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专题20 等腰三角形及直角三角形（3 考点32 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 等腰三角
形
核心考查等边对等角、三线合一、
等边三角形性质；选择填空为主，
解答含尺规证明，常结合菱形、正
多边形、扇形综合。
文化创新：木工作图、正六边形亭
子、扇形圆锥联动；阅读探究：材
料迁移式尺规作图；分类创新：等
腰顶角 / 底角双情况讨论。
考点 02 直角三角
形
围绕两锐角互余、斜边中线、折叠、
旋转、网格命题，融合坐标系、滑
动模型，侧重线段最值、网格无刻
度作图。
模型创新：三角板叠放、墙角滑动
隐圆求最值；网格创新：仅直尺作
角平分线；变换创新：矩形折叠、
坐标旋转求线段。
考点03 勾股定理
及逆定理
基础考边长计算，中档结合赵爽弦
图、月洞门实物，压轴为项目式探
究、四边形面积综合，渗透数学史。
文化创新：李善兰出入相补、赵爽
弦图；项目探究：勾股数规律、反
例辨析；实际建模：园林月洞门、
劳动空地面积计算。
考点01 等腰三角形
1．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线
,
AC BD 相交于点O，M、N 分别是BC
BO
、
的中点，
60
4
ABC
AB
=
=
，
，则MN 的长为（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【答案】B
【分析】因为
60
4
ABC
AB
=
=
，
，根据菱形的性质可知
4
AC =
，而
1
2
2
OC
AC
=
=
，由M、N 分别是BC
BO
、
的中点，根据中位线的性质即可求得MN ．
【详解】解：∵在菱形ABCD中，
60
4
ABC
AB
=
=
，
，
∴AB
BC
=
，AO
CO
=
，
∴ABC为等边三角形，
∴
4
AC
AB
=
=
，
∴
1
2
2
CO
AC
=
=
，
∵M、N 分别是BC
BO
、
的中点，
∴
1
1
2
MN
OC
=
= ．
2．（2026·天津·中考真题）如图，在ABC中，AB
AC
=
，
100
BAC
=
，BD 是ABC 的角平分线．按以
下步骤作图：①以点D 为圆心，适当长为半径作弧，与射线BD 相交于点E ，F ；②分别以点E ，F 为圆
心，大于1
2 EF 的长为半径作弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点G ；③作直线DG ，与边BC 相交于
点H ．则
CDH
的大小为（ ）
A．25
B．30
C．35
D．40
【答案】B
【分析】利用等边对等角求得
40
ABC
=
，利用角平分线的定义求得
20
ABD
=
，利用三角形的外角性质
求得
120
BDC
=
，由作图知DG
BD
⊥
，据此求解即可．
【详解】解：∵AB
AC
=
，
100
BAC
=
，
∴
(
)
1 180
40
2
ABC
BAC
−
=
=
，
∵BD 是ABC的角平分线，
∴
1
20
2
ABD
ABC
=
=
，
∴
120
BDC
ABD
BAC
=
+
=
，
由作图知DG
BD
⊥
，
∴
90
BDH
=
，
∴
120
90
30
CDH
BDC
BDH
−
−
=
=
=
．
3．（2026·山东德州·中考真题）如图，在圆心角为60 ，半径为R 的扇形纸片OAB 中，点O到AB 的距
离记为d ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为h ，下列关于d 和h 的大小关系正
确的是（ ）
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A．d
h
B．d
h
=
C．d
h
D．无法确定
【答案】A
【分析】分别根据等边三角形的性质求出d ，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，
再利用勾股定理求出h ，最后比较大小即可．
【详解】解：
扇形圆心角为60 ，半径为OA
OB
R
=
=
OAB
是等边三角形，
∴AB
R
=
，
60
OBA
=
过点O作OJ
AB
⊥
于点J ，
3
27
sin60
2
6
d
OJ
R
R
R
=
=
=
=
设圆锥底面半径为r
扇形弧长等于圆锥底面周长
60π
2π
180
R
r
=
1
6
r
R
=
，
圆锥如图，取底面圆的中点V ，连接OV ，
∵OM
ON
=
，
∴OV
MN
⊥
，
∴由勾股定理得：
2
2
2
2
2
1
35
35
(
)
6
36
6
h
R
r
R
R
R
R
=
−
=
−
=
=
27
35
27
35
6
6
R
R
d
h
．
4．
（2026·四川南充·中考真题）如图，等边三角形ABC 的顶点B，C 分别在直线a，b 上，且a b ，若
40
a
=
，
则大小为（ ）
A．95
B．100
C．105
D．110
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质及平行线的性质进行求解即可．
【详解】解：如图，
∵ABC是等边三角形，
∴
60
ABC
ACB
=
=
，
∵
40
a
=
，
∴
20
EBC
ABC
a
=
−=
，
∵a b ，
∴
20
BCD
EBC
=
=
，
∴
80
ACD
ACB
BCD
=
+
=
，
∴
180
100
ACD
=
−
=
．
5．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径画
弧，两弧交于点D，点E，作直线DE 交BC 于点F，连接AF ，若
50
B =
∠
，
60
C
=
，则
CAF
的度
数为（ ）
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A．10
B．20
C．30
D．40
【答案】B
【分析】根据作图过程可知直线DE 是线段AB 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得FA
FB
=
，
进而得到
FAB
B
=
，再根据三角形内角和定理求出
BAC
的度数，最后利用
CAF
BAC
FAB
=
−
求
解即可．
【详解】由作图可知，直线DE 是线段AB 的垂直平分线，
FA
FB
=
，
FAB
B
= ，
50
=
B
，
50
FAB
=
，
在ABC中，
50
B =
∠
，
60
C
=
，
180
180
50
60
70
BAC
B
C
−
−
−
−
=
=
=
，
70
50
20
CAF
BAC
FAB
−
−
=
=
=
．
6．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，扇形OAB ，点C 在AB 上．若
60
AOB
=
，则
ACB
的度数是（ ）
A．150
B．140
C．130
D．120
【答案】A
【分析】连接OC ，则OA
OC
OB
=
=
，根据等边对等角与三角形内角和定理得到
1
90
2
ACO
AOC
=
−
，
1
90
2
BCO
BOC
=
−
，根据
ACB
ACO
BCO
=
+
即可求出
ACB
的度数．
【详解】解：连接OC ，则OA
OC
OB
=
=
，
∴
(
)
1
1
180
90
2
2
ACO
OAC
AOC
AOC
−
−
=
=
=
，
(
)
1
1
180
90
2
2
BCO
OBC
BOC
BOC
−
−
=
=
=
，
∴
(
)
1
1
1
90
90
180
2
2
2
ACB
ACO
BCO
AOC
BOC
AOC
BOC
−
−
−
=
+
=
+
=
+
1
1
180
180
60
150
2
2
AOB
=
−
=
−
=
．
7．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在
ABCD 中，
3
AB = ，
2
AD =
，
BAD
的平分线交CD于点E，
则CE =____．
【答案】1
【分析】利用平行四边形对边平行且相等结合角平分线定义即可求解．
【详解】
四边形ABCD是平行四边形，
AB
CD
∥
，
3
AB
CD
=
=
，
EAB
DEA
=
，
EA平分
DAB
，
DAE
EAB
=
，
DAE
DEA
=
，
2
AD
DE
=
=
，
1
EC
CD
DE
=
−
= ．
8．（2026·上海·中考真题）在等腰三角形ABC （
A
B
）中，
80
A
=
，则
B
的度数为________．
【答案】20或50
【分析】本题分
A
是顶角，
A
是底角两种情况，结合等腰三角形性质，三角形内角和定理和已知条件
A
B
，排除不符合条件的情况后求解．
【详解】已知等腰ABC中，
80
A
=
，且
A
B
．
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若
A
是顶角，则
B
C
=
，所以
(
)
1 180
80
50
2
B
−
=
=
，符合
A
B
；
若
A
是底角，当
B
是顶角时，
80
C
A
= =
，所以
180
80
80
20
B
−
−
=
=
，符合
A
B
；
当
C
是顶角时，
80
B
A
= =
，与
A
B
矛盾，故舍去．
综上，
B
的度数为20或50．
9．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一个亭子，它的地基是边长为4 m 的正六边形，则这个正六边
形地基的面积是_________
2
m （计算结果保留根号）．
【答案】
24 3
【分析】连接正六边形的中心与各顶点，可将正六边形分割成6 个全等的等边三角形，求出其中一个等边三
角形的面积，再乘以6 即可得到正六边形的面积．
【详解】解：如图，设正六边形的中心为O，
连接OA、OB ，
过点O作OD
AB
⊥
于点D
多边形是正六边形
360
60
6
AOB
=
=
，OA
OB
=
OAB
是等边三角形
4m
OA
OB
AB
=
=
=
OD
AB
⊥
1
1
4
2m
2
2
AD
AB
=
=
=
在Rt OAD中，由勾股定理得：
( )
2
2
2
2
4
2
12
2 3 m
OD
OA
AD
=
−
=
−
=
=
(
)
2
1
1
4 2 3
4 3 m
2
2
OAB
S
AB OD
=
=
=
正六边形的面积为：
(
)
2
6
6 4 3
24 3 m
OAB
S
=
=
．
10．（2026·贵州·中考真题）如图，在
ABCD 中，DE
AB
⊥
，垂足为E ，且
45
A
=
，
2
AE =
，则AB 与CD
之间的距离为__________．
【答案】
2
【分析】根据平行四边形的性质，得到
//
AB CD，进而得到DE 即为AB 与CD之间的距离，易得AED 为等
腰直角三角形，得到
2
DE
AE
=
=
，即可.
【详解】解：∵
ABCD 中，
∴
//
AB CD，
∵DE
AB
⊥
，
45
A
=
，
2
AE =
，
∴AED 为等腰直角三角形，
∴
2
DE
AE
=
=
，
∴AB 与CD之间的距离为2.
11．（2026·四川自贡·中考真题）正五边形ABCDE 与等腰Rt CDF 按如图摆放，则
BCF
=_____．
【答案】63
【分析】先根据正多边形的性质求出
108
BCD
=
，再根据等腰直角三角形的性质结合三角形内角和定理得
到
45
FCD
=
，由
BCF
BCD
FCD
=
−
即可得出结果．
【详解】解：∵五边形ABCDE 为正五边形，
∴
(
)
5 2
180
5
108
BCD
=
−
=
，
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∵CDF 是等腰直角三角形且
90
CFD
=
，
∴CF
DF
=
，
90
CFD
=
，
∴
(
)
1 180
45
2
FCD
FDC
CFD
=
=
−
=
，
∴
63
BCF
BCD
FCD
=
−
=
．
12．（2026·福建·中考真题）如图，ABC是等边三角形，BD
BC
⊥
，CE
BC
⊥
，BD
CE
=
．求证：AD
AE
=
．
【答案】证明：
BD
BC
⊥
，CE
BC
⊥
，
90
CBD
BCE
=
=
．
ABC 是等边三角形，
AB
AC
=
，
60
ABC
ACB
=
=
．
150
ABD
ACE
=
=
．
在ABD 和
ACE
△
中，
,
,
,
AB
AC
ABD
ACE
BD
CE
=
=
=
(
)
ABD
ACE SAS
≌
．
AD
AE
=
∴
．
【分析】先根据BD
BC
⊥
、CE
BC
⊥
的垂直条件，得到
90
CBD
BCE
=
=
．结合等边三角形的性质，得
到AB
AC
=
，
60
ABC
ACB
=
=
．推导
ABD
与
ACE
的大小关系，判断二者是否相等．因为已知BD
CE
=
，
可通过SAS 判定ABD 和ACE全等．依据全等三角形对应边相等的性质，即可求证AD
AE
=
．
【详解】略
13．（2026·山西·中考真题）阅读与思考
阅读下列材料，完成相应任务．
工匠智慧引发的数学思考【工匠智慧】如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直
尺在矩形木板上画特定度数的角．
【数学抽象】
将图1 的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板ABCD 中，以点A 为
圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点E ；以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，与BE 交
于点F ；连接BE ，BF ，AF ，即可得到特定度数的角，如
ABE
和
EBF
等．
【推广迁移】
受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角．如图3，已知
MAN
=
，作图步骤如下：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AM ，AN 于
点B ，C ；②分别以点B ，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧在
MAN
内部交于点D ；
③连接CD，可得
1
150
2
ACD
=
−
．
结论“
1
150
2
ACD
=
−
”成立的理由如下：
连接BC ．
由步骤①可知，AB
AC
=
．…
任务：
(1)图2 中
ABE
= _____，
EBF
=_____；
(2)补全“推广迁移”中的说理过程；
(3)如图4，四边形ABCD表示一块木板，
130
BAD
=
，
85
ADC
．现要将此木板裁割成两部分，裁割
线为线段DE （点E 在BC 上），使
85
ADE
=
．请用尺规在木板上作出裁割线DE （要求：在木板上保留
作图痕迹，不写作法）．
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【答案】(1)45，15
(2)解：连接BC ，BD ，如图，
由步骤①可知，AB
AC
=
．
∴
ACB
ABC
=
．
在ABC中，
A
MAN
=
=
，
∴
180
180
ACB
ABC
A
+
=
−=
−
．
∴
180
90
2
2
ACB
−
=
=
−
．
由步骤②可知，BC
BD
CD
=
=
．
∴BCD为等边三角形．
∴
60
BCD
=
．
∴
90
60
150
2
2
ACD
ACB
BCD
=
+
=
−
+
=
−
；
(3)解：如图，线段DE 即为所求作的裁割线．
【分析】（1）判断出ABE 为等腰直角三角形，由此可得
ABE
的度数，判断出ABF 为等边三角形，由
此可得
EBF
的度数；
（2）添加辅助线，连接BC ，BD ，先由等边对等角得到
90
2
ACB
=
−
．再得到BCD为等边三角形，由
此可得到结论；
（3）作图步骤如下：①以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，交AB 于点F ；②分别以点F ，D 为圆心，FD
长为半径作弧，两弧在
BAD
内部交于点M ；③连接DM 交BC 于点E ，由“推广迁移”中的结论可得
1
150
130
85
2
ADE
=
−
=
．
【详解】（1）解：∵以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点E ，
∴AB
AE
AF
=
=
，
∵
90
BAD
=
，
∴ABE 为等腰直角三角形，
∴
45
ABE
=
；
∵以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，与BE 交于点F ，
∴BA
BF
=
，
∴AB
AF
BF
=
=
，
∴ABF 为等边三角形，
∴
60
ABF
=
，
∴
60
45
15
EBF
ABF
ABE
=
−
=
−
=
；
（2）略
（3）略
14．（2026·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图：如图，在
AOB
的内部有一点P ．
(1)【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN ，并使等腰三角形的底边MN 经
过点P ，点M ，点N 分别在射线OA，射线OB 上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹）
(2)【拓展探究】如图2，若
58
AOB
=
，连接OP ，
3
OP = ．以O为圆心，OP 为半径画圆，交射线OA，射
线OB 于C ，D 两点，则劣弧CD的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含π的代
数式表示的结果）
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【答案】(1)解∶如图，
OMN
△
即为所求，
(2) 29
30
【分析】（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线OA、射线OB 分别交于点C、点D，连接CP ，
作射线CP，以C 为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线CP 、线段CD分别交于点E、点F，以P 为圆心，
CE为半径画弧，弧与射线CP相交于G，以G 为圆心，EF 为半径画弧，两弧相交于H，作直线PH ，与射
线OA，射线OB 分别相交于点M、点N，则
OMN
△
即为所求；
（2）直接根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：画图略，
理由：由作图知：OC
OD
=
，
ECF
GFH
=
，
∴
OCD
ODC
=
，CD
MN
∥
，
∴
OCD
OMN
=
，
ODC
ONM
=
，
∴
OMN
ONM
=
，
∴OM
ON
=
，
∴
OMN
△
即为所求；
（2）解：由作图知：
3
OC
OD
OP
=
=
= ，
∴劣弧CD的长度为58
3
29
180
30
=
．
15．（2026·河北·中考真题）按要求解答下列问题：
(1)尺规作图：如图1，在ABC 中，作出AB 边的垂直平分线l ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在ABC中，
2
BAC
B
= ，点D 在BC 边上，且DA
DB
=
．若
6
AC =
，
9
BC =
，求线段CD的
长．
【答案】(1)如图1，直线l 即为所求；
(2) 4
【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可；
（2）根据等边对等角以及三角形的外角性质证明
BAC
CDA
=
，即可证明
CDA
CAB
△
∽△
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵DA
DB
=
∴
B
BAD
=
∴
2
CDA
B
BAD
B
=
+
=
∵
2
BAC
B
=
∴
BAC
CDA
=
∵
C
C
=
∴
CDA
CAB
△
∽△
∵
6
AC =
，
9
BC =
∴CD
CA
CA
CB
=
∴
6
6
9
CD =
解得
4
CD =
．
考点02 直角三角形
1．
（2026·安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中
90
BAC
AEF
=
=
，
60
AFE
=
，
45
ABC
=
，
AE
BC
⊥
，边BC 分别与AE ，AF 相交于点M ，N ．若
12
BC =
，则MN = （ ）
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A．2 3
B．3 3
C．4 3
D．6 3
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AM 的长，根据直角三角形两锐角互余求出
FAE
的度数，最后
在Rt AMN 中利用勾股定理和含30角的直角三角形性质求解 ．
【详解】解：
90
BAC
=
，
45
ABC
=
，
ABC
是等腰直角三角形，
AE
BC
⊥
于点M ，
AM
是斜边BC 上的高，也是中线，
1
1 12
6
2
2
AM
BC
=
=
=
，
在Rt AEF 中，
90
AEF
=
，
60
AFE
=
，
90
60
30
FAE
−
=
=
即
30
MAN
=
，
在Rt AMN 中，
90
AMN
=
，
2
AN
MN
=
，
根据勾股定理得
2
2
2
AM
MN
AN
+
=
，
∴62 + 𝑀𝑁2 = (2𝑀𝑁)2，
解得
2 3
MN =
．
2．（2026·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形ABC 的斜边AB 经过原点O，连接OC ．已
知OA
OC
=
，若点A 的坐标为(
)
1,0 ，则点B 的坐标为（ ）
A．(
)
1,0
−
B．(
)
0, 1
−
C．(
)
0,1
D．(
)
2,0
−
【答案】A
【分析】由等腰三角形的性质得到
OCA
OAC
=
，可证明
OCB
OBC
=
，得到OB
OC
=
，则可证明
OB
OA
=
，再根据点A 的坐标即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵OA
OC
=
，
∴
OCA
OAC
=
，
由题意得
90
ACB
=
，
∴
90
90
OCA
OCB
OAC
OBC
+
=
+
=
，
，
∴
OCB
OBC
=
，
∴OB
OC
=
，
∴OB
OA
=
，
∵若点A 的坐标为(
)
1,0 ，
∴
1
OA = ，
∴
1
OB = ，
∴点B 的坐标为(
)
1,0
−
．
3．（2026·湖南·中考真题）如图，在四边形ABCD中，连接BD ．若
90
A
BDC
=
=
，
30
C
=
，AB
AD
=
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
2
BC
AD
=
B．
135
ADC
=
C．AD
BC
D．BD 平分
ABC
【答案】B
【分析】因为
90
A
BDC
=
=
，
30
C
=
，AB
AD
=
，可得
2
BC
BD
=
，
90
30
60
CBD
−
=
=
，
45
ABD
ADB
=
=
，逐项判断即可．
【详解】解：∵
90
A
BDC
=
=
，
30
C
=
，AB
AD
=
，
∴
2
BC
BD
=
，
90
30
60
CBD
−
=
=
，
45
ABD
ADB
=
=
，
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∴
90
45
135
ADC
=
=
+
，故B 选项正确；
∵
CBD
ABD
，∴BD 不平分
ABC
，故D 选项错误；
∵
CBD
ADB
，∴AD 与BC 不平行，故C 选项错误；
∵
2
2
BC
BD
AD
=
，故A 选项错误．
4．（2026·四川自贡·中考真题）如图，Rt OAB 中，
30
B
=
，
2
OA=
，AB 平行于x 轴，将Rt OAB 绕原
点O顺时针旋转180到OCD位置，CD交y 轴于点P ，则点P 的坐标为（ ）
A．(
)
0,
3
−
B．(
)
0, 3
C．(
)
0, 1
−
D．(
)
3,0
−
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，可得到对应边、对应角相等，再结合平行线的性质，推导出CD与y 轴的位置关
系，进而利用直角三角形的三角函数关系求出OP 的长度，确定点P 的坐标．
【详解】解：在Rt AOB中，
30
B
=
，
90
AOB
=
，
60
A
=
，
由旋转的性质得，
90
COD
=
，
30
D
=
，
60
C
=
，
2
OC =
，CD
x
∥轴，
CD
OP
⊥
，
90
60
30
COP
=
−
=
，
Rt OCP中，
sin60
3
OP
OC
=
=
，
P 在y 轴的负半轴，
P
的坐标为(
)
0,
3
−
．
5．（2026·陕西·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，
60
B
=
，
6
AB = ．BC 的垂直平分线交BC 于
点D ，交AC 于点E ，则DE 的长为（ ）
A．2
B．3
C．2 3
D．4 3
【答案】C
【分析】根据直角三角形两锐角互余得到
30
C
=
，则
2
12
BC
AB
=
=
，根据题意可得
90
EDC
=
，
1
6
2
CD
BC
=
=
，解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：∵在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，
60
B
=
，
∴
90
30
C
B
=
−=
，
∴
2
12
BC
AB
=
=
；
∵BC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，
∴
90
EDC
=
，
1
6
2
CD
BC
=
=
，
∴
tan
6 tan30
2 3
DE
CD
C
=
=
=
．
6．（2026·甘肃武威·中考真题）如图，矩形纸片ABCD的边BC 上有一点E ，将纸片沿AE 折叠，点B 落在
点B．若
60
CEB
=
，
3
AB
cm
=
，则点B到AD 的距离等于________________cm．
【答案】1.5
【分析】过点B作B F
AD
⊥
交AD 于点F ，根据折叠的性质和含30的直角三角形的性质解题即可．
【详解】解：如图，过点B作B F
AD
⊥
交AD 于点F ，
由折叠的性质知，
BEA
B EA
=
，
3
AB
AB
cm
=
=
，
BAE
B AE
=
，
∵
60
CEB
=
，
∴
180
180
60
60
2
2
CEB
BEA
−
−
=
=
=
，
∵四边形ABCD为矩形，
∴
90
B
BAD
=
=
，
∴
90
90
60
30
BAE
BEA
=
−
=
−
=
，
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∴
30
B AE
=
，
∴
90
90
2 30
30
B AF
BAE
B AE
=
−
−
=
−
=
，
∴
1
1.5
2
B F
AB
cm
=
=
．
7．（2026·四川攀枝花·中考真题）在ABC中，AD 是BC 边上的中线，
2
6
30
AB
BC
B
=
=
=
，
，
，则ABD
的面积为_______．
【答案】3
2
【分析】先根据中线定义求出BD 长度，再过A 作AH
BD
⊥
构造含30角的直角三角形，利用30直角三角
形性质求高AH ，最后用三角形面积公式计算ABD 面积。
【详解】解：∵AD 是BC 边上的中线，
6
BC =
，
∴
1
3
2
BD
BC
=
=
，
过点A 作AH
BD
⊥
于H ，
∴
90
AHB
=
，
∵
30
B
=
，
2
AB =
，
∴
1
1
2
AH
AB
=
= ，
∴
1
1
3
3 1
2
2
2
ABD
S
BD
AH
=
=
=
．
8．（2026·新疆·中考真题）如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点B 在墙面上滑
动，另一顶点C 在地面上滑动，O，A ，B ，C 在同一平面内，若
3
AB = ，
4
BC =
，则木块顶点A 到墙角O
的距离的最大值为____________．
【答案】2
13
+
/ 13
2
+
【分析】取BC 中点D ，连接
,
,
OD AD OA，根据直角三角形的性质求出
2
OD =
，利用勾股定理求出
13
AD =
，
由OA
AD OD
+
即可得出结果．
【详解】解：取BC 中点D ，连接
,
,
OD AD OA，
∵
4
BC =
，
∴
1
2
2
BD
BC
=
=
，
由题意得
90
ABC
BOC
=
=
，
∴
1
2
2
OD
BC
=
=
，
∵
3
AB = ，
∴
2
2
13
AD
AB
BD
=
+
=
，
∵OA
AD OD
+
，
∴OA的最大值为
2
13
AD
OD
+
=
+
，
即木块顶点A 到墙角O的距离的最大值为2
13
+
．
9．（2026·江西·中考真题）如图，在8 4
的正方形网格中，ABC 的顶点B ，C 均在格点上，
90
A
=
，
30
C
=
，MN 为ABC 的中位线．
(1)请仅用无刻度直尺
．．．．．．．作
ABC
的平分线，交MN 于点P ；（保留作图痕迹）
(2)若网格中小正方形的边长为1，则（1）中BP 的长为______________．
【答案】(1)如图，BQ 即为所求；
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(2) 2 3
【分析】（1）由题意分别求出
,
,
AM BM MN 的长度，取格点P，由题意可知，BM
MP
=
，则有
MBP
MPB
=
，再利用
//
MN BC 得到
PBC
MPB
=
则可证
PBC
MPB
=
，则可知BQ 即为所求角
平分线；
（2）取格点H，则有PH
BC
⊥
，
3
BH = ，由（1）可知
1
30
2
PBH
ABC
=
=
，利用锐角三角形函数
求BP 的长即可．
【详解】（1）解：取MN 与网格交点P，连接BP 并延长交AC 于点Q，BQ 即为所求；
由网格可知，
8
BC = ，
∵
90
A
=
，
30
C
=
，
∴
1
4
2
AB
BC
=
=
，
∵MN 为ABC 的中位线，
∴
1
2,
4
2
BM
MN
BC
=
=
=
，
//
MN BC ，
∴BM
MP
=
，
∴
MBP
MPB
=
，
∵
//
MN BC ，
∴
PBC
MPB
=
，
∴
PBC
MBP
=
，
则BQ 即为所求；
（2）解：取格点H，由网格可知，
PH
BC
⊥
，
3
BH = ，
∵
90
A
=
，
30
C
=
，
∴
60
ABC
=
∴
1
30
2
PBH
ABC
=
=
∴
3
2 3
cos30
3
2
BH
BP =
=
=
．
考点03 勾股定理及逆定理
1．（2026·四川自贡·中考真题）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入
相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作
1S ，
2
S ，正方形ABCD的面
积记作
3
S ，则
1S ，
2
S 与
3
S 的关系是（ ）
A．
1
2
3
S
S
S
+
B．
1
2
3
S
S
S
+
=
C．
1
2
3
S
S
S
+
D．
1
2
3
2S
S
S
+
=
【答案】B
【分析】取点E ，F ，容易证明
(
)
ADE
DCF AAS
≌
，则DE
CF
=
，由勾股定理可得
2
2
2
AE
DE
AD
+
=
，
从而得到
1
2
3
S
S
S
+
=
．
【详解】解：如图，取点E ，F ，
根据题意可知，
90
AED
DFC
=
=
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD
CD
=
，
90
ADC
=
，
∵
90
ADE
CDF
CDF
DCF
+
=
+
=
，
∴
ADE
DCF
=
，
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在ADE 和DCF 中，
ADE
DCF
AED
DFC
AD
CD
=
=
=
，
∴
(
)
ADE
DCF AAS
≌
，
∴DE
CF
=
，
在Rt ADE 中，
2
2
2
AE
DE
AD
+
=
，
∵
2
1S
AE
=
，
2
2
2
S
CF
DE
=
=
，
2
3
S
AD
=
，
∴
1
2
3
S
S
S
+
=
．
2．（2026·四川广元·中考真题）如图1 的图案称“赵爽弦图”，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》
时给出的．它由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是1 个小正方形．某数学兴趣小组在进行
探究时，将图1 中的四个直角三角形裁剪出来，拼成图2 和图3，图2 中菱形对角线的和为12，图3 中间
正方形的面积为20，则图1 中间正方形的面积是__________．
【答案】
4
【分析】设四个全等直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c .根据图2 菱形的对角线和得出a
b
+
的值，根据图3 中间正方形面积及勾股定理得出
2
2
a
b
+
的值，最后利用完全平方公式求出图1 中间小正方
形的面积
2
(
)
a
b
−
．
【详解】解：设四个全等的直角三角形的两直角边长分别为a ，b (a
b
)，斜边长为c
由图2 可知，菱形的两条对角线长分别为2a，2b
∵菱形对角线的和为12
∴2
2
12
a
b
+
=
，
即
6
a
b
+
=
由图3 可知，中间正方形的边长为c
∵中间正方形的面积为20
∴
2
20
c =
在直角三角形中，由勾股定理得
2
2
2
20
a
b
c
+
=
=
图1 中间小正方形的边长为a
b
−，其面积为
2
(
)
a
b
−
∵
2
2
2
(
)
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
∴
2
6
20
2ab
=
+
，
解得2
16
ab =
∴
2
2
2
(
)
2
20 16
4
a
b
a
b
ab
−
=
+
−
=
−
=
．
3．（2026·江苏苏州·中考真题）苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华
与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由ABC ，
线段CD，DE ，EA 四部分构成，AE ，CD分别垂直于地面l ．经测量，该月洞门的最高点B 到地面的距离
为21分米，
3
AE
CD
=
= 分米，
12
DE =
分米，则ABC 所在圆的半径为_________分米．
【答案】10
【分析】连接AC ，过点B 作BH
DE
⊥
于点H，交AC 于点F，设ABC 所在圆的圆心为点O，连接CO，则
21
BH =
，
3
FH
CD
=
= ，
12
AC
DE
=
=
，BF
AC
⊥
，设
O 的半径为r，则CO
BO
r
=
=
，
18
OF
r
−
=
，
根据垂径定理求出CF ，进而在Rt
COF
△
中根据勾股定理构造方程，求解即可．
【详解】解：连接AC ，过点B 作BH
DE
⊥
于点H，交AC 于点F，设ABC 所在圆的圆心为点O，连接CO，
由题意可得
21
BH =
，四边形ACDE ，四边形AFHE 都是矩形，
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∴
3
FH
CD
=
= ，
12
AC
DE
=
=
，BF
AC
⊥
，
设
O 的半径为r，则CO
BO
r
=
=
，
∴
21
3 18
OF
BH
BO
FH
r
r
−
−
−−
−
=
=
=
，
∵BF 过圆心O，且BF
AC
⊥
，
∴
1
1 12
6
2
2
CF
AC
=
=
=
，
∵在Rt
COF
△
中，
2
2
2
CF
OF
CO
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
6
18
r
r
−
+
=
，解得
10
r =
，
∴ABC 所在
O 的半径为10 分米．
4．（2026·四川内江·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图的弧长为10π，若该圆锥的高OA为12，则该圆锥
母线AB 的长为_________．
【答案】13
【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出OB 的长，再利用
勾股定理可求出AB 的长．
【详解】解：设OB
x
=
，
∵圆锥的侧面展开图的弧长为10π，
∴该圆锥的底面圆的周长为10π，
∴2π
10π
x =
，
∴
5
x = ，
∴
5
OB = ，
在Rt ABO中，由勾股定理得
2
2
2
2
12
5
13
AB
OA
OB
=
+
=
+
=
．
5．（2026·四川南充·中考真题）如图，在Rt ABC中，
90
ACB
=
，
10
AB =
，
8
AC = ．分别以点A ，C 为
圆心，大于1
2 AC 长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点，直线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ，则DE 的
长为_______．
【答案】3
【分析】由勾股定理可得
6
BC =
，由尺规作图可得MN 是AC 的垂直平分线，容易证明ADE
ACB
∽
，则
1
2
DE
AD
BC
AC
=
=
，因此
1
3
2
DE
BC
=
=
．
【详解】解：在Rt ABC中，
2
2
2
2
10
8
6
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
由题意可知，MN 是AC 的垂直平分线，
∴MN
AC
⊥
，
1
2
AD
AC
=
，
∴MN
BC
∥
，
∴ADE
ACB
∽
，
∴
1
2
DE
AD
BC
AC
=
=
，
∴
1
3
2
DE
BC
=
=
．
6．（2026·安徽·中考真题）项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足
2
2
2
a
b
c
+
=
的正整数a ，b ，c 是勾股数，
记为(
)
, ,
a b c ．
设m ，n 为正整数，且m
n
，因为(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
−
+
=
+
，所以(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
为勾股数．本
项目只研究形如(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
的勾股数．
【规律探究】
分别对m ，n 进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
m
n
勾股数(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
序号
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2
1
(
)
3,4,5
1
3
1
(
)
8,6,10
2
2
(
)
5,12,13
3
4
1
(
)
15,8,17
4
2
(
)
12,16,20
5
3
(
)
7,24,25
6
…
…
…
…
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：
(1)
5
m =
，
1
n = 对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____；
(2)勾股数(
)
35,12,37 对应的m=_____，n =_____；
(3)序号为15 的勾股数是（_____，_____，_____）．
【项目拓展】
(4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1 依次增大到6 的过程中，勾股数中
2
2
m
n
+
的值随着序号的增大
而增大．他猜想：在序号从6 依次增大到16 的过程中，
2
2
m
n
+
的值也会随着序号的增大而增大．请问他的
猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
【答案】(1)24，10，26，7
(2)6，1
(3)11，60，61
(4)不正确，
理由：当
5
m =
，
4
n =
时，
2
2
2
2
5
4
41
m
n
+
=
+
=
，序号为(
) (
)
5 1
5
2
4
10
2
−
−
+
=
；
当
6
m =
，
1
n = 时，
2
2
2
2
6
1
37
m
n
+
=
+
=
，序号为(
) (
)
6 1
6
2
1 11
2
−
−
+ =
；
∵41
37
，10
11
，
∴序号从10 增加到11 时，
2
2
m
n
+
的值减小，
∴他的猜想不正确．
【分析】（1）根据表格中的规律求解即可；
（2）根据题干中勾股数的定义可得
2
2
35
m
n
−
=
，2
12
mn =
，
2
2
37
m
n
+
=
，把
2
2
35
m
n
−
=
、
2
2
37
m
n
+
=
两
式相加并结合已知条件则求出m 的值，然后把m 的值代入2
12
mn =
求解即可；
（3）根据表格中的规律发现：每一个m 对应的勾股数组数为(
)1
m−
组，从得出m 值从2 取到k 时，勾股数
的总组数为(
)
1
2
k k −
组，然后根据题意得出(
)1
15
2
k k −
=
，求出k 的值，即可求解；
（4）举反例说明即可．
【详解】（1）解∶当
5
m =
，
1
n = 时，
2
2
2
2
5
1
24
m
n =
−
=
−
，2
2 5 1 10
mn = =
，
2
2
2
2
5
1
26
m
n =
+
=
+
，
∴
5
m =
，
1
n = 对应的勾股数是(
)
24,10,26 ，序号为7；
（2）解：根据题意，得
2
2
35
m
n
−
=
，2
12
mn =
，
2
2
37
m
n
+
=
，
∴
2
2
2
2
35
37
m
n
m
n
+
=
+
−
+
，即
2
2
72
m =
，
又
0
m
，
∴
6
m =
，
把
6
m =
代入2
12
mn =
，得2 6
12
n
=
，
解得
1
n = ，
∴勾股数(
)
35,12,37 对应的
6
m =
，
1
n = ；
（3）解：由表格知，当
2
m =
时，符合题意的勾股数有2 1
1
−= 组；
当
3
m =
时，符合题意的勾股数有3 1
2
−=
组；
当
4
m =
时，符合题意的勾股数有4 1
3
−= 组；
……
当m
k
=
（
2
k
的整数）时，符合题意的勾股数有(
)1
k −
组；
此时一共有
(
)
(
)1
1 2
3
1
2
k k
k
−
−
+
+ +
+
=
组勾股数，
当(
)1
15
2
k k −
=
时，解得
6
k =
或
5
k
−
=
（舍去），
∴序号为15 时，
6
m
k
=
= ，
1
5
n
k
=
−= ，
∴
2
2
2
2
6
5
11
m
n =
−
=
−
，2
2 6 5
60
mn = =
，
2
2
2
2
6
5
61
m
n =
+
=
+
，
序号为15 的勾股数是(
)
11,60,61 ；
（4）略
7．（2026·四川达州·中考真题）综合与实践
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背景
某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种
植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路AC （忽略小
路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（ABC ）种植甲种蔬菜，
Ⅱ区域（ACD）种植乙种蔬菜．
素材一
用测量工具测得：
6
AB = 米，
8
BC = 米，
24
CD =
米，
26
AD =
米，
90
ABC
=
；
素材二
用200 元购进甲种菜苗，1080元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价
比甲种菜苗的单价多20%，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的4 倍多
200 株；
素材三
经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为75%，乙种菜苗成活率为
95%．
完成以下任务
(1)任务一：求四边形空地的面积；
(2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价；
(3)任务三：从成活率看，菜苗实际成本G = 购买某种菜苗的费用
实际成活的菜苗株数，比较大小：G甲________G乙（填“”“”
或“=”）
【答案】(1)144平方米
(2)甲菜苗的单价为0.5元每株，乙菜苗的单价为0.6 元每株
(3)
【分析】（1）根据勾股定理求得AC ，进而根据勾股定理证明ACD是直角三角形，且
90
ACD
=
，再根
据三角形的面积公式进行计算，将两个三角形的面积相加即可求解；
（2）设甲菜苗的单价为x 元每株，乙菜苗的单价为1.2x 元每株，根据题意列出分式方程，解方程，即可求
解．
（3）根据菜苗的实际成本公式计算，再比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：∵
6
AB = ，
8
BC = ，
90
ABC
=
，
∴
2
2
10
AC
AB
BC
=
+
=
米
∵
24
CD =
米，
26
AD =
米，
∴
2
2
2
100,
576,
676
AC
CD
AD
=
=
=
∴
2
2
2
AD
AC
CD
=
+
∴ACD是直角三角形，且
90
ACD
=
∴
1
1
1
1
6 8
10 24
144
2
2
2
2
S
S
AB
BC
AC
CD
+
=
+
=
+
=
Ⅰ
Ⅱ
平方米；
（2）设甲菜苗的单价为x 元每株，乙菜苗的单价为(
)
1 20%
1.2
x
x
+
=
元每株，根据题意得，
200
1080
4
200
1.2
x
x
+
=
解得：
0.5
x =
，经检验
0.5
x =
是原方程的解，且符合题意，
∴乙菜苗的单价为1.2
1.2 0.5
0.6
x =
=
元，
答：甲菜苗的单价为0.5元每株，乙菜苗的单价为0.6 元每株
（3）甲种菜苗的数量为200
400
0.5 =
（株），成活数为400 75%
300
=
（株）
200
2
300
3
G =
=
甲
乙种菜苗的数量为1080
1800
0.6 =
（株），成活数为1800 95% 1710
=
（株）
1080
12
1710
19
G
=
=
乙
∵2
12
3
19
∴G
G
乙
甲
8．（2026·新疆·中考真题）解决问题：
(1)解方程：3
2
2
3
x
x
=
+
；
(2)被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正方形ABCD
的面积为100，正方形EFGH 的面积为4，求BF 的长．
【答案】(1)
9
x =
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(2)6
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程
的解；
（2）根据正方形的面积求出边长，设BF
x
=
，在Rt ABF 中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：3
2
2
3
x
x
=
+
，
去分母得，(
)
3
3
2 2
x
x
+
=
，
去括号得，3
9
4
x
x
+ =
，
移项合并得，
9
x =
，
经检验，当
9
x =
时，
(
)
2
3
0
x x+
，
分式方程的解为
9
x =
；
（2）解：
正方形ABCD的面积为100，正方形EFGH 的面积为4，
10
AB
=
，
2
EF
FG
=
=
，
设BF
x
=
，则
2
AF
BG
x
=
=
+ ，
在Rt ABF 中，
2
2
2
AF
BF
AB
+
=
，
(
)
2
2
2
2
10
x
x
+
+
=
，
解得：
6
x =
或
8
x = −（舍），
即BF 的长为6．
