天津中考数学 · 压轴题专讲

第24题：10分的“分水岭”3年天津卷真题拆解 + 图形法五步

折叠、平移、重叠面积——三年一个套路。看懂这一篇，孩子在第24题上少丢一半分。

导先说清楚：第24题到底有多重要

天津卷的难题有固定的“四个坑”： 第12题（选择压轴·3分）、 第17题（填空压轴·3分）、 第24题（倒数第二道大题·10分）、 第25题（最后一道大题·10分）。

其中，第24题是唯一一道“年年都考、年年同款”的题。它不考天赋、不考偏题怪题，而是考一套可以练出来的固定动作： 坐标系里放一个特殊图形 → 让它“动”起来（折叠或平移）→ 问一条线段、问重叠部分的面积。

一句话看清分量：第24题的(1)、(2)①是“签到分”，(2)②才是“选拔分”。三年里，这道题的第一、二问只需要“先画图、再读图”，标准解法不超过三步就能写完。

给孩子家长的一段话很多孩子不是不会做第24题，是没时间、也没信心做。它排在倒数第二题，前面已经耗掉大半时间；题目里再出现“折来折去、动来动去”的图形，孩子看一眼就想放弃。可事实是：(1) 求坐标 = 白送分；(2)① 用 t 表示一条线段 = 按图形法走五六分钟就能拿下的分。这两问加起来就是 7~8 分。真正难的只有 (2)② 那个“面积取值范围”。先把这 7~8 分稳稳装进口袋，再去搏最后 2 分——这才是第24题的正确打开方式。

01第24题的“身份证”：三年完全一致

• 位置固定
  ：第24题，满分 10 分，倒数第二道大题。
• 形式固定
  ：平面直角坐标系 + 一个特殊图形（平行四边形／等边三角形／关于坐标轴对称的四边形）。
• 动作固定
  ：让图形“动”起来——要么沿一条垂直于 x 轴的直线折叠，要么沿水平方向平移。
• 三问固定
  ：① 求点坐标（送分）→ ② 用含 t 的式子表示某条线段，并写出 t 的取值范围 → ③ 求重叠部分面积 S 的取值范围或最值。
• 思想固定
  ：一道题同时考分类讨论、数形结合、函数与方程——中考数学三大核心思想一次考全。

三年第24题速览

02三年真题复盘：一题一幅会“动”的图

下面每道题都配了一段图形法分步动画：先把图形画出来，再让图形动起来，最后把答案读出来。看动画时请盯住两件事——临界的那一“刻”和重叠部分的形状。

真题 01 · 2024年天津卷第24题

题干将一个平行四边形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，O(0,0)，A(3,0)，B、C 在第一象限，且 OC = 2，∠AOC = 60°。（1）填空：点 C 的坐标为 ______，点 B 的坐标为 ______；（2）若 P 为 x 轴的正半轴上一动点，过点 P 作直线 l⊥x 轴，沿直线 l 折叠该纸片，折叠后点 O 的对应点 O′ 落在 x 轴的正半轴上，点 C 的对应点为 C′。设 OP = t。① 若直线 l 与边 CB 相交于点 Q，当折叠后四边形 PO′C′Q 与 ▱OABC 重叠部分为五边形时，O′C′ 与 AB 相交于点 E，试用含 t 的式子表示线段 BE 的长，并直接写出 t 的取值范围；② 设折叠后重叠部分的面积为 S，当 2/3 ≤ t ≤ 11/4 时，求 S 的取值范围。

1

先算点用 OC = 2、∠AOC = 60°：C(1, √3)；平行四边形对边相等，OA = CB = 3 → B(4, √3)。

2

翻译折叠折痕 x = t 是对称轴 → O 落在 O′(2t, 0)，C 落在 C′(2t−1, √3)，且 ∠OO′C′ = ∠AOC = 60°。

3

读临界、定线段E 是 O′C′ 与 AB 的交点，E 恰好落在 AB 上 ⟺3/2 < t < 5/2；此时 AE = 2t − 3，AB = 2，故BE = 5 − 2t。

答案BE = 5 − 2t（3/2 < t < 5/2）② 2√3/9 ≤ S ≤ 5√3/4

这道题最容易被忽略的一点① 的 t 范围不是“猜”的：当 t ≤ 3/2 时 E 还在 AB 的延长线上、当 t ≥ 5/2 时 E 已经越过 B——只有 3/2 < t < 5/2 这一段，重叠部分才是五边形。临界时刻从来都是“某点落到某条边上”的那一刻。

真题 02 · 2025年天津卷第24题

题干在平面直角坐标系中，O 为原点，等边 △ABC 的顶点 A(0,2)、B(0,−1)，点 C 在第一象限；等边 △EOF 的顶点 E(−√3, 0)，顶点 F 在第二象限。（Ⅰ）填空：点 F 的坐标为 ______，点 C 的坐标为 ______；（Ⅱ）将等边 △EOF 沿水平方向向右平移，得到等边 △E′O′F′，点 E、O、F 的对应点分别为 E′、O′、F′。设 OO′ = t。① 若边 E′F′ 与边 AB 相交于点 G，当 △E′O′F′ 与 △ABC 重叠部分为四边形 OO′F′G 时，试用含 t 的式子表示线段 GA 的长，并直接写出 t 的取值范围；② 设平移后重叠部分的面积为 S，当 3√3/4 ≤ t ≤ 3√3/2 时，求 S 的取值范围。

1

先算点AB = 3，△ABC 等边 → 高 = 3√3/2，得 C(3√3/2, 1/2)；OE = √3，△EOF 等边且 F 在第二象限 → F(−√3/2, 3/2)。

2

翻译平移整体右移 t，形状不变 → O′(t, 0)、E′(t−√3, 0)、F′(t−√3/2, 3/2)。

3

读临界、定线段G 是 E′F′ 与 AB（即 y 轴）的交点，解直角三角形得G(0, 3 − √3t)；故GA = 2 − (3 − √3t) = √3t − 1，条件是√3/2 < t < √3。

答案GA = √3t − 1（√3/2 < t < √3）② 9√3/16 ≤ S ≤ 3√3/4

这道题最值得讲的一步② 里 S 在给定区间上先增后减：当 t = √3 时，E′ 与 O 重合，重叠部分恰好是整个正三角形，此时 S 最大 = 3√3/4；两端取到最小 = 9√3/16。 “重叠部分是三角形还是四边形/五边形”，会直接换掉面积公式——这就是必须先画图、再分类的原因。

真题 03 · 2026年天津卷第24题

题干将一个四边形纸片 OABC 放置在平面直角坐标系中，O 为原点，点 B 在 x 轴的正半轴上，点 A、C 分别在第一、第四象限，且关于 x 轴对称，OA = 6，∠A = 90°，∠AOC = 120°。（1）填空：点 B 的坐标为 ______，点 C 的坐标为 ______；（2）若 P 为 x 轴的正半轴上一动点，过点 P 作直线 l⊥x 轴，沿直线 l 折叠该纸片，折叠后点 O 的对应点 O′ 落在 x 轴的正半轴上。设 OP = t。① 若直线 l 分别与边 AB、CB 相交于点 D、E，当折叠后重叠部分为五边形时，点 A、C 的对应点分别为 A′、C′，A′O′ 与 DB 相交于点 F，C′O′ 与 EB 相交于点 G，试用含 t 的式子表示线段 DF 的长，并直接写出 t 的取值范围；② 设折叠后重叠部分的面积为 S，当 2 ≤ t ≤ 8 时，求 S 的取值范围。

1

先算点A、C 关于 x 轴对称且 ∠AOC = 120° → ∠AOB = 60°；在 Rt△AOB 中 ∠ABO = 30°，OA = 6 →OB = 2OA = 12，AB = √3·OA = 6√3 → B(12, 0)、C(3, −3√3)。

2

翻译折叠折痕 x = t 为对称轴 → O′(2t, 0)、A′(2t−3, 3√3)、C′(2t−3, −3√3)；由于 O′A′ = OA = 6、∠A′O′B = 60°，△A′O′B 是底角 30° 的等腰三角形。

3

读临界、定线段O′B = 12 − 2t，所以 O′F = O′B = 12 − 2t，A′F = 6 − (12 − 2t) = 2t − 6；∠A′FD = 30° →DF = (2t − 6) ÷ cos30° = (4√3/3)(t − 3)，条件是3 < t < 6。

答案DF = (4√3/3)(t − 3)（3 < t < 6）② 4√3 ≤ S ≤ 72√3/5

这道题的“高光一步”② 里不要硬啃重叠五边形的面积，用“整体减部分”：把 S 拆成 S△BDE 减去左右两块小三角形，直接得到 S = −(5√3/3)t² + 16√3t − 24√3，配方得 S = −(5√3/3)(t − 24/5)² + 72√3/5，最大值在 t = 24/5 处取得。

通用工具

03图形法五步：第24题的通用打法

三年三道题，看上去一个考平行四边形、一个考等边三角形、一个考轴对称四边形，其实走的是同一条路。把下面五步练成肌肉记忆，考场上第24题就不再是“看运气”。

1

先画图，把已知点标上第(1)问就是干这个的：用边长、角度、对称性把每个顶点坐标算清楚。图画准了，后面全是“看图说话”。

2

翻译“变换”折叠 = 对称：折痕 x = t 两侧的点横坐标“关于 t 对称”，即 x → 2t − x，纵坐标不变；平移 = 整体加 t：(x, y) → (x + t, y)。先把所有关键点的新坐标写出来。

3

找临界时刻折痕（或平移）扫过顶点的那一瞬间，重叠部分的形状就会变。“某点恰好落到某条边上 / 恰好与某点重合”就是分界点，t 的取值范围由此确定。

4

画重叠部分把“折叠后图形 ∩ 原图形”画出来，先判断它是三角形、四边形还是五边形——形状一变，面积公式就换。

5

转化成函数求面积用“整体减部分”或割补把 S 化成 t 的一次/二次函数，标出定义域，再看顶点与端点，写取值范围。

再补一条“手感”：三年答案全带 √3。一看到 30°、45°、60°、120°，立刻把 1 : √3 : 2、1 : 1 : √2 换成边长，题目就变成了“算加减法”。

04三年规律：命题人其实很“守规矩”

1. 三问结构雷打不动
   ：求坐标 → 含 t 的线段（配 t 范围）→ 重叠面积 S。三年零例外，这是天津卷的“模板”。
2. “动”的方式只有两种
   ：折叠（沿垂直于 x 轴的直线对称）与平移（沿水平方向）。折叠出现 2 次，说明它是主力。
3. 临界时刻一定有，而且一定能算
   ：临界点永远是“某点落到某条边上”，落在 3/2 < t < 5/2、√3/2 < t < √3、3 < t < 6 这样的干净区间里。
4. 重叠部分的形状会“升级”
   ：三角形 → 四边形 → 五边形，随着 t 增大形状变复杂，面积公式随之切换。这就是分类讨论的来源。
5. 分段后至少有一段是二次函数
   ，最值或出现在顶点、或出现在区间端点，两种情况都要检查。
6. 数据刻意取整、易算
   （3、2、√3、6、12、5、7），不为难计算，只为难“想不想得到画图”。
7. 答案全是“漂亮的根式分数”
   （5√3/4、9√3/16、72√3/5），如果算出很丑的数字，多半是哪一步的角或边代错了。
8. 几何性质是“钥匙”
   ：平行四边形对边相等、等边三角形三线合一、30° 直角三角形斜边是短直角边 2 倍——这些是第(1)问的全部。
9. “整体减部分”是面积题的万能式
   ，2026 的第③问就是靠它一步到位的。
10. 一图多考
    ：同一幅图既能读线段、又能读面积、还能读取值范围——这就是图形法能一次通关的原因。

052027年预测与备考建议

预测一：载体仍会是“有对称性的规则图形”

2024 平行四边形 → 2025 两个等边三角形 → 2026 轴对称四边形。命题组偏爱能直接用勾股/特殊角算出坐标的图形：平行四边形、矩形、菱形、等边三角形、正六边形都在范围里。

预测二：“折叠 + 重叠面积”仍是主旋律

三年里折叠出现两次。折叠天然带来“对称 + 长度不变 + 角不变”，能与分类讨论、二次函数最值完美结合，是命题人最顺手的一支笔。平移大概率继续以“轮换”“变式”的身份出现。

预测三：可能出现的新变化（提前准备）

• 旋转型
  ：绕某个定点旋转，重叠部分随之变化——多一步“定旋转角”，其余套路不变；
• 面积比／面积差型
  ：不问 S 的范围，而问“两块的面积之比”或“面积之差最大”；
• 存在性判断
  ：是否存在 t 使重叠部分为等腰三角形／直角三角形／为原图形的一半；
• 分段边界变多
  ：图形复杂后，段数可能从 2~3 段升到 3~4 段，但每一段仍是“画图 + 写式”。

给学生的三句话

1. 第24题不靠“算”，靠“画”。
   先把图画准、把点标全，答案往往自己就浮出来了。
2. 动点题的第一个动作永远是“画图 + 找临界”。
   折痕扫过哪个顶点、覆盖到什么形状，写下来，分类讨论就有了骨架。
3. 看到“面积”就写函数，看到“取值范围”就看顶点和端点。
   二次函数配方，是第24题最后 2 分的标准答案。

给家长的最后一句话第24题是整张卷子里最“划算”的一道难题：它题型固定、解法固定、连出现的年份都固定。孩子需要的不是刷十套卷子，而是把这一道题的“五个动作”练熟——先画图、翻译变换、找临界、画重叠、写函数。把下面三段动画让孩子看一遍，比讲十遍“注意分类讨论”都管用。

考试策略：给第24题设一条止损线

训练时把第24题控制在 10~12 分钟：(1) 和 (2)① 用 5 分钟拿下（这是必得分），(2)② 最多再给 7 分钟；若 12 分钟仍未理清分段，先把能写的式子、能画的图写上（过程分照给），再去检查前面的题。 第24题是“性价比题”，不是“必争题”——会做的拿满，卡住的先拿过程分。

一道大题，三年一个套路把“图形法五步”练成肌肉记忆

画准图 · 译变换 · 找临界 · 画重叠 · 写函数

本文真题来自 2024—2026 年天津市初中学业水平考试数学试卷（天津卷），解析与动画为教学整理，供天津考生备考参考，请以官方教材与考试说明为准。

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