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【小学数学模型】19|行程基础模型一个公式,打通四类行程题
数学模型 · 小学数学 · 第 19 篇
19｜行程基础模型
一个公式，打通四类行程题
一、开门见山：这节课解决什么问题
同学们，行程问题是小升初应用题的「第一大帮派」——相遇、追及、流水行船、火车过桥，全都从同一个公式长出来：路程 = 速度 × 时间。这节课我们先不碰那些花哨的，只解决最基础的一类：单一对象匀速运动，求路程、速度或时间。地基打牢了，后面所有行程难题都只是它的组合。学完这节课，你要做到：看到 s、v、t 任意给两个，三秒内写出第三个。
二、知识清单：先把地基打牢
●乘除法互逆：知道「积 ÷ 一个因数 = 另一个因数」，这是由 s=vt 推出 v=s÷t、t=s÷v 的依据。
●速度的含义：速度是「单位时间走的路程」，如每小时 60 千米、每分钟 80 米，读懂速度单位就读懂了题。
●单位换算：1 千米 = 1000 米，1 小时 = 60 分钟，1 分钟 = 60 秒；千米/小时 与 米/秒 之间差了 3.6 倍。
●画线段图的习惯：一条线段代表全程，标上速度与时间，图一画，数量关系一目了然。
●小数乘除法：行程题常出现 2.5 小时、4.5 千米/时这类小数，计算要稳。
三、概念讲透：这个模型到底在说什么
行程三量关系只有一句话：路程 = 速度 × 时间。速度告诉你「每个单位时间走多远」，时间是「走了几个单位」，乘起来自然就是总路程。它的两个变体同样朴素：速度 = 路程 ÷ 时间（总路程平摊到每个单位时间），时间 = 路程 ÷ 速度（看路程里包含几个「单位时间的路程」）。三个量构成一个「知二求一」的封闭三角形，这就是全部理论。
为什么强调「画线段图」？因为行程问题的错误十有八九不是算错，而是关系想错。画一条线段代表全程，左端写起点、右端写终点，上方标速度、下方标时间，题目问什么就盯什么。比如「回声问题」：声音 4 秒走的路程是「去山崖再回来」的往返，在线段图上就是两段全程，所以求距离要除以 2——不画图，这个 2 极易漏掉。
什么时候用这个模型？只要题干是「一个运动物体、速度不变」，求路程、速度、时间中的任意一个，直接调用。要和它区分的是两类「升级款」：① 两个对象的相遇、追及问题——那是用「速度和／速度差」替代单一速度；② 流水行船——那是先把船速水速合成了再套公式。它们的内核都是 s=vt，但套用前先要把「等效速度」处理出来。另外牢记一个警告：往返平均速度 ≠ 两速度的平均值，平均速度永远用「总路程 ÷ 总时间」算。
四、核心公式（每个字母都要认识）
●s（路程）：物体运动路径的总长度，常用单位：千米、米。
●v（速度）：单位时间走的路程，常用单位：千米/时、米/分、米/秒。
●t（时间）：运动持续的时长，常用单位：小时、分钟、秒。
●常见变形：v=st，t=sv；三个量知二求一。
●取值提醒：速度、时间都必须为正；计算前先把单位统一（如把「分钟」换成「小时」，或把「千米」换成「米」），单位统一是列式的前提。
五、图形长什么样
模型结构示意图
读题 → 确认「一个对象 + 速度不变」
↓
画线段图：一条线 = 全程，标 v、t
↓
列出已知量：s / v / t 给了哪两个？
├─ 给 v、t 求 s → s = v × t
├─ 给 s、t 求 v → v = s ÷ t
└─ 给 s、v 求 t → t = s ÷ v
↓
特殊结构先处理：
├─ 回声／往返 → 路程是距离 × 2
├─ 相向而行 → 用速度和（升级款）
├─ 同向追及 → 用速度差（升级款）
└─ 顺水逆水 → 先合成船速水速（升级款）
↓
检查单位：时/分/秒、千米/米是否统一 → 作答
六、标准解题流程
第一步：确定运动主体是单一对象匀速运动。
批注 先数题里有几个「人／车／船」，只有一个才直接套基础公式；有两个就要考虑速度和或速度差。
第二步：列出已知量（s / v / t 三者之二）。
批注 把三个字母写在草稿纸上，题目给什么就在下面填什么，空着的那个就是目标，这一步能防止「条件和问题对不上」。
第三步：代入 s=vt 求第三个量。
批注 求路程用乘，求速度、时间用除。列完式子先估算一下数量级——汽车 3 小时跑 20 千米显然不对，立刻回头查。
第四步：检查单位是否统一（时/分/秒、千米/米）。
批注 「每小时 60 千米，走了 30 分钟」不能直接乘！先把 30 分钟化成 0.5 小时再乘。单位不统一是行程基础题的第一大失分点。
七、例题精讲：从基础到变式
例1（基础）
题目
一辆汽车以每小时 60 千米的速度行驶 2.5 小时，行驶了多少千米？
审题关键
圈「每小时 60 千米」（v）和「2.5 小时」（t），求路程——三者中给 v、t 求 s，用乘法。
规范解答
s=v×t=60×2.5=150（千米）
方法提炼
给速度和时间求路程，直接乘。60×2.5 可以拆成 60×2+60×0.5=120+30，口算就能拿下。
例2（变式）
题目
（变式）小明家到学校 1200 米，他步行每分钟 80 米，需要多少分钟？
审题关键
圈「1200 米」（s）和「每分钟 80 米」（v），求的是时间——给 s、v 求 t，改用除法。注意单位是「米」和「米/分」，天然统一，不用换算。
规范解答
t=sv=1200÷80=15（分钟）
方法提炼
变在「由求路程变成求时间」，方法迁移只有一句话——三量知二求一，缺哪个就用对应的变形公式。顺手记一个口算技巧：1200÷80 同时去掉一个 0，变 120÷8=15。
八、小升初常考题型精讲
题型一：直接套用（知二求一）
题目
汽车每小时行 75 千米，行 225 千米需要几小时？（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
审题关键
给 v=75、s=225，求 t，用 t=s÷v。
规范解答
t=225÷75=3（小时）。
方法提炼
225÷75 可以想「75 的几倍是 225」：75×3=225，凑整比硬除快。
题型二：回声问题（往返结构）
题目
声音在空气中每秒传播 340 米，小明对着远处山崖喊了一声，4 秒后听到回声，他与山崖相距 ____ 米。
审题关键
「听到回声」四个字是题眼——声音走了「去 + 回」两段，4 秒对应的是往返路程，不是单程。
规范解答
声音往返共走 340×4=1360（米），单程距离 =1360÷2=680（米）。
方法提炼
凡是「回声」「往返一次」「来回」都要在单程与全程之间做一次「×2 或 ÷2」。画线段图标出「去」和「回」两截，就不会漏。
题型三：相向而行（速度和先合成）
题目
甲、乙两车从相距 400 千米的两地同时出发相向而行，甲车每小时行 45 千米、乙车每小时行 55 千米，____ 小时后相遇。（ ）
A．4 小时 B．5 小时 C．8 小时 D．10 小时
审题关键
两个对象、相向而行——先把两个速度合成「速度和」，再按基础模型用 t=s÷v。
规范解答
速度和 =45+55=100（千米/时），相遇时间 =400÷100=4（小时）。
方法提炼
相遇问题的内核仍是 s=vt，只是把 v 换成了「速度和」。这一步「先合成后代入」是所有双人行程题的通用入口。
题型四：同向追及（速度差先合成）
题目
弟弟每分钟走 150 米，先出发 10 分钟；哥哥骑车每分钟行 200 米去追，____ 分钟后追上。
审题关键
「先出发 10 分钟」制造了初始路程差，「追」字提示用速度差。
规范解答
路程差 =150×10=1500（米），速度差 =200−150=50（米/分），追及时间 =1500÷50=30（分钟）。
方法提炼
先用基础公式 s=vt 算出「先走的那段」，再用「路程差 ÷ 速度差」。基础模型在这里被用了两次，可见它确实是万题之源。
题型五：顺水航行（速度先合成）
题目
一艘船在静水中的速度为每小时 20 千米，水流速度为每小时 4 千米，它顺水航行 3 小时行了多少千米？（ ）
A．60 千米 B．64 千米 C．72 千米 D．80 千米
审题关键
「顺水」意味着水在推船，实际速度 = 船速 + 水速，别拿 20 直接乘 3。
规范解答
顺水速度 =20+4=24（千米/时），路程 =24×3=72（千米）。
方法提炼
选项 A（20×3=60）就是忘了加水速的陷阱。流水行船先把速度合成，剩下的还是 s=vt。
九、真题再现：经典考题拆解
题目
（经典考题）一辆货车从甲地开往乙地，每小时行 48 千米，行了 3 小时后，离乙地还有 56 千米。甲、乙两地相距多少千米？
规范解答
已行路程 =48×3=144（千米）
全程 =144+56=200（千米）
方法提炼
「行了一段 + 还剩一段 = 全程」是线段图上最典型的结构，先算已行的，再补上剩余的，两步完成。
题目
（改编自常见考题）小明骑自行车从家出发，去时每小时行 12 千米，用了 2 小时到达外婆家；沿原路返回时每小时行 8 千米。他往返的平均速度是多少？
规范解答
单程路程 =12×2=24（千米）
返回时间 =24÷8=3（小时）
平均速度 =总路程÷总时间=24×2÷(2+3)=48÷5=9.6（千米/时）
方法提炼
平均速度不是 (12+8)÷2=10！往返全程 ÷ 往返总时间，这是铁律，谁平均谁掉坑。
十、易错点与避坑指南
✗ 常见错误「每小时 60 千米，行 30 分钟」直接 60×30。 →
✓ 正确做法单位不统一先换算，30 分钟 = 0.5 小时，60×0.5=30（千米）；千米/时 与 米/分 混用同样先化一致。
✗ 常见错误往返平均速度 = 两速度相加 ÷ 2。 →
✓ 正确做法平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，去程回程的时间一般不相等，不能直接平均速度。
✗ 常见错误回声问题忘了除以 2。 →
✓ 正确做法声音、灯光、人跑步「往返」类，先算的是双程路程，求单程必须 ÷2。
✗ 常见错误不画线段图，凭感觉列式。 →
✓ 正确做法一条线段标全程，速度写上边、时间写下边，已行的、剩下的分段涂色，关系立刻清楚。
十一、考场口诀与一句话总结
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