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1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 重难点专题17 旋转与几何综合（含压轴） 重难点一 旋转与线段求值综合（含最值） 1 旋转核心性质：旋转前后对应线段长度完全相等，对应点到旋转中心距离不变； 2 遇线段求值，优先利用等量替换，把旋转后的未知线段转化为已知边长； 3 线段最值通用模型：定点绕点旋转轨迹为圆，利用 “圆外一点到圆的距离”求最值； 4 最大值=定点到圆心距离+半径，最小值=定点到圆心距离-半径； 5 复杂压轴结合三角形三边关系，三点共线时取到最大、最小值； 6 计算时配合勾股定理、全等三角形，简化复杂线段长度。 1．如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐴= 60°，𝐴𝐶=6，将△𝐴𝐵𝐶绕点C 逆时针方向旋转得到△ 𝐴′𝐵′𝐶，若点𝐴′恰好在𝐵𝐶边上，则点𝐵′与点B 之间的距离为（ ） A．6√3 B．6√6 C．6√2 D．12 2．如图，Rt△𝐴𝐵𝐶中，△𝐴𝐶𝐵=90°且𝐶𝐴=𝐶𝐵，D 为△𝐴𝐵𝐶外一点，连接𝐴𝐷，过D 作𝐷𝐸⊥𝐷𝐴交𝐵𝐶于点E， F 为𝐷𝐸上一点且𝐷𝐹=𝐷𝐴，连接𝐵𝐹，𝐶𝐷．将线段𝐶𝐷绕点C 逆时针旋转90°到线段𝐶𝐺，连接𝐷𝐺分别交𝐵𝐹、 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 𝐵𝐴于点M、N，连接𝐵𝐺、𝐶𝐹．下列结论（ ） ①𝐵𝑀=𝐹𝑀： ②𝐶𝐺=√2𝐷𝑀： ③∠𝐵𝐶𝐺>∠𝐴𝑁𝐷； ④𝐶𝐹+𝐴𝐷> √2 2 𝐷𝐺： ⑤若𝐵𝐺=2，𝐵𝐶=√13，𝐶𝐹=√5，则四边形𝐴𝐷𝐹𝐶面积为2+√10． 其中正确的个数为（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 3．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，𝐴𝐵= 2√3，且∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐵𝐸= 60°，𝐺为对角线𝐵𝐷（不含𝐵点）上任意 一点，将△𝐴𝐵𝐺绕点𝐵逆时针旋转60°得到△𝐸𝐵𝐹，当𝐴𝐺+ 𝐵𝐺+ 𝐶𝐺取最小值时𝐸𝐹的长（ ） A．√3 B．3 C．1 D．2 4．如图，平行四边形ABCD 中，𝐴𝐵= 8，𝐴𝐷= 6．∠𝐴= 60°，E 是边AD 上且𝐴𝐸= 2𝐷𝐸，F 是边AB 上 的一个动点，将线段EF 绕点E 逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则𝐵𝐺+ 𝐶𝐺的最小值是 （ ） A．2√21 B．2√14 C．2√7 D．10 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 5．如图，在正方形ABCD 中，𝐴𝐵= 4，E 为AB 边上一点，点F 在BC 边上，且𝐵𝐹= 1，将点E 绕着点F 顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG 的长的最小值为（ ） A．2 B．2√2 C．3 D．√10 6．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P 是AC 边上的一个动点，将线段BP 绕点B 顺时针 旋转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P 运动过程中，线段CQ 的最小值为（ ） A．4√3 B．5√3 C．10 D．5 7．如图，点𝑃到等边三角形𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴，𝐵的距离分别为1，2，则𝑃𝐶的最大值为（ ） A．3 B．5 C．√3 D．√5 8．如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 3，𝐷是△𝐴𝐵𝐶内一点，将线段𝐴𝐷绕点𝐴逆时针旋转60°，得到𝐴𝐸，直线 𝐵𝐷与𝐶𝐸交于点𝐹，则𝐵𝐹的最大值是___________． 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 9．如图，𝐷是等边三角形𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐶上的动点，连接𝐷𝐵，将𝐷𝐵绕点𝐷逆时针旋转120°，得到𝐷𝐸，连接 𝐸𝐴，𝐸𝐶，若𝐴𝐵= 2，则𝐸𝐴+ 𝐸𝐶的最小值为________． 10．如图，已知等腰直角△𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 90°， 𝐴𝐵= √2，点C 是矩形𝐵𝐶𝐺𝐹与△𝐴𝐵𝐶的公共顶点，且 𝐶𝐸= 1，𝐶𝐺= 3；点D 是𝐶𝐵延长线上一点，且𝐶𝐷= 2．连接𝐵𝐺,𝐷𝐹，在矩形𝐸𝐶𝐺𝐹绕点C 按顺时针方向旋 转一周的过程中，当线段𝐵𝐺达到最长和最短时，线段𝐷𝐹对应的长度分别为m 和n，则 𝑚 𝑛的值为 ________________． 11．如图，一次函数𝑦1 = 𝑚𝑥+ 𝑛(𝑚≠0)的图像与反比例函数𝑦2 = 𝑘 𝑥(𝑘≠0)的图像交于𝐴(𝑎, −1)， 𝐵(−1,3)两点，且一次函数𝑦1的图像交x 轴于点C，交y 轴于点D． 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的一次函数图像上有一点P，满足𝐶𝑃= 8𝐵𝐷，请求出点P 的坐标； (3)当𝑦1 ≤𝑦2时，直接写出x 的取值范围． (4)在△𝑂𝐷𝐶中找一点Q，使𝑄𝑂+ 𝑄𝐶+ 𝑄𝐷的值最小，直接写出点Q 的坐标． 重难点二 旋转与角度综合（含压轴） 1 旋转前后对应角大小相等，旋转角处处相等，所有对应点连线夹角等于旋转角； 2 求未知角度优先找：旋转角、等腰三角形底角、直角三角形余角三类关系； 3 图形重叠角度问题，用整体角度减去重叠角度，避免角度混乱； 4 多步旋转压轴，先锁定不变角、固定直角、固定等边，作为解题突破口； 5 遇动态旋转角度变化，抓住 “旋转角恒定、对应角不变” 的不变量； 6 压轴难题常用全等+倒角模型，反复推导内外角关系，求出定值角度。 1．如图将△𝐴𝐵𝐶绕点C 逆时针旋转得到△𝐴′𝐵′𝐶，点B 恰好落在𝐴′𝐵′上，若∠𝐵′𝐵𝐴= 140°，则旋转角为 （ ） A．30° B．35° C．40° D．45° 2．如图，等腰Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，𝐵𝐴= 𝐵𝐶，将𝐵𝐶绕点B 顺时针旋转𝜃(0 < 𝜃< 90°)，得到𝐵𝑃， 连结𝐶𝑃，过点A 作𝐴𝐻⊥𝐶𝑃交𝐶𝑃的延长线于点H，连结𝐴𝑃，则∠𝑃𝐴𝐻的度数（ ） A．30° B．45° C．60° D．随若𝜃的变化而变化 3．如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，点D 为边𝐴𝐵上的一个定点，射线𝐷𝐸与边𝐴𝐶交于点E，射线𝐷𝐹与边𝐵𝐶交于点 F，△𝐴𝐷𝐸与△𝐴′𝐷𝐸关于直线𝐷𝐸对称，△𝐵𝐷𝐹与△𝐵′𝐷𝐹关于直线𝐷𝐹对称． 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图2，当点𝐴′落在边𝐴𝐶上，点𝐵′落在边𝐵𝐶上时，若∠𝐶= 70°，则∠𝐴′𝐷𝐵′的度数为 °； (2)在图1 中，设∠𝐸𝐷𝐹= 𝑥，∠𝐴′𝐷𝐵′ = 𝑦，求x 与y 满足的数量关系式； (3)如图3，∠𝐴𝐷𝐶= 120°，射线𝐷𝐸从𝐷𝐴位置出发，绕点D 顺时针旋转，到𝐷𝐶位置停止；射线𝐷𝐹从𝐷𝐵位 置出发，绕点D 逆时针旋转，到𝐷𝐶位置停止．两条射线同时开始旋转，射线𝐷𝐸的旋转速度为每秒4°，射 线𝐷𝐹的旋转速度为每秒5°，当∠𝐴′𝐷𝐵′ = 42°时，求旋转时间t 的值． 4．【问题情境】 在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图 方式摆放．其中∠𝐵𝐴𝑂= ∠𝑂𝐶𝐷= 90°，∠𝐵𝑂𝐴= 30°，∠𝐷𝑂𝐶= 45°，𝐴，𝑂，𝐶在同一直线上． (1)如图1，∠𝐵𝑂𝐷= °； 【操作探究】 (2)如图2，如果把图1 所示的△𝑂𝐶𝐷以𝑂为中心逆时针旋转得到△𝑂𝐶′𝐷′，当𝑂𝐷转到与直线𝑂𝐴首次重合 时，△𝑂𝐶𝐷停止转动．当∠𝐷𝑂𝐶′ = 1 5 ∠𝐵𝑂𝐷时，∠𝐴𝑂𝐷′为多少度？ 【拓展延伸】 (3) 如图3，作△𝐵𝐴𝑂关于直线𝑂𝐵的对称△𝐵𝐸𝑂，△𝐵𝐴𝑂保持不动，△𝑂𝐶𝐷绕点𝑂逆时针旋转，在𝑂𝐶转到 与直线𝑂𝐴首次重合过程中，当𝐶𝐷与△𝐵𝐸𝑂的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 °． 7 / 12 学科网（北京）股份有限公司 5．问题提出 （1）如图①所示，将含有 45°和30°角的一副直角三角板𝐴𝐵𝑂与 𝐶𝐷𝑂在直线𝑀𝑁，45°的顶点和60°角的顶 点重合于点𝑂，点𝐴, 𝑂, 𝐶在直线𝑀𝑁上，𝑂𝐸为∠𝐵𝑂𝐷平分线，则 ∠𝐵𝑂𝐸= ∘． 问题探究 （2）如图②，若将三角板𝐴𝐵𝑂绕点𝑂逆时针旋转𝑎(0 < 𝑎< 90°)，𝑂𝐹平分∠𝐴𝑂𝐶，请你探究 ∠𝐸𝑂𝐹度数是 否会发生变化？若不变，求出其角度；若变化，请说明理由； 问题解决 （3）如图③，从图①位置开始，将三角板𝐶𝐷𝑂绕点𝑂以每秒 10°速度逆时针旋转，同时三角板𝐴𝐵𝑂以每 秒15°的速度顺时针旋转，当𝑂𝐷首次与𝑂𝑀重合或当 𝑂𝐵与𝑂𝑁首次重合时，两个三角板都停止旋转．设两 三角板的旋转时间为𝑡，在整个旋转过程中，当满足|∠𝐵𝑂𝐶−∠𝐴𝑂𝐷| = 10°，求𝑡的值． 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 6．已知△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵＝𝐴𝐶，将△𝐴𝐵𝐶绕点B 逆时针旋转得到△𝐴′𝐵𝐶′， (1)感知：如图①，当𝐵𝐶′落在AB 边上时，∠𝐴′𝐴𝐵与∠𝐶′𝐶𝐵之间的数量关系是 （不需要证明）； (2)探究：如图②，当𝐵𝐶′不落在AB 边上时，∠𝐴′AB 与∠𝐶′𝐶𝐵是否相等？如果相等；如果不相等，请说明 理由； (3)应用：如图③，若∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐴′、𝐶𝐶′交于点E，则∠𝐴′𝐸𝐶= 度． 7．如图1，点O 为直线𝐴𝐵上一点，将两个含60°角的三角板𝑀𝑂𝑁和三角板𝑂𝑃𝑄如图摆放，使三角板的一 条直角边𝑂𝑀、𝑂𝑃在直线𝐴𝐵上，其中∠𝑂𝑀𝑁= ∠𝑃𝑂𝑄= 60°． (1)将图1 中的三角板𝑂𝑃𝑄绕点O 按逆时针方向旋转至图2 的位置，使得边𝑂𝑃在∠𝑀𝑂𝑁的内部且平分 ∠𝑀𝑂𝑁，此时三角板𝑂𝑃𝑄旋转的角度为 度； (2)三角板𝑂𝑃𝑄在绕点O 按逆时针方向旋转时，若𝑂𝑃在∠𝑀𝑂𝑁的内部．试探究∠𝑀𝑂𝑃与∠𝑁𝑂𝑄之间满足什么 等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1 中的三角板𝑀𝑂𝑁绕点O 以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板𝑂𝑃𝑄绕点O 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线𝑂𝐵绕点O 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线 𝑂𝐵记为𝑂𝐸，射线𝑂𝐶平分∠𝑀𝑂𝑁，射线𝑂𝐷平分∠𝑃𝑂𝑄，当射线𝑂𝐶、𝑂𝐷重合时，射线𝑂𝐸改为绕点O 以原速 按顺时针方向旋转，在𝑂𝐶、𝑂𝐷第二次相遇前，当∠𝐶𝑂𝐸= 13°时，直接写出旋转时间t 的值． 重难点三 旋转与求面积综合（含压轴） 1 旋转不改变图形面积大小，旋转前后图形面积完全相等； 2 不规则阴影面积，利用旋转割补法，将零散图形拼接为规则图形； 3 重叠面积题型：总面积减去空白面积，或对称替换相等面积部分； 4 动态旋转面积变化，抓住 “不变图形、不变底高”，排除动态干扰； 5 三角形面积套用公式 S = 1 2 aℎ，旋转后底高不变可直接秒算； 6 压轴大题多图形旋转重叠，分步计算单个区域面积，再合并或作差求解。 1．如图，Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 1 2 𝐵𝐶= 2，点𝐷是𝐴𝐵上一动点，连接𝐶𝐷，将线段𝐶𝐷绕点𝐶逆 时针旋转90°得到线段𝐶𝐸，连接𝐷𝐸，𝐵𝐸，当△𝐵𝐸𝐷面积最大时，𝐴𝐷的长为（ ） A．2 B．√5 C． 2 5 √5 D． 4√5 5 2．如图，点𝐸是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐶𝐷上一动点(点𝐸不与点𝐶，𝐷重合)，连接𝐵𝐸，以𝐵为旋转中心，将𝐵𝐸顺 时针旋转90°后，点𝐸与点𝐹对应，连接𝐹𝐸，𝐹𝐶，若𝐴𝐵= 3，则△𝐸𝐶𝐹面积的最大值为( ) A． 9 8 B． 9 4 C．3 D． 1 3 3．如图，一副三角板𝐴𝐵𝐶和𝐷𝐸𝐹中，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷= 90°，∠𝐵= 30°，∠𝐸= 45°，𝐵𝐶= 𝐸𝐹= 8．将它们 叠合在一起，边𝐵𝐶与𝐸𝐹重合，𝐶𝐷与𝐴𝐵相交于点G（如图1）．现将△𝐷𝐸𝐹绕点𝐶（𝐹）按顺时针方向旋 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 转，边𝐸𝐹与𝐴𝐵相交于点H，连结𝐷𝐻，在旋转0°到60°的过程中，线段𝐷𝐻扫过的面积是 _____________． 4．如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，O 为对角线𝐴𝐶的中点．正方形𝑂𝐴′𝐵′𝐶′在绕点O 旋转的过程中，边𝑂𝐴′与𝐴𝐵 交于点E（不与点A，B 重合），边𝑂𝐶′与𝐵𝐶交于点F．若𝐴𝐷= 5，则四边形𝐵𝐸𝑂𝐹的面积为______． 5．如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6, 𝐵𝐶= 3 ，以点𝐴 为旋转中心，按逆时针方向旋转矩形𝐴𝐵𝐶𝐷得到矩形 𝐴𝐸𝐹𝐺 ，旋转角为𝛼（0° < 𝛼< 180° ）．取𝐺𝐹的中点𝑃 ，连接𝑃𝐵 ，𝑃𝐸，𝐵𝐸 ，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷旋转的过程 中，△𝑃𝐵𝐸 面积的最大值为_________． 6．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D 是AC 的中点，将CD 绕着点C 逆时针旋 转，在旋转的过程中点D 的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB 面积的最小值是_______． 7．图，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，点𝐷为△𝐴𝐵𝐶外的一点，∠𝐴𝐷𝐶= 60°，𝐴𝐷= 4，𝐵𝐷= 2√7，则△𝐵𝐶𝐷的面 积为______． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 8．如图1，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷，𝐸分别在边𝐴𝐵，𝐴𝐶上，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，连接𝐷𝐶，点 𝑀，𝑃，𝑁分别为𝐷𝐸，𝐷𝐶，𝐵𝐶的中点． (1)观察猜想：图1中，线段𝑃𝑀与𝑃𝑁的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)探究证明：把△𝐴𝐷𝐸绕点𝐴逆时针方向旋转到图2的位置，连接𝑀𝑁，𝐵𝐷，𝐶𝐸，判断△𝑃𝑀𝑁的形状，并 说明理由； (3)拓展延伸：把△𝐴𝐷𝐸绕点𝐴在平面内自由旋转，若𝐴𝐷= 4，𝐴𝐵= 10，请直接写出△𝑃𝑀𝑁面积的最大 值． 9．定义：两个顶角相等且顶角顶点重合的等腰三角形组合称为“相似等腰组”．如图1，等腰△ABC 和等腰 △ADE 即为“相似等腰组”． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图2，将上述“相似等腰组”中的△ADE 绕看点A 逆时针旋转一定角度，判断△ABD 和△ACE 是否全 等，并说明理由； (2)如图3，等腰△ABC 和等腰△ADE 是“相似等腰组”，且∠BAC＝90°，DC 和BE 相交于点O，判断DC 和 BE 的位置及大小关系，并说明理由； (3)如图4，在等边△ABC 中，D 是△ABC 内部一点，且𝐴𝐷= 3，𝐵𝐷= 4，𝐶𝐷= 5，直接写出△ABC 的面 积． 10．如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐶𝐸均为等腰直角三角形，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐶𝐷𝐸= 90°，F，G，H 分别是𝐴𝐷，𝐵𝐶，𝐶𝐸 的中点，连接𝐹𝐺，𝐹𝐻，𝐺𝐻． (1)当E 在𝐵𝐶延长线上时，如图①，△𝐹𝐺𝐻的形状是_____； (2)将△𝐷𝐶𝐸绕点C 逆时针旋转，其他条件不变，如图②，（1）的结论是否成立？说明理由； (3)若𝐴𝐶= 5√2，𝐶𝐷= 3√2，△𝐷𝐶𝐸绕点C 逆时针旋转一周，直接写出△𝐹𝐺𝐻面积的最大值和最小值．
