深入理解初中数学1:26.11杭外八上期中考数学压轴趣谈(重制版)

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请先思考一下这三个容易的压轴题。第三题只想（1）就可以，做完了以后再往下看。

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好的，你应该很快做完了，不过让我来先猜一下。第一题你过C作了CF⊥BD于F，证了△ABE≌△BCF，接着勾股定理。第二题你要么看出共圆，然后等边三角形AD=AC秒了；要么做了一个类似旋转的操作，也做出来了。第三题你证了△ACE≌△BCD，导了下角搞定了。

有人会说：那不然呢？不就是这么做的吗？的确，这几道题在考场上这样做无可厚非。但如果认为，这几道题只能这样做，那就大错特错了。

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假设你是一个老师，上课讲解此题。讲完已经听过无数遍的“三垂直”之后，一个学生举手提问：“这题如果不用全等能做吗？”你会怎么回答他？不用全等，相当于直接舍弃了一个关键的条件。还想要做出来，似乎有些异想天开。

然而这不仅是可能的，而且非常有趣。简单讲一下我的思路。看到AB=BC=BD就明白，A、D、C是在B为圆心的圆上的。自然想到延长DB，有两个直角三角形。设未知数，用两次射影得到基本长度关系。注意到2CD²=AD²，而且△BCD可以整个旋转过去。转过去以后，上面的角还是135°这种好处理的，顺利得到R和CD的关系。但R和CD都是用x表示的，两边平方解方程得到x。再一次射影得到另一段高的值，完美收尾。

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这题看上去也是，似乎不得不注意到共圆或者构造二选一。难道还能有别的想法吗？事实上，不仅有，而且用的工具还非常简单。

角平分线定理你可以直接看成面积法，得到2x和3x。其他就是两次勾股定理，加上一次简单的相似。当然，最后出现了一个在另一侧的解，也很有意思，可以说是意外收获。

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这是最让人匪夷所思的。第（1）问证△ACE≌△BCD甚至已经被普遍认为是一种“标准做法”，几乎没人会去想别的。怎么还能有不同的证明呢？结果我发现了一个让人意想不到的证明。不仅正确，而且可以说极其漂亮。

看完图就在想这两个外接圆的关系。A、C、E不共线显然不是废话，说明他们有两个交点。那么只要证明另一个交点是F就可以了。于是想到证明共线，一气呵成。这比证全等有意思多了。

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深入理解初中数学（初稿） 第1章 解构

1.1 定义

初中数学=初等代数+平面几何基础。

1.1.1 对象

代数：数的关系，平几：点的关系。

1.1.2 工具

工具用于研究对象的特征。

工具箱包含了学生已学的所有工具。

例：平几里的线段、角、圆等几何图形，都是描述点之间的关系。工具如全等、相似得到某些线段、角之间之间关系，本质仍是得到点之间的关系。代数中的函数也是工具，作用是描述定义域和值域，这两个数集之间的关系。

1.2 内容

初中数学的内容是研究对象的特征。题目条件是对象的某些特征，题目则要求学生根据题目条件，进行推理以得到对象的某一个特征。

1.2.1 特征

特征指对象表现出来的形式。

例：平几里，一个几何图形有很多特征。因为上面有很多点，会形成各种复杂的关系。代数里，一个函数也有很多特征。比如二次函数的开口，对称轴，某个区间里的最值等等。

1.3 过程

1.3.1 疏雪桥第一猜想（必要性猜想）

对于任意一道初中数学题，如果题目给出的某个条件，在初中范围的“工具箱”的“处理能力范围”之外，则一定或几乎不可能不对其进行处理，使其转化为可以直接使用的简单条件。

例：某题给出的条件中包含“倍角”，则只要解法用到的“工具”全部在初中所学的“工具箱”内，该解法必然会对“倍角”做某些处理。

1.3.2 疏雪桥第二猜想（不必要性猜想）

对于任意一道初中数学题，一定或几乎不可能证明：若不使用“工具箱”中的某个特定的“工具”，则必然无法找到解题路径。

例：本文中的第一题和第三题，不用全等的情况下，虽然看似很难，但都能找到解题路径。

1.4 本质

1.4.1 疏雪桥第三猜想（黑盒-封装猜想）

对于某道题目的所有解法，虽然用的“非底层工具”，以及用法差别很大，但其底层都是在操作对象。“非底层工具”中“封装”了“底层工具”，使用时不需要知道“底层工具”，可以看成一个“黑盒”。

1.4.2 底层工具

底层工具指整个理论的逻辑底层。

例：初中平几底层是欧几里得的五条公设，代数底层是默认的一些实数域性质。

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