★类型一：几何综合题★
1．【分析】如图，过G 作GH ⊥BC 于H，由对折可
得：BC = BF，CE = EF，∠BFE = ∠BCE = 90° =
∠DFE，∠FBE = ∠CBE，证明∠DEF = ∠FDE = 45°，
而DE = 2 2，可得DF = EF = DE ⋅sin45° = 2，求解
CD = BC = 2 2 + 2 = BF，OB = 1
2 BD =
2 + 2，证明
OG = HG，Rt△OBG ≅Rt△HBG，可得BH = BO =
2
+ 2，再进一步求解即可．
【解答】解：如图，过G 作GH ⊥BC 于H，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC = CD = AB = AD，∠BCD = ∠ADC = 90°，
∠DBC = ∠BDC = 45°，AC = BD，OA = OC = OB =
OD，AC ⊥BD，
由对折可得：BC = BF，CE = EF，∠BFE = ∠BCE =
90° = ∠DFE，∠FBE = ∠CBE，
∴∠DEF = ∠FDE = 45°，而DE = 2 2，
∴DF = EF = DE ⋅sin45° = 2，
∴CD = BC = 2 2 + 2 = BF，
∴AC = BD = BF + DF = 2 2 + 4，
∴OB = 1
2 BD =
2 + 2，
∵∠FBE = ∠CBE，GH ⊥BC，AC ⊥BD，
∴OG = HG，
∵BG = BG，∴Rt△OBG ≅Rt△HBG，
∴BH = BO =
2 + 2，
∴CH = BC - BH =
2，
同理可得：CH = GH =
2，∴CG =
2+2 = 2，
方法二：设AC 与BD 交于点O，
∵∠FBE = ∠CBE = 22.5°，∠BOG = 90°，
∴∠OGB = 67.5° = ∠CGE，∠CEG = 90° -22.5° = 67.5°，
∴∠CEG = ∠CGE = 67.5°，
∴CG = CE = EF = 2，故选：B．
2．【分析】先由四边形ABCD 是正方形，得出∠BAC
= ∠DAC = 45°，OA = OC = 1
2 AC，再结合折叠性质证
明四边形AEOF 是正方形，因此EF = AO = 1
2 AC，
GO = AG = 1
2 OA = 1
4 AC，推出CG = CO + OG =
1
2 AC + 1
4 AC = 3
4 AC，即可计算EF
CG = 2
3 ．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAC = ∠DAC = 45°，OA = OC = 1
2 AC，
由折叠可得，
AO ⊥EF，AG = GO，∠EOA = ∠EAO = 45°，∠FOA
= ∠FAO = 45°，AE = OE，AF = FO，
∴AE ⎳OF，AF ⎳OE，∠EOF = 90°，
∴四边形AEOF 是正方形，
∴EF = AO = 1
2 AC，GO = AG = 1
2 OA = 1
4 AC，
∴CG = CO + OG = 1
2 AC + 1
4 AC = 3
4 AC，
∴EF
CG =
1
2 AC
3
4 AC
= 2
3 ，故选：D．
3．【分析】连接GE，证明Rt△EFG ≅Rt△EBG(HL)，
可得GF = GB，设GB = GF = x，则AG = 2 - x，DG
= 2 + x，根据勾股定理可得x = 1
2 ，再利用角平分线的
性质得到点H 到AD，AG，GD 的距离相等，利用面
积之比即可解答．
【解答】解：如图，连接GE，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B = ∠C = ∠BAC = ∠ADC = 90°，AB = BC = CD =
DA = 2，
∵点E 是BC 边的中点，∴BE = CE = 1，
∵将△DCE 沿直线DE 翻折得△DFE，
∴∠EFD = ∠C = 90°，CE = FE = BE = 1，DC = DF =
2，∴∠GFE = ∠GBE = 90°，
∵GE = GE，
∴Rt△EFG ≅Rt△EBG(HL)，∴GF = GB，
设GB = GF = x，则AG = 2 - x，DG = 2 + x，
根据勾股定理可得AG2+ AD2= DG2，
即(2 - x)2+ 22= (2 + x)2，解得x = 1
2 ，
∴DG = 5
2 ，AG = 3
2 ，
∵∠ADG 和∠DAG 的平分线DH，AH 相交于点H，
∴点H 到AD，AG，GD 的距离相等，
∴S△GDH =
GD
GD+AG+AD ⋅S△ADG =
5
2
5
2 + 3
2 +2
× 1
2 × 3
2
× 2 = 5
8 ，故选：A．
4．【分析】设BC = x，根据含30 度的直角三角形的
性质，得到AB = 2x，AC =
3x，根据角平分线的性
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·1·
质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到CD
BD
= AC
AB ，进而求出CD 的长，勾股定理求出AD 的长，
等角的正弦值相等，得到CD
AD = BE
AB ，求出BE 的长，
进而求出AD
BE 的长即可．
【解答】解：∵∠ACB = 90°，∠CAB = 30°，
∴AB = 2BC，AC =
3BC，
设BC = x，则AB = 2x，AC =
3x，
∵AD 平分∠CAB，∠ACB = 90°，
∴点D 到AC，AB 的距离相等均为CD 的长，∠CAD
= ∠BAD，
∴S△ACD
S△ABD
=
1
2 AC⋅CD
1
2 AB⋅CD
= CD
BD ，∴CD
BD = AC
AB =
3
2 ，
∴CD =
3
2+
3 BC = (2 3 - 3)x，
∴AD =
AC2+CD2 = (3 2 -
6)x，
∵BE ⊥AD，∠CAD = ∠BAD，
∴sin∠CAD = sin∠BAD，
∴CD
AD = BE
AB ，即：BE
2x = 2 3-3
3 2-
6 ，
∴BE =
6-
2
2
x，
∴AD
BE = (3 2-
6)x
6-
2
2
x
= 2 3；
解法二：延长AC 与BE 相交于点F，
利用相似三角形求出比值；
故选：A．
5．【分析】过点G 作GM ⊥BC 于点M，根据矩形的
性质及已知条件得BE = EF = CF = 4，进而得AB =
BF = 8，则△ABF 是等腰直角三角形，继而得∠BFA
= 45°，同理证明△CDE 是等腰直角三角形得∠CED =
45°，由此得△GEF 是等腰直角三角形，再根据等腰直
角三角形性质得GM = EM = FM = 2，则CM = 6，然后
在Rt△GMC 中，根据正切函数的定义即可得出
tan∠GCF 的值．
【解答】解：过点G 作GM ⊥BC 于点M，如图所示：
在矩形ABCD 中，AB = 8，BC = 12，∠B = 90°，
∵点E，F 是BC 的三等分点，
∴BE = EF = CF = 1
3 BC = 4，
∴BF = BE + EF = 8，∴AB = BF = 8，
∴△ABF 是等腰直角三角形，∴∠BFA = 45°，
同理：△CDE 是等腰直角三角形，
∴∠CED = 45°，∴∠BFA = ∠CED = 45°，
∴△GEF 是等腰直角三角形，
∵GM ⊥EF，∴GM = EM = FM = 1
2 EF = 2，
∴CM = CF + MF = 4 + 2 = 6，
在Rt△GMC 中，tan∠GCF = GM
CM = 2
6 = 1
3 ．
故选：B．
6．【分析】证明∠CAD = ∠BAD = 22.5°，设AC = BC
= m，可得AB =
AC2+BC2 =
2m 如图，在AC 上取
点Q，使AQ = DQ，求解：CD = CQ = ( 2 - 1)m，证
明△ACE ∽△BEF，可得
m
2m-x =
x
BF DF = y = m
- ( 2 - 1)m - ( 2m-x)x
m
= (2 -
2)m -
( 2m-x)x
m
，结合y 关于x 的函数图象过点(0,2 -
2)，求解：m = 1，再进一步利用二次函数的性质解
题即可．
【解答】解：∵∠ACB = 90°，AC = BC，AD 是角平分
线，
∴∠CAB = ∠CBA = 45°，∠CAD = ∠BAD = 22.5°，
设AC = BC = m，
∴AB =
AC2+BC2 =
2m，
如图，在AC 上取点Q，使AQ = DQ，
∴∠QAD = ∠QDA = 22.5°，
∴∠CQD = 45° = ∠CDQ，
CQ = CD =
2
2 QD =
2
2 AQ'，
∴
2CQ + CQ = m，
解得：CD = CQ = ( 2 - 1)m，
∠CEF = 45° = ∠CAB，∠CEF + ∠BEF = ∠ACE +
∠CAE，∴∠BEF = ∠ACE，
∴△ACE ∽△BEF，AC
BE = AE
BF
m
2m-x =
x
BF BF =
( 2m-x)x
m
，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·2·
∴DF = y = m - ( 2 - 1)m - ( 2m-x)x
m
= (2 -
2)m
- ( 2m-x)x
m
，
∵y 关于x 的函数图象过点(0,2 -
2)，
∴(2 -
2)m = 2 -
2，
解得：m = 1，
∴y = 2 -
2 - ( 2 - x)x = x2-
2x + 2 -
2，
当x =- - 2
2
=
2
2
时，y = 3
2 -
2，
∴该图象上最低点的坐标为
2
2 , 3
2 -
2
；故选：B．
7．【分析】待定系数法求得直线FG 的解析式为y =
-2x - 1，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求
解．
【解答】解：设直线FG 的解析式为y = kx + b，代入(
-1,1)，(0, -1)，
∴1=-k+b
-1=b
，解得k=-2
b=-1
，
∴直线FG 的解析式为y =-2x - 1，
∵E(1,2)，A．当E 为
7
5 , 11
5
时，平移方式为向右平
移2
5 个单位，向上平移1
5 个单位，
∴直线FG 平移后的解析式为y =-2 x- 2
5
- 1 + 1
5 =
-2x，此时经过原点，对应的EH 经过整点(2,1)，符合
题意，
B．当E 为
8
5 , 23
10
时，平移方式为向右平移3
5 个单
位，向上平移3
10 个单位，
∴直线FG 平移后的解析式为y =-2 x- 3
5
- 1 + 3
10 =
-2x + 1
2 ，此时原点在FG 下方，对应的EH 在整点(2,
1) 上方，不符合题意，
C．当E 为
3
2 ,2
时，平移方式为向右平移1
2 个单位，
∴直线FG 平移后的解析式为y =-2 x- 1
2
- 1 =-2x，
此时点H 在正方形内部，不符合题意，
D．当E 为
3
2 , 9
4
时，平移方式为向右平移1
2 个单
位，向上平移1
4 个单位，
∴直线FG 平移后的解析式为y =-2 x- 1
2
- 1 =-2x
此时点E 和(2,1) 在正方形内部，不符合题意，
故选：A．
8．【分析】过点F 作FH ⊥DC 交DC 延长线于点H，
证明ΔADE 和ΔEHF 全等，得到∠FCH = 45°，再根据
等腰直角三角形三边关系，求出比值．
【解答】解：过点F 作FH ⊥DC 交DC 延长线于点H，
∴∠H = 90°
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠D = 90°，AD = DC，
∵AE 绕点E 逆时针旋转90°，得到FE，
∴AE = FE，∠AEF = 90°，
∵∠DAE + ∠AED = 90°，∠HEF + ∠AED = 90°，
∴∠DAE = ∠HEF，
在ΔADE 和ΔEHF 中，
∠D=∠H
∠DAE=∠HEF
AE=EF
，
∴ΔADE ≅ΔEHF(AAS)，
∴AD = EH，DE = HF，∴EH = DC，
∴DE = CH = HF，∴∠HCF = 45°，∴∠G = 45°，
设CH = HF = DE = x，正方形边长为y，
则CE = y - x，CF =
2x，CG =
2y，
∴FG = CG - CF =
2y -
2x，
∴FG
CE =
2，故选：A．
9．【分析】由AD ⎳BC，推出AE
FC = AG
GC ，AA′
FC =
AH
HC ，推出2AE
FC
= AA′
FC ，推出2AG
GC
= AH
HC ，可得
2AG
10
= AG+2
8
．解得AG = 10
3 ，再证明FG = AG，
利用勾股定理求出CF，再利用平行线分线段成比例定
理求出BF．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ⎳BC，
∴AE
FC = AG
GC ，AA′
FC = AH
HC ，
∴2AE
FC
= AA′
FC ，∴2AG
GC
= AH
HC ，
∴2AG
10
= AG+2
8
．∴AG = 10
3 ，
∵AF 平分∠BAC，∴∠BAF = ∠FAC，
∵EF ⎳AB，∴∠BAF = ∠AFG，
∴∠GAF = ∠GFA，∴FG = AG = 10
3 ，
∵CF =
CG2-FG2 =
102-
10
3
2
= 20 2
3
，
∵BF:CF = AG:CG = 1:3，
∴BF = 1
3 CF = 20 2
9
．故选：A．
10．【分析】根据每一选项逐一判断即可．
【解答】解：A 选项：如图所示，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·3·
∵AB⊥AB，∴∠BAB= 90°，
∵折叠，
∴∠BAP = ∠BAP = 45°，∠B = ∠ABP = 60°，
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ⎳BC，
∴∠BAD = 120°，
∴∠BAD = ∠BAD - ∠BAB= 30°，
∴∠AEB= ∠ABP - ∠BAD = 30°，
∴∠BAD = ∠AEB，
∴BA = BE，故A 选项正确，不合题意；
B 选项：如图所示，
当B落在AD 上时，点E 和B重合，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ⎳BC，∴∠BAD = 120°，
∵折叠，
∴∠BAP = ∠BAP = 60°，AB = AB，PB = PB，
∴△ABP 是等边三角形，
∴AB = BP = BP = AB，
∴四边形ABPB′ 是菱形，故B 选项正确，不合题意；
C 选项：如图所示，
当点P 靠近点C 时，B在四边形外部，此时∠AEB>
90°，
∴AE < AB′ = 2，故C 选项错误，符合题意；
D 选项：如图所示，连接BB交AP 于点O，
∵折叠，且AP 是折痕，
∴AP 垂直平分BB，
∴S四边形ABPB′ = S△ABP + S△AB′P = 1
2 AP ⋅OB + 1
2 AP ⋅OB′
= 1
2 AP ⋅BB′，故D 选项正确，不合题意．故选：C．
11．【分析】先证明ΔADE ∽ΔABD，得出∠ADE =
∠ABD = 30°，再证明ΔADE ≅ΔFDE(SAS)，得出EF
= AE = BE = 1，再根据三角形面积公式得出ΔBDE 的
面积．
【解答】解：过点A 作AG ⊥BD 于点G，
∵∠ABD = 30°，∠A = 105°，∴∠ADB = 45°，
设AE = BE = a，则AB = 2a，
∴AG = 1
2 AB = a，BG =
3
2 AB =
3a，
∴DG = AG = a，∴AD =
2a，
∵AE
AD =
a
2a =
2
2 ，AD
AB =
2a
2a
=
2
2 ，
∴AE
AD = AD
AB ，
∵∠DAE = ∠BAD，∴ΔADE ∽ΔABD，
∴∠ADE = ∠ABD = 30°，
∵∠ADC = ∠ADB + ∠CDB = 90° = ∠ADE + ∠EDF +
∠CDF，
∴90° = 30° +∠EDF + 30°，∴∠EDF = 30° = ∠ADE，
∵AD = CD = DF，DE = DE，
∴ΔADE ≅ΔFDE(SAS)，∴EF = AE = BE = 1，
过点E 作EH ⊥BD 于点H，
∴EH = 1
2 BE = 1
2 ，BD =
3a + a =
3 + 1，
∴ΔBED 的面积= 1
2 × BD × EH = 1
2 × ( 3 + 1) × 1
2 =
3+1
4
，故选：A．
12．【分析】作AH ⊥BC．DG ⊥BC．DF ⊥AH，
垂足分别为H．G．F，易得四边形DFHG 为矩形，
得到DG = FH，DF = HG，证明△BDG 为等腰直角三
角形，得到BG = DG，三线合一得到BH = CH，
∠ABC = ∠ACB，证明△ADF ∽△ACH，得到DF
CH =
AD
AC =
AD
AD+CD = 3
5 ，设DF = 3x，CH = 5x，求出
DG，CG 的长，正切的定义求出tan∠ACB，勾股定理
求出x 的值，进而求出BD 的值，证明△DEC ∽
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·4·
△BED，列出比例式进行求解即可．
【解答】解：作AH ⊥BC，DG ⊥BC，DF ⊥AH，垂
足分别为H，G，F，则四边形DFHG 为矩形，
∴DG = FH，DF = HG，DF ⎳HG，DG ⎳AH，
∵∠DBC = 45° ∴△BDG 为等腰直角三角形，
∴BG = DG，
∵AB = AC，∴BH = CH，∠ABC = ∠ACB，
∵DF ⎳BC，∴△ADF ∽△ACH，
∴DF
CH = AD
AC =
AD
AD+CD = 3
5 ，
∴设DF = 3x，CH = 5x，
则HG = DF = 3x，BH = CH = 5x，
∴DG = BG = BH + HG = 8x，CG = CH - HG = 2x，
∴BD = 8 2x，
∴在Rt△CGD 中，tan∠ACB = DG
CG = 8x
2x = 4，
由勾股定理，得(2x)2+ (8x)2= 22，
∴x =
17
17 (负值舍去)，
∴BD = 8 2x = 8 34
17
，BC = 2CH = 10x = 10 17
17
，
∵∠CED = ∠ABD，∠ACB = ∠E + ∠CDE，∠ABC =
∠ABD + ∠CBD，∠ABC = ∠ACB，
∴∠CDE = ∠CBD = 45°，
又∵∠E = ∠E，∴△DEC ∽△BED，
∴DE
BE = CE
DE = CD
DB =
2
8 34
17
=
34
8
，
∴DE =
8
34 CE，DE 2= BE ⋅CE = (BC + CE) ⋅CE，
∴
8
34 CE
2
=
10 17
17
+CE
⋅CE，
解得：CE = 0(舍去) 或CE = 2 17
3
，
故答案为：4，2 17
3
．
13．【分析】由矩形的性质得∠B = ∠BAD = 90°，由折
叠得∠PAB′ = ∠PAB = 1
2 ∠BAB′，再分三种情况讨论，
一是∠BAB′ = 15°，则∠PAB = 1
2 × 15° = 7.5°，求得
∠APB = 90° -∠PAB = 82.5°；二是∠DAB′ = 15°，且点
B′ 与点B 在直线AD 同侧，则∠PAB = 1
2 × 75° = 37.5°，
求得∠APB = 90° -∠PAB = 52.5°；三是∠DAB′ = 15°，
且点B′ 与点B 在直线AD 异侧，则∠PAB = 1
2 × 105°
= 52.5°，求得∠APB = 90° -∠PAB = 37.5°，于是得到
问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B = ∠BAD = 90°，
由折叠得∠PAB′ = ∠PAB = 1
2 ∠BAB′，
如图1，∠BAB′ = 15°，
∵∠PAB = 1
2 × 15° = 7.5°，
∴∠APB = 90° -∠PAB = 82.5°；
如图2，∠DAB′ = 15°，且点B′ 与点B 在直线AD 同侧，
∵∠BAB′ = ∠BAD - ∠DAB′ = 75°，
∴∠PAB = 1
2 × 75° = 37.5°，
∴∠APB = 90° -∠PAB = 52.5°；
如图3，∠DAB′ = 15°，且点B′ 与点B 在直线AD 异侧，
∵∠BAB′ = ∠BAD + ∠DAB′ = 105°，
∴∠PAB = 1
2 × 105° = 52.5°，
∴∠APB = 90° -∠PAB = 37.5°，
综上所述，∠APB 的度数可以是82.5° 或52.5° 或37.5°，
故答案为：82.5° 或52.5° 或37.5°．
14．【分析】延长CE 交DA 延长线于点G，过D 作
DH ⊥BF 于点H，则∠BHD = 90°，由三线合一性质可
得CH = FH = 1
2 CF，然后证明四边形ABHD 是矩形，
所以AB = DH = 8，AD = BH，又∠AEG = ∠BEC，则
可证△AEG ∽△BEC，所以AG
BC = AE
BE ，求出AG =
12
5 ，然后通过平行线的性质和等角对等边可得CD =
GD，设CH = FH = x，则AD = BH = 4 + x，CD = GD
= 4 + x + 12
5 = x + 32
5 ，最后通过勾股定理求出x 的值
即可．
【解答】解：如图，延长CE 交DA 延长线于点G，过
D 作DH ⊥BF 于点H，则∠BHD = 90°，
∵DF = DC，∴CH = FH = 1
2 CF，
∵AD ⎳BC，∠B = 90°，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·5·
∴∠B = ∠GAE = 90°，∠B + ∠BAD = 180°，
∴∠B = ∠BAD = ∠BHD = 90°，
∴四边形ABHD 是矩形，
∴AB = DH = 8，AD = BH，
∵∠AEG = ∠BEC，∴△AEG ∽△BEC，
∴AG
BC = AE
BE ，
∵AB = 8，AE = 3，∴BE = 5，
∴AG
4
= 3
5 ，∴AG = 12
5 ，
∵AD ⎳BC，∴∠G = ∠BCE，
∵∠DCE = ∠BCE，
∴∠DCE = ∠G，
∴CD = GD，
设CH = FH = x，则AD = BH = 4 + x，
∴CD = GD = 4 + x + 12
5 = x + 32
5 ，
由勾股定理得：CD2= CH 2+ HD2，
∴x+ 32
5
2
= x2+ 82，解得：x = 9
5 ，
即CH = 9
5 ，∴CF = 2CH = 18
5 ，故答案为：18
5 ．
15．【分析】由题意可得AM = AN，MP = NP，则点
P 在AH 上运动，由点P 始终在▱ABCD 的内部或边
上．则AP 的最大值为AH 的长，通过证明△ABH 是等
边三角形，可得AB = AH = 6，即可求解．
【解答】解：如图，连接AP，交BC 于H，
∵四边形ABCD 是平行四边形，∠B = 60°，
∴∠BAD = 120°，
∵△MNP 是等边三角形，
∴MP = PN，∠PMN = ∠PNM = 60°，△MNP 的面积=
3
4 MP2，
∵AM = AN，AP = AP，
∴△AMP ≅△ANP(SSS)，
∴∠BAP = ∠DAP = 60°，∠APM = ∠APN = 30°，
∴∠AMP = 90°，
∴MP =
3AM，AP = 2AM，∴MP =
3
2 AP，
∴△MNP 的面积= 3 3
16 AP2，
∴当AP 最大时，△MNP 的面积的面积最大，
∵∠B = ∠BAH = 60°，∴△ABH 是等边三角形，
∴AB = AH = 6，
∵AM = AN，MP = NP，∴点P 在AH 上运动，
∵点P 始终在▱ABCD 的内部或边上．
∴AP 的最大值为AH 的长，
即AP = 6，∴AM = AN = 3，
∴DN = 5，故答案为：5．
16．【分析】分情况讨论：①当∠APC - ∠C = 90° 时，
过点A 作AD ⊥BC 于点D，由等腰三角形的性质得到
BD = CD = 4，证明△ADB ∽△PAB，得到AB
BP = BD
AB ，
即可求出BP 的长；
②当∠APC - ∠CAP = 90° 时，过点P 作PM ⊥BC 交
AC 于点M，由等角对等边得到AM = PM，再证明
△CMP ∽△CAD，设CP = x，进而得出PM = 3
4 x，
CM = 5
4 x，根据AC = AM + CM = PM + CM，求出x
的值，即可求出BP 的长；
③当∠CAP = ∠C + 90° 时，利用锐角三角函数，得出
∠C > 30°，∠BAC < 120°，即此种情况不存在；
④当∠CAP = ∠APC + 90° 时，同③理可证，此种情况
不存在；即可得解．
【解答】解：∵AB = AC = 5，
∴∠B = ∠C，
∵∠APC = ∠B + ∠BAP，
∴∠APC > ∠B，
∴∠APC > ∠C，
若△APC 为“反直角三角形”，
①当∠APC - ∠C = 90° 时，过点A 作AD ⊥BC 于点
D，
∵AB = AC = 5，BC = 8，
∴BD = CD = 1
2 BC = 4，
∴AD =
AB2-BD2 = 3，
∵∠B = ∠C，
∴∠APC - ∠B = ∠BAP = 90°，
∵∠B = ∠B，∠ADB = ∠PAB = 90°，
∴△ADB ∽△PAB，∴AB
BP = BD
AB ，
∴
5
BP = 4
5 ，∴BP = 25
4 ；
②当∠APC - ∠CAP = 90° 时，过点P 作PM ⊥BC 交
AC 于点M，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·6·
∴∠APC - ∠APM = ∠CPM = 90°，
∴∠CAP = ∠APM，
∴AM = PM，
∵PM ⊥BC，AD ⊥BC，
∴PM ⎳AD，
∴△CMP ∽△CAD，
∴CP
CD = PM
AD = CM
AC ，
设CP = x，则BP = 8 - x，
∴x
4 = PM
3
= CM
5
，
∴PM = 3
4 x，CM = 5
4 x，
∴AC = AM + CM = PM + CM = 3
4 x + 5
4 x = 5，
∴x = 5
2 ，
∴BP = 8 - 5
2 = 11
2 ；
③当∠CAP = ∠C + 90° 时，
∵sin∠C = AD
CC = 3
5 ，sin30° = 1
2 ，且3
5 > 2，
∴∠C > 30°，
∴∠BAC < 120°，
若∠CAP = ∠C + 90°，则∠CAP > 120°，即∠CAP >
∠BAC，
∴此种情况不存在，
④当∠CAP = ∠APC + 90° 时，
∵当点P 与点B 重合时，∠APC 最小，此时∠APC =
∠B > 30°，
同③理可证，此种情况不存在；
综上可知，BP 的长为25
4 或11
2 ，
故答案为：25
4 或11
2 ．
17．【分析】由菱形的性质可得AC ⊥BD，AO =
CO，BO = DO = 8，AB = AD = 4 5，由勾股定理可
求AO 的长，通过证明△EGD ∽△AOD，可求EG =
1
2 AO = 2，DG = 1
2 DO = 4，由勾股定理可求解．
【解答】解：如图，连接AC 交BD 于O，过点E 作EG
⊥BD 于G，
∵四边形ABCD 是菱形，对角线BD 的长为16，
∴AC ⊥BD，AO = CO，BO = DO = 8，AB = AD =
4 5，
∴AO =
AD2-OD2 =
80-64 = 4，
∵E 是AD 的中点，
∴AD = 2DE，
∵EG ⊥BD，
∴EG ⎳AC，
∴△EGD ∽△AOD，
∴EG
AO = DG
DO = DE
AD = 1
2 ，
∴EG = 1
2 AO = 2，DG = 1
2 DO = 4，
∵BF = 3，
∴FG = BD - GD - BF = 9，
∴EF =
EG2+FG2 =
81+4 =
85，
故答案为：
85．
18．【分析】延长AD 交BC 于E，由AB = CA，BD
= CD 可得AE ⊥BC，BE = CE，根据等边三角形的性
质以及勾股定理可得AE =
3，DE = 1，即可求解．
【解答】解：延长AD 交BC 于E，
∵AB = CA，BD = CD，
∴AE ⊥BC，BE = CE，
∵AB = BC = CA = 2，
∴BE = CE = 1，
∴AE =
AB2-BE 2 =
3，DE =
BD2-BE 2 =
2-1
= 1，
∴AD = AE - DE =
3 - 1．
故答案为：
3 - 1．
19．【分析】根据题意画出示意图，连接PC，交直线
EF 于点G，延长PE 交AC 于点H，当点P 在AC 上方
时，由勾股定理求出CD = 6 3 进而得到CE = 1
2 CD =
3 3 由点C 关于直线EF 的对称点P，得到PE = CE =
3 3，∠EGC = ∠EGP = 90°，求出∠CEH = ∠CAD =
60°，进而得到∠PEC = 120°，再求出∠CPE = ∠PCE =
1
2 (180° -∠PEC) = 30°，证明△CEF 是等腰三角形，在
Rt△CEH 中，解直角三角形求出CH = 9
2 ，进而求解；
当点P 在AC 下方时，先求出\∠CEP = 60°，CH = 9
2 ，
结合对称的性质易证△CEP 是等边三角形，易求EH =
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·7·
PH = 1
2 PE = 3 3
2
解直角三角形求出HF = 3
2 ，由CF
= CH - HF 即可求解．
【解答】解：如图所示，连接PC，交直线EF 于点G，
延长PE 交AC 于点H，当点P 在AC 上方时，
∵在矩形ABCD 中，AD = 6，∠CAD = 60°，∠ACD =
30°，
∴AC = 2AD = 12，CD =
AC2-AD2 = 6 3，∵
点E 是边CD 的中点，
∴CE = 1
2 CD = 3 3，
∵点C 关于直线EF 的对称点P，
∴PE = CE = 3 3，∠EGC = ∠EGP = 90°，
∵PH ⊥AC，
∴∠EHC = ∠EHF = 90°，∠ACD = 30°，∠ACD +
∠CEH = ∠ACD + ∠CAD = 90°，
∴∠CEH = ∠CAD = 60°，
∴∠PEC = 120°，∵PE = CE，
∴∠CPE = ∠PCE = 1
2 (180° -∠PEC) = 30°，
∵∠PEG = ∠FEH，∠EGP = ∠EHF = 90°，
∴∠CPE = ∠EFC = 30°，
∴△CEF 是等腰三角形，CH = FH = 1
2 CF，
在Rt△CEH 中，CE = 3 3，
∠HCE = 30°，CH = CE ⋅cos∠HCE = 3 3 ×
3
2
= 9
2 ，
∴CF = 2CH = 9；
如图，当点P 在AC 下方时，
∵PE ⊥AC，
∴∠CHE = 90°，
∵∠ACD = 30°，
∴∠CEP = 60°，CH = CE ⋅cos∠ACD = 3 3 ×
3
2
=
9
2 ，
由对称的性质得PE = CE，
∴△CEP 是等边三角形，
∴∠P = 60°，CE = PC = PE = 3 3，
∴∠HEF = 30°，EH = PH = 1
2 PE = 3 3
2
，HF = EH ⋅
tan∠PEF = 3 3
2
×
3
3
= 3
2 ，
∴CF = CH - HF = 3；
综上，CF 的长为3 或9．
故答案为：3 或9．
20．【分析】由菱形对角线互相垂直且平分，可得OA
= 1
2 AC = 4,OB = 1
2 BD = 6，AC ⊥BD，取OE 中点
H，连接GH，则GH = 1
2 OB，GH ⎳OB，再用勾股
定理解Rt△GHF 即可．
【解答】解：方法一：在菱形ABCD 中，对角线AC 与
BD 相交于点O，AC = 8，BD = 12，
∴OA = 1
2 AC = 4,OB = 1
2 BD = 6，AC ⊥BD，
∵AE = 2，
∴OE = OA - AE = 4 - 2 = 2，
如图，取OE 中点H，连接GH，
∵点G 为BE 的中点，点H 为OE 的中点，
∴GH 是三角形EBO 的中位线，
∴GH = 1
2 OB = 3，GH ⎳OB，
∴∠GHE = ∠BOA = 90°，
∵OF = 1，
∴HF = OH + OF = 1
2 OE + OF = 1
2 × 2 + 1 = 2，
在直角三角形GFH 中，由勾股定理得：GF =
GH 2+HF 2 =
32+22 =
13；
方法二：在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点
O，AC = 8，AE = 2，OF = 1，
∴OB = 6，OC = 4，
∴CE = 8 - 2 = 6，CF = OC - OF = 4 - 1 = 3，
∴F 为CE 的中点，
又∵点G 为BE 的中点，
∴GF 为△BCE 的中位线，
∵BC =
62+42 = 2 13，
∴FG =
13．
故答案为：
13．
21．【分析】先根据黄金矩形ABCD 中AB
AD =
5-1
2
，
且AD = 2，求出AB =
5 - 1，进而求出GF = GH =
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·8·
HC = FC = 3 -
5，LH = HD = 2 5 - 4，再根据弧长
公式即可求出“黄金螺线” AFHK 的长．
【解答】解∵黄金矩形ABCD 中AB
AD =
5-1
2
，且AD
= 2，
∴AB =
5 - 1，
∵四边形ABFE 是正方形，
∴AE = EF = BF = AB =
5 - 1，
∴FC = ED = 2 - ( 5 - 1) = 3 -
5，
∵四边形FGHC 是正方形，
∴GF = GH = HC = FC = 3 -
5，
∵CD = AB =
5 - 1，
∴HD = CD - CH = ( 5 - 1) - (3 -
5) = 2 5 - 4，
∵四边形LKDH 是正方形，
∴LH = HD = 2 5 - 4，
∴“黄金螺线” AFHK 的长为90π⋅AE
180
+ 90π⋅GH
180
+
90π⋅LH
180
= 1
2 π(AE + GH + LH)
= 1
2 π(AE + ED + LH)
= 1
2 π(AD + LH)
= 1
2 π(2 + 2 5 - 4)
= ( 5 - 1)π，
故答案为：( 5 - 1)π．
22．【分析】如图，连接AC，交BD 于N，过H 作
HQ ⊥BD 于Q，求解BE = 4，证明HN 是△BDE 的中
位线，可得HN ⎳BE，HN = 1
2 BE = 2，HQ = 1
2 HN
= 1，证明四边形HFCN 是平行四边形，可得∠NCF =
∠NHG = 30°，而HQ ⊥BD，∠HNQ = 30°，求解
∠GHQ = 30°，再进一步求解即可．
【解答】解：如图，连接AC，交BD 于N，过H 作HQ
⊥BD 于Q，
∵BE = 2CF，CF = 2，
∴BE = 4，
∵矩形ABCD，
∴AN = CN = BN = DN，AB ⎳CD，
∴∠ABD = ∠BAC = 30°，∠BAC = ∠NCF = 30°，
∵H 是DE 的中点，
∴HN 是△BDE 的中位线，
∴HN ⎳BE，HN = 1
2 BE = 2，
∴∠ABD = ∠HNQ = 30°，
∴HQ = 1
2 HN = 1，
∵HN ⎳AB，AB ⎳CD，
∴HN ⎳CF，
∵HN = CF = 2，
∴四边形HFCN 是平行四边形，
∴∠NCF = ∠NHG = 30°，而HQ ⊥BD，∠HNQ = 30°，
∴∠HGQ = 60°，
∴∠GHQ = 30°，
∴cos∠GHQ = cos30° = HQ
HG =
1
HG ，
∴HG = 1 ÷
3
2
= 2 3
3
，
故答案为：2 3
3
．
23．【分析】连接CE，过E 作EF ⊥BC 于F，设BD
= x，则BC = x + 2，由∠ACB = 90°，E 为AD 中点，
可得CE = AE = DE = 1
2 AD，有∠CAE = ∠ACE，
∠ECD = ∠EDC，证明ΔECD ∽ΔBCE，可得CE
BC =
CD
CE ，∠CED = ∠CBE，故CE 2= CD ⋅BC = 2(x + 2) =
2x + 4，再证ΔABC ∽ΔBEF，得AC
BF = BC
EF ，而AC
= 2EF，即得2EF 2= (x + 1) (x + 2)，从而
(x+1)(x+2)
2
= (2x + 4) - 12，即可解得答案．
【解答】解：连接CE，过E 作EF ⊥BC 于F，如图：
设BD = x，则BC = BD + CD = x + 2，
∵∠ACB = 90°，E 为AD 中点，
∴CE = AE = DE = 1
2 AD，
∴∠CAE = ∠ACE，∠ECD = ∠EDC，
∴∠CED = 2∠CAD，
∵BE = BC，
∴∠ECD = ∠BEC，
∴∠BEC = ∠EDC，
∵∠ECD = ∠BCE，
∴ΔECD ∽ΔBCE，
∴CE
BC = CD
CE ，∠CED = ∠CBE，
∴CE 2= CD ⋅BC = 2(x + 2) = 2x + 4，
∵AD 平分∠CAB，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·9·
∴∠CAB = 2∠CAD，
∴∠CAB = ∠CED，
∴∠CAB = ∠CBE，
∵∠ACB = 90° = ∠BFE，
∴ΔABC ∽ΔBEF，
∴AC
BF = BC
EF ，
∵CE = DE，EF ⊥BC，
∴CF = DF = 1
2 CD = 1，
∵E 为AD 中点，
∴AC = 2EF，
∴2EF
x+1 = x+2
EF ，
∴2EF 2= (x + 1) (x + 2)，
∵EF 2= CE 2- CF 2，
∴(x+1)(x+2)
2
= (2x + 4) - 12，
解得x = 1+
17
2
或x = 1-
17
2
(小于0，舍去)，
∴BD = 1+
17
2
．
故答案为：1+
17
2
．
24．【分析】根据问题分析：要求CE
AC 的值，可能需
要构造相似或者平行线分线段成比例，所以作CM ⊥
AD 于点M，从而将CE
AC 转化成DM
AM ，再根据题中条
件去求解即可．
【解答】解：如图，过点A 作AH ⊥CB 于点H，作CM
⊥AD 于点M，
∵AB = BC，BD
DC = 8
5 ，
设BD = 8a，则CD = 5a，
∴BC = AB = BD + CD = 13a，
∵tanB = 5
12 ，
∴AH = 5a，BH = 12a，
∴DH = BH - BD = 4a，CH = a，
在Rt△ACH 中，AC =
AH 2+CH 2 =
26a，
在Rt△ADH 中，AD =
AH 2+DH 2 =
41a，
∴cos∠ADC = DH
AD = 4 41
41
，
∴DM = CD ⋅cos∠ADC = 20 41
41
a，
∴AM = AD - DM = 21 41
41
a，
∴CE
AC = DM
AM = 20
21 ．
故答案为：20
21 ．
25．【分析】设AD = x，AE =
5x，根据折叠性质
得DF = AD = x，∠ADE = ∠FDE，过E 作EH ⊥AC
于H，设EF 与AC 相交于M，证明△AHE ∽△ACB，
得到EH
BC = AH
AC = AE
AB ，进而得到EH = x，AH = 2x，
证明Rt△EHD 是等腰直角三角形，得到∠HDE =
∠HED = 45°，可得∠FDM = 90°，证明△FDM ≅△EHM
(AAS)，得到DM = MH = 1
2 x，则CM = AC - AD -
DM = 10 - 3
2 x，根据三角形的面积公式结合已知可得
10- 3
2 x
- x = 2(25 - 5x)，然后解一元二次方程求解
x 的值即可．
【解答】解：∵AE =
5AD，
∴设AD = x，AE =
5x，
∵△ADE 沿DE 翻折，得到△FDE，
∴DF = AD = x，∠ADE = ∠FDE，
过E 作EH ⊥AC 于H，设EF 与AC 相交于M，
则∠AHE = ∠ACB = 90°，
又∵∠A = ∠A，
∴△AHE ∽△ACB，
∴EH
BC = AH
AC = AE
AB ，
∵CB = 5，CA = 10，AB =
AC2+BC2 =
102+52 =
5 5，
∴EH
5
= AH
10
=
5x
5 5 ，
∴EH = x，AH =
AE 2-EH 2 = 2x，则DH = AH - AD
= x = EH，
∴Rt△EHD 是等腰直角三角形，
∴∠HDE = ∠HED = 45°，则∠ADE = ∠EDF = 135°，
∴∠FDM = 135° -45° = 90°，
在△FDM 和△EHM 中，
∠FDM=∠EHM=90°
∠DMF=∠HME
DF=EH
，
∴△FDM ≅△EHM(AAS)，
∴DM = MH = 1
2 x，CM = AC - AD - DM = 10 - 3
2 x，
∴S△CEF = S△CME + S△CMF = 1
2 CM ⋅EH + 1
2 CM ⋅DF =
1
2
10- 3
2 x
⋅x × 2 = 10- 3
2 x
⋅x，
S△BEC = S△ABC - S△AEC = 1
2 × 10 × 5 - 1
2 × 10 ⋅x = 25 -
5x，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·10·
∵△CEF 的面积是△BEC 的面积的2 倍，
∴10- 3
2 x
⋅x = 2(25 - 5x)，
则3x2- 40x + 100 = 0，
解得x1= 10
3 ，x2= 10(舍去)，
则AD = 10
3 ，
故答案为：10
3 ．
26．【分析】方法一：过点F 作FH ⊥AC 于H，延长
AD 与GC 的延长线交于K，由tan∠ABC = AE
BE = 2 得
AE = 2BE，进而得BE = 1，AE = 2，则CE = 3，AC
=
13，再由∠ACF = ∠CAF 得FA = FC，则AH = CH
=
13
2
，由SΔFAC = 1
2 AC ⋅FH = 1
2 AF ⋅CE，得FH =
AF⋅CE
AC
= 3AF
13 ，在RtΔAFH 中由勾股定理得AF =
13
4 ，则EF = AF - AE = 5
4 ，证明ΔFCE ∽ΔFKA 得
AK = 39
5 ，则DK = AK - AD = 19
5 ，再证明ΔKDC ∽
ΔKAG 得AG = 39 5
19
，由此可得BG 的长．
方法二：过点G 作GH ⊥BC，交CB 的延长线于H，
先求出BE = 1，AE = 2，CE = 3，设EF = a，则AF
= CF = 2 + a，由勾股定理求出a = 5
4 ，根据∠GBH =
∠ABC 得GH = 2HB，设HB = b，则GH = 2b，CH =
BC + HB = 4 + b，GB =
5b，证明ΔCEF ∽ΔCHG 得
b = 20
19 ，由此可得GH 的长．
【解答】解法一：过点F 作FH ⊥AC 于H，延长AD 与
GC 的延长线交于K，如图所示：
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB = CD =
5，BC = AD = 4，AB ⎳CD，
BC ⎳AD，
又∵AE ⊥BC，
在RtΔABE 中，tan∠ABC = AE
BE = 2，
∴AE = 2BE，
由勾股定理得：AE 2+ BE 2= AB2，
即(2BE)2+ BE 2= ( 5)2，
∴BE = 1，∴AE = 2BE = 2，
∴CE = BC - BE = 3，
在RtΔACE 中，由勾股定理得：AC =
AE 2+CE 2 =
13，
∵∠ACF = ∠CAF，∴FA = FC，
∵FH ⊥AC，∴AH = CH = 1
2 AC =
13
2
，
∵SΔFAC = 1
2 AC ⋅FH = 1
2 AF ⋅CE，
∴FH = AF⋅CE
AC
= 3AF
13 ，
在RtΔAFH 中，由勾股定理得：AF 2- FH 2= AH 2，
即AF 2-
3AF
13
2
=
13
2
2
，∴AF = 13
4 ，
∴EF = AF - AE = 13
4 - 2 = 5
4 ，
∵BC ⎳AD，∴ΔFCE ∽ΔFKA，
∴EF:AF = CE:AK，
即5
4 : 13
4 = 3:AK，∴AK = 39
5 ，
∴DK = AK - AD = 39
5 - 4 = 19
5 ，
∵AB ⎳CD，∴ΔKDC ∽ΔKAG，
∴DK:AK = CD:AG，
即19
5 : 39
5 =
5:AG，∴AG = 39 5
19
，
∴BG = AG - AB = 39 5
19
-
5 = 20 5
19
．
故答案为：20 5
19
．
解法二：过点G 作GH ⊥BC，交CB 的延长线于H，
如图所示：
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AB = CD =
5，BC = AD = 4，AB ⎳CD，
BC ⎳AD，
又∵AE ⊥BC
在RtΔABE 中，tan∠ABC = AE
BE = 1
2 ，
∴AE = 2BE，
由勾股定理得：AE 2+ BE 2= AB2，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·11·
即(2BE)2+ BE 2= ( 5)2，∴BE = 1，
∴AE = 2BE = 2，∴CE = BC - BE = 3，
设EF = a，则AF = AE + EF = 2 + a，
∵∠ACF = ∠CAF，
∴AF = CF = 2 + a，
在RtΔCEF 中，由勾股定理得：CF 2= CE 2+ EF 2，
即(2 + a)2= 32+ a2，
解得：a = 5
4 ，
∵∠GBH = ∠ABC，
∴在RtΔGBH 中，tan∠GBH = GH
HB = 1
2 ，
∴GH = 2HB，
设HB = b，则GH = 2b，CH = BC + HB = 4 + b，
在RtΔGBH 中，由勾股定理得：GB =
HB2+GH 2 =
5b，
∵GH ⊥BC，AF ⊥BC，∴EF ⎳GH，
∴ΔCEF ∽ΔCHG，∴CE:CH = EF:GH，
即3:(4 + b) = 5
4 :2b，解得：b = 20
19 ，
∴GH =
5b = 20 5
19
，故答案为：20 5
19
．
27．【分析】(Ⅰ) 运用正方形性质对角线互相平分、
相等且垂直，即可求解；
(Ⅱ) 作辅助线，构造三角形中位线即可．
【解答】解：(Ⅰ) ∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA = OC = OD = OB，∠DOC = 90°，
∴在Rt△DOC 中，OD2+ OC2= DC2，
∵DC = 3 2，
∴OA = OD = OC = OB = 3，
∵OE = 5，∴AE = OE - OA = 2；故答案为：2．
(Ⅱ) 延长DA 到点G，使AG = AD，连接EG，过E 作
EH ⊥AG 于H，
∵F 为DE 中点，A 为DG 中点，
∴AF 为△DGE 中位线，∴AF = 1
2 EG，
在Rt△EAH 中，∠EAH = ∠DAC = 45°，
∴AH = EH，
∵AH 2+ EH 2= AE 2，∴AH = EH =
2，
∴GH = AG - AH = 3 2 -
2 = 2 2，
在Rt△EGH 中，EG2= EH 2+ GH 2= 10，
∴EG =
10，
∴AF = 1
2 EG =
10
2
．故答案为：
10
2
．
28．【分析】先证明ΔAEF ≅ΔAED(SAS)，再通过角
度计算得出∠AEM 是等腰直角三角形，求出EF 的长
度，最后利用勾股定理和射影定理，得出DG 的长度．
【解答】解：设∠CBE = x，则∠ABF = ∠AFB = 90°
-x，
∴∠AFE = 90° +x，∠BAF = 180° -2(90° -x) = 2x，
∵AF = AB = AD，AE = AE，∠EAF = ∠EAD = 45°
-x，
∴ΔAEF ≅ΔAED(SAS)，
∴∠ADE = ∠AFE = 90° +x，
∴∠CDE = x，∴∠DEB = 90°，
∴∠AED = ∠AEB = 45°，
过点A 作AM ⊥BE 于点M，过点D 作DN ⊥AE 于点
N，
∴∠EAM = 45° -x + x = 45°，
∴ΔAEM 是等腰直角三角形，
∵AM =
AB2-BM 2 = 7，
∴EM = AM = 7，
∴EF = 6，
∴DE = EF = 6，
∴DN =
2
2 DE = 3 2，
∴AN =
AD2-DN 2 = 4 2，
由射影定理得：NG = 9
4
2，
∴DG =
DN 2+NG2 = 15
4
2，
故答案为：15
4
2．
29．【分析】作OH ⎳BC 交CD 于点H，则△DOH ∽
△DBC，由菱形的性质得OD = OB，OA = OC，AC
⊥BD，则OH
BC = OD
BD = 1
2 ，求得OH = 1
2 BC = 5，再
证明△OFH ∽△EFC，得OH
EC = OF
FE = 5
6 ，则EC =
6
5 OH = 6，再证明∠OEC = ∠COE，则OC = EC = 6，
求得OB =
BC2-OC2 = 8，则BD = 16，AC = 12，所
以S菱形ABCD = 1
2 BD ⋅AC = 96，于是得到问题的答案．
【解答】解：作OH ⎳BC 交CD 于点H，则△DOH ∽
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·12·
△DBC，
∵四边形ABCD 是边长为10 的菱形，对角线AC，BD
相交于点O，
∴BC = 10，OD = OB = 1
2 BD，OA = OC，AC ⊥
BD，
∴OH
BC = OD
BD = 1
2 ，∠BOC = 90°，
∴OH = 1
2 BC = 5，
∵OH ⎳EC，OF
FE = 5
6 ，
∴△OFH ∽△EFC，
∴OH
EC = OF
FE = 5
6 ，
∴EC = 6
5 OH = 6
5 × 5 = 6，
∵BC = DC，AC ⊥BD，∠ACD = 2∠OEC，
∴∠ACB = ∠ACD = 2∠OEC = ∠COE + ∠OEC，
∴∠OEC = ∠COE，
∴OC = EC = 6，
∴OB =
BC2-OC2 =
102-62 = 8，
∴BD = 2OB = 16，AC = 2OC = 12，
∴S菱形ABCD = 1
2 BD ⋅AC = 1
2 × 16 × 12 = 96，
故答案为：96．
30．【分析】连接CE，设EF = x，证△DOE ∽
△CEG，得出成比例线段，求出EF，即可．
【解答】解：在DF 上截取DH = HE，
∴∠FHE = 2∠FDE，
设FE = x，HD = y，
∵DE = 2 3，
∴DF =
12-x2，
在Rt△HEF 中，y2= ( 12-x2 - y)2+ x2，
∴y = 6
1
12-x2 ，
∴sin∠FHE =
x
6
1
12-x2
，
∵∠AOB = 4∠FDE，
∴∠COD = 4∠FDE，
∵O 是BD 的中点，E 是DG 的中点，
∴OE 是△BDG 的中位线，
∴F 是CD 的中点，
∵OC = OD，
∴∠DOF = 2∠FDE = ∠FHE，
∴
x
6
1
12-x2
=
12-x2
6x
，
∴x = 1，
∴DF =
11；
解法2：设∠CDG = α，
∵∠AOB = 4∠CDG = 4α，
∵O 是BD 的中点，E 时DG 的中点，
∴OE ⎳BG，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴OE ⊥C，
∴∠DOE = 2α，
∴∠ODF = 90° -2α，
∴∠ODE = 90° -α，
∵∠DEF = ∠G = 90° -α，
∴∠ODE = ∠OED，
∴△OED 是等腰三角形，
设EF = m，则OD = 6m，OF = 5m，
在Rt△OFD 中，DF =
11m，
在Rt△DEF 中，11m2+ m2= 12，
解得m = 1，
∴DF =
11；故答案为：
11．
31．【分析】连接BE，延长FE 交BA 的延长线于H，
根据折叠的性质及矩形的性质，证明Rt△HAE ≅
Rt△EDF(ASA)，进而得到△BED′ 为直角三角形，设
∠DEF = α，则∠AEH = ∠DEF = α，∠DED′ = 2α，证
明△BHE 为等腰三角形，求出AH，即可解答．
【解答】解：如图，连接BE，延长FE 交BA 的延长线
于H，
∵矩形ABCD 中，AB =
2，AD = 2，E 为边AD 的
中点，
∴AE = DE = 1，∠BAE = ∠D = 90°，
∵将△DEF 沿EF 翻折，点D 的对应点为D′，
∴ED = ED′ = 1，∠ED′F = ∠D = 90°，∠DEF =
∠D′EF，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·13·
则Rt△HAE ≅Rt△FDE(ASA)，DF = AH，
∴BE =
AB2+AE 2 =
2+1 =
3，
∵BD′ = 2，
∴12+ ( 3)2= 22，
∴△BED′ 为直角三角形，
设∠DEF = α，则∠AEH = ∠DEF = α，∠DED′ = 2α，
∴∠AEB = 90° -2α，∠AHE = 90° -α，
∴∠HEB = ∠AHE = 90° -α，
∴△BHE 为等腰三角形，
∴BH = BE =
3，
∴AH = BH - AB =
3 -
2，
∴DF = AH =
3 -
2，
故答案为：
3 -
2．
32．【分析】根据旋转的性质可知：△DCB ≅△FEB，
根据勾股定理可以求得BD 的值，然后再根据平行线的
性质和勾股定理、锐角三角函数，可以求得CG 和GF
的值，从而可以求得CF 的值；还有一种情况就是点F
在点C 的左侧时，同理可以求得CF 的值．
【解答】解：作BG ⊥CF 于点G，如图所示，
∵∠ACB = 90°，AC = BC = 2 2，点D 是AC 的中点，
∴CD =
2，∠ABC = 45°，
∴BD =
BC2+CD2 =
(2 2)2+( 2)2 =
10，
由旋转的性质可知：△DCB ≅△FEB，
∴BD = BF =
10，
∵CF ⎳AB，
∴∠ABC = ∠BCG = 45°，
∴CG = BC ⋅cos∠BCG = 2 2 ×
2
2
= 2，
∴BG =
BC2-CG2 = 2，
∴GF =
BF 2-BG2 =
( 10)2-22 =
6，
∴CF = CG + GF = 2 +
6；
当点D 运动点F′ 时，此时CF′ ⎳AB，
同理可得，GF′ =
6，CG = 2，
∴CF′ =
6 - 2；
故答案为：2 +
6 或
6 - 2．
33．【分析】易得CD ⎳PQ，则△APQ ∽△ADC，得
出AQ
AC = PQ
CD ，代入数据即可求出CD = 2；根据
△APQ ∽△ADC，得出CD = 2y
x ，设DE = t，则AP =
2t，通过证明△CDE ∽△BAE，得出CD
AB = DE
AE ，则
AE = 3xt
2y ，进而得出AD = AE + DE = t(3x+2y)
2y
，结
合△APQ ∽△ADC，可得AQ
AC = AP
AD ，代入各个数据，
即可得出y 关于x 的函数表达式．
【解答】解：∵CM ⎳AB，PQ ⎳AB，
∴CD ⎳PQ，
∴△APQ ∽△ADC，
∴AQ
AC = PQ
CD ，即x
2 =
y
CD ，
∵x = y，
∴CD = 2；
∵△APQ ∽△ADC，
∴AQ
AC = PQ
CD ，即x
2 =
y
CD ，
整理得：CD = 2y
x ，
设DE = t，
∵AP = 2ED，
∴AP = 2t，
∵CM ⎳AB，
∴△CDE ∽△BAE，
∴CD
AB = DE
AE ，即
2y
x
3
=
t
AE ，
整理得：AE = 3xt
2y ，
∴AD = AE + DE = 3xt
2y + t = t(3x+2y)
2y
，
∵△APQ ∽△ADC，
∴AQ
AC = AP
AD ，即x
2 =
2t
t(3x+2y)
2y
，
整理得：y =
3x2
8-2x ，
故答案为：2，y =
3x2
8-2x ．
34．【分析】先根据菱形的性质得到AD = BC = CD =
6，AD ⎳BC，∠BCD = 120°，则∠DCE = 60°，再在
Rt△DCE 中利用含30 度角的直角三角形三边的关系得
到CE = 3，DE = 3 3，接着在Rt△ADE 中利用勾股定
理计算出AE = 3 7，然后证明△AFD ∽△EFB，利用
相似比和比例的性质计算出AF = 6 7
5
，同样方法计算
出AG = 2 7，最后计算AG - AF 即可．
【解答】解：∵菱形ABCD 的边长为6，∠BAD = 120°，
∴AD = BC = CD = 6，AD ⎳BC，∠BCD = 120°，
∴∠DCE = 60°，
∵DE ⊥BC，
∴∠DEC = 90°，
在Rt△DCE 中，∵∠CDE = 90° -∠DCE = 30°，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·14·
∴CE = 1
2 CD = 3，
∴DE =
3CE = 3 3，
∴BE = BC + CE = 9，
∵AD ⎳BE，
∴∠ADE = 180° -∠DEC = 90°，
在Rt△ADE 中，AE =
DE 2+AD2 =
(3 3)2+62 =
3 7，
∵AD ⎳BE，
∴△AFD ∽△EFB，
∴AF
FE = AD
BE = 6
9 = 2
3 ，
∴AF = 2
5 AE = 2
5 × 3 7 = 6 7
5
，
∵AD ⎳CE，
∴△AGD ∽△EGC，
∴AG
EG = AD
CE = 6
3 = 2，
∴AG = 2
3 AE = 2
3 × 3 7 = 2 7，
∴FG = AG - AF = 2 7 - 6 7
5
= 4 7
5
．
故答案为：4 7
5
．
35．【分析】设AG 与BF 交于点M，BG = a，则BC
= 5a，勾股定理求出AG，BF，根据等面积法求出
BM，根据tan∠FBC = BM
BG = BC
BF ，列出方程进行求
解即可．
【解答】解：方法一：设AG 与BF 交于点M，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC = ∠C = 90°，AB = CD = 4，
∵翻折，
∴CF = 1
2 CD = 2，AG ⊥BH，
设BG = a，则BC = 5a，
∴AG =
AB2+BG2 =
16+a2，BF =
BC2+CF 2 =
25a2+4，
∵S△ABG = 1
2 AB ⋅BG = 1
2 AG ⋅BM，
∴BM = AB⋅BG
AG
=
4a
a2+16
，
∵∠BMG = ∠C = 90°，
∴cos∠FBC = BM
BG = BC
BF ，
∴BM ⋅BF = BG ⋅BC，
∴
4a
a2+16
⋅
25a2+4 = a ⋅5a，
∴a = 2
5
10，经检验a = 2
5
10 是原方程的解，
∴BC = 5a = 2 10，
方法二：∵△ABG ∽△BCF，
∴AB
BC = BG
CF ，
∴4
5a = a
2 ，
∴a = 2
5
10，
∴BC = 5a = 2 10，
故答案为：2 10．
36．【分析】过点F 作FG ⊥BC 于点G，FH ⊥CD 于
点H．由矩形的性质可得CD = AB = 2，∠ABC =
∠BCD = 90°．由翻折得，BF = AB = 2，∠ABE =
∠FBE = 30°，则∠FBG = 30°，进而可得FG = 1
2 BF =
1，CH = FG = 1，DH = CD - CH = 1，结合角平分线
的性质可得HF = FG = 1，再利用勾股定理求DF 的长
即可．
【解答】解：过点F 作FG ⊥BC 于点G，FH ⊥CD 于
点H．
∵CF 平分∠BCD，
∴HF = FG．
∵四边形ABCD 为矩形，
∴CD = AB = 2，∠ABC = ∠BCD = 90°．
由翻折得，BF = AB = 2，∠ABE = ∠FBE = 30°，
∴∠FBG = 30°，
∴FG = 1
2 BF = 1，
∴HF = 1，CH = FG = 1，
∴DH = CD - CH = 1，
∴DF =
DH 2+HF 2 =
2．
故答案为：
2．
37．【分析】作EH ⊥BC 于点H，由CF = 4cm，FB′
= 1cm，求得B′C = 5cm，由折叠得BC = B′C = 5cm，
由菱形的性质得BC ⎳AD，DC = BC = 5cm，∠B =
∠D，因为CB′ ⊥AD 于点F，所以∠BCB′ = ∠CFD =
90°，则∠BCE = ∠B′CE = 45°，DF =
DC2-CF 2 =
3cm，所以∠HEC = ∠BCE = 45°，则CH = EH，由
EH
BE = sinB = sinD = 4
5 ，BH
BE = cosB = cosD = 3
5 ，
得CH = EH = 4
5 BE，BH = 3
5 BE，于是得4
5 BE +
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·15·
3
5 BE = 5，则BE = 25
7 cm．
【解答】解：作EH ⊥BC 于点H，则∠BHE = ∠CHE =
90°，
∵CF = 4cm，FB′ = 1cm，
∴B′C = CF + FB′ = 4 + 1 = 5(cm)，
由折叠得BC = B′C = 5cm，∠BCE = ∠B′CE，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BC ⎳AD，DC = BC = 5cm，∠B = ∠D，
∵CB′ ⊥AD 于点F，
∴∠BCB′ = ∠CFD = 90°，
∴∠BCE = ∠B′CE = 1
2 ∠BCB′ = 1
2 × 90° = 45°，DF =
DC2-CF 2 =
52-42 = 3(cm)，
∴∠HEC = ∠BCE = 45°，
∴CH = EH，
∵EH
BE = sinB = sinD = CF
DC = 4
5 ，BH
BE = cosB =
cosD = DF
DC = 3
5 ，
∴CH = EH = 4
5 BE，BH = 3
5 BE，
∴4
5 BE + 3
5 BE = 5，
∴BE = 25
7 cm，
解法二：延长DA 交CE 的延长线于点M．
∵AD ⎳CB，
∴∠M = ∠MCB，
∵∠MCB = ∠MCF = 45°，
∴∠M = ∠MCF = 45°，
∴CF = FM = 4，
∵AF = FD = 2，
∴AM = 2，
∵AE
EB = AM
BC = 2
5 ，
∴EB = 5
7 × 5 = 25
7 ．
故答案为：25
7 ．
38．【分析】设A1C 交AB 于D，由A1B1⎳AC，将
ΔABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A1B1C，可得
CD = AD，而∠ACB = 90°，即可得BD = CD = AD，
故SΔBDE = SΔADE = 1
2 SΔABE，因SΔABE = 3SΔACE，即有
SΔACE
SΔADE
= 2
3 ，CE
DE = 2
3 ，设CE = 2x，则DE = 3x，
CD = 5x = BD = AD，求出BE =
BD2-DE 2 = 4x，
BC =
BE 2+CE 2 = 2 5x，证明ΔBCE ∽ΔABC，即可
得4x
8 = 2 5x
AB ，从而AB = 4 5．
【解答】解：设A1C 交AB 于D，如图：
∵A1B1⎳AC，
∴∠A1= ∠A1CA，
∵将ΔABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A1B1C，
∴∠A1= ∠BAC，
∴∠A1CA = ∠BAC，
∴CD = AD，
∵∠ACB = 90°，
∴∠CBD + ∠BAC = 90° = ∠A1CA + ∠BCD，
∴∠CBD = ∠BCD，
∴BD = CD，
∴BD = CD = AD，
∴SΔBDE = SΔADE = 1
2 SΔABE，
∵SΔABE = 3SΔACE，
∴SΔBDE = SΔADE = 3
2 SΔACE，
∴SΔACE
SΔADE
= 2
3 ，
∴CE
DE = 2
3 ，
设CE = 2x，则DE = 3x，CD = 5x = BD = AD，
∴BE =
BD2-DE 2 = 4x，
∴BC =
BE 2+CE 2 = 2 5x，
∵∠BCE = ∠CBA，∠BEC = 90° = ∠BCA，
∴ΔBCE ∽ΔABC，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·16·
∴BE
AC = BC
AB ，
∵AC = 8，∴4x
8 = 2 5x
AB ，∴AB = 4 5．
故答案为：4 5．
39．【分析】取BC 中点H，连接AH，作DG ⊥BC，
DM ⊥BE，设EF = a，由折叠的性质得到AD = CD =
DE = x，得到cos∠ABC = cos∠BED，从而推导出a =
25
x ，由三角形中位线定理得到BG = 15
2 ，从而推导出
ΔEMD ≅ΔCGD(AAS)，得到四边形MBGD 是正方形，
DG = 15
2 ，AH = 15，最后利用勾股定理解答即可．
【解答】解：方法一：取BC 中点H，连接AH，过点
D 作DG ⊥BC 于点G，DM ⊥BE 于点M．如图1，
设EF = a，AD = CD = DE = x，则DF = x - a．
∵AB = AC，
∴AB = 2x，∠ABC = ∠ACB，BH = HC = 5．
又由折叠得∠ACB = ∠BED，BE = BC = 10，
∴∠ABC = ∠BED，
∴cos∠ABC = cos∠BED，即BH
AB = EF
EB ，
∴5
2x = a
10 ，
解得：a = 25
x ，
∴DF = x - a = x - 25
x ，
∵D 是AC 中点，DG ⊥BC，
∴DG 是ΔAHC 的中位线，
∴CG = 1
2 CH = 5
2 ，
∴BG = 15
2 ，
由折叠知∠DEM = ∠DCG，ED = CD，
在ΔEMD 和ΔCGD 中，
∠DEM=∠DCG
∠DME=∠DGC
ED=CD
，
∴ΔEMD ≅ΔCGD(AAS)，
∴DG = MD．
∵DE ⊥AB，
∴∠EFB = 90°，
∴∠DEB + ∠EBF = 90°．
又∵∠CAH + ∠ACB = 90°，且∠ACB = ∠DEB，
∴∠EBF = ∠CAH，
∴∠EBF + ∠ABC = 90°，
∴∠DMB = ∠MBG = ∠BGD = 90°
∴四边形MBGD 是正方形，
∴DG = BG = 15
2 ，
∴AH = 2DG = 15．
在RtΔAHC 中，AH 2+ HC2= AC2，
∴152+ 52= (2x)2，
解得：x = 5 10
2
，
∴a =
10，x - a = 3 10
2
，即AD = 5 10
2
，DF =
3 10
2
，
在RtΔAFD 中，AF =
AD2-DF 2 = 2 10；
方法二：如图2，连接CE 交BD 于G，
由轴对称可得BD 垂直平分CE，由DA = DC = DE 可
得∠AEC = 90°，
设∠DCG = x，则∠ADE = 2x，
由DE ⊥AB 得∠DAF = 90° -2x，
在等腰ΔABC 中，底角∠ACB = 45° +x，
∴∠BCG = 45°，
∴ΔBCE 是等腰直角三角形，
∴CG = 5 2；
设DG = m，则AE = 2m，
在等腰ΔDAE 中导角可得∠EAF = x，
过点B 作BH ⊥AE 交AE 延长线于H，则ΔCDG 与
ΔABH 相似，
∴
m
5 2 =
5 2
2m+5 2 ，
解得m = 5 2
2
，
∴AE = 5 2，
∴AF = AE ⋅cosx = 5 2×2
5
= 2 10，
故答案为：2 10．
40．【分析】过点G 作GM ⊥DE 于M，证明ΔDGE ∽
ΔCGD，得出DG2= GE × GC，根据AD ⎳GM，得
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·17·
AG
EG = DM
EM = 7
3 ，设GE = 3k，AG = 7k，EM = 3n，
DM = 7n，则EC = DE = 10n，在RtΔDGM 中，GM 2
= DG2- DM 2，在RtΔGME 中GM 2= GE 2- EM 2，则
DG2- DM 2= GE 2- EM 2，解方程求得n = 3
4 k，则
EM = 9
4 k，GE = 3k，用勾股定理求得GM，根据正切
的定义，即可求解．
【解答】解：过点G 作GM ⊥DE 于M，如图，
∵CD 平分∠ACB 交AB 于点D，DE ⎳BC，
∴∠1 = ∠2，∠2 = ∠3，
∴∠1 = ∠3，
∴ED = EC，
∵将ΔDEC 沿DE 折叠得到ΔDEF，
∴∠3 = ∠4，
∴∠1 = ∠4，
又∵∠DGE = ∠CGD，
∴ΔDGE ∽ΔCGD，
∴DG
CG = GE
DG ，
∴DG2= GE × GC，
∵∠ABC = 90°，DE ⎳BC，
∴AD ⊥DE，
∴AD ⎳GM，
∴AG
GE = DM
EM ，∠MGE = ∠A，
∵AG
GE = 7
3 ，
∴DM
EM = 7
3 ，
设GE = 3k，EM = 3n，则AG = 7k，DM = 7n，
∴EC = DE = 10n，
∴DG2= GE × GC = 3k × (3k + 10n) = 9k2+ 30kn，
在RtΔDGM 中，GM 2= DG2- DM 2，
在RtΔGME 中，GM 2= GE 2- EM 2，
∴DG2- DM 2= GE 2- EM 2，
即9k2+ 30kn - (7n)2= (3k)2- (3n)2，
解得：n = 3
4 k，
∴EM = 9
4 k，
∵GE = 3k，
∴GM =
GE 2-EM 2 =
(3k)2-
9
4 k
2
= 3 7
4
k，
∴tanA = tan∠EGM = EM
GM =
9
4 k
3 7
4 k
= 3 7
7
．
故答案为：3 7
7
．
41．【分析】过点A 作AF ⊥BC 于点F，过点A 作
AH ⊥DE 于点H，由折叠易得AF = AH，AB = AE，
BF = EH，CG = a，则AG = 3a，于是AB = AC = AE
= 4a，在RtΔABF 中，利用tanB = 3
4 可求出AH =
AF = 12
5 a，BF = EH = 16
5 a，在RtΔAGH 中，利用勾
股定理求出GH = 9
5 a，以此求出EG = 7
5 a，由ΔAEG
∽ΔDCG 得AG
DG = EG
CG ，求得DG = 15
7 a，则
S三角形AGE
S三角形ADG
= EG
DG ．
【解答】解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于点F，过点A
作AH ⊥DE 于点H，
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C，
根据折叠的性质可知，∠B = ∠E，AF = AH，AB =
AE，BF = EH，
∴∠E = ∠C，
设CG = a，则AG = 3a，
∴AB = AC = AE = 4a，
在RtΔABF 中，tanB = AF
BF = 3
4 ，
∴BF = 4
3 AF，
∴
4
3 AF
2
+ AF 2= (4a)2，
解得：AF = 12
5 a 或AF =- 12
5 a(舍去)，
∴AH = AF = 12
5 a，BF = EH = 16
5 a，
在RtΔAGH 中，GH =
AG2-AH 2 =
(3a)2-
12
5
a2
= 9
5 a，
∴EG = EH - GH = 16
5 a - 9
5 a = 7
5 a，
∵∠AGE = ∠DGC，∠E = ∠C，
∴ΔAEG ∽ΔDCG，
∴AG
DG = EG
CG ，即3a
DG =
7
5 a
a ，
∴DG = 15
7 a，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·18·
∴EG
DG =
7
5 a
15
7 a
= 49
75 ，
∴S三角形AGE
S三角形ADG
= EG
DG = 49
75 ．
故答案为：49
75 ．
42．【分析】由四边形ABCD 是菱形和折叠可求∠E =
30°，过点A 作AF ⊥PE 于点F，从而把ΔAPE 转化为
两个直角三角形，进而解决问题．
【解答】解：过点A 作AF ⊥PE 于点F，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠D = ∠ABC = 30°，AD = CD，
∴∠DAC = 180°-∠D
2
= 75°，
由折叠可知：∠E = ∠D = 30°，
∴∠APE = ∠DAC - ∠AEP = 45°，
在RtΔAPF 中，PF = AP ⋅cos∠APE，
∴PF = AF = 2 × cos45° =
2，
在RtΔAEF 中，tan∠AEP = AF
EF ，
∴EF =
AF
tan30° =
2
3
3
=
6，
∴PE = PF + EF =
2 +
6，
故答案为：
2 +
6．
43．【分析】方法一：先根据轴对称的性质和已知条
件证明DE ⎳AC，再证ΔBDE ∽ΔBAC，推出EC =
1
2 k ⋅AB，通过证明ΔABC ∽ΔECF，推出CF = 1
2 k2⋅
AB，即可求出CF
FA 的值．方法二：证明AD = DF =
BD，可得BF ⊥AC，设AB = AC = 1，BC = k，CF
= x，则AF = 1 - x，利用勾股定理列方程求出x 的值，
进而可以解决问题．
【解答】解：方法一：∵点B 和点F 关于直线DE 对称，
∴DB = DF，
∵AD = DF，
∴AD = DB，
∵AD = DF，
∴∠A = ∠DFA，
∵点B 和点F 关于直线DE 对称，
∴∠BDE = ∠FDE，
∵∠BDE + ∠FDE = ∠BDF = ∠A + ∠DFA，
∴∠FDE = ∠DFA，
∴DE ⎳AC，
∴∠C = ∠DEB，∠DEF = ∠EFC，
∵点B 和点F 关于直线DE 对称，
∴∠DEB = ∠DEF，
∴∠C = ∠EFC，
∵AB = AC，
∴∠C = ∠B，
∵∠ACB = ∠EFC，
∴ΔABC ∽ΔECF，
∴AB
EC = BC
CF ，
∵DE ⎳AC，
∴∠BDE = ∠A，∠BED = ∠C，
∴ΔBDE ∽ΔBAC，
∴BE
BC = BD
BA = 1
2 ，
∴EC = 1
2 BC，
∵BC
AB = k，
∴BC = k ⋅AB，
∴EC = 1
2 k ⋅AB，
∴
AB
1
2 k⋅AB
= k⋅AB
CF
，
∴CF = 1
2 k2⋅AB，
∴CF
FA =
CF
AC-CF =
CF
AB-CF =
1
2 k2⋅AB
AB- 1
2 k2⋅AB
=
k2
2-k2 ．
方法二：如图，连接BF，
∵点B 和点F 关于直线DE 对称，
∴DB = DF，
∵AD = DF，
∴AD = DB = DF，
∴BF ⊥AC，
设AB = AC = 1，
则BC = k，
设CF = x，
则AF = 1 - x，
由勾股定理得，AB2- AF 2= BC2- CF 2，
∴12- (1 - x)2= k2- x2，
∴x = k2
2 ，
∴AF = 1 - x = 2-k2
2
，
∴CF
AF =
k2
2-k2 ．
故答案为：
k2
2-k2 ．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·19·
44．【分析】如图，过E 作EQ ⊥CA 于点Q，设BE
= x，AE = y，可得CD = 3x，DE = 2y，证明BC =
2AB = 6，CE = 6 + x，ΔCQE 为等
腰直角三角形，QE = CQ =
2
2 CE =
2
2 (6 + x) =
3 2 +
2
2 x，AQ =
2
2 x，由勾股定理可得：
(2y)2=(6+x)2+(3x)2
y2=
2
2 x
2+ 3 2+
2
2 x
2
，再解方程组可得答案．
【解答】解：如图，过E 作EQ ⊥CA 于点Q，
设BE = x，AE = y，
∵BE = 1
3 CD，ED = 2AE，
∴CD = 3x，DE = 2y，
∵∠BAC = 90°，AB = AC = 3 2，
∴BC =
2AB = 6，CE = 6 + x，ΔCQE 为等腰直角三
角形，
∴QE = CQ =
2
2 CE =
2
2 (6 + x) = 3 2 +
2
2 x，
∴AQ =
2
2 x，
由勾股定理可得：
(2y)2=(6+x)2+(3x)2
y2=
2
2 x
2+ 3 2+
2
2 x
2
，
整理得：x2- 2x - 6 = 0，
解得：x = 1 ±
7，
经检验x = 1 -
7 不符合题意；
∴BE = x = 1 +
7；
故答案为：1 +
7．
45．【分析】过A 作AH ⊥BC 于H，延长AD，BC
于E，根据等腰三角形的性质得出BH = HC = 1
2 BC =
3，根据勾股定理求出AH =
AC2-CH 2 = 4，证明
∠CBD = ∠CED，得到DB = DE，根据等腰三角形的性
质得出CE = BC = 6，证明CD ⎳AH，得到CD
AH =
CE
HE ，求出CD = 8
3 ，根据勾股定理求出DE =
CE 2+CD2 =
62+
8
3
2
= 2 97
3
，根据CD ⎳AH，
得到DE
AD = CE
CH ，即
2 97
3
AD
= 6
3 ，求出结果即可．
【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H，延长AD，BC 于
E，如图所示：
则∠AHC = ∠AHB = 90°，
∵AB = AC = 5，BC = 6，
∴BH = HC = 1
2 BC = 3，
∴AH =
AC2-CH 2 = 4，
∵∠ADB = ∠CBD + ∠CED，∠ADB = 2∠CBD，
∴∠CBD = ∠CED，
∴DB = DE，
∵∠BCD = 90°，
∴DC ⊥BE，
∴CE = BC = 6，
∴EH = CE + CH = 9，
∴AE =
AH 2+HE 2 =
97，
∵DC ⊥BE，AH ⊥BC，
∴CD ⎳AH，
∴AD
AE = CH
HE ，
∴AD
97 = 3
9 ，
解得AD =
97
3
．
故答案为：
97
3
．
46．【分析】根据等边三角形的性质得到∠A = ∠B =
∠C = 60°，根据折叠的性质得到△BDE ≅△FDE，根据
已知条件得到图形ACED 的面积= S△BDE = S△FDE，求
得S△FHG = S△ADG + S△CHE，根据相似三角形的判定和性
质定理即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A = ∠B = ∠C = 60°，
∵折叠△BDE 得到△FDE，
∴△BDE ≅△FDE，
∴S△BDE = S△FDE，∠F = ∠B = 60° = ∠A = ∠C，
∵DE 平分等边△ABC 的面积，
∴图形ACED 的面积= S△BDE = S△FDE，
∴S△FHG = S△ADG + S△CHE，
∵∠AGD = ∠FGH，∠CHE = ∠FHG，
∴△ADG ∽△FHG，△CHE ∽△FHG，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·20·
∴S△ADG
S△FHG
=
DG
GH
2
= m2
GH 2 , S△CHE
S△FHG
=
EH
GH
2
=
n2
GH 2 ，
∴S△ADG
S△FHG
+ S△CHE
S△FHG
= m2+n2
GH 2
= S△ADG+S△CHE
S△FHG
= 1，
∴GH 2= m2+ n2，
解得GH =
m2+n2 或GH =- m2+n2(不合题意舍去)，
故答案为：
m2+n2．
47．【分析】连接BB，过点F 作FH ⊥AD，设CF =
x，则DH = x，BF = 1 - x，根据已知条件，分别表示
出AE、EH、HD，证明ΔEHF ≅△BCB，得出EH =
BC = 5
4 - 2x，在Rt△BFC 中，根据勾股定理建立方
程即可解答．
【解答】解：如图，连接BB，过点F 作FH ⊥AD，
∵已知正方形ABCD 的边长为1，四边形ABFE 与四边
形EFCD 的面积比为3:5，
∴S四边形ABFE = 3
8 × 1 = 3
8 ，
设CF = x，则DH = x，BF = 1 - x，
∴S四边形ABFE = 1
2 × AE+BF
× AB = 3
8 ，
即1
2 (AE + 1 - x) × 1 = 3
8 ，
解得AE = x - 1
4 ，
∴DE = 1 - AE = 5
4 - x，
∴EH = ED - HD = 5
4 - x - x = 5
4 - 2x，
由折叠的性质可得BB⊥EF，
∴∠1 + ∠2 = ∠BGF = 90°，
∵∠2 + ∠3 = 90°，
∴∠1 = ∠3，
又FH = BC = 1，∠EHF = ∠C，
∴ΔEHF ≅△BCB(ASA)，
∴EH = BC = 5
4 - 2x，
在Rt△BFC 中，BF 2= BC2+ CF 2，
∴(1 - x)2= x2+
5
4 -2x
2
，
解得x = 3
8 ．
故答案为：3
8 ．
48．【分析】过A 作AN ⊥BD 于N，过B 作BM ⊥
AC 于M，根据矩形的性质得到OB = 1
2 BD，OA =
1
2 AC，AC = BD，根据三角形的面积公式得到AN =
BM，根据全等三角形的性质得到ON = OM，FM =
EN，设FM = EN = x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过A 作AN ⊥BD 于N，过B 作BM ⊥AC
于M，
∴∠ANO = ∠ANB = ∠BMO = ∠BMA = 90°，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴OB = 1
2 BD，OA = 1
2 AC，AC = BD，
∴OB = OA，
∵SΔAOB = 1
2 OB ⋅AN = 1
2 OA ⋅BM，
∴AN = BM，
∵AE = BF，
∴RtΔANE ≅△RtΔBMF(HL)，
∴FM = EN，
设FM = EN = x，
∵AF = 1，BE = 3，
∴BN = 3 - x，AM = 1 + x，
∴3 - x = 1 + x，
∴x = 1，
∴FM = 1，
∴AM = 2，
∵AB = 5，
∴BM =
AB2-AM 2 =
21，
∴BF =
FM 2+BM 2 =
1+21 =
22，
故答案为：
22．
49．【分析】如图，过F 作FM ⊥BE 于M，FN ⊥
CD 于N，由CF 平分∠DCE，可知∠FCM = ∠FCN =
45°，可得四边形CMFN 是正方形，FM ⎳AB，设FM
= CM = NF = CN = a，则ME = 2 - α，证明ΔEFM ∽
ΔEAB，则FM
AB = ME
BE ，即a
3 = 2-a
3+2 ，解得a = 3
4 ，
DN = CD - CN = 9
4 ，由勾股定理得DF =
DN 2+NF 2
= 3 10
4
．
【解答】解：如图，过F 作FM ⊥BE 于M，FN ⊥CD
于N，则四边形CMFN 是矩形，FM ⎳AB，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·21·
∵CF 平分∠DCE，
∴∠FCM = ∠FCN = 45°，
∴CM = FM，
∴四边形CMFN 是正方形，
设FM = CM = NF = CN = a，则ME = 2 - a，
∵FM ⎳AB，
∴ΔEFM ∽ΔEAB，
∴FM
AB = ME
BE ，即a
3 = 2-a
3+2 ，
解得：a = 3
4 ，
∴DN = CD - CN = 9
4 ，
由勾股定理得：DF =
DN 2+NF 2 = 3 10
4
，
故答案为：3 10
4
．
50．【分析】解法一：过点C 作CF ⊥AD，交AD 的
延长线于点F，由平行四边形的性质可得DC = AB =
6，∠ABC = ∠ADC = 120°，AD ⎳BC，由平角的定义
∠CDF = 60°，利用含30 度角的直角三角形性质得DF
= 1
2 DC = 3，CF =
3DF = 3 3，由平行线的性质得
∠A = 60°，∠DEC = ∠A′CB，由折叠可知AB = A′B =
6，∠A = ∠BA′E = 60°，于是可通过AAS 证明△A′BC
≅ΔDCE，得到BC = CE = 8，再利用勾股定理求得EF
=
37，则DE = EF - DF．
解法二：过点B 作BF ⊥AD 于点F，过点C 作CG ⊥
BE 于点G，由题意易得∠A = 60°，在RtΔABF 中，
AF = AB ⋅cosA = 3，BF = AB ⋅sinA = 3 3，由折叠可
知∠AEB = ∠A′EB，由平行线的性质可得∠AEB =
∠CBE，进而得到∠CBE = ∠A′EB，于是ΔCBE 为直角
三角形，BC = CE = 8，EG = BG = 1
2 BE，易证
ΔBEF ∽ΔCEG，由相似三角形的性质得到BE 2= 2EF ⋅
CE，设EF = x(0 < x < 8)，则BE 2= 2x ⋅8 = 16x，在
RtΔBEF 中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
【解答】解：解法一：如图，过点C 作CF ⊥AD，交
AD 的延长线于点F，
∵四边形ABCD 为平行四边形，AB = 6，
∴DC = AB = 6，∠ABC = ∠ADC = 120°，AD ⎳BC，
∴∠CDF = 180° -∠ADC = 60°，
∵CF ⊥AD，
∴∠CFD = 90°，∠DCF = 90° -∠CDF = 30°，
∴DF = 1
2 DC = 3，CF =
3DF = 3 3，
∵AD ⎳BC，
∴∠A = 180° -∠ABC = 60°，∠DEC = ∠A′CB，
根据折叠的性质可得，AB = A′B = 6，∠A = ∠BA′E =
60°，
∴A′B = DC = 6，∠BA′C = 180° -∠BA′E = 120° =
∠CDE，
在△A′BC 和ΔDCE 中，
∠A′CB=∠DEC
∠BA′C=∠CDE
A′B=DC
，
∴△A′BC ≅ΔDCE(AAS)，
∴BC = CE = 8，
在RtΔCEF 中，EF =
CE 2-CF 2 =
82-(3 3)2 =
37，
∴DE = EF - DF =
37 - 3．
解法二：当点A′ 恰好落在EC 上时，如图，过点B 作
BF ⊥AD 于点F，过点C 作CG ⊥BE 于点G，
∵四边形ABCD 为平行四边形，BC = 8，
∴AD ⎳BC，AD = BC = 8，
∵∠ABC = 120°，
∴∠A = 60°，
在RtΔABF 中，AF = AB ⋅cosA = 6 × 1
2 = 3，BF =
AB ⋅sinA = 6 ×
3
2
= 3 3，
根据折叠的性质可得，∠AEB = ∠A′EB，
∵AE ⎳BC，
∴∠AEB = ∠CBE，
∴∠CBE = ∠A′EB，即∠CBE = ∠CEB，
∴ΔCBE 为等腰三角形，BC = CE = 8，
∵CG ⊥BE，
∴EG = BG = 1
2 BE，
∵∠BEF = ∠CEG，∠BFE = ∠CGE = 90°，
∴ΔBEF ∽ΔCEG，
∴EF
EG = BE
CE ，即
EF
1
2 BE
= BE
CE ，
∴BE 2= 2EF ⋅CE，
设EF = x(0 < x < 8)，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·22·
∴BE 2= 2x ⋅8 = 16x，
在RtΔBEF 中，EF 2+ BF 2= BE 2，
∴x2+ (3 3)2= 16x，
整理得：x2- 16x + 27 = 0，
解得：x1= 8 +
37(舍去)，x2= 8 -
37，
∴EF = 8 -
37，
∴DE = AD - AF - EF = 8 - 3 - (8 -
37) =
37 - 3．
故答案为：
37 - 3．
51．【分析】由直角三角形的性质可得BE = 2CF =
29，设DE = 3x，EC = 2x，则DC = BC = 5x，根据
勾股定理可求出x = 1，即可求出正方形的边长，再利
用勾股定理即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BCD = 90°，BC = DC = AD，
∵F 为BE 的中点，CF =
29
2
，
∴BE = 2CF =
29，
设DE = 3x，EC = 2x，则DC = BC = 5x，
在RtΔBCE 中，(5x)2+ (2x)2= ( 29)2，
解得x = 1 或-1(舍去)，
∴CE = 2，DE = 3，BC = AD = DC = 5，
在RtΔADE 中，AE 2= AD2+ DE 2，
即AE =
52+32 =
34．
故答案为：
34．
52．【分析】连接AD，过点D 作DG ⊥AC 于点G，
由旋转的性质可得AC = CD，∠ACD = 60°，得到
ΔACD 为等边三角形，由等边三角形三线合一可知AG
= CG = 1
2 AC，再设AB = AC = 2a，则AC = AD =
CD = 2a，AG = CG = a，易得DG =
3a，ΔABE ∽
ΔGDE，由相似三角形的性质可得AE
GE = AB
DG ，即AE
= 2 3
3
GE，由AE + GE = AG = a 可求出GE = (2 3 -
3)a，AE = (4 - 2 3)a，利用勾股定理求出DE，以此
即可求解．
【解答】解：如图，连接AD，过点D 作DG ⊥AC 于
点G，
∵将AC 绕着点C 按顺时针旋转60° 得到CD，
∴AC = CD，∠ACD = 60°，
∴ΔACD 为等边三角形，
∵DG ⊥AC，
∴AG = CG = 1
2 AC，
设AB = AC = 2a，则AC = AD = CD = 2a，AG = CG
= a，
在RtΔADG 中，DG =
AD2-AG2 =
3a，
∵∠BAE = ∠DGE = 90°，∠AEB = ∠GED，
∴ΔABE ∽ΔGDE，
∴AE
GE = AB
DG ，即AE
GE = 2a
3a = 2 3
3
，
∴AE = 2 3
3
GE，
∵AE + GE = AG = a，
∴2 3
3
GE + GE = a，
解得：GE = (2 3 - 3)a，
∴AE = (4 - 2 3)a，
在RtΔDGE 中，DE =
DG2+EG2 = 2 3( 2-
3 )a，
∴AE
ED =
(4-2 3)a
2 3( 2-
3)a
=
6-3 3
3
=
3 2
2
-
6
2
2
3
=
2
2
-
6
6 ．
53．【分析】由矩形的性质得CD = AB = 5，AD =
BC = 6，∠ADC = 90°，设DN 与CM 交于点T，由翻折
的性质得DT = NT，DM = NM，CM ⊥DN，∠CNM
= CDM = 90°，分两种情况讨论如下：
①当AN = DN 时，过点N 作NH ⊥AD 于H，则AH =
DH = 3，设MD = x，则MH = 3 - x，MN = x，由勾股
定理得：HN =
6x-9，证△NHD ∽△MDC，得NH:
DM = HD:CD，即
6x-9:x = 3:5，由此解出x 即可；
②当DN = AD 时，则DN = 6，则DT = TN = 3，由勾
股定理求出CT = 4，证△DTM ∽△CTM，得MD:CD
= DT:CT，即MD:5 = 3:4，由此求出MD 即可．
【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，AB = 5，BC =
6，
∴CD = AB = 5，AD = BC = 6，∠ADC = 90°，
设DN 与CM 交于点T，
由翻折的性质得：DT = NT，DM = NM，CM ⊥DN，
∠CNM = CDM = 90°，
∵△AND 为等腰三角形，点M 不与点A，D 重合，
∴有以下两种情况：
①当AN = DN 时，过点N 作NH ⊥AD 于H，则AH =
DH = 3，如图：
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·23·
设MD = x，则MH = 3 - x，MN = x，
在Rt△MNH 中，由勾股定理得：HN =
MN 2-MH 2 =
6x-9，
∵∠ADC = 90°，CM ⊥DN，
∴∠DCM + ∠NDC = 90°，∠ADN + ∠NDC = 90°，
∴∠DCM = ∠ADN，
又∠ADC = ∠NHD = 90°，
∴△NHD ∽△MDC，
∴NH:DM = HD:CD，
即
6x-9:x = 3:5，
整理得：3x2- 50x + 75 = 0，
解得：x1= 5
3 ，x2= 15(不合题意，舍去)；
②当DN = AD 时，则DN = 6，如图：
∴DT = TN = 3，
在Rt△CDT 中，CD = 5，DT = 3，
由勾股定理得：CT =
CD2-DT2 = 4，
∵CM ⊥DN，∠ADC = 90°，
∴∠DCT + ∠∠CDN = 90°，∠ADN + ∠CDN = 90°，
∴∠DCT = ∠ADN，
又∠DTM = ∠CTD，
∴△DTM ∽△CTD，
∴MD:CD = DT:CT，
即MD:5 = 3:4，
∴MD = 15
4 ．
综上所述：DM 的长为5
3 或15
4 ．
54．【分析】先求出AE = 5，证ΔDAE 和ΔABF 全等
得DE = AF =
5，AE = BF = 5，再证ΔAFH ∽
ΔADE，利用相似三角形的性质可得AH 的长；过点M
作MN ⊥AE 于点N，先求出AE = BE = 5，EH = 3，
BH = 4，证ΔMEC ∽ΔMBA 得ME:MB = CE:AB = 1:2，
进而得ME:EB = 1:3，再证ΔMNE ∽ΔBHE，利用相似
三角形的性质得MN = 4
3 ，EN = 1，进而得HN = 2，
最后在RtΔMHN 中，由勾股定理可求出MH．
【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，且边长为
2 5，
∴AB = BC = CD = DA = 2 5，∠BAD = ∠D = 90°，
AB ⎳CD，
∵点E 为CD 的中点，
∴DE = CE =
5，
在RtΔADE 中，AD = 2 5，DE =
5，
由勾股定理得：AE =
AD2+DE 2 = 5，
∵∠BAD = 90°，BF ⊥AE，
∴∠BAH + ∠DAE = 90°，∠ABF + ∠BAH = 90°，
∴∠DAE = ∠ABF，
在ΔDAE 和ΔABF 中，
∠D=∠BAF=90°
AD=AB
∠DAE=∠ABF
，
∴ΔDAE ≅ΔABF(SAS)，
∴DE = AF =
5，AE = BF = 5，
∵BF ⊥AE，∠D = 90°，
∴∠AHF = ∠D = 90°，
又∠HAF = ∠DAE，
∴ΔAFH ∽ΔADE，
∴AH:AD = AF:AE，
即：AH:2 5 =
5:5，
∴AH = 2．
过点M 作MN ⊥AE 于点N，如图：
在ΔADE 和ΔBCE 中，
AD=BC
∠D=∠BCE=90°
DE=CE
，
∴ΔADE ≅ΔBCE(SAS)，
∴AE = BE = 5，
∴EH = AE - AH = 5 - 2 = 3，
在RtΔAHB 中，AB = 2 5，AH = 2，
由勾股定理得：BH =
AB2-AH 2 = 4，
∵AB ⎳CD，
∴ΔMEC ∽ΔMBA，
∴ME:MB = CE:AB，
即：ME:MB =
5:2 5，
∴ME:MB = 1:2，
∴ME:EB = 1:3，
∵BF ⊥AE，MN ⊥AE，
∴MN ⎳BH，
∴ΔMNE ∽ΔBHE，
∴MN:BH = EN:EH = ME:EB
∴MN:4 = EN:3 = 1:3，
∴MN = 4
3 ，EN = 1，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·24·
∴HN = EH - EN = 3 - 1 = 2，
在RtΔMHN 中，MN = 4
3 ，HN = 2，
由勾股定理得：MH =
MN 2+HN 2 = 2 13
3
．
故答案为：2，2 13
3
．
55．【分析】设B′E 交AD 于点G，过点E 作EM ⊥
AD 于点M，则四边形ABEM 为矩形AB = ME =
6，
AM = BE = 3，由折叠可知BE = B′E = 3，∠BEF =
∠B′EF，由平行线的性质可得∠GFE = ∠BEF，于是
∠GFE = ∠B′EF，FG = EG，利用勾股定理求得EH =
1，易证明△EMG ∽△B′HE，利用相似三角形的性质求
得EG = 3 3
2
= FG，MG =
3
2 ，于是FM = FG -
MG =
3，AF = 3 -
3，则FD = AD - AF，代入计
算即可得到答案．
【解答】解：当F 点在E 点左侧时，如图，设B′E 交
AD 于点G，过点E 作EM ⊥AD 于点M，
则∠AME = 90°，
∵点E 为边BC 的中点，
∴BE = CE = 1
2 BC = 3，
∵四边形ABCD 为矩形，BC = 6，
∴AD = BC = 6，∠A = ∠B = 90°，AD ⎳BC，
∴∠AME = ∠A = ∠B = 90°，
∴四边形ABEM 为矩形，
∴AB = ME =
6，AM = BE = 3，
由折叠可知，BE = B′E = 3，∠BEF = ∠B′EF，
∵AD ⎳BC，
∴∠GFE = ∠BEF，
∴∠GFE = ∠B′EF，即∠GFE = ∠GEF，
∴FG = EG，
∵B′H ⊥BC，
∴∠B′HE = 90°，
在Rt△B′HE 中，EH =
B′E 2-B′H 2 =
32-(2 2)2 =
1，
∵ME ⊥BC，B′H ⊥BC，
∴∠EMG = ∠B′HE = 90°，
∵AD ⎳BC，
∴∠EGM = ∠B′EH，
∴△EMG ∽△B′HE，
∴EM
B′H = EG
B′E = MG
HE ，即EG
3
= MG
1
=
6
2 2 =
3
2 ，
∴EG = 3 3
2
= FG，MG =
3
2 ，
∴FM = FG - MG = 3 3
2
-
3
2
=
3，
∴AF = AM - FM = 3 -
3，
∴FD = AD - AF = 6 - (3 -
3) = 3 +
3；
当F 点在E 点右侧时，设AF 交BC 于点P，过点F 作
FK ⊥BC 于点K，
同理可得BE = BE = CE = 3，FP = EP，
∵四边形KCDF 为矩形，
∴FK = AB =
6，
在Rt△BHE 中，EH =
BE 2-BH 2 = 1，
△BEH ∽△FPK，则BE
FP = BH
FK = EH
PK ，即
3
FP =
2 2
6
=
1
PK ，
解得FP = 3 3
2
= EP，PK =
3
2 ，
∴EK = EP - PK =
3，
∴DF = DK = CE - EK = 3 -
3；
故答案为：3 +
3 或3 -
3．
56．【分析】过点D 作DE ⎳|BC 交BC 于点E，分类
讨论，逐个分析，即可解答．
【解答】解：过点D 作DE ⎳BC 交BC 于点E，①当
∠DBN = 90° 时，如图(1)，
∵△BAC，△DMN 是等边三角形，∠DBN = 90°，
∴∠ABC = ∠DEB = ∠MDN = ∠BDE = 60°，DM =
DN，
即△DBE 是等边三角形，
∴BD = DE = BE = 2，∠NBE = ∠DBN - ∠DBE =
30°，∠EDN + ∠NDB = ∠NDB + ∠MDB = 60°，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·25·
∴∠EDN = ∠BDM，
∴△DEN ≅△DBM(SAS)，
∴∠DEN = ∠DBM = 180° -60° = 120°，BM = NE，
∴∠BEN = ∠DEN - ∠DEB = 60°，
∴∠BNE = 90°，
∴NE = 1
2 BE = 1，
即BM = 1，
∴MC = BC + BM = 7 + 1 = 8．
②当∠BDN = 90° 时，如图(2)
同理可得△DEN ≅△DBM，∠NDE = ∠BDN - ∠BDE
= 90° -60° = 30°，
∴∠NED = ∠MBD = 60°，
即∠DMB = ∠DNE = 90°，
∴BM = BDcos60° = 2 × 1
2 = 1，
∴CM = BC - BM = 6．
③当∠BND = 90° 时，如图(3)
同理可证△DBN ≅△DEM，DE = BD = 2，∠DEM =
60°，
∴∠DME = ∠DNB = 90°，
∴ME = DEcos60° = 2 × 1
2 = 1．
∴CM = BC - BM = 6．
④当∠BDN = 90° 时，如图(4)
同理可证△DBN ≅△DME，DE = BD = BE = 2，
∠DEM = 60°，
∴∠MDE = ∠NDB = 90°，BE = BC - BE = 5，
∴ME =
DE
cos60° = 2
1
2
= 4，
∴CM = ME + BE = 9．
综上所述，CM 的长是6 或8 或9．
故答案为：6 或8 或9．
57．【分析】根据四边形EFGH 的面积等于四边形
ABCD 面积的2 倍，构建方程求解．
【解答】解：由题意m2+ n2
4
= 2 ⋅m- 1
2 n
2
，
整理得4m2- 8mn + n2= 0，
∴m = 2±
3
2
n，
∵m > 1
2 n，
∴m
n > 1
2 ．
∴m
n = 2+
3
2
．
故答案为：2+
3
2
．
58．【分析】方法一：由BE = kAE 可想到构造8 字型
相似，再利用比例线段求解即可；方法二：见到45° 可
构造等腰直角三角形，再利用手拉手全等和一个角平
分线比例定理即可求解．
【解答】解：方法一：如图，过A 作AG ⎳BP 交FE 延
长线于点G，
∵AG ⎳BP，
∴∠GAE = ∠PBE，∠AGE = ∠BPE，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·26·
∴△AGE ∽△BPE，
∴AG
BP = AE
BE = 1
k ，
设AG = 1，则BP = k，
∵∠NMP = 45°，
∴∠AMG = 45°，AM = AG = 1，
∵AN = BP = k，
∴MN = k - 1，
∵S1= AD2= AM 2+ MD2= k2+ 1，S2= MN 2= (k - 1)
2，
∴S1
S2
= k2+1
(k-1)2 ；
方法二：如图，过B 作BG ⊥BP 交FE 延长线于点G，
则△GBP 是等腰直角三角形，
易证△GBA ≅△PBC，
∴∠BGP = ∠AGP = 45°，
根据角平分线比例定理得：AG
BG = AE
BE = 1
k ，
设AG = 1，则BG = k，
∴AM = 1，MD = k = AN，
∴MN = k - 1，
∵S1= AD2= AM 2+ MD2= k2+ 1，S2= MN 2= (k - 1)
2，
∴S1
S2
= k2+1
(k-1)2 ；
故答案为：k2+1
(k-1)2 ．
59．【分析】(1) 根据已知条件推出∠EMN = 90° -α，
再利用折叠性质以及平行线即可求出答案，这也是折
叠问题求角度常见处理方式；
(2) 根据MN ⊥GH 和∠C′NM = ∠CNM 这一条件作为
突破口，得到PG = PG= 1
2 GG和NG = NG，从而
得出CG= CG = 4，再利用平行线分线段成比例求出
G也是GH 中点即可求解．
【解答】解：(1) ∵MN ⊥EF，∠BEF = α，
∴∠EMN = 90° -α，
∵CD ⎳AB，
∴∠CNM = ∠EMN = 90° -α，
∴∠C′NM = ∠CNM = 90° -α．
故答案为：90° -α．
(2) 如图，设PH 与NC交于点G，
∵四边形ABCD 和四边形EFGH 是正方形，
∴∠A = ∠D = ∠GHE = 90°，GH = EH，
∴∠AHE + ∠GHD = ∠AHE + ∠AEH = 90°
∴∠GHD = ∠AEH，
∴ΔEAH ≅ΔHDG(AAS)
同理可证ΔEAH ≅ΔHDG ≅ΔGCF ≅ΔFBE，
∴DH = CG = AE = 4，DG = EB = 8，
∴GH =
DG2+DH 2 = 4 5，
∵MN ⊥GH，且∠C′NM = ∠CNM，
∴MN 垂直平分GG，即PG = PG= 1
2 GG，且NG
= NG，
∵四边形CBMN 沿MN 折叠，
∴CN = CN，
∴CN - NG = CN - NG，即CG= CG = 4，
∵ΔGDH 沿GH 折叠得到△GDH，
∴GD= GD = 8，
∵∠HCG= ∠HDG = 90°，
∴CG⎳DG，
∴HG
HG = CG
DG = 1
2 ，
∴HG= GG= 1
2 HG = 2 5，
又∵PG= 1
2 GG=
5，
∴PH = PG+ HG= 3 5．
故答案为：3 5．
60．【分析】设AE = a，DE = b，则BF = a，AF =
b，解直角三角形可得a
b =
a
b-a
2
，化简可得(b - a)
2= ab，a2+ b2= 3ab，结合勾股定理及正方形的面积公
式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD = 1:3，进而可求解n
的值．
【解答】解：设AE = a，DE = b，则BF = a，AF =
b，
∵tanα = a
b ，tanβ =
a
b-a ，tanα = tan2β，
∴a
b =
a
b-a
2
，
∴(b - a)2= ab，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·27·
∴a2+ b2= 3ab，
∵a2+ b2= AD2= S正方形ABCD，(b - a)2= S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH:S正方形ABCD = ab:3ab = 1:3，
∵S正方形EFGH:S正方形ABCD = 1:n，
∴n = 3．
故选：C．
★类型二：几何最值问题★
1．【分析】先通过旋转的性质得到相关线段和角的关
系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据
点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个
结论的正确性．
【解答】解：∵将线段DE 绕点D 逆时针旋转90° 得到线
段DF，
∴DE = DF，∠EDF = 90°，
又∵∠A = ∠ABC = 90°，AB = 4，BC = 3，AD = 1，
过点D 作DG ⊥BC 于点G，在DG 上取一点H，使得
DH = AD = 1，延长FH 交AB 于点I，则四边形ABGD
是矩形，
∴∠GDA = ∠ADE + ∠EDG = 90° = ∠EDG + ∠HDF．
∴∠ADE = ∠HDF，
∴△DHF ≅△DAE(SAS)，
∴∠DHF = ∠DAE = 90°，
∴FH ⊥DG，即点F 在FH 上运动，
∴四边形DAIH 和四边形BGHI 是矩形，
∴HI = AD = BG = 1，AI = DH = 1，BI = 4 - 1 = 3，
∴∠A = ∠ABC = 90°，AB = 4，BC = 3，AD = 1，
∴DE =
12+(4-BE)2，CE =
32+BE 2，
∴EC - ED =
32+BE 2 -
12+(4-BE)2，
∴BE 最大时，EC - ED 最大，
当点E 与点A 重合时，F 与H 重合时，BF 最小，此
时EC =
42+32 = 5，ED = 1，EC - ED = 5 - 1 = 4 ≠
2 5，故A 错误，符合题意；
BF =
HI2+BI2 =
12+32 =
10，故B 正确，不符合
题意；
作点D 关于AB 的对称点M，连接MC，则ED = EM，
AD = AM = 1，∠BAM = ∠BAD = 90°，过M 作MN ⊥
CB 于点N，此时EC + ED，当C、E、M 三点共线
时，EC + ED 最小，
∵MN ⊥CB，∠ABN = 180° -90° = 90°，
∴四边形AMNB 是矩形，
∴BN = AM = 1，CN = 3 + 1 = 4，AB = MN = 4，
∴EC + ED 的最小值= AC =
42+42 = 4 2，故C 正
确，不符合题意；
当E 与A 重合时，CF =
GH 2+CG2 =
(3-1)2+(4-1)2 =
13，
当E 与B 重合时，过C 作CQ ⊥FH，则四边形CQIB
是矩形，如图，
∴CQ = IB = 4 - 1 = 3，QI = BC = 3，
∵△DHF ≅△DAE，
∴FH = AE = 4，
∴QF = FH + HI - QI = 4 + 1 - 3 = 2，
∴FC =
CQ2+FQ2 =
22+32 =
13，
综上，FC 最大值为
13. 故D 项正确，不符合题意；
故选：A．
2．【分析】过点F 作EF 的垂线，过点D 作BD 的垂
线，两垂线交于点M，构造△MDF ∽△DBE，求出
MD，取MD 中点为O，得到点F 在以O 圆心，半径为
2 2 的圆上运动，连接OB，当F 在线段OB 上时，即
O、F、B 三点共线时，BF 取得最小值，即可解答．
【解答】解：∵2BE = 3DF，
∴BE
DF = 3
2 ，
如图，过点F 作EF 的垂线，过点D 作BD 的垂线，两
垂线交于点M，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·28·
∴∠FMD = ∠EDB，
∴△MDF ∽△DBE，
∴BD
MD = BE
DF = 3
2 ，
∵正方形ABCD 边长为6，
∴BD =
DC2+BC2 = 6 2，
∴MD = 4 2，
取MD 中点为O，
∴OD = 2 2，
∴点F 在以O 圆心，半径为2 2 的圆上运动，
连接OB，OF，
在Rt△BDO 中，OB =
OD2+BD2 = 4 5，
当F 在线段OB 上时，即O、F、B 三点共线时，BF
取得最小值，
∵OF + BF，
∴BF ≥OB - OF = 4 5 - 2 2，
故选：D．
3．【分析】在点A 的右侧取一点G，使得AG = 1
2 AC
= 2，连结CG，GF，过点F 作FH ⊥l 于点H，先根据
相似三角形的判定与性质，推得∠HGF 都是定值，点
F 在射线GF 上运动，从而得到当BF ⊥GF 时，BF 最
短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得
GF 和CG 的长，最后根据相似三角形的性质，即可求
得答案．
【解答】解：如图1，在点A 的右侧取一点G，使得
AG = 1
2 AC = 2，连结CG，GF，过点F 作FH ⊥l 于
点H，
∵直线l ⎳BC，∠ACB = 90°，
∴∠CAG = 90°，
∵EF ⊥CE，tan∠ECF = 1
2 ，
∴tan∠ECF = EF
CE = 1
2 ，
∴EF
CE = AG
AC = 1
2 ，
∵∠CEF = ∠CAG = 90°，
∴△CEF ∽△CAG，
∴CF
CG = CE
CA ，∠ECF = ∠ACG，
∴CF
CE = CG
CA ，∠GCF = ∠ACE，
∴△GCF ∽△ACE，
∴∠CGF = ∠CAE = 90°，
∴∠ACG + ∠AGC = 90°，∠AGC + ∠HGF = 90°，
∴∠HGF = ∠ACG，
∵tan∠ACG = AG
AC = 1
2 ，
∴∠ACG 和∠HGF 都是定值，
∴点F 在射线GF 上运动，
∴当BF ⊥GF 时，BF 最短(如图2 所示)，延长HF，
CB 相交于点N，
∵∠ACB = ∠CAH = ∠AHN = 90°，
∴四边形ACNH 是矩形，
∴HN = AC = 4，AH = CN，
∵BF ⊥GF，∠CGF = 90°，∴BF ⎳CG，
∴∠FBN = ∠GCN，
∵AH ⎳CN，∴∠CGA = ∠GCN，
∴∠FBN = ∠CGA，
∵∠FNB = ∠CAG = 90°，∴△FNB ∽△CAG，
∴FN
CA = BN
GA ，
∵AG = 1
2 AC，∴FN = 2BN，
设BN = x，则FN = 2x，CN = 5 + x，
∴FH = 4 - 2x，∴AH = CN = x + 5，
∴GH = (x + 5) - 2 = x + 3，
∵tan∠ACG = tan∠HGF，
∴AG
AC = FH
GH ，
∴2
4 = 4-2x
x+3 ，
解得x = 1，
∴BN = 1，FN = 2，FH = 2，GH = 4，
∴GF =
FH 2+GH 2 =
22+42 = 2 5，CG =
AG2+AC2 =
22+42 = 2 5，
∵△GCF ∽△ACE，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·29·
∴GF
AE = GC
AC ，
∴2 5
AE = 2 5
4
，
解得AE = 4，
∴当BF 最短时，则AE 的长度为4．
故选：B．
4．【分析】过点C 作CG ⊥AB 于点G，可得四边形
ADCG 是矩形，从而得到CG = AD = 2，AG = CD =
2，再利用勾股定理求出BC 的长，从而得到当点A到
BC 的距离最小时，△ABC 面积最小，过点A作AH
⊥BC 交BC 的延长线于点H，即当AH 最小时，
△ABC 面积最小，然后结合可得点A在以点E 为圆
心，1 长为半径的半圆上运动，当点E，A，H 三点
共线时，AH 最小，此时△ABC 面积最小，延长
AD，BC 交于点M，过点D 作DN ⊥CM 于点N，则
DN ⎳EH，可得△MND ∽△MHE，即可求解．
【解答】解：如图，过点C 作CG ⊥AB 于点G，
∵AB ⎳DC，AD ⊥DC，AD = DC = 2，
∴∠ADC = ∠DAG = ∠AGC = 90°，
∴四边形ADCG 是矩形，
∴CG = AD = 2，AG = CD = 2，
∵AB = 4，∴BG = AB - AG = 4 - 2 = 2，
∴BC =
CG2+BG2 =
22+22 = 2 2，
∴当点A到BC 的距离最小时，△ABC 面积最小，
过点A作AH ⊥BC 交BC 的延长线于点H，即当AH
最小时，△ABC 面积最小，
∵E 是线段AD 的中点，AD = 2，
∴DE = AE = 1
2 AD = 1
2 × 2 = 1，
由折叠的性质得：AE = AE = 1，
∴点A 在以点E 为圆心，1 长为半径的半圆上运动，
∴当点E，A，H 三点共线时，AH 最小，此时
△ABC 面积最小，
延长AD，BC 交于点M，过点D 作DN ⊥CM 于点
N，则DN ⎳EH，
∴△MND ∽△MHE，
∵CG = BG = 2，∠BGC = 90°，
∴∠ABC = ∠BCG = 45°，
∵AB ⎳CD，
∴∠DCM = ∠ABC = 45°，
∵∠CDM = 180° -∠ADC = 180° -90° = 90°，
∴△CDM 是等腰直角三角形，
∴DM = CD = 2，DN = MN = NC = 1
2 CM，
∴CM =
DM 2+CD2 =
22+22 = 2 2，EM = DE +
DM = 1 + 2 = 3，DN = 1
2 CM = 1
2 × 2 2 =
2，
∵△MND ∽△MHE，
∴DM
EM = DN
EH ，
即2
3 =
2
EH ，
∴EH = 3 2
2
，
∴AH = EH - AE = 3 2
2
- 1，
∴S△ABC = 1
2 AH ⋅BC = 1
2 ×
3 2
2
-1
× 2 2 = 3 -
2，
∴△ABC 面积的最小值为3 -
2；
故选：B．
5．【分析】由勾股定理可求AC 的长，由“AAS “可
证△COF ≅△AOE，可得AO = CO = 1，由AG ⊥EF，
可得点G 在以AO 为直径的圆上运动，则AG 为直径
时，AG 有最大值为1，即可求解．
【解答】解：连接AC，交EF 于O，
∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⎳CD，∠B = 90°，
∵AB =
3，BC = 1，
∴AC =
AB2+BC2 =
3+1 = 2，
∵动点E，F 分别从点A，C 同时出发，以每秒1 个单
位长度的速度沿AB，CD 向终点B，D 运动，
∴CF = AE，
∵AB ⎳CD，∴∠ACD = ∠CAB，
又∵∠COF = ∠AOE，∴△COF ≅△AOE(AAS)，
∴AO = CO = 1，
∵AG ⊥EF，
∴点G 在以AO 为直径的圆上运动，
∴AG 为直径时，AG 有最大值为1，
故选：D．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·30·
6．【分析】先证明△ADE ≅△BAF(SAS) 得到∠ADE
= ∠BAE，进而得到∠DOF = 90°，则由直角三角形的
性质可得
OM = 1
2 DF，如图所示，在AB 延长线上截
取BH = BG，连接FH，易证明△FBG ≅△FBH(SAS)，
则FH = FG，可得当H、D、F 三点共线时，DF +
HF 有最小值，即此时，OM + 1
2 FG 有最小值，最小
值即为DH 的长的一半，求出AH = 8，在Rt△ADH 中，
由勾股定理得DH =
AD2+AH 2 = 10，则OM + 1
2 FG
的最小值为5．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD = AB，∠DAB = ∠ABC = 90°，
又∵AE = BF，
∴△ADE ≅△BAF(SAS)，
∴∠ADE = ∠BAF，
∴∠DOF = ∠ADO + ∠DAO = ∠BAF + ∠DAO = ∠DAB
= 90°，
∵点M 是DF 的中点，
∴OM = 1
2 DF，
如图所示，在AB 延长线上截取BH = BG，连接FH，
∵∠FBG = ∠FBH = 90°，FB = FB，BG = BH，
∴△FBG ≅△FBH(SAS)，
∴FH = FG，
∴OM + 1
2 FG = 1
2 DF + 1
2 HF = 1
2 (DF + HF)，
∴当H、D、F 三点共线时，DF + HF 有最小值，即
此时OM + 1
2 FG 有最小值，最小值即为DH 的长的一
半，
∵AG = 2GB，AB = 6，
∴BH = BG = 2，
∴AH = 8，
在Rt△ADH 中，由勾股定理得DH =
AD2+AH 2 = 10．
∴OM + 1
2 FG 的最小值为5，
故选：B．
7．【分析】法一：由动点可识别瓜豆模型，构造
△AEQ ∽△GEF，进而再证△AEG ∽△QEF，所以可
知AG = 1
2 QF，进而求出QF 最小值即可．
法二：E 作EM ⊥BC，则点E、M、F、G 四点共圆，
从而得到AP = MH，因为AG，所以求出MH 的值即
可得解．
【解答】解：法一：如图，过E 作EQ ⎳BC，过A 作
AB 的垂线交EQ 于点Q，
则∠B = ∠AEQ = 60°，
∴∠AQE = ∠EFG = 30°，
∵∠GEF = ∠EAQ = 90°，
∴△AEQ ∽△GEF，
∴AE
EG = EQ
EF ，
∴AE
EQ = EG
EF ，
∵∠AEG = ∠QEF = 60° +∠QEG，
∴△AEG ∽△QEF，
∴AG
QF = AE
QE = sin30° = 1
2 ，
∴AG = 1
2 QF，
过E 作EH ⊥BC 于点H，则EH = BE ⋅sin60° = 4 3，
∵点F 是BC 上的一点，
∴QF ⊥BC 时最小，此时QF = EH = 4 3，
∴AG 最小值为1
2 QF = 2 3；
法二：如图，过E 作EM ⊥BC 于点M，作MH ⊥AB
于点H，作AP ⊥GM 于点P，
∵∠EMF + ∠EGF = 180°，∴点E、M、F、G 四点共
圆，
∴∠EMG = ∠EFG = 30°，
∵∠B = 60°，
∴∠BEM = 30° = ∠EMG，
∴MG ⎳AB，
∴四边形MHAP 是矩形，
∴MH = AP，
∵BE = 8，
∴EM = BE ⋅cos30° = 4 3，
∴MH = 1
2 EM = 2 3 = AP，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·31·
∴AG ≥AP = 2 3，
∴AG 最小值是2 3．
故选：C．
8．【分析】由“SAS”可证ΔDBE ≅ΔCBA，可得DE
= AC = 2，由三角形的三边关系可求解．
【解答】解：如图，将BA 绕点B 顺时针旋转90°，得到
BE，连接AE，DE，
∴BE = AB，∠ABE = 90°，
∴AE =
2AB = 6，
∵∠DBC = 90° = ∠EBA，
∴∠DBE = ∠CBA，
又∵BD = BC，AB = BE，
∴ΔDBE ≅ΔCBA(SAS)，
∴DE = AC = 2，
在ΔADE 中，AD < AE + DE，
∴当A，D，E 三点共线时，AD 有最大值，
∴AD 的最大值= 6 + 2 = 8，
故选：D．
9．【分析】由折叠可得A1E = AE = BE = 2，可得点
A1到点E 的距离恒为2，即可判断①；
连接DE，由勾股定理得到在Rt△ADE 中，DE =
AD2+AE 2 = 2 5，由DA1+ A1E，即可判断③；
DA1 达到最小值时，点A1 在线段DE 上，证得△A1DN
∽△ADE，得到A1D
AD = DN
DE ，从而求得DN = 5 -
5，
通过MN = AD - DN - AM 即可判断④；
在△A1DE 中，A1D 随着∠DEA1 的增大而增大，而当
∠NEA 最大时，∠DEA1 有最大值，A1G2 有最大值，此
时点N 与点D 重合．过点A1作A1G ⊥AD 于点G，作
A1P ⊥AB 于点P，可得四边形AGA1P 是矩形，因此
A1G = AP = AE + EP 当A1D 取得最大值时，∠A1EP
有最小值，在Rt△A1EP 中，EP = A1E ⋅cos∠A1EP 有
最大值，A1G = AP = AE + EP 有最大值，即可判断
②．
【解答】解：∵正方形纸片ABCD 的边长为4dm，AE
= BE，
∴AE = BE = 1
2 AB = 2，
由折叠的性质可知，A1E = AE = 2，
∴当点N 在线段MD 上运动时，点A1在以E 为圆心的
圆弧上运动．
故①正确；
连接DE，
∵在正方形ABCD 中，∠A = 90°，AD = 4，AE = 2，
∴在Rt△ADE 中，DE =
AD2+AE 2 =
42+22 = 2 5，
∵DA1+ A1E，
∴DA1≥DE - A1E = 2 5 - 2，
∴DA1的最小值为2 5 - 2，
故③正确；
如图，
DA1达到最小值时，点A1在线段DE 上，
由折叠可得∠NA1E = ∠A = 90°，
∴∠DA1N = 90°，
∴∠DA1N = ∠A，
∵∠A1DN = ∠ADE，
∴△A1DN ∽△ADE，
A1D
AD = DN
DE ，
∴2 5-2
4
= DN
2 5 ，
∴DN = 5 -
5，
∴MN = AD - DN - AM = 4 - (5 -
5) - 1 =
5 - 2，
故④错误．
在△A1DE 中，DE = 2 5，A1E = AE = 2，
∴A1D 随着∠DEA1的增大而增大，
∵∠DEA1= ∠NEA1- ∠NED = ∠NEA - ∠NED = ∠NEA
- (∠AED - ∠NEA) = 2∠NEA - ∠AED，
∴当∠NEA 最大时，∠DEA1有最大值，A1G 有最大
值，此时，点N 与点D 重合，
过点A1作A1G ⊥AD 于点G，作A1P ⊥AB 于点P，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·32·
∵∠A = 90°，
∴四边形AGA1P 是矩形，
∴A1G = AP = AE + EP，
当A1D 取得最大值时，∠AEN = ∠A1EN 也是最大值，
∵∠A1EP = 180° -∠AEN - ∠A1EN = 180° -2∠AEN
∴∠A1EP 有最小值，
∴在Rt△A1EP 中，EP = A1E ⋅cos∠A1EP 有最大值，
即A1G = AP = AE + EP 有最大值，
∴点A1到AD 的距离最大．
故②正确．
综上所述，正确的共有3 个．
故选：C．
10．【分析】作ΔAOB 的外接圆⊙T，连接OT，TA，
TB，取OT 的中点K，连接KM．证明KM = 1
2 TB =
2，推出点M 在以K 为圆心，2 为半径的圆上运动，当
AM 与⊙K 相切时，∠OAM 的值最大，此时sin∠OAM
的值最大．
【解答】解：如图，作ΔAOB 的外接圆⊙T，连接OT，
TA，TB，取OT 的中点K，连接KM．
∵∠ATO = 2∠ABO = 60°，TO = TA，
∴ΔOAT 是等边三角形，
∵A(4,0)，
∴TO = TA = TB = 4，T(2，2 3)，K(1, 3)，
∵OK = KT，OM = MB，
∴KM = 1
2 TB = 2，
∴点M 在以K 为圆心，2 为半径的圆上运动，
当AM 与⊙K 相切时，∠OAM 的值最大，此时
sin∠OAM 的值最大，
∵ΔOTA 是等边三角形，OK = KT，
∴AK ⊥OT，
∴AK =
OA2-OK 2 =
42-22 = 2 3，
∵AM 是切线，KM 是半径，
∴AM ⊥KM，
∴AM =
AK 2-MK 2 =
(2 3)2-22 = 2 2，
过点M 作ML ⊥OA 于点L，KR ⊥OA 于点R，MP
⊥RK 于点P．
∵∠PML = ∠AMK = 90°，
∴∠PMK = ∠LMA，
∵∠P = ∠MLA = 90°，
∴ΔMPK ∽ΔMLA，
∴MP
ML = PK
AL = MK
AM =
2
2 2 =
1
2 ，
设PK = x，PM = y，则有ML =
2y，AL =
2x，
∴
2y =
3 + x ①，y = 3 -
2x，
解得，x = 3 2-
3
3
，y = 3+
6
3
，
∴ML =
2y = 3 2+2 3
3
，
∴sin∠OAM = ML
AM =
3 2+2 3
3
2 2
= 3+
6
6
．
故选：A．
11．【分析】由点M 是BC 中点，想到构造中位线，
取OB 中点，再利用三角形两边之差的最值模型．
【解答】解：取OB 中点N，连接MN，AN．
在RtΔOCD 中，OD = 4 3，∠D = 30°，
∴OC = 4，
∵M、N 分别是BC、OB 的中点，
∴MN = 1
2 OC = 2，
在ΔABN 中，AB = 4，BN = 3，
∴AN = 5，
在ΔAMN 中，AM > AN - MN；当M 运动到AN 上
时，AM = AN - MN，
∴AM ≥AN - MN = 5 - 2 = 3，
∴线段AM 的最小值是3，
故选：A．
12．【分析】由题意可得点C 在以点B 为圆心，3
2 为
半径的⊙B 上，在x 轴的负半轴上取点D - 3 5
2
，0
，
连接BD，分别过C 和M 作CF ⊥OA，ME ⊥OA，垂
足为F、E，先证△OAM ∽△DAC，得OM
CD = OA
AD =
2
3 ，从而当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合
图形可知当D，B，C 三点共线，且点B 在线段DC 上
时，CD 取得最大值，然后分别证△BDO ∽△CDF，
△AEM ∽△AFC，利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵点C 为平面内一动点，BC = 3
2 ，
∴点C 在以点B 为圆心，3
2 为半径的⊙B 上，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·33·
在x 轴的负半轴上取点D - 3 5
2
，0
，
连接BD，分别过C、M 作CF ⊥OA，ME ⊥OA，垂
足为F、E，
∵OA = OB = 3 5，
∴AD = OD + OA = 9 5
2
，∴OA
AD = 2
3 ，
∵CM:MA = 1:2，∴OA
AD = 2
3 = CM
AC ，
∵∠OAM = ∠DAC，∴△OAM ∽△DAC，
∴OM
CD = OA
AD = 2
3 ，
∴当CD 取得最大值时，OM 取得最大值，结合图形可
知当D，B，C 三点共线，且点B 在线段DC 上时，
CD 取得最大值，
∵OA = OB = 3 5，OD = 3 5
2
，
∴BD =
OB2+OD2 = 15
2 ，
∴CD = BC + BD = 9，
∵OM
CD = 2
3 ，∴OM = 6，
∵y 轴⊥x 轴，CF ⊥OA，∴∠DOB = ∠DFC = 90°，
∵∠BDO = ∠CDF，
∴△BDO ∽△CDF，∴OB
CF = BD
CD ，即3 5
CF =
15
2
9 ，
解得CF = 18 5
5
，
同理可得，△AEM ∽△AFC，
∴ME
CF = AM
AC = 2
3 ，即ME
18 5
5
= 2
3 ，
解得ME = 12 5
5
，
∴OE =
OM 2-ME 2 = 6 5
5
，
∴当线段OM 取最大值时，点M 的坐标是
6
5
5，12
5
5
，
故选D．
13．【分析】根据三角形的中位线可得AM = 1
2 BP，
DN = 1
2 ，转化所求最值为1
2 (PB + PC) 再依据将军饮
马模型解答即可．
【解答】解：∵点M，N 分别是PB，PC 的中点，
∴AM = 1
2 BP，DN = 1
2 PC，MN ⎳BC，
∵ME ⎳DN，
∴四边形DEMN 是平行四边形，
∴ME = ND，
∴AM + ME = AM + DN = 1
2 (BP + PC)，
∴AM + ME 的最小值就是1
2 (BP + PC) 的最小值．
找到点C 关于直线AD 对称点Q，连接PQ、BQ．
BP + PC = BP + PQ，
当点BPQ 三点共线时，BP + PQ 的最小值就是BQ，
在RtΔBCQ 中，BC = AD = 4 2，QC = 2CD = 2 10，
BQ =
BC2+QC2 =
(4 2)2+(2 10)2 = 6 2，
∴AM + ME 的最小值= 1
2 BQ = 3 2，
故选：C．
14．【分析】利用四边形DAEF 为平行四边形，得出
EF = AD，EF = AD，由E 为线段AC 上的动点，可知
E、F 运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作
EF 是定线段，菱形ABCD 在AC 方向上水平运动，得
出点B 的运动轨迹为线段MN，过点E 作关于线段MN
的对称点E，由对称性得BE = BE，则BE + BF = BE
+ BF，当且仅当E、B、F 依次共线时，BE + BF 取
得最小值EF，此时，设AC 与BD 交于点O，EE 交
MN 于点H，延长EE 交FD 延长线于点G，分别证明
四边形EOBH 和四边形DOEG 是矩形，求出GF = GD
+ DF = EO + AE = AO = 2，GE = EH = EH = 1，再利
用勾股定理求出EH 即可．
【解答】解：∵四边形DAEF 为平行四边形，
∴EF = AD，DF = AE，
∵E 为线段AC 上的动点，
∴可以看作EF 是定线段，菱形ABCD 在AC 方向上水
平运动，
则如图，点B 的运动轨迹为线段MN，
过点E 作关于线段MN 的对称点E，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·34·
由对称性得BE = BE，
∴BE + BF = BE+ BF，
当且仅当E、B、F 依次共线时，BE + BF 取得最小
值EF，此时如图，
设AC 与BD 交于点O，EE 交MN 于点H，延长EE
交FD 延长线于点G，
菱形ABCD 中，AC = 4，BD = 2，
∴AO = 1
2 AC = 2，BO = DO = 1
2 BD = 1，AC ⊥BD，
由题可得AC ⎳MN，
∴由对称性可得EH ⊥HB，
∴AC ⊥GH，
∴∠OEH = ∠EOB = ∠EHB = 90°，
∴四边形EOBH 是矩形，
∴EH = EH = OB = 1，
∵四边形DAEF 为平行四边形，
∴DF = AE，DF ⎳AC，
∴GD ⊥DO，
∴∠GDO = ∠DOE = ∠GEO = 90°，
∴四边形DOEG 是矩形，
∴GD = EO，GE = DO = 1，
∴GF = GD + DF = EO + AE = AO = 2，GE= GE +
EH + EH = 3，
∴EF =
GF 2+GE2 =
22+32 =
13 ，
即BE + BF 的最小值为
13，
故答案为：
13．
15．【分析】解直角三角形得出AC = 2 3，由等边三
角形的性质可得CD = BC = 2，∠BCD = 60°，取AC 的
中点E，连接OE、DE，作EF ⊥CD 交DC 的延长线
于F，则AE = CE = OE =
3，∠FCE = 30°，求出EF
=
3
2 ，CF = 3
2 ，从而可得DF = 7
2 ，由勾股定理可
得DE =
13，最后根据三角形三边关系可得OD ≤DE
+ OE，即可得解．
【解答】解：∵在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠BAC
= 30°，BC = 2，
∴AC = BC ÷ tan30° = 2 ÷
3
3
= 2 3，
∵△BCD 为等边三角形，
∵CD = BC = 2，∠BCD = 60°，
如图，取AC 的中点E，连接OE、DE，作EF ⊥CD
交DC 的延长线于F，
则AE = CE = OE = 1
2 AC =
3，∠FCE = 180°
-∠ACB - ∠BCD = 30°，
∴EF = 1
2 CE =
3
2 ，CF =
CE 2-EF 2 = 3
2 ，
∴DF = DC + CF = 7
2 ，
∴DE =
EF 2+DF 2 =
13，
根据三角形三边关系可得：OD ≤DE + OE，
∴OD ≤
3 +
13，
∵OD 的最大值为
3 +
13，
故答案为：
3 +
13．
15．【分析】如图，连接BD 交AC 于J．求解∠DAC
= 30° = ∠DCA，AJ = CJ = 3，DJ = BJ = AJ ⋅tan30° =
3，AD = AB = BD = 2 3 = CD，设运动时间为t，
则AM = t，CN =
3t，证明△ADM ∽△CAN，可得
∠APD = 180° -30° = 150°，作等边三角形ADO，以O
为圆心，OD 为半径作圆，取点K，连接AK，DK，
证明P 在⊙O 上，且在弧AD 上，再利用弧长公式计算
即可．
【解答】解：如图，∵在菱形ABCD 中，∠BAD = 60°，
对角线AC = 6cm，连接BD 交AC 于J，
∴∠DAC = 30° = ∠DCA，AJ = CJ = 3，
DJ = BJ = AJ ⋅tan30° =
3AD = AB = BD = 2 3 = CD，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·35·
设运动时间为t，则AM = t，CN =
3t，
t
2 3 =
3t
6
，即AM
AD = CN
CA ，
∴△ADM ∽△CAN，
∴∠ADM = ∠CAN，
∴∠APM = ∠DAP + ∠ADM = ∠DAP + ∠CAN = 30°，
∴∠APD = 180° -30° = 150°，
作等边三角形ADO，以O 为圆心，OD 为半径作圆，
取点K，连接AK，DK，
∴OA = OD = AD = 2 3，∠AOD = 60°，∠AKD = 1
2
× 60° = 30°，
∴∠AKD + ∠APD = 180°，
∴P 在⊙O 上，且在弧AD 上，
∴在此过程中，点P 的运动路径长为60π×2 3
180
=
2 3π
3
，
故答案为：2 3π
3
．
17．【分析】分点P 在矩形内部和点P 在矩形外部，
两种情况进行讨论求解，当点P 在矩形内部时，作HQ
⊥AP，交AB 于点H，证明△AQH ∽△PFA，进而得
到AH = 1
2 AP = 2，进而得到点Q 在以AH 为直径的圆
上运动，得到当点E 从点B 开始运动直至点P 落在AD
上时，点Q 的运动轨迹为半圆AH，当点P 在矩形外部
时，同法可得，点Q 在以AK 为直径的圆上，得到当
点E 运动到点C 时，点Q 的运动轨迹是圆心角为60° 的
AQ
，求出两段路径的和即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD = ∠B = 90°，
∵将△ABE 沿直线AE 翻折得到△APE，
∴AP = AB = 4，
当点P 在矩形内部时，作HQ ⊥AP，交AB 于点H，
则：∠AQH = 90° = ∠BAD，
∠AHQ = ∠PAF = 90° -∠HAQ，
∵PF ⊥AD，
∴∠PFA = 90° = ∠AQH，
∴△AQH ∽△PFA，
∴AH
AP = AQ
PF ，
∵AQ = 1
2 PF，
∴AH
AP = AQ
PF = 1
2 ，
∴AH = 1
2 AP = 2，
∴点Q 在以AH 为直径的圆上运动，
∴当点E 从点B 开始运动直至点P 落在AD 上时，点Q
的运动轨迹为半圆AH，
∴点Q 的运动路径长为：1
2 × 2π = π，
当点P 在矩形ABCD 的外部时，作KQ ⊥AP，交AB
的延长线于点K，
同法可得：△AKQ ∽△PAF，AK = 1
2 AP = 2，
∴∠AKQ = ∠PAF，点Q 在以AK 为直径的⊙O 上运
动，
连接OQ，
当点E 运动到点C 时，如图：
∵AB = 4，BC = 4 3，∠B = 90°，
∴tan∠BAC = BC
AB =
3，
∴∠BAC = 60°，
∴∠CAD = ∠BAD - ∠BAC = 30°，
∵将△ABE 沿直线AE 翻折得到△APE，
∴∠PAC = ∠BAC = 60°，
∴∠PAF = ∠PAC - ∠CAD = 30°，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·36·
∴∠AKQ = ∠PAF = 30°，
∴∠AOQ = 2∠AKQ = 60°，
∴点Q 的运动轨迹为圆心角为60° 的AQ
路径长为60π
180
× 1 = π
3 ，
∴点Q 的运动路径总长为：π + π
3 = 4π
3 ，
故答案为：4π
3 ．
18．【分析】作点D 关于AB，AC 的对称点N，M，
连接AM，AN，EN，FN，MN，AD，得出△AMN
是等腰直角三角形，当AD ⊥BC 时，AD 取得最小值，
即△DEF 周长最小，进而求得AD，即可求解．
【解答】解：如图，作点D 关于AB，AC 的对称点N，
M，连接AM，AN，EN，FN，MN，AD，
∴△DEF 周长为DE + EF + FD = NE + EF + FM，
当N，E，F，M 四点共线时取得最小值，
∵N，M 是D 关于AB，AC 的对称点，
∴∠NAE = ∠EAD，∠FAD = ∠FAM，AN = AD =
AM，
又∵∠EAD + ∠FAD = 45°，
∴∠NAM = ∠NAE + ∠EAD + ∠FAD + ∠FAM = 90°，
∴△AMN 是等腰直角三角形，
∴MN =
2AN =
2AD，
∴当AD ⊥BC 时，AD 取得最小值，即△DEF 周长最
小，
又∵∠B = 60°，AB = 2 2，
∴ADmin= ABsin60° = 2 2 ×
3
2
=
6，
∴△DEF 周长最小为
2AD =
2 ×
6 = 2 3，
故答案为：2 3．
19．【分析】由勾股定理可求BD 的长，由三角形中位
线定理可得BF = 2GH，当BF 有最大值时，GH 有最
大值，即当点F 与点D 重合时，BF 有最大值为10，即
可求解．
【解答】解：如图，连接BD，BF，
∵AB = 8，AD = 6，
∴BD =
AB2+AD2 = 10，
∵点G 为BE 的中点，点H 为EF 的中点，
∴BF = 2GH，
∴当BF 有最大值时，GH 有最大值，
∵点F 是CD 的点，
∴当点F 与点D 重合时，BF 有最大值为10，
∴GH 的最大值为5，
故答案为：5．
20．【分析】过A 作AH ⊥BC 于H，判定△ABH 是等
腰直角三角形，求出AH =
2
2 AB = 2 2，由AD，即
可得到AD 的最小值．
【解答】解：过A 作AH ⊥BC 于H，∴∠AHB = 90°，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠B = 45°，∴△ABH 是等腰直角三角形，
∴AH =
2
2 AB =
2
2
× 4 = 2 2，
∵AD，∴AD 的最小值为2 2．故答案为：2 2．
21．【分析】过M 作MN ⊥AP 于N，判定△AMN ∽
△ACB，推出MN:BC = AM:AC，由勾股定理求出AC
= 10，由平行四边形的性质推出AM = 1
2 AB = 3，PQ
= 2PM，得到MN:8 = 3:10，求出MN = 2.4，由PM，
得到PQ ≥2MN = 4.8，即可求出PQ 的最小值．
【解答】解：如图，过M 作MN ⊥AP 于N，
∴∠ANM = ∠ABC = 90°，
∵∠MAN = ∠CAB，∴△AMN ∽△ACB，
∴MN:BC = AM:AC，
∵∠ABC = 90°，AB = 6，BC = 8，∴AC =
AB2+BC2 = 10，
∵四边形PAQB 是平行四边形，
∴AM = 1
2 AB = 3，PQ = 2PM，
∴MN:8 = 3:10，∴MN = 2.4，
∵PM，∴PQ ≥2MN = 4.8，
∴PQ 的最小值是4.8．故答案为：4.8．
22．【分析】先整理得AC × CD = 48，过点C 向上作
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·37·
线段CE ⊥BC，使得CE = 8，则CE
CA = CD
CB ，结合
∠BCE = ∠ACD = 90°，整理得∠ACB = ∠ECD，证明
△CED ∽△ACB，即∠EDC = ∠ABC = 90°，运用定角
定弦，故点D 在以CE 为直径的圆上，连接OB，并延
长与⊙O 交于一点，即为D1，运用勾股定理得BO =
BC2+OC2 = 2 13，即可作答．
【解答】解：∵射线CA 绕点C 顺时针旋转90° 到CA1，
在射线CA1上取一点D，连结AD，连接DE，
∴∠ACD = 90°，
∵△ACD 面积为24，∴AC × CD × 1
2 = 24，
∴AC × CD = 48，过点C 向上作线段CE ⊥BC，使得
CE = 8，
∵BC = 6，∴BC × CE = 6 × 8 = 48，即AC × CD =
BC × CE，∴CE
CA = CD
CB ，
∵CE ⊥BC，∴∠BCE = ∠ACD = 90°，
∵∠BCE - ∠ACE = ∠ACD - ∠ACE，
∴∠ACB = ∠ECD，
∵CE
CA = CD
CB ，
∴△CED ∽△ACB，
∴∠EDC = ∠ABC = 90°，
∵CE = 8，
即定角定弦，故点D 在以CE 为直径的圆上，
记圆心为直径CE 的中点O，
即⊙O 的半径OD = 4，
连接OB，并延长与⊙O 交于一点，即为D1，
此时BD1为BD 的最大值，
故BO =
BC2+OC2 =
36+16 = 2 13，
∴BD1= BO + OD1= 2 13 + 4，
故答案为：2 13 + 4．
23．【分析】在BC 上取点G，使CG = 1，构造出
△MCG - △BCM，得MG = 1
3 BM，再根据两点之间线
段最短得出即当M 在AG 上时，AM + 1
3 BM 取最小
值．
【解答】解：在BC 上取点G，使CG = 1，
又∵BC = 9，CM = 3，CG
CM = CM
BC = 1
3 ，
又∵∠MCG = ∠MCB，
∴△MCG ∽△BCM，
∴MG
BM = CG
CM = 1
3 ，
∴MG = 1
3 BM，
∴AM + 1
3 BM = AM + MG ≥AG，
∴AG =
AC2+CG2 =
72+12 = 5 2，
∴AM + 1
3 BM ≥5 2，
即当M 在AG 上时，AM + 1
3 BM 取最小值为5 2，
故答案为：5 2．
24．【分析】由题易得四边形ACBD 是平行四边形，
从而得到BE 是定长，又由∠BHE = 90°，得出直角对
直角的隐圆模型，再根据最大张角问题(相切时) 求解
即可．
【解答】解：∵AC ⎳BD，
∴四边形ACBD 是平行四边形，
∴AE = BE = 1
2 AB，
∵A 为定点，且AB ⊥l2，∴AE 为定值，
∵BH ⊥CD，∴∠BHE = 90°，
∴点H 在以BE 为直径的圆上运动(如图，O 为圆心)，
此时OE = 1
2 BE = 1
3 OA，
∵当AH 与⊙O 相切时∠BAH 最大，
∴sin∠BAH = OH
OA = 1
3 ．
故答案为：1
3 ．
25．【分析】根据题意识别出点E 是在以AB 为直径的
圆上运动，点D 是在以C 为圆心，以1 为半径的圆上
运动，所以当∠BAE 最小，AE 最大，∠BAE 最大，
AE 最小，再根据已知长度计算就可以．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·38·
【解答】解：∵BE ⊥AE，
∴∠BEA = 90°，
∴点E 是在以AB 为直径的圆上运动，
∵CD = 1，且CD 是绕点C 旋转，
∴点D 是在以C 为圆心，以1 为半径的圆上运动，
∵AB =
2AC = 3 2，
∴当cos∠BAE 最大时，AE 最大，当cos∠BAE 最小
时，AE 最小．
①如图，当AE 与圆C 相切于点D，且D 在△ABC 内
部时，∠BAE 最小，AE 最大，
∵∠ADC = ∠CDE = 90°，
∴AD =
AC2-CD2 = 2 2，
∵AC
= AC
，
∴∠CEA = ∠CBA = 45°，
∴DE = CD = 1，
此时AE = 2 2 + 1，即AE 的最大值为2 2 + 1，
②如图，当AE 与圆C 相切于点D，且D 在△ABC 外
部时，∠BAE 最大，AE 最小，
同理可得AD = 2 2，DE = 1，
此时AE = 2 2 - 1，即AE 的最小值为2 2 - 1，
故答案为：2 2 + 1；2 2 - 1．
26．【分析】先确定点D是以E 为圆心，CD 为直径
圆周上的一点，过点E 作EH ⊥AB 交直线AB 于点H，
交⊙E 于点G，过点D作DM ⊥AB 于点M，连接
EM，推出ΔABD′ 面积= 4DM，再求出DM 的最小值
即可解决问题．
【解答】解：∵在▱ABCD 中，∠C = 120°，AB = 8，
∴∠ABC = 60°，CD = 8，
∵E 为边CD 的中点，F 为边AD 上的一动点，将
ΔDEF 沿EF 翻折得△D′EF，
∴DE = DE = CE = 1
2 CD = 4，
∴点D是以E 为圆心，CD 为直径圆周上的一点，作
出⊙E，如图，
过点E 作EH ⊥AB 交直线AB 于点H，交⊙E 于点G，
过点D作DM ⊥AB 于点M，连接EM，
∵ΔABD′ 面积= 1
2 AB ⋅DM，AB = 8，
∴ΔABD′ 面积= 4DM，
要求ΔABD′ 面积的最小值，只要求DM 的最小值即
可，
∵DM = DM + DE - 4 ≥EM - 4 ≥EH - 4，
∴DM 的最小值为EH - 4，
过点C 作CN ⊥AB 于点N，
则EH = CN，
在RtΔBCN 中，
∵BC = 10，∠ABC = 60°，
∴CN = BC ⋅sin60° = 10 ×
3
2
= 5 3，
∴EH = 5 3，
∴DM 的最小值为5 3 - 4，
∴ΔABD′ 面积= 4(5 3 - 4) = 20 3 - 16，
故答案为：20 3 - 16．
27．【分析】先求出点A 坐标，作AM ⊥x 轴，垂足
为M，BN ⊥x 轴，垂足为N，设点C(x,0)，可得
△BNC ∽△CMA，设点B(4m,3m)，则OB = 5m，列出
BN
CM = NC
AM 即3m
4-x = x-4m
3
，整理出方程x2- (4 -
4m)x + 9m = 0，利用判别式确定m 的取值范围，根据
AB = 5 - 5m 确定最值．
【解答】解：如图，作AM ⊥x 轴，垂足为M，BN ⊥
x 轴，垂足为N，设点C(x,0)，
∵点A 在函数y = 3
4 x 图象上，且点A 的横坐标为4，
∴y = 3
4 × 4 = 3，
∴A(4,3)，
OA = 5，
设点B(4m,3m)，则OB = 5m，
∴AB = 5 - 5m，
NC = x - 4m
∵∠ACB = 90°，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·39·
∴△BNC ∽△CMA，
∴BN
CM = NC
AM 即3m
4-x = x-4m
3
，
整理得：x2- (4 + 4m)x + 25m = 0，
点C 在x 轴上，方程必有实数解，
∴△= (4 + 4m)2- 100m，即16m2- 68m + 16，
∴4m2- 17m + 4，
解得m(舍去) 或m ≤1
4 ，
∴m 取最大值为1
4 ，
∴AB = 5 - 5m = 5 - 5
4 = 15
4 ．
(附加用解析法) 点C 是AB 为直径的圆与x 轴的交点，
当圆与x 轴相切时，半径最小，即AB 最小，
5t + 3t = OA = 5，解得t = 5
8 ，
AB = 6t = 15
4 ．
28．【分析】作AC 的中点Q．连结PQ，作以Q 为圆
心PQ 为半径的圆．PQ 是ΔACD 的中位线，PQ =
1
2 AD = 1
2 ．点P 是圆Q 上的点，可求BP 的最大值．
【解答】解：作AC 的中点Q．连结PQ，作以Q 为圆
心PQ 为半径的圆．
∵P 是CD 的中点，Q 是AC 的中点，
∴PQ 是ΔACD 的中位线，
∴PQ = 1
2 AD = 1
2 ．
∴线段AD 绕点A 旋转时，点P 在以Q 为圆心PQ 为半
径的圆上移动，
∴当BP 经过点Q 时BP 的值最大．
∵BC = 2，tan∠BAC = 1
2 ，
∴AC = 4，
∴AQ = CQ = 2．
∵BQ2= BC2+ CQ2= 8，
∴BQ = 2 2(负数不合题意舍去)．
∴BP 的最大值为2 2 + 1
2 ．
故答案为：2 2 + 1
2 ．
29．【分析】由折叠可知DE = DE，则DE ⊥BC 时，
DE 最小，即DE 最小，此时四边形CDED是正方形，
则DE = CD = 6；当B 与D重合时，CF 最大，此时E
在BD 的垂直平分线上，求出BD，OB，再证△BOF
∽△BCD，求出BF，即可解答．
【解答】解：由折叠可知DE = DE，则DE ⊥BC 时，
DE 最小，即DE 最小，此时四边形CDED是正方形，
则DE = CD = 6；
当B 与D重合时，CF 最大，此时E 在BD 的垂直平分
线上，如图：
矩形纸片ABCD 中，AB = 6，BC = 8，则BD = 10，
则OB = 5，
∵∠BOF = 90° = ∠C，∠CBD = ∠OBF，
∴△BOF ∽△BCD，
∴BO
BC = BF
BD ，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·40·
∴BF = 25
4 ，∴CF = 7
4 ．故答案为：6；7
4 ．
30．【分析】以C 为原点，建立坐标系，设AP = a，
则CP = 2 - a，利用含30 度角的直角三角形的性质，
求出点E 的坐标，得到点E 在直线y = 1 - 4 3
3
x 上运
动，求出点P 分别与A，C 重合时点E 的坐标，利用
两点间的距离公式进行求解即可．
【解答】解：方法一：以C 为原点，建立坐标系，过点
D 作DG ⊥AC
设AP = a，则CP = 2 - a，
∴P(0,2 - a)，
∵∠B = 30°，∴∠A = 60°，
∵PD ⊥AB，∴∠PDA = 90°，
∴∠APD = 30°，
∴AD = 1
2 AP = a
2 ，
∵DG ⊥AC，∴∠AGD = 90°，
∴AG = 1
2 AD = a
4 ，DG =
3AG =
3
4 a，
∵DF ⊥BC，DG ⊥AC，∠ACB = 90°，
∴四边形DGCF 为矩形，
∴DG = CF，∴F
3a
4
,0
，
∵E 为P，F 的中点，∴E
3
8 a,1- 1
2 a
，
令x =
3
8 a,y = 1 - 1
2 a，
∴y = 1 - 4 3
3
x，
∴点E 在直线y = 1 - 4 3
3
x 上运动，
当点P 与A 重合时，a = 0，此时E(0,1)，
当点P 与C 重合时，a = 2，此时E
3
4 ,0
，
∴点E 所经过的路径长为：
12+
3
4
2
=
19
4
，
故答案为：
19
4
．
31．【分析】由∠MAN = 45° 识别出半角模型，从而构
造△GAN ≅△MAN，将MN 线段进行转化，设BM =
x，MN = y，再利用勾股方程进行转化，建立一个关
于y 的式子，利用不等式的性质求最值即可．
【解答】解：方法一：如图，延长CD 到点G，使DG
= BM．
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD = BC = AB，∠BAD = ∠ADC = 90°，
∴∠ADG = ∠ADN = 90° = ∠ABM，
又∵BM = DG，AD = AB，
∴△ABM ≅△ADG(SAS)，
∴∠BAM = ∠DAG，AM = AG，
∵∠MAN = 45°，
∴∠BAM + ∠DAN = 45°，
∴∠DAG + ∠DAN = 45°，即∠GAN = 45°，
在△GAN 和△MAN 中，
AG=AM
∠GAN=∠MAN
AN=AN
，
∴△GAN ≅△MAN(SAS)，
∴GN = MN．
设BM = x，MN = y，则GN = y，DG = x．
∵BC = CD = 1，
∴CM = 1 - x，CN = x - y + 1，
在Rt△CMN 中，由勾股定理得：MN 2= CM 2+ CN 2，
即y2= (1 - x)2+ (x - y + 1)2，
整理可得：y = x2+1
x+1 = (x+1)2-2(x+1)+2
x+1
= x + 1 +
2
x+1 - 2，
∵x + 1 +
2
x+1 ≥2
(x+1)⋅
2
x+1 = 2 2，
∴y ≥2 2 - 2，
当x =
2 - 1 时，y 最小值为2 2 - 2．
方法二：如图，延长CD 到点G，使DG = BM．
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AD = BC = AB，∠BAD = ∠ADC = 90°，
∴∠ADG = ∠ADN = 90° = ∠ABM，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·41·
又∵BM = DG，AD = AB，
∴△ABM ≅△ADG(SAS)，
∴∠BAM = ∠DAG，AM = AG，
∵∠MAN = 45°，∴∠BAM + ∠DAN = 45°，
∴∠DAG + ∠DAN = 45°，即∠GAN = 45°，
在△GAN 和△MAN 中，
AG=AM
∠GAN=∠MAN
AN=AN
，
∴△GAN ≅△MAN(SAS)，∴GN = MN．
作△GAN 的外接圆，圆心为O，
∵∠GAN = 45°，∴∠GON = 90°，
过O 作OH ⊥GN 于点H，则GH = NH，
设GH = NH = a，则GN = 2a，OH = a，
在Rt△GON 中，OG = ON =
2a，
∴OA =
2a，
∵OA + OH，∴
2a + a，
∴a ≥
2 - 1，
当A、O、H 三点共线时取等，
此时GN = 2a = 2 2 - 2，∴MN = 2 2 - 2；
故MN 的最小值为：2 2 - 2．
32．【分析】由“SAS”可证ΔCDF ≅ΔHCE，可得
CF = EH，则AE + CF = AE + EH，即当点A，点E，
点H 三点共线时，AE + CF 有最小值，通过证明
ΔCEH ∽ΔBAH，可得ΔCEH ∽ΔBAH，即可求解．
【解答】解：如图，延长BC 至H，使CH = CD，连接
EH，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD = BC = 4，AB = CD = 2，AD ⎳BC，
∴∠D = ∠DCH，
又∵CD = CH，DF = CE，
∴ΔCDF ≅ΔHCE(SAS)，
∴CF = EH，
∴AE + CF = AE + EH，
∴当点A，点E，点H 三点共线时，AE + CF 有最小
值，
此时：∵CD ⎳AB，∴ΔCEH ∽ΔBAH，
∴CH
BH = CE
AB ，∴
2
2+4 = CE
2 ，
∴CE = 2
3 ，故答案为：2
3 ．
33．【分析】过点B 作BD ⊥AC，垂足为D，如图1，
首先推导出AC +
5
5 BC = AC + DC；延长DC 到E，
使EC = CD = x，连接BE，如图2，得到AC +
5
5 BC
= AC + DC = AC + CE = AE；由辅助圆- 定弦定角模
型，作ΔABE 的外接圆，如图3，当弦AE 过圆心O，
即AE 是直径时，弦最大，最后由勾股定理可得AE =
AB2+BE 2 = 5 2．
【解答】解：过点B 作BD ⊥AC，垂足为D，如图1 所
示：
∵tan∠C = 2，
在RtΔBCD 中，设DC = x，则BD = 2x，由勾股定理
可得BC =
5x，
∴DC
BC =
x
5x =
5
5 ，即
5
5 BC = DC，
∴AC +
5
5 BC = AC + DC，
延长DC 到E，使EC = CD = x，连接BE，如图2 所
示：
∴AC +
5
5 BC = AC + DC = AC + CE = AE，
∵BD ⊥DE，DE = 2x = BD，
∴ΔBDE 是等腰直角三角形，则∠E = 45°，
在ΔABE 中，AB = 5，∠E = 45°，
由辅助圆- 定弦定角模型，作ΔABE 的外接圆，如图
3 所示：
由圆周角定理可知，点E 在⊙O 上运动，AE 是⊙O 的
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·42·
弦，求AC +
5
5 BC 的最大值就是求弦AE 的最大值，
根据圆的性质可知，当弦AE 过圆心O，即AE 是直径
时，弦最大，如图4 所示：
∵AE 是⊙O 的直径，
∴∠ABE = 90°，
∵∠E = 45°，
∴ΔABE 是等腰直角三角形，
∵AB = 5，
∴BE = AB = 5，则由勾股定理可得AE =
AB2+BE 2
= 5 2，即AC +
5
5 BC 的最大值为5 2，
故答案为：5 2．
34．【分析】设半径为2 的⊙O 与角的两边相切于M，
N，连接OM，ON，延长NO 交CB 于D，求得
∠CND = ∠OMD = 90°，根据等腰直角三角形的性质得
到∠CDN = 45°，求得OD = 2 2，得到CN = DN = 2 +
2 2，如图1，延长EP 交BC 于Q，推出ΔECQ 与
ΔPFQ 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质
得到CE = EQ，PQ =
2PF，求得t = PE +
2PF =
PE + PQ = EQ，当EQ 与⊙O 相切且点P 在圆心的右
侧时，t 有最大值，连接OP，则四边形ENOP 是正方
形，根据正方形的性质得到EN = OP = 2，求得t = 4 +
2 2；如图2，当EQ 与⊙O 相切且点P 在圆心的，左
侧时，t 有最小值，同理可得t = 2 2，于是得到结论．
【解答】解：设半径为2 的⊙O 与角的两边相切于M，
N，连接OM，ON，延长NO 交CB 于D，
∴∠CND = ∠OMD = 90°，
∵∠ACB = 45°，
∴ΔCND 是等腰直角三角形，
∴∠CDN = 45°，
∵ON = OM = 2，
∴OD = 2 2，
∴CN = DN = 2 + 2 2，
如图1，延长EP 交BC 于Q，
∵EQ ⊥AC，PF ⊥BC，
∴∠CEQ = ∠PFQ = 90°，
∵∠ACB = 45°，
∴∠EQC = 45°，
∴ΔECQ 与ΔPFQ 是等腰直角三角形，
∴CE = EQ，PQ =
2PF，
∴t = PE +
2PF = PE + PQ = EQ，
当EQ 与⊙O 相切且点P 在圆心的右侧时，t 有最大
值，
连接OP，
则四边形ENOP 是正方形，
∴EN = OP = 2，
∴t = PE +
2PF = PE + PQ = EQ = CE = CN + EN = 2
+ 2 2 + 2 = 4 + 2 2；
如图2，当EQ 与⊙O 相切且点P 在圆心的，左侧时，
t 有最小值，
同理可得t = PE +
2PF = PE + PQ = EQ = CE = CN
- EN = 2 2，
故t 的取值范围是2 2 ≤t ≤4 + 2 2，
故答案为：2 2 ≤t ≤4 + 2 2．
35．【分析】当点D 沿DA 方向下滑时，得△ECD，
过点C作CN ⊥AD 于点N，作CM ⊥AF 于点M．
证明C′N = C′M，推出AC′ 平分∠BAF，推出点C 在
射线AC′ 上运动，当C′D′ ⊥AD 时，AC′ 的值最大，
最大值为12，当点D 滑动到点A 时，点C 运动的路径
长为2CC′．
【解答】解：当点D 沿DA 方向下滑时，得△ECD，
过点C作CN ⊥AD 于点N，作CM ⊥AF 于点M．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·43·
∵DE = 12cm，CD = CE，∠DCE = 90°，
∴CD = CE = 6 2cm，
∵∠MAN = ∠C′NA = ∠C′MA = 90°，
∴四边形AMC′N 是矩形，
∴∠MC′N = ∠D′C′E′ = 90°，
∴∠D′C′N = ∠E′C′M，
∵C′D′ = C′E′，∠C′ND′ = ∠C′ME′ = 90°，
∴△C′ND′ ≅△C′ME′ (AAS)，
∴C′N = C′M，
∵C′N ⊥DA，C′M ⊥AF，
∴AC′ 平分∠BAF，
∴点C 在射线AC′ 上运动，
当C′D′ ⊥AD 时，AC′ 的值最大，最大值为12cm，
当点D 滑动到点A 时，点C 运动的路径长为2CC′ = 2
(12 - 6 2) = (24 - 12 2)cm．
解法二：取D′E′ 的中点，连接AM，MC′．
∵∠D′AE′ = ∠D′C′E′ = 90°，D′M = ME′，
∴AM = C′M = MD′ = ME′，
∴A，E′，C′，D′ 四点共圆，
∴∠C′AF = ∠C′D′E′ = 45°，
∴点C 在∠BAF 的角平分线上运动，
当C′D′ ⊥AD 时，AC′ 的值最大，最大值为12cm，
当点D 滑动到点A 时，点C 运动的路径长为2CC′ = 2
(12 - 6 2) = (24 - 12 2)cm．
故答案为：(24 - 12 2)．
36．【分析】作△ABC 的外接圆，圆心为M，连接
AM、BM、CM，过M 作MD ⊥AB 于D，过B 作BN
⊥AB，交BP 的垂直平分线于N，连接AN、BN、
PN，以N 为圆心，BN(PN) 为半径作圆；结合圆周角
定理及垂径定理易得AM = BM = CM = 4，再通过圆周
角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定
理易得∠AMC = ∠PNB，从而易证△AMC ∽△PNB，
可得CM
PN = AC
PB = 2
1 即PN = 1
2 CM = 2，勾股定理即
可求得AN = 2 13，在△APN 中由三角形三边关系AP
≥AN - PN 即可求解．
【解答】解：如图，作△ABC 的外接圆，圆心为M，连
接AM、BM、CM，过M 作MD ⊥AB 于D，过B 作
BN ⊥AB，交BP 的垂直平分线于N，连接AN、BN、
PN，以N 为圆心，BN(PN) 为半径作圆；
∵∠C = 60°，M 为△ABC 的外接圆的圆心，
∴∠AMB = 120°，AM = BM，
∴∠MAB = ∠MBA = 30°，
∴MD = 1
2 AM，
∵MD ⊥AB，
∴AD = 1
2 AB = 2 3，
在Rt△ADM 中，
∵AM 2= MD2+ AD2，
∴AM 2=
1
2 AM
2
+ (2 3)2，
∴AM = 4，
即AM = BM = CM = 4，
由作图可知BN ⊥AB，N 在BP 的垂直平分线上，
∴∠PBN = ∠BPN = 90° -∠ABC，
∴∠PNB = 180° - (∠PBN + ∠BPN) = 2∠ABC，
又∵M 为△ABC 的外接圆的圆心，
∴∠AMC = 2∠ABC，
∴∠AMC = ∠PNB，
∵CM
PN = AM
BN ，
∴△AMC ∽△PNB，
∴CM
PN = AC
PB ，
∵BP = 1
2 AC，
∴CM
PN = AC
PB = 2
1 ，
即PN = 1
2 CM = 2，
∴PN = BN = 2，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·44·
在Rt△ABN 中，AN =
AB2+BN 2 =
(4 3)2+22 =
2 13，
在△APN 中，AP ≥AN - PN = 2 13 - 2，
即AP 最小值为2 13 - 2，
故答案为：2 13 - 2．
37．【分析】设AC，BD 的交点为O，AB，BC，
CD，DA 的中点分别是P，Q，R，S，连接PQ，
QR，RS，SP，OQ，OS，QS，先证AD + BC = 2
(OS + OQ)，由此得当OS + OQ 为最小时，AD + BC
为最小，再根据“两点之间线段最短”得：OQ + OS，
再证四边形PQRS 为矩形，且PQ = 2，SP = 3，据此
由勾股定理可求出QS =
13，进而可得AD + BC 的最
小值．
【解答】解：过点C 作CE ⎳BD，使CE = BD = 6，连
接DE，AE，如图所示：
∴四边形BCED 为平行四边形，
∴BC = DE，
∴AD + BC = AD + DE，
∵AC ⊥BD，CE ⎳BD，
∴CE ⊥AC，
在RtΔACE 中，AE =
AC2+CE 2 =
42+62 = 2 13，
根据“两点之间线段最短”得：AD + DE，即AD +
DE ≥2 13，
∴AD + BC ≥2 13，
∴AD + BC 的最小值是2 13．
故答案为：2 13．
38．【分析】找出点E 关于AC 的对称点E，连接FE
与AC 的交点P即为PE + PF 取得最小值时，点P 的
位置，再设法求出AP
PC 的值即可．
【解答】解：作点E 关于AC 的对称点E，连接FE交
AC 于点P，连接PE，
∴PE = PE，
∴PE + PF = PE+ PF，
故当PE + PF 取得最小值时，点P 位于点P处，
∴当PE + PF 取得最小值时，求AP
PC 的值，只要求出
AP
PC 的值即可．
∵正方形ABCD 是关于AC 所在直线轴对称，
∴点E 关于AC 所在直线对称的对称点E在AD 上，
且AE= AE，
过点F 作FG ⊥AB 交AC 于点G，
则∠GFA = 90°，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAB = ∠B = 90°，∠CAB = ∠ACB = 45°，
∴FG ⎳BC ⎳AD，∠AGF = ∠ACB = 45°，
∴GF = AF，
∵E，F 是正方形ABCD 的边AB 的三等分点，
∴AE= AE = EF = FB，
∴GC = 1
3 AC，AE
GF = AE
AF = 1
2 ，
∴AG = 2
3 AC，AP
PG = AE
GF = 1
2 ，
∴AP= 1
3 AG = 1
3 × 2
3 AC = 2
9 AC，
∴PC = AC - AP= AC - 2
9 AC = 7
9 AC，
∴AP
PC =
2
9 AC
7
9 AC
= 2
7 ，
故答案为：2
7 ．
39．【分析】先确定FG 和EC 的长为确定的值，得到
四边形CGFE 的周长最小时，即为CG + EF 最小时，
平移CG 到CF，作点E 关于AD 对称点E，连接
EC交AD 于点G，得到CG + EF 最小时，点G 与G
重合，再利用平行线分线段成比例求出CG长即可．
【解答】解：∵∠A = 90°，AD ⎳BC，
∴∠B = 90°，
∵AB = 3，BC = 4，AE = 1，
∴BE = AB - AE = 3 - 1 = 2，
在RtΔEBC 中，
由勾股定理，得EC =
BE 2+BC2 =
22+42 = 2 5，
∵FG = 1，
∴四边形CGFE 的周长= CG + FG + EF + EC = CG +
EF + 1 + 2 5，
∴四边形CGFE 的周长最小时，只要CG + EF 最小即
可．
过点F 作FC⎳GC 交BC 于点C，延长BA 到E，使
AE= AE = 1，连接EF，EC，EC交AD 于点G，
可得AD 垂直平分EE，
∴EF = EF，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·45·
∵AD ⎳BC，
∴CF = CG，CC= FG = 1，
∴CG + EF = CF + EF ≥EC，
即CG + EF 最小时，CG = CG，
∵EB = AB + AE= 3 + 1 = 4，BC= BC - CC= 4 - 1
= 3，
由勾股定理，得EC=
EB2+BC2 =
42+32 = 5，
∵AG⎳BC，
∴CG
EC= AB
EB ，即CG
5
= 3
4 ，
解得CG= 15
4 ，
即四边形CGFE 的周长最小时，CG 的长为15
4 ．
故答案为：15
4 ．
40．【分析】作出点C(3, -2)，作CD ⊥AB 于点D，
交x 轴于点F，此时BE + DF 的最小值为CD 的长，利
用解直角三角形求得F 11
3 ,0
，利用待定系数法求得
直线CD 的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D
作DG ⊥y 轴于点G，此时3BH + 5DH 的最小值是
5DG 的长，据此求解即可．
【解答】解：∵直线y =- 1
3 x + 2 与x 轴，y 轴分别交
于A，B 两点，
∴B(0,2)，A(6,0)，
作点B 关于x 轴的对称点B(0, -2)，把点B向右平移
3 个单位得到C(3, -2)，
作CD ⊥AB 于点D，交x 轴于点F，过点B作
BE ⎳CD 交x 轴于点E，则四边形EFCB是平行四边
形，
此时，BE = BE = CF，
∴BE + DF = CF + DF = CD 有最小值，
作CP ⊥x 轴于点P，则CP = 2，OP = 3，
∵∠CFP = ∠AFD，
∴∠FCP = ∠FAD，
∴tan∠FCP = tan∠FAD，
∴PF
PC = OB
OA ，
即PF
2
= 2
6 ，
∴PF = 2
3 ，
则F 11
3 ,0
，
设直线CD 的解析式为y = kx + b，
则，
3k+b=-2
11
3 k+b=0
，
解得k=3
b=-11
，
∴直线CD 的解析式为y = 3x - 11，
联立
y=3x-11
y=- 1
3 x+2
，
解得
x= 39
10
y= 7
10
，
即D 39
10 ，7
10
，
过点D 作DG ⊥y 轴于点G，
直线y =- 4
3 x + 2 与x 轴的交点为Q 3
2 ,0
，则BQ =
OQ2+OB2 = 5
2 ，
∴sin∠OBQ = OQ
BQ =
3
2
5
2
= 3
5 ，
∴HG = BHsin∠GBH = 3
5 BH，
∴3BH + 5DH = 5 3
5 BH+DH
= 5(HG + DH) = 5DG，
即3BH + 5DH 的最小值是5DG = 5 × 39
10 = 39
2 ，
故答案为：39
2 ．
41．【分析】△CDP 的面积直接以CD 为底，AD 为高
即可求；当点P 和M 重合时，DP 的值最大，画出图
形，利用勾股定理构造方程即可解答．
【解答】解：△CDP 的面积为1
2 × 5 × 4 = 10；
由题意可得△CDP 的面积等于矩形ABCD 的一半，∴
△CDP 的面积为1
2 × 5 × 4 = 10；
在Rt△APD 中，PD =
AD2+AP2，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·46·
当AP 最大时，DP 最大，
由题意可得点N 是在以D 为圆心4 为半径的圆上运动，
当射线CN 与圆相切时，AP 最大，此时C、N、M 三
点共线，此时点P 和M 重合，DP 的值最大，如图；
设AP = x，则PB = 5 - x，DN = 4，
∴CN = 3，
在Rt△PBC 中，根据勾股定理有：(5 - x)2+ 42= (x +
3)2，
解得x = 2，
∴DP = 2 5，
故答案为：10，2 5，
42．【分析】证明ΔABE ≅ΔBCF，求出∠AMB =
120°，作⊙O，说明点M 在AB
上运动，作点D 关于
BC 的对称点D′，连接OD′，利用点圆关系及线段和最
短的求法解出答案即可．
【解答】解：∵ΔABC 为等边三角形，
∴AB = BC，∠ABC = ∠BCA = 60°，
∵BE = CF，
∴ΔABE ≅ΔBCF，
∴∠BAE = ∠CBF，
∵∠ABM + ∠CBM = 60°，
∴∠ABM + ∠BAM = 60°，
∴∠AMB = 120°，
如图，作以AB 为弦，以∠AMB 为圆周角的⊙O，
∴点M 在AB
上运动，延长BC，作点D 关于BC 的对
称点D′，连接OD′，交⊙O 为M′，交BC 为P′，DD′
交BC 于H，
则D′M′ 为点D 到在AB
的最小距离，且P′D′ +P′M′
即PD + PM 的最小值，
即D′M′ 为PD + PM 的最小值，
∵∠AMB = 120°，
∴∠AOB = 120°，
∵AB = 3，
∴OA = OB =
3 = OM，
在RtΔCDH 中，
∵CD = AB = 3，∠DCH = ∠ABC = 60°，
∴CH = 3
2 ，DH = 3
2
3，
∴BH = BC + CH = 9
2 ，DD′ = 2DH = 3 3，
作OQ ⊥DD′ 于Q，
∴四边形BHQO 为矩形，
∴OQ = BH = 9
2 ，QH = OB =
3，
∴D′Q = HD′ +HQ = 5
2
3，
在Rt△OD′Q 中，OD′ =
OQ2+D′Q2 =
39，
∴D′M′ =
39 -
3，
故答案为：
39 -
3．
43．【分析】连接EF 交PQ 于M，连接BM，取BM
的中点O，连接OH，OD，过点O 作ON ⊥CD 于N．
首先利用相似三角形的性质证明EM = 2FM，推出EM
= 2，FM = 1，当点P 与A 重合时，PQ 的值最大，解
直角三角形求出OD，OH 即可解决问题．
【解答】解：连接EF 交PQ 于M，连接BM，取BM 的
中点O，连接OH，OD，过点O 作ON ⊥CD 于N．
∵四边形ABCD 是矩形，DF = CF，AE = EB，
∴四边形ADFE 是矩形，
∴EF = AD = 3，
∵FQ ⎳PE，
∴ΔMFQ ∽ΔMEP，
∴MF
ME = FQ
PE ，
∵PE = 2FQ，
∴EM = 2MF，
∴EM = 2，FM = 1，
当点P 与A 重合时，PQ 的值最大，此时AE = EM =
2，ΔAEM，ΔFMQ 都是等腰直角三角形，
∴PM =
AE 2+ME 2 =
22+22 = 2 2，MQ =
FQ2+MF 2 =
12+12 =
2，
∴PQ = 3 2，
∵MF ⎳ON ⎳BC，MO = OB，
∴FN = CN = 1，DN = DF + FN = 3，ON = 1
2 (FM +
BC) = 2，
∴OD =
DN 2+ON 2 =
32+22 =
13，
∵BH ⊥PQ，
∴∠BHM = 90°，
∵OM = OB，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·47·
∴OH = 1
2 BM = 1
2 ×
22+22 =
2，
∵DH ≥OD - OH，
∴DH ≥
13 -
2，由于M 和B 点都是定点，所以其中
点O 也是定点，当O，H，D 共线时，此时DH 最小，
∴DH 的最小值为
13 -
2，
故答案为3 2，
13 -
2．
44．【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得
到ED 和EF 的比值，再根据三角形相似和最短距离，
即可得到EG 的最小值，本题得以解决．
【解答】解：作CH ⊥AB 于点H，
∵在▱ABCD 中，∠B = 60°，BC = 8，
∴CH = 4 3，
∵四边形ECGF 是平行四边形，
∴EF ⎳CG，
∴ΔEOD ∽ΔGOC，
∴EO
GO = DO
OC = ED
GC ，
∵DF = 1
4 DE，
∴DE
EF = 4
5 ，
∴ED
GC = 4
5 ，
∴EO
GO = 4
5 ，
∴当EO 取得最小值时，EG 即可取得最小值，
当EO ⊥CD 时，EO 取得最小值，
∴CH = EO，
∴EO = 4 3，
∴GO = 5 3，
∴EG 的最小值是9 3，
故答案为：9 3．
★类型三：几何多结论问题★
1．【分析】当t = 6s 时，点M 在AD 上，求出DM、
CN，可判断①；当1 时，点M 在AB 上，利用三角形
面积公式求出△BMN 的面积，利用二次函数的性质，
可判断②；分两种情况：当点M 在AB 上时，点M 在
AD 上，结合△BMN 的面积为39cm2，列出方程，可判
断③．
【解答】解：根据题意得：点M 在AB 上的运动时间为
8
2 = 4s 点M 在AD 上的运动时间为10
2 = 5s，点N 在
CB 上的运动时间为16s，
①当t = 6s 时，点M 在AD 上，
此时AM = 2 × 6 - 8 = 4cm，CN = 6cm，
∴DM = AD - AM = 6cm，
∴CN = DM，故①正确；
②当1 时，点M 在AB 上，
此时BM = 2t cm，CN = t cm，
∴BN = (16 - t)cm，
∴S△BMN = 1
2 BM × BN = 1
2 × 2t(16 - t) =-t2+ 16t =
- (t - 8)2+ 64，
∵-1 < 0，
∴当t < 8 时，S△BMN 随t 的增大而增大，
∴当t = 2 时，S△BMN 取得最大值，最大值为- (2 - 8)2
+ 64 = 28，
即当1 时，△BMN 的最大面积为28cm2，故②错误；
③当点M 在AB 上时，
∵△BMN 的面积为39cm2，
∴S△BMN = 1
2 BM × BN = 1
2 × 2t(16 - t) =-t2+ 16t =
39，
解得：t1= 3，t2= 13(舍去)，
∴当t = 3 时，△BMN 的面积为39cm2；
当点M 在AD 上时，
∵AD ⎳BC，∠B = 90°，
∴∠A = 180° -∠B = 90°，即AB ⊥AD，
此时S△BMN = 1
2 AB × BN = 1
2 × 8(16 - t) = 64 - 4t =
39．
解得：t = 25
4 ，
∴当t = 25
4 时，△BMN 的面积为39cm2；
∴t 有两个不同的值满足△BMN 的面积为39cm2，故③
正确．
故选：C．
2．【分析】根据题意容易证明△AEB ≅△AFB(SAS)，
从而可得∠KBC = ∠NEC = ∠BAF = ∠BAE = α，进
而可得∠EAH = ∠AHE，从而可得②正确，过点B 作
BK ⎳EN，交CD 于点K，构造△ABF ≅∠BCK
(AAS)，结合四边形BMNK 是平行四边形可得MN =
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·48·
BK = AF，可得①正确，再利用角关系证明△NEC -
△BAF，△AEC - △HNC，可得EN ⋅BF = CN ⋅AF =
CN ⋅AE = EC ⋅HN，从而得出结论③正确，过点F 作
FP ⊥AC，设BF = 3x，由BF:FC = 3:4 可得FC =
4x，解三角形求出PF = 2 2x，AP = 5 2x 从而求出
tan∠FAC = PF
AP = 2
5 故结论④正确，再判定△CNH
不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有△ABC、
△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误．
【解答】解：如图1，过点B 作BK ⎳EN，交CD 于点
K，
在正方形ABCD 中，
∴AB = BC = CD = AD，∠ABC = ∠BCD = 90°，
∠BAC = ∠ACB = ∠ACD = 45°，AB ⎳CD，
∴△ABC、△ADC 是等腰三角形，又BE = BF，AB
= AB，
∴△AEB ≅△AFB(SAS)，
∴AE = AF，∠AEF = ∠AFE，∠BAE = ∠BAF，
∴△AEF 是等腰三角形，
∵EG ⊥AF，
∴∠NEC + ∠AFE = 90°，
又∵∠BAF + ∠AFE = 90°，
∴∠NEC = ∠BAF，
∵BK ⎳EN，
∴∠KBC = ∠NEC，∠BKC = ∠ENC，
∴∠KBC = ∠NEC = ∠BAF = ∠BAE，
设∠KBC = ∠NEC = ∠BAF = ∠BAE = α，
∵∠EAH = ∠BAE + ∠BAC = α + 45°，∠AHE =
∠HEC + ∠ACB = α + 45°，
∴∠EAH = ∠AHE，故结论②正确；
∴EA = EH，即△AEH 是等腰三角形，
∵在△ABF 和△BCK 中，
AB=BC
∠KBC=∠BAF
∠ABF=∠BCK
，
∴△ABF ≅∠BCK(AAS)，
∴BK = AF，∠CKB = ∠AFE = ∠AEF = 90° -α，
∵BK ⎳EN，AB ⎳CD，
∴四边形BMNK 是平行四边形，
∴MN = BK，
∴MN = AF，故结论①正确，
∵∠NEC = ∠BAF，∠BCD = ∠ABC = 90°，
∴△NEC - △BAF，
∴EN
AF = CN
BF ，
∴EN ⋅BF = CN ⋅AF，
∵∠EAH = ∠AHE = ∠CHN = 45° +α，∠ACE =
∠ACN = 45°，
∴△AEC ∽△HNC，
∴AE
HN = EC
NC ，
∴CN ⋅AE = EC ⋅HN，
∵AE = AF，
∴CN ⋅AF = EC ⋅HN，
∴EN ⋅BF = EC ⋅HN，故结论③正确，
过点F 作FP ⊥AC，如图2；
设BF = 3x，由BF:FC = 3:4 可得FC = 4x，AB = BC
= 7x，
∴AF 2= AB2+ BF 2= (7x)2+ (3x)2= 58x2，
∵PF = FC ⋅sin∠ACB = 4x ⋅
2
2
= 2 2x
∴AP =
AF 2-PF 2 =
58x2-8x2 = 5 2，
∴tan∠FAC = PF
AP = 2 2x
5 2x = 2
5 ，
故结论④正确，∠CNE = 90° -α，∠CHN = ∠AHE =
α + 45°，α < 45°，
∴∠CNE 不一定等于∠CHN，α < 45°，
∴△CNH 不一定是等腰三角形，
故等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，
共四个，故结论⑤错误，
综上所述：正确结论有①②③④．
故选：C．
3．【分析】通过△ADH ≅△CDH 和△ABE ≅
△CDH 可判断①；根据角平分线的性质定理判断④；
通过角度计算判断②；通过长度计算判断③．
【解答】解：延长BD 和DB，连接OH，
∵菱形ABCD，∠BAD = 60°，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·49·
∴∠BAO = ∠DAO = 30°，∠AOD = ∠AOB = 90°，
∵菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90° 得到菱形
ABCD，
∴点A′，D′，B′，C′ 一定在对角线AC，BD 上，且
OD = OD= OB = OB，OA = OA= OC = OC，
∴AD= CD，∠DAH = ∠DCH = 30°，
∵∠D′HA = ∠DHC′，
∴△ADH ≅△CDH(AAS)，
∴D′H = DH，C′H = AH，
同理可证DE = BE，BF = BF，BG = DG，
∵∠EAB = ∠HCD = 30°，A′B = C′D，∠ABE =
∠CDH = 120°，
∴△ABE ≅△CDH(ASA)，
∴DH = BE，
∴DH = BE = D′H = D′E = BF = FB′ = B′G = DG，
∴该八边形各边长都相等，故①正确；
根据角的平分线的性质定理，得点O 到该八边形各边
所在直线的距离都相等，故④正确；
根据题意，得∠EDH = 120°，
∵∠DOD = 90°，∠ODH = ∠ODH = 60°，
∴∠DHD = 150°，
∴该八边形各内角不相等，故②错误；
∵OD = OD′，D′H = DH，OH = OH，
∴△DOH ≅△DOH(SSS)，
∴∠DOH = ∠DOH = 45°，∠DHO = ∠DHO = 75°，
∴OD ≠OH，
∴点O 到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；
故选：B．
4．【分析】连接DG，可得BD
AB =
2，AC 垂直平
分BD，先证明点B、H、D、F 四点共圆，即可判断
①；根据AC 垂直平分BD，结合互余可证明DG =
FG，即有DG = FG = BG，则可判断②正确；证明
△ABM ∽△DBN，即有BN
BM = BD
AB =
2，可判断④；
根据相似有S△ABM
S△DBN
=
AB
BD
2
= 1
2 ，根据AH = 1
2 HD
可得3AH = AD，再证明△AHM - △CBM，可得
S△AHM
S△ABM
= HM
BM = 1
3 ，即可判断⑤；根据点H 是AD 的
中点，设AD = 2，即求出BH =
AH 2+AB2 =
5，
同理可证明△AHM ∽△CBM，可得BM = 2
3 BH =
2
3
5，即可得BN =
2BM = 2
3
10，进而可判断③．
【解答】解：连接DG，如图，
∵四边形ABCD 是正方形，∠BDC = ∠BAC = ∠ADB
= 45°，BD
AB =
2，∠BAD = ∠ADC = 90°，AC 垂直
平分BD，
∴∠CDP = 90°，
∵DF 平分∠CDP，
∴∠CDF = 1
2 ∠CDP = 45° = ∠CDB，
∴∠BDF = ∠CDF + ∠CDB = 90°，∠BHF = 90° =
∠BDF，
∴点B、H、D、F 四点共圆，
∴∠HFB = ∠HDB = 45°，∠DHF = ∠DBF，
∴∠HBF = 180° -∠HFB - ∠FHB = 45°，故①正确，
∵AC 垂直平分BD，
∴BG = DG，
∴∠BDG = ∠DBG，
∵∠BDF = 90°，
∴∠BDG + ∠GDF = 90° = ∠DBG + ∠DFG，
∴∠GDF = ∠DFG，
∴DG = FG，
∴DG = FG = BG，
∴点G 是BF 的中点，故②正确，
∵∠BHF = 90° = ∠BAH，
∴∠AHB + ∠DHF = 90° = ∠AHB + ∠ABH，
∴∠DHF = ∠ABH，
∵∠DHF = ∠DBF，
∴∠ABH = ∠DBF，
又∵∠BAC = ∠DBC = 45°，AD ⎳BC，
∴△ABM ∽△DBN，
∴BN
BM = BD
AB =
2，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·50·
∴BN =
2BM，故④正确，
∴S△ABM
S△DBN
=
AB
BD
2
= 1
2 ，
若AH = 1
2 HD，则AH = 1
2 HD = 1
2 (AD - AH)，
∴3AH = AD，
∴AH
AD = 1
3 ，即AH
BC = AH
AD = 1
3 ，
∵AD ⎳DC，
∴△AHM ∽△CBM，
∴HM
BM = AH
BC = 1
3 ，
∵S△AHM
S△ABM
= HM
BM = 1
3 ，
∴S△ABM = 3S△AHM，
∴S△ABM
S△DBN
= 1
2 ，
∴S△BND = 2S△ABM = 6S△AHM，故⑤错误，
如图，③若点H 是AD 的中点，
设AD = 2，即AB = BC = AD = 2，
∴AH = 1
2 AD = 1，
∴BH =
AH 2+AB2 =
5，
同理可证明△AHM ∽△CBM，
∴HM
BM = AH
BC = 1
2 ，HM+BM
BM
= 3
2 = BH
BM ，BM
= 2
3 BH = 2
3
5，
∵BN =
2BM，
∴BN =
2BM = 2
3
10，
∵BC = 2，
在Rt△BNC 中，NC =
BN 2-BC2 = 2
3 ，sin∠NBC
= NC
BN =
10
10 ，故③正确，则正确的有：①②③④，
故选：A．
5．【分析】通过证明ΔDCF ∽ΔHBF，可得DC
BH =
CF
BF =
2
2 ，故①错误；由tanH = DA
AH =
2 - 1，故
②错误；由正方形的性质可得AC 垂直平分BD，
∠CDB = ∠CBD，可得DE = BE，由角的数量关系可
求∠CBE = ∠DBE，即BE 平分∠CBD，故③正确；
通过证明ΔDEB ∽ΔDBH，可得2AB2= DE ⋅DH，故
④正确；即可求解．
【解答】解：设AB = BC = CD = AD = a，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴CD ⎳AB，BD =
2a = BH，
∴ΔDCF ∽ΔHBF，
∴DC
BH = CF
BF =
a
2a =
2
2 ，故①错误；
∵tanH = DA
AH =
a
a+
2a ，
∴tanH =
2 - 1，故②错误；
∵BD = BH，
∴∠H = ∠BDH，
∵CD ⎳AB，
∴∠CDE = ∠H，
∴∠CDE = ∠BDE = ∠H，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC 垂直平分BD，∠CDB = ∠CBD，
∴DE = BE，
∴∠EDB = ∠EBD，
∴∠CDE = ∠CBE，
∴∠CBE = ∠DBE，
∴BE 平分∠CBD，故③正确；
∵∠BDE = ∠BDE，∠EDB = ∠H = ∠DBE，
∴ΔDEB ∽ΔDBH，
∴DE
DB = DB
DH ，
∴DB2= DE ⋅DH，
∴2AB2= DE ⋅DH，故④正确；
故选：B．
6．【分析】①根据t = 2s 时得出四边形ABCP 为矩
形，据此可解决问题．
②根据“平行线间的距离处处相等”即可解决问题．
③根据②中的发现即可解决问题．
④利用三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】解：①当t = 2s 时，
AP = 2cm，
则AP = BC．
又因为AP ⎳BC，∠ABC = 90°，
所以四边形ABCP 是矩形，
所以PC = AB = 3cm，
所以四边形ABCP 的周长为：2 × (2 + 3) = 10(cm)．
故①正确．
因为“平行线间的距离处处相等”，AB = 3cm，
∠ABC = 90°，
所以直线l1与直线l2之间的距离是3cm，
所以当t = 4s 时，点P 到直线l2的距离仍然是3cm．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·51·
故②错误．
由上述过程可知，
点P 到BC 的距离为定值3cm，
即ΔPBC 的BC 边上的高为3cm，
又因为BC = 2cm，
所以ΔPBC 的面积为定值．
故③错误．
因为点D，E 分别是线段PB，PC 的中点，
所以DE 是ΔPBC 的中位线，
所以DE = 1
2 BC = 1(cm)，
即线段DE 的长度不变．
故④正确．
故选：A．
7．【分析】①根据题意，画出函数图象，得出-4 ≤
m < n ≤2；②根据题意，画图，利用勾股定理得出关
系式；③在坐标系中画出图形，求出C 坐标，得出k
的值；④利用韦达定理得出长+ 宽= 2(a + 1)，长×
宽= a2- 1，再根据题意求出a 的值，从而得出对角线
长度．
【解答】解：①
由图象得：∵0 < k，
∴当k = 1 时，m =-4，n = 2，
∴①错误；
②
过点O 作OM ⊥AB 于点M，过点O 作ON ⊥CD 于
点N，连接OA，OC，
∴四边形AMPN 是矩形，
∵OA2= AM 2+ OM 2，OC2= CN 2+ ON 2，
∴r2=
1
2 AB
2
+ OM 2，r2=
1
2 CD
2
+ ON 2，
∴2r2= 1
4 AB2+ 1
4 CD2+ OM 2+ ON 2，
∵OP2= OM 2+ ON 2= m2，
∴2r2= 1
4 AB2+ 1
4 CD2+ m2，
∴AB2+ CD2= 8r2- 4m2，
∴②正确；
③
∴C(5,6) 或C(-5,4)，
∴k = 30 或-20，
∴③错误；
④∵矩形的一组邻边长是关于x 的一元二次方程x2- 2
(a + 1)x + a2- 1 = 0 的两个实数根，
∴长+ 宽= 2(a + 1)，长× 宽= a2- 1，
∵矩形的周长值与面积值相等，
∴4(a + 1) = a2- 1，
∴(a - 5) (a + 1) = 0，
∴a = 5 或a =-1，
△= [-2(a + 1)]2- 4(a2- 1) = 8a + 8 > 0，
∴a >-1，
∵对角线2= 长2+ 宽2= (长+ 宽)2- 2 × 长× 宽= 4(a
+ 1)2- 2(a2- 1) = 2a2+ 8a + 6，
当a = 5 时，对角线2= 96，
∴对角线长是4 6，
∴④正确；
综上所述：②④正确，
故选：B．
8．【分析】由折叠可得A1E = AE = BE = 2，可得点
A1到点E 的距离恒为2，即可判断①；
连接DE，由勾股定理得到在Rt△ADE 中，DE =
AD2+AE 2 = 2 5，由DA1+ A1E，即可判断③；
DA1 达到最小值时，点A1 在线段DE 上，证得△A1DN
∽△ADE，得到A1D
AD = DN
DE ，从而求得DN = 5 -
5，通过MN = AD - DN - AM 即可判断④；
在△A1DE 中，A1D 随着∠DEA1 的增大而增大，而当
∠NEA 最大时，∠DEA1 有最大值，A1G2 有最大值，
此时点N 与点D 重合．过点A1作A1G ⊥AD 于点G，
作A1P ⊥AB 于点P，可得四边形AGA1P 是矩形，因
此A1G = AP = AE + EP 当A1D 取得最大值时，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·52·
∠A1EP 有最小值，在Rt△A1EP 中，EP = A1E ⋅
cos∠A1EP 有最大值，A1G = AP = AE + EP 有最大
值，即可判断②．
【解答】解：∵正方形纸片ABCD 的边长为4dm，AE
= BE，
∴AE = BE = 1
2 AB = 2，
由折叠的性质可知，A1E = AE = 2，
∴当点N 在线段MD 上运动时，点A1在以E 为圆心的
圆弧上运动．
故①正确；
连接DE，
∵在正方形ABCD 中，∠A = 90°，AD = 4，AE = 2，
∴在Rt△ADE 中，DE =
AD2+AE 2 =
42+22 =
2 5，
∵DA1+ A1E，
∴DA1≥DE - A1E = 2 5 - 2，
∴DA1的最小值为2 5 - 2，
故③正确；
如图，
DA1达到最小值时，点A1在线段DE 上，
由折叠可得∠NA1E = ∠A = 90°，
∴∠DA1N = 90°，
∴∠DA1N = ∠A，
∵∠A1DN = ∠ADE，
∴△A1DN ∽△ADE，
A1D
AD = DN
DE ，
∴2 5-2
4
= DN
2 5 ，
∴DN = 5 -
5，
∴MN = AD - DN - AM = 4 - (5 -
5) - 1 =
5 - 2，
故④错误．
在△A1DE 中，DE = 2 5，A1E = AE = 2，
∴A1D 随着∠DEA1的增大而增大，
∵∠DEA1= ∠NEA1- ∠NED = ∠NEA - ∠NED =
∠NEA - (∠AED - ∠NEA) = 2∠NEA - ∠AED，
∴当∠NEA 最大时，∠DEA1有最大值，A1G 有最大
值，此时，点N 与点D 重合，
过点A1作A1G ⊥AD 于点G，作A1P ⊥AB 于点P，
∵∠A = 90°，
∴四边形AGA1P 是矩形，
∴A1G = AP = AE + EP，
当A1D 取得最大值时，∠AEN = ∠A1EN 也是最大值，
∵∠A1EP = 180° -∠AEN - ∠A1EN = 180° -2∠AEN
∴∠A1EP 有最小值，
∴在Rt△A1EP 中，EP = A1E ⋅cos∠A1EP 有最大值，
即A1G = AP = AE + EP 有最大值，
∴点A1到AD 的距离最大．
故②正确．
综上所述，正确的共有3 个．
故选：C．
9．【分析】根据∠ADF 的正切值，结合勾股定理可求
出EF 的值．根据ΔABG 的面积与正方形EFGH 面积
之间的关系，得出关于AG 和FG 的方程，据此可解决
问题．得出点G′ 的运动轨迹即可解决问题．
【解答】解：在RtΔADF 中，
tan∠ADF = AF
DF = 3
4 ．
令AF = 3x，DF = 4x，
则(3x)2+ (4x)2= 102，
解得x = 2(舍负)，
所以AF = 6，DF = 8．
因为外部的四个直角三角形全等，
所以DE = AF = 6，
所以EF = 8 - 6 = 2．
故①正确．
因为RtΔABG 的面积是正方形EFGH 面积的3 倍，
所以1
2 BG ⋅AG = 3FG2．
因为BG = AF = AG - FG，
所以1
2 (AG - FG) ⋅AG = 3FG2，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·53·
整理得，
6FG2+ FG ⋅AG - AG2= 0．
则6 FG
AG
2
+ FG
AG - 1 = 0，
解得FG
AG = 1
3 (舍负)，
则点F 是AG 的三等分点．
故②正确．
由旋转可知，
∠AG′D = ∠AGB = 90°，
所以点G′ 在以AD 为直径的圆上．
在RtΔABM 中，
BM =
52+102 = 5 5．
当点B，M，G′ 共线时，BG′ 取得最大值，
此时BG′ = 5 5 + 5．
故③正确．
故选：D．
10．【分析】①先求出AC
AB = 4 2
4
=
2，CE
AD =
2，则AC
AB = CE
AD ，由此可证△CAE ∽△ABD，然
后根据相似三角形性质可对结论①进行判断确；
②根据△CAE ∽△ABD 得∠CAE = ∠ABD，再根据三
角形外角性质得∠BFE = 45°，由此可对结论②进行判
断确；
③以AB 为斜边在△ABC 外侧构造等腰Rt△OAB，作
△OAB 的外接圆⊙O，过点O 作OK ⊥AB 于K，
OK 的延长线交⊙O 于H，连接AH，BH，过点O 作
OM ⊥CB 交CB 的延长线于M，连接OC 交⊙O 于
P，证明点F 在弧AB 上运动，则当点F 与点H 重合
时，△ABF 的面积为最大，最大值为△ABH 的面积，
然后求出△ABH 的面积即可对结论③进行判断确；
④根据点F 在弧AB 上运动，得当点F 与点P 重合时，
CF 为最小，最小值为线段CP 的长，然后求出线段
CP 的长即可对结论④进行判断确，综上所述即可得出
答案．
【解答】解：①∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC
= 90°，AB = 4，
∴∠BCA = ∠BAC = 45°，AB = BC = 4，
由勾股定理得：AC =
AB2+BC2 = 4 2，
∴AC
AB = 4 2
4
=
2，
∵AD =
2
2 CE，
∴CE
AD =
2，
∴AC
AB = CE
AD ，
又∵∠ECA = ∠DAB = 45°，
∴△CAE ∽△ABD，
∴AE
BD = AC
AB =
2，
故结论①正确；
②∵△CAE ∽△ABD，
∴∠CAE = ∠ABD，
∴∠BFE = ∠BAF + ∠ABD = ∠BAF + ∠CAE =
∠BAC = 45°，
∴∠DFE = 180° -∠BFE = 180° -45° = 135°，
故结论②正确；
③以AB 为斜边在△ABC 外侧构造等腰Rt△OAB，作
△OAB 的外接圆⊙O，过点O 作OK ⊥AB 于K，
OK 的延长线交⊙O 于H，连接AH，BH，过点O 作
OM ⊥CB 交CB 的延长线于M，连接OC 交⊙O 于
P，如图所示：
∴∠AOB = 90°，
∴∠AHB = 180° - 1
2 ∠AOB = 180° - 1
2 × 90° = 135°，
∵∠DFE = 135°，
∴点F 在AB
上运动，
∵AB = 4，
∴当点F 与点H 重合时，△ABF 的面积为最大，最大
值为△ABH 的面积，
根据等腰直角三角形的性质得：AK = BK = 1
2 AB =
2，∠AOH = 45°，
∴AK = OK = 2，
在Rt△AOK 中，由勾股定理得：OA =
AK 2+OK 2
= 2 2，
∴OA = OH = OB = OP = 2 2，
∴KH = OH - OK = 2 2 - 2，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·54·
∴S△ABH = 1
2 AB ⋅KH = 1
2 × 4 × (2 2 - 2) = 4 2 - 4，
故结论③正确；
④∵点F 在AB
上运动，
∴当点F 与点P 重合时，CF 为最小，最小值为线段
CP 的长，
∵OM ⊥CB，OK ⊥AB，∠ABM = ∠ABC = 90°，
∴四边形OMBK 为矩形，
∴OM = BK = 2，BM = OK = 2，
∴CM = BC + BM = 4 + 2 = 6，
在Rt△COM 中，由勾股定理得：CO =
CM 2+OM 2
= 2 10，
∴CP = CO - OP = 2 10 - 2 2，
即CF 的最小值是2 10 - 2 2，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④．
故选：D．
11．【分析】①根据题意可得∠ABF = 90° -∠BAF =
∠DAE，则cos∠ABF = cos∠EAD，即BF
AB = AD
AE ，
又AB = AD，即可判断①；②设正方形的边长为a，
根据勾股定理求得AF，证明ΔGAB ∽ΔGED，根据相
似三角形的性质求得GE，进而求得FG，即可判断②；
过点H 分别作BF，AE 的垂线，垂足分别为M，N
根据②的结论求得BH，勾股定理求得BD，即可判断
③．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAD = ∠ADE = 90°，AB = AD，
∵BF ⊥AE，
∴∠ABF = 90° -∠BAF = ∠DAE，
∴cos∠ABF = cos∠EAD，
即BF
AB = AD
AE ，
又AB = AD，
∴AB2= BF ⋅AE．
故①正确；
设正方形的边长为a，
∵点E 为边CD 的中点，
∴DE = a
2 ，
∴tan∠ABF = tan∠EAD = 1
2 ．
在RtΔABF 中，
AB =
AF 2+BF 2 =
5AF = a，
∴AF =
5
5 a．
在RtΔADE 中，
AE =
AD2+DE 2 =
5a
2
，
∴EF = AE - AF =
5
2 a -
5
5 a = 3 5
10 a．
∵AB ⎳DE，
∴ΔGAB ∽ΔGED，
∴AG
GE = AB
DE = 2，
∴GE = 1
3 AE =
5
6 a，
∴FG = AE - AF - GE =
5
2 a -
5
5 a -
5
6 a =
2 5
15 a，
∴AF
FG =
5
5 a
2 5
15
= 3
2 ，
∴SΔBGF:SΔABF = 2:3．
故②正确；
∵AB = a，
∴AD = AB = a，
∴BD2= AB2+ AD2= 2a2，
如图所示，过点H 分别作BF，AE 的垂线，垂足分别
为M，N，如图，
又∵BF ⊥AE，HM ⊥BF，HN ⊥AE，
∴四边形FMHN 是矩形，
∵FH 是∠BFG 的角平分线，
∴HM = HN，
∴四边形FMHN 是正方形，
∴FN = HM = HN，
∴BF = 2AF = 2 5
5
a，FG = 2 5
15 a，
∴MH
BM = FG
BF = 1
3 ．
设MH = b，则BF = BM + FM = BM + MH = 3b + b =
4b，
在RtΔBMH 中，
BH =
BM 2+MH 2 =
10b．
∵BF = 2 5
5
a，
∴2 5
5
a = 4b，
解得：b =
5
10 a．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·55·
∴BH =
10 ×
5
10 a =
2
2 a，
∴BD2- BD ⋅HD = 2a2-
2a ×
2
2 a = a2．
故③正确．
故选：D．
12．【分析】①证明ΔEAF 是等腰直角三角形，根据
直角三角形斜边中线可得AH = 1
2 EF = CH，可得①
正确；
②证明∠DAH 与∠AHD 不一定相等，则AD 与DH 不
一定相等，可知②不正确；
③证明ΔADH ≅ΔCDH(SSS)，则∠ADH = ∠CDH =
45°，再由等腰直角三角形的性质可得结论正确；
④证明ΔAKF ∽ΔHED，列比例式可得结论正确．
【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD = AB，∠ADE = ∠ABC = 90°，
∴∠ADE = ∠ABF = 90°，
∵DE = BF，
∴ΔADE ≅ΔABF(SAS)，
∴AE = AF，∠DAE = ∠BAF，
∵∠DAE + ∠EAB = 90°，
∴∠BAF + ∠EAB = 90°，即∠EAF = 90°，
∵AG ⊥EF，
∴EH = FH，
∴AH = 1
2 EF，
RtΔECF 中，∵EH = FH，
∴CH = 1
2 EF，
∴AH = CH；
故①正确；
③∵AH = CH，AD = CD，DH = DH，
∴ΔADH ≅ΔCDH(SSS)，
∴∠ADH = ∠CDH = 45°，
∵ΔAEF 为等腰直角三角形，
∴∠AFE = 45°，
∴∠AFK = ∠EDH = 45°，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB ⎳CD，
∴∠BKF = ∠CEH，
∴∠AKF = ∠DEH，
∴∠FAB = ∠DHE，
故③正确；
②∵∠ADH = ∠AEF，
∴∠DAE = ∠DHE，
∵∠BAD = ∠AHE = 90°，
∴∠BAE = ∠AHD，
∵∠DAE 与∠BAG 不一定相等，
∴∠DAH 与∠AHD 不一定相等，
则AD 与DH 不一定相等，即DH 与CD 不一定相等，
故②不正确；
④∵∠FAB = ∠DHE，∠AFK = ∠EDH，
∴ΔAKF ∽ΔHED，
∴AK
EH = AF
DH ，
∴AK ⋅DH = AF ⋅EH，
在等腰直角三角形AFH 中，AF =
2FH =
2EH，
∴AK ⋅HD =
2HE 2．
故④正确；
∴本题正确的结论有①③④，共3 个．
故选：C．
13．【分析】利用正方形的性质和翻折的性质，对每
个选项的结论逐一判断，即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAE = ∠ABF = 90°，DA = AB，
∵AF ⊥DE，
∴∠BAF + ∠AED = 90°，
∵∠BAF + ∠AFB = 90°，
∴∠AED = ∠BFA，
在△ABF 和△DAE 中，
∠ABF=∠DAE=90°
∠BFA=∠AED
AB=DA
，
∴△ABF ≅△DAE(AAS)，
∴AF = DE．
故①正确；
∵将△ABF 沿AF 翻折，得到△AMF，
∴BM ⊥AF，
∵AF ⊥DE，
∴BM ⎳DE．
故②正确；
当CM ⊥FM 时，∠CMF = 90°，
∵∠AMF = ∠ABF = 90°，
∴∠AMF + ∠CMF = 180°，即A，M，C 在同一直线
上，
∴∠MCF = 45°，
∴∠MFC = 90° -∠MCF = 45°，
由翻折的性质可得：∠HBF = ∠HMF = 45°，BF =
MF，
∴∠HMF = ∠MFC，∠HBC = ∠MFC，
∴BC ⎳MH，HB ⎳MF，
∴四边形BHMF 是平行四边形，
∵BF = MF，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·56·
∴平行四边形BHMF 是菱形，故③正确；
当点E 运动到AB 的中点，如图，
设正方形ABCD 的边长为2a，则AE = BF = a，
在Rt△AED 中，
DE =
AD2+AE 2 =
5a = AF，
∵∠AHD = ∠FHB，∠ADH = ∠FBH = 45°，
∴△AHD ∽△FHB，
∴FH
AH = BF
AD = a
2a = 1
2 ，
∴AH = 2
3 AF = 2 5
3
a．
∵∠AGE = ∠ABF = 90°，∠EAG = ∠FAB，
∴△AGE ∽△ABF，
∴AE
AF = EG
BF = AG
AB =
a
5a =
5
5 ，
∴EG =
5
5 BF =
5
5 a，AG =
5
5 AB = 2 5
5
a，
∴DG = ED - EG = 4 5
5
a，GH = AH - AG =
4 5
15 a．
∵∠BHF = ∠DHA，
∴在Rt△DGH 中，
tan∠BHF = tan∠DHA = DG
GH = 3，
故④错误；
由题意得：△ABF ≅△AMF，
∴∠EAG = ∠PAG，
在△EAG 和PAG 中，
∠EAG=∠PAG
AG=AG
∠EGA=∠PGA=90°
，
∴△EAG ≅PAG(ASA)，
∴EG = PG，
∴EG = 1
2 EP．
∵AD ⎳BC，
∴△AHD ∽△FHB，
∴DH
BH = AD
BF ．
∵AD = AB，
∴DH
BH = AB
BF ．
∵∠AGE = ∠ABF = 90°，∠EAG = ∠FAB，
∴△EAG ∽△FAB，
∴EG
AG = BF
AB ，
∴BH
DH = EG
AG ，
∴EG ⋅DH = AG ⋅BH，
∴1
2 EP ⋅DH = AG ⋅BH，
∴EP ⋅DH = 2AG ⋅BH，
故⑤正确．
综上分析可知，正确的是①②③⑤．
故选：B．
14．【分析】①先根据正方形的性质证得ΔADE 和
ΔDCF 全等，再利用ASA 证得ΔAGM 和ΔAGD 全等，
即可得出AE 垂直平分DM；
②连接BD 与AC 交于点O，交AG 于点H，连接
HM，根据题意当点P 与点H 重合时，PM + PN 的值
最小，即PM + PN 的最小值是DO 的长，根据正方形
的性质求出BD 的长，从而得出DO = 2 2，即PM +
PN 的最小值2 2；
③先证ΔDGE ∽ΔADE，再根据相似三角形的性质及
CF = DE，即可判断；
④先求出AM 的长，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD = DC = BC，∠ADC = ∠DCB = 90°，
∵BF = CE，
∴BC - BF = DC - CE，
即CF = DE，
在ΔADE 和ΔDCF 中，
AD=DC
∠ADE=∠DCF
DE=CF
，
∴ΔADE ≅ΔDCF(SAS)，
∴∠DAE = ∠CDF，
∵∠CDF + ∠ADG = 90°，
∴∠DAE + ∠ADG = 90°，
∴∠AGD = 90°，
∴∠AGM = 90°，
∴∠AGM = ∠AGD，
∵AE 平分∠CAD，
∴∠MAG = ∠DAG，
又AG 为公共边，
∴ΔAGM ≅ΔAGD(ASA)，
∴GM = GD，
又∵∠AGM = ∠AGD = 90°，
∴AE 垂直平分DM，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·57·
故①正确；
②如图，连接BD 与AC 交于点O，交AG 于点H，连
接HM，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC ⊥BD，
即DO ⊥AM，
∵AE 垂直平分DM，
∴HM = HD，
当点P 与点H 重合时，PM + PN 的值最小，此时PM
+ PN = HM + HO = HD + HO = DO，即PM + PN 的
最小值是DO 的长，
∵正方形ABCD 的边长为4，
∴AC = BD = 4 2，
∴DO = 1
2 BD = 2 2，
即PM + PN 的最小值为2 2，
故②错误；
③∵AE 垂直平分DM，
∴∠DGE = 90°，
∵∠ADC = 90°，
∴∠DGE = ∠ADE，
又∵∠DEG = ∠AED，
∴ΔDGE ∽ΔADE，
∴DE
AE = GE
DE ，
即DE 2= GE ⋅AE，
由①知CF = DE，
∴CF 2= GE ⋅AE，
故③正确；
④∵AE 垂直平分DM，
∴AM = AD = 4，
又DO = 2 2，
∴SΔADM = 1
2 AM ⋅DO = 1
2 × 4 × 2 2 = 4 2，
故④错误；
综上，正确的是：①③，
故选：D．
15．【分析】利用三角函数求得①正确；证明ΔDEC
≅ΔFEM(AAS) 得DM = FC，再证ΔDMN ≅ΔFCN，
得②正确；由三角形全等，勾股定理得③错误；BE =
EC = 1，CF =
5 - 1，由三角函数，得④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB = BC = CD = AD，
∵AB = 2，点E 是BC 边的中点，
∴CE = 1，
∵∠DNM = ∠FNC，
∵FG ⊥DE，
∴∠DMN = 90°，
∴∠DMN = ∠NCF = 90°，∠GFB = ∠EDC，
tan∠GFB = tan∠EDC = EC
CD = 1
2 ，①正确；
②∵∠DMN = ∠NCF = 90°，∠MND = ∠FNC，
∴∠MDN = ∠CFN
∵∠ECD = ∠EMF，EF = ED，∠MDN = ∠CFN
∴ΔDEC ≅ΔFEM(AAS)
∴EM = EC，
∴DM = FC，
∠MDN = ∠CFN，∠MND = ∠FNC，DM = FC，
∴ΔDMN ≅ΔFCN(AAS)，
∴MN = NC，故②正确；
③∵BE = EC，ME = EC，
∴BE = ME，
在RtΔGBE 和RtΔGME 中，BE = ME，GE = GE，
∴RtΔGBE ≅RtΔGME(HL)，
∴∠BEG = ∠MEG，
∵ME = EC，∠EMC = ∠ECM，
∵∠EMC + ∠ECM = ∠BEG + ∠MEG，
∴∠GEB = ∠MCE，
∴MC ⎳GE，
∴CM
EG = CF
EF ，
∵EF = DE =
EC2+CD2 =
5，
CF = EF - EC =
5 - 1，
∴CM
EG = CF
EF =
5-1
5
= 5-
5
5
，故③错误；
④由上述可知：BE = EC = 1，CF =
5 - 1，
∴BF =
5 + 1，
∵tanF = tan∠EDC = GB
BF = 1
2 ，
∴GB = 1
2 BF =
5+1
2
，
∴S四边形GBEM =
5+1
2
．故④正确，
故选：B．
16．【分析】利用全等三角形的判定与性质，正方形
的性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系定理对
每个选项的结论进行判断即可得出结论．
【解答】解：①∵四边形ABCD 是正方形，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·58·
∴AB = BC = CD，AC ⊥BD，∠ABD = ∠DBC =
∠ACD = 45°．
∴∠BOE + ∠EOC = 90°，
∵OE ⊥OF，
∴∠FOC + ∠EOC = 90°．
∴∠BOE = ∠COF．
在ΔBOE 和ΔCOF 中，
∠OBE=∠OCF=45°
OB=OC
∠BOE=∠COF
，
∴ΔBOE ≅ΔCOF(ASA)，
∴BE = CF．
在ΔBAE 和ΔCBF 中，
AB=BC
∠ABC=∠BCF=90°
BE=CF
，
∴ΔBAE ≅ΔCBF(SAS)，
∴∠BAE = ∠CBF．
∵∠ABP + ∠CBF = 90°，
∴∠ABP + ∠BAE = 90°，
∴∠APB = 90°．
∴AE ⊥BF．
∴①的结论正确；
②∵∠APB = 90°，∠AOB = 90°，
∴点A，B，P，O 四点共圆，
∴∠APO = ∠ABO = 45°，
∴②的结论正确；
③过点O 作OH ⊥OP，交AP 于点H，如图，
∵∠APO = 45°，OH ⊥OP，
∴OH = OP =
2
2 HP，
∴HP =
2OP．
∵OH ⊥OP，
∴∠POB + ∠HOB = 90°，
∵OA ⊥OB，
∴∠AOH + ∠HOB = 90°．
∴∠AOH = ∠BOP．
∵∠OAH + BAE = 45°，∠OBP + ∠CBF = 45°，
∠BAE = ∠CBF，
∴∠OAH = ∠OBP．
在ΔAOH 和ΔBOP 中，
∠OAH=∠OBP
OA=OB
∠AOH=∠BOP
，
∴ΔAOH ≅ΔBOP(ASA)，
∴AH = BP．
∴AP - BP = AP - AH = HP =
2OP．
∴③的结论正确；
④∵BE:CE = 2:3，
∴设BE = 2x，则CE = 3x，
∴AB = BC = 5x，
∴AE =
AB2+BE 2 =
29x．
过点E 作EG ⊥AC 于点G，如图，
∵∠ACB = 45°，
∴EG = GC =
2
2 EC = 3 2
2
x，
∴AG =
AE 2-GE 2 = 7 2
2
x，
在RtΔAEG 中，
∵tan∠CAE = EG
AG ，
∴tan∠CAE ==
3 2
2 x
7 2
2 x
= 3
7 ．
∴④的结论不正确；
⑤∵四边形ABCD 是正方形，
∴OA = OB = OC = OD，∠AOB = ∠BOC = ∠COD
= ∠DOA = 90°，
∴ΔOAB ≅ΔOBC ≅ΔOCD ≅ΔDOA(SAS)．
∴SΔOBC = 1
4 S正方形ABCD．
∴SΔBOE + SΔOEC = 1
4 S正方形ABCD．
由①知：ΔBOE ≅ΔCOF，
∴SΔOBE = SΔOFC，
∴SΔOEC + SΔOFC = 1
4 S正方形ABCD．
即四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的1
4 ．
∴⑤的结论正确．
综上，①②③⑤的结论正确．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·59·
故选：B．
17．【分析】①错误．说明BN 的长度是变化的即可．
②正确．利用面积法求出EF 即可．
③错误．求出ΔGNF 面积的最大值，即可判断．
④正确，利用勾股定理求出AE，可得结论．
【解答】解：∵AB = 3 是定值，BN = 1
2 BG，BG 的
长是变化的，
∴BN 的值也是变化的，
∴BN 与AB 不一定相等，故①错误．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ⎳BC，
∴∠DEF = ∠EFB，
由翻折的性质可知FB = FG，∠EFB = ∠EFG，
∴∠GEF = ∠EFG，
∴GE = GF = BF，
∵GE ⎳BF，
∴四边形BEGF 是平行四边形，
∵FB = FG，
∴四边形BEGF 是菱形，
∴BE = EG，
当D，G 重合时，设BE = DE = x，则有x2= 32+ (6
- x)2，
∴x = 15
4 ，
∵∠A = 90°，AB = 3，AD = 6，
∴BD =
AB2+AD2 =
32+62 = 3 5，
∴S菱形BEDF = DE ⋅AB = 1
2 ⋅BD ⋅EF，
∴EF =
2×3× 15
4
3 5
= 3 5
2
，故②正确，
当D，G 重合时，ΔGNF 的面积最大，最大值= 1
4 ×
15
4 × 3 = 45
16 ，
∴SΔGNF ≤45
16 ，故③错误，
如图2 中，当CF = 5
2 时，BF = BE = EG = FG =
BC - CF = 6 - 5
2 = 7
2 ，
∴AE = EM =
BE 2-AB2 =
7
2
2
-32 =
13
2
，
∴SΔMEG = 1
2 ⋅ME ⋅GM = 1
2 ×
13
2
× 3 = 3 13
4
，故
④正确．
故选：D．
18．【分析】由旋转性质得△CBE ≅△ABF，可得CE
= AF，∠BCE = ∠FAB，BE = BF，进而由∠BEC +
∠BCE = ∠FAB + ∠AEM = 90°，即可判断①；由CF
= BC + BF = AB + BF > AF，即可判断②；由A、
M、B、C、D 在以AC 为直径的圆上，可以证明
∠CAD = ∠CMD = 45°，即可判断③，设AD = CD =
BC = a，由勾股定理解三角形可得AN = ( 2 - 1)a，
CN = AC - AN =
2a - ( 2 - 1)a = a，即可判断④．
【解答】解：∵把△CBE 绕点B 逆时针方向旋转90° 得
到△ABF，
∴△CBE ≅△ABF，
∴CE = AF，∠BCE = ∠FAB，BE = BF，
∵正方形ABCD，
∴∠ABC = 90°，AB = BC，
又∵∠AEM = ∠BEC，
∴∠BEC + ∠BCE = ∠FAB + ∠AEM = 90°，
∴∠AMC = 90°，
即CM ⊥AF，
故①结论正确，符合题意；
∵AB + BF > AF，CF = BC + BF = AB + BF，
∴CF > AF，
故②结论错误，不符合题意；
∵正方形ABCD，
∴∠CAB = ∠CAD = ∠ACB = 45°，
∴∠AMC = ∠ABC = ∠ADC = 90°，
∴A、M、B、C、D 在以AC 为直径的圆上，如图，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·60·
∵CD
= CD
，
∴∠CAD = ∠CMD = 45°，
故结论③正确，符合题意；
如图，过N 点作NG ⊥AC，交AD 于G，
∵CE 平分∠ACB，∠ACB = 45°，
∴∠ACM = 22.5°，
∵AM
= AM
，
∴∠ACM = ∠ADM = 22.5°，
∵∠CAD = 45°，
∴∠AGN = 90° -∠CAD = 45°，∠DNG = 180°
-∠CAD - ∠ANG - ∠ADN = 22.5°，
∴∠CAD = ∠AGN = 45°，∠GDN = ∠DNG = 22.5°，
∴AN = NG = GD，
设AD = CD = BC = a，
在Rt△ANG 中，AN 2+ NG2= AG2，
∴2AN 2= (a - AN)2，
∴AN = ( 2 - 1)a(负根已舍去)，
∵AC =
AD2+CD2 =
2a，
∴CN = AC - AN =
2a - ( 2 - 1)a = a，
∴AN
CN = ( 2-1)a
a
=
2 - 1，
故结论④正确，符合题意；
综上，①③④结论正确，
故答案为：①③④．
19．【分析】证明△ADE ≅△CDE(SAS) 即可判断①，
在FC 上取一点G，使得BG = BE，证明△FBG ≅
△CBE(SAS)，进而判断②；过点A，B 分别作FC 的
垂线，垂足分别为K，N，则△AHK ∽△BHN，根据
相似三角形的性质即可判断③，取HB 的中点T，连
接TD，根据题意得出O 在以HB 为直径的圆上运动，
进而得出当O 在TD 上时，DQ 取得最小值，最小值
为DT 的长，勾股定理求得TD 的长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，点E 是正方
形ABCD 的对角线BD 上的点，
∴∠ADE = ∠CDE，AD = CD，DE = DE，
∴△ADE ≅△CDE(SAS)，
∴AE = EC，故①正确；
如图，在FC 上取一点G，使得BG = BE，
∵四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线，
∴∠ADE = 45°，∠BAD = 90°，AD = CD，
∵∠BAE = 15°，
∴∠DAE = 90° -15° = 75°，
∴∠AED = 180° -45° -75° = 60°，
∵△ADE ≅△CDE，
∴∠AED = ∠CED = 60°，∠DAE = ∠DCE = 75°，
∴∠HEB = ∠CED = 60°，∠BCE = ∠BAE = 15°，
∴△GEB 是等边三角形，
∴∠EBG = 60°，EG = BE，
又∵BF = BC，
∴∠F = ∠BCF = 15°，
∴∠FBC = 180° -15° -15° = 150°，
∴∠DBC = 45°，
∴∠FBG = ∠FBC - ∠GBE - ∠CBE = 150° -60° -45°
= 45° = ∠CBE，
∴△FBG ≅△CBE(SAS)，
∴FG = CE，
∴EF = EG + FG = EC + BE = AE + BE，即BE +
AE = EF，故②正确；
如图，连接AC 交BD 于点O，则∠DAO = 45°，过点
A，B 分别作FC 的垂线，垂足分别为K，N，
∵AB = 1，
∴AO = BO =
2
2 AB =
2
2 ，AC =
2AB =
2，
∵∠DAE = 75°，∠DAO = 45°，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·61·
∴∠EAO = 30°，
∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD，
∴EO = AOtan∠EAO =
3
3
×
2
2
=
6
6 ，
∴BE = OB - OE =
2
2
-
6
6 ，
∵∠BCE = 15°，∠ACB = 45°，
∴∠ACK = 30°，
∴AK = 1
2 AC =
2
2 ，
在Rt△BEN 中，BN = sin∠NEB × BE = sin60° × BE
=
3
2
2
2 -
6
6
=
6-
2
4
，
∵AK ⊥FC，BN ⊥FC，
∴KA ⎳BN，
∴△AHK ∽△BHN，
∴AH
HB = AK
BN =
2
2
6-
2
4
=
3 + 1，故③错误；
如图，
∵AB = AH + HB = 1，AH = ( 3 + 1)HB，
∴( 3 + 1)HB + HB = 1，
即HB =
1
3+2 = 2 -
3，
∵点M 是BC 边上一动点，连结HM，将△BHM 沿
HM 翻折，点B 落在点P 处，
∴PQ ⊥HM，
∴∠HQB = 90°，
∴Q 在以HB 为直径的圆上运动，
取HB 的中点T，连接TD，
∴当Q 在TD 上时，DQ 取得最小值，最小值为DT 的
长，
∴BT = 1
2 HB = 1
2 (2 -
3) = 1 -
3
2 ，
∴AT = AB - BT =
3
2 ，
∴TD =
AD2+AT2 =
1+
3
2
2
=
7
2 ，
∴DT - 1
2 HB =
7
2
- 1
2 (2 -
3) =
7+
3-2
2
，故
④正确．
故答案为：①②④．
20．【分析】①在AB 上截取AH = AE，连接EH，
设AE = a，DF =
2a，则AH = AE = a，HE =
2a，∠BHE = ∠EDF = 135°，BH = ED，由此可依
据“SAS”判定△BHE 和△EDF 全等，则BE = FE，
∠HBE = ∠FED，再证明∠FED + ∠AEB = 90° 得
∠BEF = 90°，由此得△BEF 是等腰直角三角形，则
∠BFE = ∠FBE = 45°，进而得sin∠BFE = sin45° =
2
2 ，据此可对结论①进行判断；
②过点B 作BM ⊥BF，交DA 的延长线于点M，证明
△BAM 和△BCG 全等得AM = CG，BM = BG，则
AE + CG = ME，证明∠MBE = FBE = 45°，进而可依
据“SAS”判定△MBE 和△GBE 全等，则ME = EG，
由此得AE + CG = EG，据此可对结论②进行判断；
③过点F 作FN ⊥AD，交AD 的延长线于点N，由(1)
知设AE = a，DF =
2a，则ED = 4 - a，证明
△NDF 是等腰直角三角形得DN = FN = a，进而得
△DEF 的面积S = 1
2 (4 - a) ⋅a =- 1
2 (a - 2)2+ 2，由此
得当a = 2 时，S 为最大，最大值为2，据此可对结论
③进行判断；
④设CG = x，则DG = 4 - x，根据AE = 1
3 AD = 4
3
得DE = 8
3 ，由②知AE + CG = EG = x + 4
3 ，在
Rt△DEG 中，由勾股定理得x+ 4
3
2
=
8
3
2
+ (4 - x)
2，由此解出x = 2 得CG = DG = 2，据此可对结论④
进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①在AB 上截取AH = AE，连接EH，如
图1 所示：
∵AE:DF = 1: 2，
∴设AE = a，DF =
2a，
∵四边形ABCD 是正方形，且边长为4，
∴AB = AD = CB = CD = 4，∠BAD = ∠ADC = ∠C
= ∠ABC = 90°，
∴AH = AE = a，
∴△AHE 是等腰直角三角形，
∴∠AEH = ∠AHE = 45°，
∴∠BHE = 180° -∠AHE = 135°，
由勾股定理得：HE =
AE 2+AH 2 =
2a，
∴HE = DF，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·62·
∵∠CDP = 45°，
∴∠EDF = ∠ADC + ∠CDP = 135°，
∴∠BHE = ∠EDF = 135°，
∵AB = AD，AH = AE，
∴AB - AH = AD - AE，
即BH = ED，
在△BHE 和△EDF 中，
HE=DF
∠BHE=∠EDF
BH=ED
，
△BHE ≅△EDF(SAS)，
∴BE = FE，∠HBE = ∠FED，
∵∠HBE + ∠BEH = 180° -∠BHE = 45°，
∴∠FED + ∠BEH = 45°，
∴∠FED + ∠BEH + ∠AHE = 90°，
即∠FED + ∠AEB = 90°，
∴∠BEF = 180° - (∠FED + ∠AEB) = 90°，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴∠BFE = ∠FBE = 45°，
∴sin∠BFE = sin45° =
2
2 ，
故结论①正确；
②过点B 作BM ⊥BF，交DA 的延长线于点M，如图
2 所示：
∴∠MBF = ∠ABC = 90°，
∴∠MBA + ∠ABF = ∠ABF + ∠GBC，
∴∠MBA = ∠GBC，
∵∠BAD = ∠C = 90°，
∴∠BAM = ∠C = 90°，
在△BAM 和△BCG 中，
∠MBA=∠GBC
AB=CB
∠BAM=∠C=90°
，
∴△BAM ≅△BCG(SAS)，
∴AM = CG，BM = BG，
∴AE + CG = AE + AM = ME，
∵∠ABC = 90°，∠FBE = 45°，
∴∠ABE + ∠GBC = 45°，
∴∠ABE + ∠MBA = 45°，
即∠MBE = 45°，
∴∠MBE = FBE = 45°，
在△MBE 和△GBE 中，
BM=BG
∠MBE=FBE
BE=BE
，
∴△MBE ≅△GBE(SAS)，
∴ME = EG，
∴AE + CG = EG，
故结论②不正确；
③过点F 作FN ⊥AD，交AD 的延长线于点N，如图
3 所示：
由(1) 可知：设AE = a，DF =
2a，
∴ED = AD - AE = 4 - a，
∵∠CDN = ∠ADC = 90°，∠CDP = 45°，
∴∠FDN = ∠CDN - ∠CDP = 45°，
∴△NDF 是等腰直角三角形，
∴DN = FN，
由勾股定理得：DF =
DN 2+FN 2 = √2DN，
∴DN = FN =
2
2 DF =
2
2
×
2a = a，
∴△DEF 的面积S = 1
2 DE ⋅FN = 1
2 (4 - a) ⋅a，
整理得：S =- 1
2 (a - 2)2+ 2，
∴当a = 2 时，S 为最大，最大值为2，
故结论③正确；
④设CG = x，则DG = CD - CG = 4 - x，
∵AE = 1
3 AD = 4
3 ，
∴DE = AD - AE = 4 - 4
3 = 8
3 ，
由②可知：AE + CG = EG，
∴EG = x + 4
3 ，
在Rt△DEG 中，由勾股定理得：EG2= DE 2+ DG2，
∴x+ 4
3
2
=
8
3
2
+ (4 - x)2，
解得：x = 2，
∴CG = 2，
∴DG = 4 - x = 2，
∴CG = DG = 2，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·63·
∴点G 是线段CD 的中点，
故结论④正确，
综上所述：正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④．
21．【分析】根据正方形的性质可得∠COP = 90° =
∠BFP 结合∠CPO = ∠BPF，可得∠OCP = ∠OBE，
故①符合题意；证明△COP ≅△BOE，可得OP =
OE，故②符合题意；当CE = CB 时，CF ⊥BE，可
得EF = BF，∠BFP = 90°，可得BP > BF = EF，故
③不符合题意；如图，取BC 的中点R，连接AF，
RF，可得F 在以R 为圆心，BC 为直径的圆上，当
A，F，R 共线时，AF 最小，再进一步可判断④．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB = BC = CD = AD，∠DAB = ∠ABC = ∠BCD =
∠ADC = 90°，AC ⊥BD，OA = OB = OC = OD，
∵CF ⊥BE，
∴∠COP = 90° = ∠BFP，
∵∠CPO = ∠BPF，
∴∠OCP = ∠OBE，故①符合题意；
∵∠COP = 90° = ∠BOE，OC = OB，
∴△COP ≅△BOE(ASA)，
∴OP = OE，故②符合题意；
当CE = CB 时，CF ⊥BE，
∴EF = BF，∠BFP = 90°，
∴BP > BF = EF，
故③不符合题意；
如图，取BC 的中点R，连接AF，RF，
∵∠CFB = 90°，
∴F 在以R 为圆心，BC 为直径的圆上，
当A，F，R 共线时，AF 最小，
∵AB = BC = 4，
∴RF = RB = 2，
∴AR =
42+22 = 2 5，
∴AF = 2 5 - 2，
∴点A 与点F 之间的距离的最小值为2 5 - 2，
故④符合题意；
故答案为：①②④．
22．【分析】利用翻折的性质，证明EA = EP，即可
判断①；利用AAS 证明ΔBEC ≅ΔDFA，即可判断②；
过点P 作PM ⊥BC 于点M，过点E 作EN ⊥AF 于点
N，设AE = BE = EP = DF = CF = a，然后求出AP，
PF，再计算即可判断③；证明出AQ = PQ，再在
RtΔCDQ 中，利用勾股定理求出AQ，DQ，根据三角
函数定义即可判断④．
【解答】解：∵E 是AB 边的中点，
∴EA = EB，
∵将正方形纸片沿EC 折叠，点B 落在点P 处，
∴EB = EP，
∴EA = EP，
即ΔAEP 为等腰三角形，故①正确；
∵EA = EP，
∴∠EAP = ∠EPA，
∵将正方形纸片沿EC 折叠，点B 落在点P 处，
∴∠BEC = ∠PEC，
∵∠BEP = ∠EAP + ∠EPA，
∴∠BEC = ∠EAP，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠CBE = ∠ADF，AB ⎳CD，BC = AD，
∴∠EAP = ∠DFA，
∴∠BEC = ∠DFA，
∴ΔBEC ≅ΔDFA(AAS)，
∴DF = BE，
∴DF = 1
2 AB = 1
2 CD，
即F 为CD 的中点，故②正确；
过点P 作PM ⊥BC 于点M，过点E 作EN ⊥AF 于点
N，
∵∠BEC = ∠EAP，
∴EC ⎳AF，
∴EN = PM，
设AE = BE = EP = DF = CF = a，则BC = AD = PC
= 2a，
∴EC = AF =
a2+(2a)2 =
5a，
∵SΔPEC = 1
2 EC ⋅PM = 1
2 PE ⋅PC，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·64·
∴PM = PE⋅PC
EC
= a⋅2a
5a = 2 5a
5
，
∴EN = 2 5a
5
，
∴PN =
EP2-EN 2 =
a2- 2 5a
5
2
=
5a
5
，
∴AP = 2PN = 2 5a
5
，
PF = AF - AP =
5a - 2 5a
5
= 3 5a
5
，
∴AP:PF = 2 5a
5
: 3 5a
5
= 2:3，故③正确；
∵∠EAP = ∠EPA，∠EAD = ∠EPQ = 90°，
∴∠QAP = ∠QPA，
∴AQ = PQ，
∵正方形的边长为2a，
∴AD = CD = CP = 2a，QD = 2a - AQ，CQ = 2a +
PQ = 2a + AQ，
在RtΔCDQ 中，
由勾股定理，得CD2+ QD2= CQ2，
即(2a)2+ (2a - AQ)2= (2a + AQ)2，
解得AQ = 1
2 a，
∴DQ = 2a - 1
2 a = 3
2 a，
∴CQ = 2a + 1
2 a = 5
2 a，
∴cos∠DCQ = CD
CQ = 2a
5
2 a
= 4
5 ．故④不正确．
故答案为：①②③．
23．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断出①；
过M 作MK ⊥BC 于点K，证出四边形ADKM 为矩
形，即可通过边的比值关系求出∠MBK = 30°，即可求
出∠ABM 判断②；利用三角形外角和分别求出两个角
的值进行
比较即可判断③；设AP = x，则PD = AD - x，用含
x 的式子分别表达出AM 和AD 的长度后即可判断④；
判定出△BMC ∽△CMN 即可判断⑤．
【解答】解：∵AB = AC，∠BAC = 90°，
∴三角形ABC 为等腰直角三角形，∠ABD = ∠ACD
= 45°，
又∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠BAD = ∠CAD = 1
2 ∠BAC = 1
2 × 90° = 45°，
∴∠ABD = ∠ACD = ∠BAD = ∠CAD = 45°，
∴BD = AD = DC，故①正确；
根据题意作图可得：∠MAC = ∠ABD = 45°，BM =
BC，
过M 作MK ⊥BC 于点K，则∠MKB = 90°，如图：
∵AD 是△ABC 的角平分线，由三线合一可得：AD
⊥BC，即∠ADC = 90°，
∵∠DAM = ∠DAC + ∠MAC = 45° +45° = 90°，
∴∠DAM = ∠MKB = ∠ADC = 90°，
∴四边形ADKM 为矩形，
∴MK = AD = 1
2 BC = 1
2 BM，
∴∠MBK = 30°，
∴∠ABM = ∠ABD - ∠MBK = 45° -30° = 15°，故②正
确；
∵∠APN = ∠ABM + ∠BAD = 15° +45° = 60°，∠ANP
= ∠MBK + ∠DAC = 30° +45° = 75°，
∴∠APN ≠∠ANP，故③错误；
设AP = x，则PD = AD - x，
∵AM ⎳BC，
∴∠AMB = ∠MBC = 30°，
∴tan∠AMB = tan30° = AP
AM =
x
AM =
3
3 ，即AM
=
3x，
tan∠MBC = tan30° = PD
BD = AD-x
AD
=
3
3 ，即AD
= 3x+
3x
2
，
∴AM
AD =
3x
3x+
3x
2
=
3 - 1，故④错误；
添加解法：在Rt△MBC 中，tan∠MBC =
AD
AD+AM
=
3
3 ，
∴(3 -
3)AD =
3AM，
∴AM
AD =
3 - 1，故④错误；
∵∠BMC = ∠BCM = 180°-∠MBC
2
= 180°-30°
2
=
75°，
∵∠MNC = ∠ANP = 75°，
∴∠MNC = ∠BCM，
又∵∠BMC = ∠CMN，
∴△BMC ∽△CMN，
∴MC:MN = MB:MC，
∴MC2= MN ⋅MB，故⑤正确；
综上所述，正确的有：①②⑤；
故答案为：①②⑤．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·65·
24．【分析】①根据等腰三角形的性质判定；
②先根据三角形相似的性质求出对角线的长，再根据
面积等于对角线乘积的一半求出面积；
③根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；
④先根据轴对称确定最小值，再根据勾股定理求解．
【解答】解：①∵MN ⊥BD，要使EM = EN，需要
MP = NP，而P 不一定是MN 的中点，
故①是错误的；
②如图1：延长ME 交BC 于F，
在矩形ABCD 中，BD = 10，
∵ME ⊥AD，MN ⊥BD，
∴∠EMN + ∠DMN = ∠EMN + ∠MED = 90°，
∴∠DMN = ∠MED，
∵∠MFN = ∠A = 90°，
∴ΔMFN ∽ΔDAB，
∴MF
AD = FN
AB = MN
BD ，即：6
8 = FN
6
= MN
10 ，
解得：FN = 4.5，MN = 7.5，
∴四边形MBND 的面积为：1
2 × BD × NM = 1
2 × 10
× 7.5 = 37.5，
故②是正确的；
③∵AB ⎳ME，
∴ΔABD ∽ΔMED，
∴ME
AB = MD
AD = 2
3 ，
∴ME = 4，
∵∠ADB = ∠EMN，∠MPB = ∠A = 90°，
∴ΔMEP ∽ΔDBA，
∴SΔMEP
SΔABD
=
ME
BD
2
= 4
25 ，
∵SΔABD = 24，
∴SΔMPE = 96
25 ，
故③是正确的；
④∵BM + MN + ND = BM + ND + 7.5，
当BM + ND 最小时，BM + MN + ND 的值最小，
作B、D 关于AD、BC 的对称点B′，D′，如图2:
把图2 的CD′ 移到图3 的C′D′，使得CD′ = 4.5，连接
B′D′，
则B′D′ 就是BM + ND 的最小值，
∴B′D′ =
3⋅52+122 = 12.5，
即BM + MN + ND 的最小值是12.5 + 7.5 = 20，
故④是正确的，
故答案为：②③④．
25．【分析】根据将ΔABC 沿MN 折叠，使点B 落在
射线CD 上的点B′ 处，得NB = NB，故CN + NB=
CN + NB = BC，判断①正确；由cos∠BNC = NC
BN
= 1
2 ，得∠BNC = 60°，可得ΔBMN 是等边三角形，
即可得BM = BM = BN = BN，判断②正确；当点N
与C 重合时，可得∠BAC = ∠ABC = 75°，∠ABM
= ∠ABC - ∠MBC = 15°，判断③错误；当AB′ 最短
时，∠ABC = 90°，过M 作KT ⊥BC 于T，交BA 延
长线于K，设BN = BN = x，有x2= (2 - x)2+ ( 3)2，
可求得BN = 7
4 ，设AM = y，则BM = 2 - y = BM，
AK = 1
2 y，KM =
3
2 y，有1+ 1
2 y
2
+
3
2 y
2
= (2
- y)2，可求出AM = 3
5 ，BM = 7
5 ，在RtΔBMT 中，
BT = 1
2 BM = 7
10 ，MT =
3BT = 7 3
10 ，故NT =
BN - BT = 21
20 ，在RtΔMNT 中，MN =
NT2+MT2
= 7 21
20
，判断④正确．
【解答】解：∵将ΔABC 沿MN 折叠，使点B 落在射
线CD 上的点B′ 处，
∴NB = NB，
∴CN + NB= CN + NB = BC，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·66·
∵ΔABC 是等边三角形，AB = 2，
∴BC = 2，
∴CN + NB= BC = 2，故①正确；
∵BN = 2NC，∴BN = 2NC，
∵CD ⊥BC，
∴∠BCN = 90°，
∴cos∠BNC = NC
BN = 1
2 ，
∴∠BNC = 60°，
∴∠BNB= 120°，
∵将ΔABC 沿MN 折叠，使点B 落在射线CD 上的点
B′ 处，
∴∠BNM = ∠MNB= 60°，BM = BM，BN = BN，
∵∠B = 60°，
∴ΔBMN 是等边三角形，
∴BM = BN，
∴BM = BM = BN = BN，
∴四边形BMB′N 为菱形；故②正确；
当点N 与C 重合时，如图：
∵∠ACB = 60°，∠DCB = 90°，
∴∠ACD = 30°，
∵将ΔABC 沿MN 折叠，使点B 落在射线CD 上的点
B′ 处，
∴AC = BC = BC，∠MBC = ∠B = 60°，
∴∠BAC = ∠ABC = (180° -30°) ÷ 2 = 75°，
∴∠ABM = ∠ABC - ∠MBC = 75° -60° = 15°，故③
错误；
当AB′ 最短时，∠ABC = 90°，过M 作KT ⊥BC 于
T，交BA 延长线于K，如图：
∵∠ACB= ∠BCB- ∠BCA = 30°，
∴AB= 1
2 AC = 1，BC =
3AB=
3，∠BAC =
60°，
设BN = BN = x，则CN = 2 - x，
在Rt△BCN 中，BN 2= CN 2+ BC2，
∴x2= (2 - x)2+ ( 3)2，
解得x = 7
4 ，
∴BN = 7
4 ，
∵∠ABC = 90° = ∠BCB，
∴AB⎳BC，
∴KT ⊥AB，
∴∠K = 90°，
∵∠KAM = 180° -∠BAC - ∠BAC = 60°，
∴∠KMA = 30°，
∴AK = 1
2 AM，KM =
3
2 AM，
设AM = y，则BM = 2 - y = BM，AK = 1
2 y，KM
=
3
2 y，
∴BK = AB+ AK = 1 + 1
2 y，
在Rt△BKM 中，BK 2+ KM 2= BM 2，
∴1+ 1
2 y
2
+
3
2 y
2
= (2 - y)2，
解得y = 3
5 ，
∴AM = 3
5 ，BM = 7
5 ，
在RtΔBMT 中，∠B = 60°，
∴BT = 1
2 BM = 7
10 ，MT =
3BT = 7 3
10 ，
∴NT = BN - BT = 7
4 - 7
10 = 21
20 ，
在RtΔMNT 中，
MN =
NT2+MT2 =
21
20
2
+ 7 3
10
2
= 7 21
20
，故
④正确，
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④．
26．【分析】由等腰直角三角形的性质可得出∠ABC
= ∠DBE = 45°，可得出①正确；证明ΔBEA ≅ΔDEF
(SAS)，由全等三角形的性质得出AB = DF，可得出
③正确；由直角三角形的性质可判断②不正确；证明
四边形DFCA 为平行四边形，由平行四边形的性质可
得出DA = CF，则可得出答案．
【解答】解：∵ΔBAC，ΔDEB 都是等腰直角三角形，
∴∠ABC = ∠DBE = 45°，
∴∠ABC - ∠ABE = ∠DBE - ∠ABE，
∴∠EBC = ∠DBA，
故①正确；
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·67·
∵ΔDEB 和ΔAEF 都是等腰直角三角形，
∴BE = DE，AE = EF，∠BED = ∠AEF = 90°，
∴∠BEA = ∠DEF，
∴ΔBEA ≅ΔDEF(SAS)，
∴AB = DF，∠ABE = ∠EDF，∠BAE = ∠DFE．
故③正确；
∵∠BEH = ∠GEF = 90°，
∴∠ABE + ∠BHE = 90°，∠EGF + ∠DFE = 90°，
∵BE > AE，
∴∠ABE ≠∠BAE，
∴∠ABE ≠∠DFE，
∴∠BHE ≠∠EGF；
∵∠BAC = 90°，∠EAF = 45°，
∴∠BAE + ∠FAC = 45°，
又∵∠AFD + ∠EFG = 45°，∠BAE = ∠DFE，
∴∠DFA = ∠FAC，
∴DF ⎳AC，
∵AB = DF，AB = AC，
∴DF = AC，
∴四边形DFCA 为平行四边形，
∴DA = CF．
故④正确．
故答案为：①③④．
27．【分析】由“SAS”可证ΔBAC ≅△AB′E，可得
BC = AE，SΔABC = S△ABE，可求SΔABC = S△BCA，BC
= 2AD，故①②正确；由等腰三角形的性质和三角形
内角和定理可求∠B′BC + ∠CC′B′ = 180°；故③正确；
通过证明平行四边形ACEB是菱形，可得BC⊥
AE，BD = CD，由勾股定理可求BC的长，即可判
断④，即可求解．
【解答】证明：延长AD 至E，使DE = AD，连接
BE，CE，
∵AD 是中线，
∴BD = CD，
∴四边形ACEB是平行四边形，
∴BE ⎳AC，BE = AC，S△B′C′A= 1
2 S▱B′EC′A=
S△AB′E，
∴∠B′AC′ +∠AB′E = 180°，
∵∠BAC + ∠B′AC′ = 180°，
∴∠BAC = ∠AB′E，
∵将AB 绕点A 顺时针旋转α 至AB′，将AC 绕点A 逆
时针旋转β 至AC′，
∴AB = AB，AC = AC= BE，
在ΔBAC 和△AB′E 中，
BA=AB
∠BAC=∠ABE
CA=BE
，
∴ΔBAC ≅△AB′E(SAS)，
∴BC = AE，SΔABC = S△ABE，
∴SΔABC = S△BCA，故①正确；
∵AE = 2AD，
∴BC = 2AD，故②正确；
∵AB = AC，
∴AB= AC= AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB，∠ABB= ∠ABB，∠ACC=
∠ACC，∠ABC= ∠ACB，
∵∠BAC + ∠B′AC′ = 180°，
∴α + β = 180°，∠BCA + ∠ABC = 90°，
∴∠ABB+ ∠ACC = 90°，
∴∠B′BC + ∠CC′B′ = 180°；故③正确；
∵BC = 6，
∴AD = 3，
∵AB= AC= AB = AC = 4，
∴平行四边形ACEB是菱形，
∴BC⊥AE，BD = CD，
∴BD =
BA2-AD2 =
16-9 =
7，
∴BC= 2 7，故④错误，
故答案为：①②③．
28．【分析】记N 到PC 的距离为h，可得SΔNPF
SΔNPC
=
1
2 PF⋅h
1
2 PC⋅h
= PF
PC ，证明ΔPMF ∽ΔPCN，有MF
CN =
PF
PN ，∠PFM = ∠PNC，PF
MF = PN
CN ，同理ΔNCM
∽ΔNPC，有PN
CN = PC
CM ，故PC
CM = PF
MF ，从而判
断①正确；证明M，F，C，N 四点共圆，得∠FNC
= ∠FMC = 90°，可得ΔEFN ∽ΔEBC，EN
EC = FN
BC
= FN
CD ，判断③不正确；证明ΔCME ∽ΔBMC，得
CM 2= BM ⋅EM = 4，CM = 2，(负根舍去)，CE =
5，BC =
42+22 = 2 5 = AB，同理可得：ΔCEF
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·68·
∽ΔABF，有EF
BF = CE
AB =
5
2 5 = 1
2 ，故EF =
1
3 BE = 5
3 ，BF = 10
3 ，FM = BM - BF = 4 - 10
3 =
2
3 ，由ΔPMF ∽ΔBCF，有PM
BC = MF
CF ，而ΔEFN
∽ΔEBC，可得EN = 1
3 EC =
5
3 ，CN = EC - EN
= 2 5
3
，CF =
2CN = 2 10
3
，可得PM =
2，判
断④正确；根据ΔEMN ∽ΔECF，可得
5
3
5
3
= MN
2 10
3
，
MN = 2 2
3
，PN = PM + MN =
2 + 2 2
3
= 5 2
3
，
判断②不正确．
【解答】解：记N 到PC 的距离为h，
∴SΔNPF
SΔNPC
=
1
2 PF⋅h
1
2 PC⋅h
= PF
PC ，
∵CM ⊥BE，四边形ABCD 是正方形，
∴∠CME = 90°，∠PCN = 45°，
∵MN 平分∠CME，
∴∠CMN = ∠EMN = ∠PMF = 45° = ∠PCN，
∵∠MPF = ∠NPC，
∴ΔPMF ∽ΔPCN，
∴MF
CN = PF
PN ，∠PFM = ∠PNC，
∴PF
MF = PN
CN ，
同理可得：ΔNCM ∽ΔNPC，
∴PN
CN = PC
CM ，
∴PC
CM = PF
MF ，
∴PF
PC = MF
CM ，
∴SΔNPF
SΔNPC
= MF
CM ，故①正确；
∵∠PMF = 45° = ∠PCE，
∴∠PCE + ∠FMN = 180°，
∴M，F，C，N 四点共圆，
∴∠FNC = ∠FMC = 90°，
∴FN ⎳BC，
∴ΔEFN ∽ΔEBC，
∴EN
EC = FN
BC = FN
CD ，
∴EN ⋅CD = EC ⋅FN，故③不正确；
∵EM = 1，BM = 4，
∴BE = 5，
∵正方形ABCD，CM ⊥BE，
∴∠BCD = ∠BMC = ∠EMC = 90°，
∴∠MEC + ∠MCE = 90° = ∠MCE + ∠BCM，
∴∠MEC = ∠BCM，
∴ΔCME ∽ΔBMC，
∴CM
BM = ME
CM ，即CM 2= BM ⋅EM = 4，
∴CM = 2，(负根舍去)，
∴CE =
5，BC =
42+22 = 2 5 = AB，
同理可得：ΔCEF ∽ΔABF，
∴EF
BF = CE
AB =
5
2 5 = 1
2 ，
∴EF = 1
2 BF，
∴EF = 1
3 BE = 5
3 ，BF = 10
3 ，
∴FM = BM - BF = 4 - 10
3 = 2
3 ，
∵∠PMF = ∠ACB = 45°，∠PFM = ∠BFC，
∴ΔPMF ∽ΔBCF，
∴PM
BC = MF
CF ，
∵ΔEFN ∽ΔEBC，
∴EN
EC = EF
BE = 1
3 ，
∴EN = 1
3 EC =
5
3 ，
∴CN = EC - EN = 2 5
3
，
∴CF =
2CN = 2 10
3
，
∴PM
2 5 =
2
3
2 10
3
，
∴PM =
2，故④正确；
同理可得：ΔEMN ∽ΔECF，
∴EN
EF = MN
CF ，即
5
3
5
3
= MN
2 10
3
，
∴MN = 2 2
3
，
∴PN = PM + MN =
2 + 2 2
3
= 5 2
3
，
而CM = 2，
∴CM ≠PN，故②不正确；
综上所述：正确的有①④，
故答案为：①④．
29．【分析】由AB = AC = BC，得∠BAC = 60°，因
为AE = AB，AC = AD，∠BAE = ∠CAD = 90°，所
以AE = AD，∠EAD = 120°，则∠AED = ∠ADE =
30°，可判断①正确；由∠CAD = ∠BAE = 90°，推导
出∠CAE = ∠DAB，可证明ΔCAE ≅ΔDAB，得EC =
BD，可判断②正确；设BD 交AE 于点G，交CE 于
点O，可证明∠EOB = 90°，则∠COD = ∠BOC =
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·69·
∠DOE = 90°，可根据勾股定理推导出DE 2+ BC2=
BE 2+ CD2，可求得BE 2= AB2+ AE 2= 18，CD2=
AD2+ AC2= 32，BC2= 36，则DE =
14 ≠2 3，可
判断③错误；当直线l ⊥BC 时，作EF ⎳AD 交直线l
于点F，连接DF，可证明ΔEAF ≅ΔABC，则EF =
AC = AD，所以四边形ADFE 是平行四边形，则M 为
线段DE 的中点，可判断④正确，于是得到问题的答
案．
【解答】解：∵AB = AC = BC，
∴∠BAC = 60°，
∵AE = AB，AC = AD，∠BAE = ∠CAD = 90°，
∴AE = AD，∠EAD = 360 - 60° -90° -90° = 120°，
∴∠AED = ∠ADE = 1
2 × (180° -120°) = 30°，
故①正确；
∵∠CAD = ∠BAE = 90°，
∴∠CAE = ∠DAB = 90° +∠DAE，
∴ΔCAE ≅ΔDAB(SAS)，
∴EC = BD，
故②正确；
如图1，设BD 交AE 于点G，交CE 于点O，
∵∠AEC = ∠ABD，∠OGE = ∠AGB，
∴∠AEC + ∠OGE = ∠ABD + ∠AGB = 90°，
∴∠EOB = 90°，
∴∠COD = ∠BOC = ∠DOE = 90°，
∴DE 2+ BC2= OD2+ OE 2+ OB2+ OC2= BE 2+ CD2，
∵AE = AB = 3，AD = AC = 4，BC = 6，
∴BE 2= AB2+ AE 2= 32+ 32= 18，CD2= AD2+ AC2
= 42+ 42= 32，BC2= 62= 36，
∴DE =
BE 2+CD2-BC2 =
18+32-36 =
14 ≠
2 3，
故③错误；
当直线l ⊥BC 时，如图2，作EF ⎳AD 交直线l 于点
F，连接DF，
∵∠AEF + ∠DAE = 180°，∠BAC + ∠DAE = 180°，
∴∠AEF = ∠BAC，
∵∠ANB = ∠BAE = 90°，
∴∠EAF = ∠ABC = 90° -∠BAN，
∵EA = AB，
∴ΔEAF ≅ΔABC(ASA)，
∴EF = AC = AD，
∴四边形ADFE 是平行四边形，
∴M 为线段DE 的中点，
故④正确，
故答案为：①②④．
30．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断①，根
据角平分线的性质即可判断②，设DM = x，则EM =
8 - x，结合勾股定理和三角形面积公式进行分析求解，
从而判断③，利用锐角三角函数可判断④．
【解答】解：在ΔABC 中，AB = AC，BC = 16，AD
⊥BC，
∴BD = DC = 1
2 BC = 8，故①正确；
如图，过点E 作EF ⊥AB 于点F，EH ⊥AC 于点H，
∵AD ⊥BC，AB = AC，
∴AE 平分∠BAC，
∴EH = EF，
∵BE 是∠ABD 的角平分线，
∵ED ⊥BC，EF ⊥AB，
∴EF = ED，
∴EH = ED = 4，故②错误；
由折叠性质可得：EM = MC，DM + MC = DM + EM
= CD = 8，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·70·
设DM = x，则EM = 8 - x，
RtΔEDM 中，EM 2= DM 2+ DE 2，
∴(8 - x)2= 42+ x2，
解得：x = 3，
∴EM = MC = 5，故③错误；
设AE = a，则AD = AE + ED = 4 + a，BD = 8，
∴AB2= (4 + a)2+ 82，
∵SΔABE
SΔBDE
=
1
2 AB×EF
1
2 BD×ED
=
1
2 AE×BD
1
2 ED×BD
，
∴AE
ED = AB
BD ，
∴a
4 = AB
8 ，
∴AB = 2a，
∴(4 + a)2+ 82= (2a)2，
解得：a = 20
3 或a =-4(舍去)，
∴tanC = AD
DC =
20
3 +4
8
= 4
3 ，
又∵tan∠EMD = ED
DM = 4
3 ，
∴∠C = ∠EMD，
∴EM ⎳AC，故④正确，
解法二：连接CE，由内心可知CE 平分∠ACD，
∴∠GCE = ∠ECD，
由折叠可知CM = EM，
∴∠MEC = ∠ECM，
∴∠MEC = ∠GCE，
∴EM ⎳AC，故④正确，
故答案为：①④．
★类型四：二次函数图像与系数+二次函数性质综合★
1．【分析】先根据函数图象关于y 轴对称，求出x < 0
时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线y = x +
b 的平移，分析直线与函数图象有四个交点时b 的取值
范围．
【解答】解：∵函数图象关于y 轴对称，当0 时，y =
x2- 2x，
∴当-2 时，y = x2+ 2x；当x <-2 时，y =-2x - 4．
画出函数图象：
当0 时，y = x2- 2x = (x - 1)2- 1，这是一个开口向
上，顶点为(1, -1)，与x 轴交点为(0,0)，(2,0) 的抛物
线一部分．
当x > 2 时，y = 2x - 4，是一条k 为2，过(2,0) 的射
线．
根据对称性画出x < 0 时的函数图象．
联立y=x2+2x
y=x+b
(-2 时)，得x2+ x - b = 0，
当△= 1 + 4b = 0，即b =- 1
4 时，直线与y = x2+ 2x(
-2 ≤x < 0) 相切．
当直线过(0,0) 时，b = 0．
结合图象可知，当- 1
4 < b < 0 时，直线y = x + b 与这
个函数图象有且仅有四个不同交点．
故选：A．
2．【分析】根据函数图象结合二次函数的性质，先判
断a，b，c 的符号即可判断①；进而根据对称性得出
另一个交点坐标为(-2,0)，则当x =-3 时，y = 9a -
3b + c < 0，即可判断②；根据b =-2a，2 < c < 3，结
合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得a 的范围进而
根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解
情况即可判断④；根据y1< y3< y2，结合函数图象分
析，即可得出- 1
2 < n < 0，进而判断⑤，即可求解．
【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a
< 0，对称轴为直线x = 1，则- b
2a = 1，
∴b =-2a > 0，
又∵抛物线与y 轴交点坐标是(0,m)，即c = m，
∵2 < m < 3，即c > 0，
∴abc < 0，故①正确；
∵抛物线与x 轴的一个交点坐标是(4,0)，对称轴为直
线x = 1，
∴另一个交点坐标为(-2,0)，
∴当x =-3 时，y = 9a - 3b + c < 0，故②错误；
∵(-2,0)，(4,0) 在抛物线y = ax2+ bx + c 的图象上，
∴4a - 2b + c = 0，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·71·
又∵b =-2a，
∴4a + 4a + c = 0，
∴8a + c = 0 即c =-8a，
∵2 < m < 3，即2 < c < 3，
∴2 <-8a < 3，
∴2 × 9
8 <-8a × 9
8 < 3 × 9
8 即9
4 <-9a < 27
8 ，
当x = 1 时，y 取得最大值，最大值为a + b + c = a -
2a - 8a =-9a，
∴y最大值=-9a，
∴9
4 < y最大值< 27
8 ，故③正确；
∵ax2+ (b - 1)x + c - 2 = 0，b =-2a，c =-8a，
即ax2+ (-2a - 1)x - 8a - 2 = 0，
∵△= (-2a - 1)2+ 4a(8a + 2) = 36a2+ 12a + 1，
对称轴为直线a =-
12
2×36 =- 1
6 ，当a <- 1
6 时，
△的值随a 的增大而减小，
又∵2 <-8a < 3，
∴- 3
8 < a <- 1
4 ，
∴当a =- 1
4 时，△= 1
4 > 0，
∴当- 3
8 < a <- 1
4 时，△> 0 恒成立，即ax2+ (b -
1)x + c - 2 = 0 有两个不相等实根，故④正确；
若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3) 在抛物线y =
ax2+ bx + c 上，且n < x1< n + 1 < x2< n + 2 < x3<
n + 3，
∴2n + 1 < x1+ x2< 2n + 3，2n + 3 < x2+ x3< 2n +
5，2n + 2 < x1+ x3< 2n + 4，
∵y1< y3< y2，
∴x1+x2
2
≤1, x2+x3
2
≥1，x1+x3
2
≤1，
即2n+3
2
≥1，n + 1，
解得：n ≥- 1
2 且n ≤0，
∴- 1
2 ≤n ≤0，故⑤错误；
故正确的有①③④，共3 个．
故选：B．
3．【分析】由二次函数y = ax2+ bx + c 的图象的开口
向下，与y 轴交于正半轴，对称轴在y 轴的右侧，a <
0，b > 0，c > 0，可得①符合题意；
结合当x = 1 时，n = a + b + c 最大，当x = m 时，y
= am2+ bm + c，可得②不符合题意；
由- b
2a = 1，a - b + c > 0，可得3b < 2c，可得③符
合题意；
由PH = tan60° ⋅AH，记A，B 的横坐标分别为x1，
x2，可得n =
3
2
⋅
4a-4c
a
=
3 ⋅
a-c
a
=
3a-3c
a
=-
3a2-3ac
a
，结合n = a + b + c = c -
a，可得a(a - c) = 3，可得④符合题意．
【解答】解：∵二次函数y = ax2+ bx + c 的图象的开口
向下，与y 轴交于正半轴，对称轴在y 轴的右侧，
∴a < 0，b > 0，c > 0，
∴abc < 0，故①符合题意；
∵顶点P 的坐标为(1,n)，
∴当x = 1 时，n = a + b + c 最大，
当x = m 时，y = am2+ bm + c，
∴a + b + c ≥am2+ bm + c，
∴am2+ bm - a - b，故②不符合题意；
∵二次函数y = ax2+ bx + c 的部分图象与x 轴的一个
交点A 位于(-2,0) 和(-1,0) 之间，对称轴为直线x =
1，
∴- b
2a = 1，a - b + c > 0，
∴a =- 1
2 b，- 1
2 b - b + c > 0，
∴3b < 2c，故③符合题意；
如图，△PAB 为等边三角形，
∴PA = AB = PB，PH ⊥AB，HA = HB，∠PAB =
60°，
∴PH = tan60° ⋅AH，
记A，B 的横坐标分别为x1，x2，
∴n =
3(x2- 1) =
3(1 - x1)，
∴2n =
3(x2- x1)，
当y = ax2+ bx + c = 0，则x1+ x2=- b
a = 2，x1x2=
c
a ，
∴x2- x1=
(x1+x2)2-4x1x2 =
4- 4c
a ，
∴n =
3
2
⋅
4a-4c
a
=
3 ⋅
a-c
a
=
3a-3c
a
=
-
3a2-3ac
a
，
∵n = a + b + c = c - a，
∴c - a =-
3a2-3ac
a
，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·72·
∴a(a - c) = 3，
∴n =-
3a(a-c)
a
=- 3
a ，故④符合题意；
故选：D．
4．【分析】根据图象可得：抛物线的开口向下，交y
轴于正半轴，即得a < 0，c > 0，进而可判断b > 0，
即可判断结论①；
当x =-2 时，y < 0，即4a - 2b + c < 0，可判断结论
②；
根据二次函数与x 轴的交点结合二次函数的对称性即可
判断结论③④，可得答案．
【解答】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y
轴于正半轴，
∴a < 0，c > 0，
又∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，x =- b
2a > 0，
∴b > 0，
∴abc < 0，故结论①正确；
由函数的图象可得：当x =-2 时，y < 0，即4a - 2b
+ c < 0，即4a + c < 2b，故结论②错误；
∵二次函数y = ax2+ bx + c 的图象交x 轴于A，B 两
点，点A(-1,0)，点B(n,0)，
∴关于x 的方程ax2+ bx + c = 0 的解是x1=-1，x2=
n - b
2a = -1+n
2
，故结论③④正确；
综上，结论正确的有3 个，
故选：C．
5．【分析】依据题意，由抛物线过点(1,0) 和(m，0)
(2 < m < 3)，则对称轴为直线x = 1+m
2
，结合抛物线
与直线y = kx + c 过(0,c)，且交于A(x1，y1)，B(x2，
y2) 两点(点A 在点B 左侧)，可得x1= 0，进而结合二
次函数的性质逐个判断可以得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线过点(1,0) 和(m，0) (2
< m < 3)，
∴对称轴为直线x = 1+m
2
．
又∵2 < m < 3，
∴1.5 < 1+m
2
< 2．
∴1.5 <- b
2a < 2．
∴3 <- b
a < 4．
∴1
4 <- a
b < 1
3 ．
∴- 3
4 <-1 - a
b <- 2
3 ．
∵a + b + c = 0，
∴c
b =-1 - a
b < 0．
∴bc < 0，故①正确．
∵对称轴是直线x =- b
2a = 1+m
2
，
∴b =-a(1 + m)．
∴3a + b = 3a - a(1 + m) = a[3 - (1 + m)] = a(2 - m)．
∵2 < m < 3，
∴2 - m < 0．
又∵a > 0，
∴3a + b < 0，故②错误．
由题意，第一种情形，若A 为(0,c)，
∵点A 的横坐标为x1= 0，对称轴为直线x = 1+m
2
，
∴对称点A的横坐标为2. 1+m
2
- 0 = 1 + m，
∴两点横向距离为1 + m - 0 = 1 + m，
∵2 < m < 3，
∴3 < 1 + m < 4，即3 < AA< 4．
第二种情形，若B 为(0,c)，
∴AA> 4，故③错误．
由题意，当x2= 4 时，联立方程解得x2= k-b
a
= 4，
∴b = k - 4a．
又∵ax2+ (b - k)x < 0，
∴ax(x - 4) < 0．
又∵a > 0，
∴0 < x < 4，故④正确．
故选：B．
6．【分析】首先由抛物线开口向上得到a > 0，然后
由对称轴得到b > 0，然后由抛物线与y 轴交于负半轴
得到c < 0，即可判断①；由对称轴为直线x =- b
2a =
-2 得到a = 1
4 b，然后将A(2,0) 代入抛物线得到4a +
2b + c = 0，代入得到c =-3b，然后根据-3 < c <-2
得到-3 <-3b <-2，即可判断②；设抛物线对称轴与
x 轴交于点E，将x =-2 代入抛物线得到y =-4b，求
出ED = 4b，然后求出AE = 4，得到tan∠CAD =
DE
AE = 4b
4 = b < 1 得到∠ACD = ∠CAD < 45°，即可
判断③；分别将b = 2
3 和b = 1 代入方程ax2+ (b - 2)x
+ c = 0 整理求出x = 4 ± 2 7 和x =-2 或6，进而求解
即可．
【解答】解∵抛物线开口向上，
∴a > 0，
∵对称轴为直线x =- b
2a =-2，
∴b > 0，
∵抛物线与y 轴交于负半轴，
∴c < 0，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·73·
∴abc < 0，故①错误；
∵对称轴为直线x =- b
2a =-2，
∴a = 1
4 b，
∵A(2,0) 在抛物线上，
∴4a + 2b + c = 0，
∴b + 2b + c = 0，
∴c =-3b，
∵-3 < c <-2，
∴-3 <-3b <-2 3 < b < 1，故②正确；
如图所示，设抛物线对称轴与x 轴交于点E，
将x =-2 代入y = ax2+ bx + c = 4a - 2b + c，
将a = 1
4 bc =-3b 代入得，y =-4b，
∴ED = 4b，
∵2
3 < b < 1，
∵对称轴为直线x =-2，A(2,0)，
∴AE = 4，
∴tan∠CAD = DE
AE = 4b
4 = b < 1，
∴∠CAD < 45°，
∵CD = AD，
∴∠ACD = ∠CAD < 45°，
∴∠ADC > 90°，
∴△ACD 是钝角三角形，故③正确；
∵2
3 < b < 1，
∴当b = 2
3 时，a = 1
4 b = 1
6 ，c =-3b =-2，
∴方程ax2+ (b - 2)x + c = 0 转化为1
6 x2- 4
3 x - 2 =
0，
解得x = 4 ± 2 7，
∴当b = 1 时，a = 1
4 b = 1
4 ，c =-3b =-3，
∴方程ax2+ (b - 2)x + c = 0 转化为1
4 x2- x - 3 = 0，
解得x =-2 或6；
∵方程ax2+ (b - 2)x + c = 0 的两根为x1x2(x1< x2)，
∴-2 < x1< 4 - 2 7，6 < x2< 4 + 2 7，故④正确．
综上所述，其中正确结论有3 个．
故选：C．
7．【分析】依据题意，由抛物线的图象开口向上，图
象与y 轴交于负半轴，及与x 轴交于两点(-1,0)，
(x1，0)，且2 < x1< 3，再结合二次函数的性质，进而
逐个判断即可得解．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a > 0．
∵抛物线与y 轴交于负半轴，
∴当x = 0，则y = c < 0．
又∵抛物线与x 轴交于(-1,0)，(x1，0)，且2 < x1<
3，
∴1 <-1 + x1< 2．
∴1
2 < -1+x1
2
< 1．
∴对称轴是直线x = -1+x1
2
=- b
2a > 0．
∴b < 0．
∴abc > 0，故①正确．
由图象可得，当x = 2 时，y = 4a + 2b + c < 0，
又∵当x =-1 时，y = a - b + c = 0，
∴b = a + c．
∴4a + 2b + c = 4a + 2a + 2c + c = 6a + 3c < 0．
∴2a + c < 0，故②正确．
∵1
2 < -1+x1
2
< 1，且对称轴是直线x = -1+x1
2
=
- b
2a > 0，
∴1
2 <- b
2a < 1．
∵a > 0，
∴a <-b < 2a．
∴2a + b > 0．
∴2a + a + c > 0，即3a + c > 0．
∴4a - b + 2c = 4a - a - c + 2c = 3a + c > 0，故③错
误．
由题意，∵二次函数y = ax2+ bx + c(a ≠0) 的图象与
x 轴交于两点(-1,0)，(x1，0)，
∴y = ax2+ bx + c = a(x + 1) (x - x1)．
∵当x = 0 时，y = c，
∴y =-c 与y = c 关于x 轴对称．
如图所示，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·74·
∴y = ax2+ bx + c = a(x + 1) (x - x1) =-c 时，即a(x
+ 1) (x - x1) + c = 0，结合图象可得m <-1，n > 2，
故④正确．
由题意，∵y =- c
x1
x + c 过(0,c)，(x1，0)，
∴可以作图如下．
∴关于x 的不等式ax2+ bx + c >- c
x1
x + c(a ≠0) 的解
集是二次函数图象在一次函数图象上方的部分对应的
自变量的取值范围．
∴关于x 的不等式ax2+ bx + c >- c
x1
x + c(a ≠0) 的解
集是x < 0 或x > x1，故⑤错误．
综上，正确的有①②④共3 个．
故选：B．
8．【分析】根据题意得到图象开口向上，对称轴直线
为- b
2a = 3-1
2
= 1，a > 0，则b =-2a，当x =-1
时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线y = 5 的
位置关系可判定②；根据题意得到c = 3
2 b，可判定③；
根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解．
【解答】解：二次函数y = ax2+ bx + c 与x 轴交于点A
(3,0)、B(-1,0)，图象开口向上，
∴对称轴直线为- b
2a = 3-1
2
= 1,a > 0，
∴b =-2a，当x =-1 时，y = a - b + c = 0，
∴a - (-2a) + c = 0，即3a + c = 0，
∴c =-3a，
∴a - c = a - (-3a) = 4a > 0，故①正确；
图象开口向上，对称轴直线为x = 1，
∴当x = 1 时，函数有最小值，最小值x 轴的下方，
∴抛物线y = ax2+ bx + c 与直线y = 5 两个不同的交
点，
∴方程ax2+ bx + c - 5 = 0 有两个不相等的实数根，故
②错误；
∵二次函数y = ax2+ bx + c 与y 轴交于点C(0,m)，其
中-4 < m <-3，
∴当x = 0，y = c = m，
∴-4 < c <-3，
∵c =-3a，b =-2a，c = 3
2 b，
∴-4 < 3
2 b <-3 解得，- 8
3 < b <-2 故③正确；
当x = 1 时，函数有最小值，最小值为y = a + b + c <
0，b =-2a，
∴b - a =-2a - a =-3a < 0，
∴a+b+c
b-a
> 0，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，错误的有②，
∴错误的有1 个，
故选：A．
9．【分析】根据题意得到二次函数开口向上，且对称
轴为直线x = a，顶点坐标为(a,a - a2)，再分情况讨
论，当a > 0 时，当a < 0 时，y1，y2的大小情况，即
可解题．
【解答】解：∵二次函数解析式为y = x2- 2ax + a(a ≠
0)，
∴二次函数开口向上，且对称轴为直线x =- -2a
2
=
a，顶点坐标为(a,a - a2)，
当a > 0 时，0 < a
2 < a，
∴a - a2< y1< a，
当a < 0 时，a < a
2 < 0，
∴a - a2< y1< a，
故A、B 错误，不符合题意；
当a > 0 时，0 < a < 2a < 3a，由二次函数对称性可知
点(0,a) 和点(2a,a) 关于对称轴对称，在对称轴右侧，
y 随x 的增大而增大，所以当x = 3a 时，y2> a > 0；
当a < 0 时，3a < 2a < a < 0，由二次函数对称性可知
可知点(0,a) 和点(2a,a) 关于对称轴对称，在对称轴左
侧，y 随x 的增大而减小，所以当x = 3a 时y2> a，可
能大于0 也可能小于0，
故C 正确，符合题意；D 错误，不符合题意；
故选：C．
10．【分析】由a 的正负可确定出抛物线的开口方向，
结合函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵图象经过第一、二、四象限，
∴- b
2a =- 2a-3
2a
> 0，
∴a < 3
2 ，
∴a - 1，△= (2a - 3)2- 4a(a - 1) > 0，
解得1 ≤a < 9
8 ，
∴a 的取值范围为1 ≤a < 9
8 ．
故选：A．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·75·
11．【分析】根据顶点坐标判断b、c 的正负性，由此
判断①；根据开口方向和对称轴判断②；用a 表示b、
c，再解方程判断③；根据平移法则判断④．
【解答】解：∵顶点为(1,2)，
∴- b
2a = 1，
∴b =-2a，
∵a < 0，
∴b > 0，
∵a + b + c = 2，
∴c = 2 - a - b = 2 - a - (-2a) = 2 + a，
∴c 无法判断，故①错误；
∵a < 0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x = 1，
∴当x > 1 时，y 随x 的增大而减小，故②正确；
∵b =-2a，c = 2 + a，
∴y = ax2- 2ax + 2 + a，
∵当x = 3 时，y = 0，
∴0 = 9a - 6a + 2 + a，
∴a =- 1
2 ，故③正确；
∵y = ax2+ bx + c = a(x - 1)2+ 2，
∴将抛物线向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位得
到y = a(x - 1 + 1)2+ 2 - 2 = ax2，故④错误；
故选：B．
12．【分析】根据对称轴为直线x = 1 及图象开口向下
可判断出a、b、c 的符号，从而判断①；
利用4ac - b2 <-1，可判断②；
从图象4a 与y 轴的交点B 在(0, -2) 和(0, -1) 之间可
以判断c 的大小得出③的正误；
由最小值为2 解答即可．
【解答】解：①∵函数图象开口方向向上，
∴a > 0；
∵对称轴在y 轴右侧，
∴a、b 异号，
∴b < 0，
∴抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，
∴c < 0，
∴bc > 0，故①错误；
②∵二次函数y = ax2+ bx + c 的图象与x 轴交于点A
(3,0)，与y 轴交于点B，对称轴为直线x = 1，
∴- b
2a = 1，
∵b =-2a，
∴x =-1 时，y = 0，
∴a - b + c = 0，
∴3a + c = 0，
∴3a + 2c < 0，故②正确；
③∵对称轴为直线x = 1，a > 0，
∴y = a + b + c 最小值，
ax2+ bx + c ≥a + b + c，故③正确；
④∵-2 < c <-1，
∵x1x2= (-1) × 3 =-3 =-3a，
∴c =-3a，
∴-2 <-3a <-1，
∴1
3 < a < 2
3 ，
∵b =-2a，
∴a + b + c = a - 2a - 3a =-4a，
∴- 8
3 < a + b + c <- 4
3 ，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C．
13．【分析】抛物线过点(1,0)，求得求得a + b + c =
0，即可判断①；求得对称轴为直线x =-1，即可求得
b = 2a，由a + b + c = 0，求得c =-3a，则a + 3b + 2c
= a < 0，即可判断②；分AC = AB = 4 和AB = BC =
4 两种情况求得c 的值即可判断③；取点H - 4
3 ，0
，
连接PH，则OH = 4
3 ，可证明ΔHOP ∽ΔPOA，由相
似三角形的性质可得PH = 2
3 PA，则CP + 2
3 AP =
CP + PH，故当C、P、H 共线时，CP + PH 的值最
小，即此时CP + 2
3 AP 的最小，最小值为CH，利用
勾股定理求得CH 即可判断④．
【解答】解：∵抛物线y = ax2+ bx + c(a < 0) 的图象
交x 轴于点B(1,0)，
∴a + b + c = 0，故①正确；
∵抛物线y = ax2+ bx + c(a < 0) 的图象交x 轴于点A(
-3,0)、B(1,0)，
∴- b
2a = -3+1
2
=-1，
∴b = 2a，
∵a + b + c = 0，
∴c =-3a，
∴a + 3b + 2c = a + 6a - 6a = a，
∵a < 0，
∴a + 3b + 2c < 0，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x =-1，
∴AC ≠BC，
∵A(-3,0)、B(1,0)，C(0,c)，
∴AB = 4，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·76·
当AC = AB = 4 时，则AC2= OA2+ OC2，
∴42= 32+ c2，
解得c =
7 或c =- 7(不合题意，舍去)，
当AB = BC = 4 时，BC2= OB2+ OC2，
∴42= 12+ c2，
解得c =
15(负数舍去)，
综上，当以点A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角
形时，c =
7 或c =
15，故③错误；
当c = 3 时，C(0,3)，则OC = 3，
如图所示，取点H - 4
3 ，0
，连接PH，则OH = 4
3 ，
∴OH
OP =
4
3
2 = 2
3 ，
∵OP
OA = 2
3 ，
∴OH
OP = OP
OA ，
∵∠HOP = ∠POA，
∴ΔHOP ∽ΔPOA，
∴PH
PA = OP
OA = 2
3 ，
∴PH = 2
3 PA，
∴CP + 2
3 AP = CP + PH，
当C、P、H 共线时，CP + PH 的值最小，即此时
CP + 2
3 AP 的最小，最小值为CH，
在RtΔCHO 中，CH =
OH 2+OC2 =
4
3
2
+32 =
97
3
，故④正确；
故选：C．
14．【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴
位置、与x 轴的交点坐标、根与系数的关系等知识，逐
个判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a > 0，
∵对称轴为直线x =-1 < 0，a、b 同号，
∴b > 0，
∵与y 轴的交点B 在(0, -2) 和(0, -3) 之间，
∴-3 < c <-2 < 0，
∴abc < 0，
故①不正确；
∵对称轴为直线x =-1，且该抛物线与x 轴交于点A(1,
0)，
∴与x 轴交于另一点(-3,0)，
∵x =-3，y = 9a - 3b + c = 0，
故②不正确；
由题意可得，方程ax2+ bx + c = 0 的两个根为x1= 1，
x2=-3，
又∵x1⋅x2= c
a ，即c =-3a，
∵-3 < c <-2，
∴-3 <-3a <-2，
因此2
3 < a < 1，
故③正确；
若方程ax2+ bx + c = x + 1 两根为m，n(m < n)，则
直线y = x + 1 与抛物线的交点的横坐标为m，n，
∵直线y = x + 1 过一、二、三象限，且过点(-1,0)，
∴直线y = x + 1 与抛物线的交点在第一、第三象限，
由图象可知-3 < m < 1 < n．
故④正确；
综上所述，正确的结论有③④，
故选：B．
15．【分析】根据题干条件逐一判断每一个小选项即
可．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，-1 < x1< 0，2 <
x2< 3，
∴当x =-1 时，y = a - b + c > 0，
故①不符合题意；
②∵抛物线y = ax2+ bx + c 过点C(0, -2)，
∴函数的最小值y <-2，
∴ax2+ bx + c =-2 有两个不相等的实数根；
∴方程ax2+ bx + c + 2 = 0 有两个不相等的实数根；
故②符合题意；
③∴-1 < x1< 0，2 < x2< 3，
∴抛物线的对称轴为直线x =- b
2a ，且1
2 <- b
2a <
3
2 ，且1 <- b
a < 3，而a > 0，
∴-3a < b <-a，
∴a + b < 0，
故③不符合题意；
④∵抛物线y = ax2+ bx + c 过点C(0, -2)，
∴c =-2，
∵x =-1 时，y = a - b + c > 0，即3a - 3b + 3c > 0，
当x = 3 时，y = 9a + 3b + c > 0，
∴12a + 4c > 0，
∴12a > 8，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·77·
∴a > 2
3 ，
故④符合题意；
⑤：-1 < x1< 0，2 < x2< 3，
∴x2- x1> 2，
由根与系数的关系可得：x1+ x2=- b
a ，x1x2= c
a ，
∴b2-4ac
4a2
= 1
4 × - b
a
2
- c
a = 1
4 (x1+ x2)2- x1x2=
1
4 [(x1+ x2)2- 4x1x2] = 1
4 (x1- x2)2> 1
4 × 4 = 1，
∴b2-4ac
4a2
> 1，
∴b2- 4ac > 4a2，
故⑤符合题意；
综上，②④⑤正确，符合题意，正确个数有三个．
故选：C．
16．【分析】根据图像信息一一判断即可．
【解答】解：由图象可知：a < 0，b > 0，c > 0，
∴abc < 0，故①正确，
∵x =-1 时，y = 0，
∴a - b + c = 0，
∴a + c = b，故②正确，
∵函数图象经过点(-1,0)，对称轴为直线x = 2，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为(5,0)，
∴多项式ax2+ bx + c 可因式分解为a(x + 1) ⋅(x - 5)，
故③错误，
∵抛物线的解析式为y = a(x + 1) (x - 5) = a(x2- 4x -
5)，
∴抛物线的顶点坐标为(2, -9a)，
观察图象可知当m >-9a 时，关于x 的方程ax2+ bx +
c = m 无实数根，故④正确．
故选：C．
17．【分析】根据二次函数图象的性质、二次函数图
象与系数的关系以及与x 轴交点问题逐项分析判断即
可．
【解答】解：∵二次函数开口方向向下，与y 轴交于正
半轴，
∴a < 0，c > 0，
∵- b
2a < 0，
∴b < 0，
∴abc > 0，故①错误；
∵对称轴是直线x =- 1
2 ，点(-1,y1) 和点(2,y2) 都在抛
物线上，
又∵- 1
2 - (-1) =- 1
2 + 1 = 1
2 < 2 - - 1
2
= 2 1
2 ，
∴y1> y2，故②错误；
∵当x = m 时，y = am2+ bm + c，当x =- 1
2 时，函
数取最大值1
4 a - 1
2 b + c，
∴对于任意实数m 有：am2+ bm + c ≤1
4 a - 1
2 b + c，
∴am2+ bm ≤1
4 a - 1
2 b，故③正确；
∵- b
2a =- 1
2 ，
∴b = a，
∵当x =- 3
2 时，y = 0，
∴9
4 a - 3
2 b + c = 0，
∴9a - 6b + 4c = 0，即3a + 4c = 0，故④正确；
故选：B．
18．【分析】依据题意，由抛物线图象与性质，即可
逐个判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，
∴a < 0．
又抛物线的对称轴是直线x =- b
2a =-1，
∴b = 2a < 0．
又抛物线交y 轴正半轴，
∴当x = 0 时，y = c > 0．
∴b
c < 0，故①错误．
由题意，当x =-1 时，y 取最大值为y = a - b + c，
∴对于抛物线上任意的点对应的函数值都≤a - b + c．
∴对于任意实数m，当x = m 时，y = am2+ bm + c ≤
a - b + c．
∴am2+ bm，故②正确．
由图象可得，当x = 1 时，y = a + b + c < 0，
又b = 2a，
∴3a + c < 0 < 1，故③正确．
由题意∵抛物线为y = ax2+ bx + c，
∴x1+ x2=- b
a =- 2a
a =-2 >-3，故④错误．
综上，正确的有②③共2 个．
故选：B．
19．【分析】依据题意，由ax2+ bx + c = 0 有两实根
x1=-1，x2= 3，可得a-b+c=0①
9a+3b+c=0②
，从而可得8a
+ 4b = 0，即2a + b = 0，故可判断①；又抛物线y =
ax2+ bx + c 的对称轴是直线x =- b
2a =- -2a
2a
= 1，
进而抛物线y = ax2+ bx + c 的顶点为(1,a + b + c)，再
结合a =- c
3 ，b =-2a = 2
3 c，可得a + b + c = 4
3 c，
故可判断②；依据题意可得c =-3a，又b =-2a，abc
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·78·
> 0，进而可得abc = a ⋅(-2a) ⋅(-3a) = 6a3> 0，从而
可以判断③；由m(am + b) < 4a + 2b，故am2+ bm +
c < 4a + 2b + c，即对于函数y = ax2+ bx + c，当x =
m 时的函数值小于当x = 2 时的函数值，再结合a > 0，
抛物线的对称轴是直线x = 1，从而根据二次函数的性
质即可判断④．
【解答】解：由题意，∵ax2+ bx + c = 0 有两实根x1=
-1，x2= 3，
∴a-b+c=0①
9a+3b+c=0②
．
∴②- ①得，8a + 4b = 0．
∴2a + b = 0，故①正确．
∴b =-2a．
∴抛物线y = ax2+ bx + c 的对称轴是直线x =- b
2a =
- -2a
2a
= 1．
∴抛物线y = ax2+ bx + c 的顶点为(1,a + b + c)．
又b =-2a，a - b + c = 0，
∴3a + c = 0，即a =- c
3 ．
∴b =-2a = 2
3 c．
∴a + b + c = 4
3 c．
∴顶点坐标为1, 4
3 c
，故②正确．
∵3a + c = 0，
∴c =-3a．
又b =-2a，abc > 0，
∴abc = a ⋅(-2a) ⋅(-3a) = 6a3> 0．
∴a > 0，故③错误．
∵m(am + b) < 4a + 2b，
∴am2+ bm + c < 4a + 2b + c．
∴对于函数y = ax2+ bx + c，当x = m 时的函数值小于
当x = 2 时的函数值．
∵a > 0，抛物线的对称轴是直线x = 1，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
∴|m - 1| < 2 - 1．
∴-1 < m - 1 < 1．
∴0 < m < 2，故④错误．
综上，正确的有①②共2 个．
故选：B．
20．【分析】根据对称轴位置即可判断①；由二次函
数y = ax2+ bx + 2(a ≠0) 的图象与x 轴交于(-1,0) 即
可判断②；求得对称轴，利用二次函数的性质即可判
断③；利用根与系数的关系即可判断④；由2 < x1< 3
得到关于b 的不等式组，解不等式组求得b 的取值范围
即可判断⑤．
【解答】解：由图象可知，- b
2a > 0，
∴ab < 0，故结论①错误；
∵二次函数y = ax2+ bx + 2(a ≠0) 的图象与x 轴交于(
-1,0)，
∴a - b + 2 = 0，即a - b =-2，故结论②正确；
∵二次函数y = ax2+ bx + 2(a ≠0) 的图象与x 轴交于(
-1,0)，(x1，0)，其中2 < x1< 3，
∴1
2 <- b
2a < 1，
∵抛物线开口向下，
∴当x > 1 时，y 随x 的增大而减小，故结论③正确；
∵二次函数y = ax2+ bx + 2(a ≠0) 的图象与x 轴交于(
-1,0)，(x1，0)，
∴-1，x1是方程ax2+ bx + 2 = 0 的两个根，
∴-1 ⋅x1= 2
a ，
∴x1=- 2
a ，
∴关于x 的一元二次方程ax2+ bx + 2 = 0(a ≠0) 的另
一个根是- 2
a ，故结论④正确；
∵a - b + 2 = 0，
∴a = b - 2，
∴y = (b - 2)x2+ bx + 2，
∵2 < x1< 3，
∴4(b-2)+2b+2>0
9(b-2)+3b+2<0
，
解得1 < b < 4
3 ，故结论⑤正确．
故选：C．
21．【分析】①二次函数y =- 1
2 x2+ bx 与y = 1
2 x2-
bx 的图象均过点A(4,0) 和坐标原点O，P 为线段OA
的中点，得出P(2,0)，两个函数的对称轴均为直线x
= 2，x =-
b
2× - 1
2
= 2，解得：b = 2，故①正确；
②过点B 作BD ⊥x 交x 轴于点D，过点C 作CE ⊥x
交x 轴于点E，证明△CEP ≅△BDP(ASA)，得出PB
= PC，故②正确；③当点B、C 分别在两个函数的顶
点上时，BC ⊥OA，点B、C 的横坐标均为2，根据
BC = OA，BC ⊥OA，得出此时以O，A，B，C 为
顶点的四边形为正方形，故③正确；④作点B 关于y
轴的对称点B′，连接B′C 交y 轴于点Q，此时△BCQ
周长的最小，最小值为BQ + CQ + BC = B′Q + CQ +
BC = B′C + BC，BC =
(3-1)2+ - 3
2 - 3
2
2
=
13，BC =
(-1-3)2+
3
2 + 3
2
2
= 5，得出△BCQ
周长的最小值为BC + BC = 5 +
13，故④正确．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·79·
【解答】解：①∵二次函数y =- 1
2 x2+ bx 与y = 1
2 x2
- bx 的图象均过点A(4,0) 和坐标原点O，P 为线段
OA 的中点，
∴P(2,0)，两个函数的对称轴均为直线x = 2，
∴x =-
b
2× - 1
2
= 2，解得：b = 2，故①正确；
②如图，过点B 作BD ⊥x 交x 轴于点D，过点C 作
CE ⊥x 交x 轴于点E，
∴∠CEP = ∠BDP = 90°，
由函数的对称性可知PE = DP，
在△CEP 和△BDP 中，
∠CEP=∠BDP
EP=DP
∠EPC=∠DPB
，
∴△CEP ≅△BDP(ASA)，
∴PB = PC，故②正确；
③当点B、C 分别在两个函数的顶点上时，BC ⊥
OA，点B、C 的横坐标均为2，
由①可知两个函数的解析式分别为y =- 1
2 x2+ 2x，y
= 1
2 x2- 2x，
∴B(2,2)，C(2, -2)，
∴BC = 2 - (-2) = 4，
∵点A(4,0)，
∴OA = 4，
∴BC = OA，
由∵BC ⊥OA，
∴此时以O，A，B，C 为顶点的四边形为正方形，故
③正确；
④作点B 关于y 轴的对称点B′，连接B′C 交y 轴于点
Q，此时△BCQ 周长的最小，最小值为BQ + CQ +
BC = B′Q + CQ + BC = B′C + BC，
∵点B 的横坐标为1，
∴B 1, 3
2
，点C 的横坐标为3，
∴B-1, 3
2
，C 3,- 3
2
，
∴BC =
(3-1)2+ - 3
2 - 3
2
2
=
13，BC =
(-1-3)2+
3
2 + 3
2
2
= 5，
∴△BCQ 周长的最小值为BC + BC = 5 +
13，故④
正确；
故选：D．
22．【分析】根据题意得到抛物线的解析式为y = ax2
+ 2ax - 3a，即可得到b = 2a，c =-3a，代入即可判
断①；根据-3 <-3a <-2 判断②；把b = 2a 代入ax2
1
- bx1= ax2
2- bx2，然后利用因式分解法解方程即可判
断③；然后把b = 2a，c =-3a 代入解方程求出m 的值
判断④．
【解答】解：设抛物线的解析式为：y = a(x + 3) (x -
1) = ax2+ 2ax - 3a，
∴b = 2a，c =-3a，
∴abc2= a ⋅2a ⋅(-3a)2= 18a4> 0，故①正确；
∵点C 的纵坐标在-3~ -2 之间，
∴-3 <-3a <-2，即4
3 < 2a < 2，
∴4
3 < b < 2，故②正确；
∵ax2
1 - bx1= ax2
2- bx2，
∴ax2
1 - 2ax1= ax2
2- 2ax2，即x2
1 - 2x1- x2
2+ 2x2= 0，
∴(x1+ x2- 2) (x1- x2) = 0，
又∵x1≠x2，
∴x1+ x2= 2，故③错误；
∵令y 相等，则- 5
6 cx + c = ax2+ bx + c，
∴5
2 ax - 3a = ax2+ 2ax - 3a，解得x1= 0(舍)，x1=
1
2 ，
∴m = 1
2 ，故④正确；
故选：A．
23．【分析】根据二次函数开口方向，与x 轴的交点，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·80·
与y 轴的交点，对称轴，以及函数图象逐一判断各选
项，即可得到结果．
【解答】解：∵抛物线y = ax2- 4ax + 1(a 是常数，且
a > 0)，
当x = 0 时，y = 1，
∴抛物线与y 轴的交点是(0,1)，
故结论①正确，此结论符合题意；
∵抛物线的对称轴为x =- -4a
2a
= 2，
故结论②错误，此结论不符合题意；
∵点A(x1，y1)，B(x2，y2) 是抛物线上的两个点，y1
= y2= 1，
∴A、B 两点关于对称轴对称，
∴x1+x2
2
= 2，
∴|x1+x2| = 4，
∴AB = 4，
故结论③正确，此结论符合题意；
∵抛物线y = ax2- 4ax + 1(a 是常数，且a > 0)，
∴抛物线的开口向上，
∴在对称轴的右侧的函数图象，y 随x 的增大而增大，
∵x1> x2> 2，
∴A，B 两点位于对称轴的右侧，
∴y1> y2，
故结论④错误，此结论不符合题意；
∵当0 时，y 随x 的增大而减小，
∴当x = 0 时，y 有最大值，最大值为1，
故结论⑤正确，此结论符合题意；
综上所述，正确的结论为①③⑤，
故选：C．
24．【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c 的正
负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．
【解答】解：根据所给函数图象可知，
a > 0，b > 0，c < 0，
所以abc < 0，
故①错误．
因为抛物线y = ax2+ bx 的图象可由抛物线y = ax2+
bx + c 的图象沿y 轴向上平移|c| 个单位长度得到，
所以抛物线y = ax2+ bx 的增减性与抛物线y = ax2+
bx + c 的增减性一致．
则当x <-1 时，y 随x 的增大而减小，
又x1< x2，且x1+ x2<-2，
若x2<-1，
则E，F 两点都在对称轴的左侧，
此时y1> y2．
故②错误．
作点C 关于x 轴的对称点C′，连接C′D 与x 轴交于点
P，连接PC，
此时PC + PD 的值最小．
将A(-3,0) 代入二次函数解析式得，
9a - 3b + c = 0，
又- b
2a =-1，
即b = 2a，
所以9a - 6a + c = 0，
则c =-3a．
又抛物线与y 轴的交点坐标为C(0,c)，
则点C 坐标为(0, -3a)，
所以点C′ 坐标为(0,3a)．
又当x =-1 时，y =-4a，
即D(-1, -4a)．
设直线C′D 的函数表达式为y = kx + 3a，
将点D 坐标代入得，
-k + 3a =-4a，
则k = 7a，
所以直线C′D 的函数表达式为y = 7ax + 3a．
将y = 0 代入得，
x =- 3
7 ．
所以点P 的坐标为- 3
7 ，0
．
故③正确．
将方程ax2+ b(x - 2) + c =-4 整理得，
ax2+ bx + c = 2b - 4，
因为方程没有实数根，
所以抛物线y = ax2+ bx + c 与直线y = 2b - 4 没有公共
点，
所以2b - 4 <-4a，
则2b - 4 <-2b，
解得b < 1，
又b > 0，
所以0 < b < 1．
故④错误．
所以正确的有③．
故选：A．
25．【分析】①②通过观察函数图象判断即可；
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·81·
③写出点P 所在的函数，并画出其图象，根据它们交
点的个数判断即可；
④通过观察函数图象判断即可．
【解答】解：①当y > 0 时，-3 < x <-1 或x > 3，
∴①不正确．
②由图象可知，当x >-3 时，y 有最小值，
∴②正确．
③令x = m，y =-m - 1，
∴y =-x - 1，
∴点P(m, -m - 1) 在直线y =-x - 1 上．
y =-x - 1 的函数图象为：
由图象可以看出，它们有三个交点，
∴符合要求的点P 有3 个，
∴③不正确．
④将函数y 的图象向右平移1 个单位长度时，原图象上
坐标为(-1,0) 的点过原点；
将函数y 的图象向右平移3 个单位长度时，原图象上坐
标为(-3,0) 的点过原点；
∴④正确．
综上，只有②④正确．
故选：C．
26．【分析】根据已知条件列不等式即可得到结论．
【解答】解：∵a < 0，
∴y =-3a > 0，
∵A(m,y1) 和B(2m,y2) 两点都在直线y =-3a 的上方，
且y1> y2，
∴4am2- 8am >-3a，
∴4m2- 8m + 3 < 0，
∴1
2 < m < 3
2 ①，
∵二次函数y = ax2- 4ax(a 是常数，a < 0) 的图象上
有A(m,y1) 和B(2m,y2) 两点．
∴am2- 4am > 4am2- 8am，
∴3am2< 4am，
∵a < 0，m > 0，
∴am < 0，
∴m > 4
3 ②，
由①②得4
3 < m < 3
2 ．
故选：C．
27．【分析】在同一平面直角坐标系中画出两个函数
的图象，根据图象解答即可．
【解答】解：两函数图象如图所示：
根据题意，两函数另一个交点的横坐标为-1，
由图象可知，当0 < t < 1 时，p - m < 0，q - n > 0，
∴(p - m) (q - n) < 0，
当-3 < t <-2 时，p - m > 0，q - n < 0，
∴(p - m) (q - n) < 0，
∴当p - m 与q - n 的积为负数时，t 的取值范围是-3
< t <-2 或0 < t < 1．
故选：D．
28．【分析】先求出二次函数与y 轴的交点和对称轴，
然后分a > 0 和a < 0 讨论得出a 的取值范围．
【解答】解：令x = 0，则y = 3，
∴二次函数与y 轴的交点坐标为(0,3)，
二次函数的对称轴是：x =- -2a
2a
= 1，
当a > 0，△< 0 时，满足当0 < x < 3 时对应的函数值
y 均为正数，
∴△= (-2a)2- 4 ⋅a × 3 < 0，
解得：a < 3，
∴0 < a < 3；
当a < 0 时，令x = 3，则9a - 6a + 3，
解得：a，
∴-1，
综上，a 的取值范围为-1 或0 < a < 3．
故选：D．
29．【分析】由抛物线y =-x2+ kx + k - 5
4 与x 轴有
交点，可得k2+ 4 k- 5
4
，故k 或k；分两种情况：①
当k 时，可得- (-2)2- 2k + k - 5
4 ，②当k 时，- (
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·82·
-2)2- 2k + k - 5
4 ，分别解不等式可得答案．
【解答】解：∵抛物线y =-x2+ kx + k - 5
4 与x 轴有
交点，
∴△≥0，即k2+ 4 k- 5
4
，
∴k2+ 4k - 5，
解得：k 或k；
抛物线y =-x2+ kx + k - 5
4 对称轴为直线x = k
2 ，
①当k 时，抛物线对称轴在直线x =-2 左侧，此时抛
物线y =-x2+ kx + k - 5
4 与x 轴的一个交点为A(m,
0)，-2，如图：
∴- (-2)2- 2k + k - 5
4 ，
解得：k ≤- 21
4 ，
∴k ≤- 21
4 ；
②当k 时，抛物线对称轴在直线x = 1
2 右侧，此时抛
物线y =-x2+ kx + k - 5
4 与x 轴的一个交点为A(m,
0)，-2，如图：
∴- (-2)2- 2k + k - 5
4 ，
解得：k ≥- 21
4 ，
∴k；
综上所述，k ≤- 21
4 或k；
故选：B．
30．【分析】根据图像判断系数之间的关系，从图象
获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进
行判断即可．
【解答】解：由图象可知，抛物线的开口向下，与y 轴
交于正半轴，
∴a < 0，c > 0，
∵对称轴为直线x =- b
2a = 2，
∴b =-4a > 0，
∴bc > 0，4a + b = 0，故选项A，B 正确，不符合题
意；
∵ax2
1 + bx1= ax2
2+ bx2且x1≠x2，
∴ax2
1 + bx1+ c = ax2
2+ bx2+ c，
∴x = x1和x = x2关于对称轴直线x = 2 对称，
∴x1+ x2= 4，故选项C 正确；不符合题意；
∵抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
若(-1,y1)，(3,y2) 两点都在抛物线y = ax2+ bx + c 的
图象上，
∵| -1 - 2| > |3 - 2|，
∴y1< y2，故选项D 错误，符合题意；
故选：D．
二．填空题(共10 小题)
31．【分析】根据开口方向，对称轴，与y 轴的交点位
置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点O 关于对
称轴的对称点O，连接OA，OA 的长即为OP + AP
的最小值，勾股定理求出OA 的长，判断③，对称性
结合增减性，判断④即可．
【解答】解：由图象和题意可知：a > 0，- b
2a =-1，
当x = 0 时，y = c = 2，
∴b = 2a > 0，
∴2a - b = 0，abc > 0；故①错误，
当x =-1 时，函数取得最小值为：a - b + c，
∴对于任意实数m，am2 + bm + c + a ≥a - b + c + a
= 2a - b + c = c = 2，
∴am2+ bm + c + a 的值不小于2，故②正确；
作点O 关于对称轴的对称点O，连接OA，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·83·
则：O(-2,0)，
∴当点P 在OA 上时，OP + AP 的值最小为OA 的
长，
∵A(0,2)，
∴OA =
22+22 = 2 2，
∴OP + AP 的最小值为2 2，故③正确；
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点(x1，y1)，(x2，y2) 在抛物线上，满足x1< x2且
x1+ x2+ 2 > 0，
∴x1+x2
2
>-1，
∴点(x2，y2) 离对称轴远，
∴y1< y2，故④正确；
故答案为：②③④．
32．【分析】通过对称轴可判断①；(-1,1)，(m,1) 两
点之间的距离大于1，所以若0 < x < 1，则a(x - 1)2+
b(x - 1) + c > 1，判断②正确；根据抛物线的最大值判
断③；根据点A 和点B 离对称轴的距离判断④．
【解答】解：∵y = ax2+ bx + c(a，b，c 是常数，a <
0) 经过(-1,1)，(m,1) 两点，且0 < m < 1，
∴对称轴为直线x =- b
2a = -1+m
2
，
∴- 1
2 < -1+m
2
< 0，
∴x =- b
2a < 0，
∵a < 0，
∴b < 0，故①错误；
∵0 < m < 1，
∴m - (-1) > 1，即(-1,1)，(m,1) 两点之间的距离大
于1，
又∵a < 0，
∴x = m - 1 时，y > 1，
∴若0 < x < 1，则a(x - 1)2+ b(x - 1) + c > 1，故②正
确；
由①可得- 1
2 < -1+m
2
< 0，
∴- 1
2 < b
2 < 0，即-1 < b < 0，
当a =-1 时，抛物线解析式为y =-x2+ bx + c，
设顶点纵坐标为t = 4ac-b2
4a
= -4c-b2
-4
，
∵抛物线y =-x2+ bx + c(a，b，c 是常数，a < 0) 经
过(-1,1)，
∴-1 - b + c = 1，
∴c = b + 2，
∴t = -4c-b2
-4
= b2+4c
4
= 1
4 b2+ c = 1
4 b2+ b + 2 = 1
4
(b + 2)2+ 1，
∵-1 < b < 0，1
4 > 0，对称轴为直线b =-2，
∴当b = 0 时，t 取得最大值为2，而b < 0，
∴关于x 的一元二次方程ax2+ bx + c = 2 无解，故③
正确；
∵a < 0，抛物线开口向下，点A(x1，y1)，B(x2，y2)
在抛物线上，x1+ x2>- 1
2 ，x1> x2，总有y1< y2，
又x = x1+x2
2
>- 1
4 ，
∴点A(x1，y1) 离x = -1+m
2
较远，
∴对称轴- 1
2 < -1+m
2
≤- 1
4 ，
解得：0 < m ≤1
2 ，故④正确；
故答案为：②③④．
33．【分析】利用待定系数法求出a、b、c 的值即可
判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数
的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图
象可判断⑤．
【解答】解：把(-4,0)，(-1,9)，(1,5) 代入y = ax2+
bx + c 得：
16a-4b+c=0
a-b+c=9
a+b+c=5
，
解得
a=-1
b=-2,
c=8
∴abc > 0，
故①正确；
∵a =-1，b =-2，c = 8，
∴y =-x2- 2x + 8，
当y = 9 时，-x2- 2x + 8 = 9，
∴x2+ 2x + 1 = 0，
∵△= 22- 4 × 1 × 1 = 0，
∴关于x 的一元二次方程ax2+ bx + c = 9 有两个相等
的实数根，
故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x = -3+1
2
=-1，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·84·
∴抛物线的顶点坐标为(-1,9)，
又∵a < 0，
∴当x <-1 时，y 随x 的增大而增大；当x >-1 时，
y 随x 的增大而减小；当x =-1 时，函数取最大值9，
∵x =-3 与x = 1 时函数值相等，等于5，
∴当-4 < x < 1 时，y 的取值范围为0 < y，
故③错误；
∵m+(-m-2)
2
=-1，
∴点(m,y1)，(-m - 2,y2) 关于对称轴x =-1 对称，
∴y1= y2，
故④正确；
由ax2+ (b + 1)x + c < 2
得ax2+ bx + c <-x + 2，
即-x2- 2x + 8 <-x + 2，画函数
y =-x2- 2x + 8
和y =-x + 2 图象如下：
由y=-x+2
y=-x2-2x+8
，
解得x1=2
y1=0
，x2=-3
y2=5
，
∴A(2,0)，B(-3,5)，
由图象可得，当x <-3 或x > 2 时，-x2- 2x + 8 <
-x + 2，即ax2+ (b + 1)x + c < 2，
故⑤错误；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：①②④．
34．【分析】解析式联立解方程即可判断①；由抛物
线C1:y = x2+ mx + m 与抛物线C2:y = x2+ nx + n 的
开口方向和大小相同，且AB = CD，则两抛物线的关
于直线x =-1 对称，即可判断②④；由题意可知，m
> 1，n < 1 或m < 1，n > 1，故mn > 0 不一定成立，
即可判断③．
【解答】解：令x2+ mx + m = x2+ nx + n，解得x =
-1，
把x =-1 代入y = x2+ mx + m 得，y = 1，
∴C1与C2交点为(-1,1)，故①正确；
∵抛物线C1:y = x2+ mx + m 与抛物线C2:y = x2+ nx
+ n 的开口方向和大小相同，且AB = CD，
∴两抛物线沿直线x =-1 对折能够重合，
∴两抛物线的关于直线x =-1 对称，
∴A，D 两点关于(-1,0) 对称，故④正确；
- m
2 - n
2 =-2，
∴m + n = 4，故②正确；
∵抛物线C1:y = x2+ mx + m 的对称轴为直线x =
- m
2 ，抛物线C2:y = x2+ nx + n 的对称轴为直线x =
- n
2 ，C1与C2交点为(-1,1)，
∴m > 2，n < 2 或m < 2，n > 2，
∴mn > 0 不一定成立，故③错误．
故答案为：①②④．
35．【分析】依据题意，利用抛物线的顶点坐标和开
口方向即可判断①；利用抛物线的对称轴求出a =
3
2 b，根据图象可得当x = 1 时，y = a + b + c < 0，即
可判断②；利用二次函数的性质即可判断③；根据抛
物线与直线y = 4 无交点即可判断④．
【解答】解：∵抛物线y = ax2+ bx + c 的顶点A 的坐标
为- 1
3 ，n
，
∴- b
2a =- 1
3 ．
∴a = 3
2 b，
∵抛物线开口方向向下，即a < 0，
∴b < 0，
当x = 0 时，y = c > 0，
∴abc > 0，故①正确．
由图象可得：当x = 1 时，y = a + b + c < 0，
∴5b + 2c < 0，故②正确．
∵直线x =- 1
3 是抛物线的对称轴，
∴点(-6,y1) 到对称轴的距离大于点(5,y2) 到对称轴的
距离，
∴y1< y2，故③错误．
∵关于x 的一元二次方程ax2+ bx + c = 4 无实数根，
∴顶点A - 1
3 ，n
在直线y = 4 的下方，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·85·
∴n < 4，故④正确．
故正确的有①②④．
故答案为：①②④．
36．【分析】依据题意，由二次函数y = ax2+ bx +
c(a > 0) 的图象向右平移1 个单位长度后关于y 轴对称，
从而可得二次函数y = ax2+ bx + c(a > 0) 的对称轴是
直线x =-1，故- b
2a =-1，即b = 2a，再结合二次函
数的性质，逐个进行判断可以得解．
【解答】解：∵二次函数y = ax2+ bx + c(a > 0) 的图象
向右平移1 个单位长度后关于y 轴对称，
∴二次函数y = ax2+ bx + c(a > 0) 的对称轴是直线x =
-1．
∴- b
2a =-1．
∴b = 2a．
∴b
a = 2，故①正确．
将b = 2a 代入a2+ b2- 5b + 8，
∴a2+ b2- 5b + 8 = a2+ 4a2- 5 × 2a + 8
= 5(a2- 2a + 1) + 3
= 5(a - 1)2+ 3．
∵3
2 ≤a ≤5
2 ，
∴当a = 3
2 时，a2+ b2- 5b + 8 取最小值为5 ×
3
2 -1
2
+ 3 = 17
4 ，故②错误．
∵b = 2a，
∴am2+ bm - a + b = am2+ 2am - a + 2a
= am2+ 2am + a
= a(m2+ 2m + 1)
= a(m + 1)2．
∵a > 0，(m + 1)2，
∴am2+ bm - a + b = a(m + 1)2，即am2+ bm - a + b，
故③正确．
∵x1+ x2+ 2 > 0，
∴x1+x2
2
>-1．
∴x1，x2的中点在对称轴的右侧．
∵x1< x2，
∴点P 离对称轴的距离比Q 离对称轴的距离近．
∵抛物线开口向上，
∴y1< y2，故④正确．
故答案为：①③④．
37．【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，
逐个进行判断即可得解．
【解答】解：当m = 0 时，抛物线为y = x2- 4，
∴抛物线的对称轴是y 轴，故①正确．
又若此抛物线与x 轴只有一个公共点，
∴△= 4m2- 4(m2+ m - 4) =-4m + 16 = 0．
∴m = 4，故②错误．
由题意，∵抛物线为y = x2- 2mx + m2+ m - 4，
∴对称轴是直线x =- -2m
2
= m．
又抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵A(m - 2,y1)，B(m + 1,y2)，
∴m - (m - 2) = 2 > m + 1 - m = 1．
∴y1> y2，故③错误．
由题意，∵抛物线y = x2- 2mx + m2+ m - 4 的对称
轴是直线x = m，
∴顶点为(m,m - 4)．
∴顶点在直线y = x - 4 上．
又直线y = x 与y = x - 4 平行，
∴顶点到直线y = x 的距离等于两条平行线间的距离．
又直线y = x - 4 与y 轴的夹角为45°，
且y = x - 4 是y = x 向下平移4 个单位得到的，
∴两平行线间的距离为4sin45° = 4 ×
2
2
= 2 2．
∴顶点到直线y = x 的距离为2 2，故④正确．
故答案为：①④．
38．【分析】抛物线整理为y = x2+ (2m - 1)x + 2m =
x2+ 2mx - x + 2m = 2m(x + 1) + x2- x 可判断①，将
m = 1 代入并计算b2- 4ac 即可判断②，计算抛物线对
称轴并根据m ≠1
2 可判断③，根据题意确定对称轴的
范围后可确定P、Q 的位置，再根据增减性可判断④．
【解答】解：y = x2+ (2m - 1)x + 2m = x2+ 2mx - x
+ 2m = 2m(x + 1) + x2- x，
当x =-1 时，y = 2，
∴该函数图象过定点(-1,2)，故①正确；
当m = 1 时，y = x2+ x + 2，
∵b2- 4ac = 1 - 4 × 2 =-7 < 0，
∴函数图象与x 轴无交点，故②正确；
抛物线的对称轴为：x =- b
2a = 1-2m
2
= 1
2 - m，
∵m ≠1
2 ，
∴1
2 - m ≠0，
∴当m > 1
2 时，对称轴在y 轴左侧，当m < 1
2 时，
对称轴在y 轴右侧，故③错误；
∵1 < m < 3
2 ，
∴-1 < 1
2 - m <- 1
2 ，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·86·
∵-3 < x1<-2，- 1
2 < x2< 0，
∴P(x1，y1) 在对称轴左侧，Q(x2，y2) 在对称轴右侧，
∵a = 1 > 0，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y 随x 增大而减
小，在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，
∴当x =-2 时，y1最小= y = 4 - 4m + 2 + 2m =-2m +
6，
当x = 0 时，y2最大= 2m，
此时，y1- y2=-4m + 6，
∵1 < m < 3
2 ，
∴-4m + 6 > 0，
∴y1> y2，故④正确，
故答案为：①②④．
39．【分析】依据题意，根据所给图象可以得出a >
0，c < 0，再结合对称轴x =-1，同时令ax2+ bx + c
= kx，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【解答】解：由图象可得，a > 0，c < 0，又- b
2a =
-1，
∴b > 0．
∴abc < 0．
∴①正确．
由题意，令ax2+ bx + c = kx，
∴ax2+ (b - k)x + c = 0．
又二次函数y = ax2+ bx + c 的图象与正比例函数y =
kx 的图象相交于A，B 两点，已知点A 的横坐标为
-3，点B 的横坐标为2，
∴ax2+ (b - k)x + c = 0 的两根之和为-3 + 2 =-1，两
根之积为-3 × 2 =-6．
∴- b-k
a
=-1，c
a =-6．
∴6a + c = 0．
又b = 2a，
∴3b + c = 0．
∴3b + 2c = c < 0．
∴②错误，③正确．
∵- b-k
a
=-1，b = 2a，
∴k = a．
∴④错误．
故答案为：①③．
40．【分析】①根据抛物线的对称性可得：抛物线与x
轴的另一个交点坐标为(1,0)，再结合抛物线的性质可
判断结论①；
②将(-3,0)，(1,0) 代入y = ax2+ bx + c，可得b =
2a，c =-3a，得出y = ax2+ 2ax - 3a = a(x + 1)2-
4a，抛物线的顶点为M(-1, -4a)，设抛物线对称轴交
x 轴于H，利用SΔABM = SΔAMH + S梯形BMHO - SΔAOB，建
立方程求解即可判断②；
③过点A、M 分别作y 轴、x 轴的平行线交于点C，
连接AM、AB、BM，则四边形ACDO 是矩形，根
据ΔABM 为直角三角形，可得∠AMB = 90° 或∠ABM
= 90°，进而可得利用相似三角形的判定和性质求得a
=
2
2
或1，将ΔBPA 绕点B 逆时针旋转60° 得到
△BP′A′，连接PP′，过点A′ 作A′T ⊥x 轴于点T，作
A′Q ⊥y 轴于点Q，可得ΔBPP′ 和ΔABA′ 是等边三角
形，即AA′2= A′B2= AB2= 27
2 ，由于PA + PO + PB
= P′A′ +PO + PP′，可得当点O，点P，点P′，点A′
共线时，PA + PO + PB 值最小，最小值为OA′，设
A′ (m,n)，列方程组
(-3-m)2+(-n)2= 27
2
- 3 2
2
-n
2+(-m)2= 27
2
，求解
即可求得m、n，再利用OA′2= m2+ n2，即可判断
③．
【解答】解：①∵抛物线y = ax2+ bx + c 经过点A(-3,
0)，顶点为M(-1,m)，
∴抛物线的对称轴为直线x =-1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0)，
∵抛物线的开口向上，
∴当-3 时，y；故①正确．
②将(-3,0)，(1,0) 代入y = ax2+ bx + c，得
9a-3b+c=0
a+b+c=0
，
解得：b=2a
c=-3a
，
∴y = ax2+ 2ax - 3a = a(x + 1)2- 4a，
∴抛物线的顶点为M(-1, -4a)，
设抛物线对称轴交x 轴于H，如图，
则H(-1,0)，
∴AH =-1 - (-3) = 2，MH = 4a，OH = 1，
∵B(0, -3a)，
∴OB = 3a，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·87·
∴SΔABM = SΔAMH + S梯形BMHO - SΔAOB = 1
2 ⋅AH ⋅MH +
1
2 ⋅MH+OB
⋅OH - 1
2 OA ⋅OB = 1
2 × 2 × 4a + 1
2
× 4a+3a
× 1 - 1
2 × 3 × 3a = 3a，
∵SΔABM = 3 3
2
，
∴3a = 3 3
2
，
∴a =
3
2 ；故②正确．
③如图，过点A、M 分别作y 轴、x 轴的平行线交于
点C，连接AM、AB、BM，
则四边形ACDO 是矩形，
∴∠C = ∠BDM = ∠AOB = 90°，
∵A(-3,0)，B(0, -3a)，M(-1, -4a)，
∴AC = OD = 4a，OA = CD = 3，OB = 3a，BD =
a，DM = 1，CM = 2，
∵ΔABM 为直角三角形，∠BAM < 90°，
∴∠AMB = 90° 或∠ABM = 90°，
若∠AMB = 90°，则∠AMC + ∠BMD = 90°，
∵AC ⎳OD，OA ⎳DC，
∴四边形ACDO 是平行四边形，
∵∠AOD = 90°，
∴▱ACDO 是矩形，
∴∠C = ∠BDM = ∠AOB = 90°，
∴∠AMC + ∠MAC = 90°，
∴ΔAMC ∽ΔMBD，
∴AC
DM = CM
BD ，即4a
1 = 2
a ，
∴a2= 1
2 ，
∵a > 0，
∴a =
2
2 ；
若∠ABM = 90°，则∠ABO + ∠MBD = 90°，
∵∠AOB = ∠BDM = 90°，
∴∠ABO + ∠BAO = 90°，
∴∠MBD = ∠BAO，
∴ΔABO ∽ΔBMD，
∴OB
DM = OA
BD ，即3a
1 = 3
a ，
∴a2= 1，
∵a > 0，
∴a = 1；
∵点B 在(0, -2) 与(0, -3) 之间(不含端点)，
∴-3 <-3a <-2，
∴2
3 < a < 1，
∴a =
2
2 ，
∴OB = 3 2
2
，AB2= 27
2 ，
如图，将ΔBPA 绕点B 逆时针旋转60° 得到△BP′A′，
连接PP′，过点A′ 作A′T ⊥x 轴于点T，作A′Q ⊥y
轴于点Q，
∴BP = BP′，PA = P′A′，∠PBP′ = ∠ABA′ = 60°，
∴ΔBPP′ 和ΔABA′ 是等边三角形，
∴BP = PP′，AA′2= A′B2= AB2= 27
2 ，
∴PA + PO + PB = P′A′ +PO + PP′，
∴当点O，点P，点P′，点A′ 共线时，PA + PO +
PB 值最小，最小值为OA′，
此时∠APB = ∠APO = ∠BPO = 120°，
设A′ (m,n)，
则A′T =-n，AT =-3 - m，A′Q =-m，BQ =-n
- 3 2
2
，
在Rt△AA′T 中，AT2+ A′T2= AA′2，
在Rt△BA′Q 中，BQ2+ A′Q2= A′B2，
即
(-3-m)2+(-n)2= 27
2
- 3 2
2
-n
2+(-m)2= 27
2
，
解得：
m= -6-3 6
4
n= -3 2-6 3
4
，
∴OA′2= m2+ n2=
-6-3 6
4
2
+
-3 2-6 3
4
2
=
27+9 6
2
，故③错误；故答案为：①②．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·88·
★类型五：反比例系数K 的几何意义+性质综合★
1．【分析】设点M 坐标为a, 1
a
，点N 坐标为
b, 1
b
，则OB = AB = 1
b ，OA = BC = a，BN = b，
AM = 1
a ，CN = a - b，CM = 1
b - 1
a ，可用a，b 表示
出S△COM = a
2b - 1
2 ，S△CON = a
2b - 1
2 ，即可判断①；
用a，b 表示出S△MCN = (a-b)2
2ab
，S△MON = a2-b2
2ab ，可
知当△MON 与△MCN 的面积相等时，M，N 重合，
与题意不符，可判断②；根据等边三角形和反比例函
数的对称性即可判断④，根据M，N 是反比例函数图
象上的动点，可得∠OMN 或∠ONM 为钝角，即可判断
③，即可求解．
【解答】解：设点M 坐标为a, 1
a
，点N 坐标为
b, 1
b
，则A(a,0)，B 0, 1
b
，C a, 1
b
，
∴OB = AB = 1
b ，OA = BC = a，BN = b，AM =
1
a ，CN = a - b，CM = 1
b - 1
a ，
∴S△COM = 1
2 CM × OA = 1
2 ×
1
b - 1
a
× a = a
2b -
1
2 ，
S△CON = 1
2 CN × OB = 1
2 × (a - b) × 1
b = a
2b - 1
2 ，
∴S△COM = S△CON，故结论①正确；
S△MCN = 1
2 CN ⋅CM = 1
2 × (a - b) 1
b - 1
a
=
(a-b)2
2ab
，
S△MON = S矩形OACB - S△OBN - S△OAM - S△MCN = a × 1
b -
1
2 × b × 1
b - 1
2 × a × 1
a - (a-b)2
2ab
= a2-b2
2ab
，
当△MON 与△MCN 的面积相等时，(a-b)2
2ab
=
a2-b2
2ab
，即a = b，
当a = b 时，M，N 重合，与题意不符，故结论②错
误；
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当
∠NOM = 60° 且对称轴都为直线y = x，△MON 可能是
等边三角形，故④正确，
如图：
当M，N 在y = x 的同侧时，△MON 可能是钝角三角
形，故③错误；
综上，①④正确、②③错误．
故选：B．
2．【分析】本题涉及反比例函数的性质，已知点A 在
反比例函数y = k
x 上，可先求出k 的值，再根据“双
曲线阶梯”的线段平行关系，设出相关点的坐标，利
用反比例函数表达式列出等式，进而求出EF 的长度．
【解答】解：∵点A 4, 3
2
在双曲线y = k
x 上，
∴k = 4 × 3
2 = 6，
∴反比例函数的解析式为y = 6
x ，
∵BC = 1 且BC 与x 轴平行，AB 与y 轴平行，点A 坐
标为4, 3
2
，
∴点C 的横坐标比点A 的横坐标小1，即横坐标为3，
∵点C 在y = 6
x 上，
∴C 点坐标为(3,2)，
同理，DE = 1，则点E 的横坐标为2，把x = 2 代入y
= 6
x ，则y = 3，
∴求得E 点坐标为(2,3)，
FG = 1，则点G 的横坐标为1，把x = 1 代入y = 6
x ，
则y = 6，
∴G 点坐标为(1,6)，
观察图象可知，EF 的长度等于点G 的纵坐标减去点E
的纵坐标，
即EF = 6 - 3 = 3．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·89·
故选：B．
3．【分析】先证明AM = CM，OC = OA = BC =
AB = 3，设C(x,y)，可得M
x+3
2
, y
2
，xy = x+3
2
⋅y
2 求解x = 1，过C 作CH ⊥AO 于H，再进一步求
解即可．
【解答】解：∵菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，
OA = 3，
∴AM = CM，OC = OA = BC = AB = 3，
∴A(3,0)，
设C(x,y)，
∴M
x+3
2
，y
2
，
∴xy = x+3
2
⋅y
2 ，
解得：x = 1，
过C 作CH ⊥AO 于H，
∴OH = 1，CH =
32-12 = 2 2，
∴C(1,2 2)，
∴k = 1 × 2 2 = 2 2；
故选：D．
4．【分析】延长DC，BA 交于点E，设CD = a(a >
0)，则OB = 3a，求出OD =- k
a ，AB =- k
3a ，进而
得到S△DOC = S△AOB =- k
2 ，证明四边形OBED 是矩形，
再求出AE =- 2k
3a ，CE = 2a，得到S△AEC =- 2k
3 ，根
据S矩形OBED - S△DOC - S△AOB - S△AEC = S△ACO 建立方程
求解即可．
【解答】解：延长DC，BA 交于点E，
设CD = a(a > 0)，
∵CD:OB = 1:3，
∴OB = 3a，
∵AB ⊥y 轴，CD ⊥x 轴，
∴点A 的纵坐标为3a，点C 的纵坐标为a，
∴a = k
xC
，3a = k
xA
，
∴xC = k
a ，xA= k
3a ，OD =- k
a ，AB =- k
3a ，
∵反比例函数y = k
x 经过A、C 两点，
∴S△DOC = S△AOB =- k
2 ．
∵∠EDO = ∠DOB = ∠EBO = 90°，
∴四边形OBED 是矩形，BE = OD =- k
a ，DE = OB
= 3a，
∴AE = BE - AB =- 2k
3a ，CE = DE - CD = 2a，
∴S△AEC = 1
2 AE ⋅CE =- 2k
3 ，
∴S矩形OBED = OD ⋅OB =- k
a × 3a =-3k，
∵S△ACO = 4，
∴S矩形OBED - S△DOC - S△AOB - S△AEC = S△ACO，
即-3k - - k
2
- - k
2
- - 2k
3
= 4，
∴k =-3，
故选：D．
5．【分析】过点A 作MN ⎳x 轴，交y 轴于点N，作
BM ⊥MN，垂足为M，先证明△BMA ≅△ANO
(AAS)，利用全等三角形性质得到点B 的坐标，根据
反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：如图，过点A 作MN ⎳x 轴，交y 轴于点
N，作BM ⊥MN，垂足为M，
∵∠AOB = ∠ABO = 45°，
∴AB = AO，∠BAO = 90°，
∴△AOB 是等腰直角三角形，
在△BMA 和△ANO 中，
∠MBA=∠NAO
∠BMA=∠ANO
AB=AO
，
∴△BMA ≅△ANO(AAS)，
∴AN = BM = 1，ON = AM，
∵点A 的横坐标为-1，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·90·
∴A(-1, -k)，
∴ON = AM =-k，
∴B(-1 + k, -k - 1)，
∵点A、B 在反比例函数图象上，
∴k = (-1 + k) (-1 - k) = 1 - k2，
整理得k2+ k - 1 = 0，
解得k = -1+
5
2
(舍去) 或k = -1-
5
2
．
故选：D．
6．【分析】求出A，B 点的坐标进而求出AB 的长，
判断①，联立两个函数解析式，求出C 点坐标，判断
②，图象法判断③即可．
【解答】解：∵点A 的横坐标为1，
∴y = 9
1 = 9，
∴A(1,9)，
∵过反比例函数图象上点A 作x 轴垂线，垂足为点D，
交y = x 的图象于点B，
∴B(1,1)；
∴AB = 8；故①正确；
联立
y=x
(x≥0)
y= 9
x
(x>0)
，解得：x=3
y=3
或x=-3
y=-3
(舍
去)；
∴点C 的坐标为(3,3)，故②正确；
由图象可知，当x > 3，直线在双曲线上方，一次函数
的值大于反比例函数的值，故③错误；
故选：C．
7．【分析】如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴交于点D，
过点B 作BE ⊥x 轴交于点E，首先联立得到- 4
x =
-2x，求出OD =
2，然后由AD ⎳BE 得到AB
AC =
DE
OD ，求出DE = 3 2，然后代入y =- 4
x ，求出BE =
2
2 ，然后利用勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴交于点D，
过点B 作BE ⊥x 轴交于点E，
∵反比例函数y =- 4
x (x > 0) 与直线y =-2x 交于点A，
∴联立得，- 4
x =-2x，
解得x =
2 或- 2，
∴OD =
2，
∵AD ⊥x，BE ⊥x，
∴AD ⎳BE，
∴AB
AC = DE
OD ，
∵AB = 3AC，
∴3 = DE
2 ，即DE = 3 2，
∴OE =
2 + 3 2 = 4 2，
∴将x = 4 2 代入y =- 4
x =-
4
4 2 =-
2
2 ，
∴BE =
2
2 ，
∴OB =
OE 2+BE 2 =
130
2
，
故选：D．
8．【分析】依据题意，过A 作AD ⊥x 轴于D，再设
A a，k
a
(a > 0)，从而可得OC = 2OD = 2a，再求出
直线OA 为y = k
a2 x，然后联立
y= k
4x
y= k
a2 x
，可得B 的坐
标，最后结合S△ABC = S△BOC + S△AOC = 6，进而可得k
的方程，计算即可得解．
【解答】解：如图，过A 作AD ⊥x 轴于D．
由题意，设A a，k
a
(a > 0)，
∵AO = AC，AD ⊥OC，
∴OC = 2OD = 2a．
又设直线OA 为y = mx，
∴ma = k
a ．∴m = k
a2 ．
∴直线OA 为y = k
a2 x．联立
y= k
4x
y= k
a2 x
，
∴x2= a2
4 ．∴x =± a
2 ．
∴B - a
2 ，- k
2a
．
∴S△ABC = S△BOC + S△AOC
= 1
2 OC ⋅|yB| + 1
2 OC ⋅|yA|
= 1
2 × 2a
k
2a + k
a
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·91·
= 3
2 k．
又∵S△ABC = 6，
∴3
2 k = 6．
∴k = 4．
故选：C．
9．【分析】设AE = EF = FG = a，AB = BC = AD
= b，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得
到a，b 的关系式，再利用a2+ b2= 15
2 求得a，b 值，
则点A 坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出
结论．
【解答】解：设AE = EF = FG = a，AB = BC = AD
= b，
由题意得：a2+ b2= 15
2 ．
∵正方形ABCD 与AEFG(其中边BC，EF 分别在x，
y 轴的正半轴上) 的公共顶点A 在反比例函数y = k
x 的
图象上，
∴FG ⎳ED ⎳OM，∠NFG = ∠DCM = 90°，
∴∠NGF = ∠DMC，
∴△NFG ∽△DCM，
∴NF
DC = NG
DM ，
∵MD = 4GN，
∴NF
b
= 1
4 ，
∴NF = 1
4 b．
∵FG ⎳ED，
∴△NFG ∽△NED，
∴NF
NE = FG
ED ，
∴
1
4 b
1
4 b+a
=
a
a+b ，
∴b2= 4a2，
∴a2+ 4a2= 15
2 ，
∵a > 0，
∴a =
6
2 ．
∴b =
6．
∴A
6
2 ，
6
，
∴k =
6
2
×
6 = 3．
方法2: ∵a2+ 4a2= 15
2 ，
∴5a2= 15
2 ，
∴a2= 3
2 ，
∵b = 2a，
∴k = ab = 2a2= 2 × 3
2 = 3；
故选：C．
10．【分析】依据题意，由点A(4,2) 在函数y = k
x 上，
可得k 的值，从而得反比例函数的解析式，又设直线
OA 为y = kx，故可得直线OA 为y = 1
2 x，再设向上
平移m 个单位到直线BC，则B(0,m)，直线BC 为y
= 1
2 x + m，最后设a，8
a
(a > 0)，进而8
a = 1
2 a +
m，故8
a - m = 1
2 a，又作CH ⊥y 轴于H，从而CH
= a，BH = 8
a - m = 1
2 a，BH 2+ CH 2= BC2，1
4 a2
+ a2= 5，求得a 的值，最后可以计算得解．
【解答】解：由题意，∵点A(4,2) 在函数y = k
x 上，
∴k = 4 × 2 = 8．
∴反比例函数为y = 8
x ．
设直线OA 为y = kx，
∴4k = 2．
∴k = 1
2 ．
∴直线OA 为y = 1
2 x．
又设向上平移m 个单位到直线BC，
∴B(0,m)，直线BC 为y = 1
2 x + m．
再设a，8
a
(a > 0)，
∴8
a = 1
2 a + m．
∴8
a - m = 1
2 a．
作CH ⊥y 轴于H，
∴CH = a，BH = 8
a - m = 1
2 a，BH 2+ CH 2= BC2．
∴1
4 a2+ a2= 5．
∴a = 2．
∴4 - m = 1．
∴m = 3．
∴B(0,3)．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·92·
故选：B．
11．【分析】作辅助线如图，利用函数表达式设出A、
B 两点的坐标，利用D，M 是中点，找到坐标之间的
关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【解答】解：作过A 作BC 的垂线垂足为D，BC 与y
轴交于E 点，如图，
在等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC，D 是BC 中点，
设A a, k
a
，B b, k
b
，
由BC 中点为D，AB = AC，
在等腰三角形ABC 中，
∴BD = DC = a - b，
∴C 2a-b, k
b
，
∵AC 的中点为M，
∴M
3a-b
2
,
k
a + k
b
2
，即
3a-b
2
, k(a+b)
2ab
，
由M 在反比例函数上得M
3a-b
2
,
k
3a-b
2
，
∴k(a+b)
2ab
=
k
3a-b
2
，
解得：b =-3a，
由题可知，AD ⎳NE，
∴AN
AB = DE
BD =
a
a-b =
a
a+3a = 1
4 ，
故选：B．
12．【分析】过点E 作EM ⊥OC，则EM ⎳OB，设
E a, k
a
，由ΔOME ∽ΔOCA，可得OC = 3
2 a,AC =
3
2 ⋅k
a ，再S矩形OBAC = SΔOBD + SΔOCF + S四边形ODAF，列
方程，即可得出k 的值．
【解答】解：过点E 作EM ⊥OC，则EM ⎳OB，
∴ΔOME ∽ΔOCA，
∴OM
OC = EM
AC = OE
OA ，
设E a, k
a
，
∵OE = 2AE，
∴OM
OC = EM
AC = 2
3 ，
∴OC = 3
2 a,AC = 3
2 ⋅k
a ，
∴S矩形OBAC = SΔOBD + SΔOCF + S四边形ODAF = 3
2 a ⋅3
2 ⋅k
a ，
即k
2 + k
2 + 2 = 3
2 a ⋅3
2 ⋅k
a ，解得：k = 8
5 ，
故选：D．
13．【分析】作DG ⊥EF 交EF 的延长线于点G，
DG 交反比例函数图象于点H，设正六边形ABCDEF
的边长为a，根据正六边形性质和含30° 角的直角三角
形性质可得点E、H 坐标，列出方程求出a 值，即可推
出k 值．
【解答】解：如图，作DG ⊥EF 交EF 的延长线于点
G，DG 交反比例函数图象于点H，
∵原点O 为正六边形ABCDEF 的中心，EF ⎳x 轴，
∴∠EDO = 1
2 ∠EDC = 1
2 × 120° = 60°，
∴∠EDG = 30°，
∴EG = 1
2 ED，GD =
3
2 ED，
设正六边形ABCDEF 的边长为a，则
E
1
2 a，
3
2 a
，H(a, 3)，
∵点E、H 都在反比例函数图象上，
∴1
2 a ⋅
3
2 a =
3a，
解得a = 4，
∴H(4, 3)，
∴k = 4 3．
故选：A．
14．【分析】依据题意，利用反比例函数k 的几何意
义，结合相关线段的长度来求a - b 的值．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·93·
【解答】解：如图，设C m, a
m
，则D m, b
m
，OE
=-m，
∴b
m - a
m = 2．
∴b - a = 2m，
∴a - b = 2OE，
同理：a - b = 3OF，
∴2OE = 3OF．
又∵OE + OF = 5，
∴OE = 3，OF = 2，
∴a - b = 6．
故选：D．
15．【分析】设A m, k
m
，在y =- 1
x 中，令y = k
m
得x =- m
k ，令x = m 得y =- 1
m ，可得
B - m
k ，k
m
，D m,- 1
m
，即得C - m
k ，- 1
m
，
故S2= S4= 1，S3= 1
k ，根据S2+ S3+ S4= 5
2 ，得1
+ 1
k + 1 = 5
2 ，解方程并检验可得答案．
【解答】解：设A m, k
m
，
在y =- 1
x 中，令y = k
m 得x =- m
k ，令x = m 得y =
- 1
m ，
∴B - m
k ，k
m
，D m,- 1
m
，
∴C - m
k ，- 1
m
，
∴S2= S4= 1，S3= 1
k ，
∵S2+ S3+ S4= 5
2 ，
∴1 + 1
k + 1 = 5
2 ，
解得k = 2，
经检验，k = 2 是方程的解，符合题意，
故选：C．
16．【分析】依据题意，可得A(k,1)，B(1,k)，再由
AB = 3 2，从而2(k - 1)2= 18，进而得解．
【解答】解：由题意，得A(k,1)，B(1,k)．
∵AB = 3 2，
∴由两点距离公式可得：2(k - 1)2= 18．
∴(k - 1)2= 9．
∴k =-2 或4．
又k > 0，
∴k = 4．
故选：C．
17．【分析】过点N 作NQ ⊥x 轴于点Q，过C 作CT
⊥y 轴交y 轴于T，交NQ 于K，设OA = a，OP =
b，BM = c，N(m,n)，由OP:BP = 1:4，BM = CM，
得A(0,a)，B(5b,0)，M(5b,c)，C(5b,2c)，又ΔNKC
∽ΔATC，NC = 2AN，可得CK = 2TK，NK =
2
3 AT，即
5b-m=2(m-0)
n-2c= 2
3 (a-2c)
，得
m= 5b
3
n= 2a+2c
3
，故
N
5b
3 , 2a+2c
3
，根据ΔAPN 的面积为3，有1
2 ×
5
3 b 2a+2c
3
+a
- 1
2 ab - 1
2 × 2b
3 ⋅2a+2c
3
= 3，得
2ab + bc = 9，将点M(5b,c)，N
5b
3 , 2a+2c
3
代入
y = k
x ，整理得：2a = 7c，代入2ab + bc = 9 得bc =
9
8 ，从而k = 5bc = 45
8 ．
【解答】解：如图，过点N 作NQ ⊥x 轴于点Q，过C
作CT ⊥y 轴交y 轴于T，交NQ 于K，
设OA = a，OP = b，BM = c，N(m,n)，
∵OP:BP = 1:4，BM = CM，
∴A(0,a)，B(5b,0)，M(5b,c)，C(5b,2c)，
∵∠NCK = ∠ACT，∠NKC = 90° = ∠ATC，
∴ΔNKC ∽ΔATC，
∴NC
AC = NK
AT = CK
CT ，
∵NC = 2AN，
∴CK = 2TK，NK = 2
3 AT，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·94·
∴
5b-m=2(m-0)
n-2c= 2
3 (a-2c)
，
解得
m= 5b
3
n= 2a+2c
3
，
∴N
5b
3 , 2a+2c
3
，
∴OQ = 5b
3 ，NQ = 2a+2c
3
，
∴PQ = OQ - OP = 2b
3 ，
∵ΔAPN 的面积为3，
∴S梯形OANQ - SΔAOP - SΔNPQ = 3，
∴1
2 × 5
3 b 2a+2c
3
+a
- 1
2 ab - 1
2 × 2b
3 ⋅2a+2c
3
= 3，
∴2ab + bc = 9，
将点M(5b,c)，N
5b
3 , 2a+2c
3
代入y = k
x 得：
k = 5bc = 5b
3 ⋅2a+2c
3
，
整理得：2a = 7c，
将2a = 7c 代入2ab + bc = 9 得：7bc + bc = 9，
∴bc = 9
8 ，
∴k = 5bc = 45
8 ，
故选：B．
二．填空题(共23 小题)
18．【分析】如图，作BG ⊥y 轴，垂足为G，作AH
⊥y 轴，垂足为H 可得△OAH ∽△BOG 利用相似三角
形的性质及反比例函数k 值几何意义即可得到结果．
【解答】解：如图，作BG ⊥y 轴，垂足为G，作AH
⊥y 轴，垂足为H，
∵点A 在反比例函数y = 4
x 的图象上，点B 在反比例
函数y =- 2
x 的图象上，
∴S△BOG = 1，S△AOH = 2，
∵∠AOB = 90°，
∴∠OAH = ∠BOG，
∴△OAH ∽△BOG，
∴OB2
OA2 = S△BOG
S△AOh
= 1
2 ，
∴tan∠BAO = OB
OA =
2
2 ．
故答案为：
2
2 ．
19．【分析】根据题意得到AC = BD = 1，则A 点的
纵坐标为1，代入解析式求得A 的坐标，进而求得
∠OAC = 60°，利用扇形的面积公式即可求得两个象限
中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积和．
【解答】解：当⊙A，⊙B 分别与x 轴相切时，切点分
别为点C 和点D，
∴AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，
∵半径为1，
∴AC = BD = 1，
∴A 点的纵坐标为1，
把y = 1 代入y =
3
x ，求得x =
3，
∴A( 3，1)，
∴OC =
3，AC = 1，
∴tan∠OAC = OC
AC =
3，
∴∠OAC = 60°，
∴第一象限中阴影的面积S1= 60π×12
360
= π
6 ，
同理，第一象限中阴影的面积S2= π
6 ，
∴S阴影= π
3 ．
故答案为：π
3 ．
20．【分析】求出点B 的坐标为(-1,0)，设点A 坐标
为(m, -m - 1)，根据AC = BC，得到2m2+ 8m + 16
= 10，解方程并进一步即可得到点A 坐标为(-3,2)，
利用待定系数法即可求出实数k 的值．
【解答】解：当y = 0 时，0 =-x - 1，解得x =-1，
∴点B 的坐标为(-1,0)，
∵点C 坐标为(0,3)，
∴BC =
OB2+OC2 =
12+32 =
10，
设点A 坐标为(m, -m - 1)，
∴AC2= (m - 0)2+ (-m - 1 - 3)2= 2m2+ 8m + 16，
∵AC = BC，
∴AC2= BC2，
∴2m2+ 8m + 16 = 10，
解得m1=-3，m2=-1(不合题意，舍去)，
∴m =-3，
∴点A 坐标为(-3,2)，
∴2 = k
-3 ，
解得k =-6，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·95·
故答案为：-6．
21．【分析】作BE ⊥x 轴，DG ⊥x 轴，根据点的坐
标及相似三角形性质可求出点D 坐标继而求出k 值．
【解答】解：如图，作BE ⊥x 轴，DG ⊥x 轴，垂足
分别为E、G，
∵点A(-7,0)，B(x,10)，C(-17,y)，
∴BE = 10，OF = 17，OA = 7，
∴EF = BC = OA = 7，
∴OE = 17 + 7 = 24，
∵BE ⎳DG，
∴ΔODG ∽ΔOBE，
∵OD:OB = 1:4，
∴OG
OE = DG
BE = 1
4 ，
∴DG
10 = 1
4 ，OG
24 = 1
4
∴DG = 5
2 ，OG = 6，
∴D(-6,2.5)，
∵点D 在反比例函数图象上，
∴k =-6 × 2.5 =-15．
故答案为：-15．
22．【分析】根据题意和反比例函数的几何意义，列
出S△BMN = S矩形OABC - k - 15
4 ，导入数据计算即可．
【解答】解：由题意可知点M 的坐标为4, k
4
，点N
的坐标为
k
2 ，2，
，则BM = 2 - k
4 ，BN = 4 - k
2 ，
由反比例函数k 值的几何意义可得：S△OCN + S△OAM =
k，
∴S△BMN = S矩形OABC - k - 15
4 ，
1
2
2- k
4
4- k
2
= 8 - k - 15
4 ，
解得：k = 2．
故答案为：2．
23．【分析】过点A 作AD ⊥x 轴于点D，过点B 作
BE ⊥x 轴于点E，由sin∠AOC = 4
5 ，可设AD = 4x，
则OD = 3x，根据点A 落在反比例函数y = 3
x 上得出
x 的值，再由勾股定理求出OA 的长，根据菱形的性质
可得出B 点坐标，进而得出结论．
【解答】解：如图，过点A 作AD ⊥x 轴于点D，过点
B 作BE ⊥x 轴于点E，
∵sin∠AOC = 4
5 ，
∴设AD = 4x，则OA = 5x，
∴OD =
(5x)2-(4x)2 = 3x，
∵点A 落在反比例函数y = 3
x 上，
∴4x ⋅3x = 3，
解得x =± 1
2 (负值舍去)，
∴4x = 2，3x = 3
2 ，
∴A 3
2 ，2
，
∴OA =
OD2+OA2 =
3
2
2
+22 = 5
2 ，
∵四边形AOCB 为菱形，
∴AB = OA，
∴B 3
2 + 5
2 ，2
，即(4,2)，
∵点B 落在反比例函数y = k
x (k ≠0) 上，
∴k = 4 × 2 = 8，
故答案为：8．
24．【分析】依据题意，由A 在y =
3x 上，可得m
= 2 3，故A(2，2 3)，又A 在反比例函数y = k
x 上，
进而可得k = 2 × 2 3 = 4 3，进而可得反比例函数为
y = 4 3
x
，再由翻折的性质，BC ⊥OA，进而可设
BC 为y =-
3
3 x + b，则B 为(0,b)，设直线BC 与直
线OA 的交点为P，建立y=-
3
3 x+b
y=
3x
求出
P
3
4 b，3
4 b
，又B 与C 关于直线OA 对称，且B(0,
b)，可得C
3
2 b，1
2 b
，又C 在反比例函数y =
4 3
x
上，最后可得
3
2 b × 1
2 b = 4 3，求出b 可以得
解．
【解答】解：由题意，∵A 在y =
3x 上，
∴m = 2 3．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·96·
∴A(2，2 3)．
又A 在反比例函数y = k
x 上，
∴k = 2 × 2 3 = 4 3．
∴反比例函数为y = 4 3
x
．
由翻折的性质，BC ⊥OA，
∴可设BC 为y =-
3
3 x + b，
∴B 为(0,b)．
设直线BC 与直线OA 的交点为P，
∴y=-
3
3 x+b
y=
3x
．
∴P
3
4 b，3
4 b
．
又B 与C 关于直线OA 对称，且B(0,b)，
∴C
3
2 b，1
2 b
．
又C 在反比例函数y = 4 3
x
上，
∴
3
2 b × 1
2 b = 4 3．
∴b = 4 或b =-4(舍去)．
∴B(0,4)．
故答案为：(0,4)．
25．【分析】作DG ⊥x 轴，垂足为G，利用对称性质
和解直角三角形解答即可得到结果．
【解答】解：设点B 坐标为m, k
m
，则C(m,0)，
∵A(1,0)，
∴AC = m - 1，
由对称可知：AD = m - 1，∠DAB = ∠CAB = 30°，
∴∠DAC = 60°，
作DG ⊥x 轴，垂足为G，
∴AG = m-1
2
，DG =
m-1
2
×
3，
∴D m-1
2
+1，
3m-
3
2
，
∵点D 在反比例函数图象上，
∴
m-1
2
+1
⋅(m-1) 3
2
= k ①，
在Rt△ABC 中，∵∠BAC = 30°，
∴BC =
3
3 AC，即k
m =
3
3 (m - 1) ②，
由①②解得k = 2 3．
故答案为：2 3．
26．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征判
断①，根据反比例函数k 值几何意义判断②，根据矩形
性质判断③④即可．
【解答】解：①∵A(1,0)，C(0,2)，
∴B(1,2)，
∵矩形OABC 的顶点B 在函数y = k
x (x > 0) 的图象
上，
∴k = 2，故①正确；
②∵点B、点D 在函数y = k
x (x > 0) 的图象上，
∴S△AOB = S△A′OD = 1
2 |k|，
∴S△OBM = S梯形AMDA′，
∴S△OBD = S 梯形ABDA′，故②正确；
③根据矩形对角线相等，AE = OD，根据双曲线的轴
对称性，可知当点D 落在直线y = x 与双曲线y = 2
x 的
交点( 2，
2) 时，OD 最短，最短为2，所以AE 的
最小值为2，故③错误．
④向右平移的过程中角B′BD 与角BB′O 变化相同，这
两个角刚好是矩形BB′ND 的对角线与边的夹角，所以
是相等，④正确．
故正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
27．【分析】设BC交y 轴于点E，MN 交BB于点
F，过点C作CD ⊥x 轴于D，根据折叠性质得：
CN = CN，BM = BM，BC= BC，设BM = BM
= t，则AM = AB - BM = 4 2 - t，在△ABM 中，由
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·97·
勾股定理求出t = 9 2
4
，则AM = 7 2
4
，证明∴
△BCD ∽△MBA 相似，利用相似三角形的性质得
CD = 16 2
9
，BD = 28
9 ，则OD = 10
9 ，由此得点
C- 10
9 , 16 2
9
，据此即可得出k 的值．
【解答】解：设BC交y 轴于点E，MN 交BB于点
F，过点C作CD ⊥x 轴于D，CH ⊥y 轴于点H，
如图所示：
则四边形ODCH 为矩形，
∴OD = CH，
根据折叠性质得：CN = CN，BM = BM，BC=
BC，∠MBCN = ∠ABCN = 90°，
∵点A(4,0)，C(0,4 2) 是矩形OABC 的顶点，
∴BC = OA = BC= 4，OC = AB = 4 2，∠MAB=
90°，
设BM = BM = t，则AM = AB - BM = 4 2 - t，
∵点B是OA 的中点，
∴OB= AB= 2，
在△ABM 中，由勾股定理得：AM 2+ AB2= BM 2，
即(4 2 - t)2+ 22= t2，
解得：t = 9 2
4
，
∴BM = BM = 9 2
4
，AM = 4 2 - t = 7 2
4
，
∵∠MBC = 90°，∠BAM = 90°，
∴∠DBC+ ∠ABM = 90°，∠AMB+ ∠ABM = 90°，
∴∠DBC= ∠AMB，
又∵∠BDC= ∠BAM = 90°，
∴△BCD ∽△MBA，
∴CD:AB= BD:AM = BC:MB，
即：CD:2 = BD: 7 2
4
= 4: 9 2
4
，
∴CD = 16 2
9
，BD = 28
9 ，
∴OD = BD - OB= 28
9 - 2 = 10
9 ，
∴点C的坐标为- 10
9 , 16 2
9
，
∵点C在反比例函数y = k
x 的图象上，
∴k =- 10
9 × 16 2
9
=- 160 2
81
．
故答案为：- 160 2
81
．
28．【分析】过点B 作BM ⊥x 轴于M，过点D 作
DN ⊥x 轴于N，则BC = OM = 2，OC = MB = 6，
AM = OA - OM = 3，由△ADN ∽△ABM 得DN = 2，
AN = 1，则ON = OA - AN = 4，由此得点D(4,2)，
则k = 8，进而得S△OCE = 1
2 × 8 = 4，S梯形OABC =
1
2
BC+OA
⋅OC = 21，S△AOD = 1
2 OA ⋅DN = 5，然
后根据S四边形ODBE = S梯形OABC - S△OCE - S△AOD 可得出答
案．
【解答】解：过点B 作BM ⊥x 轴于M，过点D 作DN
⊥x 轴于N，如图所示：
∵点A(5,0)，B(2,6)，BC ⎳x 轴，∠COM = 90°，
∴四边形OMBC 为矩形，
∴BC = OM = 2，OC = MB = 6，
∴AM = OA - OM = 5 - 2 = 3，
∵BD = 2AD，
∴AD:AB = 1:3，
∵BM ⊥x 轴，DN ⊥x 轴，
∴BM ⎳DN，
∴△ADN ∽△ABM，
∴DN:BM = AN:AM = AD:AB，
即DN:6 = AN:3 = 1:3，
∴DN = 2，AN = 1，
∴ON = OA - AN = 5 - 1 = 4，
∴点D 的坐标为(4,2)，
∵反比例函数y = k
x (x > 0) 的图象经过点D，
∴k = 8，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OCE = 1
2 ×
8 = 4，
∵S梯形OABC = 1
2
BC+OA
⋅OC = 1
2 × 2+5
× 6 =
21，S△AOD = 1
2 OA ⋅DN = 1
2 × 5 × 2 = 5，
∴S四边形ODBE = S梯形OABC - S△OCE - S△AOD = 21 - 4 - 5 =
12．
29．【分析】设OA = 4a，因为OA = 2AB，所以AB
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·98·
= 2a，则A(4a,0)，B(6a,0)，由于正方形OACD，
ABEF，则C(4a,4a)，因为CD ⊥y 轴，P 在CD 上，
所以P 点纵坐标为4a，则P 点横坐标为：x = k4a，由
于Q 为BE 中点，切BE ⊥x 轴，所以BQ = 1
2 AB =
a，则Q(6a,a)，由于Q 在反比例函数y = k
x (k > 0)
上，所以k = 6a2，根据已知阴影为矩形，长为k
4a ，宽
为：a，面积为6，所以可得12 × k4a × a = 6，即可解
决．
【解答】解：设OA = 4a，
∵AO = 2AB，
∴AB = 2a，
∴OB = AB + OA = 6a，则B(6a,0)，
由于在正方形ABEF 中，AB = BE = 2a，
∵Q 为BE 中点，
∴BQ = 1
2 AB = a，
∴Q(6a,a)，
∵Q 在反比例函数y = k
x (k > 0)) 上，
∴k = 6a × a = 6a2，
∵四边形OACD 是正方形，
∴C(4a,4a)，
∵P 在CD 上，
∴P 点纵坐标为4a，
∵P 在反比例函数y = k
x (k > 0) 上，
∴P 点横坐标为：x = k
4a ，
∴P
k
4a ，4a
，
∵作PM ⊥x 轴于点M，QN ⊥y 轴于点N，
∴四边形OMNH 是矩形，
∴NH = k
4a ，MH = a，
∴S矩形OMHN = NH × MH = k
4a × a = 6，
则k = 24，
故答案为：24．
30．【分析】证明ΔCNB ∽ΔCDA，得到BN
AD = BC
AC
= 1
3 ，即m
AD = 1
3 ，求出点A 3m, 1
3 n
，则点
D 0, 1
3 n
，由ΔBCE 的面积= SΔCDB + SΔCDE = 1
2 ×
CD ⋅(xB - xE)，即可求解．
【解答】解：过点B 分别作BM ⊥AD 于点M，BN ⊥
CD 于点N，
设点B(m,n)，k = mn，
则BN ⎳AD，则ΔCNB ∽ΔCDA，
则BN
AD = BC
AC = 1
3 ，即m
AD = 1
3 ，
即AD = 3m，
则k = mn = 3m ⋅yA，则yA= 1
3 n，
则点A 3m, 1
3 n
，则点D 0, 1
3 n
，
由点B、D 的坐标得，直线BD 的表达式为：y =
2n
3m x + 1
3 n，
则点E - 1
2 m，0
；
由点A、B 的坐标得，直线AB 的表达式为：y =
- n
3m (x - m) + n，
则点C 0, 4n
3
，则CD = n，
∵ΔBCE 的面积= SΔCDB + SΔCDE = 1
2 × CD ⋅(xB - xE)
= 1
2 × n × m+ 1
2 m
= 4.5，
则mn = 6 = k，
故答案为：6．
31．【分析】依据题意，设A m, a
m
，再由AE ⎳x
轴，BD ⎳y 轴，AC = 2BC，可得B -2m,- a
2m
，
D -2m,- b
2m
，E mb
a ，a
m
，再结合ΔABE 的面
积为9，四边形ABDE 的面积为14，即可得解．
【解答】解：设A m, a
m
，
∵AE ⎳x 轴，且点E 在函数y = b
x 上，
∴E mb
a ，a
m
．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·99·
∵AC = 2BC，且点B 在函数y = a
x 上，
∴B -2m,- a
2m
．
∵BD ⎳y 轴，点D 在函数y = b
x 上，
∴D -2m,- b
2m
．
∵ΔABE 的面积为9，
∴SΔABE = 1
2 AE ×
a
m + a
2m
=
1
2
m- mb
a
a
m + a
2m
= 1
2 m ⋅a-b
a
⋅3a
2m =
3(a-b)
4
= 9．
∴a - b = 12．
∵ΔABE 的面积为9，四边形ABDE 的面积为14，
∴SΔBDE = 1
2 DB ⋅
mb
a +2m
=
1
2
- b
2m + a
2m
b+2a
a
m = 1
4 (a - b) ⋅1
m ⋅
b+2a
a
⋅m = 3 b+2a
a
= 5．
∴a =-3b．
又a - b = 12．
∴a = 9．
故答案为：12，9．
32．【分析】(1) 根据直角三角形的性质，求出A、B
两点坐标，作出辅助线，证得△OPC ≅△APC(HL)，
利用勾股定理及待定系数法求函数解析式即可解答．
(2) 求出AC、BD 的解析式，再联立方程组，求得点
D 的坐标，分两种情况讨论即可求解．
【解答】解：(1) 在Rt△OAB 中，AB = 2，∠AOB =
30°，
∴OB = 4,OA = 2 3，
∴A(2 3,0),B(2 3,2)，
∵C 是OB 的中点，
∴OC = BC = AC = 2，
如图，过点C 作CP ⊥OA 于P，
∴△OPC ≅△APC(HL)，
∴OP = AP = 1
2 OA =
3，
在Rt△OPC 中，PC =
OC2-OP2 =
4-3 = 1，
∴C( 3，1)．
∵反比例函数y = k
x (k > 0) 的图象经过斜边OB 的中
点C，
∴1 = k
3 ，
解得k =
3．
故答案为：
3．
(2) 设直线AC 的解析式为y = k1x + b(k ≠0)，
则2 3k1+b=0
3k1+b=1
，
解得k1=-
3
3
b=2
，
∴AC 的解析式为y =-
3
3 x + 2，
∵AC ⎳BD，
∴直线BD 的解析式为y =-
3
3 x + 4，
∵点D 既在反比例函数图象上，又在直线BD 上，
∴联立得
y=
3
x
y=-
3
3 x+4
，
解得x1=2 3+3
y1=2-
3
，x2=2 3-3
y2=2+
3
，
当D 的坐标为(2 3 + 3，2 -
3) 时，
BD2= (2 3 + 3 - 2 3)2+ (2 -
3 - 2)2= 9 + 3 = 12，
∴OB2- BD2= 16 - 12 = 4；
当D 的坐标为(2 3 - 3，2 +
3) 时，
BD2= (2 3 - 3 - 2 3)2+ (2 +
3 - 2)2= 9 + 3 = 12，
∴OB2- BD2= 16 - 12 = 4；
综上，OB2- BD2= 4．
故答案为：4．
33．【分析】作AE ⊥x 轴于E，由矩形的面积可以求
得△AOC 的面积是3，然后通过证得△OEA ∽
△AOC，求得S△OEA = 4
3 ，最后通过反比例函数系数k
的几何意义即可求得k 的值．
【解答】解：作AE ⊥x 轴于E，
∵矩形OABC 的面积是6，
∴△AOC 的面积是3，
∵∠AOC = 90°，cos∠OAC = 2
3 ，
∴OA
AC = 2
3 ，
∵对角线AC ⎳x 轴，
∴∠AOE = ∠OAC，
∵∠OEA = ∠AOC = 90°，
∴△OEA ∽△AOC，
∴S△OEA
S△AOC
=
OA
AC
2
，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·100·
∴S△OEA
3
= 4
9 ，
∴S△OEA = 4
3 ，
∵S△OEA = 1
2 |k|，k < 0，
∴k =- 8
3 ．
故答案为：- 8
3 ．
34．【分析】证明出点A、B 为矩形边的中点，根据
三角形OAB 的面积求出矩形面积，再求出三角形
ABC 面积即可．
【解答】解：如图，延长CA 交y 轴于E，延长CB 交x
轴于点F，
∴CE ⊥y 轴，CF ⊥x 轴，
∴四边形OECF 为矩形，
∵x2= 2x1，
∴点A 为CE 的中点，
由几何意义得，SΔOAE = SΔOBF，
∴点B 为CF 的中点，
∴SΔOAB = 3
8 S矩形OECF = 6，∴S矩形OECF = 16，
∴SΔABC = 1
8 × 16 = 2．故答案为：2．
2
35．【分析】构造全等三角形推出点B 的含有m 的坐
标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关
于m 的方程，解出m 即可求出A 的坐标，
【解答】解：过点A 作x 轴的平行线交y 轴于点M，过
点B 作y 轴的平行线交MA 的延长线于点N．
∵∠MOA + ∠MAO = 90°，∠NAB + ∠MAO = 90°，
∴∠MOA = ∠NAB，
∵∠AMO = ∠ANB = 90°，AO = AB．
∴ΔAMO ≅ΔBNA(AAS)，
∴AM = NB = m，MO = AN = 2．
∴A(m,2)，B(m + 2,2 - m)，
∵点A、B 都在反比例函数上，
∴2m = (m + 2) (2 - m)，
解得：m1=-1 +
5，m2=-1 -
5(舍去)，
∴点A 的坐标为(-1 +
5，2)，
∴k = xy = 2( 5 - 1) = 2 5 - 2．
36．【分析】先根据直角三角形中30° 的角所对的直角
边是斜边的一半求出AB，再根据勾股定理求出OA，
在RtΔAOE 中求出AE，OE，最后根据点C 是OA 的
中点求出点C 的坐标，利用待定系数法求出k 的值即
可．
【解答】解：过点A 作AE ⊥OB 于点E，过点C 作
CF ⊥OB 于点F，
∵∠A = 90°，∠AOB = 30°，OB = 4，
∴AB = 1
2 OB = 1
2 × 4 = 2，
由勾股定理得OA =
OB2-AB2 =
42-22 = 2 3，
在RtΔAOE 中，∠AOB = 30°，OA = 2 3，
∴AE = 1
2 OA = 1
2 × 2 3 =
3，
由勾股定理得OE =
OA2-AE 2 =
(2 3)2-( 3)2 =
3，
∵点C 是OA 的中点，
∴CF = 1
2 AE =
3
2 ，OF = 1
2 OE = 3
2 ，
∵点C 在第一象限，
∴点C 的坐标是
3
2 ,
3
2
，
∵反比例函数y = k
x 的图象经过OA 的中点C，
∴k = 3
2 ×
3
2
= 3 3
4
，
故答案为：3 3
4
．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·101·
37．【分析】依据题意，点C 在AB 的垂直平分线上，
可得直线OC 为y =- 1
2 x，故可设C a,- 1
2 a
，再由
AC = AB 求出a 的值代入y = k
x 即可求解．
【解答】解：由题意，建立方程组
y=2x
y= 2
x
，
∴x=1
y=2
或x=-1
y=-2
．
∴A(1,2)，B(-1, -2)．
∴A、B 关于原点对称．
∴AB 的垂直平分线OC 过原点．
∵直线AB 为y = 2x，
∴直线OC 为y =- 1
2 x．
∴可设C a,- 1
2 a
．
又ΔABC 为等边三角形，
∴AC = AB．
∴根据两点间的距离公式可得：
(a-1)2+ - 1
2 a-2
2
=
(1+1)2+(2+2)2．
∴a =±2 3．
∴C(2 3，- 3) 或(-2 3，
3)．
将点C 代入y = k
x 得，
k =-6．
故答案为：-6．
38．【分析】解含30° 角的直角三角形，依次求出
OB，OC 的长，再求出∠COx 的度数，求出点C 的坐
标，即可求得k 的值．
【解答】解：过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E，
∵∠AOB = ∠BOC = 30°，BA ⊥OA，CB ⊥OB，
AB =
3，
∴OB = 2AB = 2 3，∠COE = 90° -30° -30° = 30°，
在Rt△OBC 中OB
OC =
3
2 ，即2 3
OC =
3
2 ，
∴OC = 4，
在Rt△OCE 中CE
OC = 1
2 ，即CE
4
= 1
2 ，CE = 2，
OE
OC =
3
2 ，即OE
4
=
3
2 ，
∴OE = 2 3，
∴点C(2 3，2)，
∴k = 2 3 × 2 = 4 3．
故答案为：4 3．
39．【分析】根据矩形的性质得到OC = AB = 3，根
据正方形的性质得到CD = CF = EF，设CD = m，
BC = 2m，得到B(3,2m)，E(3 + m,m)，设反比例函
数的表达式为y = k
x ，列方程即可得到结论．
【解答】解：∵四边形OABC 是矩形，
∴OC = AB = 3，
∵四边形CDEF 是正方形，
∴CD = CF = EF，
∵BC = 2CD，
∴设CD = m，BC = 2m，
∴B(3,2m)，E(3 + m,m)，
设反比例函数的表达式为y = k
x ，
∴3 × 2m = (3 + m) ⋅m，
解得m = 3 或m = 0(不合题意舍去)，
∴B(3,6)，
∴k = 3 × 6 = 18，
∴这个反比例函数的表达式是y = 18
x ，
故答案为：y = 18
x ．
40．【分析】连接BO，设AG = EG = a，由轴对称的
性质得到EC = AO = AE = 2a，AC = EO = 4a，利用
相似三角形的判定和性质得到S△EOD = 2，得到S△ACB
= 2，根据S△OCB = S△ACB + S△AOB 以及反比例函数的几
何意义即可得到结论．
【解答】解：连接OB，设对称轴MN 与x 轴交于G，
∵△ODE 与△CBA 关于MN 对称，
∴AG = EG，AC = EO，EC = AO，
∵点A 为OE 的中点，
设AG = EG = a，则EC = AO = AE = 2a，
∴AC = EO = 4a，
∵S△EAF = 1
4 ，
∴S△EGF = 1
2 S△EAF = 1
8 ，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·102·
∵GF ⎳OD，
∴△EFG ∽△EDO，
∴S△EGF
S△EOD
=
EG
EO
2
，
即
1
8
S△EOD
=
a
4a
2
，
∴S△EOD = 1
8 × 16 = 2，
∴S△ACB = 2，
∵AC = 4a，AO = 2a，
∴S△OCB = S△ACB + S△AOB = 2 + 1 = 3，
∴1
2 |k| = 3，
∵k < 0，
∴k =-6，
故答案为：-6．
★类型六：动点产生的函数图像★
1．【分析】分三种情况：点E 在AB 上时，点E 在
BC 上且l 与AD 相交时，点E 在BC 上且l 与CD 相交
时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解．
【解答】解：当点E 在AB 上时，如图，
∵∠A = 60°，l ⊥AD，
∴∠AEF = 30°，
∴AF = 1
2 AE = 1
2 x，EF =
AE 2-AF 2 =
3
2 x，
∴y = 1
2 AF ⋅EF = 1
2 ⋅1
2 x ⋅
3
2 x =
3
8 x2，
∴此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D
选项；
当点E 在BC 上且l 与AD 相交时，作BH ⊥AD，如
图，
∵∠A = 60°，BH ⊥AD，
∴∠ABH = 30°，
∴AH = 1
2 AB = 2，BH =
AB2-AH 2 = 2 3，
∴y = S△ABH + S矩形BEFH = 1
2 × 2 × 2 3 + 2 3 x-4
=
2 3x - 6 3，
∴此时图象为直线一部分；
当点E 在BC 上且l 与CD 相交时，如图，
∵∠C = ∠A = 60°，l ⊥BC，CE = AB + BC - x = 8
- x，
∴EF = CE ⋅tan60° =
3(8 - x)，
∴S△CEF = 1
2 CE ⋅EF = 1
2 (8 - x) ⋅
3(8 - x) =
3
2 (8
- x)2，
∴y = S菱形ABCD - S△CEF = AD ⋅BH -
3
2 (8 - x)2= 4 ×
2 3 -
3
2 (8 - x)2=-
3
2 x2+ 8 3x - 24 3，
∴此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B 选项；
故选：A．
2．【分析】依据题意，作PG ⊥AB，当x = 1 时，动
点Q 运动到点H 的位置，得到PH 2= 225 当点Q 运动
到点G 的时候，PQ2最小为81，HG = m - 1，勾股定
理求出m 的值，判断A；当x = m 时，点Q 运动到点
B，根据三线合一，得到BG = HG，进而求出n 的值，
判断B；连接AP，勾股定理求出AP2的长，确定C 的
纵坐标，判断C；依据题意，求出x = 15 时，可得点
Q 的位置，再利用勾股定理求出PK 2判断D．
【解答】解：如图，作PG ⊥AB 于G，当x = 1 时，动
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·103·
点Q 运动到点H 的位置，则由题意和图象可知PH 2=
225，当点Q 运动到点G 的时候，PQ2最小，即：
PG2= 81，HG = m - 1 = 12．
在Rt△PGH 中，由勾股定理，得225 = 81 + (m - 1)2，
∴m = 13．
∴A 错误．
∴AG = m = 13，HG = m - 1 = 12．
当x = n 时，点Q 运动到点B，则PB2= 225 - PH 2，
∴PB = PH，
∵PG ⊥AB，
∴BG = HG = 12，
∴AB = 13 + 12 = 25，
∴选项B 错误．
∴当x = 0，即点Q 在A 点时，
∴AP2= AG2+ PG2= 132+ 81 = 250．
∴点C 的纵坐标为250．
∴选项C 错误．
当x = 15 时，点Q 运动到点K，
∴AK = 15．
∴GK = AK - AG = 2．
∴PK 2= KG2+ PG2= 4 + 81 = 85．
∴点(15,85) 在该函数图象上．
∴选项D 正确．
故选：D．
3．【分析】利用正方形面积公式得出S = PD2= t2+
2，代入t = 1 求得S 的值即可判断①；根据图2 中的数
据求得函数的解析式即判断②；利用勾股定理求得
AC，进而求得AD 即可判断③；画出函数S = t2+ 2(0
≤t ≤2)，观察图象t1、t2关于t = 2 对称，即可判断
④．
【解答】解：在Rt△PCD 中CD =
2，PC = t，
则S = PD2= t2+ 2，
当S = 6 时，即t2+ 2 = 6，
解得：t = 2(负值已舍去)，
即BC = 2，
当t = 1 时，S = t2+ 2 = 3，故①正确；
由图象可知抛物线顶点为(4,2)，且过点(2,6)，
则抛物线的表达式为：S = a(t - 4)2+ 2，
将(2,6) 代入上式得：6 = a(2 - 4)2+ 2，
解得：a = 1，
则抛物线的表达式为：S = (t - 4)2+ 2 = t2- 8t + 18(2
≤x ≤8)，故②错误；
当S = 18 时，则t2- 8t + 18 = 18，
解得：t = 0(舍去) 或8，
则AB = 8 - 2 = 6，
∴AC =
AB2-BC2 =
62-22 = 4 2，
∴AD = 4 2 -
2 = 3 2，故③错误；
画出S = t2+ 2(0 ≤t ≤2)，如图：
从两个函数表达式看，两个函数a 相同，都为1，
若存在3 个时刻t1，t2，t3(t1< t2< t3) 对应的正方形
DPEF 的面积均相等，
从图象看，t1、t2关于t = 2 对称，
则1
2 (t1+ t2) = 2，
即t1+ t2= 4，故④正确．
故选：B．
4．【分析】根据运动轨迹可得△APD 的面积先增大，
再减小，当点P 运动到点C 时，△APD 的面积最大，
此时△APD 的面积为4，即可求得AC，再利用三角形
中位线定理即可解答．
【解答】解：根据题意动点P 从点A 出发，沿边AC →
CB 方向匀速运动过程中，△APD 的面积先增大，再
减小，
当点P 运动到点C 时，△APD 的面积最大，
根据函数图象可得此时△APD 的面积为4，
如图，
∵点D 为边AB 的中点，等腰直角三角形ABC，
∴S△ABC = 2S△ADP = 8 = 1
2 AC2，
可得AC = 4，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·104·
当点P 运动到CB 的中点时，如图，
∵点D 为边AB 的中点，
∴DP = 1
2 AC = 2，
故选：A．
5．【分析】AB．观察图象即可；
C．根据图象计算即可；
D．分别根据速度= 路程÷ 时间计算即可．
【解答】解：当= 2 时，s = 0，
∴两车出发2h 后相遇，
∴A 正确，不符合题意；
当t = 0 时，s = 280，
∴A，B 两地相距280km，
∴B 正确，不符合题意；
快车比慢车早14
3 - 7
2 = 7
6 (h) 到达目的地，
∴C 错误，符合题意；
快车的速度为280 ÷ 7
2 = 80(km/h)，慢车的速度为
280 ÷ 14
3 = 60(km/h)，
∴D 正确，不符合题意．
故选：C．
6．【分析】结合图象可得可得抛物线的对称轴为直线
x = 2000，可得函数的最值，进而可得y 随x 的变化情
况以及给定y 的值或者取值范围所对应的自变量及自变
量的取值情况．
【解答】解：A、当x ≥1000 时，y 随x 的增大先增大，
后减小，故A 选项错误，不符合题意；
B、∵抛物线过点(1000,0.6)，(3000.0.6)，
∴抛物线的对称轴为：直线x = 1000+3000
2
= 2000，
∵抛物线的开口向下，
∴x = 2000 时，y 有最大值，
故B 选项正确，符合题意；
C、由图象可得：当y = 0.6 时，x1= 1000，x2=
3000，
∴当y 时，1000 ≤x ≤3000，
故C 选项错误，不符合题意；
D、由图象可得当y = 0.4 时，x 对应的值有2 个，故
D 选项错误，不符合题意．
故选：B．
7．【分析】依据题意，当点P 在OA 上运动时，由题
意得CQ = x，CP = OC + OP =
2 +
2x，作PG ⊥
CD 于点G，求得CG = PG = x + 1，利用y = S△CPQ =
1
2 CQ ⋅PG 计算即可；当点P 在AB 上运动时，利用三
角形面积公式求解即可．
【解答】解：∵正方形ABCD 中，AB = 2cm，
∴AB = BC = CD = DA = 2cm，
∴AC =
2AD =
2AB = 2 2cm，OC = OA =
1
2 AC =
2cm．
当点P 在OA 上运动时，由题意得CQ = x，CP = OC
+ OP =
2 +
2x，
作PG ⊥CD 于点G，
∵∠PCG = 45°，
∴CG = PG = CP
2 = x + 1，y = S△CPQ = 1
2 CQ ⋅PG =
1
2 x2+ 1
2 x，是二次函数；
当点P 在AB 上运动时，由题意得CQ = x，
∴y = S△CPQ = 1
2 CQ ⋅BC = x 是一次函数．
故选：D．
8．【分析】依据题意，当P 到C 时，DP2= y = 7，
可得DC2= 7，再作DH ⊥BC 于H，进而求出BH =
1
2 BD = 1，CH = 2，故可判断①；找出t = 5 时，P
的位置，进而可以判断②；再由当4 时，此时P 从如图
的位置运动到A，紧扣特殊位置进行分析可得，3
4 ，
故可判断③；又由t1+ t2= 6，t1< t2，可得t2= 6 - t1，
t1< 3，t2> 3，再结合当0 时，y = (t - 1)2+ 3；当3
时，y = (t - 5.5)2+ 3
4 ，从而作差y1- y2= (t1- 1)2+
3 - (t1- 0.5)2- 3
4 = 3 - t1> 0，故可判断④．
【解答】解：由题意，当P 到C 时，DP2= y = 7，
∴DC2= 7．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·105·
作DH ⊥BC 于H，如图1 所示，
∵∠B = 60°，BD = 2，
∴BH = 1
2 BD = 1，DH =
BD2-BH 2 =
3．
∴CH =
DC2-DH 2 =
7-3 = 2．
∴BC = BH + CH = 1 + 2 = 3．
∴AB = BC = 3，故①正确．
∴此时t = AB ÷ 1 = 3(秒)．
∴当t = 5 时，P 在AC 上，且PC = 2．
如图2，AD = AP = 1，
又∠A = 60°，
∴△ADP 是等边三角形．
∴DP = AD = AP = 1．
∴y = DP2= 1，故②正确．
当4 时，如图3，
∴PC = 1，此时P 从如图的位置运动到A．
∴AH = 1
2 AD = 1
2 ．
∴DH =
3
2 ，此时P 运动到H 时y = DH 2取最小值为
3
4 ．
又HP = AC - AH - PC = 3 - 1
2 - 1 = 3
2 ，
∴DP =
DH 2+HP2 =
3．
∴此时y = DP2取最大值为3．
∴当4 时，3
4 ，故③错误．
∵t1+ t2= 6，t1< t2，
∴t1+ t2< 2t2，2t1< t1+ t2，t2= 6 - t1．
∴t1< 3，t2> 3．
又由题意，可得，当0 时，y = (t - 1)2+ 3；当3 时，
y = (t - 5.5)2+ 3
4 ，
∴y1= (t1- 1)2+ 3，y2= (t2- 5.5)2+ 3
4 = (t1- 0.5)2+
3
4 ．
∴y1- y2= (t1- 1)2+ 3 - (t1- 0.5)2- 3
4
= 3 - t1> 0．
∴y1> y2，故④正确．
故选：D．
9．【分析】过D 作DH ⊥AB 于H，求出AC =
AB2+BC2 = 2 5，BD = AB⋅BC
AC
= 4 5
5
；可得
CD =
BC2-BD2 = 2 5
5
，AD = AC - CD = 8 5
5
，
故DH = AD⋅BD
AB
= 8
5 ，从而S△ADE = 1
2 AE ⋅DH =
1
2 x × 8
5 = 4
5 x，S△BDE = 1
2 BE ⋅DE = 1
2 (4 - x) × 8
5
= 16
5 - 4
5 x；证明△BDE ∽△CDF，可得S△CDF
S△BDE
=
CD
BD
2
= 1
4 ，故S△CDF = 1
4 S△BDE = 1
4
16
5 - 4
5 x
=
4
5 - 1
5 x，从而y = S△ABC - S△ADE - S△CDF =- 3
5 x +
16
5 ，观察各选项可知，A 符合题意．
【解答】解：过D 作DH ⊥AB 于H，如图：
∵∠ABC = 90°，AB = 4，BC = 2，
∴AC =
AB2+BC2 = 2 5，
∵BD 是边AC 上的高，
∴BD = AB⋅BC
AC
= 4×2
2 5 = 4 5
5
；
∴CD =
BC2-BD2 = 2 5
5
，AD = AC - CD =
8 5
5
，
∴DH = AD⋅BD
AB
=
8 5
5
× 4 5
5
4
= 8
5 ，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·106·
∴S△ADE = 1
2 AE ⋅DH = 1
2 x × 8
5 = 4
5 x，S△BDE =
1
2 BE ⋅DH = 1
2 (4 - x) × 8
5 = 16
5 - 4
5 x；
∵∠BDE = 90° -∠BDF = ∠CDF，∠DBE = 90°
-∠CBD = ∠C，
∴△BDE ∽△CDF，
∴S△CDF
S△BDE
=
CD
BD
2
=
2 5
5
4 5
5
2
= 1
4 ，
∴S△CDF = 1
4 S△BDE = 1
4
16
5 - 4
5 x
= 4
5 - 1
5 x，
∴y = S△ABC - S△ADE - S△CDF = 1
2 × 2 × 4 - 4
5 x -
4
5 - 1
5 x
=- 3
5 x + 16
5 ，
∵- 3
5 < 0，
∴y 随x 的增大而减小，且y 与x 的函数图象为线段(不
含端点)，
观察各选项图象可知，A 符合题意；
故选：A．
10．【分析】先求得菱形的面积为6 3cm2，进而分三
种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，
重合部分为菱形，分别求得重叠部分的面积与运动时
间的函数关系式，结合选项，即可求解．
【解答】解：如图所示，设EG，HF 交于点O，
∵菱形EFGH，∠E = 60°，
∴HG = GF，∠HGF = ∠E = 60°，
∴△HFG 是等边三角形，
∵EF = 2 3cm，∠E = 60°，
∴∠OEF = 30°，
∴EG = 2EO = 2 × EFcos30° =
3EF = 6cm，
∴S菱形EFGH = 1
2 EG ⋅FH = 1
2 × 6 × 2 3 = 6 3 cm2
，
当0 时，重合部分为△MNG，如图所示，
依题意，△MNG 为等边三角形，
运动时间为t，则NG =
t
cos30° = 2 3
3
t(cm)，
∴S = 1
2 × NG × NG × sin60° =
3
4
2 3
3
t
2
=
3
3 t2
(cm2)；
当3 < t 时，如图所示，
依题意，EM = EG - t = 6 - t(cm)，则EK =
EM
sin60°
= 6-t
3
2
= 2 3
3
(6 - t) (cm)，
∴S△EKJ = 1
2 EJ ⋅EM = 1
2 × 2 3
3
(6 - t)2=
3
3 (6 - t)2
(cm2)，
∴S = S菱形形EFGH - S△EKJ = 6 3 -
3
3 (6 - t)2=-
3
3 t2
+ 4 3t - 6 3 cm2
；
∵EG = 6cm < BC，
∴当6 < t 时，S = 6 3cm2；
当8 < t 时，同理可得，S = 6 3 -
3
3 (t - 8)2(cm2)；
当11 < t 时，同理可得，S =
3
3 [6 - (t - 8)]2=
3
3
(14 - t)2(cm2)；
综上所述，当0 时，函数图象为开口向上的一段抛物
线，当3 < t 时，函数图象为开口向下的一段抛物线，
当6 < t 时，函数图象为一条线段，当8 < t 时，函数图
象为开口向下的一段抛物线，当11 < t 时，函数图象为
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·107·
开口向上的一段抛物线，
故选：D．
11．【分析】根据函数图象推导出E 点的意义是两车
相遇，F 点意义是乙车休息后再出发，据此判断D；
乙车休息后两者同时到达C 地，则甲车的速度比乙车
的速度慢，据此推导甲，乙两车速度与AC 的距离，从
而判断B，C；设x 小时两辆车相遇，依题意得：60x
= 2 × 70 + 20，解答即可判断A．
【解答】解：根据函数图象可得AB 两地之间的距离为
20 - 0 = 20(km)，
两车行驶了4 小时，同时到达C 地，如图所示，在1 -
2 小时，两车同向运动，在第2 小时，即点D 时，两者
距离发生改变，此时乙车休息，E 点的意义是两车相
遇，F 点意义是乙车休息后再出发，
∴乙车休息了1 小时，故D 不正确，不符合题意；
设甲车的速度为a km/h，乙车的速度为b km/h，
根据题意，乙车休息后两者同时到达C 地，则甲车的
速度比乙车的速度慢，a < b，
∵2b + 20 - 2a = 40，即b - a = 10，
在DE - EF 时，乙车不动，则甲车的速度是40+20
1
= 60(km/h)，乙车休息前速度为70km/h，
∴甲车速度为60km/h，故C 不正确，不符合题意；
∴AC 的距离为4 × 60 = 240(千米)，故B 不正确，不符
合题意；
设x 小时两辆车相遇，依题意得：60x = 2 × 70 + 20，
解得：x = 8
3 ，即8
3 小时时，两车相遇，故A 正确，
符合题意；
故选：A．
12．【分析】结合图象，得到当x = 0 时，PO = AO
= 4，当点P 运动到点B 时，PO = BO = 2，根据菱形
的性质，得∠AOB = ∠BOC = 90°，继而得到AB =
BC =
OA2+OB2 = 2 5，当点P 运动到BC 中点时，
PO 的长为1
2 BC =
5，解得即可．
【解答】解：结合图象，得到当x = 0 时，PO = AO =
4，
∴当点P 运动到点B 时，PO = BO = 2，
∵菱形ABCD，
∴AC ⊥BD，
∴∠AOB = ∠BOC = 90°，
∴AB = BC =
OA2+OB2 = 2 5，
当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为1
2 BC =
5，
故选：C．
13．【分析】①由乙比甲晚出发30min 及当x = 50 时
y 第一次为0，可得出乙出发20min 时两人第一次相
遇，进而可得出结论①正确；
②观察函数图象，可得出当x = 86 时，y 取得最大值，
最大值为3600，进而可得出结论②正确；
③设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min，利用
路程= 速度× 时间，可列出关于x，y 的二元一次方程
组，解之可得出x，y 的之，将其代入86 + 3600
x+y 中，
可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后
98min，进而可得出结论③错误；
④利用路程= 速度× 时间，即可求出A，B 两地之间
的距离是11200m．
【解答】解：①∵乙比甲晚出发30min，且当x = 50
时，y = 0，
∴乙出发50 - 30 = 20(min) 时，两人第一次相遇，
即甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20min，
结论①正确；
②观察函数图象，可知：当x = 86 时，y 取得最大值，
最大值为3600，
∴甲出发86min 时，甲、乙两人之间的距离达到最大
值3600m，结论②正确；
③设甲的速度为x m/min，乙的速度为y m/min，
根据题意得：(50-10)x=(50-30)y
(86-30)y-(86-10)x=3600
，
解得：x=100
y=200
，
∴86 + 3600
x+y = 86 +
3600
100+200 = 98，
∴甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后98min，
结论③错误；
④∵200 × (86 - 30) = 11200(m)，
∴A，B 两地之间的距离是11200m，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
14．【分析】在解题之前我们一定要对此类面积问题
的动点函数图象有判断方法，切不可小题大作，去把
每一个解析式求出来再判断，那是此类题型最不优先
考虑的解法，
面积问题函数图象判断方法：①底和高一个是定值一
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·108·
个是变量，则图象是一次函数，如果变量是增加的，
则是y 随x 增大而增大的一次函数；如果变量是减小
的，则是y 随x 增大而减小的一次函数；②边底和高两
个都是变量，则函数图象一定是二次函数，两个变量
同增或同减，则是开口向上的二次函数；两个变量一
增一减，则是开口向下的二次函数．再运用以上方法
基本上可以快速定位答案．
【解答】解：在解题之前我们一定要对此类面积问题的
动点函数图象有判断方法，切不可小题大作，去把每
一个解析式求出来再判断，那是此类题型最不优先考
虑的解法，
面积问题函数图象判断方法：①底和高一个是定值一
个是变量，则图象是一次函数，如果变量是增加的，
则是y 随x 增大而增大的一次函数；如果变量是减小
的，则是y 随x 增大而减小的一次函数；②边底和高两
个都是变量，则函数图象一定是二次函数，两个变量
同增或同减，则是开口向上的二次函数；两个变量一
增一减，则是开口向下的二次函数．
运用：本题中正方形EFGH 与等腰RtΔABC 的重合部
分主要分两部分，
①当重合部分全部在等腰RtΔABC 内部时，我们发现
重合部分实际就是正方形EFGH 的面积，此时正方形
边长在增大，就是底和高同增，所以这一部分是开口
向上的二次函数，选项只有AB 符合；
②当重合部分是正方形EFGH 的一部分时，我们发现
这一部分的长在增大，但是宽在减小，就是底和高一
增一减，所以这一部分是开口向下的二次函数，选项
A 符合．
故选：A．
15．【分析】根据函数的图象与坐标的关系求解．
【解答】解：(1) 体育场离该同学家2.5 千米，故(1) 是
正确的；
(2) 该同学在体育场锻炼的时间为：30 - 15 = 15 分钟，
故(2) 是正确的；
(3) 该同学跑步的平均速度：步行平均速度= (65 - 30)
÷ 15 > 2，故(3) 是错误的；
(4) 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5 倍，
则：a ÷ (103 - 88) = 1.5 × 2.5
15 ，
解得：a = 3.75，
故(4) 是正确的；
故选：C．
16．【分析】根据速度与时间的关系即可得出答案．
【解答】解：刚开始速度随时间的增大而增大，匀速跑
一段时间后减速到②，然后再加速再匀速跑到①，由
于体力原因，应该第一个50 米速度快，用的时间少，
第二个50 米速度慢，用的时间多，故他的速度大小
v(m/s) 随时间t(s) 变化的图象可能是D．
故选：D．
17．【分析】(1) 观察图象可知，当t = 4 时，点P 与
点B 重合，得到CP = CQ = 4，利用直角三角形的面
积公式进行计算，求出m 的值即可；
(2) 根据图象当t = 10 时，S = 10，此时CQ = 10，BP
= 10 - BC = 6，过点P 作PD ⊥AC，根据面积公式求
出PD 的长，证明△ADP ∽△ACB，列出比例式求出
AP 的长，进而求出AB 的长即可．
【解答】解：(1) 观察图象可知，当t = 4 时，点P 与点
B 重合，
∵动点P，Q 均以1cm/s 的速度从点C 同时出发，
∴CB = CP = CQ = 4cm，
∵∠C = 90°，
∴m = 1
2 CP ⋅CQ = 1
2 × 4 × 4 = 8，故答案为：8；
(2) 由图象可知，当t = 10 时，S = 10，此时CQ = 10，
BP = 10 - BC = 6，
过点P 作PD ⊥AC 于点D，如图，则∠PDA = 90°，
∵S = 1
2 CQ ⋅PD = 1
2 × 10PD = 10，∴PD = 2，
∵∠PDA = ∠C = 90°，∠A = ∠A，
∴△ADP ∽△ACB，∴AP
AB = PD
BC = 2
4 = 1
2 ，
∴AP = 1
2 AB，∴P 为AB 的中点，
∴AB = 2BP = 12，故答案为：12．
18．【分析】过点A 作AQ ⊥BC 于点Q，当点P 与Q
重合时，在图2 中F 点表示当AB + BQ = 12 时，点P
到达点Q，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，勾股
定理求得AQ．然后等面积法即可求解．
【解答】解：如图过点A 作AQ ⊥BC 于点Q，当点P
与Q 重合时，在图2 中F 点表示当AB + BQ = 12 时，
点P 到达点Q，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，
∴BC = 7，BQ = 4，QC = 3，
在RtΔABQ 中，AB = 8，BQ = 4，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·109·
∴AQ =
AB2-BQ2 =
82-42 = 4 3，
∵SΔABC = 1
2 AB × CG = 1
2 AQ × BC，
∴CG = BC×AQ
AB
= 7×4 3
8
= 7 3
2
．
故答案为：7 3
2
．
★类型七：圆综合★
1．【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵∠AOC = 40°，∠BOC = 15°，
∴∠AOB = ∠AOC - ∠BOC = 40° -15° = 25°，
∴AB
= 25
360 × 2πR = 5
36 πR(千米)．
∴点A 和点B 之间的劣弧长约为5
36 πR 千米．
故选：C．
2．【分析】由等腰直角三角形的性质得∠ABC =
∠ACB = 45°，AB = AC =
2
2 BC = 2 2，进而由
S阴影BC = 2 S扇形BCD-S△ABC
解答即可求解，
【解答】解：∵∠BAC = 90°，AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB = 45°，
∵BC = 4，
∴AB = AC =
2
2 BC = 2 2，
∴S阴影BC = 2 S扇形BCD-S△ABC
=
2 45π×42
360
- 1
2 ×2 2×2 2
= 4π - 8，
故选：D．
3．【分析】如图，延长DO 交⊙O 于点M，连接
PM，PF，OF，由垂径定理得AC
= CF
= BF
，进
而得∠AOC = ∠COF = ∠BOF = 60°，∠BOM =
∠AOC = 60° = ∠BOF，点F 关于AB 的对称点为点
M，根据两点之间线段最短得当E，P，M 三点共线
时，PE + PF 最小，最小值为EM 的长，在利用直角
三角形的性质即可求解．
【解答】解：如图，延长DO 交⊙O 于点M，连接
PM，PF，OF，
∵AE ⊥OD 于点E，交⊙O 于点F，F 为弧BC 的中
点，
∴AC
= CF
= BF
，
∴∠AOC = ∠COF = ∠BOF，
∵∠AOC + ∠COF + ∠BOF = 180°，
∴∠AOC = ∠COF = ∠BOF = 60°，
∴∠BOM = ∠AOC = 60° = ∠BOF，
∴点F 关于AB 的对称点为点M，
∴PM = PF，
∴PE + PF = PE + PM，
当E，P，M 三点共线时，PE + PF 最小，最小值为
EM 的长，
∵∠AOC = 60°，AD ⊥AB，
∴∠D = 30°，
∴OD = 2OA，
∵CD = 4，
∴OD = OC + 4 = 2OA = 2OC，即OC = 4，
∴OC = OA = OB = OM = OF = 4，
∵AF ⊥OC，∠AOC = 60°，
∴∠OAE = 30°，
∴OE = 1
2 OA = 2，
∴PE + PF 的最小值EM = OE + OM = 2 + 4 = 6．
故选：C．
4．【分析】连接AE，BE，OC，利用圆周角定理，
垂径定理，圆的切线的判定与性质直角三角形的边角
关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质对每
个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：①连接AE，BE，如图，
∵⊙O 的直径AB = 10，DE 是弦，AB ⊥DE，
∴BE
= BD
，
∵CEB
= EBD
，
∴CE
= BD
，
∴CE
= BE
= BD
，
∴∠CAE = ∠EAB = ∠BAD，
∴∠CAD = 3∠DAB．
∵∠DBF 为圆内接四边形ADBC 的外角，
∴∠DBF = ∠CAD = 3∠DAB．
∴①的结论正确；
②连接OC，
∵CE
= BE
，
∴OE 垂直平分BC，
∴GC = GB．
在△OCG 和△OBG 中，
OC=OB
OG=OG
GC=GB
，
∴△OCG ≅△OBG(SSS)，
∴∠OCG = ∠OBG．
由题意GB 与⊙O 相交，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·110·
∴∠OBG 为钝角，
∴∠OCG 为钝角，
∴OC 与GC 不垂直，
∴CG 不是⊙O 的切线．
∴②的结论不正确；
③∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠BCA = 90°，
∴AC ⊥BC．
设DE 交BO 于点H，
∵OE ⊥BC，AC ⊥BC，
∴OE ⎳AC，
∴∠EOB = ∠CAB，
∴sin∠EOB = sin∠BAC = 3
5 ，
∴EH
OE = 3
5 ，
∴EH = 3，
∴OH =
OE 2-EH 2 =
52-32 = 4，
∴BH = OB - OH = 1，
∴BE =
BH 2+EH 2 =
12+32 =
10．
∴③的结论正确；
④∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠BCA = 90°，
∵sin∠BAC = 3
5 ，sin∠BAC = BC
AB ，
∴BC = 3
5 AB = 6．
∴AC =
AB2-BC2 = 8．
∵BD
= BE
，
∴BD = BE =
10．
∴AD =
AB2-BD2 =
102-( 10)2 = 3 10．
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB = 90°，
∴∠BDF = ∠ACB = 90°，
∵∠F = ∠F，∴△FBD ∽△FAC，
∴FD
FC = FB
FA = BD
AC ，∴
FD
FB+6 =
10
8
FB
FD+3 10 =
10
8
，
解得：
FD= 13 10
9
FB= 50
9
．∴FD = 13 10
9
．
∴④的结论不正确．∴结论正确的有：①③．
故选：B．
5．【分析】利用三角形内心的性质得到∠BAD =
∠CAD，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的
性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；
通过证明∠DEB = ∠DBE 得到DB = DE，则可对④进
行判断．
【解答】解：∵E 是ΔABC 的内心，
∴AD 平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵E 是ΔABC 的内心，
∴∠EBC = 1
2 ∠ABC，∠ECB = 1
2 ∠ACB，
∵∠BAC = 60°，
∴∠ABC + ∠ACB = 120°，
∴∠BEC = 180° -∠EBC - ∠ECB = 180° - 1
2 (∠ABC
+ ∠ACB) = 120°，故②正确；
∵∠BAD = ∠CAD，
∴BD
= DC
，
∴OD ⊥BC，
∵点G 为BC 的中点，
∴G 一定在OD 上，
∴∠BGD = 90°，故③正确；
如图，连接BE，
∴BE 平分∠ABC，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·111·
∴∠ABE = ∠CBE，
∵∠DBC = ∠DAC = ∠BAD，
∴∠DBC + ∠EBC = ∠EBA + ∠EAB，
∴∠DBE = ∠DEB，
∴DB = DE，故④正确．
∴一定正确的①②③④，共4 个．
故选：D．
6．【分析】首先得出△AEB ≅△DEC，进而得出
△EBC 为等边三角形，由已知得出EF，BC 的长，进
而得出CM，BM 的长，再求出AM 的长，再由勾股定
理求出AB 的长．
【解答】解：如图，连接CD，在△AEB 和△DEC 中，
∠A=∠D
AE=ED
∠AEB=∠DEC
，
∴△AEB ≅△DEC(ASA)，
∴EB = EC，
∵BC = CE，
∴BE = CE = BC，
∴△EBC 为等边三角形，
∴∠ACB = 60°，
如图，作BM ⊥AC 于点M，
∵OF ⊥AC，
∴AF = CF，
∵△EBC 为等边三角形，
∴∠GEF = 60°，
∴∠EGF = 30°，
∵EG = 2，
∴EF = 1，
∵AE = ED = 3，
∴CF = AF = 4，
∴AC = 8，EC = 5，
∴BC = 5，
∵∠BCM = 60°，
∴∠MBC = 30°，
∴CM = 5
2 ，BM =
3CM = 5 3
2
，
∴AM = AC - CM = 11
2 ，
∴AB =
AM 2+BM 2 =
11
2
2
+ 5 3
2
2
= 7．
故选：B．
7．【分析】由垂径定理以及勾股定理可得CG = GF
= 5，即CF = 2CG = 10、AC = 13，由菱形的性质可
得CD = AC = 13，进而得到GD = 8、DF = 3、AD
= 4 13，如图：连接BC，BH，由圆周角定理可得
∠ACB = 90°、∠AHB = 90°，再解直角三角形可得AB
= 169
12 ，AH = 13
4
13；由菱形的性质以及平行线的
性质可得∠DAE = ∠CDA，如图：过H 作HF ⊥AE
于F，解直角三角形可得FH = 39
4 ，AF = 13
2 ，易得
FE = 13
2 ，最后运用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵AB ⊥CD，AG = 12，GF = 5，
∴CG = GF = 5，即CF = 2CG = 10，
∴AC =
AG2+CG2 =
122+52 = 13，
∵四边形ACDE 是菱形，
∵CD = AC = 13，
∴GD = CD - GC = 13 - 5 = 8，DF = CD - CF = 13
- 10 = 3，
∴AD =
AG2+GD2 =
122+82 = 4 13，
如图，连接BC，BH，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB = 90°，∠AHB = 90°，
∴cos∠CAB = AG
AC = AC
AB ，即12
13 = 13
AB ，
解得：AB = 169
12 ，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·112·
∴cos∠DAB = AG
AD = AH
AB ，即
12
4 13 = AH
169
12
，
解得：AH = 13
4
13，
∵四边形ACDE 是菱形，
∴CD ⎳AE，
∴∠DAE = ∠CDA，
如图，过H 作HM ⊥AE 于M，
∴sin∠DAE = sin∠GDA，cos∠DAE = cos∠GDA，
∴FH
AH = AG
AD ，AM
AH = GD
AD ，
∴
MH
13
4
13
=
12
4 13 , AM
13
4
13
=
8
4 13 ，
∴MH = 39
4 ，AM = 13
2 ，
∴ME = AE - AM = 13 - 13
2 = 13
2 ，
∴EH =
EM 2+MH 2 =
13
2
2
+ 39
4
2
= 13
4
13，
故答案为：3，13
4
13．
8．【分析】过点A 作AE ⊥BC 于E，过点D 作DF
⊥BC 于F，连接BD，过点B 作BH ⊥DC 于H，根
据圆的面积公式求出⊙O 的半径，根据勾股定理求出
BE，进而求出BC，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于E，过点D
作DF ⊥BC 于F，连接BD，过点B 作BH ⊥DC 于
H，
则四边形AEFD 为矩形，
∴AD = EF，
∵⊙O 的面积为16π，
∴⊙O 的半径为4，
∴AE = 8，
由勾股定理得：BE =
AB2-AE 2 =
102-82 = 6，
∵⊙O 与梯形ABCD 的各边都相切，AB = CD = 10，
∴AD + BC = AB + CD = 20，
∴AD = EF = 1
2 × (20 - 6 × 2) = 4，
∴BC = 6 + 4 + 6 = 16，
∵S△BDC = 1
2 BC ⋅AE = 1
2 CD ⋅BH，
∴BH = 16×8
10
= 64
5 ，
故答案为：64
5 ．
9．【分析】由矩形的性质得∠D = ∠BAD = 90°，由
EG = FG，得∠BEC = ∠GFE = ∠AFB = ∠BAC，推
导出∠ALB = ∠BAD = 90°，则∠GAC = ∠ABE = 90°
-∠BAC，而∠ABE = ∠ACG，AF = 1，EG = FG =
3，所以∠GAC = ∠ACG，则CG = AG = 4，可证明
△CDG ∽△AEG，得DG
EG = CG
AG = 1，则DG = EG =
3，求得AD = 7，CD =
7，则⊙O 的直径AC =
AD2+CD2 = 2 14．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD 是矩形，且矩形ABCD 内接于⊙O，
∴∠D = ∠BAD = 90°，
∴AC 是⊙O 的直径，
∵AF = 1，EG = FG = 3，
∴∠BEC = ∠GFE = ∠AFB，
∵∠BEC = ∠BAC，
∴∠AFB = ∠BAC，
∴∠ALB = ∠GAC + ∠AFB = ∠GAC + ∠BAC =
∠BAD = 90°，
∴∠GAC = ∠ABE = 90° -∠BAC，
∵∠ABE = ∠ACG，∴∠GAC = ∠ACG，
∴CG = AG = AF + FG = 1 + 3 = 4，
∵∠CDG = ∠AEG = 90°，∠CGD = ∠AGE，
∴△CDG ∽△AEG，∴DG
EG = CG
AG = 1，
∴DG = EG = 3，
∴AD = AG + DG = 4 + 3 = 7，CD =
CG2-DG2 =
42-32 =
7，
∴AC =
AD2+CD2 =
72+( 7)2 = 2 14，
∴⊙O 的直径为2 14，故答案为：2 14．
10．【分析】先理解题意，把深色硬币的圆心移动路
径都画出来，根据三边都等于2r，证明△AEF 是等边
三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求
出每条弧长，再加起来得出图3 与图4 这两种情形中深
色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答．
【解答】解：依题意，AE = EF = AF = 2r，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·113·
则△AEF 是等边三角形；
则∠AEF = ∠AFE = 60°，
同理得△CEF、△BFG、△DFG 是等边三角形，
则∠BFG = ∠BGF = ∠FGD = ∠GFD = ∠CEF =
∠EFC = 60°，
∴∠AFB = 180° -60° -60° = ∠CFD，
∴
，
=
，
∴
，
，
∴
；
依题意，AE = EF = AF = 2r，
∴△AEF 是等边三角形；
则∠AEF = ∠AFE = ∠FAE = 60°，
同理得△CAB、△AEB、△DEB 是等边三角形，
则
，
，
，
则2πr × 3 = 6πr，
则
，
故答案为：
．
11．【分析】如图所示，设数字0 记为圆心O，数字6
记为A，数字7 记为B，过点O 作OD ⊥AB 于点D，
首先得到线段AB 的长与其他的都不相等，然后求出
∠BOD = 75°，解直角三角形求出BD =
6+
2
4
，然
后利用三线合一求解即可．
【解答】解：如图所示，设数字0 记为圆心O，数字6
记为A，数字7 记为B，过点O 作OD ⊥AB 于点D，
眼肌运动训练图
使用方法：以0，1，2，3，⋯的顺序沿着箭头方向
移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行．
由图可得，线段AB 的长与其他的都不相等，
∵其中数字1 - 12 对应的点均匀分布在一个圆上，
∴360° ÷ 12 = 30°，
∴相邻两个数字与圆心O 组成的圆心角为30°，
∴∠AOB = 30° × 5 = 150°，
∴∠OAB = ∠OBA = 1
2 (180° -∠AOB) = 15°，
∵OD ⊥AB，
∴∠BOD = 75°，
∴sin∠BOD = sin75° = BD
OB ，
即
6+
2
4
= BD
1
，
∴BD =
6+
2
4
，
∵OA = OB，OD ⊥AB，
∴AB = 2BD =
6+
2
2
，
∴这条线段的长为
6+
2
2
，
故答案为：
6+
2
2
．
12．【分析】由矩形的性质得∠A = ∠D = ∠ABC =
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·114·
∠BCD = 90°，根据圆周角定理，可求得∠G =
1
2 ∠ABC = 45°，根据CE = GE，可推出∠GEC 为直
角，从点F 为EG 中点，可推出EF
EG = EF
CE = 1
2 ，接
着再证明△EAF ∽△CDE，利用相似三角形的性质求
解即可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A = ∠D = ∠ABC = ∠BCD = 90°，
∵∠G 为FC
所对的圆周角，FC
所对的圆心角为
∠ABC，
∴∠G = 1
2 ∠ABC = 45°，
∵将线段CE 绕点E 顺时针旋转至EG，
∴CE = GE，
∴∠ECG = ∠G = 45°，
∴∠GEC = 180° -∠G - ∠ECG = 180° -45° -45° = 90°，
∴∠AEF + ∠DEC = ∠AEF + ∠AFE = 90°，
∴∠DEC = ∠AFE，
又∵∠D = ∠A = 90°，
∴△EAF ∽△CDE，
∴EF
CE = AE
CD ，
∵点F 为EG 中点，
∴EF
EG = EF
CE = 1
2 ，
∵AE = 3，
∴AE
CD = 1
2 =
3
CD ，
∴CD = 6．
故答案为：6．
13．【分析】(1) 利用勾股定理进行求解即可；
(2) 利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，
再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段
AC 的中点G，利用网格确定点J 为线段A 的中点，则
G，J 为三角形的中位线，利用一组平行线确定点N 为
线段AQ 的中点，证明△ABH ≅△CBH 和△AHQ ≅
△CHM，得出AQ = CM，即CM = 2AN，最后利用切
线的性质和等腰三角形的性质，得出△AMQ 为等腰三
角形，再利用等腰三角形的性质得出MN ⊥AQ．
【解答】解：(1) 由勾股定理得PA =
1+1 =
2，
故答案为：
2；
(2) 如图所示，点M，N 即为所求，
作法：直线PA 与射线BC 的交点为M；取圆与网格线
的交点D 和E，连接DE；取格点F，连接AF，与
DE 相交于点O；连接BO 并延长，与AC 相交于点G，
与直线PA 相交于点H；连接CH 并延长，与网格线相
交于点I，连接AI，与网格线相交于点I；连接GJ，
与线段BA 的延长线相交于点N，则点M，N 即为所
求．
理由：∵∠DAE = 90°，
∴DE 为圆的直径，
∵AF 为正方形的对角线，
∴∠DAF = ∠EAF = 45°，
∴AF 垂直平分线段DE，
∴点O 为圆的圆心，
∴OA = OC，
又∵AB = BC，OB = OB，
∴△AOB ≅△COB(SSS)，
∴∠ABO = ∠CBO，
∴BG 平分∠ABC，
∴点G 为线段AC 的中点，
由网格可知点J 为线段AI 的中点，
∴GJ 为△ACI 的中位线，
∴GJ ⎳CI，
∴点N 为线段AQ 的中点，
∴AQ = 2AN，
∵AB = BC，BH = BH，∠ABH = ∠CBH，
∴△ABH ≅△CBH(SAS)，
∴AH = CH，∠BAH = ∠BCH，
∴∠QAH = ∠MCH，
又∵∠AHQ = ∠CHM，
∴△AHQ ≅△CHM(ASA)，
∴AQ = CM，即CM = 2AN，
延长BH 交QM 于点T，
∵AB = BC，AQ = CM，
∴BQ = BM，
∵∠QBH = ∠MBH，
∴BT ⊥QM，
∵AM 为圆的切线，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·115·
∴∠OAH = 90°，
∴∠OAB + ∠QAM = 90°，
∵OA = OB，
∴∠OBA = ∠OAB，
即∠QAM + ∠OBA = 90°，
∵∠OBA + ∠AQM = 90°，
∴∠QAM = ∠AQM，
∴△AMQ 为等腰三角形，
∴MN ⊥AQ，
∴点M，N 即为所求．
14．【分析】连接OE、OD、OG，过O 点作OH ⊥
DG 于H 点，CE 交AF 于P 点，如图，先根据切线的
性质得到AB ⊥AC，再根据平行四边形的性质得到
AC ⎳DE，所以AB ⊥DE，则利用垂径定理得到DF
= EF = 4，接着利用勾股定理计算出OF = 3，从而得
到AF 的长；利用平行线分线段成比例得到FP
PA =
EF
AC = 1
2 ，则可计算出PA = 16
3 ，PC = 8 13
3
，再
证明Rt△DOH ∽Rt△PCA，利用相似比求出DH，最
后根据垂径定理得到DG = 2DH = 20 3
13
．
【解答】解：连接OE、OD、OG，过O 点作OH ⊥
DG 于H 点，CE 交AF 于P 点，如图，
∵以AB 为直径的⊙O 与AC 相切于点A，
∴AB ⊥AC，
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AC ⎳DE，
∴AB ⊥DE，
∴DF = EF = 1
2 DE = 4，
∵AB = 10，
∴OA = OE = 5，
在Rt△OEF 中，OF =
OE 2-EF 2 =
52-42 = 3，
∴AF = OA + OF = 5 + 3 = 8；
∵DE ⎳AC，
∴FP
PA = EF
AC = 1
2 ，∠DEG = ∠PCA，
∴PA = 2
3 × 8 = 16
3 ，
在Rt△ACP 中，PC =
82+ 16
3
2
= 8 13
3
，
∵∠DOG = 2∠DEG，∠DOG = 2∠DOH，
∴∠DEG = ∠DOH，
∴∠DOH = ∠PCA，
∴Rt△DOH ∽Rt△PCA，
∴DH:AP = OD:PC，即DH: 16
3 = 5: 8 13
3
，
∴DH = 10 13
13
，
∵OH ⊥DG，
∴DG = 2DH = 20 13
13
．
故答案为：8，20 13
13
．
15．【分析】由圆周角定理得到∠BDC = 90°，由勾股
定理求出BD =
BC2-CD2 = 4，由△CDB ∽△CBA，
推出DB:BA = CD:CB，得到AB = 20
3 ，由平行线的
性质，圆周角定理推出∠F = ∠BAF，得到BF = AB
= 20
3 ，即可求出FD 的值．
【解答】解：∵AB 是圆的直径，
∴∠ADB = 90°，
∴∠BDC = 90°，
∵BC = 5，CD = 3，
∴BD =
BC2-CD2 = 4，
∵BC 切圆于B，
∴直径AB ⊥BC，
∴∠ABC = 90°，
∵∠BCD = ∠ACB，∠CDB = ∠ABC = 90°，
∴△CDB ∽△CBA，
∴DB:BA = CD:CB，
∴4:AB = 3:5，
∴AB = 20
3 ，
∵AF ⎳BE，
∴∠BAF = ∠ABE，
∵∠ABE = ∠ADE，∠F = ∠ADE，
∴∠F = ∠BAF，
∴BF = AB = 20
3 ，
∴FD = BF - BD = 20
3 - 4 = 8
3 ．
故答案为：20
3 ，8
3 ．
16．【分析】要求cos∠ABF 需要构造直角三角形，所
以过过F 作MN ⊥AB 于点M，交CD 于点N，求出
BM 和BF 的长度即可，折叠问题优先考虑勾股方程，
先根据切线长定理+Rt△ADE 求出AD = 4，AB = 6，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·116·
再根据△EFM ∽△FDN 得到FN = 2EM．DN = 2FM，
然后设参，利用Rt△EFM 建立勾股方程，从而求出
EM、FM 的长度，进而得到BM 的长度，最后利用勾
股定理求出BF 的长度即可得解．
【解答】解：如图，设△ADE 内切圆圆心为O，连接
OG，过O 作OH ⊥AB 于点H，过O 作OK ⊥AD 于
点K，则四边形OKAH 为正方形，
根据切线长定理可得DK = DG =
5 + 1，EH = EG =
5 - 1，
设⊙O 半径为r，则OK = OG = OH = r，
∴AK = AH = r，
∴AD = DK + AK =
5 + 1 + r，AE =
5 - 1 + r，
在Rt△ADE 中，DE = DG + EG = 2 5，AD2+ AE 2
= DE 2，
即( 5 + 1 + r)2+ ( 5 - 1 + r)2= (2 5)2，
解得r = 3 -
5 或r =-3 -
5(舍去)，
∴AD = 4，AE = 2，
∴AB = 3AE = 6，
∵折叠，
∴DF = AD = 4，EF = EA = 2，∠EFD = 90°，
过F 作MN ⊥AB 于点M，交CD 于点N，则∠EMF
= ∠DNF = 90°，
∵∠DFN = ∠FEM = 90° -∠EFM，
∴△EFM ∽△FDN，
∴EM
FN = FM
DN = EF
DF = 1
2 ，
∴FN = 2EM．DN = 2FM，
设EM = x，则FN = 2x，
∴FM = 4 - 2x，
在Rt△EFM 中，EM 2+ FM 2= EF 2，
即x2+ (4 - 2x)2= 22，
解得x = 6
5 或x = 2(舍去)，
∴EM = 6
5 ，FM = 4 - 2x = 8
5 ，
∴BM = AB - AE - EM = 14
5 ，
在Rt△BFM 中，BF =
BM 2+FM 2 = 2 65
5
，
∴cos∠ABF = FM
BF = 7 65
65
；
故答案为：7 65
65
．
17．【分析】①根据点D 是AC 弧的中点得AD 弧=
CD 弧，由此可对结论①进行判断；
②先证明∠ADE = ∠DAC 得AF = FD，再证明∠BDE
= ∠AGD 得FD = FG，由此可对结论②进行判断；
③在RtΔADG 中tan∠DAC = DG
AD =
2
AD ，在
RtΔABD 中tan∠ABD = AD
BD = AD
5
，再根据∠ABD
= ∠DAC 得AD2= 10，然后由勾股定理得AG =
14，
再由结论②正确可对结论③进行判断；
④先证明点D，C 为半圆弧上的三等分点，则∠ABD
= ∠DAC = 30°，由此得AD = 3，DG =
3，进而得
SΔADG = 1
2 AD ⋅DG = 3 3
2
，然后根据AF = FG 得
SΔDFG = 1
2 SΔADG = 3 3
4
，由此可对结论④进行判断，
综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵点D 是AC
的中点，
∴AD
= CD
，
∴∠ABD = ∠DAC，
故结论①正确；
②∵AB 是半圆的直径，
∴∠ADB = 90°，
∴∠ADE + ∠BDE = 90°，
∵DE ⊥AB，
∴∠BDE + ∠ABD = 90°，
∴∠ADE = ∠ABD，
∴∠ADE = ∠DAC，
∴AF = FD，
∵∠ADB = 90°，
∴∠ADE + ∠BDE = 90°，∠AGD + ∠DAC = 90°，
又∵∠ADE = ∠DAC，
∴∠BDE = ∠AGD，
∴FD = FG，
∴AF = FG，
故结论②正确；
③∵DG = 2，GB = 3，
∴BD = DG + GB = 5，
在RtΔADG 中，tan∠DAC = DG
AD =
2
AD ，
在RtΔABD 中，tan∠ABD = AD
BD = AD
5
，
∵∠ABD = ∠DAC，
∴AD
5
=
2
AD ，
∴AD2= 10，
在RtΔADG 中，由勾股定理得：AG =
AD2+DG2
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·117·
=
14，
∴AF = FG = 1
2 AG =
14
2
，
故结论③正确；
④∵点D 是AC
的中点，BD
= 2AD
，
∴AD
= DC
= CB
，
即点D，C 为半圆弧上的三等分点，
∴∠ABD = ∠DAC = 30°，
在RtΔABD 中，AB = 6，sin∠ABD = AD
AB ，
∴AD = AB ⋅sin∠ABD = 6 × sin30° = 3，
在RtΔADG 中，tan∠DAC = DG
AD ，
∴DG = AD ⋅tan∠DAC = 3 × tan30° = √3，
∴SΔADG = 1
2 AD ⋅DG = 1
2 × 3 ×
3 = 3 3
2
，
∵AF = FG，
∴SΔDFG = 1
2 SΔADG = 3 3
4
，
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．
18．【分析】连接OE，由OE = OC，AB = BC，可
得∠OEC = ∠BAC，AB ⎳OE，即可得cos∠ABC =
3
5 = cos∠EOC，由MN 是⊙O 的切线，得∠OEN =
90°，故OE
ON = 3
5 ，从而OC = OE = 6．
【解答】解：连接OE，如图：
∵OE = OC，
∴∠OEC = ∠OCE，
∵AB = BC，
∴∠BAC = ∠OCE，
∴∠OEC = ∠BAC，
∴AB ⎳OE，
∴∠ABC = ∠EOC，
∵cos∠ABC = 3
5 ，
∴cos∠EOC = 3
5 ，
∵MN 是⊙O 的切线，
∴∠OEN = 90°，
∴OE
ON = 3
5 ，
∵ON = 10，
∴OE = 6，
∴OC = OE = 6；
故答案为：6．
19．【分析】(1) 作图后，结合正多边形的外角的求法
即可得到结论；
(2) 把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应
的字母，把正六边形的中心到直线l 的距离转化为求
ON = OM + BE，再根据正六边形的性质以及三角函数
的定义，分别求出OM，BE 即可．
【解答】解：(1) 作图如图所示，
∵多边形是正六边形，
∴∠ACB = 60°，
∵BC ⎳直线l，
∴∠ABC = 90°，
∴α = 30°；
故答案为：30°；
(2) 取中间正六边形的中心为O，
作图如图所示，由题意得，AG ⎳BF，AB ⎳GF，
BF ⊥AB，
∴四边形ABFG 为矩形，
∴AB = GF，
∵∠BAC = ∠FGH，∠ABC = ∠GFH = 90°，
∴ΔABC ≅ΔGFH(SAS)，
∴BC = FH，
在RtΔPDE 中，DE = 1，PE =
3，
由图1 知AG = BF = 2PE = 2 3，OM = PE =
3，
∵BC = 1
2 (BF - CH) =
3 - 1，
∴AB =
BC
tan∠BAC =
3-1
3
3
= 3 -
3，
∴BD = 2 - AB =
3 - 1，
∵DE = 1
2 × 2 = 1，
∴BE = BD + DE =
3，
∴ON = OM + BE = 2 3．
∴中间正六边形的中心到直线l 的距离为2 3，
故答案为：2 3．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·118·
20．【分析】根据内切圆的定义和切线长定理，可以
计算出∠AOB 的度数和∠OGF 的度数，然后即可计算
出∠AFD 的度数．
【解答】解：连接OD，OE，OB，OB 交ED 于点G，
∵∠ACB = 70°，
∴∠CAB + ∠CBA = 110°，
∵点O 为ΔABC 的内切圆的圆心，
∴∠OAB + ∠OBA = 55°，
∴∠AOB = 125°，
∵OE = OD，BD = BE，
∴OB 垂直平分DE，
∴∠OGE = 90°，
∴∠AFD = ∠AOB - ∠OGF = 125° -90° = 35°，
故答案为：35°．
21．【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称
性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得r，
连接OE，取ED 的中点T，连接OT，在RtΔOET
中，根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图所示，依题意，GH = 2 = GQ，
∵过左侧的三个端点Q，K，L 作圆，QH = HL = 4，
又NK ⊥QL，
∴O 在KN 上，连接OQ，则OQ 为半径，
∵OH = r - KH = r - 2，
在RtΔOHQ 中，OH 2+ QH 2= QO2，
∴(r - 2)2+ 42= r2，
解得：r = 5；
连接OE，取ED 的中点T，连接OT，交AB 于点S，
连接PB，AM，过点O 作OU ⊥AM 于点U. 连接
OA．
由ΔOUN ∽ΔNPM，可得OU
NP = NU
PM = ON
MN ，
∴OU = 2 5
5
．MN = 2 5，
∴NU =
5
5 ，
∴AU =
OA2-OU2 = 11 5
5
，
∴AN = AU - NU = 2 5，
∴AN = MN，
∵AB ⎳PN，
∴AB ⊥OT，
∴AS = SB，
∴NS ⎳BM，
∴NS ⎳MP，
∴M，P，B 共线，
又NB = NA，
∴∠ABM = 90°，
∵MN = NB，NP ⊥MP，
∴MP = PB = 2，
∴NS = 1
2 MB = 2，
∵KH + HN = 2 + 4 = 6，
∴ON = 6 - 5 = 1，
∴OS = 3，
∵DE =
6EF，
设EF = ST = a，则ET = 1
2 DE =
6
2 a，
在RtΔOET 中，OE 2= OT2+ TE 2，即52= (3 + a)2+
6
2 a
2
，
整理得5a2+ 12a - 32 = 0，
即(a + 4) (5a - 8) = 0，
解得：a = 8
5 或a =-4，
∴题字区域的面积为
6a2= 64
25
6．
故答案为：5, 64
25
6．
★类型八：数论+代数推理★
1．【分析】根据题意逐项分析，对a0进行分类讨论，
即可求解．
【解答】解：当n = 1 时，a0+ a1= 4，
当a0= 0，a1= 4 时，整式M 为4x，
当a0> 0 时，整式M 不可能为单项式，
当n > 1 时，
∵a1，a2，⋯，an为正整数，
∴整式M 不可能为单项式，故满足条件的所有整式M
中有且仅有1 个单项式，①正确；
当n = 3 时，a0+ a1+ a2+ a3= 4，
当a0= 0 时，a1+ a2+ a3= 4，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·119·
则a1，a2，a3中有一个可能为2，故会有三种情况，对
应的整式M 为x + x2+ 2x3，x + 2x2+ x3，2x + x2+
x3，
当a0= 1 时，a1+ a2+ a3= 3，
则a1= a2= a3= 1，故会有一种情况，对应的整式M
为1 + x + x2+ x3，
当a0> 1 时，a1+ a2+ a3< 3，与a1，a2，⋯，an为正
整数矛盾，故不存在，
∴满足条件的所有整式M 的和为5x3+ 5x2+ 5x + 1，
故②错误；
∵多项式为二次三项式，
∴n = 2，
∴a0+ a1+ a2= 4，
因为多项式为三项式，故a0≠0，
当a0= 1 时，a1+ a2= 3，
则有1 + x + 2x2，1 + 2x + x2两种，
∵1 + x + 2x2= 2 x+ 1
4
2
+ 7
8 > 0，1 + 2x + x2= (x
+ 1)2> 0，
∴1 + x + 2x2，1 + 2x + x2两种都满足条件，
当a0= 2 时，a1+ a2= 2，
则有2 + x + x2一种，
∵2 + x + x2= x+ 1
2
2
+ 7
4 > 0，
∴2 + x + x2满足条件，
当a0> 2 时，a1+ a2< 2 与a1，a2，⋯，an为正整数
矛盾，故不存在，
所以其值一定为非负数的整式M 共有3 个，故③正确，
其中正确的个数是2 个，
故选：C．
2．【分析】先将二进制数10112化为十进制数，再将
其化为三进制数即可．
【解答】解：将二进制数10112化为十进制数为1 × 23+
0 × 22+ 1 × 21+ 1 × 20= 11，
∵11 = 1 × 32+ 0 × 31+ 2 × 30，
∴将二进制数10112化为三进制数为1023，
故选：A．
3．【分析】推出y =-x + 4 在1 时，1，即t = 1，即
可判断①；推出y = x2在0 时，0，即t = 2，即可判断
②；③设当0 < m，则k
n ≤y ≤k
m ，
当函数y = k
x (k > 0) 存在“3 级关联范围”时
k
n =3m
k
m =3n
，整理得
k
mn = 3，即可判断③；设m ≤x ≤
n < 1，则-m2+ 2m + 1 ≤y ≤-n2+ 2n + 1，当函数y
=-x2+ 2x + 1 存在“4 级关联范围”时，
-m2+2m+1=4m
-n2+2n+1=4n
，求出m 和n 的值，即可判断④．
【解答】解：①当x = 1 时，y =-x + 4 = 3，当x = 3
时，y =-x + 4 = 1，
∵a =-1 < 0，
∴y 随x 的增大而减小，
∴y =-x + 4 在1 时，1，即t = 1，
∴1 是函数y =-x + 4 的“1 级关联范围”；故①正确，
符合题意；
②当x = 0 时，y = x2= 0，当x = 2 时，y = x2= 4，
∵y = x2对称轴为y 轴，a = 1 > 0，
∴当x 时，y 随x 的增大而增大，
∴y = x2在0 时，0，即t = 2，
∴0 是函数y = x2的“2 级关联范围”，故②不正确，
不符合题意；
③∵k > 0，
∴该反比例函数图象位于第一、三象限，且在第一象限
内，y 随x 的增大而减小．
设当0 < m，则k
n ≤y ≤k
m ，
当函数y = k
x (k > 0) 存在“3 级关联范围”时
k
n =3m
k
m =3n
，
整理得：
k
mn = 3，
∵k > 0，0 < m，
∴总存在
k
mn = 3，
∴函数y = k
x (k > 0) 总存在“3 级关联范围”；故③正
确，符合题意；
④函数y =-x2+ 2x + 1 的对称轴为y =- b
2a = 1，
∵a =-1 < 0，
∴当x < 1 时，y 随x 的增大而增大，
设m ≤x ≤n < 1，则-m2+ 2m + 1 ≤y ≤-n2+ 2n +
1，
当函数y =-x2+ 2x + 1 存在“4 级关联范围”时，
-m2+2m+1=4m
-n2+2n+1=4n
，
解得：m=-1-
2
n=-1+
2
，
∴-1 -
2 ≤x ≤-1 +
2 是函数y =-x2+ 2x + 1 的
“4 级关联范围”，
∴函数y =-x2+ 2x + 1 存在“4 级关联范围”，故④不
正确，不符合题意；
综上：正确的有①③，
故选：A．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·120·
4．【分析】根据题意，对n 进行分类讨论即可．
【解答】解：∵n，an-1，⋯，a0为自然数，an为正整
数，且n + an+ an-1+⋯+a1+ a0= 5，
∴0，
当n = 4 时，则4 + a4+ a3+ a2+ a1+ a0= 5，
∴a4= 1，a3= a2= a1= a0= 0，
满足条件的整式有x4，
当n = 3 时，则3 + a3+ a2+ a1+ a0= 5，
∴(a3，a2，a1，a0) = (2，0，0，0)，(1，1，0，
0)，(1，0，1，0)，(1，0，0，1)，
满足条件的整式有：2x3，x3+ x2，x3+ x，x3+ 1，
当n = 2 时，则2 + a2+ a1+ a0= 5，
∴(a2，a1，a0) = (3，0，0)，(2，1，0)，(2，0，
1)，(1，2，0)，(1，0，2)，(1，1，1)，
满足条件的整式有：3x2，2x2+ x，2x2+ 1，x2+ 2x，
x2+ 2，x2+ x + 1；
当n = 1 时，则1 + a1+ a0= 5，
∴(a1，a0) = (4，0)，(3,1)，(1,3)，(2,2)，
满足条件的整式有：4x，3x + 1，x + 3，2x + 2；
当n = 0 时，0 + a0= 5，
满足条件的整式有：5；
∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故
①符合题意；
不存在任何一个n，使得满足条件的整式M 有且只有3
个，故②符合题意；
满足条件的整式M 共有1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 个，故③
符合题意；
故选：D．
5．【分析】根据点P(2a - 4,a + 3) 在第二象限得2a
- 4 < 0，a + 3 > 0，解得-3 < a < 2，由此可对选项
A 进行判断；根据“整点”定义得a =-2，-1，0，
1，进而得当a =-2 时，点P(-8,1)；当a =-1 时，点
P(-6,2)；当a = 0 时，点P(-4,3)；当a = 1 时，点P(
-2,4)，由此可对选项B 进行判断；根据“超整点”的
定义得：当a = 1 时，点P(-2,4) 是“超整点”，由此
可对选项C 进行判断；根据当点P 为“超整点”，则
点P 到两坐标轴的距离之和为6 可对选项D 进行判断，
综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵点P(2a - 4,a + 3) 在第二象限，
∴2a-4<0
a+3>0
，解得：-3 < a < 2，
故选项A 不正确，不符合题意；
∵点P(2a - 4,a + 3) 为“整点”，
∴a 为整数，
又∵-3 < a < 2，
∴a =-2，-1，0，1，
当a =-2 时，2a - 4 =-8，a + 3 = 1，此时点P(-8,
1)；
当a =-1 时，2a - 4 =-6，a + 3 = 2，此时点P(-6,
2)；
当a = 0 时，2a - 4 =-4，a + 3 = 3，此时点P(-4,
3)；
当a = 1 时，2a - 4 =-2，a + 3 = 4，此时点P(-2,
4)；
∴“整点” P 的个数是4 个，
故选项B 不正确，不符合题意；
根据“超整点”的定义得：当a = 1 时，点P(-2,4) 是
“超整点”，
∴点P 为“超整点”，则点P 的个数为1 个，
故选项C 正确，符合题意；
当点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和
为：| -2| +|4| = 6，
故选项D 不正确，不符合题意．
故选：C．
6．【分析】根据构造规律逐项推理判断即可．
【解答】解：第1 次构造得a1= 2 + 6 + 4 = 12，k = 1 =
21- 1，
第2 次构造得a2= 2 + 8 + 6 + 10 + 4 = 30 = a1+ 18 = a1
+ 6 × 31，k = 3 = 22- 1，
第3 次构造得a3= 2 + 10 + 8 + 14 + 6 + 16 + 10 + 14 +
4 = 84 = a2+ 54 = a2+ 6 × 32，k = 7 = 23- 1，故A 选
项正确；
第n 次构造为an= an-1+ 6 × 3n-1，则an- an-1= 6 ×
3n-1，an-1- an-2= 6 × 3n-2，an-2- an-3= 6 × 3n-3，
⋯，a2- a1= 6 × 31，相加得an- a1= 6 × 3n-1+ 6 ×
3n-2+ 6 × 3n-3+⋯+ 6 × 31= 6 × (3n-1+ 3n-2+⋯+31)，
令S = 3n-1+ 3n-2+⋯+31= 31+ 32+⋯+3n-2+ 3n-1 ①，
则3S = 32+ 33+⋯+3n ②，由①- ②得．-2S = 3 - 3n
⋯S = 3n-3
2
，即an- a1= 6 × (3n-1+ 3n-2+⋯+31) =
3n+1- 9，
∴an= 3n+1+ 3，则an+1= 3n+2+ 3，即an+1= 3an- 6，
故C 选项正确；
an
3 = 3n+ 13 为偶数，故B 选项正确；第n 次构造为
an= an-1+ 6 × 3n-1，k = 2n- 1，故D 选项错误．
故选：D．
7．【分析】依据题意，由“倍增点”的意义进行计算
进而判断①；设满足题意得“倍增点” A 为(x,x + 2)，
从而可以求得A(0,2)，进而可以判断②；设抛物线上
的“倍增点”为(x,x2- 2x - 3)，从而建立方程求得
解，可以判断③；设B(x,y)，再由倍增点的意义得出
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·121·
y = 2(x + 1)，再利用两点间的距离公式表示出P1B，然
后利用配方可以判断④，从而可以得解．
【解答】解：依据题意，由“倍增点”的意义，
∵2(1 + 3) = 8 + 0，2(1 - 2) =-2 + 0，
∴点Q1(3,8)，Q2(-2, -2) 都是点P1的“倍增点”．
∴①正确．
对于②，由题意，可设满足题意得“倍增点” A 为(x,
x + 2)，
∴2(x + 1) = x + 2 + 0．
∴x = 0．
∴A(0,2)．
∴②错误．
对于③，可设抛物线上的“倍增点”为(x,x2- 2x -
3)，
∴2(x + 1) = x2- 2x - 3．
∴x = 5 或-1．
∴此时满足题意的“倍增点”有(5,12)，(-1,0) 两个．
∴③正确．
对于④，设B(x,y)，
∴2(x + 1) = y + 0．
∴y = 2(x + 1)．
∴P1B =
(x-1)2+y2 =
(x-1)2+4(x+1)2 =
5 x+ 3
5
2
+ 16
5 ．
∴当x =- 3
5 时，P1B 有最小值为4 5
5
．
∴④正确．
故选：C．
8．【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①
和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝
对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇
总得出答案．
【解答】解：|x - y| -z - m - n = x - y - z - m - n，
故说法①正确．
要使其运算结果与原多项式之和为0，则运算结果应为
-x + y + z + m + n，
由x > y > z > m > n 可知，无论怎样添加绝对值符号，
结果都不可能出现-x + y + z + m + n，故说法②正
确．
当添加一个绝对值时，共有4 种情况，分别是|x - y|
-z - m - n = x - y - z - m - n；x - |y - z| -m - n
= x - y + z - m - n；x - y - |z - m| -n = x - y - z +
m - n；x - y - z - |m - n| = x - y - z - m + n．当添
加两个绝对值时，共有3 种情况，分别是|x - y| -|z -
m| -n = x - y - z + m - n；|x - y| -z - |m - n| = x
- y - z - m + n；x - |y - z| -|m - n| = x - y + z - m
+ n．共有7 种情况；
有两对运算结果相同，故共有5 种不同运算结果，故说
法③不符合题意．
故选：C．
二．填空题(共14 小题)
9．【分析】先根据题中定义，结合题干例子可求解第
一空分别求得k = 3、5、7 ⋯2n + 1 对应等式，由此
得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案．
【解答】解：3
11 = 12
44 = 11+1
44
= 11
44 + 1
44 = 1
4 +
1
44 ，
由题意，
当k = 3 = 2 × 1 + 1 时，2
3 = 1+3
6
= 1
6 + 1
2 ，
当k = 5 = 2 × 2 + 1 时，2
5 = 1+5
15
= 1
15 + 1
3 ，
当k = 7 = 2 × 3 + 1 时，2
7 = 1+7
28
= 1
28 + 1
4 ，
⋯，
当k = 2n + 1 时，2
k =
1
(2n+1)(n+1) +
1
n+1 ，
又∵n = k-1
2
，
∴对于任意奇数k(k > 2)，2
k =
1
k(k+1)
2
+
1
k+1
2
，
故答案为：3
11 = 1
4 + 1
44 ，2
k =
1
k(k+1)
2
+
1
k+1
2
．
10．【分析】(1) 根据15 除以3 的余数为0 可得第一次
变换后的数为5，再根据5 除以3 的余数为2 可得第二
次变换后的数，同理可得第三次变换后的数；
(2) 第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结
果为3 或1
2 或0，再验证这三个数是否可经过变换后
得1 即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次
变换得到的数可推出n 的三个值，再同理可验证符合
题意的n，据此可得答案．
【解答】解：(1) ∵15 ÷ 3 = 5 ⋯0，
∴15 进行一次变换后得到的数为15
3 = 5；
∵5 ÷ 3 = 1 ⋯2，
∴15 进行二次变换后得到的数为5 + 1 = 6；
∵6 ÷ 3 = 2 ⋯0，
∴15 进行三次变换后得到的数为2，
故答案为：2；
(2) 当对正整数n 进行第一次变换后，所得的数除以3
的余数为0 时，则第一次变换后的数为1 × 3 = 3，此时
符合题意；
当对正整数n 进行第一次变换后，所得的数除以3 的余
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·122·
数为1 时，则第一次变换后的数为1
2 ，此时不符合题
意；
当对正整数n 进行第一次变换后，所得的数除以3 的余
数为2 时，则第一次变换后的数为1 - 1 = 0，此时不符
合题意；
综上所述，第一次变换后所得的数为3，
当n 除以3 的余数为0 时，则n = 3 × 3 = 9，符合题意；
当n 除以3 的余数为1 时，则n = 3
2 ，不符合题意；
当n 除以3 的余数为2 时，则n = 3 - 1 = 2，符合题意；
∴符合题意的n 的值是9 或2，
∴所有满足条件的n 的值之和为2 + 9 = 11，
故答案为：11．
11．【分析】根据要求最小的“十全数”，得到a =
1，c = 1，然后求出b = 10 - 1 = 9，d = 10 - 1 = 9，即
可得到最小的“十全数”是1919；根据题意表示出M
= 900a + 9c + 1010，M =-9a - 900c + 10100，然后
表示出F(M) = M-M
909
= a + c - 10，G(M) =
M+M
11
= 81a - 81c + 1010，然后表示出
4F(M)+G(M)+15
13
= 6a - 6c + 76 + 7a+c-3
13
，
ab
+cd
17
= a + c + 1 - 8a+8c-3
17
，然后根据题意得到
7a+c-3
13
与8a+8c-3
17
均是整数，得到7a + c - 3 能
被13 整除，8a + 8c - 3 能被17 整除，然后由1，1，
求出5 ≤7a + c - 3 ≤69，进而求解即可．
【解答】解：设四位数M = abcd
，
要求最小的“十全数”，
∴a = 1，c = 1，
∴b = 10 - 1 = 9，d = 10 - 1 = 9，
∴最小的“十全数”是1919；
∵一个“十全数” M = abcd
，
∴a + b = c + d = 10，
∴b = 10 - a，d = 10 - c，
∴M = abcd
= 1000a + 100(10 - a) + 10c + 10 - c =
900a + 9c + 1010，
∴M = dcba
= 1000(10 - c) + 100c + 10(10 - a) + a =
-9a - 900c + 10100，
∴F(M) = M-M
909
=
900a+9c+1010-(-9a-900c+10100)
909
= a + c - 10
∴G(M) = M+M
11
=
900a+9c+1010+(-9a-900c+10100)
11
= 81a - 81c +
10104
∴4F(M)+G(M)+15
13
= 4(a+c-10)+81a-81c+1010+15
13
= 85a-77c+985
13
= 6a - 6c + 76 + 7a+c-3
13
，
∴ab
+cd
17
= 10a+10-a+10c+10-c
17
= 9a+9c+20
17
= a + c + 1 - 8a+8c-3
17
，
∵4F(M)+G(M)+15
13
与ab
+cd
17
均是整数，
∴7a+c-3
13
与8a+8c-3
17
均是整数，
∴7a + c - 3 能被13 整除，8a + 8c - 3 能被17 整除，
∵1，1，
∴7 ≤7a ≤63，-2 ≤c - 3 ≤6，
∴5 ≤7a + c - 3 ≤69，
∴7a + c - 3 的值可以为13，26，39，52，65，
∴依次代入可得，当a = 3，c = 8 时，7a+c-3
13
= 2，
8a+8c-3
17
= 8a+8c-3
17
= 5 均是整数，符合题意，
∴b = 10 - a = 7，d = 10 - c = 2，
∴满足条件的M 的值是3782．
故答案为：1919，3782．
12．【分析】(1) 由定义直接判断求解即可；
(2) 依据每一选项逐一代入求解判断即可．
【解答】解：(1) 由题可知t = 1k+ 1k= 1 + 1 = 2，
故答案为：2；
(2) ①当k = 2，t = 1 时，
则1 =
a
c
2
+
b
c
2
= a2+b2
c2
，即a2+ b2= c2，
∴三角形为直角三角形，
故①正确，符合题意；
②当k = 1，a = 1
2 b + 2c = 1 时，
则t = a
c + b
c = a + b = 1
2 b + 2 + b = 3
2 b + 2，
1° 当a > b 时，a - b < c，即1
2 b + 2 - b < 1，
解得：b > 2；
2° 当a < b 时，b - a < c，即b - 1
2 b - 2 < 1，
解得：b < 6．
综上，2 < b < 6．
当b = 2 时，t = 3
2 × 2 + 2 = 5，
当b = 6 时，t = 3
2 × 6 + 2 = 11；
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·123·
∴5 < t < 11，
故②正确，符合题意；
③t = a
c + b
c = a+b
c
≤5
3 ，
∴a + b ≤5
3 c，
又a + b > c，
∴c < a + b ≤5
3 c，
不妨设a = n，则b = n + 1，c = n + 2，
∴n + 2 < 2n + 1 ≤5
3 (n + 2)，
解得：1 < n，
∴n 可取2，3，4，5，6，7，
对应的t 值分别为：5
4 , 7
5 , 3
2 , 11
7 , 13
8 , 5
3 ，共6 个，
故③错误，不符合题意．
故答案为：①②．
13．【分析】根据等式的性质，逐步分析即可．
【解答】解：∵等式两边同时乘或除以同一个不为0 的
整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成立．
∴对于等式2(a + b + c) = (a + b + c)，
当a + b + c = 0 时，该等式恒成立，
当a + b + c ≠0，两边同时除以(a + b + c)，得2 = 1，
∵a + b =-c，
∴a + b + c = 0，
∴上述推理过程中，第⑤步是错误的；
故答案为：⑤．
14．【分析】设a1+ a2+ a3+ a4+ a5= m，由题意可知
已知这五个和只有四个不同的值，不妨设m - ai = m
- aj(i ≠j)，那么这四个不同的值可以表示为m - a1，
m - a2，m - a3，m - a4(假设a5与前面某一个数相等)
且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明3m +
a5= 186，然后分四种情况解答即可．
【解答】解：设a1+ a2+ a3+ a4+ a5= m，那么去掉a1
后和为m - a1，去掉a2后和为m - a2，去掉a3后和为
m - a3，去掉a4后和为m - a4，去掉a5后和为m - a5；
∵已知这五个和只有四个不同的值，
∴不妨设m - ai = m - aj(i ≠j)，
那么这四个不同的值可以表示为m - a1，m - a2，m
- a3，m - a4(假设a5与前面某一个数相等)，
∵这四个值分别是45、46、47、48，
∴(m - a1) + (m - a2) + (m - a3) + (m - a4) = 45 + 46
+ 47 + 48 = 186，即4m - (a1+ a2+ a3+ a4) = 186，
∵a1+ a2+ a3+ a4+ a5= m，
∴a1+ a2+ a3+ a4= m - a5，
∴4m - (m - a5) = 186，即3m + a5= 186，
当m - a5= m - a1= 45 时，即a5= m - 45，
∴3m + m - 45 = 186，解得：m = 231
4 ，不是整数，
不符合题意，
当m - a5= m - a2= 46 时，a5= m - 46，
∴3m + m - 46 = 186，解得：m = 58，符合题意，
当m - a5= m - a3= 47 时，即a5= m - 47，
∴3m + m - 47 = 186，解得：m = 233
4
，不是整数，
不符合题意；
当m - a5= m - a4= 48 时，a5= m - 48，
∴3m + m - 48 = 186，解得：m = 234
4
，不是整数，
不符合题意；
综上，m = 58，即a1+ a2+ a3+ a4+ a5= 58，
方法2：设a1+ a2+ a3+ a4+ a5= m，令a1+ a2+ a3+
a4= 45，a1+ a2+ a3+ a5= 46，a1+ a2+ a4+ a5= 47，
a1+ a3+ a4+ a5= 48，a2+ a3+ a4+ a5= x，
∴4(a1+ a2+ a3+ a4+ a5) = 45 + 46 + 47 + 48 + x，
∴4m = 186 + x，
∵x 是45、46、47、48 中的一个，并且m 是整数，
∴x = 46，
∴a1+ a2+ a3+ a4+ a5= 58，
故答案为：58．
15．【分析】先根据k ⊗A = k个A
呸
A⊕A⊕A⊕⋯⊕A
，令k = 1，2，3
⋯，求出相应的结果，进而推导出当k = m 时的结果，
利用新定义，求出M，N，再根据新定义求出M ⊕N，
根据M ⊕N 不含xy 项，得到xy 项的系数为0，进行求
解即可．
【解答】解：∵k ⊗A = k个A
呸
A⊕A⊕A⊕⋯⊕A
，
∴当k = 1 时，1 ⊗A = A = (21- 1)A；
当k = 2 时，2 ⊗A = A ⊕A = 2A + A = 3A = (22- 1)
A；
当k = 3 时，3 ⊗A = A ⊕A ⊕A = 3A ⊕A = 2 × 3A +
A = 7A = (23- 1)A；
当k = 4 时，3 ⊗A = A ⊕A ⊕A ⊕A = 3A ⊕A ⊕A =
7A ⊕A = 15A = (24- 1)A；
⋯，
∴当k = m 时，m ⊗A = (2m - 1)A，当k = n 时，n ⊗
A = (2n- 1)A，
∴M = m ⊗(x2+ 31xy) = (2m - 1) (x2+ 31xy)，N = (2n
- 1) (y2- 14xy)，
∴M ⊕N = 2M + N = 2(2m - 1) (x2+ 31xy) + (2n- 1)
(y2- 14xy)
= (2m+1- 2)x2+ (2n- 1)y2+ [62 ⋅(2m - 1) - 14(2n- 1)]
xy，
∵M ⊕N 不含xy 项，
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·124·
∴62 ⋅(2m - 1) - 14(2n- 1) = 0，
∴31(2m - 1) - 7(2n- 1) = 0．
设2m = a，2n= b，
则：3la - 7b = 24，
∴b = 31a-24
7
，
∵a，b 均为2 的整数幂，为偶数，
∴a=8
b=32
，
∴2m = 8，2n= 32，
∴m=3
n=5
，
∴mn = 15，
故答案为：15．
16．【分析】设m = 10a + b，则n = 10a + 8 - b(1 ≤a
≤9,0 ≤b ≤8)，根据最小的“方减数”可得m = 10，
n = 18，即可求解；根据B 除以19 余数为1，且2m +
n = k2(k 为整数)，得出3a+4b+7
19
为整数，30a + b +
8 是完全平方数，在1，0，逐个检验计算，即可求解．
【解答】解：①设m = 10a + b，则n = 10a + 8 - b(1 ≤
a ≤9,0 ≤b ≤8)，
由题意得：m2- n = (10a + b)2- (10a + 8 - b)，
∵1，
∴要使“方减数”最小，需a = 1，
∴m = 10 + b，n = 18 - b，
∴m2- n = (10 + b)2- (18 - b) = 100 + 20b + b2- 18 +
b = 82 + b2+ 21b，
当b = 0 时，m2- n 最小为82；
②设m = 10a + b，则n = 10a + 8 - b(1 ≤a ≤9,0 ≤b
≤8)，
∴B = 1000a + 100b + 10a + 8 - b = 1010a + 99b + 8，
∵B 除以19 余数为1，
∴1010a + 99b + 7 能被19 整除，
∴B-1
19
= 53a + 5b + 3a+4b+7
19
为整数，
又2m + n = k2 (k 为整数)，
∴2(10a + b) + 10a + 8 - b = 30a + b + 8 是完全平方数，
∵1，0，
∴38 ≤30a + b + 8 ≤286，
∴7 ≤k ≤16，
设3a + 4b + 7 = 19t，t 为正整数，则1，
(Ⅰ) 当t = 1 时，3a + 4b = 12，则b = 3 - 3
4 a，30a +
b + 8 = 30a + 3 - 3
4 a + 8 是完全平方数，
又1，0，此时无整数解，
(Ⅱ) 当t = 2 时，3a + 4b = 31，则b = 31-3a
4
，30a +
b + 8 = 30a + 31-3a
4
+ 8 是完全平方数，
又1，0，此时无整数解，
(Ⅲ) 当t = 3 时，3a + 4b = 50，则b = 50-3a
4
，30a
+ b + 8 = 30a + 50-3a
4
+ 8 是完全平方数，
若a = 6，b = 8，则3a + 4b + 7 = 57 = 19 × 3，30 × 6
+ 8 + 8 = 196 = 142，
∴t = 3，k = 14，
此时m = 10a + 8 = 68，n = 10a + 8 - b = 60，
∴A = 682- 60 = 4564，
故答案为：82，4564．
17．【分析】根据新定义得到a + d = b + c = 9，再由
b - a = c - b = 1 可求出a、b、c、d 的值，进而可得
答案；先求出M = 999a + 90b + 99，进而得到
F(M)+ab
+cd
13
= 9a + 8 + 3a+b+6
13
，根据
F(M)+ab
+cd
13
是整数，得到9a + 8 + 3a+b+6
13
是整
数，即3a+b+6
13
是整数，则3a + b + 6 是13 的倍数，
求出a，再按照a 从大到小的范围讨论求解即可．
【解答】解：∵abcd
是一个“友谊数”，
∴a + d = b + c = 9，
又∵b - a = c - b = 1，
∴b = 4，c = 5，∴a = 3，d = 6，
∴这个数为3456；
∵M = abcd
是一个“友谊数”，
∴M = 1000a + 100b + 10c + d = 1000a + 100b + 10(9 -
b) + 9 - a = 999a + 90b + 99，
∴F(M) = M
9 = 111a + 10b + 11，
∴F(M)+ab
+cd
13
= 111a+10b+11+10a+b+10c+d
13
= 111a+10b+11+10a+b+10(9-b)+9-a
13
=
120a+b+110
13
= 9a + 8 + 3a+b+6
13
，
∵F(M)+ab
+cd
13
是整数，
∴9a + 8 + 3a+b+6
13
是整数，即3a+b+6
13
是整数，
∴3a + b + 6 是13 的倍数，
∵a、b、c、d 都是不为0 的正整数，且a + d = b + c
= 9，
∴a，
∴当a = 8 时，31 ≤3a + b + 6 ≤38，此时不满足3a +
b + 6 是13 的倍数，不符合题意；
当a = 7 时，28 ≤3a + b + 6 ≤35，此时不满足3a + b
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·125·
+ 6 是13 的倍数，不符合题意；
当a = 6 时，25 ≤3a + b + 6 ≤32，此时可以满足3a +
b + 6 是13 的倍数，即此时b = 2，则此时d = 3，c =
7，
∵要使M 最大，则一定要满足a 最大，
∴满足题意的M 的最大值即为6273；
故答案为：3456；6273．
18．【分析】根据题意列出方程，再根据实际情况推
理即可得解．
【解答】解：设这位参与者的出生年份x，选取的数字
为m，
(10m + 4.6) × 10 + 1978 - x = 915
∴100m + 46 + 1978 - x = 915，
∴x = 1109 + 100m，
∵此时中学生的出生时间应该在2000 年后，
∴m = 9，
∴x = 2009．
故答案为：2009．
19．【分析】依据题意，根据“倍值函数”的定义，
结合一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数
的性质，逐个进行判断分析可以得解．
【解答】解：由题意，对于①，∵y = 2x + 4，
又令y = 2x，
∴2x = 2x + 4，此时方程无解．
∴y = 2x + 4 不是“倍值函数”，故①错误．
对于②，∵y = 8
x ，
又令y = 2x，
∴2x = 8
x ．
∴x = 2 或x =-2．
∴y = 8
x 图象上的“倍值点”为(2,4)，(-2, -4)，故
②正确．
对于③∵y = (m - 1)x2+ mx + 1
4 m，
又令y = 2x，
∴2x = (m - 1)x2+ mx + 1
4 m，即(m - 1)x2+ (m - 2)
x + 1
4 m = 0．
∵函数y = (m - 1)x2+ mx + 1
4 m 的图象上有两个“倍
值点”，
∴方程(m - 1)x2+ (m - 2)x + 1
4 m = 0 的△= (m - 2)
2- 4 × 1
4 m(m - 1) > 0，且m - 1 ≠0．
∴m < 4
3 且m ≠1，故③错误．
对于④，∵y = x2+ (m - k + 2)x + n
4 - k
2 ，
又令y = 2x，
∴2x = x2+ (m - k + 2)x + n
4 - k
2 ，即x2+ (m - k)x
+ n
4 - k
2 = 0．
∵y = x2+ (m - k + 2)x + n
4 - k
2 的图象上存在唯一的
“倍值点”，
∴方程x2+ (m - k)x + n
4 - k
2 = 0 的△= (m - k)2-
4 n
4 - k
2
= 0．
∴n = (m - k)2+ 2k．
∴n 关于m 的函数的对称轴是直线m = k，此时最小值
为2k．
又∵y = x2+ (m - k + 2)x + n
4 - k
2 存在唯一的“倍
值点”，且当-1 时，n 的最小值为k，
∴①-1≤k≤3
n的最小值=2k=k
，
∴k = 0；
②k>3
n的最小值=(3-k)2+2k=k
，
∴此时无解；
③k<-1
n的最小值=(-1-k)2+2k=k
，
∴k = -3+
5
2
(舍去) 或k = -3-
5
2
．
综上，k = 0 或k = -3-
5
2
，故④错误．
故答案为：①③④．
20．【分析】根据新定义m2- n2，可以分别列出m2
和n2的值，进而即可求解．
【解答】解：方法一：根据“智慧优数”的定义可知，
当n = 1 时，m最小= 3，
∴最小的“智慧优数”为8 = 32- 12；
根据题意可列表如下：
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·126·
总结规律为：①若“智慧优数”为偶数，则一定是4 的
倍数；
②“智慧优数”不能是质数．
有表格可知，将“智慧优数”从小大到大排列为8，
12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，
36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，
60......，
∴第3 个“智慧优数”是15，第23 个“智慧优数”是
57．
故答案为：15，57．
方法二：注意到m - n > 1，知m - n，∴m．
当m = n + 2 时，由(n + 2)2- n2= 4 + 4n 产生的智慧
优数为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，
44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，⋯⋯
当m = n + 3 时，由(n + 3)2- n2= 9 + 6n 产生的智慧
优数为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，
69，75，81，⋯⋯
当m = n + 4 时，由(n + 4)2- n2= 16 + 8n 产产生的智
慧优数为：24，32，40，48，56，64，72，80，⋯
⋯
当m = n + 5 时，由(n + 5)2- n2= 25 + 10n 产生的智
慧优数为：35，45，55，65，75，85，⋯⋯
当m = n + 6 时，由(n + 6)2- n2= 36 + 12n 产生的智
慧优数为：48，60，72，84，⋯⋯
当m = n + 7 时，由(n + 7)2- n2= 49 + 14n．产生的
智慧优数为：63，77，91，⋯⋯
当m = n + 8 时，由(n + 8)2- n2= 64 + 16n 产生的智
慧优数为：80，96，⋯⋯⋯⋯
综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8，
12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，
36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，
60，63，64，65，68，69，⋯⋯
故第3 个智慧优数是15；第23 个智慧优数是57．
故答案为：15，57．
21．【分析】根据递减数的概念列方程求a 的值，根据
递减数的概念先求得10a - 9b - 11c = d，然后根据题
意列出两个三位数字之和，结合能被9 整除的数的特征
分析满足条件的最大值．
【解答】解：由题意可得10a + 3 - 31 = 12，
解得a = 4，
∴这个数为4312，
由题意可得，10a + b - (10b + c) = 10c + d，
整理，可得10a - 9b - 11c = d，
一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc
与后三
个数字组成的三位数bcd
的和为：
100a + 10b + c + 100b + 10c + d
= 100a + 10b + c + 100b + 10c + 10a - 9b - 11c
= 110a + 101b
= 99(a + b) + 11a + 2b，
又∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc
与后三个数字组成的三位数bcd
的和能被9 整除，
∴11a+2b
9
是整数，且a ≠b ≠c ≠d，1，1，1，0，
a = 9 时，原四位数可得最大值，此时b 只能取0，不符
合题意，舍去，
当a = 8 时，b = 1，此时71 - 11c = d，
c 取9 或8 或7 时，均不符合题意，
当c 取6 时，d = 5，
∴满足条件的数的最大值是8165，
故答案为：4312；8165．
22．【分析】它的千位数字比个位数字多6，百位数字
比十位数字多2，则称M 为“天真数”．分为两部分：
第一部分千位数和个位数之间的关系，第二部分百位
数和十位数之前的关系．
【解答】解：求最小的“天真数”，首先知道最小的自
然数的0．
先看它的千位数字比个位数字多6，个位数为最小的自
然数0 时，千位数为6；百位数字比十位数字多2，十
位数为最小的自然数0 时．百位数是2；则最小的“天
真数”为6200．
故答案为：6200．
一个“天真数” M 的千位数字为a，百位数字为b，十
位数字为c，个位数字为d．
由“天真数”的定义得a = d + 6，所以6，b = c + 2，
所以0，
又P(M) = 3(a + b) + c + d = 3(a + c + 2) + c + a - 6 =
4a + 4c；
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·127·
Q(M) = a - 5. P(M)
Q(M) = 4a+4c
a-5
若能被10 整除当a 取
最大值9 时，
即当a = 9 时，P(M)
Q(M) 满足能被10 整除，则c = 1，
“天真数” M 为9313．
故答案为：9313．
★2026 中考数学(选择题+ 填空题) 拔高题275 题参考答案★
·128·
使用说明
一. 获取(免费)资料方法
扫二维码进Q 群，或群头像（也可第二张）+V 进微信群免费共享及时更新资料。
视频（学习方法）可参考关注DY 或KS，更多小初高（有新初一+高一假期自学能力引
导群，需要可联系加入），婴幼儿学前班，高考院校与专业，与志愿填报，就业考证，
面试，考编等全科资料，试卷，真题，竞赛奥赛，网课，电影，学前班动画，教师考
证，面试，国考等应有尽有，留言索取。随时更新+Q，V 防丢→仅供学生学习，教师
教学，兼职编写资料,考编等使用，送人玫瑰，留有余香，禁止买卖。
二. 打印方法
1. 将需要的文件资料转存到自己的网盘或微信，手机等
2. 扫描右边刺猬打印二维码，选择需要打印文件，等待包邮到家，方便快捷
三. 领取(免费)夸克网盘1TB 空间+转存+打印【仅限新用户】
（也可免费升级到26TB~80TB+会员→详情咨询管理员）
打印前可
删除此页
