便记号的话，此即
同理定义 ，，， 等点。
因此由对称性可得
由 塞瓦定理，证毕。
【法二】：（角元）
这边只考虑一个：
由 正弦定理，
所以
后面就都一样了，显然轮换对称，所以相乘乘积为 。
由 塞瓦定理，证毕。