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因式分解计算题专项训练（8 大题型80 道）
【经典计算题一 提公因式进行因式分解】
1．因式分解：
2
4(
)(2
3 ) (3
2 )
a b
a
b
b
a b
-
-
+
-
【答案】
2
3
2
4
4
b
a
b
b
a
-
+
-
【分析】本题考查了因式分解，提公因式
3
2
b
a
-
，即可求解．
【详解】解：
2
4(
)(2
3 ) (3
2 )
a b
a
b
b
a b
-
-
+
-
2
3
2
4
b
a
b
a
b
é
ù
=
-
-
-
ë
û
2
3
2
4
4
b
a
b
b
a
=
-
+
-
2．用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)
2
3
2
2
2
4
8
12
x y
x y z
xy z
+
-
；
(2)
3
3
5
2
20
2
x x
y
y
y
x
-
-
-
．
【答案】(1)
2
4
2
3
xy
xy
xz
z
+
-
(2)
3
5
2
4
x
y
x
y
-
+
【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键；
（1）提公因式法提取
2
4xy 分解因式即可求解；
（2）提公因式法提取
3
5
2
x
y
-
分解因式即可求解；
【详解】（1）解：
2
3
2
2
2
4
8
12
x y
x y z
xy z
+
-
2
4
2
3
xy
xy
xz
z
=
+
-
（2）解：
3
3
5
2
20
2
x x
y
y
y
x
-
-
-
3
3
5
2
20
2
x x
y
y x
y
=
-
+
-
3
5
2
4
x
y
x
y
=
-
+
．
3．分解因式：
(1) ² ²
a x
ax
-
(2)
2
14
7
49
abc
ab
ab c
-
-
+
【答案】(1)
1
ax ax -
(2)
7
2
1 7
ab
c
bc
-
+ -
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【分析】本题考查分解因式；
（1）直接提公因式分解因式即可；
（2）直接提公因式分解因式即可．
【详解】（1）
² ²
1
a x
ax
ax ax
-
=
-
；
（2）
2
14
7
49
7
2
1 7
abc
ab
ab c
ab
c
bc
-
-
+
= -
+ -
．
4．运用拆项法因式分解：
3
8
7
x
x
-
+
；
【答案】
2
1
7
x
x
x
-
+
-
【分析】此题考查了因式分解．将原式变形为
3
7
7
x
x
x
-
-
-
，再利用提公因式分解即可．
【详解】解：
3
8
7
x
x
-
+
3
7
7
x
x
x
=
-
-
-
1
1
7
1
x x
x
x
=
+
-
-
-
1
1
7
x
x x
é
ù
=
-
+
-
ë
û
2
1
7
x
x
x
=
-
+
-
．
5．分解因式：
(1)
2
21
14
35
xy
xz
x
-
+
；
(2)
2
15
10
5
xy
x
x
+
-
；
(3)
2
3
2
4
2
a
b
a
b
a
a
b
+
-
-
+
；
(4)
2
2
2
x
x
-
-
+
．
【答案】(1)
7
3
2
5
x
y
z
x
-
+
(2)
5
3
2
1
x
y
x
+
-
(3)
2
2
a
b
a
b
-
+
+
(4)
2
3
x
x
-
-
【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握公因式的确定是解本题的关键；
（1）直接利用提公因式分解因式即可；
（2）直接利用提公因式分解因式即可；
（3）直接利用提公因式分解因式即可；
（4）直接利用提公因式分解因式即可；
【详解】（1）解：
2
21
14
35
xy
xz
x
-
+
7
3
2
5
x
y
z
x
=
-
+
；
（2）解：
2
15
10
5
xy
x
x
+
-
5
3
2
1
x
y
x
=
+
-
；
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（3）解：
2
3
2
4
2
a
b
a
b
a
a
b
+
-
-
+
2
3
2
4
a
b
a
b
a
=
+
-
-
2
2
a
b
a
b
=
+
- -
2
2
a
b
a
b
= -
+
+
；
（4）解：
2
2
2
x
x
-
-
+
2
2
2
x
x
=
-
-
-
2
2 1
x
x
=
-
-
-
2
3
x
x
=
-
-
；
6．把下列各式分解因式：
(1)
2
3
2
5
20
5
a b
ab
ab
-
+
-
；
(2)
2
x
y
x
y
x
y
+
-
-
+
；
(3)
2
3
8
4
a x
y
y
x
-
-
-
；
(4)
2
2
4
4
x x
xy
x
xy
-
-
-
．
【答案】(1)
2
5
4
1
ab ab
b
-
-
+
(2)
2y x
y
-
+
(3)
2
4
2
x
y
a
x
y
-
+
-
(4)
4
-
-
x x
y
x
【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键；
（1）直接利用提公因式法分解因式即可；
（2）直接利用提公因式法分解因式即可；
（3）直接利用提公因式法分解因式即可；
（4）直接利用提公因式法分解因式即可；
【详解】（1）解：
2
3
2
5
20
5
a b
ab
ab
-
+
-
2
5
4
1
ab ab
b
= -
-
+
；
（2）解：
2
x
y
x
y
x
y
+
-
-
+
x
y
x
y
x
y
=
+
-
-
-
2y x
y
= -
+
；
（3）解：
2
3
8
4
a x
y
y
x
-
-
-
2
3
8
4
a x
y
x
y
=
-
+
-
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2
4
2
x
y
a
x
y
=
-
+
-
；
（4）解：
2
2
4
4
x x
xy
x
xy
-
-
-
2
4
x
x
y
x x
y
=
-
-
-
4
x x
y
x
=
-
-
；
7．用提公因式法分解因式：
(1)
2
6
6
a
a
b
ab b
a
-
+
-
；
(2)
2
a
ab
c a
b
-
+
-
．
【答案】(1)
2
6a a
b
-
(2)
a
b
a
c
-
+
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题关键．
（1）提公因式
6a a
b
-
，即可完成因式分解；
（2）提公因式
a
b
-
，即可完成因式分解．
【详解】（1）解：原式
6a a
b
a
b
=
-
-
2
6
b
a a
=
-
；
（2）解：原式
a a
b
c a
b
=
-
+
-
a
b
a
c
=
-
+
．
8．将下列各式分解因式：
(1)
2
5
a
a
-
；
(2) ab
ac
+
；
(3)
3
2
3
4
6
a b
ab c
-
；
(4)
2
2
3
3
2
3
x y
x y
x y
-
-
．
【答案】(1)
5
a a -
(2)
a b
c
+
(3)
2
2
2
2
3
ab
a
bc
-
(4)
2
2
1
2
3
x y
y
x
-
-
【分析】本题主要考查了因式分解，确定各式的公因式是解题关键．
（1）提公因式a ，即可完成因式分解；
（2）提公因式a ，即可完成因式分解；
（3）提公因式
2
2ab ，即可完成因式分解；
（4）提公因式
2x y ，即可完成因式分解．
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【详解】（1）解：原式
5
a a
=
-
；
（2）解：原式
a b
c
=
+
；
（3）解：原式
2
2
2
2
3
ab
a
bc
=
-
；
（4）解：原式
2
2
1
2
3
x y
y
x
=
-
-
．
9．分解因式：
(1)
2
3
6
x
xy
-
(2)
2
2
3
12
3
m a
ma
ma
-
-
+
【答案】(1)
3
2
x x
y
-
(2)
3
4
ma m
a
-
+
-
【分析】本题考查了用提公因式法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式．
（1）直接提公因式分解即可；
（2）直接提公因式分解即可．
【详解】（1）解：
2
3
6
3
2
x
xy
x x
y
-
=
-
；
（2）解：
2
2
3
12
3
m a
ma
ma
-
-
+
3
4
ma m
a
= -
+
-
．
10．计算：
2
2
4
6
2
x y
xy
xy
-
+
-
．
【答案】
2
2
3
1
xy
x
y
-
-
+
【分析】本题考查了因式分解中的提公因式法．提公因式法是指如果一个多项式的各项有公因式，可以把
这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．提出公因式2xy
-
，即可求解．
【详解】解：
2
2
4
6
2
x y
xy
xy
-
+
-
2
2
3
1
xy
x
y
= -
-
+
【经典计算题二 运用乘法公式进行因式分解】
11．分解因式：
(1)
3
9x
x
-
(2)
2
4 12
9
x
y
x
y
-
-
+
-
【答案】(1)
3
3
x
x
x
+
-
(2)
2
2
3
3
x
y
-
+
【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式；
（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
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（2）直接利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
3
9x
x
-
2
9
x
x
=
-
3
3
x
x
x
=
+
-
；
（2）解：
2
4 12
9
x
y
x
y
-
-
+
-
2
2
2
2 2 3
3
x
y
x
y
é
ù
=
- ´ ´
-
+
-
ë
û
2
2
3 x
y
é
ù
=
-
-
ë
û
2
2
3
3
x
y
=
-
+
．
12．分解因式：
(1)
2
6
9
mx
mx
m
-
+
．
(2)
2
16
a
x
y
x
y
-
+
-
．
(3)
2
2
6
a b
ab
-
-
．
(4)
2
2
2
2
2
4
x
y
x y
+
-
．
【答案】(1)
2
3
m x -
(2)
2
16
x
y
a
-
+
(3)
3
2
ab
ab
-
+
(4)
2
2
x
y
x
y
-
+
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．
（1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可；
（2）提取公因式分解即可；
（3）利用十字相乘法分解因式即可；
（4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
2
6
9
mx
mx
m
-
+
，
2
6
9
m x
x
=
-
+
，
2
3
m x
=
-
；
（2）解：
2
16
a
x
y
x
y
-
+
-
，
2
16
a
x
y
-
=
+
；
（3）解：
2
2
6
a b
ab
-
-
，
3
2
ab
ab
=
-
+
；
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（4）解：
2
2
2
2
2
4
x
y
x y
+
-
，
2
2
2
2
2
2
x
y
xy
x
y
xy
=
+
-
+
+
，
2
2
x
y
x
y
=
-
+
．
13．把下列各式因式分解：
(1)
15
10
p p
q
p
q
+
-
+
；
(2)
2
2
2
2
2
4
x
y
x y
+
-
．
【答案】(1)
5
3
2
+
-
p
q
p
(2)
2
2
x
y
x
y
-
+
【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）根据提公因式法进行因式分解即可；
（2）先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
15
10
p p
q
p
q
+
-
+
5
3
2
p
q
p
=
+
-
；
（2）解：
2
2
2
2
2
4
x
y
x y
+
-
2
2
2
2
2
2
x
y
xy
x
y
xy
=
+
-
+
+
2
2
x
y
x
y
=
-
+
．
14．分解因式：
(1)
2
2
4
a
b
-
(2)
2
16
24
9
x
x
+
+
【答案】(1)(
2 )(
2 )
a
b a
b
+
-
(2)
2
(4
3)
+
x
【分析】本题主要考查公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
（1）根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
(
2 )(
2 )
a
b a
b
=
+
-
；
（2）解：原式
2
(4
3)
x
=
+
．
15．因式分解：
(1)
2
a a
b
b b
a
-
-
-
(2)
2
2
2
1
4
x
x
+
-
【答案】(1)
2
a
b
a
b
-
+
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(2)
2
2
1
1
x
x
+
-
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
（1）提取公因式
a
b
-
，即可解答；
（2）首先利用平方差公式进行因式分解，然后利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
2
a a
b
b b
a
-
-
-
，
2
a a
b
b a
b
=
-
+
-
，
2
a
b
a
b
=
-
+
；
（2）解：
2
2
2
1
4
x
x
+
-
，
2
2
2
1
2
x
x
=
+
-
，
2
2
1
2
1 2
x
x
x
x
=
+ +
+ -
，
2
2
1
1
x
x
=
+
-
．
16．分解因式：
(1)
3
2
4
a b
a
-
；
(2)
2
2
2
2
2
4
x
y
x y
+
-
【答案】(1)
2
2
a ab
ab
-
+
(2)
2
2
x
y
x
y
-
+
【分析】（1）先提取公因式，再套用公式分解即可．
（2）先运用平方差公式，再利用完全平方公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式，公式分解是解题的关键．
【详解】（1）解：
3
2
4
a b
a
-
2
2
4
a a b
=
-
2
2
a ab
ab
=
-
+
．
（2）解：
2
2
2
2
2
4
x
y
x y
+
-
2
2
2
2
2
2
x
y
xy
x
y
xy
=
+
-
+
+
2
2
x
y
x
y
=
-
+
．
17．因式分解
(1)
2
2
a
x
y
b
y
x
-
+
-
；
(2)
2
2
8
x -
＋8
2
8
x -
＋16．
【答案】(1)
x
y
a
b
a
b
-
+
-
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(2)
2
2
2
2
x
x
+
-
【分析】此题考查因式分解的方法，
（1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式；
（2）根据完全平方公式和平方差公式分解因式．
【详解】（1）解：
2
2
a
x
y
b
y
x
-
+
-
2
2
a
x
y
b
x
y
=
-
-
-
2
2
x
y
a
b
=
-
-
x
y
a
b
a
b
=
-
+
-
；
（2）解：
2
2
8
x -
+ 8
2
8
x -
+ 16
2
2
8
4
x
=
- +
2
2
4
x
=
-
2
2
2
2
x
x
=
+
-
．
18．因式分解
(1)
2
2
5
15
x y
xy
xy
-
+
(2)
2
81
x -
(3)
3
4
x
x
-
(4)
3
1
4
x
x
-
+
+
【答案】(1)
5
15
xy x
y
-
+
(2)
9
9
x
x
+
-
(3)
2
2
x x
x
+
-
(4)
2
1
x -
【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）利用平方差公式分解因式即可；
（3）综合提公因式和公式法分解因式即可；
（4）利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
2
2
5
15
x y
xy
xy
-
+
5
15
xy x
y
=
-
+
；
（2）解：
2
81
x -
9
9
x
x
=
+
-
；
（3）解：
3
4
x
x
-
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2
4
x x
=
-
2
2
x x
x
=
+
-
；
（4）解：
3
1
4
x
x
-
+
+
2
3
3
4
x
x
x
+
-
- +
=
2
2
1
x
x
=
-
+
2
1
x
=
-
．
【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，综合提公
因式和公式法分解因式等知识点，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
19．把下列各式分解因式：
(1)
2
2
2
5
12
5
36
m
m
+
-
+
+
；
(2)
2
2
2
2
2
9
36
x
y
x y
+
-
．
【答案】(1)
2
2
(
1) (
1)
m
m
+
-
(2)
2
2
(
3 ) (
3 )
x
y
x
y
+
-
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
（1）原式先根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）原式先根据进行平方差公式因式分解，再根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
5
12
5
36
m
m
+
-
+
+
2
2
5
6
m
=
+
-
2
2
1
m
=
-
2
2
(
1) (
1)
m
m
=
+
-
．
（2）解：
2
2
2
2
2
9
36
x
y
x y
+
-
2
2
2
2
9
(6
)
x
y
xy
=
+
-
2
2
2
2
9
6
9
6
x
y
xy
x
y
xy
=
+
+
+
-
2
2
(
3 ) (
3 )
x
y
x
y
=
+
-
．
20．分解因式：
(1)
2
2
12
3
x
y
-
(2)
12
36
a
b
a
b
+
+
-
+
【答案】(1)
3 2
2
x
y
x
y
+
-
(2)
2
6
a
b
+
-
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【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先变形，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
2
2
12
3
x
y
-
2
2
3 4x
y
=
-
3 2
2
x
y
x y
+
=
-
；
（2）
12
36
a
b
a
b
+
+
-
+
2
12
36
a
b
a
b
+
-
+
+
=
2
6
a
b
=
+
-
．
【经典计算题三 乘法公式在有理数简算中的应用】
21．简便计算
(1)
2
2
199
199
400
200
-
´
+
(2)
2
2
2
2
2
2
2
2
20
19
18
17
16
15
2
1
-
+
-
+
-
+¼+
-
【答案】(1)1
(2)210
【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的计算；
（1）根据完全平方公式进行计算即可求解．
（2）根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
2
2
199
199
400
200
-
´
+
2
199
200
=
-
2
1
= -
1
=
（2）
2
2
2
2
2
2
2
2
20
19
18
17
16
15
2
1
-
+
-
+
-
+¼+
-
20 19
20 19
18 17 18 17
2 1 2 1
=
+
-
+
+
-
+×××
+
-
39
35
31
3
=
+
+
+×××+
39
3
5
=
+
´
210
=
22．简便计算：
(1) 21 3.14
62 3.14 1.7 31.4
´
+
´
+
´
；
(2)
3
2
3
2
2025
2025
2024
2025
2025
2026
-
-
+
-
．
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【答案】(1)314
(2)1012
1013
【分析】本题考查因式分解在有理数简便运算中的应用，
（1）先提出公因式数3.14，然后在进行计算即可；
（2）先将分子和分母分别进行因式分解，再进行计算即可；
利用提公因式法进行因式分解是解题的关键．
【详解】（1）解：21 3.14
62 3.14 1.7 31.4
´
+
´
+
´
3.14
21
62
17
=
´
+
+
3.14 100
=
´
314
=
；
（2）
3
2
3
2
2025
2025
2024
2025
2025
2026
-
-
+
-
2
2
2025
2025 1
2024
2025
2025 1
2026
´
-
-
=
´
+
-
2
2
2024
2025
1
2026
2025
1
´
-
=
´
-
1012
1013
=
．
23．（1）因式分解：
2
4
9
4
x
y
y
-
-
-
；
（2）利用因式分解计算：
2
2
202
202 196 98
´
+
+
．
【答案】
（1）
4
3
3
y
x
x
-
+
-
（2）90000
【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，
对于（1），先提出公因式(
4)
y -
，再根据平方差公式分解；
对于（2），根据完全平方公式分解，再计算即可．
【详解】解：（1）原式
2
4
9
4
x
y
y
=
-
-
-
=
2
4
9
y
x
-
-
=
4
3
3
y
x
x
-
+
-
；
原式
2
2
202
2 202 98
98
=
+ ´
´
+
2
202
98
=
+
2
300
=
90000
=
．
24．利用乘法公式计算：
2
2
2024
4048
2014
2014
-
´
+
．
【答案】100
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【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式进行简算即可．掌握完全平方公式，是解题的关键．
【详解】解：原式
2
2
2024
2 2024 2014
2014
=
- ´
´
+
2
2024
2014
=
-
2
10
=
100
=
．
25．简便计算：
(1)
2
9999 10001 10000
´
-
；
(2)
2
99999
199999
+
．
【答案】(1) 1
-
(2)10000000000
【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式．
（1）利用平方差公式进行计算，即可解答；
（2）利用因式分解进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：原式
2
10000 1
10000 1
10000
=
-
´
+
-
2
2
2
10000
1
10000
=
-
-
1
= - ；
（2）解：原式
2
99999
99999 100000
=
+
+
99999
99999 1
100000
=
´
+
+
99999 100000 100000
=
´
+
100000
99999 1
=
´
+
100000 100000
=
´
10000000000
=
．
26．利用乘法公式简便计算．
(1)
2
2020
2022
2021
´
-
(2)
2
2
3.672
6.328
6.328 7.344
+
+
´
【答案】(1) 1
-
(2)100
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
（1）把原式变形为
2
2021 1
2021 1
2021
-
´
+
-
，再利用平方差公式进行求解即可；
（2）原式根据完全平方公式变形为
2
3.672
6.328
+
，据此求解即可．
【详解】（1）解：原式
2
2021 1
2021 1
2021
=
-
´
+
-
2
2
2
2021
1
2021
=
-
-
1
= - ；
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（2）解：原式
2
2
3.672
6.328
6.328
3.672
2
+
+
´
´
=
2
3.672
6.328
=
+
2
10
=
100
=
．
27．（1）利用因式分解计算：21 3.14
62
3.14
17
3.14
´
+
´
+
´
（2）分解因式：
2
2
3
6
3
ax
axy
ay
+
+
【答案】（1）314；（2）
2
3a x
y
+
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题的关键．
（1）提取公因式3.14，再进行计算即可；
（2）先提取公因式3a ，再根据完全平方公式即可进行因式分解．
【详解】（1）解：21 3.14
62
3.14
17
3.14
´
+
´
+
´
3.14
21
62
17
=
´
+
+
3.14 100
=
´
314
=
；
（2）解：
2
2
3
6
3
ax
axy
ay
+
+
2
2
3
2
a x
xy
y
=
+
+
2
3a x
y
=
+
．
28．简便计算：
2
2011
2007 2015
-
´
【答案】16
【分析】本题考查了平方差公式因式分解；根据平方差公式去括号化简即可．
【详解】解：原式=
2
2011
(2011 4)(2011
4)
-
-
+
=
2
2
2011
(2011
16)
-
-
16
=
．
29．请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算．
例1：
2
2
2
101
100 1
100
2 100 1 1 10201
=
+
=
+ ´
´ + =
；
例2：
2
2
17 23
20
3
20
3
20
3
391
´
=
-
+
=
-
=
．
(1)
2
99 ；
(2)
2
2022
2021 2023
-
´
．
【答案】(1)9801；
(2)1；
【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案．
（2）根据平方差公式即可求出答案．
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【详解】（1）原式
2
100 1
=
-
2
100
2 100 1 1
=
- ´
´ +
10000
200 1
=
-
+
9801
=
；
（2）
2
2022
2021 2023
-
´
2
2022
2022 1
2022 1
=
´
-
-
+
2
2
2022
2022
1
=
-
+
1
= ．
【点睛】本题考查了用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，解题关键根据数据特征选择适当公式进
行计算．
30．利用因式分解计算：
(1)76 20.22
43 20.22 19 20.22
´
+
´
-
´
；
(2)
2
2
3.14 8.75
3.14 7.75
´
-
´
；
(3)
2
2
50 9.5
100 9.5 7.5
50 7.5
´
-
´
´
+
´
．
【答案】(1)2022
(2)51.81
(3) 200
【分析】（1）提公因式后再进行计算即可；
（2）提公因式后，再用平方差公式计算即可；、
（3）提公因式后，再用完全平方公式进行计算即可．
【详解】（1）解：76 20.22
43 20.22 19 20.22
´
+
´
-
´
20.22
76
43 19
=
´
+
-
20.22 100
=
´
2022
=
；
（2）
2
2
3.14 8.75
3.14 7.75
´
-
´
2
2
3.14
8.75
7.75
=
´
-
3.14
8.75
7.75
8.75
7.75
=
´
+
´
-
3.14 16.5 1
=
´
´
51.81
=
；
（3）
2
2
50 9.5
100 9.5 7.5
50 7.5
´
-
´
´
+
´
2
2
50
9.5
2 9.5 7.5
7.5
=
´
- ´
´
+
2
50 (9.5
7.5)
=
´
-
50 4
=
´
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200
=
．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握利用因式分解进行计算是解题的关键．
【经典计算题四 十字相乘法】
31．阅读下列材料：
将
2
2
35
x
x
+
-
分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：
2x
x x
=
×
，
35
5
7
-
= -
´ +
．
②交叉相乘，验中项：
．
③横向写出两因式：
2
2
35
7
5
x
x
x
x
+
-
=
+
-
．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
试用上述方法分解因式：
(1)
2
5
4
x
x
+
+
；
(2)
2
6
7
x
x
-
-
；
【答案】(1)
1
4
x
x
+
+
(2)
1
7
+
-
x
x
【分析】本题考查分解因式—十字相乘法，
（1）根据十字相乘法分解因式即可；
（2）根据十字相乘法分解因式即可；
掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：
2x
x x
=
×
，
4
1
4
= +
´ +
，
②交叉相乘，验中项：
，
③横向写出两因式：
2
5
4
1
4
x
x
x
x
+
+
=
+
+
；
（2）①竖分二次项与常数项：
2x
x x
=
×
，
7
1
7
- = +
´ -
．
②交叉相乘，验中项：
，
③横向写出两因式：
2
6
7
1
7
x
x
x
x
-
-
=
+
-
．
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32．【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式
2
2
3
x
x
-
- ．
Ⅰ．次项系数2
1 2
= ´
．
Ⅱ．常数项3
1 3
1 ( 3)
- = - ´ = ´ -
，验算：“交叉相乘之和”
①1 3
2 ( 1)
1
´ + ´ -
= ，②1 ( 1)
2 3
5
´ -
+ ´ =
，
③1 ( 3)
2 1
1
´ -
+ ´ = - ，④1 1
2 ( 3)
5
´ + ´ -
= - ．
Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数1
- ，
即
2
2
(
1)(2
3)
2
3
2
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
+
-
=
-
+
-
=
-
- ，
则
2
2
3
(
1)(2
3)
x
x
x
x
-
-
=
+
-
．
像这样分解因式的方法叫做十字相乘法．
【迁移运用】仿照此方法，分解因式：
(1)
2
5
6
x
x
-
+
；
(2)
2
3
2
8
x
x
+
- ．
【答案】(1)
2
3
x
x
-
-
(2)
3
4
2
x
x
-
+
【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式．
（1）直接利用十字乘法分解因式即可；
（2）直接利用十字乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：
2
5
6
x
x
-
+
2
3
x
x
=
-
-
；
（2）解：
2
3
2
8
x
x
+
-
3
4
2
x
x
=
-
+
．
33．利用整式的乘法运算法则推导得出：
2
(
)(
)
(
)
ax
b cx
d
acx
ad
bc x
bd
+
+
=
+
+
+
．我们知道因式分解是与整
式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得
2
(
)
(
)(
)
acx
ad
bc x
bd
ax
b cx
d
+
+
+
=
+
+
．通过观察可把
2
(
)
acx
ad
bc x
bd
+
+
+
中看作以x 为未知数，a、b、c、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项
式的二次项系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得
首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式
2
2
11
12
x
x
+
+
的二
次项系数2 与常数项12 分别进行适当的分解，如图2，则
2
2
11
12
(
4)(2
3)
x
x
x
x
+
+
=
+
+
．
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根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：
2
6
27
x
x
+
-
；
(2)用十字相乘法分解因式：
2
6
7
3
x
x
-
-
；
(3)结合本题知识，分解因式：
2
20(
)
7(
)
6
x
y
x
y
+
+
+
-
．
【答案】(1)
2
6
27
(
3)(
9)
x
x
x
x
+
-
=
-
+
(2)
2
6
7
3
(2
3)(3
1)
x
x
x
x
-
-
=
-
+
(3)
2
20(
)
7(
)
6
(4
4
3)(5
5
2)
x
y
x
y
x
y
x
y
+
+
+
-
=
+
+
+
-
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
（1）利用十字相乘法进行求解即可；
（2）利用十字相乘法进行求解即可；
（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．
【详解】（1）解：
2
6
27
x
x
+
-
3
9
x
x
=
-
+
，
；
（2）解：
2
6
7
3
x
x
-
-
2
3
3
1
x
x
=
-
+
，
；
（3）解：
2
20(
)
7(
)
6
x
y
x
y
+
+
+
-
4
3
5
2
x
y
x
y
é
ù é
ù
=
+
+
+
-
ë
û ë
û
4
4
3
5
5
2
x
y
x
y
=
+
+
+
-
，
．
34．阅读材料
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材料1 将一个形如
2x
px
q
+
+
的二次三项式因式分解时，如果能满足q
mn
=
且p
m
n
=
+
，则可以把
2x
px
q
+
+
因式分解成(
)(
)
+
+
x
m x
n ．
例：①
2
4
3
1
3
x
x
x
x
+
+
=
+
+
；
②
2
4
12
6
2
x
x
x
x
-
-
=
-
+
．
材料2 因式分解：
2
(
)
2
1
x
y
x
y
+
+
+
+ ．
解：将“ x
y
+
”看成一个整体，令x
y
A
+
=
，则原式
2
2
2
1
(
1)
A
A
A
=
+
+ =
+
，
再将“A”还原，得原式
2
(
1)
x
y
=
+
+
．
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把
2
6
8
x
x
-
+
分解因式；
(2)结合材料1 和材料2，完成下面小题：
①分解因式：
2
(
)
4
3
x
y
x
y
-
+
-
+
；
②分解因式：
2
2
2
2
3
4
m
m
m
m
+
+
-
-
．
【答案】(1)
4
2
x
x
-
-
(2)①
3
1
x
y
x
y
-
+
-
+
；②
2
2
2
4 (
1)
m
m
m
+
-
+
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，
对于（1），根据材料一可知6
( 2)
( 4),8
( 2) ( 4)
- = -
+ -
= -
´ -
，即可分解；
对于（2）①，令x
y
A
-
=
，再结合材料一分解，可得答案；②令
2
2
m
m
B
+
=
，展开并整理，结合材料一
分解，整体代入可得答案．
【详解】（1）解：
2
6
8
x
x
-
+
，
2
4
2
4
2
x
x
=
+ - + -
+ -
´ -
é
ù
ë
û
，
4
2
x
x
=
-
-
；
（2）解：①令x
y
A
-
=
，
2
(
)
4
3
x
y
x
y
-
+
-
+ ，
2
4
3
A
A
=
+
+
，
2
1 3
1 3
A
A
=
+
+
+ ´ ，
2
1 3
1 3
A
A
=
+
+
+ ´ ，
3
1
A
A
=
+
+
．
A
x
y
=
-
Q
，
原式
3
1
x
y
x
y
=
-
+
-
+
；
②令
2
2
m
m
B
+
=
，
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2
2
2
2
3
4
m
m
m
m
+
+
-
-
，
3
4
B B
=
-
-
，
2
3
4
B
B
=
-
-
，
2
4 1
4
1
B
B
=
+ - +
+ -
´ ，
4
1
B
B
=
-
+
．
2
2
B
m
m
=
+
Q
，
原式
2
2
2
2
2
4
2
1
2
4 (
1)
m
m
m
m
m
m
m
=
+
-
+
+
=
+
-
+
．.
35．【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
（1）
2
1
5
6
5
x
x
x
x
+
+
=
+
+
；
（2）
2
3
2
5
6
x
x
x
x
-
-
=
-
+
；
（3）
2
4
2
2
8
y
y
y
y
+
-
=
+
- ．
我们发现，形如
x
p
x
q
+
+
的两个多项式相乘，其结果一定为
2x
p
q x
pq
+
+
+
（p，q 为整数）．因式分
解是与整式乘法方向相反的变形，故有
2x
p
q x
pq
x
p
x
q
+
+
+
=
+
+
，即可将形如
2x
p
q x
pq
+
+
+
的
多项式因式分解成(
x
p
x
q
+
+
（p，q 为整数）．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式：
2
2
3
a
a
+
-
= ______；
【类比应用】
（2）规律应用：若
2
2
4
8
a
m
a
-
-
+
可用以上方法进行因式分解，求整数m 的所有可能值；
【拓展应用】
（3）分解因式：
2
3
10
a
b
a
b
+
-
+
+
．
【答案】（1）
3
1
a
a
+
-
；（2）
3
m =
或
1
m = ；（3）
5
2
a
b
a
b
+
+
+
-
【分析】本题主要考查了分解因式：
（1）根据
3
1
2 3
1
3
+ -
=
´ -
= -
，
结合题意分解因式即可；
（2）把8
- 分解成两个整数的乘积形式，再根据题意可得2
4
m -
的结果等于分解成的两个整数的和，据此建
立方程求解即可；
（3）把a
b
+
看做一个整体，再仿照题意因式分解即可．
【详解】解：（1）∵
3
1
2 3
1
3
+ -
=
´ -
= -
，
，
∴
2
2
3
3
1
a
a
a
a
+
-
=
+
-
；
（2）∵8
1 8
2
4
4
2
8 1
- = - ´
= - ´
= - ´
= - ´ ，
∴2
4
1
8
7
m -
= - +
=
或2
4
2
4
2
m -
= - +
=
或2
4
4
2
2
m -
= - +
= - 或2
4
8
1
7
m -
= - + = - ，
解得
5.5
m =
（舍去）或
3
m =
或
1
m = 或
1.5
m = -
（舍去）；
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（3）
2
3
10
a
b
a
b
+
-
+
+
5
2
a
b
a
b
=
+
+
+
-
é
ù é
ù
ë
û ë
û
5
2
a
b
a
b
=
+
+
+
-
．
36．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式
2
x
a
x
b
x
a
b x
ab
+
+
=
+
+
+
，即
2x
a
b x
ab
x
a
x
b
+
+
+
=
+
+
是否可以分解因式呢？当然可以，而且
也很简单．如
2
2
5
4
1
4
1 4
1
4
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+ ´
=
+
+
；
2
2
3
4
1 4
1
4
1
4
x
x
x
x
x
x
-
-
=
+
-
+ ´ -
=
+
-
．
请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：
(1)
2
7
6
x
x
+
+
；
(2)
2
3
10
x
x
+
-
；
(3)
2
10
16
x
x
-
+
；
(4)
2
7
18
x
x
-
-
．
【答案】(1)
1
6
x
x
+
+
；
(2)
5
2
x
x
+
-
；
(3)
2
8
x
x
-
-
；
(4)
9
2
x
x
-
+
．
【分析】本题考查因式分解—十字相乘法，
（1）把6 分成1 6
´
，1
6
7
+
=
是一次项系数，由此类比分解得出答案即可；
（2）把10
-
分成2 5
- ´ ，5
2
3
-
=
是一次项系数，由此类比分解得出答案即可；
（3）把16分成
2
8
- ´ -
，2
8
10
- -
= -
是一次项系数，由此类比分解得出答案即可；
（4）把18
-
分成
2
9
´ -
，9
2
7
- +
= - 是一次项系数，由此类比分解得出答案即可；
弄清阅读材料中的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：
2
2
7
6
1 6
1 6
1
6
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+ ´
=
+
+
；
（2）
2
2
3
10
5
2
5
2
5
2
x
x
x
x
x
x
+
-
=
+
-
+ ´ -
=
+
-
；
（3）
2
2
10
16
2
8
2
8
2
8
x
x
x
x
x
x
-
+
=
+ - -
+ -
´ -
=
-
-
；
（4）
2
2
7
18
9
2
9
2
9
2
x
x
x
x
x
x
-
-
=
+ - +
+ -
´
=
-
+
．
37．因式分解：
2
2
9
8
x y
xy
+
+ ．
【答案】
1
8
xy
xy
+
+
【分析】本题考查的是因式分解，利用十字乘法分解因式即可．
【详解】解：
2
2
9
8
x y
xy
+
+
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2
9
8
y
y
x
x
=
+
+
1
8
xy
xy
=
+
+
；
38．因式分解：
2
2
2
2
2
5
2
6
x
x
x
x
-
+
-
-
．
【答案】
2
6
2
2
1
x
x
x
x
+
-
-
+
【分析】本题考查了因式分解．先将
2
2
x -
看作整体，利用十字相乘法分解，再对
2
2
x
x
-
-
利用十字相
乘法继续分解即可．
【详解】解：
2
2
2
2
2
5
2
6
x
x
x
x
-
+
-
-
2
2
2
6
2
x
x
x
x
=
-
+
-
-
2
6
2
2
1
x
x
x
x
=
+
-
-
+
．
39．阅读理解
阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以
简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因
式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”．
下面是小亮同学用换元法对多项式
2
2
(
4
1)(
4
7)
9
x
x
x
x
+
+
+
+
+ 进行因式分解的过程．
解：设
2
4
x
x
y
+
=
，则原式
1
7
9
y
y
=
+
+
+ （第一步）
＝
2
8
16
y
y
+
+
（第二步）
＝
2
(
4)
y+
（第三步）
故原式
2
2
(
4
4)
x
x
=
+
+
（第四步）．
4
(
2)
x
=
+
； （第五步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)初步理解：
小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)尝试应用：
请你用换元法对多项式
2
2
2
2
2
3
x
x
x
x
-
-
-
-
进行因式分解；
(3)灵活运用：
请你将多项式(
3)(
1)(
4)
36
x x
x
x
+
-
-
+
进行因式分解
【答案】(1)C
(2)
2
3
1
1
x
x
x
-
+
-
(3)
2
2
2
3
x
x
+
-
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
(1)根据完全平方公式即可解答；
(2)设
2
2
x
x
y
-
=
，则，原式
(
2)
3
y y
=
-
-
，再因式分解即可得到答案；
(3)先将原式变形为
2
2
12
36
x
x
x
x
-
-
-
+
，设
2x
x
y
-
=
，则原式
2
(
12)
36
6
y y
y
=
-
+
=
-
，进而得到原式
2
2
2
3
x
x
=
+
-
．
【详解】（1）解：运用了完全平方公式法，
故选：C；
（2）解：设
2
2
x
x
y
-
=
，
原式
(
2)
3
y y
=
-
-
2
2
3
y
y
=
-
-
3
1
y
y
=
-
+
2
2
2
3
2
1
x
x
x
x
=
-
-
-
+
2
3
1
1
x
x
x
=
-
+
-
；
（3）解：原式
(
1)(
3)(
4)
36
x x
x
x
=
-
+
-
+
2
2
12
36
x
x
x
x
=
-
-
-
+
，
设
2x
x
y
-
=
原式
(
12)
36
y y
=
-
+
2
12
36
y
y
=
-
+
2
6
y
=
-
2
2
6
x
x
=
-
-
=
2
2
2
3
x
x
+
-
．
40．睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121 页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次
三项式
2x
p
q x
pq
x
p
x
q
+
+
+
=
+
+
的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式
2
7
10
x
x
+
+
因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项10
2 5
=
´ ，一次项系数7
2
5
=
+
，则
7
10
2
5
x
x
x
x
+
+
=
+
+
，如图所示，仿照上述解决下列问题：
(1)因式分解：
2
6
8
x
x
+
+ ；
睿睿做了如下分析：
一次项为：
6
+
=
d □
，则常数项为：
8
´ =
d □
；
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则=
d ________；=
W ________；
∴
2
6
8
x
x
+
+
= （x + ____）（x + ____）
(2)因式分解：
2
5
6
x
x
-
+
；
【答案】(1)2，4，2，4
(2)
3
2
x
x
-
-
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键．
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用十字相乘法分解分解可得．
【详解】（1）解：一次项为：2
4
6
+
=
，则常数项为2 4
8
´
=
，则
2
=
d
；
4
=
□
；
所以
6
8
2
4
x
x
x
x
+
+
=
+
+
．
故答案为：2，4，2，4．
（2）解：一次项为：
3
2
5
-
+ -
= - ，则常数项为
3
2
6
-
´ -
=
，
则
2
5
6
3
2
x
x
x
x
-
+
=
-
-
．
【经典计算题五 分组分解法】
41．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2
3
4
6
a
ab
b
+
-
-
分解因式．
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：
原式
2
4
3
6
a
ab
b
=
-
+
-
2
2
3
2
a
b a
=
-
+
-
2
2
3
a
b
=
-
+
【类比】（1）请用分组分解法将
2
2
x
a
x
a
-
+
+
分解因式．
【挑战】（2）请用分组分解法将
2
2
2
ax
a
ab
bx
b
+
-
-
+
分解因式．
【答案】（1）
1
x
a
x
a
+
-
+
；（2）
a
b
x
a
b
-
+
-
【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式；
（1）把原式化为
2
2
x
a
x
a
-
+
+
，再进一步分解因式即可；
（2）把原式化为
2
2
2
ax
bx
a
ab
b
-
+
-
+
，再进一步分解因式即可；
【详解】解：（1）
2
2
x
a
x
a
-
+
+
2
2
x
a
x
a
=
-
+
+
x
a
x
a
x
a
=
+
-
+
+
1
x
a
x
a
=
+
-
+
；
（2）
2
2
2
ax
a
ab
bx
b
+
-
-
+
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2
2
2
ax
bx
a
ab
b
=
-
+
-
+
2
x a
b
a
b
=
-
+
-
=
-
+
-
a
b
x
a
b ；
42．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：
2
4
4
x
xy
x
y
-
+
-
2
4
4
x
xy
x
y
=
-
+
-
（分成两组）
4
x x
y
x
y
=
-
+
-
（直接提公因式）
4
x
y
x
=
-
+
，
乙：
2
2
2
2
a
b
c
bc
-
-
+
2
2
2
2
a
b
c
bc
=
-
+
-
（分成两组）
2
2
a
b
c
=
-
-
（直接运用公式）
a
b
c
a
b
c
=
+
-
-
+
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
(1)因式分解：
2
2
4
1
4
a
b
a
-
+ +
；
(2)已知
3,
5
a
b
a
c
-
=
-
= - ，求式子
2
a
ac
ab
bc
-
-
+
的值．
【答案】(1)
2
1
2
1
a
b
a
b
+ +
+ -
(2) 15
-
【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题．
（1）
2
2
4
1
4
a
b
a
-
+ +
分组后，可先利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）
2
a
ac
ab
bc
-
-
+
分组后，再次提公因式后代入数值计算即可．
【详解】（1）解：
2
2
4
1
4
a
b
a
-
+ +
2
2
4
4
1
a
a
b
=
+
+
-
2
2
2
1
a
b
=
+
-
2
1
2
1
a
b
a
b
=
+ +
+ -
（2）
2
a
ac
ab
bc
-
-
+
2
a
ab
bc
ac
=
-
+
-
a a
b
c a
b
=
-
-
-
a
b
a
c
=
-
-
当
3,
5
a
b
a
c
-
=
-
= - 时，
原式
3
5
15
a
b
a
c
=
-
-
= ´ -
= -
43．分解因式：
(1)
2
2
2
4
mn
mn
n
-
+
-
；
(2)
2
2
4
4
4
3
x
x
y
y
-
-
+
- ；
(3)
2
2
2
2
2
4
4
4
4
1
a
a
a b
b
ab
+
-
-
-
+ ．
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【答案】(1)(
2)(
2)
n
mn
-
+
(2)(2
1)(2
3)
x
y
x
y
-
+
+
-
(3)
2
(2
1) (1
)(1
)
a
b
b
+
+
-
【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）先分组，再利用提公因式进行因式分解即可；
（2 ）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；
（3）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；
【详解】（1）解：
2
2
2
4
mn
mn
n
-
+
-
2
2
(2
4)
mn
mn
n
=
-
+
-
(
2)
2(
2)
mn n
n
=
-
+
-
(
2)(
2)
n
mn
=
-
+
．
（2）解：
2
2
4
4
4
3
x
x
y
y
-
-
+
-
2
2
4
4
1
4
4
x
x
y
y
=
-
+ -
+
-
2
2
4
4
1
4
4
x
x
y
y
=
-
+
-
-
+
2
2
(2
1)
(
2)
x
y
=
-
-
-
(2
1
2)(2
1
2)
x
y
x
y
=
- -
+
- +
-
(2
1)(2
3)
x
y
x
y
=
-
+
+
-
；
（3）解：
2
2
2
2
2
4
4
4
4
1
a
a
a b
b
ab
+
-
-
-
+
2
2
2
2
2
4
4
1
4
4
a
a
a b
b
ab
=
+
+
-
+
+
2
2
2
(2
1)
(2
1)
a
b
a
=
+
-
+
2
2
(2
1)
1
a
b
=
+
-
2
(2
1) (1
)(1
)
a
b
b
=
+
+
-
．
44．先阅读，再解决问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法．
例如：
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a m
n
b m
m
m
n
a
b
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
．
(1)分解因式：
2
2
4
ab
a
b
-
-
+ ；
(2)若
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
+
+
-
+
=
，求m 和n 的值．
【答案】(1)
2
2
a
b
-
-
(2)
3
3
m
n
= -
ì
í =
î
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、分组法因式分解等知识点，灵活运用分组法进行因式分解成为
解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司
（1）先将原式分组后进行因式分解即可；
（2）先将原式分组后进行因式分解，然后根据非负数的性质列二元一次方程组求解即可．
【详解】（1）解：
2
2
4
ab
a
b
-
-
+
2
2
4
ab
a
b
=
-
-
-
2
2
2
a b
b
=
-
-
-
2
2
a
b
=
-
-
．
（2）解：∵
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
+
+
-
+
=
，
∴
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
n
+
+
+
-
+
=
，
∴
2
2
3
0
m
n
n
+
+
-
=
，
∴
0
3
0
m
n
n
+
=
ì
í -
=
î
，解得：
3
3
m
n
= -
ì
í =
î
．
45．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a m
n
b m
n
a
b
m
n
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
．
①分解因式：
3
3
9
ab
a
b
-
-
+ ；
②若
3
3
9
M
ab
a
b
=
-
-
+ ．a ，
b a
b
<
都是正整数且
4
M =
，求3a
b
+
的值；
（2）若a ，b 为实数且满足
2
1
0
ab
a
b
-
- - =
，整式
2
2
3
4
7
N
a
ab
b
a
b
=
+
+
-
-
，求整式N 的最小值．
【答案】（1）①
3
3
a
b
-
-
；②19；（2）2
-
【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用：
（1）①参照题干，利用分组分解法求解；②由a ，
b a
b
<
都是正整数，得
3
a - ，
3
b - 都是整数，且
3
3
a
b
-
<
- ，结合
4
1 4
1
4
= ´
= -
´ -
求出a，b 的值，代入计算可得答案；
（2）将
2
1
0
ab
a
b
-
- - =
变形为
2
1
ab
a
b
=
+
+ ，代入
2
2
3
4
7
N
a
ab
b
a
b
=
+
+
-
-
得
2
2
1
2
2
2
N
a
b
=
+
+
-
-
³ - ，
可得答案．
【详解】解：（1）①
3
3
9
ab
a
b
-
-
+
3
3
9
ab
a
b
=
-
-
-
3
3
3
a b
b
=
-
-
-
3
3
a
b
=
-
-
；
②Q
3
3
9
4
M
ab
a
b
=
-
-
+
=
，
3
3
4
a
b
-
-
=
，
Q a ，
b a
b
<
都是正整数，
3
a - ，
3
b - 都是整数，且
3
3
a
b
-
<
- ，
又Q
4
1 4
1
4
= ´
= -
´ -
，
学科网（北京）股份有限公司
3
1
3
4
a
b
-
=
ì
í -
=
î
，或
3
4
3
1
a
b
-
= -
ì
í -
= -
î
，
解得
4
7
a
b
=
ì
í =
î
或
1
2
a
b
= -
ì
í =
î
（不合题意，舍去），
3
3 4
7
12
7
19
a
b
+
= ´ +
=
+
=
；
（2）Q
2
1
0
ab
a
b
-
- - =
，
2
1
ab
a
b
=
+
+ ，
2
2
3
4
7
N
a
ab
b
a
b
=
+
+
-
-
2
2
3 2
1
4
7
a
a
b
b
a
b
=
+
+
+
+
-
-
2
2
6
3
3
4
7
a
a
b
b
a
b
=
+
+
+ +
-
-
2
2
2
4
3
a
a
b
b
=
+
+
-
+
2
2
2
1
4
4
2
a
a
b
b
=
+
+
+
-
+
-
2
2
1
2
2
a
b
=
+
+
-
-
，
Q
2
1
0
a +
³
，
2
2
0
b -
³
，
2
2
1
2
2
2
N
a
b
=
+
+
-
-
³ - ，
整式N 的最小值为2
- ．
46．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分
组分解法的形式有：“ 2
2
+
”分法、“3 1
+ ”分法、“3
2
+
”分法及“3
3
+ ”分法等．如“ 2
2
+
”分法：
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
ax
ay
bx
by
ax
ay
bx
by
a x
y
b x
y
x
y a
b
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
． 再如“3 1
+ ”分法：
2
2
2
2
2
2
2
16
2
16
4
4
4
x
xy
y
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
-
+
-
=
-
+
-
=
-
-
=
-
+
-
-
．利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：
①
2
2
9
6
16
x
xy
y
-
+
-
．
②
2
2
4
4
4
4
1
a
a
a b
b
ab
+
-
-
-
+ ．
(2)已知：a、b、c 为
ABC
V
的三条边，
2
2
2
4
4
6
17
0
a
b
c
a
b
c
+
+
-
-
-
+
=
，求
ABC
V
的周长．
【答案】(1)①
3
4
3
4
x
y
x
y
-
+
-
-
；②
2
2
1
1
a
b
+
-
(2)7
【分析】本题考查因式分解，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是
分组后利用各组本身的特点进行解题．
（1）①根据“3 1
+ ”分法即可得出答案；②根据“3
3
+ ”分法即可得出答案；
（2）运用完全平方公式进行分解因式，得出
2
2
2
2
2
3
0
a
b
c
-
+
-
+
-
=
，即可得出答案．
【详解】（1）解：（1）①
2
2
9
6
16
x
xy
y
-
+
-
，
2
2
(9
6
)
16
x
xy
y
=
-
+
-
，
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2
(3
)
16
x
y
=
-
-
，
(3
4)(3
4)
x
y
x
y
=
-
+
-
-
；
②
2
2
4
4
4
4
1
a
a
a b
b
ab
+
-
-
-
+ ，
2
2
4
4
1
4
4
a
a
a b
ab
b
=
+
+ -
+
+
，
2
2
4
4
1
4
4
1
a
a
b
a
a
=
+
+ -
+
+
，
2
4
4
1 1
a
a
b
=
+
+
-
，
2
2
1
1
a
b
=
+
-
；
（2）解：
2
2
2
4
4
6
17
0
a
b
c
a
b
c
+
+
-
-
-
+
=
，
2
2
2
4
4
4
4
6
9
0
a
a
b
b
c
c
-
+
+
-
+
+
-
+
=
，
2
2
2
2
2
3
0
a
b
c
-
+
-
+
-
=
，
2
0
a
-
=
，
2
0
b -
=
，
3
0
c -
=
，
2
a
b
=
=
，
3
c =
，
ABC
V
的周长
2
2
3
7
=
+
+
=
．
47．因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业．
因式分解：
2
2
1
x
y
x
y
+
+
+
+ ．
小明：将“ x
y
+
”看成整体，令x
y
A
+
=
，则原式
2
2
2
1
1
A
A
A
=
+
+ =
+
，再将“A”还原，可以得到原式
2
1
x
y
=
+
+
．
张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明的做
法完成下列题目．
(1)因式分解：
2
2
2
x
xy
y
+
+
．
(2)因式分解：
2
2
9
2
a
ab
b
- -
+
．
(3)因式分解：
2
2
4
1
4
7
9
a
a
a
a
-
+
-
+
+
．
【答案】(1)
2
x
y
+
(2)
3
3
a
b
a
b
-
+
-
-
(3)
4
(
2)
a -
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
（1）直接利用完全平方公式进行因式分解即可；
（2）分组后然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；
（3）将
2
4
a
a
-
看成整体，令
2
4
a
a
B
-
=
，进行因式分解，再将“B”还原代入，再次因式分解即可．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
x
xy
y
x
y
+
+
=
+
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（2）解：
2
2
9
2
a
ab
b
- -
+
2
23
a
b
=
-
-
3
3
a
b
a
b
=
-
+
-
-
；
（3）解：令
2
4
a
a
B
-
=
，
则
2
2
4
1
4
7
9
a
a
a
a
-
+
-
+
+
1
7
9
B
B
=
+
+
+
2
8
16
B
B
=
+
+
2
4
B
=
+
．
将
2
4
B
a
a
=
-
代入，得
原式
2
2
4
4
4
(
2)
a
a
a
=
-
+
=
-
．
48．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下：
甲:
2
2
2
4
a
ab
b
-
-
+
2
2
2
4
a
ab
b
=
-
+
-
（分成两组）
2
2
(
)
2
a
b
=
-
-
（直接运用公式）
=
2
2
a
b
a
b
- +
- -
．
乙
2
: a
ab
a
b
-
-
+
2
a
ab
a
b
=
-
-
-
（分成两组）
a a
b
a
b
=
-
-
-
（提公因式）
1
a
b
a
=
-
-
．
请在他们解法的启发下，解答下列各题：
(1)
3
2
2
4
8
m
m
m
-
-
+ ；
(2)
2
2
2
9
x
xy
y
-
+
- ．
【答案】(1)
2
2
2
m
m
-
+
(2)
3
3
x
y
x
y
-
+
-
-
【分析】本题主要考查因式分解，灵活运用分组分解法是解答本题的关键．
（1）原式先进行分组，再提取公因式，最后运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）原式先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】（1）解：
3
2
2
4
8
m
m
m
-
-
+
3
2
4
2
8
m
m
m
=
-
+ -
+
2
2
4
4
2
m m
m
=
-
-
-
2
2
4
m
m
=
-
-
2
2
2
m
m
m
=
-
+
-
2
2
2
m
m
=
-
+
学科网（北京）股份有限公司
（2）解：
2
2
2
9
x
xy
y
-
+
- ．
2
2
2
9
x
xy
y
=
-
+
- ．
2
23
x
y
=
-
-
3
3
x
y
x
y
=
-
+
-
-
49．阅读材料：要把多项式am
an
bm
bn
+
+
+
分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a m
n
b m
n
m
n
a
b
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
，这种分解因式的方法叫做分组
分解法．
(1)请用上述方法分解因式：
2
2
x
y
x
y
-
+
-
；
(2)已知
3
a
b
-
=
，
5
a
c
+
= - ，求式子
2
ac
bc
a
ab
-
+
-
的值；
(3)分解因式：
3
2
6
11
6
x
x
x
+
+
+ =______．
【答案】(1)
1
-
+
+
x
y
x
y
(2) 15
-
(3)
1
2
3
x
x
x
+
+
+
【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键是掌握分组分解法．
（1）根据分组分解法因式分解即可；
（2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可；
（3）根据分组分解法因式分解即可．
【详解】（1）解：
2
2
x
y
x
y
-
+
-
x
y
x
y
x
y
=
+
-
+
-
1
x
y
x
y
=
-
+
+
．
（2）Q
3
a
b
-
=
，
5
a
c
+
= - ，
2
ac
bc
a
ab
-
+
-
2
ac
a
bc
ab
=
+
-
+
a c
a
b c
a
=
+
-
+
c
a
a
b
=
+
-
5 3
= - ´
15
= -
．
（3）
3
2
6
11
6
x
x
x
+
+
+
3
2
2
5
5
6
6
x
x
x
x
x
=
+
+
+
+
+
3
2
2
5
5
6
6
x
x
x
x
x
=
+
+
+
+
+
2
1
5
1
6
1
x
x
x x
x
=
+
+
+
+
+
学科网（北京）股份有限公司
2
1
5
6
x
x
x
=
+
+
+
1
2
3
x
x
x
=
+
+
+
．
故答案为：
1
2
3
x
x
x
+
+
+
．
50．【阅读理解】
对于二次三项式
2
2
2
x
ax
a
+
+
，能直接用公式法进行因式分解，得到
2
2
2
2
(
)
x
ax
a
x
a
+
+
=
+
，但对于二次三
项式
2
2
2
3
x
ax
a
+
-
，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式
2
2
2
3
x
ax
a
+
-
中先加
上一项
2
a ，使其成为完全平方式，再减去
2
a 这项，使整个式子的值不变，于是：
2
2
2
2
3
x
ax
a
x
+
-
=
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
4
(
)
(2 )
(
2 )
ax
a
a
a
x
ax
a
a
x
a
a
x
a
a
+
-
-
=
+
+
-
=
+
-
=
+
+
(
2 )
(
3 )(
)
x
a
a
x
a x
a
+
-
=
+
-
．像这样把
二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
【问题解决】将下面的式子分解因式：
(1)
2
8
15
a
a
-
+
；
(2)
2
2
2
8
x
ax
a
+
-
．
【答案】(1)
5
3
a
a
-
-
(2)
4
2
x
a
x
a
+
-
【分析】本题考查因式分解的应用，关键是利用“配方法”分解因式．
（1）加16 再减16，可以组成完全平方式，再用平方差公式分解即可；
（2）加
2
a 再减
2
a ，可以组成完全平方式，再用平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：
2
8
15
a
a
-
+
2
8
16 16 15
a
a +
-
-
+
=
2
4
1
a
=
-
-
4 1
4 1
a
a
=
-
-
-
+
5
3
a
a
=
-
-
；
（2）解：
2
2
2
8
x
ax
a
+
-
2
2
2
2
2
8
x
ax
a
a
a
=
+
+
-
-
2
2
3
x
a
a
=
+
-
3
3
x
a
a
x
a
a
é
ù é
ù
=
+
+
+
-
ë
û ë
û
4
2
x
a
x
a
=
+
-
【经典计算题六 因式分解的应用型计算】
51．已知
5
a
b
+
=
，
3
ab =
．
(1)求代数式
3
2
2
3
2
a b
a b
ab
+
+
．
学科网（北京）股份有限公司
(2)求a
b
- 的值．
【答案】(1)75
(2)
13
±
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，平方根求值，掌握因式分解，平方根的计算是解题
的关键．
（1）先将原式因式分解，再代入求值即可；
（2）根据题意得
2
2
19
+
=
a
b
，再将所求代数式变形得
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
-
=
-
+
，代入求值，再计算平方根即
可．
【详解】（1）解：∵
5,
3
+
=
=
a
b
ab
，
∴
3
2
2
3
2
a b
a b
ab
+
+
＝
2
2
2
ab a
ab
b
+
+
2
ab a
b
=
+
＝
2
3 5
´
75
=
；
（2）解：∵
5,
3
+
=
=
a
b
ab
，
∴
2
25
a
b
+
=
，即
2
2
2
25
a
b
ab
+
+
=
，
∴
2
2
19
+
=
a
b
，
∴
2
2
2
2
13
a
b
a
b
ab
-
=
+
-
=
，
∴
13
a
b
-
= ±
．
52．已知
2
1
3
x x
x
y
-
-
-
= - ，求
2
2
2
x
y
xy
+
-
的值．
【答案】9
【分析】本题考查单项式乘多项式的灵活运用，由
2
1
3
x x
x
y
-
-
-
= - ，整理得出
3
y
x
-
= - ，进一步根
据完全平方公式分解代数式，整体代入求得答案即可．
【详解】解：∵
2
1
3
x x
x
y
-
-
-
= - ，
∴
2
2
3
x
x
x
y
-
-
+
= - ，
∴
3
y
x
-
= - ，
∴
2
2
2
2
2
3
9
x
y
xy
y
x
+
-
=
-
= -
=
．
53．探究题：
【问题情景】
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
2
6
9
x
x
-
+
=___________；
2
25
10
1
x
x
+
+ = __________；
2
4
12
9
x
x
+
+
= ___________；
学科网（北京）股份有限公司
【探究发现】
（2）观察上述三个多项式的系数，有
2
6
4 1 9
-
=
´ ´ ，
2
10
4 25 1
=
´
´ ，
2
12
4 4 9
=
´ ´ ，于是小明发现：若多
项式
2
0,
0
ax
bx
c a
c
+
+
>
>
是完全平方式，那么系数a 、b 、c 之间存在的关系式为__________；
【问题解决】
（3）若多项式
2
1
2
6
6
k
x
k
x
k
+
-
+
+
+
是一个完全平方式，利用（2）中的结论求出k 的值．
【答案】（1）
2
3
x -
；
2
5
1
x +
；
2
2
3
x +
；（2）
2
4
b
ac
=
；（3）3
【分析】本题主要考查了完全平方公式、因式分解的理解和应用等知识点，灵活运用完全平方公式是解题
的关键．
（1）利用完全平方公式进行分解因式即可解答；
（2）根据问题情境，式子中的系数关系，可猜想
2
4
b
ac
=
；
（3）多项式
2
1
2
6
6
k
x
k
x
k
+
-
+
+
+
是一个完全平方式，则系数a，b，c 存在的关系为
2
4
b
ac
=
，据此
列出关于k 的方程求解即可．
【详解】解：（1）
2
2
6
9
3
x
x
x
-
+
=
-
；
2
2
25
10
1
5
1
x
x
x
+
+ =
+
，
2
2
4
12
9
2
3
x
x
x
+
+
=
+
故答案为：
2
3
x -
；
2
5
1
x +
；
2
2
3
x +
．
（2）∵观察上述三个多项式的系数，有
2
6
4 1 9
-
=
´ ´
，
2
10
4 25 1
=
´
´ ，
2
12
4 4 9
=
´ ´ ，
∴若多项式
2
0,
0
ax
bx
c a
c
+
+
>
>
是完全平方式，那么系数a 、b 、c 之间存在的关系式为：
2
4
b
ac
=
．
故答案为：
2
4
b
ac
=
．
（3）∵多项式
2
1
2
6
6
k
x
k
x
k
+
-
+
+
+
是一个完全平方式，
∴
2
2
6
4
1
6
k
k
k
é
ù
-
+
=
+
+
ë
û
，
整理得：
2
2
4
24
36
4
28
24
k
k
k
k
+
+
=
+
+
，解得：
3
k =
，
∴k 的值为3.
54．对于多项式
2
2
2
x
ax
a
+
+
可以直接用公式法分解因式为
2
(
)
x
a
+
的形式，但对于多项式
2
2
2
3
x
ax
a
+
-
就不
能直接用公式法了，此时我们可以在多项式
2
2
2
3
x
ax
a
+
-
中先加上
2
a ，使其成为完全平方式，再减去
2
a ，
使整个式子的值不变，于是有：
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
x
ax
a
x
ax
a
a
a
x
ax
+
-
=
+
-
+
-
=
+
+
2
2
2
2
4
(
)
(2 )
(
3 )(
)
a
a
x
a
a
x
a x
a
-
=
+
-
=
+
-
．像上面这样分解因式的方法叫做添项法．
(1)利用上述方法分解因式：
2
4
3
x
x
+
+ ；
(2)求多项式
2
10
28
x
x
+
+
的最小值，并求出此时x 的值．
【答案】(1)
3
1
x
x
+
+
(2)最小值是3
【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键．
（1）仿照例题的做法解答即可；
学科网（北京）股份有限公司
（2）利用例题的做法先将原式变形为
2
2
10
28
5
3
x
x
x
+
+
=
+
+
，再根据完全平方式的非负性解答．
【详解】（1）
2
4
3
x
x
+
+
2
4
4
4
3
x
x
=
+
+
-
+
2
2
1
x
=
+
-
2 1
2 1
x
x
=
+
+
+
-
3
1
x
x
=
+
+
；
（2）
2
2
2
10
28
10
25
3
5
3
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+
=
+
+ ，
∵
2
5
0
x +
³
，
∴当
2
5
0
x +
=
时，多项式
2
10
28
x
x
+
+
有最小值，
∴当
5
x = - 时，多项式
2
10
28
x
x
+
+
有最小值，最小值是3．
55．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是某同学对多项式
2
2
2
2
2
1
x
x
x
x
+
+
+
+ 进行因式分解的过程：
解：设
2
2
x
x
y
+
=
原式
2
1
y y
=
+
+ （第一步）
2
2
1
y
y
=
+
+ （第二步）
2
1)
y +
=(
（第三步）
2
2
2
1
x
x
=
+
+
．（第四步）
问题：
(1)该同学没有完成因式分解，请你直接写出最后的结果__________；
(2)请你结合以上的思想方法对多项式
2
2
4
4
8
16
x
x
x
x
-
-
+
+
进行因式分解；
(3)若
2
2
2
2
1
1
63
x
y
x
y
+
+
+
-
=
，求
2
2
x
y
+
的值．
【答案】(1)
4
1
+
x
(2)
4
(
2)
x -
(3)8
【分析】本题主要考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征
是正确解答的关键．
（1）根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）利用换元法进行因式分解即可；
（3）设
2
2
x
y
m
+
=
，则原式可变为
1
1
63
m
m
+
-
=
，求出
8
m = ± ，根据
2
2
0
³
+
x
y
，即可得出答案．
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
1
x
x
x
x
+
+
+
+
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设
2
2
x
x
y
+
=
，
原式
2
1
y y
=
+
+
2
2
1
y
y
=
+
+
2
1
y
=
+
2
2
2
1
x
x
=
+
+
4
1
x
=
+
．
（2）解：
2
2
4
4
8
16
x
x
x
x
-
-
+
+
，
设
2
4
x
x
y
-
=
，
原式
8
16
y y
=
+
+
2
8
16
y
y
=
+
+
2
4
y
=
+
2
2
4
4
x
x
=
-
+
4
2
x
=
-
；
（3）解：
2
2
2
2
1
1
63
x
y
x
y
+
+
+
-
=
，
设
2
2
x
y
m
+
=
，
∴
1
1
63
m
m
+
-
=
，
∴
2
1
63
m - =
，
∴
2
64
m =
，
∴
8
m = ± ，
∵
2
2
0
³
+
x
y
，
∴
2
2
8
x
y
+
= ．
56．小亮在课余时间写了三个算式：
2
2
2
2
2
2
3
1
8 15
3
8 2 7
5
8 3
-
= ´
-
= ´
-
= ´
，
，
．通过观察，小亮发现任意两个
连续奇数的平方差是8 的倍数
(1)
2
2
9
7
-
的结果是8 的几倍？
(2)设两个连续奇数为2
1 2
1
n
n
+
-
，
（n 为正整数），写出它们的平方差，并判断其结果是否是8 的倍数
【答案】(1)
2
2
9
7
-
的结果是8 的4 倍
(2)8n ，两个连续奇数的平方差是8 的倍数
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完
全平方公式和平方差公式．
（1）通过计算
2
2
9
7
32
-
=
即可得出答案；
学科网（北京）股份有限公司
（2）应用因式分解的方法计算
2
2
2
1
2
1
8
+
-
-
=
n
n
n ，据此可得出结论．
【详解】（1）解：
2
2
9
7
81 49
32,32
8
4
-
=
-
=
¸
=
．
故
2
2
9
7
-
的结果是8 的4 倍．
（2）解：
2
2
(2
1)
(2
1)
[(2
1)
(2
1)][(2
1)
(2
1)]
n
n
n
n
n
n
+
-
-
=
+
+
-
+
-
-
(2
1
2
1)(2
1 2
1)
4
2
8
n
n
n
n
n
n
=
+ +
-
+ -
+
=
×
=
．
故两个连续奇数的平方差是8 的倍数．
57．数学小组在研究式子
2
2
M
N
﹣
时，发现当M，N 是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律：
2
2
11
11
0
-
=
①
2
2
21
12
1 3 99
´ ´
-
=
②
2
2
32
23
1 5 99
´ ´
-
=
③
2
2
42
24
2 6 99
´ ´
-
=
④
根据上述规律解决下列问题：
(1)填空：
2
2
52
25
-
=
7 99
´ ´
；
(2)若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明；
(3)小智发现某一式子
2
2
M
N
M
N
-
¹
的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M 的值．
【答案】(1)3
(2)
2
2
10
10
99
a b
b
a
a
b
a b
=
+
-
+
-
´
+
´
，见解析
(3)65
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，能根据所给等式发现规律是解题的关键．
（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．
（2）用含a，b 的等式表示出（1）中发现的规律，并进行证明即可．
（3）根据题意建立关于a，b 的等式，再进行分析即可．
【详解】（1）解：由题知，
因为
2
2
11
11
0 2 99
1 1
1 1
99
´ ´
=
-
-
´
´
=
+
，
2
2
21
12
1 3 99
2 1
2 1
99
´ ´
=
-
-
´
´
=
+
，
2
2
32
23
1 5 99
3
2
3 2
99
´ ´
=
-
-
´
´
=
+
，
2
2
42
24
2 6 99
4
2
4
2
99
´ ´
=
-
-
´
´
=
+
，
所以
2
2
52
25
5
2
5 2
99
3 7 99
=
-
´
+
´
-
= ´ ´
．
故答案为：3．
（2）发现的规律是：
2
2
10
10
99
a b
b
a
a
b
a b
=
+
-
+
-
´
+
´
．
证明如下：
左边
2
2
2
2
100
20
100
20
a
ab
b
b
ab
a
-
-
=
+
+
-
学科网（北京）股份有限公司
2
2
99 a
b
=
-
99
a
b
a
b
=
-
´
+
´
＝右边，
故此等式成立．
（3）因为
2
2
M
N
M
N
-
¹
的结果恰好是一个整数的平方，
所以
99 a
b
a
b
-
+
是一个整数的平方．
因为
99
9 11
a
b
a
b
a
b
a
b
-
+
= ´
´
-
+
，
又因为1
,
9
a b
£
£ ，
所以
1
11
a
b
a
b
-
=
ì
í +
=
î
，
解得
6
5
a
b
=
ì
í =
î
，
所以
6 10 5
65
M = ´
+
=
．
58．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都
为n 的小正方形，五块是长为m 、宽为n 的全等小矩形，且m
n
>
．（以上长度单位：cm ）
(1)用含m ，n 的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
(2)观察图形，发现可以用两种方法表示矩形纸板的面积：方法1：_______，方法2：______，利用面积相
等可以将代数式
2
2
2
5
2
m
mn
n
+
+
因式分解为________；
(3)若每块小矩形的面积为
2
10cm ，四个正方形的面积和为
2
58cm ，试求
2
m
n
+
的值．
【答案】(1)6
6
m
n
+
(2)
2
2
m
n
m
n
+
+
，
2
2
2
5
2
m
mn
n
+
+
，
2
2
m
n
m
n
+
+
(3)49
【分析】本题考查的是多项式乘多项式与图形的面积，完全平方公式的变形求值．
（1）根据整式的加减混合运算法则计算；
（2）根据图形的面积的不同的表示方法解答；
（3）变形完全平方公式，代入计算即可．
【详解】（1）解：图中一条竖直裁剪线长为
2m
n
+
，一条水平裁剪线长为
2
m
n
+
，
学科网（北京）股份有限公司
∴所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：
2
2
2 2
6
6
m
n
m
n
m
n
+
+
+
=
+
；
（2）解：大长方形的面积由长乘宽可得
2
2
m
n
m
n
+
+
，
由九个小图形之和可得
2
2
2
5
2
m
mn
n
+
+
，
∴
2
2
2
5
2
2
2
m
mn
n
m
n
m
n
+
+
=
+
+
即
2
2
2
5
2
m
mn
n
+
+
可以因式分解为：
2
2
m
n
m
n
+
+
，
故答案为：
2
2
m
n
m
n
+
+
，
2
2
2
5
2
m
mn
n
+
+
，
2
2
m
n
m
n
+
+
；
（3）解：依题意得，
2
2
2
2
58
m
n
+
=
，
10
mn =
，
2
2
29
m
n
+
=
，
2
2
2
2
m
n
m
mn
n
+
=
+
+
Q
，
2
29
20
49
m
n
+
=
+
=
．
59．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长
都为n 的小正方形，五块是长为m，宽为n 的全等小长方形，且m
n
>
．（单位：cm ）
(1)观察图形，并解答问题：
①代数式
2
2
2
5
2
m
mn
n
+
+
可以因式分解为______；
②若长方形纸板面积为
2
108cm ，每块小长方形的面积为
2
10cm ，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和；
(2)若再给一块边长都为n 的小正方形，和两块长为m、宽为n 的小长方形，请用给出的所有图形拼凑出一
个长方形，并画出这个长方形，再对代数式
2
2
2
7
3
m
mn
n
+
+
进行因式分解．
【答案】(1)①(2
)(
2 )
m
n m
n
+
+
②42cm
(2)图见解析；(2
)(
3 )
m
n m
n
+
+
【分析】本题考查了图形面积与整式的因式分解，完全平方公式的变形应用，数形结合是解题的关键；
（1）①由面积关系，即面积为
2
2
2
5
2
m
mn
n
+
+
的长方形等于长为2m
n
+
、宽为
2
m
n
+
的面积，由此即可求
解；
②由题意得：
2
2
2
5
2
108
10
m
mn
n
mn
+
+
=
=
，
，由此可求得
2
2
29
m
n
+
=
，由完全平方公式可求得m
n
+
的值，
而所有裁剪线长的和为2(
2
2
)
6(
)
m
n
m
n
m
n
+
+
+
=
+
，代入即可求解；
（2）拼成的长方形一边为2m
n
+
，另一边为
3
m
n
+
，画出图形，计算出面积即可得到因式分解的结果．
【详解】（1）解①由面积相等，得
2
2
2
5
2
(2
)(
2 )
m
mn
n
m
n m
n
+
+
=
+
+
；
故答案为：(2
)(
2 )
m
n m
n
+
+
；
学科网（北京）股份有限公司
②
2
2
2
5
2
108
10
m
mn
n
mn
+
+
=
=
Q
，
，
2
2
29
m
n
+
=
，
2
2
2
(
)
2
m
n
m
mn
n
+
=
+
+
Q
，
2
(
)
49
m
n
+
=
，
0
m
n
+
>
Q
，
7
m
n
+
=
，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为：
2(
2
2
)
6(
)
6 7
42(cm)
m
n
m
n
m
n
+
+
+
=
+
=
´
=
；
（2）解：如图，
2
2
2
7
3
(2
)(
3 )
m
mn
n
m
n m
n
+
+
=
+
+
．
60．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都
为n 的小正方形，五块是长为m、宽为n 的全等小矩形，且m
n
>
．（以上长度单位：cm ）
(1)观察图形，可以发现代数式
2
2
2
5
2
m
mn
n
+
+
可以因式分解为 ；
(2)若每块小矩形的面积为
2
10cm ，四个正方形的面积和为
2
58cm ，试求
2
m
n
+
的值．
【答案】(1)
2
2
m
n
m
n
+
+
(2)49
【分析】本题考查因式分解，完全平方公式：
（1）利用数形结合的思想，
2
2
2
5
2
m
mn
n
+
+
表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即
可得出结论；
（2）由题意，得到
10
mn =
，
2
2
2
2
58
m
n
+
=
，利用完全平方公式进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：
2
2
2
5
2
m
mn
n
+
+
表示大长方形的面积，
大长方形的边长分别为：
2
,
2
m
n
m
n
+
+
，
∴
(
)(
)
2
2
2
5
2
2
2
m
mn
n
m
n
m
n
+
+
=
+
+
；
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：
2
2
m
n
m
n
+
+
；
（2）由题意，得：
10
mn =
，
2
2
2
2
58
m
n
+
=
，
∴
2
2
29
m
n
+
=
，
∴
2
2
2
2
29
2 10
49
m
n
m
n
mn
+
=
+
+
=
+ ´
=
．
【经典计算题七 利用因式分解求最值】
61．先阅读下列材料，再解答问题：
对于形如
2
2
2
x
ax
a
+
+
这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成
2
(
)
x
a
+
的形式．但对于二次三项式
2
2
2
3
x
ax
a
+
-
，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式
2
2
2
3
x
ax
a
+
-
中先加上一项
2
a ，使
它与
2
2
x
ax
+
的和成为一个完全平方式，再减去
2
a ，整个式子的值不变，于是有：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
(
)
(2 )
3
x
ax
a
x
ax
a
a
a
x
a
a
x
a
x
a
+
-
=
+
+
-
-
=
+
-
=
+
-
．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方
法”．
(1)利用“配方法”分解因式：
2
6
8
a
a
-
+ ．
(2)若
5,
6
a
b
ab
+
=
=
，求：①
2
2
a
b
+
；②
4
4
a
b
+
的值．
(3)已知x 是实数，若
2
4
5
M
x
x
=
-
+
，请你利用配方法求出M 的最小值．
【答案】(1)
2
4
a
a
-
-
(2)13；97
(3)1
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤是解题的关键．
（1）仿照阅读例子，加减一个适当的数计算即可；
（2）利用完全平方公式计算即可；
（2）利用配方法，结合实数的非负性，计算即可．
【详解】（1）解：
2
6
8
a
a
-
+ ，
2
6
9
9
8
a
a
=
-
+
- +
，
2
3
1
a
=
-
- ，
3 1
3 1
a
a
=
- -
- +
，
4
2
a
a
=
-
-
；
（2）解：
2
2
a
b
+
2
2
2
2
a
ab
b
b
a
=
+
+
-
2
2
a
b
ab
=
+
-
，
学科网（北京）股份有限公司
∵
5
a
b
+
=
，
6
ab =
∴原式
25
2 6
13
=
=
- ´
；
4
4
4
2
2
4
2
2
2
2
a
b
a
a b
b
a b
+
=
-
+
+
2
2
2
2
2
2
a
b
a b
=
+
-
∵
2
2
13,
6
a
b
ab
+
=
=
∴原式
2
2
7
13
2 6
169
2
97
-
=
-
=
=
´
；
（3）解：∵
2
4
5
M
x
x
=
-
+
，
2
4
4 1
x
x
=
-
+ + ，
2
2
1
1
x
=
-
+ ³
∴当
2
x =
时，M 有最小值1．
62．阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题，
例如：
2
2
2
2
3
2
1 1 3
1
2
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+ - +
=
+
+
，
∵
2
1
0
x +
³
，∴
2
1
2
2
x +
+
³
．
(1)这个代数式
2
2
3
x
x
+
+ 的最小值是______，这时相应的x 的值是______．
(2)求代数式
2
4
10
x
x
-
+
的最小值，并写出相应的x 的值．
(3)若
2
3
4
M
x
x
=
+
，
2
4
5
N
x
=
+ 试比较M 、N 的大小，并说明理由．
【答案】(1)2；1
-
(2)当
2
x =
时，代数式的最小值为6
(3) N
M
>
，见解析
【分析】本题主要考查因式分解的应用，完全平方式，解答的关键是对完全平方式的掌握与应用．
（1）由题意可得出答案；
（2）根据例中的方法，求解即可；
（3）求得
2
2
1
0
N
M
x
-
=
-
+ ³
，即可得出答案．
【详解】（1）解：
2
2
3
x
x
+
+
2
1
2
x
=
+
+
∵
2
1
0
x +
³
∴
2
2
3
2
x
x
+
+
³
∴代数式
2
2
3
x
x
+
+ 的最小值是2，这时相应的x 的值是1
- ．
故答案为：2；1
- ．
（2）解：
2
4
10
x
x
-
+
2
2
6
x
=
-
+
学科网（北京）股份有限公司
∵
2
2
0
x -
³
∴
2
4
10
6
x
x
-
+
³
∴当
2
x =
时，
2
4
10
x
x
-
+
的最小值为6．
（3）解：N
M
>
．
理由：∵
2
3
4
M
x
x
=
+
，
2
4
5
N
x
=
+ ，
∴
2
2
4
5
3
4
N
M
x
x
x
-
=
+ -
+
2
4
5
x
x
=
-
+
2
2
1
x
=
-
+ ，
∵
2
2
0
x -
³
，
∴
0
N
M
-
³
，
∴N
M
>
．
63．阅读理解并解答：
我们把多项式
2
2
2
a
ab
b
+
+
，
2
2
2
a
ab
b
-
+
叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判
断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的
最大（或最小）值问题．
(1)例如：①
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
1 1
3
1
1 3
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
=
+
+ -
+
=
+
- +
=
+
+
，
2
1
x +
Q
是非负数，即
2
1
0
x +
³
，
2
1
2
2
x +
+
³
，
则这个代数
2
2
3
x
x
+
+ 的最小值是2，这时相应的x 的值是1
- ，
②
2
2
2
2
2
2
12
1
2
6
1
2
6
9
9
1
2
3
18 1
2
3
17
x
x
x
x
x
x
x
x
-
+ =
-
+ =
-
+
-
+ =
-
-
+ =
-
-
，
2
3
x -
Q
是非负数，即
2
3
0
x -
³
，
2
2
3
17
17
x
-
-
³ -
，
则这个代数式
2
2
12
1
x
x
-
+ 的最小值是______，这时相应的x 的值是_______；
(2)知识再现：当x = ______时，代数式
2
4
5
x
x
-
+ 的最小值是______；
(3)知识运用：若
2
2
2
y
x
x
= -
+
+
，当x = ______时，y 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
(4)知识拓展：若
2
3
4
0
x
x
y
-
+
+
+
=
，求y
x
+
的最小值．
【答案】(1) 17
-
，3
(2)2，1
(3)1，大，3
(4) 5
-
【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
（1）根据
2
2
3
17
17
x -
-
³ -
可得当
3
0
x -
=
时，取得最小值，由此即可得；
（2）利用完全平方公式可得
2
2
4
5
2
1
x
x
x
-
+
=
-
+ ，根据
2
2
x -
是非负数求解即可得；
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（3）利用完全平方公式可得
2
1
3
y
x
= -
-
+
，根据
2
1
x-
是非负数求解即可得；
（4）先根据已知等式可得
2
2
4
y
x
x
x
-
+
=
-
，再利用完全平方公式可得
2
1
5
y
x
x
+
=
-
- ，根据
2
1
x-
是非
负数求解即可得．
【详解】（1）解：∵
2
2
3
17
17
x -
-
³ -
，
∴这个代数式
2
2
12
1
x
x
-
+ 的最小值是17
-
，此时
3
0
x -
=
，
∴这个代数式取得最小值时，相应的x 的值是3，
故答案为：17
-
，3．
（2）解：
2
2
4
5
4
5
x
x
x
x
-
+
=
-
+
2
4
4
4
5
x
x
=
-
+
-
+
2
2
4
5
x
=
-
-
+
2
2
1
x
=
-
+ ，
∵
2
2
x -
是非负数，即
2
2
0
x -
³
，
∴
2
2
1
1
x -
+ ³ ，
∴当
2
0
x -
=
，即
2
x =
时，代数式
2
4
5
x
x
-
+ 取得最小值，最小值为1，
故答案为：2，1．
（3）解：
2
2
2
y
x
x
= -
+
+
2
2
2
x
x
= -
-
+
2
2
1 1
2
x
x
= -
-
+ -
+
2
1
1
2
x
= -
-
+ +
2
1
3
x
= -
-
+ ，
∵
2
1
x-
是非负数，即
2
1
0
x -
³
，
∴
2
1
3
3
x
-
-
+
£
，
∴当
1
0
x - =
，即
1
x = 时，y 有最大值，最大值为3，
故答案为：1，大，3．
（4）解：
2
3
4
0
x
x
y
-
+
+
+
=
，
2
2
4
0
x
x
x
y
-
+
+
+
+
=
，
则
2
2
4
y
x
x
x
-
+
=
-
2
2
4
x
x
=
-
-
2
2
1 1
4
x
x
=
-
+ -
-
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2
1
1 4
x
=
-
- -
2
1
5
x
=
-
-
，
∵
2
1
x-
是非负数，即
2
1
0
x -
³
，
∴
2
1
5
5
x -
-
³ - ，
∴y
x
+
的最小值为5
- ．
64．1.阅读理解：
（1）为了求代数式
2
2
3
x
x
+
+ 的值，我们必须知道x 的值．
若
1
x = ，则这个代数式的值为________﹔若
2
x =
，则这个代数式的值为_______；……
可见，这个代数式的值因x 的取值不同而变化，尽管如此，尽管如此；把一个代数式进行变形，可以解决
求代数式的最大（或最小）值问题．
例如：例如：
2
2
2
2
3
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+ +
=
+
+
∵
2
1
0
x +
³
∴
2
1
2
2
x +
+
³
∴当
1
0
x + =
时，代数式
2
2
3
x
x
+
+ 的最小值是2 ，此时x 的值为1
- ．
（2）求代数式
2
4
9
x
x
-
+ 的最小值，并写出相应的x 的值．
（3）代数式
2
6
8
x
x
-
-
+
的最大值为 ．
【答案】（1）6，11；（2）当
2
x =
时，代数式
2
4
9
x
x
-
+ 的最小值是5；（3）17 ．
【分析】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给
出的式子化成完全平方的性质进行解答．
（1）把
1
x = 和
2
x =
分别代入代数式
2
2
3
x
x
+
+ 中，再进行计算即可得出答案；
（2）模仿示例，根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案；
（3）模仿示例，根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．
【详解】（1）解：把
1
x = 代入
2
2
3
x
x
+
+ 中，得：
21
2
3
6
+
+
=
；
若
2
x =
，则这个代数式的值为
2
2
2 2
3
11
+ ´ +
=
；
故答案为：6，11；
（2）
2
2
2
4
9
4
4
5
2
5
x
x
x
x
x
-
+
=
-
+
+
=
-
+ ，
2
2
0
x -
³
Q
，
∴
2
2
5
5
x -
+
³
，
∴当
2
0
x -
=
时，代数式
2
4
9
x
x
-
+ 的最小值是5，相应的x 的值是2 ；
（3）根据题意得：
2
2
2
6
8
(
6
9) 17
(
3)
17
x
x
x
x
x
-
-
+
= -
+
+
+
= -
+
+
，
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2
3
0
x
-
+
£
Q
，
∴
2
3
17
17
x
-
+
+
£
，
∴当
3
0
x +
=
时，代数式
2
6
8
x
x
-
-
+
的最大值是17 ，相应的x 的值是3
- ．
65．阅读材料，解决问题：对形如
2
2
2
a
ab
b
±
+
的整式称为完全平方式，我们可以直接运用公式进行因式分
解，例如
2
2
4
4
2
x
x
x
-
+
=
-
；而对于
2
6
8
a
a
+
+ 这样无法直接运用公式进行因式分解的整式，我们可以先
适当变形，再运用公式进行因式分解，例如：
2
2
2
6
8
6
9
9
8
3
1
3 1
3 1
4
2 .
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
=
+
+
-
+
=
+
- =
+ +
+ -
=
+
+
(1)若
2
2
9
25
x
kxy
y
-
+
是一个完全平方式，则k 的值为______．
(2)分解因式：
2
4
12
a
a
-
-
．
(3)我们还可以仿照上面的方法解决求整式的最大（或最小）值问题，例如：
2
2
2
6
8
6
9
9
8
3
1
a
a
a
a
a
+
+
=
+
+
-
+
=
+
- ．
∵
2
3
0
a +
³
，
∴
2
3
1
1
a +
- ³ - ，
则当
3
a = - 时，整式
2
6
8
a
a
+
+ 有最小值，其值为1
- ．
求当x 的值为多少时，整式
2
10
6
x
x
-
-
+
有最大值或最小值，并求出最大值或最小值．
【答案】(1) 30
±
(2)
6
2
a
a
-
+
(3)当
5
x = - 时，整式
2
10
6
x
x
-
-
+
有最大值，最大值为31
【分析】本题主要考查了完全平方式．熟练掌握完全平方式，配方法，公式法分解因式，是解题的关键．
（1）由
2
2
2
2
2
9
(
)
25
3
5
9
30
25
x
kxy
y
x
y
x
xy
y
-
+
=
±
-
±
+
，得
30
k = ±
-
，求解即可；
（2）将
2
4
12
a
a
-
-
通过配方变形为
2
2
16
a -
-
，再用平方差公式分解因式即可；
（3）将
2
10
6
x
x
-
-
+
通过配方变形为
2
5
31
x
-
+
+
，再根据
2
5
0
x
-
+
£
，得到
2
5
31
31
x
-
+
+
£
，，即可求
解．
【详解】（1）∵
2
2
9
25
x
kxy
y
-
+
是一个完全平方式，
∴
2
2
2
2
2
9
(
)
25
3
5
9
30
25
x
kxy
y
x
y
x
xy
y
-
+
=
±
-
±
+
，
∴
30
k
- = ±
，
∴
30
k = ±
；
故答案为：30
±
；
（2）由题意，
2
4
12
a
a
-
-
2
4
4
4 12
a
a
=
-
+
-
-
2
2
2
4
a
=
-
-
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6
2
a
a
=
-
+
．
（3）由题意，
2
10
6
x
x
-
-
+
2
10
25
25
6
x
x
= -
+
+
-
+
2
5
25
6
x
= -
+
+
+
2
5
31
x
= -
+
+
．
又
2
5
0
x
-
+
£
，
∴
2
5
31
31
x
-
+
+
£
，
∴当
5
x = - 时，整式
2
10
6
x
x
-
-
+
有最大值，最大值为31．
66．阅读理解并解答：
我们把多项式
²
2
²
²
2
²
a
ab
b
a
ab
b
+
+
-
+
，
叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判
断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的
最大（或最小）值问题．
例如：
²
2
3
1 ²
2
x
x
x
+
+
=
+
+
①
，
∵
2
1
x+
是非负数， 即
1 ²
0
1 ²
2
2
x
x
+
³
+
+
³
，
，
则这个代数
²
2
3
x
x
+
+ 的最小值是2，这时相应的x 的值是1
- ；
3 ² 12
5
3
²
4
5
3
²
4
4
4
5
3
2 ² 12
5
3
2 ²
7
x
x
x
x
x
x
x
x
-
+
=
-
+
=
-
+
-
+
=
-
-
+
=
-
-
②
，
Q
2
2
x -
是非负数，即
2 ²
0
3
2 ²
7
7
x
x
-
³
-
-
³ -
，
，
则这个代数式 3 ² 12
5
x
x
-
+ 的最小值是
7
- ，这时相应的x 的值是 2
【知识再现】（1）当x = 时， 代数式
²
6
12
x
x
-
+
的最小值是 ；
【知识运用】 （2）若
2
2
3
y
x
x
= -
+
-
；当x = 时，y 有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
【知识拓展】 （3）若
2
3
5
0
x
x
y
-
+
+
+
= ，求y
x
+
的最小值．
【答案】（1）3，3；（2）1，大，2
- ；（3）6
-
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式形式是解题关键．
（1）根据
2
2
6
12
3
3
x
x
x
-
+
=
-
+ 即可求解；
（2）根据
2
1
2
y
x
= -
-
-
即可求解；
（3）由题意得
2
3
5
y
x
x
-
=
- ，则
2
2
2
5
1
6
x
y
x
x
x
+
=
-
-
=
-
-
，即可求解．
【详解】解：（1）
2
2
6
12
3
3
x
x
x
-
+
=
-
+ ，
∵
2
3
x -
是非负数， 即
2
3
0
x -
³
，
∴
2
3
3
3
x -
+
³
，
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∴当
3
x =
时， 代数式
²
6
12
x
x
-
+
的最小值是3，
故答案为：3，3；
（2）
2
2
3
y
x
x
= -
+
-
2
2
3
x
x
= -
-
+
2
1
2
x
= -
-
-
，
∵
2
1
0
x -
³
，
∴
2
1
0
x
-
-
£
，
∴
2
1
2
2
x
-
-
-
£ - ，
∴当
1
x = 时，
2
2
3
y
x
x
= -
+
-
有最大值，最大值为2
- ，
故答案为：1，大，2
- ；
（3）∵
2
3
5
0
x
x
y
-
+
+
+
=
，
∴
2
3
5
y
x
x
-
=
- ，
∴
2
2
2
5
1
6
x
y
x
x
x
+
=
-
-
=
-
-
，
∵
2
1
0
x -
³
，
∴
2
1
6
6
x -
-
³ - ，
∴当
1
x = 时， y
x
+
的最小值是6
- ．
67．如图，卡片A、B、C 各代表一个代数式，从三张卡片中取两张进行因式分解运算．
(1)若选择B、C 卡片，请进行因式分解；
(2)嘉嘉发现：“若选择A、B 卡片，不论k 为何整数，其结果总可以被
1
m m ¹
整除”，请确定满足条件的最
小正整数m 的值．
【答案】(1)
2
2
k
k
+
-
(2)m 的值是3
【分析】本题考查了因式分解的应用；
（1）根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）求出
2
2
3
3 2
3
k
k
k
+
-
=
+
，即可得到答案．
【详解】（1）解：
2
2
4
4
2
2
k
k
k
k
-
+
=
-
=
+
-
（2）
2
2
3
3
3
3 2
3
k
k
k
k
k
k
k
+
-
=
+ +
+ -
=
+
Q由题意可知
2
2
3
k
k
+
-
的值总可以被
1
m m ¹
整除，
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即
3 2
3
k +
是整数m 的倍数，
满足条件的最小正整数m 的值是3．
68．发现：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是4 的倍数．
验证：
(1)
2
2
9
5
-
的结果是4 的__________倍；
(2)设三个连续的奇数中间的一个为2
1
n + （n 为整数），计算最大奇数与最小奇数的平方差，并说明它是4 的
倍数．
【答案】(1)14
(2)
2
2
2
3
2
1
4 4
2
n
n
n
+
-
-
=
+
，见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）求出
2
2
9
5
-
的值，即可得出结果；
（2）根据题意得最小的奇数为2
1
n - ，最大的奇数为2
3
n +
，则
2
2
2
3
2
1
4 4
2
n
n
n
+
-
-
=
+
，即可得出结
论；
【详解】（1）解：
2
2
56
4 14
9
5 =
=
´
-
，
2
2
9
5
-
的结果是4 的14倍，
故答案为：14；
（2）设三个连续的奇数中间的一个为2
1
n + （n 为整数），则最小的奇数为2
1
n - ，最大的奇数为2
3
n +
，
最大奇数与最小奇数的平方差为：
2
2
2
2
2
3
2
1
4
12
9
4
4
1
16
8
4 4
2
n
n
n
n
n
n
n
n
+
-
-
=
+
+
-
+
- =
+
=
+
，
Q n 为整数，
2
2
2
3
2
1
n
n
+
-
-
是4 的倍数．
69．阅读下列材料，观察解题过程：已知
2
2
2
2
4
4
0
a
ab
b
b
-
+
+
+
=
，求a
b
+
的值．
解：
2
2
2
2
4
4
0
a
ab
b
b
-
+
+
+
=
Q
，
2
2
2
2
4
4
0
a
ab
b
b
b
-
+
+
+
+
=
，
2
2
2
0
a
b
b
-
+
+
= ，
2
2
0
2
0
a
b
b
-
³
+
³
Q
，
，
2
2
0
2
0
a
b
b
-
=
+
=
，
，
0
2
0
a
b
b
-
=
ì
í +
=
î
，解得
2
2
a
b
= -
ì
í = -
î
2
2
4
a
b
+
= - + -
= - ．
根据你的观察，解答以下问题：
(1)已知
2
2
4
5
2
1
0
m
mn
n
n
+
+
-
+ =
，求
2023
m
n
+
的值．
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(2)当x、y 分别取何值时，多项式
2
2
2
2
10
x
y
x
y
+
-
+
+
的值最小？请你求出最小值．
【答案】(1) 1
-
(2)当
1
1
x
y
=
= -
，
时，
2
2
2
2
10
x
y
x
y
+
-
+
+
有最小值，最小值为8
【分析】本题主要考查了非负数的性质，因式分解的意义，代数式求值：
（1）仿照题意得到
2
2
2
1
0
m
n
n
+
+
-
=
，进而求出
2
1
，
m
n
= -
= ，最后代值计算即可；
（2）利用配方法把原式变形为
2
2
1
1
8
x
y
-
+
+
+
，则
2
2
1
1
8
8
x
y
-
+
+
+
³
，当且仅当
2
2
1
1
0
x
y
-
+
+
=
时等号成立，据此求出当
1
1
x
y
=
= -
，
时，
2
2
2
2
10
x
y
x
y
+
-
+
+
有最小值，最小值为8．
【详解】（1）解：∵
2
2
4
5
2
1
0
m
mn
n
n
+
+
-
+ =
，
∴
2
2
2
4
4
2
1
0
m
mn
n
n
n
+
+
+
-
+
=
，
∴
2
2
2
1
0
m
n
n
+
+
-
=
，
∵
2
2
2
0
1
0
m
n
n
+
³
-
³
，
，
∴
2
2
2
1
0
m
n
n
+
=
-
=
，
∴
2
0
1
0
m
n
n
+
=
- =
，
，
∴
2
1
，
m
n
= -
= ，
∴
2023
2023
2 1
1
m
n
+
= - +
= - ；
（2）解：
2
2
2
2
10
x
y
x
y
+
-
+
+
2
2
2
1
2
1
8
x
x
y
y
=
-
+
+
+
+
+
2
2
1
1
8
x
y
=
-
+
+
+ ，
∵
2
2
1
0
1
0
x
y
-
³
+
³
，
，
∴
2
2
1
1
8
8
x
y
-
+
+
+
³
，当且仅当
2
2
1
1
0
x
y
-
+
+
=
时等号成立，
∴
2
2
1
1
0
x
y
-
=
+
=
，
∴
1
0
1
0
x
y
- =
+ =
，
，
∴
1
1
x
y
=
= -
，
，
∴当
1
1
x
y
=
= -
，
时，
2
2
2
2
10
x
y
x
y
+
-
+
+
有最小值，最小值为8．
70．感知：为了求代数式
2
2
5
a
a
+
+
的值，我们必须知道a 的值．
若
1
a = - ，则这个代数式的值为________，
若
0
a =
，则这个代数式的值为________，
若
1
a = ，则这个代数式的值为________，
……
可见．这个代数式的值因a 的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来找到这个代数式值的范围．
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探索：把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．例如：
2
2
2
2
5
2
1
4
1
4
a
a
a
a
a
+
+
=
+
+ +
=
+
+
，因为
2
1
+
a
是非负数，所以这个代数式的最小值是________，此时
相应的a 的值是________．
应用：试说明代数式
2
6
2014
a
a
-
+
+
有最大值，并求出最大值及相应的a 的值．
【答案】感知：4，5，8
探索：4，1
-
应用：当
3
a =
时，
2
6
2014
a
a
-
+
+
有最大值，最大值是2023
【分析】本题考查了代数式求值，因式分解的应用，非负数的性质：
感知：将a 的值代入
2
2
5
a
a
+
+
计算即可；
探索：根据非负数的性质即可得出答案；
应用：先把给出的代数式进行因式分解，再根据非负数的性质即可得到答案．
【详解】解：感知：若
1
a = - ，则这个代数式的值为
2
1
2
1
5
1 2
5
4
-
+ ´ -
+
= -
+
=
，
若
0
a =
，则这个代数式的值为
2
0
2 0
5
5
+ ´ +
=
，
若
1
a = ，则这个代数式的值为
21
2 1 5
8
+ ´ +
=
，
故答案为：4，5，8；
探索：Q
2
2
2
2
5
2
1
4
1
4
a
a
a
a
a
+
+
=
+
+ +
=
+
+
，
2
1
+
a
是非负数，
这个代数式的最小值是4，此时相应的a 的值是1
- ，
故答案为：4，1
- ；
应用：
2
6
2014
a
a
-
+
+
2
6
2014
a
a
= -
-
+
2
6
9
9
2014
a
a
= -
-
+
+ +
2
3
2023
a
= -
-
+
．
Q
2
3
0
a -
³
．
2
3
0
a
-
-
£
，
2
3
2023
2023
a
-
-
+
£
，
当
3
a =
时，
2
6
2014
a
a
-
+
+
有最大值，最大值是2023．
【经典计算题八 因式分解的新定义问题】
71．【新定义】如果a，b 都是非零整数，且
4
a
b
=
，那么就称a 是“4 倍数”．
【验证】嘉嘉说：
2
2
100
96
-
是“4 倍数”，淇淇说：12 11
9 11 19 11
´
+ ´
-
´
也是“4 倍数”，通过简便计算判断
他们说得对错？
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【证明】设三个连续偶数的中间数是2n （n 是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4 倍数”．
【答案】验证：嘉嘉的说法正确，淇淇的说法错误
证明：证明见解析
【分析】验证：利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论；
证明：利用完全平方公式将
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
-
+
+
+
展开，然后合并同类项，再提公因式4 ，将其变形为
2
4 3
2
n +
，于是结论得证．
【详解】解：验证：
2
2
100
96
100
96 100
96
4 196
-
=
-
+
=
´
，
2
2
100
96
-
是“4 倍数”，故嘉嘉的说法正确；
12 11 9 11 19 11
11
12
9 19
11 2
´
+ ´
-
´
=
´
+
-
=
´
，
12 11 9 11 19 11
´
+ ´
-
´
不是“4 倍数”，故淇淇的说法错误；
证明：
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
-
+
+
+
2
2
2
4
8
4
4
4
8
4
n
n
n
n
n
=
-
+
+
+
+
+
2
2
2
4
4
4
8
8
4
4
n
n
n
n
n
=
-
+
+
+
+
+
2
12
8
n
=
+
2
4 3
2
n
=
+
，
n
Q
是整数，
2
3
2
n
+
是整数，
这三个连续偶数的平方和是“4 倍数”．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，有理数乘法运算律，整式的四则混合运算，完全平方公式，提公因
式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．
72．配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解
决一些问题．我们定义：一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（a ，b 是整数）的形式．则称这个数为“完美数”．例如，
10 是“完美数”．理由：因为
2
2
10
3
1
=
+
，所以10 是“完美数”；代数式
2
4
8
a
a
-
+ 可配方成
2
2
a
m
n
-
+
（m ，
n 为常数）．也可以求代数式
2
4
8
a
a
-
+ 的最大值或最小值，即：
2
2
2
4
8
2
2
a
a
a
-
+
=
-
+
，因为
2
2
0
a -
³
，
所以
2
2
2
4
8
2
2
24
a
a
a
-
+
=
-
+
³
，所以
2
4
8
a
a
-
+ 最小值为4．
(1)解决问题：
下列各数中，“完美数”有______（填序号）．
①29； ②48； ③13； ④28．
(2)探究问题：
①已知
2
2
2
2
4
S
a
ab
b
b
k
=
+
+
-
+
（a ，b 是整数，k 是常数），猜想当k 为何值时，S 为“完美数”，并说明理
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由．
②已知实数a ，b 满足
2
5
3
0
a
a
b
-
+
+
-
=
，求a
b
+
的最小值．
【答案】(1)①③
(2)①当
4
k =
时，S 为“完美数”，理由见解析；②1
-
【分析】本题考查了新定义的运算法则，因式分解的应用，完全平方公式的运算：
（1）根据“完美数”的定义分别进行判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应字母的值；
（3）利用配方法和非负数的性质求得最小值；
仔细阅读材料，理解新定义含义，把算式灵活配方是解决问题的关键．
【详解】（1）解：∵
2
2
29
25 4
5
2
=
+
=
+
，
∴29 是“完美数”，
∵
2
2
13
9
4
3
2
=
+
=
+
，
∴13 是“完美数”，
故答案为：①③；
（2）①当
4
k =
时，S 为“完美数”，理由如下：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
4
4
S
a
ab
b
b
k
a
ab
b
b
b
k
a
b
b
b
k
=
+
+
-
+
=
+
+
+
-
+
=
+
+
-
+
，
当
2
4
b
b
k
-
+
时完全平方数时，即
2
2
2
4
2
4
4
b
b
k
b
b
b
-
+
=
-
=
-
+
，
即
4
k =
时，
2
2
2
2
2
2
4
2
S
a
ab
b
b
k
a
b
b
=
+
+
-
+
=
+
+
-
是“完美数”；
②∵
2
5
3
0
a
a
b
-
+
+
-
=
，
∴
2
4
3
a
b
a
a
+
=
-
+ ，
∴
2
4
4 1
a
b
a
a
+
=
-
+
- ，
∴
2
(
2)
1
a
b
a
+
=
-
- ，
∵
2
(
2)
0
a -
³
，
∴
2
(
2)
1
1
a -
- ³ - ，
∴a
b
+
的最小值为1
- ．
73．若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点” P ，到点P 距离
为1的点所对应的数分别记为a ，b ，定义：若数
2
2
K
a
b
ab
=
+
-
，则称数K 为“尼尔数”，例如：若P 所表示
的数为3，则
2
a =
，
4
b =
，那么
2
2
2
4
2 4
12
K =
+
- ´ =
，若P 所表示的数为12，则
11
a =
，
13
b =
，那么
2
2
13
11
13 11
147
K =
+
-
´
=
，所以12，147 是“尼尔数”．
(1)请直接判断6 和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；
(2)已知两个“尼尔数”的差是315，求这两个“尼尔数”．
【答案】(1)6 不是，39 是；证明见解析
(2)2919 ，2604 或327 ，12
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【分析】本题考查了因式分解的应用，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，理解“尼尔数”的定义是解
题的关键．
（1）根据“尼尔数”的定义，设点P 表示的数为
0
x ³
，则
1
a
x
=
- ，
1
b
x
=
+ ，数
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
1
1
3
K
a
b
ab
x
x
x
x
x
=
+
-
=
-
+
+
-
-
+
=
+ ，令
2
3
6
x +
=
，解方程，如果x 的解中有能被3整除
的自然数，那么6 是“尼尔数”，否则不是；同理可判断39是不是“尼尔数”；令
3 (
x
n n
=
是自然数) ，然后证
明
2
(3 )
3
n
+
被9除余3即可；
（2）设这两个“尼尔数”分别是
2
9
3
m + ，
2
9
3(
n
m
+
、n 都是自然数) ，根据两个“尼尔数”的差是315列出方
程
2
2
9
3
9
3
315
m
n
+
-
+
=
，整理，得
2
2
35
m
n
-
=
，根据m 、n 都是自然数，求出m 、n 的值，进而求解
即可．
【详解】（1）解：设点P 表示的数为
0
x ³
，则
1
a
x
=
- ，
1
b
x
=
+ ，
数
2
2
2
2
2
(
1)
(
1)
1
1
3
K
a
b
ab
x
x
x
x
x
=
+
-
=
-
+
+
-
-
+
=
+ ．
令
2
3
6
x +
=
，
0
x ³
Q
，
3
x
=
，
3
Q
不能被3整除，
6
不是“尼尔数”；
令
2
3
39
x +
=
，
0
x ³
Q
，
6
x
=
，
6
Q 是能被3整除的自然数，
39
是“尼尔数”；
令
3 (
x
n n
=
是自然数) ，
2
2
2
3
(3 )
3
9
3
x
n
n
+
=
+
=
+
Q
，
而
2
2
9
3
9
3
n
n
+
¸
=
L ，
所有“尼尔数”一定被9除余3；
（2）解：设这两个“尼尔数”分别是
2
9
3
m + ，
2
9
3(
n
m
+
、n 都是自然数) ，
根据题意，得
2
2
9
3
9
3
315
m
n
+
-
+
=
，
整理，得
2
2
35
m
n
-
=
．
m
Q
、n 都是自然数，
35
1
m
n
m
n
+
=
ì
í
-
=
î
，或
7
5
m
n
m
n
+
=
ì
í
-
=
î
，
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解得
18
17
m
n
=
ì
í
=
î
，或
6
1
m
n
=
ì
í
=
î
，
当
18
17
m
n
=
ì
í
=
î
时，
2
9
3
2919
m +
=
，
2
9
3
2604
n +
=
，
当
6
1
m
n
=
ì
í
=
î
时，
2
9
3
327
m +
=
，
2
9
3
12
n +
=
．
故这两个“尼尔数”是2919 ，2604 或327 ，12．
74．数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式
2
ax
bx
c
+
+
能分解成两个一次整式相乘的形式
mx
p
nx
q
+
+
，则
0
mx
p
+
=
或
0
nx
q
+
=
时，原多项式的值为0，尝试定义
p
x
m
= -
和
q
x
n
= -
为多项式
2
ax
bx
c
+
+
的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式
2
3
5
2
3
1
2
x
x
x
x
-
-
=
+
-
，当3
1
0
x + =
或
2
0
x -
=
时，
2
3
5
2
x
x
-
-
的值为0，则多项式
2
3
5
2
x
x
-
-
的“零值”
为
1
3
x = -
和
2
x =
，“对称值”为
1
2
5
3
2
6
x
æ
ö
+ -
ç
÷
è
ø
=
=
．
根据上述材料，解决下列问题．
(1)多项式
2
1 25x
-
的“零值”为__________，“对称值”为__________；
(2)若多项式
2
1
1
9
x
m x
-
+
-
+ （实数m 为常数）的两个“零值”相等，求m 的值及多项式
2
1
1
9
x
m x
-
+
-
+
的“对称值”．
【答案】(1)
1
5
x = -
和
1
5
x =
，
0
x =
(2)m 的值为6 或6
- ，多项式
2
(
1)
(
1)
9
x
m x
-
+
-
+
的“对称值”为
2
x = - 或
4
x =
【分析】本题考查了新定义，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）仿照示例，求出多项式
2
1 25x
-
的“零值”和“对称值”；
（2）根据题意，求出m 值，再仿照示例，求出多项式的“零值”和“对称值”．
【详解】（1）解：
2
1
25
(1
5 )(1
5 )
x
x
x
-
=
+
-
，
当1 5
0
x
+
=
或1 5
0
x
-
=
时，
2
1 25
0
x
-
= ，
多项式
2
1 25x
-
的“零值”为
1
5
x = -
和
1
5
x =
，
“对称值”为
1
1
5
5
0
2
x
-
+
=
= ，
故答案为：
1
5
x = -
和
1
5
x =
，
0
x =
；
（2）解：Q多项式
2
(
1)
(
1)
9
x
m x
-
+
-
+
（实数m 为常数）的两个“零值”相等，
多项式
2
(
1)
(
1)
9
x
m x
-
+
-
+
是完全平方式，
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即
9
2
6
m = ±
´
= ± ，
当
6
m =
时，多项式可化为
2
4
4
x
x
+
+
，
2
2
4
4
(
2)
x
x
x
+
+
=
+
，“零值”为
2
x = - 和
2
x = - ，“对称值”为
2
2
2
2
x
- -
=
= - ；
当
6
m = - 时，多项式可化为
2
8
16
x
x
-
+
，
2
2
8
16
(
4)
x
x
x
-
+
=
-
，“零值”为
4
x =
和
4
x =
，“对称值”为
4
4
4
2
x
+
=
=
，
综上所述，m 的值为6 或6
- ，多项式
2
(
1)
(
1)
9
x
m x
-
+
-
+
的“对称值”为
2
x = - 或
4
x =
．
75．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或
几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（a、b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5 是“完美数”．理由：因为
2
2
5
2
1
=
+
，所以5 是“完美数”．
利用上面提到的数学思想方法解决下列问题：
【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究】（2）已知
2
2
2
4
4
6
0
x
y
x
y
+
-
+
+
=
，则x
y
+
= __________；
（3）已知
2
2
5
2
12
S
x
y
xy
x
k
=
+
+
+
+
（x、y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的k
值；
【拓展】（4）已知x、y 满足
2
1
1
0
3 x
x
y
-
+
-
+ =
，求代数式7
3
x
y
-
的最小值．
【答案】（1）是；（2）1；（3）9；（4）7
-
【分析】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
（1）根据新定义求解；
（2）先把等式的左边进行配方，再根据非负数的性质求出x 、y 的值，再求x
y
+
；
（3）先根据S 的前四项进行配方，再根据相等的条件求解；
（4）根据条件求出7
3
x
y
-
的值，再进行配方求解．
【详解】（1）解：
2
2
61
5
6
=
+
Q
，
61
是“完美数”，
故答案为：是；
（2）解：
2
2
2
2
2
4
4
6
2
2
1
0
x
y
x
y
x
y
+
-
+
+
=
-
+
+
=
Q
，
2
x
=
，
1
y = - ，
1
x
y
+
= ，
故答案为：1；
（3）解：
2
2
5
2
12
S
x
y
xy
x
k
=
+
+
+
+
Q
2
2
2
2
4
12
9
9
x
y
xy
x
x
k
=
+
+
+
+
+
+
-
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2
2
2
3
9
x
y
x
k
=
+
+
+
+
-
，
S
Q
为“完美数”，
9
0
k
-
=
，
9
k
= ；
（4）解：
2
1
1
0
3 x
x
y
-
+
-
+ =
Q
，
2
1
1
3
y
x
x
-
=
-
- ，
2
3
3
3
y
x
x
-
=
-
- ，
2
2
2
7
3
4
3
4
4
4
3
2
7
x
y
x
x
x
x
x
-
=
+
-
=
+
+
-
-
=
+
-
，
当
2
x = - 时，7
3
x
y
-
的最小值为7
- ．
76．定义：若一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（a，b 都是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为
2
2
13
3
2
=
+
，所以13 是“完美数”；
再如：因为
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
b
b
+
+
=
+
+
，所以
2
2
2
2
a
ab
b
+
+
也是“完美数”．
(1)请直接写出一个小于10 的“完美数”，这个“完美数”可以是_______；判断53_______（填“是”或“不是”）“完
美数”；
(2)已知
2
2
4
4
12
S
x
y
x
y
k
=
+
+
-
+
（x，y 是整数），k 是常数，要使M 为“完美数”，试求出符合条件的一个k
值，并说明理由；
(3)如果数m，n 都是“完美数”，m
n
¹
，试说明mn 是“完美数”．
【答案】(1)2 或5 或8（写一个即可），是；
(2)
13
k =
；
(3)见解析．
【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
（1）
2
2
2 1
1
=
+
，
2
2
5
2
1
=
+
，
2
2
8
2
2
=
+
，这些数都是小于10 的“完美数”； 利用
2
2
53
2
7
=
+
即可判断；
（2）由
2
2
2
2
3
13
S
x
y
k
=
+
+
-
+
-
，根据“完美数”的定义得出
13
0
k -
=
，即可求解；
（3）设
2
2
m
a
b
=
+
，
2
2
n
c
d
=
+
，则
2
2
2
2
mn
a
b
c
d
=
+
+
，进行整理可得：
2
2
mn
ac
bd
ad
bc
=
+
+
-
，
从而可判断．
【详解】（1）解：根据题意可得：
2
2
2 1
1
=
+
，
2
2
5
2
1
=
+
，
2
2
8
2
2
=
+
，
故2，5，8 都是“完美数”，且都小于10，
∵
2
2
53
2
7
=
+
，
故53 是“完美数”，
故答案为：2 或5 或8（写一个即可）；是；
（2）解：
2
2
2
2
4
4
2
,4
12
9
2
3
x
x
x
y
y
x
+
+
=
+
-
+
=
-
Q
，
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2
2
4
4
12
S
x
y
x
y
k
=
+
+
-
+
2
2
4
4
4
12
9
13
x
x
y
y
k
=
+
+
+
-
+
+
-
2
2
2
2
3
13
x
y
k
=
+
+
-
+
-
，
M
Q
为“完美数”，
13
0
k
-
=
，
13
k
=
；
（3）证明：设
2
2
2
2
,
,
m
a
b n
c
d
m
n
=
+
=
+
¹
，则有
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
mn
a
b
c
d
a c
a d
b c
b d
=
+
+
=
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a c
b d
a d
b c
abcd
abcd
=
+
+
+
+
-
2
2
(
)
(
)
ac
bd
ad
bc
=
+
+
-
mn
是“完美数”．
77．定义一种新运算，规定
,
F a b
ab
=
，例
1,2
1 2
2
F
= ´
=
．
(1)已知
2 ,
2
A
F x
y x
y
=
+
-
，
4 ,
2
B
F
y x
y
=
-
，分别求A，B；
(2)通过计算比较A 与B 的大小．
【答案】(1)
2
2
4
A
x
y
=
-
；
2
4
8
B
xy
y
=
-
(2) A
B
³
【分析】本题考查了整式的乘法运算，加减运算及平方差公式，正确理解题目中给出的运算符号是解题关
键．
（1）根据题目中给出的新运算符号的意义，进行解答即可；
（2）根据题目中给出的新运算符号的意义，算出A、B 的结果再相减进行比较即可．
【详解】（1）解：
2
2
2 ,
2
2
2
4
A
F x
y x
y
x
y
x
y
x
y
=
+
-
=
+
-
=
-
．
2
4 ,
2
4
2
4
8
B
F
y x
y
y x
y
xy
y
=
-
=
-
=
-
．
（2）解：
2
2
2
2
2
2
4
4
8
4
4
2
A
B
x
y
xy
y
x
xy
y
x
y
-
=
-
-
-
=
-
+
=
-
，
∵
2
2
0
x
y
-
³
，
∴A
B
³
．
78．皓皓同学在学习了“平方根”这节课后知道了“负数在实数范围内没有平方根”，她对这句话产生了兴趣，
她想知道负数在其他范围内是否有平方根，所以她上网查找了以下一些资料．
数的概念是从实践中产生和发展起来的，在学习了实数以后，像
2
1
x = - 这样的方程还是没有实数解的，因
为没有一个实数的平方等于1
- ，即负数在实数范围内没有平方根，所以为了了解形如
2
1
x = - 这类方程的解，
就要引入一个新的数i ．
定义：如果一个数的平方等于1
- ，记为2
1
i = - ，这个数i 叫做虚数单位．
在这种情况下，i 可以与实数b 相乘再同实数a 相加从而得到形如“a
bi
+
” (a 、b 为实数）的数，人们把这
种数叫作复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘
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法运算类似．
比如：
（1）(2
)
(4
3 )
6
2
i
i
i
+
+
-
= -
（2）
2
( 3 )
3
i
= -
（3）
2
2
(5
)(5
)
5
25
( 1)
26
i
i
i
+
-
=
-
=
- -
=
这样数的范围就由实数扩充到了复数，在这种规定下，负数在复数范围内就有平方根．比如：i
± 就是1
- 的
平方根．
根据上面的材料解答以下问题：
(1)计算：
①(2
)
(3 2 )
i
i
+
-
-
=___________②3i = ___________③
2
(3
)i
+
= ___________
(2)在复数范围内9
- 的平方根是___________
(3)在复数范围内分解因式
4
4
x -
= ___________．
【答案】(1)①1 3i
- +
②i- ③8
6i
+
(2) 3i
±
(3) (
2 )(
2 )(
2)(
2)
x
i
x
i
x
x
+
-
-
+
【分析】本题考查的是实数的运算和因式分解的应用，理解新定义、正确运用因式分解的方法是解题的关
键．
（1）①根据合并同类项法则计算即可；
②根据积的乘方进行运算，③根据完全平方公式计算；
（2）根据平方根的概念计算；
（3）根据因式分解的方法进行计算即可．
【详解】（1）①(2
)
(3 2 )
2
3 2
1 3
i
i
i
i
i
+
-
-
=
+ - +
= - +
，
②3
2
i
i
i
i
=
× = - ，
③
2
2
(3
)
9
6
8
6
i
i
i
i
+
=
+
+
=
+
；
（2）
9
3i
± -
= ±
；
（3）
4
4
x -
2
2
(
2)(
2)
x
x
=
+
-
(
2 )(
2 )(
2)(
2)
x
i x
i x
x
=
+
-
-
+
．
79．【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通
过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非
负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（a ，b 为整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如，5 是“完美数”，理由：因为
2
2
5
1
2
=
+
．所以5 是“完美数”
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(1)解决问题：已知29 是“完美数”，请将它写成
2
2
a
b
+
（a ，b 为整数）的形式；
(2)解决问题：若
2
6
4
x
x
-
+
可配方成
2
x
m
n
-
+
（m 、n 为常数），求2mn 的值；
(3)解决问题：已知
2
2
4
2
12
S
x
y
x
y
k
=
+
-
-
+
（x ，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试写出k 的值，
并说明理由．
【答案】(1)
2
2
29
5
2
=
+
(2) 30
-
(3)
10
k =
，理由见解析
【分析】本题考查利用完全公式计算及新定义计算，解题的关键是读懂新运算及熟练应用
2
2
2
2
a
b
a
ab
b
±
=
±
+
．
（1）根据题意将29 分成两个数的平方和即可得到答案；
（2）根据完全平方公式平方得到m，n 的值即可得到答案；
（3）将含x 和y 的式子配方，根据完美数定义令余下部分为0 即可得到答案．
【详解】（1）解：
2
2
29
25 4
5
2
=
+
=
+
，
∴
2
2
29
5
2
=
+
；
（2）∵
2
6
4
x
x
-
+
2
6
9
5
x
x
=
-
+
-
2
3
5
x
=
-
- ，
又∵
2
2
6
4
x
x
x
m
n
-
+
=
-
+
，
∴
3
m =
，
5
n = - ，
∴
2
2 3
5
30
mn =
´ ´ -
= -
；
（3）当
10
k =
时，S 是完美数，
理由如下：
2
2
4
2
12
S
x
y
x
y
k
=
+
-
-
+
2
2
2
4
12
x
x
y
y
k
=
-
+
-
+
2
2
1
1
2
3
9
x
y
k
=
-
- +
-
- +
，
2
2
1
2
3
10
x
y
k
=
-
+
-
-
+
，
∵x，y 是整数，
∴
1
x - ，2
3
y -
也是整数，
∵S 是一个“完美数”，
∴10
0
k
-
+
=
，
∴
10
k =
．
80．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶
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2
2
8
3
1
=
-
，
2
2
16
5
3
=
-
，
2
2
24
7
5
=
-
，因此8，16，24 都是“和谐数”
(1)特例感知：判断40 是否为“和谐数”，说明理由；
(2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为2
1
k - 和2
1
k + ，其中k 是正整数，那么“和谐数”都
能被8 整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明；
(3)拓展应用：设m，n 为正整数，且m
n
>
，若
2
29
m
n
-
-
和
1
m
n
+
- 都是“和谐数”．判断7
5
3
m
n
-
- 是否
为“和谐数”，说明理由．
【答案】(1)40 是“和谐数”，理由见解析
(2)“和谐数”能被8 整除，理由见解析
(3) 7
5
3
m
n
-
- 是 “和谐数”，理由见解析
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是：
（1）设
2
2
40
2
1
2
1
n
n
=
+
-
-
，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案；
（2）利用平方差公式计算
2
2
2
1
2
1
k
k
+
-
-
，然后由计算结果可得出答案；
（3）根据
2
29
m
n
-
-
是“和谐数”，求出
7
m
n
=
+
，则
1
2
6
m
n
n
+
- =
+
，可设
1
8
m
n
k
+
- =
，其中k 为正整数，
则2
6
8
n
k
+
=
，故
4
3
n
k
=
- ，代入7
5
3
m
n
-
- ，整理
2
2
7
5
3
2
5
1
2
5
1
m
n
k
k
é
ù
é
ù
-
-
=
+
+
-
+
-
ë
û
ë
û ．由k 为正整
数，得出
2
5
1
k +
+ 和
2
5
1
k +
- 为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明7
5
3
m
n
-
- 为“和谐数”．
【详解】（1）解：设
2
2
40
2
1
2
1
n
n
=
+
-
-
，
解得
5
n =
，
∴40 是“和谐数”；
（2）解：“和谐数”能被8 整除，
理由：
2
2
2
1
2
1
k
k
+
-
-
2
1
2
1
2
1
2
1
k
k
k
k
é
ù é
ù
=
+
+
-
+
-
-
ë
û ë
û
2
1
2
1 2
1 2
1
k
k
k
k
=
+ +
-
+ -
+
4
2
k
=
´
8k
=
，
∵k 是正整数，
∴8k 能被8 整除，
∴
2
2
2
1
2
1
k
k
+
-
-
能被8 整除，
∴“和谐数”能被8 整除；
（3）解：∵
2
29
m
n
-
-
是“和谐数”，
∴
7
m
n
-
=
，
∴
7
m
n
=
+
，
学科网（北京）股份有限公司
∴
1
7
1
2
6
m
n
n
n
n
+
- =
+
+
- =
+ ．
∵
1
m
n
+
- 是“和谐数”，即2
6
n +
是“和谐数”，
∴可设
1
8
m
n
k
+
- =
，其中k 为正整数，
∴2
6
8
n
k
+
=
，
∴
4
3
n
k
=
- ，
∴
7
5
3
7
7
5
3
m
n
n
n
-
-
=
+
-
-
2
46
n
=
+
2 4
3
46
k
=
-
+
8
40
k
=
+
8
5
k
=
+
2
2
2
5
1
2
5
1
k
k
é
ù
é
ù
=
+
+
-
+
-
ë
û
ë
û ．
∵k 为正整数，
∴
2
5
1
k +
+ 和
2
5
1
k +
- 为两个连续正奇数，
∴7
5
3
m
n
-
- 为“和谐数”．
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