文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 11 第十八章 分式 知识点一 分式的概念及基本性质 1. 分式概念 （1）定义：形如 𝐴 𝐵（𝐴, 𝐵 均为整式，𝐵 中含有字母，𝐵≠0）的式子叫做分式；𝐴 为分子，𝐵 为分母。 （2）三类取值要求 ① 分式有意义：分母 ______________； ② 分式无意义：分母 ______________； ③ 分式值为0：分子 ______________ 且 分母 ______________，二者缺一不可。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 11 （3）区分整式与分式：关键看分母是否含字母，分母不含字母为整式，含字母为分式。 2. 分式基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0 的整式，分式的值不变。 公式： 𝐴 𝐵= ______________ = ______________ (𝑀≠0，𝑀为整式) 3. 衍生运用 • 约分：依据基本性质，约去分子分母公因式，化为最简分式（分子分母无公因式）； • 通分：找各分母最简公分母，统一分母，用于分式加减运算； • 符号法则： −𝐴 𝐵= ______________ = ______________，任意改变两处符号，分式值不变。 知识点二 分式的运算 1. 乘法法则 分式乘分式，分子相乘作分子，分母相乘作分母： 𝑎 𝑏⋅ 𝑐 𝑑= ______________ 计算前可先约分再相乘，简化运算。 2. 除法法则 除以一个分式等于乘它的倒数： 𝑎 𝑏÷ 𝑐 𝑑= ______________ = ______________ 3. 乘方运算 分子、分母分别乘方：( 𝑎 𝑏) 𝑛 = ______________ (𝑛为正整数) 4. 加减运算 （1）同分母分式相加减：分母不变，分子相加减： 𝑎 𝑐± 𝑏 𝑐= ______________ （2）异分母分式相加减：先通分，化为同分母分式，再计算： 𝑎 𝑏± 𝑐 𝑑= ______________ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 11 5. 混合运算顺序 先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内；结果必须化为最简分式或整式。 知识点三 整数指数幂 1. 正整数指数幂基础公式 𝑎𝑚⋅𝑎𝑛= ______________ (𝑎𝑚)𝑛= ______________ (𝑎𝑏)𝑛= ______________ 𝑎𝑚÷ 𝑎𝑛= ______________ (𝑎≠0) 2. 零指数幂 任意非零数的0 次幂等于1：𝑎0 = ______________ (𝑎≠0)；00 无意义。 3. 负整数指数幂 𝑎−𝑝= ______________ (𝑎≠0，𝑝为正整数) 4. 拓展应用 可用于极小数字用科学记数法表示：𝑎× 10−𝑛（1 ≤|𝑎| < 10）。 知识点四 分式方程定义及解法 1. 定义 ______________中含有未知数的方程，叫做分式方程。 2. 解题完整步骤 ① 去分母：方程两边同乘____________________________，消去分母，转化为____________________________； ② 解整式方程：求出整式方程的未知数解； ③ 检验（必不可少）：把解代入最简公分母 - 若公分母 ≠0：是原分式方程的解； - 若公分母 = 0：该解是______________，原分式方程无解。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 11 3. 增根含义 去分母过程中，整式方程的解让原分式分母为0，使原方程无意义，这个根就是增根。 知识点五 分式方程的实际应用 解题通用步骤 审题意 → 设未知数 → 找等量关系 → 列分式方程 → 解方程 → 检验（双重检验） → 作答 双重检验要求 1. 数学检验：检验是否为分式方程的根，排除______________； 2. 实际意义检验：结果要符合生活实际（人数、路程、速度、时间不能为负数，小数不合理情况舍去）。 常考题型 工程问题（工作总量、______________、______________）、行程问题（______________、______________、______________）、 销售利润问题、工作量调配问题。 易错点1 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围 易错提醒 易错点总结 1. 只考虑分子分母同号/异号，漏掉分式分母≠0 这个前提条件，最终取值范围包含让分母为0 的无效数 值； 2. 列不等式组时分情况讨论不全，只写一种符号搭配，遗漏另一组； 3. 不等式求解过程不等号方向出错； 4. 最终不会取两个不等式组解集的并集。 注意事项总结 1. 分式值大于0：分子分母同正或同负，列两组不等式组； 分式值小于0：分子分母一正一负，列两组不等式组； 2. 全程硬性约束：分母不等于0，最后解集必须剔除使分母为0 的数； 3. 分别解完两组不等式，结果取并集。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 11 【对点训练】1．分式 2 6 2x x − 的值为正数的条件是（ ） A． 3 x B． 3 x 且 0 x C．0 3 x D． 3 x 易错点2 求使分式值为整数时未知数的整数值 易错提醒 易错点总结 1. 不会变形拆分整式+真分式，直接盲目试数，效率低易漏解、多解； 2. 只考虑正约数，忘记负约数，整数解找不全； 3. 求出数值后，忘记检验分母不能等于0，带入无效根； 4. 约数列举杂乱，出现重复数字。 注意事项总结 1. 通用方法：将分式拆分，写成整式+分子为常数的分式形式； 2. 常数分子的所有正负约数全部列举，令分母等于每一个约数，算出未知数； 3. 每一个解都要验证：代入分母，分母≠0 才符合要求； 4. 最后把所有有效整数从小到大整理。 【对点训练】2．若x 是整数，分式 2 6 7 20 2 1 x x x + − − 的值也是整数，则满足条件的x 的个数是（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．8 个 易错点3 分式方程无解与增根问题 易错提醒 易错点总结 1. 混淆增根和无解：误以为增根=无解，忽略两种情况； 2. 找不出增根：不会依据最简公分母=0 算出增根； 3. 含参数方程无解只算整式方程无解，漏掉整式方程有解但解全是增根的情况； 4. 把增根带入整式方程计算参数时符号计算错误。 注意事项总结 1. 增根定义：去分母后整式方程的根，但让原分式分母为0，不是原方程的解； 2. 分式方程无解分两类： ① 去分母得到的整式方程本身无解； ② 整式方程有解，但所有解都是增根； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 11 3. 步骤：先求增根→代入整式方程求参数；两类情况都要逐一讨论。 【对点训练】3．对于关于x 的分式方程2 2 1 3 m x x x + −= − ，以下说法错误的是（ ） A．分式方程的增根是 0 x = 或 3 x = B．若分式方程有增根，则 3 2 m = − C．若分式方程无解，则 1 2 m − = 或 3 2 m = − D．分式方程的增根是 3 x = 易错点4 已知方程的根的情况求参数的取值范围 易错提醒 易错点总结 1. 求出整式方程的解后，只限定正负，忘记排除增根； 2. 不等式边界分不清能否取等号； 3. 含多个参数讨论不全面； 4. 系数含字母时，忽略整式方程一次项系数不为0 的限制。 注意事项总结 1. 先去分母化为一元一次整式方程，用参数表示出方程的解； 2. 根据根大于0、小于0、非负数等条件列不等式； 3. 额外附加条件：解≠增根，剔除会造成分母为0 的取值； 4. 一次项系数含参数时，要保证一次项系数≠0，方程才有唯一解。 【对点训练】4．已知关于x 的分式方程 2 1 1 1 m x x − = − − 的解是非负数，则m 的取值范围是（ ） A． 1 m B． 1 m C． 1 m 且 2 m D． 1 m 且 2 m 易错点5 分式的化简求值问题 易错提醒 易错点总结 1. 通分、约分时常数项、符号出错，括号前是负号去括号不变号； 2. 乘除运算未颠倒除式分子分母就直接相乘； 3. 化简完毕代入数值时，选取了使原式分母为0 的数字； 4. 运算顺序混乱，先代入数字再化简，计算繁琐易错； 5. 整体代入题型执着求单个字母值，不会整体替换。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 11 注意事项总结 1. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内； 2. 分式除法必须转化为乘以倒数； 3. 自选数字代入题：所选数字必须让原式所有分母、除式均不为0； 4. 一定先彻底化简，再代入求值；优先整体代入简化计算。 【对点训练】5．先化简再求值： 15 4 ( 1 ) 1 1 x x x x − + − − − ，且 2017 x = ． 易错点6 分式方程的实际应用 易错提醒 易错点总结 1. 审题找不到等量关系，行程、工程、利润类等量关系式列错； 2. 单位不统一、速度时间工作量对应关系颠倒； 3. 列出分式方程求解后，只检验计算对错，忘记双重检验； 4. 解出负数、不符合现实意义的正数不会舍去。 注意事项总结 1. 三类常用等量关系： 工程：工作总量=效率×时间；行程：路程=速度×时间； 2. 解完方程两步检验： ①检验是否为分式方程的根； ②检验结果符合实际生活意义（时间、速度、人数不能为负）； 3. 作答完整，不要遗漏单位。 【对点训练】6．【问题背景】 某品牌坚果有桶装( ) 1000 g 和袋装( ) 400 g 两种规格，每件袋装坚果的价格是每件桶装坚果价格的3 5 ，且用 600 元购买袋装坚果的数量比用600 元购买桶装坚果的数量多10 件． 【问题解决】 (1)求该品牌桶装坚果和袋装坚果的单价； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 11 (2)小赵计划购买该品牌桶装坚果和袋装坚果用于销售，已知每件桶装坚果的利润为15 元，每件袋装坚果的 利润为9 元，全部销售完他希望总利润不少于1500 元，且购买的袋装坚果数量比桶装坚果数量的2 倍还多 6 件，那么小赵至少需要购买多少件桶装坚果？ 易错点7 与分式及分式运算有关的新定义型问题 易错提醒 易错点总结 1. 固守原有分式运算法则，不按题目自定义规则计算； 2. 前后字母顺序颠倒，代入位置错乱； 3. 多层嵌套新运算不会分步计算； 4. 化简结束忽略分式分母不为0 的隐含条件。 注意事项总结 1. 严格照搬题干给出的新运算公式，不得自创运算法则； 2. 分清前后两项对应位置，顺序不可调换； 3. 多层运算由内向外分步计算； 4. 求解参数、取值范围时，始终兼顾分式有意义条件：分母不为0。 【对点训练】7．【定义新运算】对正实数,a b ，定义运算“”，满足 ab a b a b = + ． 例如：当 0 a 时，( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 1 a a a a a = = + + ． (1)当 0 a 时，请计算：( ) ( ) 2 2 a a = __________． 【探究运算律】 对正实数,a b 运算“”是否满足交换律a b b a = ？ , ab ba a b b a a b b a = = + + ， a b b a = ． ∴运算“”满足交换律a b b a = ． (2)对正实数, , a b c ，运算“”是否满足结合律( ) ( ) a b c a b c = ？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 11 一、单选题 1．定义一种“”运算： ( ) b a b a b a b = − ，例如： 3 3 1 3 1 3 2 = = − − ，则方程 1 2 1 2 x x = + − 的解是（ ）． A． 2 x = B． 3 2 x = C． 1 2 x = D． 1 x = − 2．如果a，b，c 是正数，且满足 9 a b c + + = ，1 1 1 10 9 a b b c c a + + = + + + ，那么 a b c b c c a a b + + + + + 的值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．若关于x 的分式方程 2 2 3 2 4 2 m x x x + = − − + 有增根，则m 的值为（ ） A．8 −或12 B．8或12 − C．8或12 D．8 −或12 − 4．若关于x 的分式方程 2 1 3 2 2 2 4 m x x x + = + − − 无解，则m 的值为（ ） A．2 B．6 C．2 −或6 D．2 或6 − 5．若数a 使关于x 的不等式组 ( ) ( ) 1 1 1 1 3 2 2 3 1 x x x a x − − − − 有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程 3 12 1 2 2 y a y y + + = − − 有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是（ ） A．10 − B．12 − C．16 − D．18 − 二、填空题 6．若分式 2 2 2 1 x x − − 的值为整数，满足条件的整数x 的个数为 _______ ． 7．金鹏手机专卖店以相同的价格购进A、B 两种手机，并将A、B 两种手机分别按利润率50%和80%定价 销售．一段时间后，分别售出各自总进货量的30%和50%，此时，A、B 两种手机的营业额之比为3:5．为 迎接店庆十周年，商店决定将B 种手机降价销售，A 种手机价格不变，最终全部售完，已知A、B 两种手机 的总利润之比为20:21，则B 种手机在降价销售时的利润率为_______． 8．用面积都为2、3 的长方形纸片①、②围成长方形ABCD，如图所示，其中四边形MNPQ 也是长方形．设 AE x = ，DE y = ，且x y ． （1）AB =______； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / （2）若 2 2 3 7 2 0 x xy y − + = ，则 ABCD MNPQ S S = 长方形 长方形 ______． 9．若关于x 的方程 1 1 2 3 3 x nx x x − − − = − − 的解为正数，则n 的取值范围为__________． 10．方程 10 16 12 14 11 17 13 15 x x x x x x x x − − − − + = + − − − − 的解是_______. 三、解答题 11．定义 1 2 a b a b = + ．根据定义，解答下列问题： (1) 2 ( 1) − = ________； (2)计算 1 1 ( ) ( ) + − − − + x y x y x y x y ； (3)求方程2 ( 2) 1 (4 2 ) − = − x x 的解． 12．化简求值：已知： 2 3 4 0 m m + − = ，求代数式 2 5 2 2 2 3 m m m m m + − + + − 的值． 13．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 2 2 2 1 1 1 2 1 x x x x x x − − + + + + ( )( ) ( )( ) 2 2 1 1 ( 1) 1 1 1 1 x x x x x x x x − + + = − + + − + 第一步 ( )( ) 2 2 2 1 ( 1) 1 1 1 x x x x x x − − + = + − + 第二步 ( )( ) 2 1 ( 1) 1 1 1 x x x x − + = + − + 第三步 1 1 x = −第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)任务二：请写出正确的化简过程，再从1 −，0 ，1三个数中选一个恰当的数作为x 的值代入求值； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提 一条建议： ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 14．某物流配送点使用甲、乙两款无人机开展同城配送服务，工作人员对这两款无人机进行飞行测试，（规 定每架无人机单次执行的固定飞行距离称为一个航段），甲、乙两款无人机的单个航段的飞行距离不相同， 现收集到如下信息： 信息1：两款无人机各飞行一个航段，合计用时21 秒；甲飞行3 个航段总用时与乙飞行4 个航段总用时相 等． 信息2：甲无人机单个航段距离比乙无人机的单个航段距离多10 米，甲飞行200 米所用的航段数与乙飞行 160 米所用的航段数相等． (1)求甲、乙两款无人机飞行单个航段所需时间． (2)求乙无人机单个航段距离． (3)由于配送环境限制，在一次长度为480 米的配送任务中，需要甲、乙两款无人机合作完成配送，已知甲、 乙两款无人机的飞行航段数都是整数，且途中货物交接时间为10 秒，求完成本次配送任务的时间是多少秒． 15．给出定义：若一个分式约分后分子是一个常数，分母是一个一次整式，则称这个分式为“好看分式”，例 如， ( ) ( )( ) 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 x x x x x x + + = = − + − − ，则 2 2 4 4 x x + − 是“好看分式”．根据上述定义，解决问题． (1)分式 2 1 1 x x + −、 2 1 1 x x + + ，其中是“好看分式”的是________． (2)①若分式 2 2 4 x m x x + + （m 为常数且 0 m ）是一个“好看分式”，求m 的值； ②若分式 2 1 2 x x mx − + + （m 为常数且 0 m ）是一个“好看分式”，求m 的值； (3)若分式 2 4 x m x x n + + + （m 、n 为常数且 0 mn ）是一个“好看分式”，且m 、n 都是正整数 ．．．，直接写出m 的 所有可能结果．
