初高中数学建模·第16期|AHP赋权与决策临界点

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第15期，我们用加权评分合成多项指标。本期继续追问：权重怎样定，结论又有多稳？

湿地观察小组准备买一台便携溶解氧检测仪。A比较均衡，B便宜轻巧，C读数波动小、续航长，却也更贵更重。意见分歧，怎样变成一套可以复算、质疑和修改的选择规则？

一、先把选择问题写清楚

先定目标：在适合本次湿地观察的候选中，选择综合表现更好的仪器。把不能妥协的要求放在前面：量程适用、满足活动安全要求、购置价格不超过1500元。假设A、B、C都通过了这一步。若不合格，再高的总分也不能让它入选。

接下来只比较四项表现。用s表示重复读数的样本标准差，单位mg/L，越小越好；p为价格，单位元，越小越好；h为续航时间，单位小时，越大越好；m为含电池质量，单位克，越小越好。后文把四项简称为稳定性、价格、续航、便携。

下表全部是教学模拟数据，不对应真实品牌。s设定为同一操作条件下，对同一水样短时间连续测10次得到的读数标准差；续航采用相同工作模式，质量都包含电池。我们直接从这些汇总指标开始建模，不把它们当成已经完成的实测调查。

读数集中不等于测得准确：仪器可能每次都稳定地读偏。本例假设候选已接受相同的校准和基本适用性检查，仅把短时重复读数的离散程度作为这一项评价依据，不能据此判断所有水样、所有环境下的测量性能。[4]

记可行候选集合为F。本期的模型分两步：用AHP整理重要性判断、求出权重，再用加权评分比较F中的方案。完整AHP还可以逐层比较方案；这里使用的是“AHP赋权＋加权评分”。

二、把不同单位变成同向得分

不能直接把0.10、1000、8、220相加。令xᵢⱼ表示第i款仪器的第j项原值，zᵢⱼ表示处理后的得分。对每一列单独取最大值和最小值，用极差标准化把它们变成0到1之间、越大越好的数。

四列极差依次为0.07mg/L、540元、7小时、150克。分子和分母单位相同，相除后得分没有单位。按同一规则逐格处理，得到下面的表；保留分数能避免中途舍入。

A续航得0，只表示它在当前三款中续航最短，不表示它没有续航能力。若某列三款完全相同，极差为0，就不能照抄这个公式，应把该列视为本轮无法区分方案的指标，另行处理并说明。

这里还包含一个建模假设：在当前取值范围内，每改善相同的原始量，得分增加相同。例如价格每降低54元，价格得分就增加0.1。若真实需求存在明显的够用门槛，这种直线评分就需要调整。

同样，稳定性得分0.7143不是“准确率71.43%”。它只刻画A在这三款候选的波动范围中处于什么位置；归一化没有凭空增加测量证据。

图1｜原始数据→同向得分：四列各用自己的极差换算，统一为越大越好。

三、用六次比较，把偏好写进矩阵

标准化回答“表现怎样”，权重回答“我们有多在意”。AHP把一次同时考虑四项的困难，拆成六组两两比较：稳定性与价格谁更重要？价格与续航呢？比较的是本次任务中的重要性，不是把mg/L与元相除。[1]

常用1—9标度中，1表示同等重要，3、5、7、9分别表达逐渐增强的偏向，2、4、6、8用于中间程度；反向比较取倒数。例如稳定性相对便携填3，便携相对稳定性就填1/3。[1]

假设小组认为稳定性与价格同等重要，两者相对续航都取2；稳定性相对便携取3，价格相对便携取2，续航相对便携取2。按“行指标相对列指标的重要性”填入判断矩阵M。

矩阵对角线都是1，上下对应位置互为倒数，所以四项指标只需独立填写4×3÷2＝6个判断。这些值是一组新的教学判断，并非从仪器数据或上一期的权重自动推出来。

真实讨论要保留理由。例如，小组关注小幅水质变化，所以重视重复读数；路线较短，可以接受稍重的设备。若换成长距离徒步，便携的重要性可能上升。把分歧写出来，才知道以后该改哪一处。

图2｜目标—指标—方案层次与完整判断矩阵。每个数字都对应一组有方向的比较。

四、从每行的几何平均数算出权重

本例用行几何平均法得到近似权重：每行四个数相乘，开四次方，再除以四行结果之和。开四次方，就是找一个正数，让它连乘四次得到原来的乘积。

这种方法处理的是成对判断的比例关系。它有独立的方法依据，与AHP常用的主特征向量法并不相同；判断不完全一致时，两组权重可能略有差别。[2]

四个g相加约为4.357480。以稳定性为例，⁴√6÷4.357480≈0.359172，即35.92%。其余依次为32.45%、19.30%、12.33%。后续计算始终使用未舍入的权重，表格和动画才显示近似值。

一个值得停下来的细节：稳定性与价格直接比较填了1，最后权重为什么不同？因为它们相对便携分别填了3和2。计算汇总了整张表，也把这些判断之间的不协调带进了结果。

还要把权重放回评分范围理解：本模型中，稳定性得分从0提高到1，综合分增加约0.3592；价格得分从0提高到1，增加约0.3245。因此讨论权重时应同时查看实际范围，确认这些跨幅的取舍是否符合小组需求，不能把百分比当成脱离数据的固定常数。

图3（动画）｜逐行亮起：判断矩阵→行内相乘→开四次方→除以总和→权重。

五、一致性检验，究竟检查什么

完全一致的比较应满足传递关系。例如稳定性与价格同等重要，价格相对便携取2，那么稳定性相对便携也应取2。现在填了3，说明存在偏差；我们需要衡量整张表的偏差是否过大。

设矩阵的最大特征值为λmax。它可以理解为从整张比例表中提取的一个整体量：完全一致的四阶矩阵有λmax＝4；对本例这种正数、互为倒数的判断矩阵，不完全一致时λmax会高于4。初学者可以交给计算工具求这个量，先掌握后面的检验。

n是指标个数。本例n＝4，采用Saaty原著随机一致性参考表的RI＝0.90。RI来自随机判断矩阵的模拟参照；常用CR≤0.10作为可接受的经验规则。[3]

权重采用行几何平均法；本节检验则使用判断矩阵的最大特征值。两步计算口径不同：前者得到用于评分的四个权重，后者检查整张比较表的协调程度。

CR约0.017，表示这组判断的内部冲突较小。它不是“出错概率1.7%”，更不意味着小组的偏好必然合理。若未通过，应回看冲突的成对判断与理由，而不是为了过线随意改数。

图4｜局部看三角关系，整体算CI与CR；一致性通过仍需要现实依据。

六、综合分怎样形成，优势怎样补偿劣势

把每一项同向得分乘以权重，再相加。若zᵢ₁至zᵢ₄依次表示四项得分，第i款仪器的综合分就是：

在当前假设下，C＞A＞B。C凭稳定性与续航两项获得约0.552150分；A在价格和便携上获得的分数，还不足以抵消这两项差距。下方的分项贡献图让结论有了可以逐项追问的来源。

这叫线性补偿：一项较弱，可以用另一项的优势弥补；在同一指标上，增加0.1得分带来的总分增量恒为0.1乘以该项权重。这里没有额外的门槛、交互或“短板一票否决”。

因此，安全与基本适用性必须提前作为约束。若某款达不到必须的测量要求，就不能靠便宜获得补偿。若续航超过某时长已无明显收益，也应重新设计评分函数，不能认为时间越长就永远等比例加分。

图5｜四种颜色累加为综合分：看清每款仪器凭什么得分，也看清补偿发生在哪里。

七、让价格权重连续变化，找出临界点

C第一，结论稳吗？不用只试“调高一点”，我们让价格权重成为变量t，取值从0到1。其余三项保持原来的相对比例，总权重仍为1；候选数据和标准化得分不变。

q可以理解为：暂时不看价格，只在其余三项中按原偏好评分。算得q_A≈0.489350，q_B≈0.264176，q_C≈0.817453。再代入价格得分5/9、1、0，就得到三条关于t的直线。

三条得分直线（显示到6位小数）

两两令得分相等，求交点

以B与C为例，令0.264176＋0.735824t＝0.817453−0.817453t，移项并相除，得到t约0.356200。交点处B与C均约0.526276，A约0.512933，确实低于它们。计算用完整精度，以上短小数只供阅读。

记精确临界值为t*，约为0.356200。于是0≤t＜t*时C最优；t＝t*时B、C并列；t*＜t≤1时B最优。A虽然有两次交点，却从未成为第一：交点表示两个方案相等，还要看第三个是否更高。

原价格权重约32.4549%，离最优方案切换点只差约3.1651个百分点。这比“C比A高0.0413分”更能提示讨论方向：小组是否可能把价格的重要性再提高这么多？如果会，采购结论就不够稳健。

这只是固定其他三项比例的一条变化路径，不是重新填写AHP矩阵，也没有重新做一致性检验。若三项之间的偏好也改变，或者数据发生变化，应建立新的分析情景，不能沿用这个临界值。

两个端点还能帮助验算：t＝0时，只比较非价格表现，得分应回到q；t＝1时，只比较价格得分，B为1、A为5/9、C为0。即使t＝0，前面的1500元预算约束仍然有效，权重和资格门槛承担着不同作用。

图6（动画）｜价格权重滑动，三条得分线与排名同步变化；关注35.62%的最优方案切换点。

八、动手计算，检查结论边界

练习：把价格权重设为40%，其余三项仍按原比例缩放。先预测谁会胜出，再算三款综合分；最后解释为什么不能只把原总分中的价格项替换掉，而保持其他项不变。

核对：新权重约为31.91%、40.00%、17.14%、10.95%，总和仍为100%。把t＝0.40代入三条直线，得A≈0.515832，B≈0.558506，C≈0.490472，排序B＞A＞C。若只提高价格项而不缩放其余权重，总权重将超过1，分析的就不是前面定义的同一个模型。

继续想一步：A的价格得分约0.555556，高于它不含价格的得分q_A≈0.489350，所以价格权重提高时A也会涨分；只是B涨得更快。这说明“分数提高”与“名次提高”不能画等号。

提交结论时至少带上三件东西：数据与判断来自哪里，哪些要求被设为硬约束，在哪些权重范围内推荐结果不变。若增加新候选，逐列最大最小值可能变化，所有标准化得分都要重新检查；若读数差异接近测试误差，还应补测，而不是用更多小数伪装确定。

本例能支持的结论是：在这三款教学候选、四项指标及所设偏好下，初始推荐C；沿指定的价格权重变化路径，超过约35.62%则推荐B。下一期进入熵权法，换一个问题研究：当权重从数据差异中产生，它又在表达什么？

启思数模｜把现实问题，一步步做成数学模型。

参考资料

[1] Saaty, T. L. (2008). Decision making with the analytic hierarchy process. International Journal of Services Sciences, 1(1), 83–98.DOI：10.1504/IJSSCI.2008.017590

[2] Crawford, G., & Williams, C. (1985). A note on the analysis of subjective judgment matrices. Journal of Mathematical Psychology, 29(4), 387–405.DOI：10.1016/0022-2496(85)90002-1

[3] Saaty, T. L. (1980). The Analytic Hierarchy Process. McGraw-Hill, pp. 20–21.

[4] JCGM 200:2012，国际计量学词汇VIM，2.15测量精密度、2.20重复性条件。来源：https://jcgm.bipm.org/vim/en/2.15.html

https://jcgm.bipm.org/vim/en/2.20.html