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专题 3.2 行程问题
【典例1】甲、乙两地相距72km，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以v km/h、
1
v km/h的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了2h，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此
2
时洒水车也恰好到达乙地．
（1）v =______，v =______；
1 2
（2）求出发多长时间后，两车相遇？
（3）求出发多长时间后，两车相距30km？
【思路点拨】
（1）根据路程除以时间即可求得速度；
（2）根据两车的路程和为甲、乙两地距离的2倍建立一元一次方程，解方程求解即可；
（3）设出发t小时后两车相距30km，分情况讨论：①在工程车还未到达乙地,即当0＜t＜2时, ②在工程车
在乙地停留，即当2≤t≤4时，③在工程车返回甲地的途中，即当4＜t≤6时，分相遇前后相距30km，根据题
意建立一元一次方程，解方程求解即可．
【解题过程】
72×2
解：（1）由题意得：v = =36(km/h)
1 12−6−2
72
v = =12(km/h)
2 12−6
故答案为：36,12；
（2）设出发x小时后两车相遇，
根据题意得：36(x－2)＋12x＝72×2,
9
解得x=
2
9
答：出发 小时后两车相遇；
2
（3）设出发t小时后两车相距30km，
①在工程车还未到达乙地，即当0＜t＜2时，5
36t-12t=30,解得t= ，
4
②在工程车在乙地停留，即当2≤t≤4时，
7
12t＋30＝72,解得t＝ ，
2
③在工程车返回甲地的途中,即当4＜t≤6时，
相遇前，36(t-2)＋12t+30=72×2，
31
解得t= （舍）
8
相遇后，36(t-2)＋12t-30=72×2，
41
解得t=
8
5 7 41
答：出发 ， ， 小时，两车相距30km.
4 2 8
1．（2022·全国·七年级）桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥
共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．
2．（2022·全国·七年级专题练习）数学课上，小明和小颖对一道应用题进行了合作探究：一列火车匀速行
驶，经过一条长为1000米的隧道需要50秒，整列火车完全在隧道里的时间是30秒，求火车的长度．
（1）请补全小明的探究过程：设火车的长度为x米，则从车头进入隧道到车尾离开隧道所走的路程为
1000+x
（1000+x）米，所以这段时间内火车的平均速度为 米/秒；由题意，火车的平均速度还可以表示为
50
米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程 ，解方程后可得火车的长度为 米．
（2）小颖认为：也可以通过设火车的平均速度为v米/秒，列出方程解决问题．请按小颖的思路完成探究
过程．3．（2022·全国·七年级专题练习）在一条河中有甲、乙两船，现同时从A顺流而下，乙船到B地时接到通
知要立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流而行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5千米/小时，
水流速度是2.5千米/小时，A、C两地间的距离为10千米，如果乙船由A经B再到C共用4小时，问乙船
从B到C时，甲船驶离B地多远？
4．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）A、B两地相距360km，一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从A
地出发驶往B地，已知货车的速度为60km/h，小轿车的速度为90km/h，货车先出发1h后小轿车再出发，
小轿车到达B地后在原地等货车．
（1）求小轿车出发多长时间追上货车？
（2）当两车相距50km时，求小轿车行驶的时间？
5．（2022·河北·平山县教育局教研室七年级期末）某中学学生步行到郊外旅行．七年级（1）班学生组成
前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才
出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．
（1）后队追上前队需要多长时间？
（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？
（3）两队何时相距2千米？6．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）某学校组织学生去香炉山春游，某班学生分别乘
大、小两辆车去看炉山，早晨6点钟从学校出发，计划2小时到达．
(1)若大车速度为80km/h，正好可以在规定时间到达，而小车速度为100km/h，如果两车同时到达，那么小
车可以晚出发多少分钟？
(2)若小车每小时能比大车多行30千米，且大车在规定时间到达，小车要提前30分钟到达，求大小车速
度．
(3)若小车与大车同时以相同速度出发，但走了20分钟以后，发现有物品遗忘，小车准备提速返回取物品
并按此速度直到到达，若小车仍想与大车同时在规定时间到达，应提速到原来的多少倍？
7．（2022·山东省枣庄市第四十一中学七年级阶段练习）数轴是我们进入七年级后研究的一个很重要的数
学工具，它让数变得形象，也让数轴上的点变得具体，借助数轴可以轻松的解决一些实际问题：已知数轴
上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a，b满足|4b+12|+|a−5|=0．
(1)直接写出a、b的值；
(2)P从B出发，以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动5秒，求此时P点表示的数及P点与A点之间的
距离；
(3)应用：小华家，小明家，学校在一条东西的大街上，小华家在学校的东面距学校500米，小明家在学校
的西面距学校300米．
①以学校为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示100米，小华家为A点，小明家为B点，在
数轴上表示出小华家和小明家的位置；
②周末小明自西向东，小华自东向西出去玩，他们每分钟都走50米，问__________分钟后两人相距100
米？此时小明在数轴上的位置对应的数为____________．8．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，AO∥BC得到一条
“折线数轴”，图中点A表示－20，点B表示20，点C表示36，动点M从点A出发，以2个单位/秒的速
度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同
时，动点N从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动从点B运动到点O期间的速
度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．
(1)填空：点A和点C在数轴上相距 个单位长度；
(2)当t为何值时，点M与点N相遇？
(3)当t为何值时，M、O两点在数轴上相距的长度与N、B两点在数轴上相距的长度相等．
9．（2022·广东·江门市第二中学七年级开学考试）如图，城乡公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有
A，B，C三个站点，已知相邻两站之间的距离分别为AB=8千米，BC=4千米，且每个站点的停靠时间为
4分钟．已知甲、乙两车于上午8：00分别从A站，C站出发相向而行，两车的速度均为30千米/小时，设
两车出发t小时后，问：
（1）甲、乙两车到达B站分别用时多少？
（2）求两车相遇的时刻．
（3）当两车相距4千米时，求t的值．
10．（2022·全国·七年级专题练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到原点的距离是5，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的6倍．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)动点M、N分别从点A、B的位置同时出发，在数轴上做无折返的运动．已知动点M的运动速度是2个
单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒．
①若点M和点N相向而行，经过几秒，点M与点N相遇？
②若点M和点N都向左运动，经过几秒，点N追上点M？
③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒，点M、N相距15个单位长度？
11．（2022·陕西咸阳·七年级期末）列方程解应用题，已知A，B两地相距60千米，甲骑自行车，乙骑摩
托车都沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地，乙每小时比甲多行30千米.甲比乙早出发3小时，乙出
发1小时后刚好追上甲.
（1）求甲的速度；
（2）问乙出发之后，到达B地之前，何时甲乙两人相距6千米；
18
（3）若丙骑自行车与甲同时出发，沿着这条笔直的公路由B地匀速行驶到A地.经过 小时与乙相遇，求
5
此时甲、丙两人之间距离.
12．（2022·安徽·合肥寿春中学七年级期末）已知：甲、乙两辆车在一条公路上匀速行驶．为了确定汽车
的位置，我们用OX表示这条公路，原点O为零千米路标．并作如下约定：位置为正，表示汽车位于零千米的右侧；位置为负，表示汽车位于零千米的左侧；位置为零，表示汽车位于零千米处．下表给出了部分
时刻以及甲、乙两车在该时刻的对应位置：
(1)根据题意．补全表格：
时间（时） 0 3 5 t
甲车位置
150 ① -150 ②
（km）
乙车位置
③ 70 150 ④
（km）
(2)甲、乙两车能否相遇．如果相遇．求相遇时的时刻及在公路上的位置；如果不能相遇．请说明理由
(3)若忽略车的形状和大小．可将其看做一点．则是否存在这样的 t．使得甲、乙、原点O三点中的一个点
是以其余两点为端点的线段的中点如果存在．请求出t的值；如果不存在．请说明理由．
13．（2022·全国·七年级专题练习）小明有一套火车玩具，有两列火车、一副轨道、一个隧道模型及一个
站牌．特别之处：隧道模型也可以像火车一样移动，当火车头进入隧道一瞬间会响起音乐，当火车完全穿
过隧道的一瞬间音乐会结束．已知甲火车长20厘米，甲乙两列火车的速度均为5厘米/秒，轨道长3米．
（1）将轨道围成一个圆圈，将甲、乙两列火车紧挨站牌放置，车头方向相反，同时启动，到两车相撞用
时24秒，求乙火车的长度？（2）在（1）的条件下，乙火车穿过静止的隧道音乐响起了14秒，求隧道的长度；
（3）在（1）（2）的条件下，轨道铺成一条直线，把隧道模型、甲火车依次放在站牌的右侧，站牌静止
不动，甲火车头与隧道相距10cm(即AD=10cm)．当甲火车向左运动，隧道模型以不变的速度运动，音乐
却响了25秒；当音乐结束的一瞬间，甲火车头A与站牌相距乙火车车身的长度，请同学们思考一下，以站
牌所在地为原点建立数轴，你能确定甲火车、隧道在运动前的位置吗？如果可以，请画出数轴并标出
A，B，C，D运动前的位置．
14．（2022·全国·七年级专题练习）
(1)如图1：正方形ABCD边长为5，点P、点Q在正方形的边上．点P从点A以每秒3个单位长度的速度沿
A→B→C→D→A折线循环运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿C→D→A→B→C折线循环
运动．
设点P运动时间为x秒．
①当x为何值时，点P和点Q第一次相遇．②当x为何值时，点P和点Q第二次相遇．
(2)如图2：是长为6，宽为4的长方形ABCD，点E为边CD的中点，点M从点A以每秒2个单位长度的速
度沿A→B→C→E折线运动，到达点E停止．设点M运动时间为t秒，当三角形AME的面积等于9时，请
求出t的值．
15．（2022·湖北武汉·七年级期末）在武汉市乘坐出租车的收费标准是：路程不超过3千米计费10元；路
程超过3千米但不超过10千米时，超出3千米部分按每千米1.5元计费加上10元；路程超过10千米时，
超出10千米部分按每千米1元计费，3千米到10千米部分按每千米1.5元计费，再加上10元乘坐滴滴专
车的收费标准是：基本费用4元加每千米1.2元．
(1)李老师从家到学校的距离是15千米，如果乘坐出租车，费用是______元；如果乘坐滴滴专车，费用是
______元；
(2)周末外出李老师乘坐出租车和滴滴滴专车各一次，且每次乘车路程大于3千米．
①如果李老师两次乘车路程共计50千米，付费71.3元，那么他乘坐出租车和滴滴专车的路程各是多少千
米？
②如果李老师乘坐出租车的路程超过10千米，他两次乘车的费用共36.1元，且两次乘车的路程都是整数
千米，那么李老师乘坐出租车和滴滴专车的路程各是多少千米？16．（2022·广东茂名·七年级期末）如图，A、B两地相距90千米，从A到B的地形依次为：60千米平直
公路，10千米上坡公路，20千米平直公路．甲从A地开汽车以120千米/小时的速度前往B地，乙从B地
骑摩托车以60千米/小时的速度前往A地，汽车上坡的速度为100千米/小时，摩托车下坡的速度为80千
米/小时，甲、乙两人同时出发．
（1）求甲从A到B地所需要的时间．
（2）求两人出发后经过多少时间相遇？
（3）求甲从A地前往B地的过程中，甲、乙经过多少时间相距10千米？
17．（2022·全国·七年级专题练习）如图，甲、乙两位同学在长方形的场地ABCD上绕着四周跑步，甲沿
着A－D－C－B－A方向循环跑步，同时乙沿着B－C－D－A－B方向循环跑步，AB＝30米，BC＝50米，
若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒．
(1)设经过的时间为t秒，则用含t的代数式表示甲的路程为 米；
(2)当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为多少秒？
(3)若甲改为沿着A－B－C－D－A的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过
多少秒，乙追上甲？(4)小明在探索中发现一个非常有趣的结论：在（3）的条件下，甲乙继续跑步，以后遇的地点每次相遇的
地点都和第一次遇的地点一样，请同学们试以第n次相遇为例帮小明同学进行简单的论证，并写出每次相
遇时点P的位置．
18．（2022·江苏·南通田家炳中学七年级阶段练习）已知，a，b满足 ，分别对应着数
|3a−b|+(a−3) 2=0
轴上的A，B两点．
(1)a=________，b=________；
(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离
是点P到点B距离的2倍；
(3)数轴上还有一点C的坐标为28，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和每
秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点P
和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4，并求此时点Q对应的数．19．（2022·江苏·七年级期中）已知多项式4x6y2﹣3x2y﹣x﹣7，次数是b，4a与b互为相反数，在数轴上，
点A表示数a，点B表示数b．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若小蚂蚁甲从点A处以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时小蚂蚁乙从点B处以1.8个单位长
度/秒的速度向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，甲
在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，乙在碰到饭粒后立即停止运动．设运动的时
间为t秒，则t＝ 时，甲、乙两只小蚂蚁的距离为8个单位长度．
（3）若小蚂蚁甲和乙约好分别从A，B两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时
间原路返回，刚好在16s时一起重新回到原出发点A和B，设小蚂蚁们出发t（s）时的速度为v（mm/s），
v与t之间的关系如下图．（其中s表示时间单位秒，mm表示路程单位毫米）
t（s） 0＜t≤2 2＜t≤5 5＜t≤16
v（mm/s） 10 16 8
①当2＜t≤5时，你知道小蚂蚁甲与乙之间的距离吗？（用含有t的代数式表示）；②当t为 时，小蚂蚁甲乙之间的距离是42mm．（请直接写出答案）
20．（2022·浙江·七年级单元测试）小王和小李每天从A地到B地上班，小王坐公交车以40km/h的速度匀
速行驶，小李开汽车以50km/h的速度匀速行驶．
(1)若他们同时从A地出发，15分钟后，两人相距______km；
(2)假设途中设有9个站点P ，P ，…，P 公交车在每个站点都停靠0.5分钟．
1 2 9
①若两车同时从A地出发，则汽车比公交车早10.5分钟到达．求A，B两地的距离．
②若每相邻两个站点间（包含起点站和终点站）的距离相等，小王4：30坐公交车从A地前往B地，8分钟
后小李开汽车也从A地前往B地，求小李追上小王的时刻．
