高中物理模型&知识总结 200 例|第 25 期 受力分析-绳的死结与活结

死结与活结

适合：【高三一轮】

一、模型识别

一根绳跨过光滑的环、滑轮、挂钩，绳能在上面滑——这是活结，两侧张力一定相等。几根绳在一点打结、结点被钉死——这是死结，各段张力各自独立，只能逐点列平衡。判据只有一句：结点能不能沿绳滑动。

识别信号：

• 出现"光滑小环""光滑挂钩""光滑滑轮""光滑钉子"——活结
• 出现"打结""系于一点""结点固定不动"——死结
• 一根绳绕过光滑物体：张力大小不变，只改方向
• 几根绳（或绳与杆）交于一点：此刻这点就是独立的受力对象，各段张力要分别求
• 题目问"两侧张力是否相等""张力多大"，先别算，先认结

和第 24 期动态平衡的关系：那一期研究的是"力的大小怎么变"，这一期先解决"哪两段绳的张力本来就必须相等"——认错了结，后面的方程从一开始就是错的。

二、核心规律

第一步　先在图上认结

看结点处到底是"一根绳拐了个弯"，还是"几根绳打了个结"。这一眼决定后面所有方程。

第二步　活结直接用张力相等

同一根绳跨过光滑物体，物体对绳的摩擦为零，绳中张力处处相等，物体只负责把张力换个方向传出去。

第三步　死结不能套张力相等，只能列平衡

结点上挂了几个力，就老老实实正交分解，有几个未知量列几个方程。

第四步　活结的"两侧角度相等"是算出来的

活结处如果没有别的力，只有两段绳和重力，那么

这一步与两端是否等高、两段是否等长毫无关系——它只来自"两个水平分量必须抵消"。

一句话：活结看绳，死结看结。绳能滑，张力就相等；结被钉死，张力就各算各的。

三、例题 1

题目：

一根不可伸长的轻绳两端分别固定在天花板上的 A 点和竖直墙上的 B 点，A 点比 B 点高。绳上套一个光滑小环，环下悬挂重物而静止。平衡时，环两侧的绳与竖直方向的夹角分别为 、。下列说法正确的是（　　）

A．，两侧绳的张力不相等

B．，两侧绳的张力相等

C．，但两侧绳的张力不相等

D．，但两侧绳的张力相等

答案：　B

解析：

环是光滑的，绳能在环上自由滑动，所以这是一个活结：同一根绳的各处张力必须相等。设两侧的张力为 、，则

对环受力分析，环受两段绳的拉力（都等于 ）和重物向下的拉力 。

水平方向上，两段绳的拉力的水平分量必须等大反向：

约去 ，得 。、 都是绳与竖直方向的夹角，都在  到  之间，所以

竖直方向上，两段绳的竖直分量之和等于重物的拉力：

得 。C 说张力不等、D 说角度不等，都是错的。

有一点值得说清楚：题里 A 比 B 高，环并不落在 A、B 连线中点的正下方，两段绳的长度也不相等——但角度照样相等。原因不在几何对称，而在上面那个水平方程：方程里出现的只有"两段绳各自的方向"，根本没有 A、B 的高低。长度不等只会让环停在偏一侧的位置，方向依然关于竖直线对称。

四、例题 2

题目：

如图所示，一根轻绳跨过光滑定滑轮，一端竖直悬挂质量  的重物，另一端与另一根轻绳在 O 点打结；结点 O 又分别系着一根水平绳（另一端固定在墙上）和一根竖直悬挂重物  的绳。平衡时，与 O 点相连的斜绳与竖直方向的夹角 ，取 。下列说法正确的是（　　）

A．水平绳中的张力为 18 N

B．重物  的质量为 2.4 kg

C．斜绳中的张力为 24 N

D．斜绳中的张力随  的增大而增大

答案： AB

解析：

跨过定滑轮的那一段是活结：同一根绳绕过光滑滑轮，绳中张力处处相等，所以斜绳的张力就等于另一端悬挂重物拉出的张力

这一条与  无关，也与 O 点其它几根绳无关——滑轮只把张力原样传过去，只换方向、不改大小。

再看 O 点，这里是三根绳打的死结，各段张力互不相干，只能列平衡。

斜绳拉力  指向左上方、与竖直成 ，水平绳拉力  指向右，竖直绳拉力  向下。

水平方向， 的水平分量与  平衡：

A 正确。

竖直方向， 的竖直分量与  平衡：

所以 ，B 正确。

C 错在把  当成了斜绳的张力—— 是竖直绳的拉力 ，斜绳的张力由  单独决定，是 。这正是把活结当死结去反推的典型走法。

D 错在方向搞反了： 是定值， 是由滑轮位置、绳长和 O 点位置共同决定的几何量，不是由  定出来的。角度变大，张力一点不变。

五、易错点

• 把活结当死结算：以为斜绳张力要靠结点平衡反推，算出一个"看着合理"的数（本例题 C）。滑轮那一段的张力，另一端挂多重就是多大。
• 把死结当活结套：三根绳打结处强行令张力相等，等于凭空加了一个条件，方程数都对不上。
• 看见"一根绳"就判活结：还要看结点有没有被别的绳钉住。绳是同一根，但结点也被三根绳拽着动弹不得，那就得按死结列平衡。
• 活结的"角度相等"当成几何对称：A、B 不等高、两段不等长，角度照样相等。理由在水平分量抵消，不在图形左右对称。
• 把滑轮当成"省力装置"：不计摩擦时它只改变力的方向，不改变张力大小。这一期里它的唯一作用就是"张力原样传递"。
• 绳和杆混着用：绳只能沿绳方向拉，张力方向被绳锁死；杆的弹力方向可以任意（下一期专门讲）。认错对象，受力图从第一笔就歪。

一句话总结

死结活结一句话：先看结点能不能沿绳滑。能滑就是活结——同一根绳张力处处相等，两侧角度也自动相等；滑不动就是死结——各段张力独立，老老实实正交分解。