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从拓展习题出发渗透极限思想——圆内接正多边形教学探究
从拓展习题出发渗透极限思想——圆内接正多边形教学探究
在六年级上册圆的教学当中，不同版本教材在方圆组合内容的编排上差别比较明显。人教版教材专门设置了外方内圆、外圆内方的例题，把圆形和正方形的面积关系作为一块独立探究内容，引导学生开展完整的图形对比与计算学习。而北师大版教材，教学重点放在圆的认识、周长以及圆面积公式本身的推导，课本正文并没有安排外圆内方、外方内圆的专项例题，相关内容属于拓展范畴。 
北师版教材 
人教版教材 也正是教材编排上的这种差异，留给我们课堂补充拓展的空间。很多时候教师只是把课外拓展题当成一道练习题，只求算出答案，并没有挖掘题目背后的思维价值。在实际教学中，我们完全可以借鉴人教版那种方圆探究的教学思路，选用合适的课外习题引入课堂，引导学生由一道题向外延伸，一步步感受图形变化，体会极限思想，让学生对圆面积的理解不只停留在套公式计算。 一、巧用课外习题，建立整体代入的解题意识 学生刚学完圆的面积之后，大多形成了固定的做题习惯，遇到求面积的题目，第一反应就是要把半径的具体数值算出来。我在课堂上选用了一道课外拓展题：已知圆的面积是15.7，求圆内接正方形的面积。 
学生根据圆面积公式，很快就能算出r²＝5。但5不是一个完全平方数，不能直接得到整数半径，不少学生到这里就卡住了。如果教师直接把解题方法讲出来，学生只是被动记住结论，思维得不到锻炼。我没有直接给出答案，而是带着学生观察图形，利用圆里面两条互相垂直的直径，把圆内接正方形分割成四个完全一样的等腰直角三角形，三角形的直角边就是圆的半径。 顺着图形分割的思路进行推导，学生能够得出正方形的面积等于2r²。这时不需要再纠结半径到底等于几，直接把r²＝5当作一个整体代入，就可以求出正方形面积。这样一个过程，打破了学生一定要算出具体半径数值的思维定式，初步建立起整体代换的思考方式，也为后面进一步探究其他正多边形打下基础。 二、由正方形向外延伸，体会正多边形面积的变化规律 解决完圆内接正方形之后，课堂探究可以继续往前推进。我向学生提出问题：如果不再是正方形，换成圆内接正六边形、正八边形，它们的面积是不是也可以写成某个数字乘r²的形式？通过师生一起演算对比可以看到，圆内接正方形面积是2r²；正六边形面积大约是2.598r²；正八边形面积大约是2.828r²。不管是偶数边，还是像正五边形、正七边形这类奇数边的圆内接正多边形，面积都能够表示成一个固定系数乘r²。也就是说，只要圆的半径确定，这个系数就随之确定，多边形面积只跟半径有关。 
继续把思路往更一般的正n边形延伸。随着多边形的边数n不断增大，对应的面积系数也在一点点变大，持续向圆周率π≈3.14靠近。边数越少，多边形棱角分明，和圆形差距很大；边数越多，每条边越短，棱角不断被弱化，图形轮廓越来越接近圆形，多边形的面积也就无限逼近圆的面积。 北师大版教材推导圆面积，采用的是把圆剪拼转化成近似长方形的方式来实现化曲为直。而通过圆内接正多边形不断增加边数、无限逼近圆的这条探究路径，可以作为很好的补充。两条路径相互印证，学生能够真切感受到以直代曲、无限逼近的含义，抽象的极限思想不再只是一句名词，而是可以通过数据、通过图形实实在在观察出来的过程，也能更好理解为什么圆面积公式会是S＝πr²。 三、把握拓展教学边界，立足学情落实思维培养 借鉴人教版教材的探究范式，利用课外习题开展拓展教学，并不代表要把拓展内容当作全体学生必须牢牢掌握的基础知识。毕竟方圆组合、圆内接各类正多边形并不是北师大版教材的硬性教学内容，教学当中一定要把握好尺度。 课堂上坚持由特殊到一般，从最简单的圆内接正方形入手，再到正六边形、正八边形，最后推广到一般的正n边形，循序渐进展开探究。教学重点放在让学生观察系数的变化趋势，感受边数增加带来图形和面积的改变，发展学生的几何直观与推理意识。 同时也要注意减轻学生负担，不需要要求学生去记忆各个正多边形的面积系数，也不要安排大量繁琐的计算训练。课堂追求的不是把每一类多边形都算得有多熟练，而是借助这样一次探究经历，让学生感悟无限逼近的数学思想。 
结语 圆这一单元的教学，不只是教会学生计算周长和面积，更是渗透数学思想的重要载体。结合两套教材各自的编排特点，依托一道普通的课外拓展习题，设计层层递进的探究活动，从整体代入解题，再到各类圆内接正多边形面积规律的探索，一步步把极限思想落到课堂之中。让学生不只记住圆面积计算公式，更能够明白公式背后的道理，真正做到知其然也知其所以然，把核心素养的培养落实到日常课堂当中。
