高中数学选择性必修二第一章递推数列问题教学建议(上)

数列在理论上和实践中均有较高的价值，是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的绝好载体，高考对数列知识的考查从未间断过，很多省市的高考卷都把数列题作为压轴题.

数列的通项公式是数列的核心内容之一，它如同函数中的解析式一样，有了解析式便可研究性质等,而有了数列的通项公式便可求出数列中的任一项及前n项和等.

因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点，故设本专题，在前面讲解的基础上进行梳理强化.

递推数列是通过递推公式定义的数列，即数列的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示.

高中阶段常见的递推数列包含等差数列、等比数列、斐波那契数列、一阶地推数列、可化为一阶递推数列、二阶递推数列等类型.

本文介绍高中递推数列的相关知识，介绍高中阶段递推数列的常见题型、通项求解方法、解题技巧以及相关基础概念.

一、基础基础知识

一、等差数列的判定方法：

①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；

②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2；

③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.

二、等比数列的判定方法：

(1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列；

(2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列．

三、累加法‌：适用于形如an+1=an+f(n)的递推式，将每一项的增量逐一累加，结合已知首项即可求出通项，是高中最基础的递推求解方法。

四、累乘法‌：适用于形如an+1=an•f(n) 的递推式，通过逐项约去中间项，最终得到通项公式。

五、待定系数法‌：针对一阶线性递推an+1=pan+q ，通过引入常数构造出全新的等比数列，进而反推原数列通项，是高考高频考点。

六、不动点法‌：多用于分式递推、一次分式递推数列，结合特征方程快速求解通项，也可搭配蛛网图直观判断数列的单调性与极限趋势，是压轴题常用技巧。

递推形式‌：an=ban/(kan+b)𝑎

核心解法‌：两边取倒数，换元后转化为一阶线性递推，进一步构造等差或等比数列。

七、二阶线性齐次递推模型

递推形式‌：an+1=pan+qan-1

核心解法‌：通过特征根法求解，构造形如an+1-αan=β(an-αan-1)的等比数列，降阶为一阶递推,比较系数构造特征根方程。

这是专门针对二阶及以上的线性齐次递推数列，通过求解特征方程确定通项的结构形式，快速写出数列通项。

八、取对数递推模型

递推形式‌：an+1=ank (an>0，k≠1)

核心解法‌：两边取同底对数，将指数运算降为乘法，直接转化为等比数列求解。

九、换元型递推模型

递推形式‌：含根号、复杂多项式的特殊递推

核心解法‌：通过整体换元消去根号或复杂项，将原递推转化为基础等差/等比数列，简化求解过程。

二、常见考试模型

高中阶段常考的递推数列共有9类经典模型，覆盖了从基础小题到大题压轴的全场景，包括等差等比基础递推、含前n项和Sn的递推、含指数项的递推、分式递推等类型，是高考数学的核心高频考点。

高中递推数列化归为等差、等比数列的核心思路，高中阶段常考的9类经典递推数列模型如下：

第一类：可化为等差数列的通项问题

①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值；

②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2；

③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数.

完整文章如下：

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