重难点专题07利用二次函数与实际问题（专项训练）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十六章二次函数_题型专练

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重难点专题07 利用二次函数解决实际问题
重难点一解决增长率有关问题
1.找准基础量、增长率、增长次数，套用通用增长模型列函数解析式；
2.单次增长后量=基础量×(1+增长率)，连续两次增长用二次函数y = a(1 + x)2，下降问题替换为减号；
3.自变量x 为增长率，默认取值范围x > 0，结果需符合实际百分率逻辑；
4.求最值时结合取值范围，优先判断顶点是否在定义域内，不在则取端点值；
5.审题区分“增长到” 和“增长了”，避免基数计算错误。
1．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a 个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y 个，
设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y 与x 的函数关系是（
）
A．ݕ= ㌱1 + ㌱2
B．ݕ= ㌱1 െ㌱2
C．ݕ= 1 + ㌱2 + ㌱
D．ݕ= ㌱2 + ㌱
【答案】A
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【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量ൈ(1 +
增长率)，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案．
【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放垃圾桶㌱1 + ㌱2个，
则ݕ= ㌱1 + ㌱2．
故选：A.
2．某公司去年的销售额为100 万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长
率为ݕ%，时间（年）为㌱，假设增长率函数模型为ݕ= 2㌱2 +ܾ㌱+ܿ．根据市场分析，今年（第一年）的
增长率为10%，明年（第二年）的增长率为20%，那么第三年的增长率为______．
【答案】͵Ͷ%
【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把㌱= ͵ 代入解析式ݕ= 2㌱2 +
Ͷ㌱+ Ͷ 求出ݕ即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：二次函数ݕ= 2㌱2 +ܾ㌱+ܿ
经过1ᦙ10 ，2ᦙ20 ，
∴2 +ܾ
+ܿ
= 10
ͺ + 2ܾ+ܿ
= 20 ，
解得ܾ
= Ͷܿ
= Ͷ ，
∴二次函数解析式为ݕ= 2㌱2 + Ͷ㌱+ Ͷ，
当㌱= ͵ 时，ݕ= 2 ൈͻ + Ͷ ൈ͵ + Ͷ = 1ͺ + 12 + Ͷ = ͵Ͷ，
∴第三年的增长率为͵Ͷ%，
故答案为：͵Ͷ%．
3．某公司Ͷ 月份的营收为ͺ0 万元，设每个月营收的增长率相同，且为㌱( ㌱> 0 )，͸ 月份的营收为ݕ万元，
写出ݕ关于㌱的函数解析式．
【答案】ݕ= ͺ0 1 + ㌱2
【分析】设每月增长率都为㌱，所以5 月份的营收为ͺ0 1 + ㌱万元，6 月份的营收为ͺ0 1 + ㌱2万元．
【详解】解：因为Ͷ 月份的营收为ͺ0 万元，ͷ 月份起，每月增长率都为㌱，所以ͷ 月份的营收为ͺ0 1 + ㌱
万元，͸ 月份的营收为ͺ0 1 + ㌱2万元．
∴ݕ= ͺ0 1 + ㌱2
故答案为：ݕ= ͺ0 1 + ㌱2．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式解题的关键．
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4．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B
两种房间，A 种房间房价每天200 元，B 种房间房价每天300 元，今年2 月，该酒店登记入住了120 间，总
营业收入28000 元．
（1）求今年2 月该酒店A 种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A 种房间房价调低2a
元，将B 种房间房价下调a%，由此，今年3 月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B 两种房间入住量都比2
月增加了
ͷ
2a%，总营业收入在2 月的基础上增加了a%，求a 的值．
【答案】（1）80；（2）20．
【分析】（1）设A、B 两种房间入住分别为x、y 间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可；
（2）先根据已知条件算出A、B 两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2 月的
增长率，列式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）设A、B 两种房间入住分别为x、y 间，由题意可知：
㌱+ ݕ= 120ᬅ
200㌱+ ͵00ݕ= 2ͺ000ᬆ
把①×200 得200㌱+ 200ݕ= 2Ͷ000ᬇ
用②-③得：100ݕ= Ͷ000，解得ݕ= Ͷ0
把ݕ= Ͷ0 代入①中，解得㌱= ͺ0
故入住A 房间的有80 间．
（2）由题意得：
下调后A 房间的房价=200 െ2㌱，B 房间的房价=͵00 1 െ㌱%
由题目已知条件和（1）中计算的结果知：
下调后A 房间的入住间数=ͺ0 1 +
ͷ
2 ㌱% ，B 房间的入住间数=Ͷ0 1 +
ͷ
2 ㌱%
故三月份的总收入=ͺ0 ൈ1 +
ͷ
2 ㌱%
200 െ2㌱+ Ͷ0 ൈ1 +
ͷ
2 ㌱% ൈ͵00 ൈ1 െ㌱%
又∵三月份比二月份总营业收入增加了㌱%
∴ͺ0 ൈ1 +
ͷ
2 ㌱%
200 െ2㌱+ Ͷ0 ൈ1 +
ͷ
2 ㌱% ൈ͵00 ൈ1 െ㌱% = 2ͺ000 ൈ1 + ㌱%
即1 +
ͷ
2 ㌱%
1͸000 െ1͸0㌱+ 12000 െ120㌱= 2ͺ000 ൈ1 + ㌱%
1 + ͷ
2 ㌱%
2ͺ000 െ2ͺ0㌱= 2ͺ000 ൈ1 + ㌱%
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1 + ͷ
2 ㌱%
100 െ㌱= 100 ൈ1 + ㌱%
100 + ͷ㌱
2 െ㌱െͷ
2 ㌱2% = 100 + ㌱
㌱
2 െͷ
2 ㌱2% = 0
解得：㌱= 20，㌱= 0（舍去）
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能
够根据已知条件找到等量关系进行列式计算．
重难点二销售利润问题
1.牢记核心公式：总利润=单件利润×销售数量，以此为基础搭建二次函数关系式；
2.单件利润=售价-进价，涨价则销量减少、降价则销量增加，准确提取价格与销量的变化比例；
3.设未知数优先设每件涨价/降价x 元，简化列式计算难度；
4.二次函数开口向下，顶点横坐标为利润最大时的价格调整值；
5.必须验证自变量取值范围，售价不能低于进价、销量不能为负数；
6.题目若有整数销量、定价整数要求，顶点非整数时取临近整数对比最值。
1．某服装店衣服售价为280 元时，获得的利润是进价的Ͷ0%，此时每天可卖出200 件衣服．为尽快清空库
存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5 元时，每天销量增加25 件．店主要想每天获得的利润最大，
则需要将售价定为多少元？（
）
A．200
B．220
C．240
D．260
【答案】D
【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的
性质求出利润最大时的售价．
【详解】解：设衣服的进价为㌱元，
∵售价为280 元时，利润是进价的Ͷ0%，
∴㌱1 + Ͷ0% = 2ͺ0，
解得㌱= 200，即进价为200 元．
设降价ݕ个5 元，每天总利润为ܹ
元，
则每件利润为2ͺ0 െͷݕെ200 = ͺ0 െͷݕ元，每天销量为200 + 2ͷݕ件，
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∴ܹ
= ͺ0 െͷݕ
200 + 2ͷݕ，
整理得ܹ
=െ12ͷݕ2 + 1000ݕ+ 1͸000，
∵െ12ͷ ͷ 0，二次函数开口向下，当ݕ=െܾ2㌱时，ܹ
取最大值，
∴ݕ=െ
1000
2ൈെ12ͷ = Ͷ，
∴总降价金额为Ͷ ൈͷ = 20 元，
∴售价为2ͺ0 െ20 = 2͸0 元．
2．软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a 元，软件销售按份按年收费
（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n
（份）与售价x（元/份）的关系为：݊
= 2㌱െ㌱．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当㌱= ㌱元时，
年收入记为ݕ1元；当㌱=
͵
2 ㌱元时，年收入记为ݕ2元，则下列判断正确的是（
）
A．可以找到一个a，使得ݕ1 > ㌱
B．无论a 为多少，都有ݕ1 > ㌱
C．可以找到一个a，使得ݕ2 >
͵
Ͷ ㌱2
D．无论a 为多少，都有ݕ2 >
͵
Ͷ ㌱2
【答案】A
【分析】先根据题意得到年收入的表达式，再分别计算出ݕ1和ݕ2，再逐一判断各选项即可．
【详解】解：由题意得，软件年收入ݒ=݊
ڄ ㌱െ12㌱，且݊
= 2㌱െ㌱，㌱> 0（租金为正数）．
当㌱= ㌱时，
׶݊
= 2㌱െ㌱= ㌱，
׵ ݕ1 =݊
ڄ ㌱െ12㌱= ㌱2 െ12㌱，
判断选项A：令ݕ1 > ㌱，即㌱2 െ12㌱> ㌱，
׵ ㌱2 െ1͵㌱> 0，
׵ ㌱㌱െ1͵ > 0，
׶ ㌱> 0，
׵ ㌱> 1͵，存在满足条件的㌱（如㌱= 1Ͷ），使得ݕ1 > ㌱
所以A 正确，B 错误，
当㌱=
͵
2 ㌱时，
׶݊
= 2㌱െ
͵
2 ㌱=
1
2 ㌱，
׵ ݕ2 =݊
ڄ ㌱െ12㌱=
1
2 ㌱ڄ
͵
2 ㌱െ12㌱=
͵
Ͷ ㌱2 െ12㌱，
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判断选项C：解不等式
͵
Ͷ ㌱2 െ12㌱>
͵
Ͷ ㌱2，
解得：㌱ͷ0，这与㌱> 0 相矛盾
则不存在㌱使得ݕ2 >
͵
Ͷ ㌱2，
所以C 错误，D 错误．
3．某宾馆有50 个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180 元时，房间会全部住满；当每个房间每
天的定价每增加10 元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20 元的
各种费用．若设有x 个房间空闲，则宾馆利润为y 元．请你写出y 与x 的函数关系式____________________．
【答案】ݕ= 1͸0 + 10㌱
ͷ0 െ㌱
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键，根据题意表示出每间房间的利润
以及住满的房间数，进而得出答案．
【详解】解：当有x 个房间空闲时，每个房间每天的定价为1ͺ0 + 10㌱元，入住了ͷ0 െ㌱个房间，
根据题意得：ݕ= 1ͺ0 + 10㌱െ20
ͷ0 െ㌱= 1͸0 + 10㌱
ͷ0 െ㌱．
故答案为：ݕ= 1͸0 + 10㌱
ͷ0 െ㌱．
4．某商店购进一批单价为50 元的日用商品，如果以单价每个60 元销售时，每周能卖出120 个，若这种商
品零售价每涨价1 元，周销售量就减少3 个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的͵0%，则每周
获得的最大利润为_________元．
【答案】1575
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设涨价x 元，每周获得的利润为W 元，则每周的销售量为
120 െ͵㌱个，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出W 关于x 的函数关系式，再利用二次函数的性质
求解即可．
【详解】解：设涨价x 元，每周获得的利润为W 元，则每周的销售量为120 െ͵㌱个，
由题意得，ܹ
= ͸0 + ㌱െͷ0
120 െ͵㌱
= ㌱+ 10
120 െ͵㌱
=െ͵㌱2 + ͻ0㌱+ 1200
=െ͵ ㌱െ1ͷ 2 + 1ͺͺͷ，
∵单个利润不能超过成本价的͵0%，
∴͸0 + ㌱െͷ0 ൑ͷ0 ൈ͵0%，
∴㌱൑ͷ，
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∵െ͵ ͷ 0，
∴当㌱ͷ 1ͷ 时，W 随x 的增大而增大，
∴当㌱= ͷ 时，W 有最大值，最大值为െ͵ ͷ െ1ͷ 2 + 1ͺͺͷ = 1ͷͺͷ，
∴每周获得的最大利润为1ͷͺͷ 元，
故答案为：1ͷͺͷ．
5．某商场销售一种进价为每件25 元的商品，售价为每件35 元时，每天可售出50 件；售价每上涨1 元，
每天的销售量就减少2 件．设每件商品的售价为x 元（㌱൒͵ͷ 且㌱为整数），每天的销售利润为y 元．
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)ݕ=െ2㌱2 + 1ͺ0㌱െ͵000
(2)当售价定为42 元或43 元时，每天利润最大，最大利润为612 元
【分析】（1）利润=涨价后销售每件获得的利润ൈ涨价后的销售量，据此列出函数关系式即可求解；
（2）对称轴为直线㌱=െܾ2㌱=െ
1ͺ0
2ൈെ2 = Ͷ2ʹͷ，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：ݕ= ㌱െ2ͷ ͷ0 െ2 ㌱െ͵ͷ
= 120㌱െ2㌱2 െ͵000 + ͷ0㌱
=െ2㌱2 + 1ͺ0㌱െ͵000；
（2）解：对称轴为直线㌱=െܾ2㌱=െ
1ͺ0
2ൈെ2 = Ͷ2ʹͷ，
因为x 为整数，且Ͷ2ʹͷ 两侧的整数为42 和43，െ2 ͷ 0，
׵当㌱= Ͷ2 时，
ݕ=െ2 ൈͶ22 + 1ͺ0 ൈͶ2 െ͵000 = ͸12（元）．
当㌱= Ͷ͵ 时：
ݕ=െ2 ൈͶ͵2 + 1ͺ0 ൈͶ͵ െ͵000 = ͸12（元）．
答：当售价定为42 元或43 元时，每天利润最大，最大利润为612 元．
6．商场某种商品进价20 元每件，售价70 元每件，平均每天可销售30 件，为了尽快减少库存，商场决定
采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1 元，商场平均每天可多售出2 件．每件商品定价多
少元时，商场日盈利可达到2000 元？
(1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件商品降价㌱元，由题意，可列方程为：．
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小红：设每件商品定价为a 元，由题意，可列方程为：．
(2)请写出一种完整的解答过程．
(3)降价多少元时可获得最大利润？最大利润为多少？
【答案】(1)
小明：(ͷ0 െ㌱)(͵0 + 2㌱) = 2000；小红：(㌱െ20)ሻ͵0 + 2(ͺ0 െ㌱)ሿ= 2000
(2)
解：小明的方程：ͷ0 െ㌱
͵0 + 2㌱= 2000，
整理得，㌱2 െ͵ͷ㌱+ 2ͷ0 = 0，
解得，㌱1 = 2ͷ，㌱2 = 10，
∵为了尽快减少库存，
∴每件商品降价2ͷ 元，则每件售价为ͺ0 െ2ͷ = Ͷͷ（元），
∴每件商品定价为45 元时，商场日盈利可达到2000 元；
小红的方程：㌱െ20 ͵0 + 2 ͺ0 െ㌱
= 2000，
整理得，㌱2 െ10ͷ㌱+ 2ͺ00 = 0，
解得，㌱1 = ͸0，㌱2 = Ͷͷ，
∵为了尽快减少库存，
∴每件商品定价为45 元时，商场日盈利可达到2000 元；
(3)
降价1ͺʹͷ 元时可获得最大利润，最大利润为2112ʹͷ 元
【分析】（1）小明：设每件商品降价㌱元，则商场平均每天可多售出2㌱件，由利润等于每件利润乘以销售
件数即可列式；小红：设每件商品定价为a 元，则每件的利润为㌱െ20 元，每件降价为ͺ0 െ㌱元，结合
数量关系即可求解；
（2）根据题意，解一元二次方程即可；
（3）设每件商品降价ݕ元，则商场平均每天可多售出2ݕ件，设利润为ݓ，根据数量关系列式，结合二次
函数图象的性质即可求解．
【详解】（1）解：每件商品每降价1 元，商场平均每天可多售出2 件，
∴小明：设每件商品降价㌱元，则商场平均每天可多售出2㌱件，
列方程为：ͺ0 െ20 െ㌱
͵0 + 2㌱= 2000，即ͷ0 െ㌱
͵0 + 2㌱= 2000；
小红：设每件商品定价为a 元，则每件的利润为㌱െ20 元，每件降价为ͺ0 െ㌱元，
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列方程为：㌱െ20 ͵0 + 2 ͺ0 െ㌱
= 2000；
（2）略
（3）解：设每件商品降价ݕ元，则商场平均每天可多售出2ݕ件，
∴每件利润为ͺ0 െ20 െݕ= ͷ0 െݕ（元），销售件数为͵0 + 2ݕ件，
设利润为ݓ，
∴ݓ= ͷ0 െݕ
͵0 + 2ݕ=െ2ݕ2 + ͺ0ݕ+ 1ͷ00 =െ2 ݕെ1ͺʹͷ 2 + 2112ʹͷ，
∵െ2 ͷ 0，
∴当ݕ= 1ͺʹͷ 时，可获得最大利润，
∴降价1ͺʹͷ 元时可获得最大利润，最大利润为2112ʹͷ 元．
重难点三解决拱桥类问题
1.优先建立平面直角坐标系，常规以拱桥顶点为原点或桥面中点为原点，简化解析式系数；
2.根据图像对称性，快速获取抛物线上已知点的坐标；
3.代入坐标用待定系数法求二次函数解析式；
4.求桥高、桥宽、船只通行高度/宽度时，代入x 求y 或代入y 求x；
5.解题必验实际意义，宽度、高度均为正数，舍去负解；
6.遇到双向通行问题，需取单侧宽度计算，避免整体宽度误判。
1．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为ݕ=െ
1
͵ ㌱2，当水面离桥顶的高度为
1͸
͵ m 时，水面的宽
度为（
）米．
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的应用，求出抛物线当ݕ=െ
1͸
͵ 时㌱的值即可得解．
【详解】解：根据题意，当ݕ=െ
1͸
͵ 时，得：െ
1
͵ ㌱2 =െ
1͸
͵ ，
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解得：㌱= Ͷ 或㌱=െͶ．
∴水面宽度为：Ͷ െെͶ = ͺ（米）．
故选：B．
2．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为ݕ=
െ
1
1͸ ㌱2，正常水位时，水面宽ܣܤ为1͸m，此时拱顶O 到水面ܣܤ的距离为_______m．
【答案】4
【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据题意可得：把㌱= ͺ 代入和=െ
1
1͸ ㌱2，进行计算，即可求解．
【详解】解：׶水面宽一个ܤ为1͸m，
׵ ܤ的横坐标为ͺ，
把㌱= ͺ 代入ݕ=െ
1
1͸ ㌱2，
得：ݕ=െ
1
1͸ ൈͺ2 =െͶ，
׵ ܤͺᦙെͶ ，
׵此时拱顶或到水面一个ܤ的距离为Ͷm，
故答案为：4．
3．如图1 是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美
誉．已知中间主跨地面宽度ܣܤ为35 米，实际结构可简化为图2 所示的组合图形：上部为抛物线形，下部
为矩形ܣܤ形ܦ．某测量小组测得ܣܦ为3 米，从A 点出发，沿主跨地面向右侧走2 米到达点E，测得E 点处
对应的高度ܧܨ（即点E 上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3 米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛
物线顶点到地面的距离）．（精确到0ʹ1m）
【答案】主跨的高度约为1ͺʹ͵m．
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【分析】以线段ܣܤ所在直线为x 轴，线段ܣܤ的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，由题意可得
ܦെ
͵ͷ
2 ᦙ͵ ，ܨെ
͵1
2 ᦙ͸ʹ͵ ，设该抛物线的表达式为ݕ= ㌱㌱2 +݇，求出抛物线的解析式即可解答．
【详解】解：以线段ܣܤ所在直线为x 轴，线段ܣܤ的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如答图所
示．
׶ ܣܤ= ͵ͷm，
׵ܱ
ܣ=
͵ͷ
2 m，ܱܧ=
͵ͷ
2 െ2 =
͵1
2 m ，
׵ ܦെ
͵ͷ
2 ᦙ͵ ，ܨെ
͵1
2 ᦙ͸ʹ͵ ．
设该抛物线的表达式为ݕ= ㌱㌱2 +݇，
将ܦെ
͵ͷ
2 ᦙ͵ ，ܨെ
͵1
2 ᦙ͸ʹ͵ 代入，得
͵ = െ
͵ͷ
2
2
㌱+݇
͸ʹ͵ = െ
͵1
2
2
㌱+݇
，
解得
㌱=െ
1
20݇
=
2ͻ͵
1͸
，
׵该抛物线的表达式为ݕ=െ
1
20㌱2 +
2ͻ͵
1͸ ．
当㌱= 0 时，ݕ=
2ͻ͵
1͸ ൎ1ͺʹ͵．
答：主跨的高度约为1ͺʹ͵m．
4．赵州桥的历史距今已有1Ͷ00 多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度
最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形
看成二次函数，建立平面直角坐标系，此时水面ܣܤ的宽为͵͸ 米，水面ܣܤ离桥拱顶点形的高度1ͺ 米．
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(1)请你求出二次函数的表达式．
(2)春夏之际，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长1Ͷ 米，
宽Ͷ 米，高2ʹͷ 米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点形的高度ͺ 米，游船是否能顺利通过
赵州桥，请计算说明．
【答案】(1)ݕ=െ
1
1ͺ ㌱െ1ͺ 2（或ݕ=െ
1
1ͺ㌱2 + 2㌱െ1ͺ）
(2)游船能顺利通过赵州桥
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的实际应用，解题的关键在于灵活运用相
关知识．
（1）根据题意得到ܣ(0ᦙെ1ͺ)ᦙܤ(͵͸ᦙെ1ͺ)ᦙ形(1ͺᦙ0)，设抛物线的解析式为ݕ= ㌱㌱െ݄
2 +݇，再利用待定
系数法求解，即可解题；
（2）根据题意得到ݕ=െͶʹͷ，进而联立二次函数的表达式求得交点横坐标，得到横坐标之差，再与游船的
宽进行比较，即可解题．
【详解】（1）解：根据题意得ܣܤ= ͵͸，水面ܣܤ离桥拱顶点形的高度1ͺ，
׵ ܣ(0ᦙെ1ͺ)ᦙܤ(͵͸ᦙെ1ͺ)ᦙ形(1ͺᦙ0)，
׵设抛物线的解析式为ݕ= ㌱㌱െ݄
2 +݇，
将点形代入得ݕ= ㌱㌱െ1ͺ 2，
将点ܣ代入得：െ1ͺ = ㌱0 െ1ͺ 2，
解得㌱=െ
1
1ͺ，
׵ ݕ=െ
1
1ͺ (㌱െ1ͺ)2（或ݕ=െ
1
1ͺ ㌱2 + 2㌱െ1ͺ）；
（2）解：׶水面离桥拱顶点形的高度ͺ 米，一艘游船（水面上的部分近似的看成长1Ͷ 米，宽Ͷ 米，高2ʹͷ
米的长方体）行驶在河面上，
׵ ݕ=െͺ + 2ʹͷ =െͶʹͷ，
׵െͶʹͷ =െ
1
1ͺ (㌱െ1ͺ)2，
解得：㌱1 = ͻᦙ㌱2 = 2ͺ，
׵ 2ͺ െͻ = 1ͺ > Ͷ，
׵游船能顺利通过赵州桥．
5．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中
间的大拱截面形㜠ܦ可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼．
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现有以下三条素材：
素材1：整个图形是轴对称图形；
素材2：跨度ܣܤ= 2Ͷ 米，竖直支撑ܣ形= ܤܦ= 1 米，最高点P 到ܣܤ的距离为5
米；
素材3：两灯笼ܯܧ，ܰܨ之间的水平距离为4 米，点M、N 均在抛物线上且关于抛
物线的对称轴对称．
现以ܣܤ所在直线为x 轴，ܣܤ的垂直平分线（直线ܱ
㜠）为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围）
(2)若ܯܧ=ܰ
ܨ=
2ͷ
1ͺ米，求灯笼底端（点E 或F）到ܣܤ的距离．
【答案】(1)ݕ=െ
1
͵͸㌱2 + ͷ
(2)͵ʹͷ 米
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）将㌱= 2 代入抛物线的解析式，求出y 的值，再根据ܯܧ=ܰ
ܨ=
2ͷ
1ͺ求出结果即可．
【详解】（1）解：由题意可知，点D 的坐标为12ᦙ1 ，P 的坐标为0ᦙͷ ．
设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：ݕ= ㌱㌱2 + ͷ，
将点ܦ12ᦙ1 代入得，1 = 1ͶͶ㌱+ ͷ，
解得㌱=െ
1
͵͸，
∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为ݕ=െ
1
͵͸㌱2 + ͷ；
（2）解：由题意知，ܯܰ
= Ͷ，M、N 关于抛物线的对称轴对称，
∴点N 的横坐标为2，
当㌱= 2 时，ݕ=െ
1
͵͸ ൈ22 + ͷ =
ͶͶ
ͻ ，
׵
ͶͶ
ͻ െ
2ͷ
1ͺ = ͵ʹͷ，
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∴灯笼底端（点E 或F）到ܣܤ的距离为͵ʹͷ 米．
6．如图1 是一张乒乓球桌，侧面简化结构如图2 所示，其下方支架㜠ܱㄱ可近似看成一条抛物线的一部分，
台面ܣܤ（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为ͺ2cm（台面ܣܤ与地面㜠ㄱ之间的距离）．以ܣܤ所
在直线为㌱轴，过点ܱ
且垂直于ܣܤ的直线为ݕ轴建立如图2 所示的平面直角坐标系．抛物线的最高点位
于原点ܱ
处，㜠、ㄱ关于ݕ轴对称，且㜠、ㄱ两点之间的距离为ͻ͸ ͷcm．
(1)求支架㜠ܱㄱ所在抛物线的函数表达式；
(2)直线型支架形ܧ、ܦܨ的上端形、ܦ均在台面ܣܤ上，下端ܧ、ܨ均在抛物线上，且两条支架形ܧ、ܦܨ关于
ݕ轴对称，ס形ܦܨ= Ͷͷι，已知ܧ、ܨ两点间的距离为1͸0cm，过点ܧ、ܨ分别作㌱轴的垂线，垂足分别为点
ܩ、ܪ，求支架形ܧ与ܦܨ的总长度（即求形ܧ+ ܦܨ）．
【答案】(1)ݕ=െ
1
1͸0 ㌱2
(2)ͺ0 2
【分析】（1）设抛物线为ݕ= ㌱㌱2，把㜠െͶͺ ͷᦙെͺ2 代入计算即可．
（2）由ܧ、ܨ两点间的距离为1͸0cm，可得ܧܩ= Ͷ0，结合ס形ܦܨ= Ͷͷι，两条支架形ܧ、ܦܨ关于ݕ轴对称，
可得סܧ形ܩ= Ͷͷι，ܦܨ= 形ܧ，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：根据题意设抛物线为ݕ= ㌱㌱2，
∵㜠、ㄱ两点之间的距离为ͻ͸ ͷcm，台面ܣܤ（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为ͺ2cm（台面ܣܤ
与地面㜠ㄱ之间的距离），
∴㜠െͶͺ ͷᦙെͺ2 ，
∴െͶͺ ͷ
2㌱=െͺ2，
解得：㌱=െ
1
1͸0，
∴抛物线为：ݕ=െ
1
1͸0 ㌱2．
（2）解：∵ܧ、ܨ两点间的距离为1͸0cm，
∴㌱ܧ=െͺ0，
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∴ݕܧ=െ
1
1͸0 ൈെͺ0 2 =െͶ0，
∴ܧܩ= Ͷ0，
∵ס形ܦܨ= Ͷͷι，两条支架形ܧ、ܦܨ关于ݕ轴对称，
∴סܧ形ܩ= Ͷͷι，ܦܨ= 形ܧ，
∴形ܧ=
2ܧܩ= Ͷ0 2，
∴形ܧ+ ܦܨ= ͺ0 2．
重难点四解决投球类问题
1.明确变量含义：x 多为水平移动距离，y 为离地竖直高度；
2.抛物线开口向下，顶点对应球飞行的最高点、最远距离；
3.根据题目场景，确定起点坐标（出手点高度）、落点坐标（落地时y=0）；
4.求最大高度直接算顶点纵坐标，求投掷距离令y=0 解正数x；
5.自变量x≥0，舍去负数解；
6.落地前的高度问题，需限定x 在飞行有效区间内；
7.区分“出手高度”“落地高度”“最高点高度” 三个关键数值，避免混淆。
1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度݄（单位：m）与小球运动时间ݐ（单位：s）之间的函数关系
如图所示．下列结论：①小球抛出3 秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是ͺ0m；③当ݐ= ͷ
时，݄
= 20；④当݄
= ͵ͷ 时，ݐ= 2．其中正确的有（
）
A．①②
B．②③
C．①③④
D．①②④
【答案】A
【分析】由图象得，抛物线顶点坐标为͵ᦙͶ0 ，即可判断①②，然后利用待定系数法求出函数解析式，然
后分别将ݐ= ͷ 和݄
= ͵ͷ 代入即可判断③④．
【详解】解：①由图象得，抛物线顶点坐标为͵ᦙͶ0
∴小球抛出3 秒时达到最高点，故①正确；
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②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故Ͷ0 ൈ2 = ͺ0m，故②正确；
③设函数解析式为：݄
= ㌱(ݐെ͵)2 + Ͷ0，
把ܱ
0ᦙ0 代入得0 = ㌱(0 െ͵)2 + Ͷ0，解得㌱=െ
Ͷ0
ͻ ，
׵函数解析式为݄
=െ
Ͷ0
ͻ (ݐെ͵)2 + Ͷ0，
当ݐ= ͷ 时，݄
=െ
Ͷ0
ͻ ൈ(ͷ െ͵)2 + Ͷ0 =
200
ͻ ，故③错误；
④当݄
= ͵ͷ 时，͵ͷ =െ
Ͷ0
ͻ (ݐെ͵)2 + Ͷ0，
解得：ݐ= ͵ േ
͵ 2
Ͷ ，故④错误．
综上所述，其中正确的有①②．
2．如图，一小球从斜坡O 点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数ݕ= ㌱㌱2 +ܾ㌱（㌱ͷ 0）刻
画，斜坡可以用一次函数ݕ=
1
2 ㌱刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律
如下表：
x
0
1
2
m
4
5
6
…
y
0
ͺ
2
6
1ͷ
2
8
1ͷ
2
n
…
有下列结论：
①݉
= ͵，݊
= ͸；
②当小球飞行的水平距离为2 米时，小球距离斜坡的高度为6 米；
③小球的落点A 距离斜坡起点O 的水平距离为7 米；
④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为͸ʹͷ 米．
其中，正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
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【分析】利用待定系数法可求出二次函数解析式为ݕ=െ
1
2 ㌱2 + Ͷ㌱，可判断①；②分别求出当㌱= 2 时，
两函数对应函数值，可判断②；联立得两函数解析式，求出x 的值，可判断③；求出小球在飞行的过程中
与斜坡的最大高度差与x 的函数关系，再利用二次函数的性质，可判断④．
【详解】解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线过
点2ᦙ͸ ᦙͶᦙͺ ，
∴Ͷ㌱+ 2ܾ
= ͸
1͸㌱+ Ͷܾ
= ͺ ，
解得：㌱=െ
1
2ܾ
= Ͷ
，
∴二次函数解析式为ݕ=െ
1
2 ㌱2 + Ͷ㌱，
当ݕ=
1ͷ
2 时，െ
1
2 ㌱2 + Ͷ㌱=
1ͷ
2 ，
解得：㌱= ͵ 或㌱= ͷ（舍去），
∴݉
= ͵，
当㌱= ͸ 时，݊
= ݕ=െ
1
2 ൈ͸2 + Ͷ ൈ͸ = ͸，故①正确；
②对于ݕ=െ
1
2 ㌱2 + Ͷ㌱，当㌱= 2 时，ݕ=െ
1
2 ൈ22 + Ͷ ൈ2 = ͸，
对于ݕ=
1
2 ㌱，当㌱= 2 时，ݕ=
1
2 ൈ2 = 1，
∴当小球飞行的水平距离为2 米时，小球距离斜坡的高度为͸ െ1 = ͷ 米，故②错误；
联立得：െ
1
2 ㌱2 + Ͷ㌱=
1
2 ㌱，
解得：㌱1 = 0ᦙ㌱2 = ͺ，
∴小球的落点A 距离斜坡起点O 的水平距离为7 米，故③正确；
小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差݄
=െ
1
2 ㌱2 + Ͷ㌱െ
1
2 ㌱=െ
1
2 ㌱െ
ͺ
2
2
+
Ͷͻ
ͺ ，
∵െ
1
2 ͷ 0，
∴当㌱=
ͺ
2时，h 的值最大，最大值为
Ͷͻ
ͺ ，
即小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为
Ͷͻ
ͺ 米，故④错误；
综上所述，正确的有①③．
3．如图，这是某足球比赛的平面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线的一部分，足球离地面的高度݄（m）
与足球被踢出后经过的时间ݐ（s）之间的关系的部分数据如下表，则被踢出的足球在第________s 落地．
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ݐȀs
0
2
3
4
…݄
Ȁm
0
1͸
ͻ
2
1͸
ͻ
…
【答案】͸
【分析】先根据表格中的数据，运用待定系数法求出足球离地面的高度݄（m）与足球被踢出后经过的时间
ݐ（s）之间的函数关系式，再根据函数图象与性质求解即可．
【详解】解：由题意，可设抛物线解析式为：݄
= ㌱ݐ2 +ܾݐ，
当ݐ= 2 时，݄
=
1͸
ͻ ；当ݐ= ͵ 时，݄
= 2，
׵
1͸
ͻ = Ͷ㌱+ 2ܾ
2 = ͻ㌱+ ͵ܾ
，解得
㌱=െ
2
ͻܾ
=
Ͷ
͵
，
׵抛物线解析式为݄
=െ
2
ͻ ݐ2 +
Ͷ
͵ ݐ，
当݄
= 0 时，0 =െ
2
ͻ ݐ2 +
Ͷ
͵ ݐ，
解得：ݐ= 0 或ݐ= ͸，
则被踢出的足球在第͸ݏ落地．
4．综合与实践：根据素材回答问题：
茶叶的销售问题
背景
黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽
州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每
年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥
壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫
显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）．
素材1
某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60 元，规定每千
克售价需超过成本，但不高于100 元，经调查发现，其日销售量
ݕ（千克）与售价㌱（元/千克）之间的函数关系如图所示．
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(1)任务1：求出ݕ与㌱的函数关系式；
(2)任务2：若该茶叶的日销售量不低于80 千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利
润是多少元；
【答案】(1)ݕ与㌱的函数关系式为ݕ=െ2㌱+ 2Ͷ0 ͸0 ͷ ㌱൑100
(2)当售价为80 元时，每天获利最大，最大利润为1600 元
【分析】（1）设ݕ与㌱的函数关系式为ݕ=݇
㌱+ܾ，把͸0ᦙ120 ，ͺ0ᦙͺ0 代入即可求解；
（2）设每天获取的利润为ݓ元，由题意可得ݓ= ㌱െ͸0
െ2㌱+ 2Ͷ0 ，͸0 ͷ ㌱൑ͺ0，根据二次函数图象
与性质即可求解．
【详解】（1）解：设ݕ与㌱的函数关系式为ݕ=݇
㌱+ܾ，
把͸0ᦙ120 ，ͺ0ᦙͺ0 代入得，
͸0݇+ܾ
= 120
ͺ0݇+ܾ
= ͺ0 ，
解得݇
=െ2ܾ
= 2Ͷ0 ，
∴ݕ与㌱的函数关系式为ݕ=െ2㌱+ 2Ͷ0 ͸0 ͷ ㌱൑100 ．
（2）解：设每天获取的利润为ݓ元，
由题意得，ݓ= ㌱െ͸0
െ2㌱+ 2Ͷ0 =െ2㌱2 + ͵͸0㌱െ1ͶͶ00 =െ2 ㌱െͻ0 2 + 1ͺ00，
∵该茶叶的日销售量不低于80 千克，
∴െ2㌱+ 2Ͷ0 ൒ͺ0，
解得㌱൑ͺ0，
∵每千克成本为60 元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100 元，
∴͸0 ͷ ㌱൑100，
∴͸0 ͷ ㌱൑ͺ0，
∵㌱=െ2 ͷ 0，
∴抛物线开口方向向下，对称轴为直线㌱= ͻ0，
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∴㌱൑ͻ0 时，ݓ随㌱的增大而增大，
∴当㌱= ͺ0 时，ݓ取得最大值为െ2 ͺ0 െͻ0 2 + 1ͺ00 = 1͸00，
答：当售价为80 元时，每天获利最大，最大利润为1600 元．
5．2026 年美加墨世界杯开幕式于当地时间6 月11 日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在
小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的
站立位置为坐标原点，水平前进方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知：
①传球瞬间，足球高度为1 米，即坐标为：0ᦙ1 ；
②足球飞行水平距离20 米时，达到最高点，高度为5 米；
③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点͵ͺm～Ͷ2m，球门高度0m～2ʹͶͶm．
(1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式；
(2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2 米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离
是多少米？（结果保留根号）
(3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离͵ͺ ൑㌱൑Ͷ2 的范围内，能否
飞入球门？
【答案】(1)ݕ=െ
1
100 ㌱െ20 2 + ͷ
(2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是20 + 10 ͵ 米．
(3)能
【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为ݕ= ㌱㌱െ20 2 + ͷ，代入0ᦙ1 即可求解；
（2）令ݕ= 2，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论．
（3）分别计算㌱= ͵ͺ，㌱= Ͷ2 的函数值，进一步判断即可．
【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为ݕ= ㌱㌱െ20 2 + ͷ，
把0ᦙ1 代入得，1 = Ͷ00㌱+ ͷ，
解得㌱=െ
1
100，
∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为ݕ=െ
1
100 ㌱െ20 2 + ͷ．
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（2）解：令ݕ= 2，则2 =െ
1
100 ㌱െ20 2 + ͷ，
解得㌱1 = 20 + 10 ͵，㌱2 = 20 െ10 ͵，
根据图象，头球点在最高点右侧，即㌱> 20，㌱2 = 20 െ10 ͵舍去，
∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是20 + 10 ͵ 米．
（3）解：当㌱= ͵ͺ 时，则ݕ=െ
1
100 ͵ͺ െ20 2 + ͷ = ͷ െ͵ʹ2Ͷ = 1ʹͺ͸ ͷ 2ʹͶͶ，
当㌱= Ͷ2 时，则ݕ=െ
1
100 Ͷ2 െ20 2 + ͷ = ͷ െͶʹͺͶ = 0ʹ1͸ > 0，
∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离͵ͺ ൑㌱൑Ͷ2 的范围内，能飞入球门．
6．为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线
的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点㜠距水平地面的高度ܱ
㜠为1ʹͺm，实心球到达最高点
时，距出手点的水平距离是Ͷm，距水平地面的高度是͵m，记落地点为ܯ，以ܱ
为原点，ܱܯ所在直线为
㌱轴，ܱ㜠所在直线为ݕ轴建立平面直角坐标系．
(1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式；
(2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10m 为满分，请通过计算判断该次练习小明同学
能否得满分；
(3)小明投掷实心球时，有一位身高1ʹͺm 的同学正好闯入实心球场地且在线段ܱ
ܯ上跑动，若闯入的同学是
安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围．
【答案】(1)ݕ=െ
͵
Ͷ0 ㌱െͶ 2 + ͵
(2)由（1）知抛物线表达式为ݕ=െ
͵
Ͷ0 ㌱െͶ 2 + ͵，出手点与落地点的水平距离，即点ܱ
和点ܯ之间距离，
当ݕ= 0 时，0 =െ
͵
Ͷ0 ㌱െͶ 2 + ͵，
解得㌱1 = Ͷ + 2 10，㌱2 = Ͷ െ2 10，
点ܯ坐标为Ͷ + 2 10ᦙ0 或Ͷ െ2 10ᦙ0 ，
∵点ܯ在㌱轴正半轴，
∴Ͷ െ2 10ᦙ0 （不符合题意，舍去），
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׵ܱ
ܯ= Ͷ + 2 10，
׶ ͵͸ ͷ Ͷ0 ͷ Ͷͻ，
׵ ͸ ͷ 2 10 ͷ ͺ，
׵ 10 ͷ Ͷ + 2 10 ͷ 11，
׵小明此次练习能得满分．
(3)0 ͷ ㌱ͷ ͺ
【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式．
（2）根据（1）中的抛物线表达式求出㌱轴交点坐标，对比交点到原点的距离和10 大小关系即可．
（3）利用抛物线对称轴求出点㜠关于对称轴对称点坐标，为了保证安全ݕ> 1ʹͺ，即可求出横坐标范围，
【详解】（1）解：根据题意可知，抛物线的顶点为Ͷᦙ͵ ，点㜠坐标为0ᦙ1ʹͺ
设抛物线的顶点式为：ݕ= ㌱(㌱െͶ)2 + ͵，
∴1ʹͺ = ㌱(0 െͶ)2 + ͵，
∴㌱=െ
͵
Ͷ0，
∴抛物线的表达式为：ݕ=െ
͵
Ͷ0(㌱െͶ)2 + ͵．
（2）略
（3）由题意可知，抛物线的对称轴为直线㌱= Ͷ，
׶ 㜠0ᦙ1ʹͺ ，
׵点P 关于抛物线对称轴对称的点的坐标为ͺᦙ1ʹͺ ，
∵同学身高1ʹͺm，为了保证安全，此时ݕ> 1ʹͺ，
׵此时该同学所在位置的横坐标的取值范围为0 ͷ ㌱ͷ ͺ．
7．综合实践
探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响
试验
说明
数学兴趣小组为了探究此问题，由一名男生做了两次投掷试验（出手角度不同）．建立如图1 所
示的平面直角坐标系．
实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，实心球着地点到出手点的水平距离为d 米
（即掷球成绩）．
男生实心球评分标准如下表所示．
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d/米
8.4
8.2
7.8
7.6
7.0
6.7
得分
10
9.5
9.0
8.5
7.8
7.6
从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度y 与水平距离x（单
位：米）近似满足二次函数关系，两次试验实心球所达到的最大高度相同．
试验
过程
【第一次试验】：实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组对应数据如下：
水平距离x/米
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度y/米
2
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
n
【第二次试验】：实心球的竖直高度y 与水平距离x 的函数图象的一部分如图2 所示，其中A 为
第二次试验抛物线的顶点．
解决问题
(1)根据第一次试验数据，直接写出：݊
= ________；此次试验中实心球达到的最大高度是________米；
(2)求第二次试验的抛物线的解析式；
(3)通过计算说明该男生两次投掷试验的最好成绩是多少分？
【答案】(1)3.2；3.6
(2)ݕ=െ
ͷ
͵2 ㌱െ͵ʹ2 2 + ͵ʹ͸
(3)
该男生两次投掷试验的最好成绩是10 分
【分析】（1）由对称性可得第一次试验中，对应的抛物线的对称轴为直线㌱= Ͷ ，据此可得对应的顶点坐
标，则可得到第二空的答案，再由对称性可得第一空的答案；
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（2）根据题意可得第二次试验的抛物线的顶点坐标为͵ʹ2ᦙ͵ʹ͸ ，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法
求解即可；
（3）求出第一次试验的抛物线的解析式，进而求出݀
1，݀
2即可得到答案．
【详解】（1）解：∵第一次试验中，㌱= ͵ 时的函数值与㌱= ͷ 时的函数值相同，
∴第一次试验中，对应的抛物线的对称轴为直线㌱= Ͷ ，
∴第一次试验中，对应的抛物线的顶点坐标为Ͷᦙ͵ʹ͸ ，
∴此次试验中实心球达到的最大高度是͵ʹ͸ 米，
由对称性可得㌱= 2 时的函数值与㌱= ͸ 时的函数值相同，即݊
= ͵ʹ2 ；
（2）解：∵两次试验实心球所达到的最大高度相同，
∴第二次试验的抛物线的顶点坐标为͵ʹ2ᦙ͵ʹ͸ ，
设第二次试验的抛物线的解析式为ݕ= ㌱㌱െ͵ʹ2 2 + ͵ʹ͸ ㌱്
0 ，
把0ᦙ2 代入，得2 = ㌱0 െ͵ʹ2 2 + ͵ʹ͸ ，
解得㌱=െ
ͷ
͵2，
∴第二次试验的抛物线的解析式为ݕ=െ
ͷ
͵2 ㌱െ͵ʹ2 2 + ͵ʹ͸ ；
（3）解：设第一次试验的抛物线的解析式为ݕ= ㌱1 ㌱െͶ 2 + ͵ʹ͸ ㌱1്
0 ，
把0ᦙ2 代入，得1͸㌱1 + ͵ʹ͸ = 2 ，
解得㌱1 =െ
1
10，
∴第一次试验的抛物线的解析式为ݕ=െ
1
10 ㌱െͶ 2 + ͵ʹ͸ ，
在ݕ=െ
1
10 ㌱െͶ 2 + ͵ʹ͸ 中，令ݕ= 0 ，得0 =െ
1
10 ㌱െͶ 2 + ͵ʹ͸ ，
解得㌱= 10 或㌱=െ2 （舍去），
׵݀
1 = 10 米，
在ݕ=െ
ͷ
͵2 ㌱െ͵ʹ2 2 + ͵ʹ͸ 中，令ݕ= 0 ，得െ
ͷ
͵2 ㌱െ͵ʹ2 2 + ͵ʹ͸ = 0 ，
解得㌱= ͺ 或㌱=െ1ʹ͸ （舍去），
׵݀
2 = ͺ 米，
׵݀
1 >݀
2，
∴第一次试验成绩最好；
׶݀
1 > ͺʹͶ ，
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∴第一次试验成绩为10 分，
∴该男生两次投掷试验的最好成绩是10 分．
重难点五解决喷水问题
1.统一建模思路：水流轨迹为开口向下的抛物线，喷头位置为初始坐标；
2.以地面为x 轴、喷头竖直中线为y 轴建系，简化计算；
3.顶点为水流最高点，可直接读出最大喷水高度；
4.求喷水最远距离令y=0，求解正根即为水平射程；
5.求特定高度的喷水宽度，代入y 值求出两个x 值，差值即为宽度；
6.注意喷头离地有固定高度，初始y 值不为0，切勿默认原点喷水；
7.实际问题中舍弃地面以下、反向喷水的无效解。
1．广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管ܱ
ܣ喷出，ܱܣ长为1ʹͷm．水流在各个方向上沿抛物线
路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B 到点O 的距离为͵m．建立如图所示的
平面直角坐标系，水流喷出的高度ݕm 与水平距离㌱m 之间满足函数关系ݕ= ㌱㌱2 + ㌱+ܿ(㌱്
0)，则水
流喷出的最大高度是（
）
A．1ʹͷm
B．2m
C．2ʹͷm
D．͵m
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后
结合实际进行求解．
由题意可得，抛物线经过点0ᦙ1ʹͷ 和͵ᦙ0 ，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a 和c 的值，
则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．
【详解】解：由题意可得，抛物线经过点0ᦙ1ʹͷ 和͵ᦙ0 ，
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
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= 1ʹͷ
ͻ㌱+ ͵ +ܿ
= 0 ，
解得：
㌱=െ
1
2ܿ
=
͵
2
，
∴函数表达式为：ݕ=െ
1
2 ㌱2 + ㌱+
͵
2 =െ
1
2 (㌱െ1)2 + 2，
∵㌱ͷ 0，
∴函数有最大值，
∴当㌱= 1 时，y 取得最大值，此时ݕ= 2，
即水流喷出的最大高度为2m．
故选：B．
2．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为
20m，水池中心ܱ
处立着一个圆柱形实心石柱ܱ
ܯ，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈
拋物线型，水柱在距水池中心Ͷm 处到达最大高度为͸m，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点ܯ处汇
合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则ܱ
ܯ的高度是（）
A．͵m
B．
10
͵ m
C．
11
͵ m
D．Ͷm
【答案】B
【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标；
设解析式为ݕ= ㌱(㌱െ݄)2 +݇
由题意得到顶点坐标及与㌱轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；
令㌱= 0，代入求解即可得到答案；
【详解】选择图2 中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式，
由题意，得抛物线的顶点坐标为(Ͷᦙ͸)，
设抛物线对应的函数关系式为ݕ= ㌱(㌱െͶ)2 +6，
将点ܤ(10ᦙ0)代入，得㌱(10 െͶ)2 + ͸ = 0，解得㌱=െ
1
͸，
∴抛物线对应的函数关系式为ݕ=െ
1
͸ (㌱െͶ)2 + ͸，
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当㌱= 0 时，ݕ=െ
1
͸ (0 െͶ)2 + ͸ =
10
͵ ，
∴点ܯ的纵坐标为
10
͵ ；
则ܱ
ܯ的高度是
10
͵ m，
故选：B．
3．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管ܱ
ܣ喷出，ܱܣ的长为1ʹͷm，水流在各个方向上沿
形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点ܤ到点ܱ
的距离为͵m．建
立平面直角坐标系，水流喷出的高度ݕ（单位：m）与水平距离㌱（单位：m）之间近似满足函数关系式ݕ= ㌱㌱2 +
㌱+ܿ（㌱്
0），则水流喷出的最大高度为_____________．
【答案】2m/2 米
【分析】由题意可得，抛物线经过点0ᦙ1ʹͷ 和͵ᦙ0 ，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a
和c 的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．
【详解】解：由题意可得，抛物线经过点0ᦙ1ʹͷ 和͵ᦙ0 ，
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：ܿ
= 1ʹͷ
ͻ㌱+ ͵ +ܿ
= 0 ，
解得：
㌱=െ
1
2ܿ
=
͵
2
，
∴函数表达式为：ݕ=െ
1
2 ㌱2 + ㌱+
͵
2 =െ
1
2 (㌱െ1)2 + 2，
∵㌱ͷ 0，故函数有最大值，
∴当㌱= 1 时，y 取得最大值，此时ݕ= 2，
答：水流喷出的最大高度为2m．
4．小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部ܣ下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口ܤ
流出，已知瓶身横截面为轴对称图形，ܱܣ为其对称轴，下部分的视图是矩形形ܩܪܦᦙܩܪ= 10cmᦙܩ形=
ͺcmᦙܧܨ= ͸cm，点ܧ到台面ܩܪ的距离为1Ͷcm，点ܤ距台面ܩܪ的距离为1͸cm，且B，D，H 三点共线．如
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果从喷口ܤ流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C、E 两点．
（1）则ܦܧ的长为_______cm；
（2）接洗手液时，当手心ㄱ距ܦܪ的水平距离为2cm 时，手心ㄱ距水平台面ܩܪ的高度为_______cm．
【答案】
10
11
【详解】如图，以ܱ
为原点，建立平面直角坐标系，
由题意可知形െͷᦙͺ ，ܧെ͵ᦙ1Ͷ ，ܦͷᦙͺ ，ܤͷ，1͸ ，
׵ ܦܧ=
െ͵ െͷ 2 + 1Ͷ െͺ 2 = 10cm，
设抛物线解析式为ݕ= ㌱㌱2 +ܾ㌱+ܿ,
因为抛物线经过C、E、B 三点，
可得
ͺ = 2ͷ㌱െͷܾ+ܿ
1Ͷ = ͻ㌱െ͵ܾ+ܿ
1͸ = 2ͷ㌱+ ͷܾ+ܿ
，
解得
㌱=െ
11
Ͷ0ܾ
=
Ͷ
ͷܿ
=
1ͷ1
ͺ
，
所以抛物线的解析式为ݕ=െ
11
Ͷ0 ㌱2 +
Ͷ
ͷ ㌱+
1ͷ1
ͺ ，
由题意可得点ㄱ的横坐标为ͺ，
把㌱= ͺ 代入抛物线解析式，可得ݕ= 11，
׵ ㄱͺᦙ11 ，
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即手心ㄱ距水平台面ܩܪ的高度为11cm
5．如图，为助力乡村振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为݅
= ͵：Ͷ 的斜坡上点A 处安装自动浇灌装置（其
高度忽略不计），为坡地ܣܤ进行浇灌，点A 处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知ܣܤ= 10m，
水柱在距出水口A 的水平距离为2m 时，达到距离地面ܱ
ܤ的竖直高度的最大值为ͺm．以ܱ
ܤ所在的水平
方向为㌱轴，ܱܣ所在的竖直方向为ݕ轴建立平面直角坐标系．
(1)求ܱ
ܣ的长；
(2)求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
(3)若该装置浇灌的最远点为ܣܤ上的点形处，求点形距出水口的水平距离．
【答案】(1)͸m
(2)ݕ=െ
1
2 ㌱െ2 2 + ͺ
(3)
11
2 m
【分析】本题主要考查了二次函数的实际运用，熟练掌握待定系数法求解析式和函数的交点问题是解题的
关键，
（1）根据坡比݅
= ͵：Ͷ，可得ܱ
ܣܱ
ܤ=
͵
Ͷ，设ܱ
ܣ= ͵ݐ，则ܱ
ܤ= Ͷݐ，利用勾股定理列方程即可求出ܱ
ܣ的长；
（2）由（1）可得点A 的坐标，由题意设抛物线的表达式为ݕ= ㌱㌱െ2 2 + ͺ，代入点A 的坐标即可求得
抛物线的解析式；
（3）由（1）可得点A，点B 的坐标，设直线ܣܤ的解析式为ݕ=݇
㌱+ܾ，由点A，点B 的坐标求得直线ܣܤ
的解析式，再由点C 是直线ܣܤ和抛物线的交点，联立抛物线与直线ܣܤ的解析式并求解，求出点C 的横
坐标即可得结论．
【详解】（1）解：在Rt ᇞܣܱܤ中，݅= ͵：Ͷ，
∴ܱ
ܣܱ
ܤ=
͵
Ͷ，
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设ܱ
ܣ= ͵ݐ，则ܱ
ܤ= Ͷݐ，
∵ܱܣ2+ܱܤ2 = ܣܤ2，
∴͵ݐ2 + Ͷݐ2 = 102，
解得ݐ= 2，
∴ܱܣ= ͵ݐ= ͸，ܱܤ= Ͷݐ= ͺ，
∴ܱܣ长为͸m．
（2）解：由（1）可得点A 的坐标为0ᦙ͸ ，
由题意设抛物线的表达式为ݕ= ㌱㌱െ2 2 + ͺ，
将0ᦙ͸ 代入得，͸ = ㌱0 െ2 2 + ͺ，
解得㌱=െ
1
2，
∴水柱所在抛物线的函数表达式为ݕ=െ
1
2 ㌱െ2 2 + ͺ．
（3）解：由（1）可得点A，点B 的坐标分别为0ᦙ͸ ，ͺᦙ0 ，
设直线ܣܤ的解析式为ݕ=݇
㌱+ܾ，
将点ܣ0ᦙ͸ ，点ܤͺᦙ0 代入得，
͸ =ܾ
0 = ͺ݇+ܾ
，
解得݇
=െ
͵
Ͷܾ
= ͸
，
∴直线ܣܤ的解析式为ݕ=െ
͵
Ͷ ㌱+ ͸，
联立ݕ=െ
1
2 ㌱െ2 2 + ͺ 和ݕ=െ
͵
Ͷ ㌱+ ͸，
解得㌱1 = 0，㌱2 =
11
2 ，
∴点C 的横坐标为
11
2 ，
答：点C 距出水口的水平距离为
11
2 m．
6．综合与实践
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问题情境
喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥
秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究．
资料收集
实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流：
小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O 在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度ܱ
ܯ（水流喷水孔
点O 与落地点M 之间的水平距离）为Ͷm，最高点距地面͵m．
小亮：图2 是乙组喷泉水柱形状的示意图，ܱܣ为喷水管，点A 为喷水孔，此时B 为水的落地点，记ܱ
ܤ的
长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为͵m．
小颖：图3 是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道形ܦ在
线段ܱ
ܤ上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入形ܦ上方的安全区域矩形形ܦܧܨ内．
数学建模
如图3，以甲组喷泉喷水孔点O 为坐标原点，ܱܯ所在直线为x 轴，过点O 竖直向上为y 轴的正方向，建立
平面直角坐标系．
问题解决
(1)求图3 中甲组喷泉抛物线的函数表达式；
(2)若乙组喷泉跨度ܱ
ܤ恰好为͵m，求喷水管ܱ
ܣ的高度；
(3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为
21
1͸ m，求此时安全通道形ܦ的宽度．
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【答案】(1)ݕ=െ
͵
Ͷ ㌱െ2 2 + ͵
(2)
ͻ
Ͷ m
(3)2m
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）先求出乙组喷泉的抛物线的表达式，再令㌱= 0 求解即可；
（3）对于两组抛物线，分别令ݕ=
21
1͸求出㌱值，即可求解形ܦ．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线顶点坐标为2ᦙ͵ ，
故设抛物线表达式为ݕ= ㌱㌱െ2 2 + ͵
代入0ᦙ0 可得，Ͷ㌱+ ͵ = 0，
解得㌱=െ
͵
Ͷ
∴抛物线表达式为ݕ=െ
͵
Ͷ ㌱െ2 2 + ͵
（2）解：由于两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为͵m，
故设抛物线的表达式为ݕ=െ
͵
Ͷ ㌱െ݉
2 + ͵，
代入ܤ͵ᦙ0 可得，െ
͵
Ͷ ൈ͵ െ݉
2 + ͵ = 0
解得݉
= 1 或݉
= ͷ（舍去）
∴抛物线的表达式为ݕ=െ
͵
Ͷ ㌱െ1 2 + ͵
当㌱= 0 时，ݕ=െ
͵
Ͷ + ͵ =
ͻ
Ͷ
∴喷水管ܱ
ܣ的高度为
ͻ
Ͷ m
（3）解：由题意得，
对于ݕ=െ
͵
Ͷ ㌱െ2 2 + ͵，当ݕ=
21
1͸时，则െ
͵
Ͷ ㌱െ2 2 + ͵ =
21
1͸，
解得㌱1 =
1
2 ᦙ㌱2 =
ͺ
2；
对于ݕ=െ
͵
Ͷ ㌱െ1 2 + ͵，当ݕ=
21
1͸时，则െ
͵
Ͷ ㌱െ1 2 + ͵ =
21
1͸，
解得㌱1 =െ
1
2 ᦙ㌱2 =
ͷ
2，
∴安全通道形ܦ的宽度为
ͷ
2 െ
1
2 = 2m．
7．项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究．
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项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的
安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图1 是无人机的示意图，其中点ܱ
为无人机的摄像头，ܣᦙܤ是喷药口，ܣᦙܤ，ܱ，在同一条水
平直线上，ܣܤ= ͸0cm．如图2，以无人机摄像头所在位置ܱ
为坐标原点，竖直方向为ݕ轴，以ܣܤ所在直
线为㌱轴，建立平面直角坐标系．喷药口点ܣ和点ܤ到点ܱ
的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方
向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与ݕ轴的交点为形，ܱ形= ͵00cm．
（1）依题意，得点ܣ的坐标为：______；求出点ܣ所在抛物线的函数表达式．
问题解决；
（2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到
图3 位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为ܧܨ的区域，且ܧܨ= ͵0cm 时，田埂高度忽略不计）恰好不被
喷洒农药，求无人机应该下降的高度；
（3）如图4，在直线ܣܤ上再增加2 个喷药口ܯ和ܰ
，ܯ在ܣ左侧，ܰ
在ܤ右侧，ܯܣ= ܣܤ= ܤܰ，当无
人机上升到距地面的高度为480cm 时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度㜠ㄱ的长．
【答案】（1）ܣെ͵0ᦙ0 ，ݕ=െ
1
͵ ㌱+ ͵0 2；（2）225cm；（3）1ͺ0 + 2Ͷ 10 cm
【详解】解：（1）׶ ܣܤ= ͸0cm，点ܣ与点ܤ到点ܱ
的距离相等，
׵ܱ
ܣ=ܱ
ܤ= ͵0cm，
׵点ܣ的坐标为െ͵0ᦙ0 ．
故答案为：ܣെ͵0ᦙ0 ；
׶ܱ
形= ͵00cm，
׵点形的坐标为0ᦙെ͵00 ．
设点ܣ所在抛物线的函数表达式为ݕ= ㌱(㌱+ ͵0)2，
将点形0ᦙെ͵00 代入得െ͵00 = ͻ00㌱．
解得㌱=െ
1
͵．
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׵点ܣ所在抛物线的函数表达式为ݕ=െ
1
͵ ㌱+ ͵0 2．
（2）׶以无人机摄像头所在位置ܱ
为坐标原点，竖直方向为ݕ轴，水平方向为㌱轴，建立平面直角坐标系，
׵喷药口ܣ喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
׶ ܧܨ= ͵0cm，由题可知点ܧ和点ܨ关于ݕ轴对称，
׵可以设点ܧ的坐标为െ1ͷᦙ݇
．
将点ܧെ1ͷᦙ݇
代入ݕ=െ
1
͵ ㌱+ ͵0 2，
得݇
=െ
1
͵ െ1ͷ + ͵0 2 =െͺͷ．
׵点ܧ的坐标为െ1ͷᦙെͺͷ ．
׵此时无人机摄像头距离地面的高度为ͺͷcm．
͵00 െͺͷ = 22ͷ cm ．
答∶无人机应该下降的高度为22ͷcm．
（3）∵ܯܣ= ܣܤ= ͸0，ܣ点坐标为( െ͵0ᦙ0)，
∴ܯ点坐标为( െͻ0ᦙ0) ．
∵ܯ所在抛物线形状与ܣ所在抛物线相同，二次项系数相同，
设ܯ所在抛物线表达式为ݕ=െ
1
͵ (㌱+ ͻ0)2
∵无人机高度为Ͷͺ0cm，
∵抛物线是从ܱ
点（相对高度0），
∴代入ݕ=െͶͺ0 到ݕ=െ
1
͵ (㌱+ ͻ0)2中，得
െ
1
͵ (㌱+ ͻ0)2 =െͶͺ0 ．
解得㌱1 =െͻ0 െ12 10，㌱2 =െͻ0 + 12 10 ．
׵ 㜠( െͻ0 െ12 10ᦙെͶͺ0)，
׶ 㜠ㄱ关于y 轴对称，
׵ 㜠ㄱ= 2 ൈͻ0 + 12 10 cm，
׵ 㜠ㄱ长1ͺ0 + 2Ͷ 10 cm
重难点六解决几何图形问题
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1.核心思路：用含x 的代数式表示图形的边长、底、高、半径等关键量；
2.结合矩形、三角形、圆形、梯形面积/周长公式，推导二次函数解析式；
3.面积问题多为求最值，周长限定条件下分析边长取值范围；
4.自变量必须满足边长大于0，多个边长需同时符合正数条件，取公共取值范围；
5.图形裁剪、拼接题型，找准不变量和变化量，以变化边长设未知数；
6.开口方向决定最值，开口向上有最小面积，开口向下有最大面积。
1．如图，利用一面墙，用40 米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25 米，那么围成矩形场地的最大
面积是（
）
A．1ͷ0m2
B．200m2
C．2ͷ0m2
D．Ͷ00m2
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练利用二次函数的性质是解题的关键．
设ܣܤ= ㌱米，则ܤ形= Ͷ0 െ2㌱米，表示出矩形场地的面积，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：如图，设ܣܤ= ㌱米，则ܤ形= Ͷ0 െ2㌱米，
，׶墙长为25 米，
׵ Ͷ0 െ2㌱൑2ͷ，
解得㌱൒
1ͷ
2 ，
令矩形场地的面积为ݕ= ㌱Ͷ0 െ2㌱，
ݕ= ㌱Ͷ0 െ2㌱=െ2㌱2 + Ͷ0㌱=െ2 ㌱െ10 2+200，
所以当㌱= 10 时，ݕ有最大值200，
即围成矩形场地的最大面积是200m2，
故选：B．
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2．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外
用栅栏围成，栅栏总长度为ͷ0m，门宽为2m．若饲养室长为㌱m，占地面积为ݕm2，则ݕ关于㌱的函数表
达式为（
）
A．ݕ=െ
1
2 ㌱2 + 2ͺ㌱െͷ2 2 ൑㌱൑ͷ2
B．ݕ=െ
1
2 ㌱2 + ͷ0㌱2 ൑㌱൑ͷ2
C．ݕ=െ
1
2 ㌱2 + ͷ2㌱2 ൑㌱൑ͷ2
D．ݕ=െ
1
2 ㌱2 + 2͸㌱2 ൑㌱൑ͷ2
【答案】D
【分析】根据题意表示出垂直于墙饲养室的宽的长度，通过长和宽的实际意义列不等式组求出㌱的范围，
再求出矩形面积即可．
本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出饲养室的宽的长度是解题关键．
【详解】解：饲养室长为㌱m，则宽为
ͷ0െ㌱+2
2
m，
由题意
㌱൒2
ͷ0െ㌱+2
2
൒0 ，
解得2 ൑㌱൑ͷ2，
则占地面积ݕ= ㌱
ͷ0െ㌱+2
2
=െ
1
2 ㌱2 + 2͸㌱2 ൑㌱൑ͷ2 ．
故选：D．
3．用总长为㌱米的材料做成如图1 的矩形窗框，设窗框的宽为㌱米，窗框的面积为ݕ米
2，ݕ关于㌱的函
数图象如图2，则㌱的值是______．
【答案】͸
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【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，理解顶点的意义是解题的关键．
根据函数图象，可知当㌱= 1 时，窗框的面积最大，最大值为1ʹͷ，设窗框的长为ܾ，则根据矩形的面积公
式，可知1 ൈܾ
= 1ʹͷ，进而根据总长为㌱，即可求得㌱的值．
【详解】解：设窗框的长为ܾ
，
׵ ݕ= ㌱ܾ
根据函数图象，可知当㌱= 1 时，窗框的面积最大，最大值为1ʹͷ，
即1ʹͷ =ܾ
׵ ㌱= 1 ൈ͵ + 1ʹͷ ൈ2 = ͸
故答案为：͸．
4．如图，在矩形ܣܤ形ܦ中，ܣܤ= Ͷ，ܣܦ= ͸，动点ܧ从点ܦ出发向终点ܣ运动，连接ܤܧ，以ܤܧ为边在
ܤܧ上方作正方形ܤܧܨܩ，在点ܧ运动的过程中，阴影部分面积的最小值为___________．
【答案】1ͷ
【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、二次函数的性质，设ܣܧ= ㌱，正方形ܤܧܨܩ
的边长为㌱，根据矩形的性质可得סܣ= ͻ0ι，再由勾股定理并结合正方形的性质可得㌱2 = ㌱2 + 1͸，求出ܵ
ᇞܣܤܧ= 2㌱，从而可得ܵ阴影= ㌱2 െ2㌱，最后结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运
用是解此题的关键．
【详解】解：设ܣܧ= ㌱，正方形ܤܧܨܩ的边长为㌱，
∵四边形ܣܤ形ܦ为矩形，ܣܤ= Ͷ，ܣܦ= ͸，
∴סܣ= ͻ0ι，
∴ܤܧ2 = ܣܧ2 + ܣܤ2 = ㌱2 + Ͷ2 = ㌱2 + 1͸，
∵正方形ܤܧܨܩ的边长为㌱，
∴㌱2 = ㌱2 + 1͸，
∵ܵᇞܣܤܧ=
1
2 ܣܤڄ ܣܧ=
1
2 ൈͶ ൈ㌱= 2㌱，
∴ܵ阴影= ㌱2 െ2㌱= ㌱2 + 1͸ െ2㌱= ㌱െ1 2 + 1ͷ，
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∴当ܣܧ= ㌱= 1 时，阴影部分面积最小为1ͷ，
故答案为：1ͷ．
5．如图，一块矩形场地的长为Ͷ0m，宽为͵0m．现将这块地划分成四块，分别种植：
A．郁金香
B．月季
C．菊花
D．玉兰花
(1)求这块场地中种植月季的面积ݕm2 关于ܤ场地的长㌱m 的函数表达式，并求出自变量㌱的取值范围．
(2)当㌱是多少时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)ݕ=െ㌱2 + ͵0㌱；自变量㌱的取值范围是0 ͷ ㌱ͷ ͵0；
(2)当㌱= 1ͷ 时，种植月季的面积最大，最大面积为22ͷm2
【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，
（1）根据题意可得ܤ场地的宽度为：͵0 െ㌱m，从而列出ݕ= ㌱͵0 െ㌱，化简即可得到函数关系式，令
当ݕ= 0，即可得到交点坐标，从而得到自变量x 的取值范围；
（2）将一般式ݕ=െ㌱2 + ͵0㌱转化成顶点式ݕ=െ㌱െ1ͷ 2 + 22ͷ，利用二次函数的性质可得当㌱= 1ͷ 时，
种植月季的面积最大，最大面积为22ͷm2．
【详解】（1）解：由题可得：ܤ场地的宽度为：͵0 െ㌱m，
∴ݕ= ㌱͵0 െ㌱=െ㌱2 + ͵0㌱，
当ݕ= 0 时，即െ㌱2 + ͵0㌱= 0，
解得：㌱1 = 0，㌱2 = ͵0，
∴函数与x 轴的交点坐标为：0ᦙ0 和͵0ᦙ0 ，自变量的取值范围为：0 ͷ ㌱ͷ ͵0；
（2）解：由（1）知，ݕ=െ㌱2 + ͵0㌱=െ㌱െ1ͷ 2 + 22ͷ，
∴当㌱= 1ͷ 时，种植月季的面积最大，最大面积为22ͷm2．
6．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为͸0m），
其他的边用总长ͺ0m 的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m 的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备
注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8 米处，规划有机动车停车位）
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(1)设自行车车棚面积为ܵ m2，车棚宽度ܣܤ为㌱m，求ܵ
与㌱之间的函数关系式为_____，并直接写出自变
量㌱的取值范围______；
(2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明．
【答案】(1)ܵ=െ͵㌱2 + ͺ2㌱；Ͷ ൑㌱൑ͺ
(2)自行车车棚面积最大可达到͵ͺͶm2，说明见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据矩形的面积表示出ܵ，结合题目条件求出自变量的范围；
（2）根据二次函数的性质解题即可．
【详解】（1）解：由题意知，ܣܦ= ܤ形= ͺ0 + 2 െ͵㌱m = ͺ2 െ͵㌱m，
∴ܵ
= ㌱ͺ2 െ͵㌱=െ͵㌱2 + ͺ2㌱，
且墙长为͸0m，在自行车棚后面距教学楼后墙8 米处，规划有机动车停车位，
∴ͺ2 െ͵㌱൑͸0
1 ൑㌱൑ͺ
，
解得Ͷ ൑㌱൑ͺ；
故答案为：ܵ
=െ͵㌱2 + ͺ2㌱；Ͷ ൑㌱൑ͺ；
（2）解：ܵ=െ͵㌱2 + ͺ2㌱
=െ͵ ㌱2 െ2Ͷ㌱
=െ͵ ㌱െ12 2 + Ͷ͵2，
׶െ͵ ͷ 0，对称轴为直线㌱= 12，而Ͷ ൑㌱൑ͺ，
׵当㌱= ͺ 时，ܵ有最大值为：െ͵ ൈ1͸ + Ͷ͵2 = ͵ͺͶ，
׵自行车车棚面积最大可达到͵ͺͶm2.
7．把一边长为Ͷ0cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如
图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．
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(1)要使折成的长方形盒子的底面积为ͶͺͶcm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(2)折成的长方形盒子的侧面积为͸00cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没
有，说明理由．
【答案】(1)ͻcm
(2)ͷcm 或1ͷcm
(3)侧面积有最大值，最大值为ͺ00cm2，此时正方形的边长为10cm，理由见解析
【分析】（1）设剪掉的正方形的边长为㌱cm，根据“长方形盒子的底面积为ͶͺͶcm2”列方程求解；
（2）设剪掉的正方形的边长为ݕcm，根据“侧面积为͸00cm2”列方程求解
（3）列出侧面积S 关于正方形的边长y 的二次函数，根据二次函数的性质进行求解．
【详解】（1）解：设剪掉的正方形的边长为㌱cm，根据题意得，
Ͷ0 െ2㌱2 = ͶͺͶ，
解得㌱= ͻ 或㌱= ͵1（不符合题意，舍去）
∴剪掉的正方形的边长为ͻcm；
（2）解：设剪掉的正方形的边长为ݕcm，根据题意得，
Ͷ ൈͶ0 െ2ݕڄ ݕ= ͸00，
解得ݕ= ͷ 或ݕ= 1ͷ
∴剪掉的正方形的边长为ͷcm 或1ͷcm；
（3）解：侧面积有最大值，最大值为ͺ00cm2，此时正方形的边长为10cm，理由如下：
由（2）可得，
长方形盒子的侧面积ܵ
= Ͷ ൈͶ0 െ2ݕڄ ݕ=െͺݕ2 + 1͸0ݕ=െͺ ݕെ10 2 + ͺ00，
∴当ݕ= 10 时，ܵ
= ͺ00 为最大值，
∴折成的长方形盒子的侧面积有最大值，最大值为ͺ00cm2，此时正方形的边长为10cm．
重难点七二次函数在动态几何中的应用
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1.先标记动点运动速度、运动时间t，用速度×时间表示动点移动的线段长度；
2.结合几何图形性质（直角、平行、相似、全等），转化出动态边长、高的表达式；
3.将几何面积、线段长度、周长转化为关于t 的二次函数；
4.严格限定自变量取值范围：动点未超出图形边界，t 最小值为0，最大值为动点到达端点的时间；
5.最值求解优先看顶点，顶点t 值在定义域内取顶点最值，超出则取区间端点；
6.直角动点、垂直动点题型，可结合勾股定理列方程，联立二次函数求解；
7.多动点问题分别表示各点动态线段，避免变量混淆，统一用时间t 为唯一自变量。
1．如图1，在ᇞܣܤ形中，ס形= ͻ0ι，ܤ形= Ͷcm，ܣܤ=݊
cm，动点㜠，ㄱ均以1cmȀs 的速度从点形同时出
发，点㜠沿折线形՜ ܤ՜ ܣ向点ܣ运动，点ㄱ沿边形ܣ向点ܣ运动，当点ㄱ运动到点ܣ时，两点都停止运
动．ᇞ㜠形ㄱ的面积ܵ（单位：cm2）与运动时间ݐ（单位：s）的关系如图2 所示，则下列结论错误的是（
）
A．݉
= ͺ
B．ܵ
= ͺ 时，ݐ= Ͷ
C．݊
= 12
D．ݐ= ͺʹͷ 时，ᇞ㜠形ㄱ面积最大
【答案】D
【分析】观察图像可知，当ݐ= Ͷ 时，点㜠与点B 重合，得到形ܤ= 形ㄱ= 形㜠= Ͷcm，利用直角三角形的面
积公式进行计算，求出m 的值为8，即可判断A 选项；根据图像当ݐ= 10 时ܵ
= 10，此时形ㄱ= 10，ܤ㜠= ͸，
过P 点作㜠ܦ٣ 形ܣ于D 点，根据面积公式求得㜠ܦ= 2，证明ᇞ㜠ܦܣ∽ᇞܤ形ܣ，列出比例式求得ܣܤ= 12cm，
进而可得݊
= 12 ，即可判断C 选项；求出S 与t 的关系式为ܵ
=െ
1
͸ ݐെͺ 2 +
͵2
͵ ，根据二次函数的性质即
可判断D 选项，令ܵ
= ͺ，求解后，根据Ͷ ͷ ݐ൑ͺ 2，当ݐ= 12s 时，ܣ形= 12 > ͺ 2，
即可判断B 选项正确．
【详解】解：观察函数图像可知，当ݐ= Ͷ 时，点P 与点ܤ重合，
∵动点㜠，ㄱ均以1cmȀs 的速度从点形同时出发，
∴形ܤ= 形ㄱ= 形㜠= Ͷcm，
∵ס形= ͻ0ι，
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∴݉
=
1
2 形ㄱڄ 形㜠=
1
2 ൈͶ ൈͶ = ͺ，
故A 选项正确，不合题意；
由函数图像可知，当ݐ= 10 时ܵ
= 10，此时形ㄱ= 10，ܤ㜠= 10 െܤ形= 10 െͶ = ͸，
过㜠点作㜠ܦ٣ 形ܣ于ܦ点，如图，则ס㜠ܦܣ= ͻ0ι，
∵ܵ
=
1
2 形ㄱڄ 㜠ܦ=
1
2 ൈ10 ڄ 㜠ܦ= 10，
∴㜠ܦ= 2，
∵ס㜠ܦܣ= ס形= ͻ0ι，סܣ= סܣ，
∴ᇞ㜠ܦܣ∽ᇞܤ形ܣ，
∴
㜠ܦ
ܤ形=
㜠ܣ
ܤܣ=
2
Ͷ =
1
2，
∴㜠点是ܣܤ的中点，
∴ܣܤ= 2㜠ܤ= 12cm，
∴݊
= 12，
故C 选项正确，不合题意；
由函数图像可得：当点㜠在ܣܤ上时，ᇞ㜠形ㄱ的面积有最大值．
∵ܤ形= Ͷᦙܣܤ= 12，
∴ܣ形=
ܣܤ2 െܤ形2 =
122 െͶ2 = ͺ 2，
当Ͷ ͷ ݐ൑ͺ 2时，由题意得形ㄱ= ݐ，㜠ܣ= Ͷ + 12 െݐ= 1͸ െݐ，
∵
㜠ܦ
ܤ形=
㜠ܣ
ܤܣ，
∴
㜠ܦ
Ͷ =
1͸െݐ
12 ，
解得㜠ܦ=
1͸െݐ
͵ ，
∴ܵ
=
1
2 形ㄱڄ 㜠ܦ=
1
2 ݐڄ
1͸െݐ
͵
=െ
1
͸ ݐ2 +
ͺ
͵ ݐ=െ
1
͸ ݐെͺ 2 +
͵2
͵ ，
∴当ݐ= ͺ 时，ᇞ㜠形ㄱ的面积最大，
故D 选项错误，符合题意．
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当ܵ
= ͺ 时，െ
1
͸ ݐ2 +
ͺ
͵ ݐ= ͺ，
解得：ݐ= Ͷ 或12，
∵Ͷ ͷ ݐ൑ͺ 2，
∴当ݐ= 12s 时，ܣ形= 12 > ͺ 2，
∴ݐ= 12s 不符合题意；
故B 选项正确，不符合题意．
故选：D．
2．如图，在矩形ܣܤ形ܦ中，ܣܤ= ͸，ܤ形= Ͷ，P，Q 分别是边ܣܤ，形ܦ上的动点，形ㄱ= 2ܣ㜠，设ܣ㜠= ㌱，㜠ㄱ2 =
ݕ，则y 关于x 的函数图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过ㄱ作ܣܤ的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出ݕ关于㌱的表达式从而可以得到图象的
形状．
【详解】解：过ㄱ作ㄱܯ٣ ܣܤ于ܯ，
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׶四边形ܣܤ形ܦ为矩形，
׵ ܤ形٣ ܣܤ，形ㄱ∥ܤܯ，
∴ܤ形∥ㄱܯ，
׵四边形ܤ形ㄱܯ也是矩形，
׵ ܤܯ= 形ㄱ= 2ܣ㜠= 2㌱，ܯㄱ= ܤ形= Ͷ，
׵ 㜠ܯ= Ͷ㜠ܤെ形ㄱͶ = Ͷ͸ െ㌱െ2㌱Ͷ = Ͷ͸ െ͵㌱Ͷ，
׵ ݕ= 㜠ㄱ2 = ܯㄱ2 + 㜠ܯ2 = 1͸ + (͸ െ͵㌱)2 = ͻ(㌱െ2)2 + 1͸，
׶ 㜠在ܣܤ上，ㄱ在形ܦ上，
׵ ㌱൑͸，2㌱൑͸，
׵ ㌱൑͵，
׵ ݕ关于㌱的函数图象是开口向上，对称轴为㌱= 2 的抛物线．
3．如图，在ᇞܣܤ形中，סܤ= ͻ0ι，ܣܤ= ͸cm，ܤ形= 12cm，动点㜠从点ܣ开始沿边ܣܤ向ܤ以1cmȀs 的
速度移动（不与点ܤ重合），动点ㄱ从点ܤ开始沿边ܤ形向形以2cmȀs 的速度移动（不与点C 重合）．如果
㜠ᦙㄱ分别从ܣᦙܤ同时出发，那么经过______秒，四边形ܣ㜠ㄱ形的面积最小．
【答案】3
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键．
设移动时间为㌱秒，四边形ܣ㜠ㄱ形的面积为ݕcm2，先分别求出ܤ㜠ᦙܤㄱ的长，再利用Rt ᇞܣܤ形面积减去Rt ᇞ
ܤ㜠ㄱ面积求出四边形ܣ㜠ㄱ形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：设移动时间为㌱㌱൑͸ 秒，四边形ܣ㜠ㄱ形的面积为ݕcm2，
由题意得：ܤ㜠= ܣܤെܣ㜠= ͸ െ㌱cm，ܤㄱ= 2㌱cm，
׶ סܤ= ͻ0ιᦙܣܤ= ͸cmᦙܤ形= 12cm，
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׵ ݕ=ܵ
Rt ᇞܣܤ形െܵ
Rt ᇞܤ㜠ㄱ，
=
1
2 ܣܤڄ ܤ形െ
1
2 ܤ㜠ڄ ܤㄱ，
=
1
2 ൈ͸ ൈ12 െ
1
2 ͸ െ㌱ڄ 2㌱，
整理得：ݕ= ㌱2 െ͸㌱+ ͵͸ = (㌱െ͵)2 + 2ͺ，
由二次函数的性质可知，当㌱= ͵ 时，ݕ取得最小值27，
即经过3 秒，四边形ܣ㜠ㄱ形的面积最小，
故答案为：3．
4．如图1，在ᇞܣܤ形中，ס形= ͻ0ι，ܣ形= ܤ形= ͵cm，动点ܧ从点ܣ，出发以1cmȀs 的速度沿折线ܣ形െ形ܤ
方向运动到点ܤ停止，动点ܨ以2cmȀs 的速度沿ܣܤ方向运动到点ܤ停止．设ᇞܣܧܨ的面积为ݕcm2，运
动时间为㌱s．表示ݕ与㌱之间关系的图象如图2 所示，则当面积ݕ= ͵ 时，对应的运动时间㌱的值是
_________．
【答案】4
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质.
分别求出ܯ͵ᦙ
ͻ
2 ，ܰ
͸ᦙ0 ，求出直线ܰ
ܯ的解析式，将ݕ= ͵ 代入即可.
【详解】如图，
∵ס形= ͻ0ι，ܣ形= ܤ形= ͵cm，
∴ܣܤ= ͵ 2cm
∵͵ ൊ1 = ͵，͵ 2 ൊ
2 = ͵
∴动点ܧ到达点形时，动点ܨ到达点ܤ，
小学
初中
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此时ܵᇞܣܧܨ=
1
2 ൈܣ形ൈܤ形=
ͻ
2，
∴ܯ͵ᦙ
ͻ
2
∵͵ ൊ1 = ͵，
∴ᇞܣܧܨ的面积降为0 时，㌱= ͵ + ͵ = ͸，
∴ܰ
͸ᦙ0
设直线ܰ
ܯ的解析式为ݕ=݇
㌱+ܾ，
将ܯ͵ᦙ
ͻ
2 ，ܰ
͸ᦙ0 代入ݕ=݇
㌱+ܾ
得
͵݇+ܾ
= ͻ
2
͸݇+ܾ
= 0
解得݇
=െ
͵
2ܾ
= ͻ
∴直线ܰ
ܯ的解析式为ݕ=െ
͵
2 ㌱+ ͻ，
当ݕ= ͵ 时，െ
͵
2 ㌱+ ͻ = ͵
解得：㌱= Ͷ
∴当面积ݕ= ͵ 时，对应的运动时间㌱的值是4
故答案为：4
5．已知，如图正方形ܣܤ形ܦ的边长为Ͷcm，点㜠是边ܤ形上一个动点（不与ܤ，形重合），连接ܣ㜠，过点
㜠作㜠ㄱ٣ ܣ㜠交形ܦ于点ㄱ，设ܤ㜠= ㌱cm，形ㄱ= ݕcm．
(1)求ݕ与㌱间的函数关系式，并求ݕ的最大值．
(2)画出函数的图象．
【答案】(1)当㌱= 2 时，ݕ有最大值1cm
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的解析式与最值、函数图象
的画法，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质是解题的关键．
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（1）先利用正方形的性质和垂直条件证明ᇞܣܤ㜠与ᇞ㜠形ㄱ相似，再根据相似三角形对应边成比例列出等式，
推导出ݕ与㌱的函数关系式，最后通过配方法或顶点公式求出二次函数在给定区间内的最大值．
（2）根据第（1）小题得到的函数关系式ݕ=െ
1
Ͷ ㌱2 + ㌱（0 ͷ ㌱ͷ Ͷ），选取区间内的若干㌱值，计算对应的
ݕ值，列出表格，然后在平面直角坐标系中描点、连线，画出函数图象．
【详解】（1）解：∵四边形ܣܤ形ܦ是正方形，
∴סܤ= ס形= ͻ0ι，
∵㜠ㄱ٣ ܣ㜠，
∴סܣ㜠ܤ+ סㄱ㜠形= ͻ0ι，
סܣ㜠ܤ+ סܤܣ㜠= ͻ0ι，
∴סܤܣ㜠= סㄱ㜠形，
∴ᇞܣܤ㜠∽ᇞ㜠形ㄱ，
∴
ܤ㜠
形ㄱ=
ܣܤ
㜠形，即
㌱
ݕ=
Ͷ
Ͷെ㌱，
∴ݕ=െ
1
Ͷ ㌱2 + ㌱=െ
1
Ͷ (㌱െ2)2 + 1（0 ͷ ㌱ͷ Ͷ），
∵െ
1
Ͷ ͷ 0，
∴ݕ有最大值，
∴当㌱= 2 时，ݕ有最大值1cm．
（2）解：列表：
㌱
0
1
2
3
4
ݕ
0
͵
Ͷ
1
͵
Ͷ
0
函数图象为开口向下的抛物线的一部分，顶点为2ᦙ1 ，过点0ᦙ0 和Ͷᦙ0 ，描点并画图，如图所示：
6．如图所示，已知在ᇞܣܤ形中，סܤ= ͻ0ιᦙܣܤ= ͷcmᦙܤ形= Ͷcm，点Q 从点A 开始沿ܣܤ边向点B 以1cmȀs
的速度移动，点P 从点B 开始沿ܤ形边向点C 以2cmȀs 的速度移动，当P 运动到C 时，两点停止运动．设
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运动时间为t 秒．
(1)填空：ܤㄱ= ，㜠ܤ= ．（用含t 的代数式表示）；
(2)如果P、Q 分别从A、B 两点出发，那么几秒后，ᇞ㜠ܤㄱ的面积等于Ͷcm2？
(3)在（1）中，ᇞ㜠ܤㄱ的面积能否等于ͺcm2？试说明理由．
(4)点P、Q 运动几秒后，ᇞ㜠ܤㄱ的面积最大？最大值为多少？
【答案】(1) ͷ െݐcm；2ݐcm；
(2)1 秒后
(3)解：不能，理由如下：
当ᇞ㜠ܤㄱ的面积等于ͺcm2时，则
1
2 ͷ െݐ൉2ݐ= ͺ，
整理，得ݐ2 െͷݐ+ ͺ = 0，
∴ȟ = െͷ 2 െͶ ൈ1 ൈͺ =െ͵ ͷ 0，
∴方程没有实数根，
故ᇞ㜠ܤㄱ的面积不能等于ͺcm2；
(4)当P、Q 运动2 秒后，ᇞ㜠ܤㄱ的面积最大，最大为͸cm2.
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可；
（2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可；
（3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果；
（4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可.
【详解】（1）解：由题意，得ܣㄱ= ݐcmᦙ㜠ܤ= 2ݐcm，
∴ܤㄱ= ܣܤെܣㄱ= ͷ െݐcm；
（2）解：∵סܤ= ͻ0ι，ܤㄱ= ͷ െݐcm，㜠ܤ= 2ݐcm，
∴ᇞ㜠ܤㄱ的面积=
1
2 ͷ െݐ൉2ݐ= Ͷ，
解得ݐ= 1 或ݐ= Ͷ，
当ݐ= Ͷ 时，ܤ㜠= 2 ൈͶ = ͺ > Ͷ（不符合题意，舍去）；
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∴ݐ= 1，
答：1 秒后，ᇞ㜠ܤㄱ的面积等于Ͷcm2；
（3）略
（4）解：当点㜠运动到点形时，ݐ=
Ͷ
2 = 2 秒；
由题意，ܵ
=
1
2 ൈͷ െݐ൉2ݐ=െݐ2 + ͷݐ=െݐെ
ͷ
2
2
+
2ͷ
Ͷ 0 ൑ݐ൑2 ，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线ݐ=
ͷ
2，
∴当ݐͷ
ͷ
2时，ܵ随着ݐ的增大而增大，
∵0 ൑ݐ൑2，
∴当ݐ= 2 时，ܵ的值最大为െ22 + ͷ ൈ2 = ͸；
故当P、Q 运动2 秒后，ᇞ㜠ܤㄱ的面积最大，最大为͸cm2.
7．如图，在边长为Ͷcm 的正方形ܣܤ形ܦ中，点㜠沿边ܣܦ从点ܣ开始沿ܣെܦെ形向点形以2cmȀs 的速
度移动，同时，点ㄱ沿边ܣܤ从点ܣ开始沿ܣെܤ向点ܤ以1cmȀs 的速度移动．点㜠出发时间为㌱㌱> 0 s，
ᇞ㜠ܣㄱ的面积为ݕcm2．
(1)分别求出点㜠在边ܣܦᦙ形ܦ上的ݕ与㌱的函数关系式．
(2)当㌱=
͵
2时，求ᇞ㜠ܣㄱ的面积．
(3)当ᇞ㜠ܣㄱ的面积为正方形ܣܤ形ܦ面积的
͵
ͺ时，求㌱的值．
【答案】(1)ݕ= ㌱2(0 ͷ ㌱൑2)
2㌱(2 ͷ ㌱൑Ͷ)
(2)
ͻ
Ͷ cm2
(3)㌱= ͵
【分析】本题考查了一次函数、二次函数与动点问题，根据题意分类讨论列出函数关系式是解题的关键．
（1）分三种情况讨论，即㜠在ܣܦᦙ形ܦ上，分别根据三角形的面积列出函数关系式即可求解；
（2）当㌱=
͵
2时，点㜠在ܣܦ边上，根据（1）中的解析式求解即可；
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（3）根据题意求得正方形ܣܤ形ܦ面积的
͵
ͺ，结合（1）的解析式，令ݕ= ͸，解方程即可求解．
【详解】（1）解：当点㜠在ܣܦ边上时，0 ͷ ㌱൑2，
׵ ݕ=
1
2 ܣ㜠ڄ ܣㄱ=
1
2 ൈ2㌱ൈ㌱= ㌱2；
当点㜠在ܦ形边上时，2 ͷ ㌱൑Ͷ，
∴ݕ=
1
2 ܣㄱڄ ܣܦ=
1
2 ㌱ൈͶ = 2㌱．
∴ݕ与㌱的函数关系式为ݕ= ㌱2(0 ͷ ㌱൑2)
2㌱(2 ͷ ㌱൑Ͷ)
（2）解：当㌱=
͵
2时，点㜠在ܣܦ边上，
∴ݕ= ㌱2 =
͵
2
2
=
ͻ
Ͷ，
׵ᇞ㜠ܣㄱ的面积为
ͻ
Ͷ cm2．
（3）解：׶正方形ܣܤ形ܦ的面积为Ͷ ൈͶ = 1͸，
当ᇞ㜠ܣㄱ的面积为正方形ܣܤ形ܦ面积的
͵
ͺ时，即ݕ= 1͸ ൈ
͵
ͺ = ͸，
①当0 ͷ ㌱൑2 时，㌱2 = ͸，解得㌱=േ
͸（不合题意，舍去），
②当2 ͷ ㌱൑Ͷ 时，2㌱= ͸，解得㌱= ͵，
综上所述，当ᇞ㜠ܣㄱ．面积为正方形ܣܤ形ܦ面积的
͵
ͺ时，㌱的值为3．
8．如图，在四边形ܣܤ形ܦ中，ܣܤ∥形ܦ，形ܧ٣ ܣܤ于点ܧ，ܣܧ= ͺ，ܤܧ= 形ܧ= Ͷ，ܦ形= 2．动点㜠从点ܣ
出发，沿ܣ՜ ܤ方向以每秒2 个单位长度的速度运动，同时动点ㄱ从点ܧ出发，沿折线ܧ՜ 形՜ ܦ方向以
每秒1 个单位长度的速度运动．当点ㄱ到达点ܦ时，㜠、ㄱ两点都停止运动．设动点㜠运动的时间为㌱秒，
ᇞ㜠ܧㄱ的面积为ݕ．
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(1)请直接写出ݕ关于㌱的函数关系式并注明自变量㌱的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当函数ݕ= Ͷ 时㌱的值．（结果保留一位小数，误差不超过0ʹ2）
【答案】(1) ݕ=െ㌱2 + Ͷ㌱0 ൑㌱൑Ͷ
ݕ= Ͷ㌱െ1͸ Ͷ ͷ ㌱൑͸
(2)图见解析；性质：函数值的最大值为8（答案不唯一）；
(3)㌱= 2ʹ0 或ͷʹ0．
【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，画函数图象，利用数形结合的思想解决问题是关
键．
（1）分两种情况求解，①当0 ൑㌱൑Ͷ，点㜠在ܣܧ上，点ㄱ在形ܧ上，②当Ͷ ͷ ㌱൑͸，点㜠在ܤܧ上，
由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案；
（2）根据函数解析式列表描点连线画图，再写出一条性质即可；
（3）根据（2）中的函数图象直接作答即可
【详解】（1）解：׶ ܣܤ∥形ܦ，形ܧ٣ ܣܤ，
׵ 形ܧ٣ 形ܦ，
①当0 ൑㌱൑Ͷ，点㜠在ܣܧ上，点ㄱ在形ܧ上，
此时ܧ㜠= ܣܧെܣ㜠= ͺ െ2㌱，ܧㄱ= ㌱，
׵ ݕ=ܵ
ᇞ㜠ܧㄱ=
1
2 ܧ㜠ڄ ܧㄱ=
1
2 ͺ െ2㌱㌱=െ㌱2 + Ͷ㌱；
②当Ͷ ͷ ㌱൑͸，点㜠在ܤܧ上，点ㄱ在形ܦ上，
此时ܧ㜠= 2㌱െͺ，
׵ ݕ=ܵ
ᇞ㜠ܧㄱ=
1
2 ܧ㜠ڄ 形ܧ=
1
2 2㌱െͺ ൈͶ = Ͷ㌱െ1͸，
综上可知，ݕ关于㌱的函数关系式为ݕ=െ㌱2 + Ͷ㌱0 ൑㌱൑Ͷ
ݕ= Ͷ㌱െ1͸ Ͷ ͷ ㌱൑͸
；
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（2）解：列表如下：
㌱
0
1
2
4
െ㌱2 + Ͷ㌱
0
3
4
0
㌱
4
5
6
Ͷ㌱െ1͸
0
4
8
描点连线如下：
性质：函数值的最大值为8；
（3）解：由函数图象可知，当函数ݕ= Ͷ 时㌱= 2ʹ0 或ͷʹ0．