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【考题】

已知  且 ，设函数1、 证明：对每个  且 ，存在唯一的 ，满足 ；

2、 若 ,求 a；

3、 证明：其中 表示  的导数。

【解析】

1、零点存在性与唯一性

由定义 求导得 当  时，每一项非负，且首项为 ，故 因此  在 上严格单调递增。又 解法一：直接估计端点值

由于  的展开式中各项均为正，保留第一项可得 因为 ，所以 结合 以及  在  上严格单调递增，由零点存在定理和单调性可知：存在唯一的 ，使得 。

解法二：二项式展开的积分表示

利用恒等式 可得 取 ，则 由于 ，利用有 于是 同样结合  与严格单调性，即得存在唯一零点

2、求参数

先计算 故 题设等价于：对任意 ， 设 则 ，且 解法一：极值必要条件法

若  对所有  成立，则  必为  的最小值点，从而

代入得 ，即 。

验证  时： 当  时，；当  时，。故  在  处取得最小值 ，即 因此  满足题设。

解法二：必要性与充分性分离论证

必要性：若题设成立，则 且 ，故  为极小值点，必有 ，解得 。

充分性：当 时，如上验证可知  恒成立。

综合必要性与充分性，得

3 、证明  由定义 求导得 于是 再求导： 当 时，利用等比数列求和： 解法一：定积分法（完善版）

对任意 ，两边在  上积分： 左边由微积分基本定理： 右边逐项积分： 因此 令，左边为，右边为故 解法二：不定积分法

由 两边不定积分得 令 ，左边为，右边为故 于是 再令 ，即得 所以

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