【高三一轮重难点考点汇总】正态分布、标准正态分布、正态分布的图象

(一) 正态曲线

1、定义：我们把函数φμ,σ(x)=(1)/(sqrt(2π)σ)e^(-((x-μ)^(2))/(2σ^(2)))，x∈(-∞，+∞)(其中μ是样本均值，σ是样本标准差)的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．

2、正态曲线的性质

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；

(3)曲线在x=μ处达到峰值(最大值)(1)/(sqrt(2π)σ)；

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示：

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：

甲       乙

(二) 正态分布

1. 定义

随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a<X≤b)=∫(b,a,φμ,σ(x)dx)，即由正态曲线，过点(a，0)和点(b，0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X落在区间(a，b]的概率的近似值．

一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)=∫(b,a,φμ,σ(x)dx)，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ^(2))．如果随机变量X服从正态分布，则记为X∼N(μ，σ^(2))．

其中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．

2. 3σ原则

若X∼N(μ，σ^(2))，则对于任意的实数a>0，P(μ-a<X≤μ+a)=∫(μ+a,μ-a,φμ,σ(x)dx)为下图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a而言，该面积随着σ的减小而变大．这说明σ越小，X落在区间(μ-a,μ+a]的概率越大，即X集中在μ周围的概率越大

特别地，有P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826；P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544；P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974．

由P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974，知正态总体几乎总取值于区间(μ-3σ，μ+3σ)之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ^(2))的随机变量X只取(μ-3σ，μ+3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．

(三) 【方法技巧与总结】

1、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ,σ^(2))的随机变量x只取(μ-3σ，μ+3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．

2、求正态变量x在某区间内取值的概率的基本方法：

(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．

(2)将待求问题向(μ-σ，μ+σ]，(μ-2σ，μ+2σ]，(μ-3σ，μ+3σ]这三个区间进行转化；

(3)利用x在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．

3、假设检验的思想

(1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．

(2)若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ^(2))，则ξ落在区间(μ-3σ，μ+3σ]内的概率为0.9974，亦即落在区间(μ-3σ，μ+3σ]之外的概率为0.0026，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明ξ不服从正态分布．

(3)对于小概率事件要有一个正确的理解：

小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性．