重难点专题08二次函数与几何综合（专项训练）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十六章二次函数_题型专练

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重难点专题08 二次函数与几何综合问题
重难点一与线段有关的基础计算
1.灵活选用y = ax2 + bx + c、y = a(x −ℎ)2 + k、y = a(x −x1)(x −x2)三种抛物线解析式；
2.抛物线上动点统一设为P(x,ax2 + bx + c)；
3.水平线段长L = |x2 −x1|，竖直线段长L = |y2 −y1|，任意两点距离用AB =
(x2 −x1)2 + (y2 −y1)2，
比较线段相等时直接使用距离平方公式简化计算。
1．如图，抛物线ݕ=−
1
Ͷ ݔ2 +
1
2 ݔ+ 2 与x 轴交于A，B 两点（点B 在点A 的右侧），点C 在抛物线上，坐标
为݉
, −Ͷ ，݉
㘠ㄹ，连接ܣܥ，按照以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点E，
交ܣܥ于点F；②以点C 为圆心，ܣܧ长为半径画弧ܩܯ，交ܣܥ于点G；③以点G 为圆心，ܧܨ长为半径
画弧，在ܣܥ下方与弧ܩܯ交于点H；④以点H 为圆心，ܧܨ长为半径画弧，在点H 下方与弧ܩܯ交于点I；
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⑤连接ܥܫ并延长交抛物线ݕ=−
1
Ͷ ݔ2 +
1
2 ݔ+ 2 于点D，则ܥܦ的长为_____．
【答案】͸ ͷ
【分析】设ܦݐ, −
1
Ͷ ݐ2 +
1
2 ݐ+ 2 ，先解方程−
1
Ͷ ݔ2 +
1
2 ݔ+ 2 = ㄹ得ܣ( −2,ㄹ),ሻ(Ͷ,ㄹ)，解方程−
1
Ͷ ݔ2 +
1
2 ݔ+ 2 =
−Ͷ 得ܥ(͸, −Ͷ)，过ܥ点作ܥܭ٣ ݔ轴于ܭ点，过ܦ点作ܦܲ
٣直线ݕ=−Ͷ 于ܲ
点，如图，利用基本作图
得到סܣܥܦ= 2סܥܣሻ，则可证明סܦܥܲ
= סܥܣሻ，根据正切的定义，在Rt ᇞܣܥܭ中tanסܥܣܭ=
ܥܭ
ܣܭ=
1
2，则
在Rt ᇞܥܦܲ
中tanסܦܥܲ
=
ܦܲ
ܥܲ=
1
2，即ܥܲ
= 2ܦܲ，所以͸ −ݐ= 2
1
Ͷ ݐ2 −
1
2 ݐ−͸ ，解方程得到ܦ( −͸, −1ㄹ)，
然后利用两点间的距离公式可计算出ܥܦ的长．
【详解】解：设ܦݐ, −
1
Ͷ ݐ2 +
1
2 ݐ+ 2 ，
当ݕ= ㄹ时，ݕ=−
1
Ͷ ݔ2 +
1
2 ݔ+ 2 = ㄹ，
解得ݔ1 =−2,ݔ2 = Ͷ，
׵ ܣ( −2,ㄹ),ሻ(Ͷ,ㄹ)，
当ݕ=−Ͷ 时，−
1
Ͷ ݔ2 +
1
2 ݔ+ 2 =−Ͷ，
解得ݔ1 =−Ͷ,ݔ2 = ͸，
׵ ܥ(͸, −Ͷ)
过ܥ点作ܥܭ٣ ݔ轴于ܭ点，过ܦ点作ܦܲ
٣直线ݕ=−Ͷ 于ܲ
点，如图，
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由作法得סܣܥܦ= 2סܥܣሻ，
׶ ܥܲ∥ܣሻ，
׵ סܣܥܲ
= סܥܣሻ，
׵ סܦܥܲ
= סܥܣሻ，
在Rt ᇞܣܥܭ中，
∵ܥܭ= Ͷ,ܣܭ= ͸ −( −2) = ͺ，
׵ tanסܥܣܭ=
ܥܭ
ܣܭ=
Ͷ
ͺ =
1
2，
在Rt ᇞܥܦܲ
中，ܥܲ
= ͸ −ݐ,ܲܦ=−Ͷ −−
1
Ͷ ݐ2 +
1
2 ݐ+ 2 =
1
Ͷ ݐ2 −
1
2 ݐ−͸，
׶ tanסܦܥܲ
=
ܦܲ
ܥܲ=
1
2，
׵ ܥܲ
= 2ܦܲ，
即͸ −ݐ= 2
1
Ͷ ݐ2 −
1
2 ݐ−͸ ，
解得：ݐ1 =−͸,ݐ2 = ͸，
׵ ܦ( −͸, −1ㄹ)，
׵ ܥܦ=
(͸ + ͸)2 + ( −Ͷ + 1ㄹ)2 = ͸ ͷ，
故答案为：͸ ͷ．
2．如图，抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ−͵   线്
ㄹ交x 轴于ܣ−1,ㄹ,ሻ͵,ㄹ两点，过y 轴正半轴上一点C 作x 轴的
平行线交该抛物线于D，E 两点（点D 在左侧）．
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(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)若ܦܧ= ͵ܥܦ，求点E 的坐标．
【答案】(1)ݕ= ݔ2 −2ݔ−͵
(2)点E 的坐标为Ͷ，ͷ
【分析】本题主要考查了求函数解析式、抛物线与y 轴的交点、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数
的性质是解题的关键．
（1）把ܣ−1,ㄹ,ሻ͵,ㄹ代入ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ−͵ 求得a、b 的值即可解答；
（2）先求得抛物线得对称轴是直线x＝−
香
2线= 1，设ܧ݉
,䁠，则ܦ2 −݉
,䁠可得ܦܧ= 2݉
−2，ܥܦ=݉
−2，
再根据ܦܧ= ͵ܥܦ列方程求得m 的值，最后代入抛物线解析式即可解答．
【详解】（1）解：把ܣ−1,ㄹ,ሻ͵,ㄹ代入ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ−͵ ，
线−香−͵ = ㄹ
ͻ线+ ͵香−͵ = ㄹ，解得线= 1
香=−2 ，
∴该抛物线的函数表达式为ݕ= ݔ2 −2ݔ−͵．
（2）解：由（1）得抛物线的函数表达式为ݕ= ݔ2 −2ݔ−͵，
∴该抛物线得对称轴是直线x＝−
香
2线= 1．
设ܧ݉
,䁠，则ܦ2 −݉
,䁠，
∴ܦܧ= 2݉
−2，ܥܦ=݉
−2，
∵ܦܧ= ͵ܥܦ，
∴2݉
−2 = ͵݉
−͸，解得：݉
= Ͷ．
把݉
= Ͷ 代入ݕ= ݔ2 −2ݔ−͵，解得：ݕ= ͷ，
∴点E 的坐标为Ͷ,ͷ ．
3．如图，在平面直角坐标系中，סܣܥሻ= ͻㄹι，ܱܥ= 2ܱሻ，tanסܣሻܥ= 2，点B 的坐标为1,ㄹ．抛物线ݕ=−ݔ2 +
香ݔ+ܿ
经过A、B 两点．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是直线ܣሻ上方抛物线上的一点，过点P 作ܲ
ܦ垂直x 轴于点D，交线段ܣሻ于点E，使ܲ
ܧ=
1
2 ܦܧ．求
点P 的坐标．
【答案】(1)ݕ=−ݔ2 −͵ݔ+ Ͷ
(2) −1,͸
【分析】（1）根据条件求出ܣ( −2,͸)，ሻ(1,ㄹ)，根据待定系数法求解即可；
（2）先求出ܣሻ的解析式，然后表示出ܲ
(ݐ, −ݐ2 −͵ݐ+ Ͷ)，ܧ(ݐ, −2ݐ+ 2)，根据ܲ
ܧ
ܦܧ=
1
2即可求解；
【详解】（1）解：∵ሻ(1,ㄹ)，
∴ܱሻ= 1，
∵ܱܥ= 2ܱሻ= 2，
∴ܥ( −2,ㄹ)，
在Rt ᇞܣሻܥ中，tanסܣሻܥ= 2，
∴
ܣܥ
ሻܥ= 2，即
ܣܥ
͵ = 2
∴ܣܥ= ͸，
∴ܣ( −2,͸)，
把ܣ( −2,͸) ሻ(1,ㄹ)代入ݕ=−ݔ² + 香ݔ+ܿ
得：−Ͷ −2香+ܿ
= ͸
−1 + 香+ܿ
= ㄹ
，
解得：香=−͵ܿ
= Ͷ
，
∴抛物线的解析式为：ݕ=−ݔ2 −͵ݔ+ Ͷ；
（2）解：如图，
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设ܣሻ的解析式为：ݕ= 䁠ݔ+ 香，
∵ܣ( −2,͸),ሻ(1,ㄹ)，
所以
䁠+ 香= ㄹ
−2䁠+ 香= ͸ ，
解得䁠=−2
香= 2 ，
所以ܣሻ的解析式为：ݕ=−2ݔ+ 2，
设ܲ
(ݐ, −ݐ2 −͵ݐ+ Ͷ)，则ܧ(ݐ, −2ݐ+ 2)，
∵ܲ
ܧ
ܦܧ=
1
2，
∴−ݐ2 −͵ݐ+ Ͷ −( −2ݐ+ 2) =
1
2 ( −2ݐ+ 2) ，
解得：ݐ= 1（舍）或ݐ=−1，
∴ܲ( −1,͸).
4．定义：由两条与ݔ轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，
抛物线ܥ1ǣݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵ 与抛物线ܥ2ǣݕ= 线ݔ2 + 2线ݔ+ܿ
组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线ܥ1和抛物线
ܥ2与ݔ轴有相同的交点ܣ−͵,ㄹ，ሻ（点ሻ在点ܣ的右侧），与ݕ轴的交点分别为ܩ，ܪㄹ, −1 ．
(1)求抛物线ܥ2的解析式和点ܩ的坐标；
(2)点ܯ是ݔ轴下方抛物线ܥ1上的点，过点ܯ作ܯܰ
٣ ݔ轴于点ܰ
，交抛物线ܥ2于点ܦ，求线段ܦܯ与线段
ܦܰ
的长度的比值．
【答案】(1)抛物线ܥ2的解析式为ݕ=
1
͵ ݔ2 +
2
͵ ݔ−1，ܩㄹ, −͵ ；
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(2)线段ܦܯ与线段ܦܰ
的长度的比值为2．
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解
题的关键．
（1）将ܣ−͵,ㄹ、ܪㄹ, −1 代入ݕ= 线ݔ2 + 2线ݔ+ܿ
中，即可求函数的解析式，再根据二次函数的性质即
可求出点ܩ的坐标；
（2）设ܯݐ,ݐ2 + 2ݐ−͵ ，则ܦݐ,
1
͵ ݐ2 +
2
͵ ݐ−1 ，ܰ
ݐ,ㄹ，分别求出ܦܰ，ܦܯ，再求比值即可．
【详解】（1）解：将ܣ−͵,ㄹ、ܪㄹ, −1 代入ݕ= 线ݔ2 + 2线ݔ+ܿ
中，
∴ͻ线−͸线+ܿ
= ㄹܿ
=−1
，
解得
线=
1
͵ܿ
=−1
，
∴抛物线ܥ2的解析式为ݕ=
1
͵ ݔ2 +
2
͵ ݔ−1，
在ݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵ 中，令ݔ= ㄹ，则ݕ=−͵，
∴ܩㄹ, −͵ ；
（2）解：设ܯݐ,ݐ2 + 2ݐ−͵ ，则ܦݐ,
1
͵ ݐ2 +
2
͵ ݐ−1 ，ܰ
ݐ,ㄹ，
∴ܦܰ
= ㄹ−
1
͵ ݐ2 +
2
͵ ݐ−1 =−
1
͵ ݐ2 −
2
͵ ݐ+ 1 =−
1
͵ ݐ2 + 2ݐ−͵ ，ܦܯ=
1
͵ ݐ2 +
2
͵ ݐ−1 −ݐ2 + 2ݐ−͵ =−
2
͵ ݐ2 −
Ͷ
͵ ݐ+ 2 =−
2
͵ ݐ2 + 2ݐ−͵ ，
∴
ܦܯ
ܦܰ
=
−2
͵ ݐ2+2ݐ−͵
−1
͵ ݐ2+2ݐ−͵ = 2，
∴线段ܦܯ与线段ܦܰ
的长度的比值为2．
重难点二线段与周长最值问题
1.铅垂线段最值构造L = |y抛−y直线|二次函数，依靠对称轴x =−
b
2a求最值；
2.两条线段和最小采用将军饮马模型，借助抛物线对称轴作定点对称点，连线交点即为动点；
3.|PA −PB|最大值依据三角形三边关系，三点共线时取极值；
4.周长最值只需固定不变线段，转化为两条动线段和最小求解。
1．如图，在平面直角坐标系中，点ܣ2,Ͷ 在抛物线ݕ= 线ݔ2 线്
ㄹ上，过点ܣ作ݕ轴的垂线，交抛物线另
一侧于点ሻ，点ܥ，ܦ在线段ܣሻ上，且关于ݕ轴对称，分别过点ܥ，ܦ作ݔ轴的垂线交抛物线于点ܧ，ܨ，
则四边形ܥܦܨܧ的周长的最大值为（）
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A．8
B．10
C．2 ͷ + 2
D．ͺ ͵ −ͺ
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达
式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C 坐标，进而表示出其他点坐标，得出四
边形ܥܦܨܧ周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值．
【详解】解：由题意知四边形ܥܦܨܧ为矩形．
将点ܣ2,Ͷ 代入抛物线ݕ= 线ݔ2，
得Ͷ = Ͷ线，
解得线= 1，
∴抛物线的解析式为ݕ= ݔ2．
设点ܧ的坐标为݉
,݉
2݉
㘠ㄹ，
由抛物线的对称性得点ܨ的坐标为−݉
,݉
2 ，
∴点ܥ的坐标为݉
,Ͷ ，点ܦ的坐标为−݉
,Ͷ ，
∴ܥܦ  =݉
−−݉
= 2݉
，ܥܧ= Ͷ −݉
2，
∴四边形ܥܦܨܧ的周长为2 ܥܦ+ ܥܧ= 2 2݉
+ Ͷ − ݉
2 =−2݉
−1 2 + 1ㄹ，
∴当݉
= 1 时，四边形ܥܦܨܧ的周长的最大值为10．
2．如图，抛物线ݕ=−
1
2 ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与ݔ轴交于点ܣ−1,ㄹ，ሻͶ,ㄹ，与ݕ轴交于点ܥ，连接ሻܥ，若点ܲ
为线段ሻܥ上的动点（与ሻ，ܥ不重合），作射线ܣܲ
交抛物线于点ܳ
，在点ܲ
的运动过程ܲܳܣܲ的最大值为（
）
A．
Ͷ
ͷ
B．
͹
2ㄹ
C．
ͷ−1
2
D．不存在
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【答案】A
【分析】首先求出抛物线表达式，连接ܱܳ
，得到点ܳ
的坐标，利用ܵᇞሻܥܳ
=ܵ
ᇞܱܥܳ+ܵ
ᇞܱሻܳ−ܵ
ᇞܱሻܥ得出
ᇞሻܥܳ
的面积，证明ᇞܣܲܥ׾ᇞܳܲ
ܪ，根据相似三角形的判定与性质，可得ܲܳܣܲ=ܳ
ܪ
ܣܥ,根据三角形的面积，
可得ܳ
ܪ=ܵ
ᇞሻܥܳ
ͷ ，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】解：∵抛物线ܣ−1,ㄹ,ሻͶ,ㄹ，可得：
ㄹ=−
1
2 −香+ܿ
ㄹ=−
1
2 ൈ1͸ + Ͷ香+ܿ
，
解得：香=
͵
2ܿ
= 2
，
∴抛物线的解析式为：ݕ=−
1
2 ݔ2 +
͵
2 ݔ+ 2，
令ݔ= ㄹ，则ݕ= 2，
∴点ܥ的坐标为ㄹ,2 ；
连接ܱܳ
，
设点ܳ
的横坐标为݉
，
׵ܳ݉
, −
1
2݉
2 +
͵
2݉
+ 2 ，
׵ܵ
ᇞሻܥܳ
=ܵ
ᇞܱܥܳ+ܵ
ᇞܱሻܳ−ܵ
ᇞܱሻܥ
= 1
2 ൈ2 ൈ݉
+ 1
2 ൈͶ ൈ−1
2݉
2 + ͵
2݉
+ 2 −1
2 ൈ2 ൈͶ
=−݉
2 + Ͷ݉
，
如图，过点ܳ
作ܳ
ܪ٣ ሻܥ于ܪ，
׵ ܣܥ=
12 + 22 =
ͷ，ሻܥ=
Ͷ2 + 22 =
2ㄹ，ܣሻ= ͷ，
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满足ܣܥ2 + ሻܥ2 = ܣሻ2，
׵ סܣܥሻ= ͻㄹι，
又׶ סܳܪܥ= ͻㄹι = סܣܥሻ，סܣܲܥ= סܳܲ
ܪ，
׵ᇞܣܲܥ׾ᇞܳܲ
ܪ，
׵ܲܳܣܲ=ܳ
ܪ
ܣܥ=ܳ
ܪ
ͷ，
׶ܵ
ᇞሻܥܳ
=
1
2 ሻܥൈܳ
ܪ=
ͷܳܪ，
׵ܳ
ܪ=ܵ
ᇞሻܥܳ
ͷ ，
׵ܲܳܣܲ=ܳ
ܪ
ͷ =ܵ
ᇞሻܥܳ
ͷ
=
1
ͷ −݉
2 + Ͷ݉
=−
1
ͷ݉
−2 2 +
Ͷ
ͷ．
∴当݉
= 2 时，ܲܳܣܲ存在最大值
Ͷ
ͷ．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，
勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合．
3．如图，抛物线ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵ 分别与ݔ轴正半轴、ݕ轴交于点ܣ，ሻ．点ܲ
在线段ܣሻ上运动（不与点
A，B 重合），过点ܲ
作ܲܳ
∥ݕ轴交抛物线于点ܳ
，则ܲܳ
的最大值是_____．
【答案】
ͻ
Ͷ
【详解】解：令ݕ= ㄹ，即−ݔ2 + 2ݔ+ ͵ = ㄹ，
解得：ݔ1 = ͵,ݔ2 =−1，
∴点ܣ(͵,ㄹ)，
将ݔ= ㄹ，代入ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵，得ݕ= ͵，
∴点ሻ(ㄹ,͵)，
设直线ܣሻ的函数表达式为ݕ= 䁠ݔ+ 香，
∴
͵ = 香
ㄹ= ͵䁠+ 香，
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解得：䁠=−1
香= ͵ ，∴直线ܣሻ的函数表达式为ݕ=−ݔ+ ͵；
设点ܲ
(݉
,݉
+ 1)，则点ܳ
(݉
, −݉
2 + 2݉
+ ͵)，
∵点Q 在线段ܣሻ上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方，
∴ܲܳ
= −݉
2 + 2݉
+ ͵ −−݉
+ ͵ =−݉
2 + ͵݉
=−(݉
−
͵
2 )2 +
ͻ
Ͷ，
∴当݉
=
͵
2时，ܲܳ
的长度最大，最大值为
ͻ
Ͷ．故答案为：
ͻ
Ͷ．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线ݕ= ݔ+ ͵ 交ݔ轴于点ܣ，交ݕ轴于点ሻ，抛物线ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ 1
与ݕ轴交于ܥ点，若点ܧ在抛物线的对称轴上移动，点ܨ在直线ܣሻ上移动，则ܥܧ+ ܧܨ的最小值为
___________．
【答案】2 2
【详解】解：如图所示，作点C 的对称点ܥ1，可知ܥܧ= ܥ1ܧ，
当点ܥ1,ܧ,ܨ三点共线，且ܥ1ܨ٣ ܣሻ时，ܥܧ+ ܧܨ= ܥ1ܧ+ ܧܨ= ܥ1ܨ值最小，
当ݔ= ㄹ时，ݕ= 1，
∴点ܥ(ㄹ,1).
∵抛物线ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ 1 的对称轴是ݔ=−
2
2ൈ(−1) = 1，
∴点ܥ1(2,1).
∵直线ݕ= ݔ+ ͵，且ܥ1ܨ٣ ܣሻ，
∴直线ݕܥ1ܨ=−ݔ+ 香.
∵直线ݕܥ1ܨ=−ݔ+ 香经过点ܥ1(2,1)，
∴香= ͵，
∴直线ݕܥ1ܨ=−ݔ+ ͵.
将两个函数关系式联立，得
ݕ=−ݔ+ ͵
ݕ= ݔ+ ͵ ，
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解得ݔ= ㄹ,ݕ= ͵，∴点ܨ(ㄹ,͵)，则ܥ1ܨ=
(ㄹ−2)2 + (͵ −1)2 = 2 2.
故答案为：2 2.
5．如图，抛物线ݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵ 与x 轴交于点A，B（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，N 是抛物线
上一个动点且在第三象限，设点N 的横坐标为m，过点N 作x 轴的垂线，交x 轴于点M，交ܣܥ于点P．
(1)用含m 的代数式表示线段ܲܰ
的长度，并求出其最大值；
(2)若ܲܰܲܯ=
1
2，求点P 的坐标．
【答案】(1)ܲܰ
=−݉
+
͵
2
2
+
ͻ
Ͷ，ܲܰ
最大值为
ͻ
Ͷ
(2)点P 的坐标为−
1
2 , −
ͷ
2
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的结合，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，
解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．
（1）根据二次函数的解析式求出抛物线与坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求出一次函数的解析式，表
示出点ܲ,ܰ
的坐标，然后表示出线段ܲܰ
的长度，最后根据二次函数的性质求出最值即可；
（2）根据线段的数量关系列出一元二次方程，然后进行求解即可．
【详解】（1）解：当ݔ= ㄹ时，ݕ= −͵，
׵ ܥㄹ, −͵ ．
当ݕ= ㄹ时，有ݔ2 + 2ݔ−͵ = ㄹ，
解得：ݔ1 =−͵，ݔ2 = 1．
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׵ ܣ−͵,ㄹ，ሻ1,ㄹ．
设直线ܣܥ的解析式为ݕ= 䁠ݔ+ 香，将ܣ−͵,ㄹ，ܥㄹ, −͵ 代入得，
׵
香=−͵
−͵䁠+ 香= ㄹ，
解得䁠=−1
香=−͵ ，
׵直线ܣܥ的解析式为ݕ=−ݔ−͵．
׶点N 的横坐标为m，
׵ܰ݉
,݉
2 + 2݉
−͵ ，ܲ݉
, −݉
−͵ ．
׵ܲܰ
=−݉
−͵ −݉
2 + 2݉
−͵ =−݉
2 −͵݉
，
׵ܲܰ
=−݉
+
͵
2
2
+
ͻ
Ͷ，
׶−1 t ㄹ, −͵ t݉
t ㄹ，
当݉
=−
͵
2时，ܲܰ
取最大值
ͻ
Ͷ；
（2）解：׶ ܯܰ
٣ ݔ轴，ܲ݉
, −݉
−͵ ，
׵ܲ
ܯ=−−݉
−͵ =݉
+ ͵．
׵ܲܰܲ
ܯ=
−݉
2−͵݉݉
+͵
=
1
2，
׵݉
=−
1
2或݉
=−͵（舍去）．
此时点P 的坐标为−
1
2 , −
ͷ
2 ．
6．如图，二次函数ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ−Ͷ（a，b 为常数）的图象与x 轴交于ܣ−Ͷ,ㄹ，ሻ1,ㄹ两点，与y 轴交
于点C，点P 是抛物线位于第三象限图象上的动点，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点N，交直线ܣܥ于点
D，过点P 作y 轴的平行线交直线ܣܥ于点E，交x 轴于点M．
(1)求二次函数表达式；
(2)如图1，当ܧܦ= ܣܥ时，求点P 的坐标；
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(3)如图2，在（2）的条件下，若点G 是抛物线对称轴的一个动点，过点G 向y 轴做垂线，垂足为H，连接
ܣܪ，ܲܩ，求ܣܪ+ܲ
ܩ的最小值．
【答案】(1)ݕ= ݔ2 + ͵ݔ−Ͷ
(2) −2, −͸
(3)
1ͷ
2
【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键
是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
（1）将ܣ−Ͷ,ㄹ，ሻ1,ㄹ代入ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ−Ͷ，待定系数法即可求解；
（2）首先确定点C 的坐标，求出直线ܣܥ的函数表达式，设ܲ݉
,݉
2 + ͵݉
−Ͷ ，则ܧ݉
, −݉
−Ͷ ，得ܲ
ܧ=−݉
−Ͷ −݉
2 + ͵݉
−Ͷ =−݉
2 −Ͷ݉
，证明ᇞܣܱܥ، ᇞܧܲܦAAS ，得ܱ
ܥ=ܲ
ܧ，由此得方程−݉
2 −Ͷ݉
= Ͷ，
解方程即可求出坐标；
（3）将点ܲ
沿水平方向向右平移至ܲ
Ԣ，使ܲܲ
Ԣ = ܩܪ，连接ܪܲ
Ԣ，作点ܣ关于ݕ轴的对称点ܣԢ，连接ܣԢܪ，ܣԢܲ
Ԣ，
得ܣܪ+ܲ
ܩ= ܣԢܪ+ܲ
Ԣܪ，由ܣԢܪ+ܲ
Ԣܪ൒ܣԢܲ
Ԣ，推出ܣԢ、ܲ
Ԣ、ܪ三点共线时，ܣԢܪ+ܲ
Ԣܪ= ܣԢܲ
Ԣ最小，由
ܣ−Ͷ,ㄹ得ܣԢ Ͷ,ㄹ，由抛物线的对称轴为直线ݔ=−
͵
2，得ܲ
Ԣ −
1
2 , −͸ ，根据两点距离公式求解即可．
【详解】（1）解：把ܣ−Ͷ,ㄹ，ሻ1,ㄹ代入ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ−Ͷ，
得1͸线−Ͷ香−Ͷ = ㄹ
线+ 香−Ͷ = ㄹ
，
解得线= 1
香= ͵ ，
׵ ݕ= ݔ2 + ͵ݔ−Ͷ；
（2）解：当ݔ= ㄹ时，ݕ=−Ͷ，
׵ ܥㄹ, −Ͷ ，
׵ܱ
ܣ=ܱ
ܥ，
׶ סܣܱܥ= ͻㄹι，
׵ סܱܣܥ= סܱܥܣ= Ͷͷι，
设直线ܣܥ为ݕ= 䁠ݔ+ 香，
将−Ͷ,ㄹ，ㄹ, −Ͷ 代入ݕ= 䁠ݔ+ 香，
得1͸䁠+ 香= ㄹ
香=−Ͷ
，
解得䁠=−1
香=−Ͷ ，
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׵ ݕ=−ݔ−Ͷ，
设ܲ݉
,݉
2 + ͵݉
−Ͷ ，则ܧ݉
, −݉
−Ͷ ，
׵ܲ
ܧ=−݉
−Ͷ −݉
2 + ͵݉
−Ͷ =−݉
2 −Ͷ݉
，
׶ܲܰ
∥ݔ轴，
׵ סܱܣܥ= סܣܦܲ，
׶ܲ
ܯ∥ݕ轴，
׵四边形ܱ
ܯܲܰ
为平行四边形，
׵ סܣܱܥ= סܧܲܦ，
׶ ܣܥ= ܦܧ，
׵ᇞܣܱܥ، ᇞܧܲܦAAS ，
׵ܱ
ܥ=ܲ
ܧ，
׵−݉
2 −Ͷ݉
= Ͷ，
解得݉
1 =݉
2 =−2，
׵݉
2 + ͵݉
−Ͷ =−͸，
׵ܲ
−2, −͸ ；
（3）解：将点ܲ
沿水平方向向右平移至ܲ
Ԣ，使ܲܲ
Ԣ = ܩܪ，连接ܪܲ
Ԣ，作点ܣ关于ݕ轴的对称点ܣԢ，连接ܣԢܪ，
ܣԢܲ
Ԣ，
׵ ܣܪ= ܣԢܪ，
׵ ܩܪ∥ܲܲ
Ԣ，
׵四边形ܩܪܲ
Ԣܲ
是平行四边形，
׵ܲ
ܩ=ܲ
Ԣܪ，
׵ ܣܪ+ܲ
ܩ= ܣԢܪ+ܲ
Ԣܪ，
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׶ᇞܣԢܲ
Ԣܪ中，ܣԢܪ+ܲ
Ԣܪ൒ܣԢܲ
Ԣ，
׵ ܣԢ、ܲ
Ԣ、ܪ三点共线时，ܣԢܪ+ܲ
Ԣܪ= ܣԢܲ
Ԣ最小，
׶ ܣ−Ͷ,ㄹ，
׵ ܣԢ Ͷ,ㄹ，
׶ ݔ=−
͵
2，
׵ ܩܪ=
͵
2，
׵ܲ
Ԣ −
1
2 , −͸ ，
׵ ܣԢܲ
Ԣ =
Ͷ +
1
2
2
+ −͸ −ㄹ2 =
1ͷ
2 ，
即ܣܪ+ܲ
ܩ的最小值是
1ͷ
2 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ ͵ 与ݔ轴交于ܣ−͵,ㄹ，ሻ1,ㄹ两点，点ܲ
是
直线ܣܥ上方的抛物线上的一个动点（不与点ܣ，ܥ重合），过ܲ
作ݔ轴的垂线，垂足为ܧ，交直线ܣܥ于点
ܦ．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若点ܲ
的横坐标为݉
，用含݉
的代数式表示ܲ
ܦ；
(3)过点ܲ
作ܲܳ
٣ ܣܥ于点ܳ
，当ܲܳ
的值最大时，求点ܲ
的坐标及ܲܳ
的最大值．
【答案】(1)ݕ=−ݔ2 −2ݔ+ ͵ (2)ܲܦ=−݉
2 −͵݉
(3)当PQ 取最大值时，点P 的坐标为−
͵
2 ,
1ͷ
Ͷ ，ܲܳ
的最大
值为
ͻ 2
ͺ
【详解】（1）解：把点ܣ−͵,ㄹ，ሻ1,ㄹ代入ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ ͵，得：
ͻ线−͵香+ ͵ = ㄹ
线+ 香+ ͵ = ㄹ
解得：线=−1
香=−2
׵抛物线的表达式为ݕ=−ݔ2 −2ݔ+ ͵；
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（2）设直线ܣܥ的表达式为ݕ= 䁠ݔ+ 䁠，
把ܣ−͵,ㄹ，ܥㄹ,͵ 代入，得：
−͵䁠+ 䁠= ㄹ
䁠= ͵
解得䁠= 1
䁠= ͵
׵直线ܣܥ的表达式为ݕ= ݔ+ ͵．
׶点ܲ
的横坐标为݉
，
׵ܲ݉
, −݉
2 −2݉
+ ͵ ，ܦ݉
,݉
+ ͵
׵ܲ
ܦ=−݉
2 −2݉
+ ͵ −݉
+ ͵ =−݉
2 −͵݉
（3）如图
׶点ܣ−͵,ㄹ，ܥㄹ,͵ ，
׵ܱ
ܣ=ܱ
ܥ，
׵ סܦܣܧ= סܣܦܧ= סܲܦܳ
= Ͷͷι，
׵ ᇞܲ
ܦܳ
是等腰直角三角形，
׵ܲܳ
=
2
2 ܦܲ，
׶ܲ
ܦ=−݉
2 −͵݉
=−݉
+
͵
2
2
+
ͻ
Ͷ，
−1 t ㄹ，则ݐ=−
͵
2时ܦܲ
有最大值
ͻ
Ͷ
此时−ݐ2 −2ݐ+ ͵ =−−
͵
2
2
−2 ൈ−
͵
2 + ͵ =
1ͷ
Ͷ
׵ܲܳ
=
2
2 ܦܲ
=
2
2 ൈ
ͻ
Ͷ =
ͻ 2
ͺ
׵当ܲܳ
取最大值时，点ܲ
的坐标为−
͵
2 ,
1ͷ
Ͷ ，ܲܳ
的最大值为
ͻ 2
ͺ ．
重难点三与面积有关的问题（含压轴）
1.三角形通用铅垂高面积公式S△=
1
2 × 水平底× 铅垂高，不规则图形采用割补法，整体图形面积减去或
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拆分多个规则图形面积；
2.已知面积求动点则设动点横坐标列方程求解，面积最值直接利用二次函数顶点公式计算，同时舍去超
出图像范围的无效解。
1．如图，直线ݕ= ݔ与抛物线ݕ=
1
2 ݔ2 −2ݔ+
ͷ
2交于ܣ，ሻ两点，点ܲ
是ݕ轴上的一个动点，当ᇞܲܣሻ的
周长最小时，ᇞܲ
ܣሻ的面积为（
）
A．
1ㄹ
͵
B．
12
ͷ
C．3
D．
1͸
ͷ
【答案】A
【详解】解：联立得
ݕ= ݔ
ݕ=
1
2 ݔ2 −2ݔ+
ͷ
2
，
解得ݔ= 1
ݕ= 1 或ݔ= ͷ
ݕ= ͷ ，
׵点ܣ的坐标为1,1 ，点ሻ的坐标为ͷ,ͷ ，
׵ ܣሻ=
ͷ −1 2 + ͷ −1 2 = Ͷ 2，
作点ܣ关于ݕ轴的对称点ܣԢ，连接ܣԢሻ与ݕ轴的交于ܲ
，则此时ᇞܲܣሻ的周长最小，
点ܣԢ的坐标为−1,1 ，点ሻ的坐标为ͷ,ͷ ，
设直线ܣԢሻ的函数解析式为ݕ= 䁠ݔ+ 香，
∴−䁠+ 香= 1
ͷ䁠+ 香= ͷ ，
解得
䁠=
2
͵
香=
ͷ
͵
，
׵直线ܣԢሻ的函数解析式为ݕ=
2
͵ ݔ+
ͷ
͵，
当ݔ= ㄹ时，ݕ=
ͷ
͵，
即点ܲ
的坐标为ㄹ,
ͷ
͵ ，
过点ܲ
作ܲ
ܦ٣ܱ
ሻ于点D，
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将ݕ= 1 代入直线ݕ= ݔ中，得ݔ= 1，
∵点ܣ的坐标为1,1 ，
∴直线ݕ= ݔ与ݕ轴的夹角是Ͷͷι，
∴ᇞܲ
ܦܱ
是等腰直角三角形，
∴ܲܦ=ܱܲ
2 =
ͷ 2
͸ ，
׵ᇞܲܣሻ的面积=
1
2 ܣሻڄܲ
ܦ=
1
2 ൈ
ͷ 2
͸ ൈͶ 2 =
1ㄹ
͵ ，
故选：A．
2．如图，已知抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
过点ܣ−͵,ㄹ,ሻ−2,͵ ,ܥㄹ,͵ ，顶点为D．若P 是抛物线上位于直
线ܣܥ上方的一个动点，求ᇞܣܲܥ的面积的最大值为_________．
【答案】
2͹
ͺ
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质作ܲ
ܧ٣ ݔ轴交ܣܥ于E 点，求得ܣܥ的解析式为ݕ= ݔ+ ͵，设ܲ݉
, −݉
2 −2݉
+ ͵ ，ܧ݉
,݉
+ ͵ ，得ܲ
ܧ=−݉
2 −͵݉
，所以，ܵᇞܣܲܥ=
1
2ܲ
ܧڄ ݔܣ=
1
2 −݉
2 −͵݉
ൈ͵，
求函数的最大值即可.
【详解】解：将A，B，C 点的坐标代入解析式，得方程组：
ͻ线−͵香+ܿ
= ㄹ
Ͷ线−2香+ܿ
= ͵ܿ
= ͵
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解得
线=−1
香=−2ܿ
= ͵
抛物线的解析式为ݕ=−ݔ2 −2ݔ+ ͵
作ܲ
ܧ٣ ݔ轴交AC 于E 点，如图，
设ܣܥ的解析式为ݕ= 䁠ݔ+ 香，则
−͵䁠+ 香= ㄹ
香= ͵
解得䁠= 1
香= ͵
∴ܣܥ的解析式为ݕ= ݔ+ ͵，
设ܲ݉
, −݉
2 −2݉
+ ͵ ，ܧ݉
,݉
+ ͵ ，ܲ
ܧ=−݉
2 −2݉
+ ͵ −݉
+ ͵ =−݉
2 −͵݉ܵ
ᇞܣܲܥ=
1
2ܲ
ܧڄ ݔܣ=
1
2 −݉
2 −͵݉
ൈ͵ =−
͵
2 (݉
+
͵
2 )2 +
2͹
ͺ ，
当݉
=−
͵
2时，ᇞܣܲܥ的面积的最大值是
2͹
ͺ ；
故答案为：
2͹
ͺ
3．如图，已知抛物线过点ܱ
(ㄹ,ㄹ)，ܣ(ͷ,ͷ)，且它的对称轴为ݔ= 2，点ሻ是抛物线对称轴上的一点，且点
ሻ在第一象限．当ᇞܱ
ܣሻ的面积为15 时，求ሻ的坐标为________．
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【答案】2,ͺ
【分析】运用待定系数法求得解析式，设ሻ2，݉
(݉
㘠ㄹ)，运用待定系数法求得直线ܱ
ܣ的解析式为ݕ= ݔ，
设直线ܱ
ܣ与抛物线对称轴交于点H，则ܪ2，2 ，可得到ሻܪ=݉
−2，利用三角形面积公式建立方程求
解即可．
【详解】解：设抛物线的解析式为ݕ= 线ݔ−2 2 + 䁠，
把点ܱ
ㄹ,ㄹ，ܣͷ,ͷ 代入得：
Ͷ线+ 䁠= ㄹ
ͻ线+ 䁠= ͷ ，
解得线= 1
䁠=−Ͷ ，
∴抛物线的解析式为ݕ= ݔ−2 2 −Ͷ = ݔ2 −Ͷݔ，
∵点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，
∴设ሻ2，݉
(݉
㘠ㄹ)，
设直线ܱ
ܣ的解析式为ݕ= 䁠ݔ，
则ͷ䁠= ͷ，解得：䁠= 1，
∴直线ܱ
ܣ的解析式为ݕ= ݔ，
设直线ܱ
ܣ与抛物线对称轴交于点ܪ，
则ܪ2,2 ，
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∴ሻܪ=݉
−2，
∵ᇞܱ
ܣሻ的面积为15，
∴ܵᇞሻܪܱ+ܵ
ᇞܣሻܪ=
ሻܪݔܪ−ݔܱ
2
+
ሻܪݔܣ−ݔܪ
2
=
ሻܪݔܣ−ݔܱ
2
= 1ͷ，
∴
1
2݉
−2 ൈͷ = 1ͷ，
解得：݉
= ͺ，
∴点B 的坐标为2,ͺ ．
4．在平面直角坐标系中，二次函数ݕ= ݔ−݉
2 + 䁠的顶点ܲ݉
,䁠在另一条抛物线ݕ= ݔ2 −ݔ+ 2 上运
动．该二次函数图像与ݕ轴交于点A．过点P 作ܲ
ሻ٣ ݕ轴于点B．
(1)当݉
= 1 时，求点A 和点B 的坐标，并求ᇞܲ
ܣሻ的面积；
(2)当݉
൒1 时，求点A 的纵坐标ݕܣ的最小值．
【答案】(1)ܣㄹ,͵ ，ሻㄹ,2 ，ᇞܲܣሻ的面积为
1
2
(2)3
【分析】（1）当݉
= 1，得到点ܲ
的横坐标，根据点ܲ
在抛物线ݕ= ݔ2 −ݔ+ 2 上，求出点ܲ
的坐标，进
一步得到点ሻ的坐标；根据点ܣ在抛物线ݕ= ݔ−݉
2 + 䁠上且在ݕ轴上，即ݔ= ㄹ，即可求出点ܣ的坐
标；进而可求出ᇞܲܣሻ的面积；
（2）根据点ܣ在抛物线ݕ= ݔ−݉
2 + 䁠上且在ݕ轴上，即ݔ= ㄹ，则ݕܣ= ㄹ−݉
2 + 䁠=݉
2 + 䁠；根据
点ܲ݉
,䁠抛物线ݕ= ݔ2 −ݔ+ 2 上，则䁠=݉
2 −݉
+ 2，等量代换，得到ݕܣ= 2݉
2 −݉
+ 2，求出最值，
即可解答．
【详解】（1）解：∵݉
= 1，
∴ܲ
1,䁠，
∵点ܲ
在抛物线ݕ= ݔ2 −ݔ+ 2 上，
∴䁠= 12 −1 + 2 = 2
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∴ܲ
1,2 ，
∵过点ܲ
作ܲ
ሻ٣ ݕ轴于点ሻ
∴ሻㄹ,2 ；
∵ܲ
1,2 在抛物线ݕ= ݔ−݉
2 + 䁠；
∴ݕ= ݔ−1 2 + 2；
∵二次函数图像与ݕ轴交于点ܣ，
∴ݕ= ㄹ−1 2 + 2 = ͵，
∴ܣㄹ,͵ ；
∴ܣሻ= 1，ܲሻ= 1，
∴ᇞܲܣሻ的面积为
1
2 ܣሻ൉ሻܲ
=
1
2．
（2）解：∵点ܣ在抛物线ݕ= ݔ−݉
2 + 䁠上且在ݕ轴上，
∴ݕܣ= ㄹ−݉
2 + 䁠=݉
2 + 䁠；
∵点ܲ݉
,䁠在抛物线ݕ= ݔ2 −ݔ+ 2 上，
∴䁠=݉
2 −݉
+ 2，
∴ݕܣ=݉
2 + 䁠=݉
2 +݉
2 −݉
+ 2 = 2݉
2 −݉
+ 2，
得到关于݉
的二次函数，其中线= 2 㘠ㄹ开口向上，对称轴为：݉
=−
香
2线=−
−1
2ൈ2 =
1
Ͷ 㘠ㄹ，
当݉
൒1 时，ݕܣ随݉
的增大而增大，
∴当݉
= 1 时，ݕܣ有最小值，最小值为：ݕܣ= 2 −1 + 2 = ͵．
5．如图，抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与y 轴交于点ܥㄹ,͵ ，顶点为D，对称轴为直线ݔ=−1，点P 在抛物线
上，点P 的纵坐标为2，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于另一点M，交y 轴于点E．若ᇞܦܯܲ
的面积是ᇞܥܯܲ
的面积的3 倍，求抛物线的解析式．
【答案】ݕ=−2ݔ2 −Ͷݔ+ ͵
【分析】先利用点C 坐标与对称轴为ݔ=−1 求出香= 2线，再求出点D 的坐标，进而分别求出点C、D 到ܯܲ
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的距离，利用ܵᇞܦܯܲܵ
ᇞܥܯܲ=
ܦܨ
ܥܧ列出方程，求出线、香的值，从而求出抛物线的解析式．
【详解】解：如图，令直线ݔ=−1 与ܯܲ
交于点F，
将点ܥㄹ,͵ 代入抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
得：ܿ= ͵，
׶抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
对称轴为ݔ=−
香
2线，
׵−
香
2线=−1，
׵ 香= 2线，
׵抛物线解析式为ݕ= 线ݔ2 + 2线ݔ+ ͵，
将ݔ=−1 代入ݕ= 线ݔ2 + 2线ݔ+ ͵ 得：ݕ= 线ڄ −1 2 + 2线ڄ −1 + ͵ = ͵ −线，
׵ ܦ−1,͵ −线，
׶ܲ
ܯ∥ݔ轴，点P 的纵坐标为2，
׵ ܥܧ٣ ܯܲ、ܦܨ٣ ܯܲ，
׵ ܥܧ= ͵ −2 = 1、ܦܨ= ͵ −线−2 = 1 −线，
׶抛物线的图象开口向下，
׵ 线t ㄹ，
׵ 1 −线㘠ㄹ，
׵ ܦܨ= 1 −线，
׵ܵ
ᇞܦܯܲܵ
ᇞܥܯܲ=
1
2ൈܯܲൈܦܨ
1
2ൈܯܲൈܥܧ=
ܦܨ
ܥܧ= ͵，
׵
1−线
1 = ͵，
解得：线=−2，
׵ 香= 2 ൈ−2 =−Ͷ，
׵抛物线的解析式为ݕ=−2ݔ2 −Ͷݔ+ ͵．
6．如图，抛物线与ݔ轴交于ܣ、ሻ两点，点ܣ坐标为1,ㄹ，顶点ܥ的坐标为Ͷ,Ͷ ；将抛物线沿着它的对称
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轴上下平移后点ܥ的对应点为点ܦ，联结ሻܦ、ሻܥ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)把抛物线向上平移5 个单位，求סܦሻܥ的正弦值；
(3)设直线ሻܦ和平移前的抛物线交于点ܧ，联结ܥܧ，当ܵᇞܥܦܧ=
1
2ܵ
ᇞܥܦሻ时，求点ܧ的坐标．
【答案】(1)ݕ=−
Ͷ
ͻ ݔ2 +
͵2
ͻ ݔ−
2ͺ
ͻ
(2)
1ㄹ
1ㄹ
(3)
11
2 ,͵ 或
ͷ
2 ,͵ ．
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，掌握二次函数图象平移的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法求抛物线的表达式即可．
（2）根据二次函数图象平移的性质求出点D 的坐标，再求出点B 的坐标，通过计算得出ሻܥ= ܥܦ= ͷ，根
据等边对等角得出סܦሻܥ= סܥܦሻ，最后根据正弦的定义求解即可．
（3）分点D 在点C 上方或下方两种情况，画出图形作出辅助线利用平行线的性质和相似三角形的性质分别
求解即可．
【详解】（1）解∶∵抛物线的顶点C 的坐标为Ͷ,Ͷ ，
故设抛物线的解析式为ݕ= 线ݔ−Ͷ 2 + Ͷ，
∵抛物线与x 轴交于A 点，点A 坐标为1,ㄹ，
∴ㄹ= 线1 −Ͷ 2 + Ͷ，
解得线=−
Ͷ
ͻ，
∴ݕ=−
Ͷ
ͻ ݔ−Ͷ 2 + Ͷ =−
Ͷ
ͻ ݔ2 +
͵2
ͻ ݔ−
2ͺ
ͻ ；
（2）解：设抛物线的对称轴与x 轴交于点E，如图：
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∵顶点C 的坐标为Ͷ,Ͷ ，
∴ܥܧ=ܱ
ܧ= Ͷ，
∵把抛物线向上平移5 个单位，
∴ܦͶ,ͻ ，ܥܦ= ͷ，
∴ܦܧ= ͻ，
令ݕ= ㄹ，则−
Ͷ
ͻ ݔ2 +
͵2
ͻ ݔ−
2ͺ
ͻ = ㄹ，
解得ݔ= 1 或7，
∴ሻ͹,ㄹ，
∴ܱሻ= ͹，
∴ሻܧ=ܱ
ሻ−ܱ
ܧ= ͵，
∴ሻܥ=
ሻܧ2 + ܥܧ2 = ͷ，
∴ሻܥ= ܥܦ= ͷ，
∴סܦሻܥ= סܥܦሻ．
∵ሻܦ=
ሻܧ2 + ܦܧ2 =
͵2 + ͻ2 = ͵ 1ㄹ，
∴sinסܦሻܥ= sinסܥܦሻ=
ሻܧ
ሻܦ=
͵
͵ 1ㄹ=
1ㄹ
1ㄹ．
（3）解：①当点D 在点C 的上方时，
设抛物线的对称轴与x 轴交于点F，过点E 作ܧܪ٣ ܣሻ于点H，如图，
∵顶点C 的坐标为Ͷ,Ͷ ，
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∴ܥܨ=ܱ
ܨ= Ͷ，
∵ܱሻ= ͹，
∴ሻܨ=ܱ
ሻ−ܱ
ܨ= ͵，
∵ܵᇞܥܦܧ=
1
2ܵ
ᇞܥܦሻ，
∴ܦܧ= ሻܧ，
∵ܥܨ٣ ܣሻ，ܧܪ٣ ܣሻ，
∴ܧܪ∥ܨܦ，
∴
ሻܪ
ሻܨ=
ሻܧ
ሻܦ=
1
2
∴ሻܪ= ܪܨ=
1
2 ሻܨ=
͵
2，
∴ܱܪ=ܱ
ܨ+ ܨܪ=
11
2 ，
∴ܧܪ=−
Ͷ
ͻ ൈ
11
2
2
+
͵2
ͻ ൈ
11
2 −
2ͺ
ͻ = ͵，
∴ܧ
11
2 ,͵
②当点D 在点C 的下方时，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F，过点E 作ܧܪ٣ ܣሻ于点H，如图，
∵顶点C 的坐标为Ͷ,Ͷ ，
∴ܥܨ=ܱ
ܨ= Ͷ，
∵ܱሻ= ͹，
∴ሻܨ=ܱ
ሻ−ܱ
ܨ= ͵．
∵ܵᇞܥܦܧ=
1
2ܵ
ᇞܥܦሻ，
∴ሻܦ= 2ܦܧ，
∴
ሻܦ
ሻܧ=
2
͵，
∵ܥܨ٣ ܣሻ，ܧܪ٣ ܣሻ，
∴ܧܪ∥ܨܦ，
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∴ᇞሻܦܨ׾ ᇞሻܧܪ，
∴
ሻܨ
ሻܪ=
ሻܦ
ሻܧ=
2
͵，
∴ሻܪ=
͵
2 ሻܨ=
ͻ
2，
∴ܱܪ=ܱ
ሻ−ሻܪ= ͹ −
ͻ
2 =
ͷ
2，
∴ܧܪ=−
Ͷ
ͻ ൈ
ͷ
2
2
+
͵2
ͻ ൈ
ͷ
2 −
2ͺ
ͻ = ͵，
∴ܧ
ͷ
2 ,͵ ，
综上：点E 的坐标为
11
2 ,͵ 或
ͷ
2 ,͵ ．
7．已知，在平面直角坐标系中，点ܱ
为坐标原点，抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ Ͷ 交ݔ轴于点ܣ−2,ㄹ，ሻ͸,ㄹ，
交ݕ轴于点ܥ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点ܲ
是第一象限抛物线上一点，连接ܣܲ
交ݕ轴于点ܦ，设点ܲ
横坐标为ݐ，线段ܥܦ长为݀
，
求݀
与ݐ的函数关系式；
(3)如图2，在（2）的条件下，ܳ
为抛物线上一点，其横坐标为−݀
，连接ሻܳ
交ݕ轴于点ܧ，直线ܳ
ܦ交抛
物线于点ܨ，过点ܨ作ݔ轴的垂线，交ܣܲ
于点ܩ，交ሻܳ
于点ܪ，连接ܨܲ，若ܦܪ׷ ܦܨ=
1͵ ׷ ͷ，求ᇞܲ
ܨܩ
的面积．
【答案】(1)ݕ=−
1
͵ ݔ2 +
Ͷ
͵ ݔ+ Ͷ (2)݀
=
2
͵ ݐ(3)
1ͷ
ͺ
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）作ܲ
ܭ٣ ݔ轴于点ܭ，设ܲ
ݐ, −
1
͵ ݐ2 +
Ͷ
͵ ݐ+ Ͷ ，证明ᇞܣܦܱ
׾ᇞܣܲܭ，求得ܦㄹ,Ͷ −
2
͵ ݐ，即可得到݀
=
ܥܦ=
2
͵ ݐ；
（3）作ܨܯ٣ ݕ轴于点ܯ，作ܳܰ
٣ ݕ轴于点ܰ
，作ܴܲ
٣ ܨܪ轴于点ܴ
，表示出点ܳ
−
2
͵ ݐ, −
Ͷ
2͹ ݐ2 −
ͺ
ͻ ݐ+ Ͷ ，
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求得直线ሻܧ的解析式，表示出ܧㄹ,
12−Ͷݐ
͵
，得到ܥܦ= ܦܧ，可求得ܨ͵,ͷ ，再求得点ܪ是ሻܧ的中点，利
用三角形中位线定理求得ܦܪ=
1͵，得到ܦܨ= ͷ，求得ݐ=
ͻ
2，求得各点坐标，进而求解即可．
【详解】（1）解：当ݔ= ㄹ时，ݕ= Ͷ，
∴ܥㄹ,Ͷ ，
∵抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ Ͷ 交ݔ轴于点ܣ−2,ㄹ，ሻ͸,ㄹ，
∴设抛物线的解析式为ݕ= 线ݔ+ 2
ݔ−͸ ，
将ܥㄹ,Ͷ 代入得Ͷ = 线ㄹ+ 2
ㄹ−͸ ，
解得线=−
1
͵，
∴抛物线的解析式为ݕ=−
1
͵ ݔ+ 2
ݔ−͸ =−
1
͵ ݔ2 +
Ͷ
͵ ݔ+ Ͷ；
（2）解：作ܲ
ܭ٣ ݔ轴于点ܭ，设ܲ
ݐ, −
1
͵ ݐ2 +
Ͷ
͵ ݐ+ Ͷ ，
∵ܣ−2,ㄹ，ܥㄹ,Ͷ ，
∴ܣܭ= ݐ+ 2，ܲܭ=−
1
͵ ݐ2 +
Ͷ
͵ ݐ+ Ͷ，
∵ܱܦ∥ܲܭ，
∴ᇞܣܦܱ
׾ᇞܣܲܭ，
∴ܱ
ܦܲ
ܭ=
ܣܱ
ܣܭ，
∴ܱܦ=
2 −1
͵ݐ2+Ͷ
͵ݐ+Ͷ
ݐ+2
= Ͷ −
2
͵ ݐ，
∴ܦㄹ,Ͷ −
2
͵ ݐ，
∴݀
= ܥܦ=ܱ
ܥ−ܱ
ܦ= Ͷ −Ͷ −
2
͵ ݐ=
2
͵ ݐ；
（3）解：如图，作ܨܯ٣ ݕ轴于点ܯ，作ܳܰ
٣ ݕ轴于点ܰ
，作ܴܲ
٣ ܨܪ轴于点ܴ
，
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∵ܳ
为抛物线上一点，其横坐标为−݀
，
∴ܳ
−݀
, −
1
͵݀
2 −
Ͷ
͵݀
+ Ͷ ，
∵݀
=
2
͵ ݐ，
∴ܳ
−
2
͵ ݐ, −
Ͷ
2͹ ݐ2 −
ͺ
ͻ ݐ+ Ͷ ，
∵ሻ͸,ㄹ，
设直线ሻܳ
的解析式为ݕ= 䁠ݔ+ 香1，
∴
͸䁠+ 香1 = ㄹ
−
2
͵ ݐ䁠+ 香1 =−
Ͷ
2͹ ݐ2 −
ͺ
ͻ ݐ+ Ͷ ，
∴直线ሻܳ
的解析式为ݕ=
2 ݐ−͵
ͻ
ݔ+
12−Ͷݐ
͵
，
令ݔ= ㄹ，ݕ=
12−Ͷݐ
͵
，
∴ܧㄹ,
12−Ͷݐ
͵
，
∵ܦㄹ,Ͷ −
2
͵ ݐ，
∴ܦܧ= Ͷ −
2
͵ ݐ−
12−Ͷݐ
͵
=
2
͵ ݐ，
∵݀
= ܥܦ=
2
͵ ݐ，
∴ܥܦ= ܦܧ，
∵ܳ
−
2
͵ ݐ, −
Ͷ
2͹ ݐ2 −
ͺ
ͻ ݐ+ Ͷ ，ܦㄹ,Ͷ −
2
͵ ݐ，
同理直线ܳ
ܦ的解析式为ݕ=
2ݐ+͵
ͻ ݔ+ Ͷ −
2
͵ ݐ，
联立得−
1
͵ ݔ2 +
Ͷ
͵ ݔ+ Ͷ =
2ݐ+͵
ͻ ݔ+ Ͷ −
2
͵ ݐ，
整理得ݔ−͵
͵ݔ+ 2ݐ= ㄹ，
∵点ܲ
是第一象限抛物线上一点，
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∴͵ݔ+ 2ݐ്
ㄹ，
∴ݔ= ͵，
∴ݕ=−
1
͵ ൈ͵2 +
Ͷ
͵ ൈ͵ + Ͷ = ͷ，
∴ܨ͵,ͷ ，
∴ܱܯ= ͷ，ܨܯ= ͵，
∴ܦܯ= ͷ −Ͷ −
2
͵ ݐ= 1 +
2
͵ ݐ，
∵ܨܪ٣ ݔ轴，
∴点ܪ的横坐标为3，
∴当ݔ= ͵ 时，ݕ=
2 ݐ−͵
ͻ
ൈ͵ +
12−Ͷݐ
͵
=
͸−2ݐ
͵ ，
∴ܪ͵,
͸−2ݐ
͵
，
∵ܧㄹ,
12−Ͷݐ
͵
，ሻ͸,ㄹ，
∴点ܪ是ሻܧ的中点，
∵ሻ͸,ㄹ，ܥㄹ,Ͷ ，
∴ሻܥ=
Ͷ2 + ͸2 = 2 1͵，
∵ܥܦ= ܦܧ，
∴ܦܪ是ᇞܧሻܥ的中位线，
∴ܦܪ=
1
2 ሻܥ=
1͵，
∵ܦܪ׷ ܦܨ=
1͵ ׷ ͷ，
∴ܦܨ= ͷ，
∵ܨܯ2 + ܦܯ2 = ܦܨ2，
∴͵2 + 1 +
2
͵ ݐ
2
= ͷ2，
解得ݐ=
ͻ
2或ݐ=−
1ͷ
2 （舍去），
∴ܪ͵, −1 ，ܦㄹ,1 ，
同理直线ܣܦ的解析式为ݕ=
1
2 ݔ+ 1，
当ݔ= ͵ 时，ݕ=
1
2 ൈ͵ + 1 =
ͷ
2，
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∴ܩ͵,
ͷ
2 ，
联立得−
1
͵ ݔ2 +
Ͷ
͵ ݔ+ Ͷ =
1
2 ݔ+ 1，
解得ݔ=−2（舍去）或ݔ=
ͻ
2，
当ݔ=
ͻ
2时，ݕ=
1
2 ൈ
ͻ
2 + 1 =
1͵
Ͷ ，
∴ܲ
ͻ
2 ,
1͵
Ͷ ，
∴ܴܲ
=
ͻ
2 −͵ =
͵
2，ܨܩ= ͷ −
ͷ
2 =
ͷ
2，
∴ᇞܲ
ܨܩ的面积=
1
2 ܨܩൈܴܲ
=
1
2 ൈ
ͷ
2 ൈ
͵
2 =
1ͷ
ͺ ．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线ݕ1 = 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与坐标轴交于点ܣ−͵,ㄹ，ሻ，ܥ1,ㄹ点，过ܣ，
ሻ的直线解析式为ݕ2 = 䁠ݔ+ ͵，ܯ为第二象限内抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求四边形ܣܯሻܥ面积的取值范围；
(3)若ᇞܯܣሻ的面积为ܵ1，ᇞܯሻܥ的面积为ܵ2，求ܵ1 +ܵ
2的最大值．
【答案】(1)ݕ=−ݔ2 −2ݔ+ ͵ (2)͸ tܵ
四边形ܣܯሻܥ൑
͹ͷ
ͺ (3)ܵ1 +ܵ
2的最大值为
2ͷ
Ͷ
【详解】（1）解：直线ݕ2 = 䁠ݔ+ ͵ 与ݔ轴交于点ܣ−͵,ㄹ，与ݕ轴交于点ሻ，
则点ሻㄹ,͵ ，
将ܣ−͵,ㄹ，ሻㄹ,͵ ，ܥ1,ㄹ代入抛物线解析式ݕ1 = 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ，
得
ͻ线−͵香+ܿ
= ㄹ
线+ 香+ܿ
= ㄹܿ
= ͵
，
解得
线=−1
香=−2ܿ
= ͵
，
则抛物线的表达式为ݕ=−ݔ2 −2ݔ+ ͵；
（2）解：将ܣ−͵,ㄹ代入直线ݕ2 = 䁠ݔ+ ͵，
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得−͵䁠+ ͵ = ㄹ，
䁠= 1，
则直线ܣሻ的表达式为ݕ= ݔ+ ͵，
如图，过点ܯ作ܯܧ∥ݕ轴交ܣሻ于点ܧ，
设点ܯ݉
, −݉
2 −2݉
+ ͵ （−͵ t݉
t ㄹ），则点ܧ݉
,݉
+ ͵ ，
׵ܵ
四边形ܣܯሻܥ=ܵ
ᇞܣܯሻ+ܵ
ᇞܣሻܥ，
=
1
2 ܯܧൈܱ
ܣ+
1
2 ൈܣܥൈܱ
ሻ，
=
1
2 −݉
2 −2݉
+ ͵ −݉
−͵ ൈ͵ +
1
2 ൈͶ ൈ͵，
=−
͵
2݉
2 −
ͻ
2݉
+ ͸，
=−
͵
2݉
+
͵
2
2
+
͹ͷ
ͺ ，
׶−
͵
2 t ㄹ，对称轴为݉
=−
͵
2，
又׶−͵ t݉
t ㄹ，
当݉
=−͵ 或݉
= ㄹ时，ܵ四边形ܣܯሻܥ= ͸，
׵ ͸ t−
͵
2݉
+
͵
2
2
+
͹ͷ
ͺ ൑
͹ͷ
ͺ ，
׵四边形ܣܯሻܥ面积的取值范围是͸ tܵ
四边形ܣܯሻܥ൑
͹ͷ
ͺ ；
（3）解：ܵ1 +ܵ
2 =ܵ
ᇞܯܣሻ+ܵ
ᇞܣܯሻ+ܵ
ᇞܣሻܥ−ܵ
ᇞܣܯܥ，
= 2ܵᇞܣሻܯ+ܵ
ᇞܣሻܥ−ܵ
ᇞܣܯܥ，
= ܯܧൈܱ
ܣ+
1
2 ൈܣܥൈܱ
ሻ−
1
2 ൈܣܥൈݕܯ，
= −݉
2 −2݉
+ ͵ −݉
−͵ ൈ͵ +
1
2 ൈͶ ൈ͵ −
1
2 ൈͶ ൈ−݉
2 −2݉
+ ͵ ，
=−݉
2 −ͷ݉
，
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=−݉
+
ͷ
2
2
+
2ͷ
Ͷ ，
׶−1 t ㄹ，
׵ܵ
1 +ܵ
2的最大值为
2ͷ
Ͷ ．
重难点四等腰、直角三角形的存在性问题
1.直角三角形分三种直角顶点讨论，利用勾股定理a2 + b2 = c2结合线段平方列式；
2.等腰三角形分PA = PB、AP = AB、BP = BA 三类，借助两点距离平方公式列式，PA = PB 可联立线段
垂直平分线与抛物线求交点，全部解算出后结合图像舍去增根。
1．如图，已知抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ−ͺ 与x 轴交于A 和B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，顶
点为D 点．若点M 是抛物线上一点，点N 在y 轴上，连接ܥܯ，ܯܰ，当ᇞܥܯܰ
是以סܥܯܰ
为直角的等腰
直角三角形时，点M 的坐标为（
）
A．1, −ͻ
B．Ͷ,ㄹ或−2,ㄹ
C．͵, −ͷ 或1, −ͻ
D．1, −ͻ 或ㄹ, −ͺ
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与x 轴的交点，过M 点作ܯܪ٣ܰ
ܥ于H 点，如图，先确定ܥㄹ, −ͺ ，设ܯ݉
,݉
2 −
2݉
−ͺ ，易得ᇞܥܯܪ为等腰直角三角形，所以ܥܪ= ܯܪ=݉
，则ܱ
ܪ= ͺ −݉
或ܱ
ܪ= ͺ +݉
，利用M
点纵坐标的表示方法得到即݉
2 −2݉
−ͺ =−ͺ −݉
或݉
2 −2݉
−ͺ =−ͺ +݉
，然后分别解方程求出m，
从而得到M 点的坐标．
【详解】解：过M 点作ܯܪ٣ܰ
ܥ于H 点，如图，
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当ݔ= ㄹ时，ݕ= ݔ2 −2ݔ−ͺ =−ͺ，
∴ܥㄹ, −ͺ ，
设ܯ݉
,݉
2 −2݉
−ͺ ，
∴ᇞܥܯܰ
是以סܥܯܰ
为直角的等腰直角三角形，
∴ᇞܥܯܪ为等腰直角三角形，
∴ܥܪ= ܯܪ=݉
，
∴ܱܪ= ͺ −݉
或ܱ
ܪ= ͺ +݉
，
即݉
2 −2݉
−ͺ =−ͺ −݉
或݉
2 −2݉
−ͺ =−ͺ +݉
，
解方程݉
2 −2݉
−ͺ =−ͺ −݉
得݉
1 = ㄹ（舍去），݉
2 = ͵，此时M 点的坐标为͵, −ͷ ；
解方程݉
2 −2݉
−ͺ =−ͺ +݉
得݉
1 = ㄹ（舍去），݉
2 = 1，此时M 点的坐标为1, −ͻ ；
综上所述，M 点的坐标为͵, −ͷ 或1, −ͻ ．
故选：C．
2．将抛物线ݕ= ݔ2 −͸ݔ+ ͻ 沿y 轴向下平移后，所得抛物线与x 轴交于点A、B，顶点为C，如果ᇞܣሻܥ
是等腰直角三角形，那么顶点C 的坐标是______．
【答案】͵, −1
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与x 轴的交点问题，
根据题意画出图形、作出辅助线是解答此题的关键．设抛物线ݕ= ݔ2 −͸ݔ+ ͻ 沿y 轴向下平移b 个单位，
则抛物线的解析式为ݕ= ݔ2 −͸ݔ+ ͻ，再根据题意画出图形，令ݕ= ㄹ得出AB 两点的坐标，作ܥܧ٣ ݔ轴
于点E，求出E 点坐标，由等腰三角形的性质可知ܥܧ= ሻܧ，进而可得出b 的值．
【详解】解：设抛物线ݕ= ݔ2 −͸ݔ+ ͻ 沿y 轴向下平移b 个单位，抛物线的解析式为ݕ= (ݔ−͵)2 −香，此
时点C 的坐标为͵, −香，
如图所示：
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令ݕ= ㄹ，则(ݔ−͵)2 −香= ㄹ，
׵ ܣ−
香+ ͵,ㄹ，ሻ
香+ ͵,ㄹ，
过点C 作ܥܧ٣ ݔ轴于点E，则ܧ͵,ㄹ，
׶ᇞܣሻܥ是等腰直角三角形，
׵ ܥܧ= ሻܧ= 香，
׵
香+ ͵ −͵ = 香
׵ 香= 1 或香= ㄹ，
׵ ܥ点坐标为͵, −1 ．
故答案为：͵, −1 ．
3．已知，在平面直角坐标系中，抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与x 轴交于ܣ−1,ㄹ，ሻ͵,ㄹ两点，与y 轴交于
点ܥㄹ,͵ ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P 是抛物线上一动点，过点P 作ܲ
ܦ٣ ݔ轴于点D，交直线ሻܥ于点E．当点P 在第一象限时，求线段ܲ
ܧ的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得ᇞܳ
ܣܥ是等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵ (2)
ͻ
Ͷ；(3) 1, ͸ 、1, −
͸ 、1,ㄹ
、1,͸ 或1,1
【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）由点B，C 坐标求出直线ሻܥ解析式，设点P 坐标为ݔ, −ݔ2 + 2ݔ+ ͵ ，则ܧݔ, −ݔ+ ͵ ，求出ܲ
ܧ的
关系式，运用二次函数的性质可得结论．
（3）求出函数图象对称轴为ݔ= 1，设ܳ
1,݉
，求出ܣܳ,ܳܥ,ܣܥ，分ܣܳ
=ܳ
ܥ,ܣܳ
= ܣܥ,ܳܥ= ܣܥ三种情况
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列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与x 轴交于ܣ−1,ㄹ，ሻ͵,ㄹ两点，
∴设抛物线的解析式为ݕ= 线(ݔ+ 1)(ݔ−͵)，
将点ܥㄹ,͵ 代入，得͵ = 线(ㄹ+ 1)(ㄹ−͵)，
解得线=−1，
∴抛物线的解析式为ݕ=−ݔ+ 1
ݔ−͵ =−ݔ2 + 2ݔ+ ͵；
（2）解：设直线ሻܥ的解析式为ݕ= 䁠ݔ+ 香，
将点ሻ͵,ㄹ、ܥㄹ,͵ 代入，得͵䁠+ 香= ㄹ
香= ͵
，解得䁠=−1
香= ͵ ，
∴直线ሻܥ的解析式为ݕ=−ݔ+ ͵，
设点P 坐标为ݔ, −ݔ2 + 2ݔ+ ͵ ，则ܧݔ, −ݔ+ ͵ ，
∴ܲܧ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵ −−ݔ+ ͵ =−ݔ2 + ͵ݔ=−ݔ−
͵
2
2
+
ͻ
Ͷ，
∵−1 t ㄹ，
∴当ݔ=
͵
2时，ܲܧ有最大值，最大值为
ͻ
Ͷ；
（3）解：∵ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵ =−ݔ−1 2 + Ͷ
∴抛物线的对称轴为直线ݔ= 1，
设点Q 的坐标为1,݉
，
∵ܣ−1,ㄹ、ܥㄹ,͵ ，
∴ܣܥ=
−1 −ㄹ2 + ㄹ−͵ 2 =
1ㄹ；ܣܳ
=
−1 −1 2 + ㄹ−݉
2 =
Ͷ +݉
2；ܳܥ=
1 −ㄹ2 +݉
−͵ 2 =
1 +݉
−͵ 2，
当ܣܥ= ܣܳ
时，Ͷ +݉
2 =
1ㄹ，解得݉
=േ
͸，
∴点Q 的坐标为1, ͸ 或1, −
͸ ；
当ܣܥ= ܥܳ
时，1 +݉
−͵ 2 =
1ㄹ，解得݉
= ㄹ或݉
= ͸，
∴点Q 的坐标为1,ㄹ或1,͸ ，
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当ܣܳ
= ܥܳ
时，Ͷ +݉
2 =
1 +݉
−͵ 2，解得݉
= 1，
∴点Q 的坐标为1,1 ．
综上所述，点Q 的坐标为1, ͸ 、1, −
͸ 、1,ㄹ
、1,͸ 或1,1
．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线ݕ= ݔ2 + 香ݔ+ܿ（香，ܿ是常数）经过点ܣ1,ㄹ，ሻㄹ,͵ ．点P 在此
抛物线上，其横坐标为݉
．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当点P 在x 轴上方时，结合图象，写出m 的取值范围；
(3)若此抛物线在点P 左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2 −2݉
．
①求m 的值；
②点D 为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得ᇞܲ
ܦܳ
为直角三角形？若存在，请直
接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͵ (2)݉
t 1 或݉
㘠͵ (3)①m 的值为1 ；②存在，点Q 的坐标为2,ㄹ或2,1
【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）求出抛物线与x 轴的交点坐标，结合图形即可解答；
（3）①根据题意，分两种情况进行讨论：当点P 在对称轴左侧，即݉
㘠2 时，当点P 在对称轴右侧，即݉
t 2 时；②根据①中求出的点P 的坐标，进行分类讨论即可：当סܲܳ
ܦ= ͻㄹι时，当סܳܲ
ܦ= ͻㄹι时．
【详解】（1）解：将ܣ1,ㄹ，ሻㄹ,͵ 代入ݕ= ݔ2 + 香ݔ+ܿ
得：
1 + 香+ܿ
= ㄹܿ
= ͵
，
解得：香=−Ͷܿ
= ͵ ，
∴ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͵；
（2）解：把ݕ= ㄹ代入ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͵ 得：ㄹ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͵，
解得：ݔ1 = 1,ݔ2 = ͵，
∴抛物线与x 轴相交于1,ㄹ, ͵,ㄹ，
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∵点P 在此抛物线上，其横坐标为݉
∴由图可知，当点P 在x 轴上方时݉
t 1 或݉
㘠͵．
（3）解：①∵ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͵ = ݔ−2 2 −1，
∴对称轴为直线ݔ=−
香
2线= 2，
当点P 在对称轴左侧，即݉
㘠2 时，
最低点为抛物线顶点2，−1 ，
∴2 −2݉
=−1，
解得݉
=
͵
2 t 2（不符合题意，舍去），
当点P 在对称轴右侧，即݉
t 2 时，y 随x 的增大而减小，
∴最低点为ܲ݉
,݉
2 −Ͷ݉
+ ͵ ，
∴݉
2 −Ͷ݉
+ ͵ = 2 −2݉
，
解得：݉
= 1，
综上：݉
= 1；
②由①可知
当סܲܳ
ܦ= ͻㄹι时，ܲ
1,ㄹ，和点A 重合，
∵对称轴为直线ݔ=−
香
2线= 2，ܲ
1,ㄹ，
∴ܳ
2,ㄹ；
当סܳܲ
ܦ= ͻㄹι时，令对称轴和x 轴相交于点H，则ܪ2,ㄹ，
∵ܲ
1,ㄹ，ܦ2, −1 ，
∴ܣܪ= 1,ܦܪ= 1，
∴סܣܦܪ= Ͷͷι，
∴ᇞܲܳ
ܦ为等腰直角三角形，
∴ܳܪ= ܦܪ= 1，
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∴ܳ
2,1 ；
综上：存在，点Q 的坐标为2,ㄹ或2,1 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线ݕ1 =−ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与ݔ轴交于点ሻ，ܣ−͵, ㄹ，与ݕ轴交于点ܥㄹ, ͵ ．
(1)求直线ܣܥ和抛物线的解析式．
(2)若ܯ是抛物线对称轴上的一点，是否存在点ܯ，使得以ܯ, ܣ, ܥ三点为顶点的三角形是以ܣܯ为腰的等腰
三角形？若存在，请求出点ܯ的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线ܣܥ的解析式ݕ= ݔ+ ͵；抛物线的解析式ݕ=−ݔ2 −2ݔ+ ͵
(2)存在，点M 坐标为−1, 1Ͷ 或−1, −
1Ͷ 或−1,1
【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可；
（2）先求出抛物线的对称轴为直线ݔ=−1，设ܯ−1,݉
，可得ܣܥ2 = ͵2 + ͵2 = 1ͺ，ܣܯ2 =݉
2 + Ͷ，ܥܯԢ2 =݉
2 −͸݉
+ 1ㄹ，再分类讨论即可；
【详解】（1）解：设直线ܣܥ的解析式为ݕ= 䁠ݔ+ 香，
将点ܣ−͵, ㄹ，ܥㄹ, ͵ 分别代入得：
−͵䁠+ 香= ㄹ
香= ͵
，
解得：䁠= 1
香= ͵
׵直线ܣܥ的解析式为ݕ= ݔ+ ͵；
∵抛物线ݕ1 =−ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与ݔ轴交于点ሻ，ܣ−͵, ㄹ，与ݕ轴交于点ܥㄹ, ͵ ，
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∴−ͻ −͵香+ܿ
= ㄹܿ
= ͵
，
解得：香=−2ܿ
= ͵ ，
∴抛物线为：ݕ=−ݔ2 −2ݔ+ ͵；
（2）解：∵ݕ=−ݔ2 −2ݔ+ ͵，
∴抛物线的对称轴为直线ݔ=−
−2
2ൈ−1 =−1，
设ܯ−1,݉
，
∵ܣ−͵,ㄹ，ܥㄹ, ͵ ，
∴ܣܥ2 = ͵2 + ͵2 = 1ͺ，ܣܯ2 = −1 + ͵ 2 +݉
−ㄹ2 =݉
2 + Ͷ，
ܥܯ2 = −1 −ㄹ2 +݉
−͵ 2 =݉
2 −͸݉
+ 1ㄹ，
当ܣܥ= ܣܯ时，
∴݉
2 + Ͷ = 1ͺ，
解得：݉
=േ
1Ͷ，
∴ܯ−1, 1Ͷ 或ܯ−1, −
1Ͷ ；
当ܣܯ= ܥܯ时，
∴݉
2 + Ͷ =݉
2 −͸݉
+ 1ㄹ，
解得：݉
= 1，
∴ܯԢ −1,1 ，
综上：点M 坐标为−1, 1Ͷ 或−1, −
1Ͷ 或−1,1 ．
6．已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt ᇞܣሻܥ的斜边ሻܥ在x 轴上，直角顶点A 在y 轴的正半轴上，
ܣㄹ,2 ,ሻ−1,ㄹ．
(1)求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；
(2)设点ܲ݉
,䁠是抛物线在第一象限部分上的点，ᇞܲܣܥ的面积为S，求S 关于݉
的函数关系式，并求使S
最大时点P 的坐标；
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(3)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得ᇞܯܲܥ为等腰三角形（P 为上述（2）问中使S 最大时的
点）？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)ݕ=−
1
2 ݔ2 +
͵
2 ݔ+ 2 (2)ܵ
=−݉
−2 2 + Ͷ，点P 的坐标为2,͵ ；
(3)当点ܯ的坐标为
͵
2 ,
1
2 或
͵
2 ,
͵
2
͵ 或
͵
2 , −
͵
2
͵ 或
͵
2 ,͵ +
ͷ1
2
或
͵
2 ,͵ −
ͷ1
2
时，ᇞܯܲܥ为等腰三角形．
【分析】（1）由同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到ᇞܣܱሻ׾ᇞܥܱܣ，由相似得比例，
求出ܱ
ܥ的长，确定出C 的坐标，由B 与C 的坐标设出抛物线的交点式解析式，将A 坐标代入求出a 的值，
确定出抛物线解析式；
（2）连接ܣܲ，ܥܲ，过P 作ܲܳ
垂直于x 轴，将ݔ=݉
代入抛物线解析式表示出P 的纵坐标，即为ܲܳ
的
长，ܵ=ܵ
梯形ܣܱܪܲ+ܵ
ᇞܲܪܥ−ܵ
ᇞܣܱܥ，列出S 关于m 的二次函数解析式，利用二次函数的性质求出S 最大时
m 的值，即可确定出此时P 的坐标；
（3）分点M 是顶点、点C 是顶点、点P 是顶点三种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：∵ܣㄹ,2 ,ሻ−1,ㄹ，
∴ܱܣ= 2，ܱሻ= 1，
∵סܣܱሻ= סܣܱܥ= סሻܣܥ= ͻㄹι，
∴סܣሻܱ
+ סሻܣܱ
= ͻㄹι，סሻܣܱ
+ סܱܣܥ= ͻㄹι，
∴סܣሻܱ
= סܥܣܱ，
∴ᇞܣܱሻ׾ᇞܥܱܣ，
∴ܱ
ܣܱ
ܥ=ܱ
ሻܱ
ܣ，即
2ܱ
ܥ=
1
2，解得ܱ
ܥ= Ͷ，
∴点ܥ的坐标为Ͷ,ㄹ，
设过ܣ、ሻ、C 三点的抛物线的解析式为ݕ= 线ݔ+ 1
ݔ−Ͷ ，
将ܣㄹ,2 代入，得2 = 线ㄹ+ 1
ㄹ−Ͷ ，解得线=−
1
2，
∴过ܣ、ሻ、C 三点的抛物线的解析式为ݕ=−
1
2 ݔ+ 1
ݔ−Ͷ ，
即ݕ=−
1
2 ݔ2 +
͵
2 ݔ+ 2；
（2）解：过点ܲ
作ݔ轴的垂线，垂足为点ܪ，
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∵点ܲ݉
,䁠在ݕ=−
1
2 ݔ2 +
͵
2 ݔ+ 2 上，
∴ܲ݉
, −
1
2݉
2 +
͵
2݉
+ 2 ，
∴S梯形ܣܱܪܲ=
1
2 2 −
1
2݉
2 +
͵
2݉
+ 2 ڄ݉
=−
1
Ͷ݉
͵ +
͵
Ͷ݉
2 + 2݉
，ܵ
ᇞܲܪܥ=
1
2 Ͷ −݉
−
1
2݉
2 +
͵
2݉
+ 2 =
1
Ͷ݉
͵ −
͹
Ͷ݉
2 + 2݉
+ Ͷ，ܵ
ᇞܣܱܥ=
1
2 ൈͶ ൈ2 = Ͷ，
∴ܵ
=ܵ
梯形ܣܱܪܲ+ܵ
ᇞܲܪܥ−ܵ
ᇞܣܱܥ
=−
1
Ͷ݉
͵ +
͵
Ͷ݉
2 + 2݉
+
1
Ͷ݉
͵ −
͹
Ͷ݉
2 + 2݉
+ Ͷ −Ͷ =−݉
2 + Ͷ݉
，
∵ܵ
=−݉
2 + Ͷ݉
=−݉
−2 2 + Ͷ，
∴当݉
= 2 时，ܵ最大，
当݉
= 2 时，䁠=−
1
2 ൈ22 +
͵
2 ൈ2 + 2 = ͵，
∴点ܲ
的坐标为2,͵ ；
（3）解：存在．
∵ݕ=−
1
2 ݔ2 +
͵
2 ݔ+ 2 =−
1
2 ݔ−
͵
2
2
+
2ͷ
ͺ ，
∴抛物线的对称轴为直线ݔ=
͵
2；
设点ܯ
͵
2 ,ℎ，
∵ܥͶ,ㄹ，ܲ
2,͵ ，
∴ܲܥ2 = Ͷ −2 2 + ͵2 = 1͵，ܲ
ܯ2 = 2 −
͵
2
2
+ ͵ −ℎ2 = ℎ2 −͸ℎ+
͵͹
Ͷ ，
ܥܯ2 = Ͷ −
͵
2
2
+ ℎ2 = ℎ2 +
2ͷ
Ͷ ．
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分三种情况讨论：
①当点ܯ是顶点时，ܲܯ2 = ܥܯ2，即ℎ2 −͸ℎ+
͵͹
Ͷ = ℎ2 +
2ͷ
Ͷ ，解得，ℎ=
1
2．∴ܯ1
͵
2 ,
1
2 ，
②当点ܥ是顶点时，ܲܥ2 = ܥܯ2，即1͵ = ℎ2 +
2ͷ
Ͷ ，解得，ℎ=േ
͵
2
͵．∴ܯ2
͵
2 ,
͵
2
͵ ，ܯ͵
͵
2 , −
͵
2
͵ ，
③当点ܲ
是顶点时，ܲܥ2 =ܲ
ܯ2，即1͵ = ℎ2 −͸ℎ+
͵͹
Ͷ ，解得，ℎ= ͵ േ
ͷ1
2 ．
∴ܯͶ
͵
2 ,͵ +
ͷ1
2
，ܯͷ
͵
2 ,͵ −
ͷ1
2
，
综上所述，当点ܯ的坐标为
͵
2 ,
1
2 或
͵
2 ,
͵
2
͵ 或
͵
2 , −
͵
2
͵ 或
͵
2 ,͵ +
ͷ1
2
或
͵
2 ,͵ −
ͷ1
2
时，ᇞܯܲܥ为等腰三角
形．
重难点五特殊平行四边形的存在性问题
1.平行四边形核心使用中点公式xA+xC
2
=
xB+xD
2
，
yA+yC
2
=
yB+yD
2
，分三条线段分别作对角线分类计算动点；
2.矩形在平行四边形基础上加邻边垂直勾股条件，菱形增加邻边长度相等限制，正方形同时满足垂直、
邻边相等双重条件。
1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线ݕ= ݔ2 −香ݔ−ܿ
经过点ܣ(͵,ㄹ),ሻ(ㄹ, −Ͷ)．
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(1)求抛物线的表达式；
(2)M 是抛物线上一点，过点M 作y 轴的平行线交直线ܣሻ于点N，是否存在以ܯ,ܰ,ܱ,ሻ为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)ݕ= ݔ2 −
ͷ
͵ ݔ−Ͷ；
(2)存在．当点M 的坐标为Ͷ,
1͸
͵ 或−1, −
Ͷ
͵ 时，以ܯ,ܰ,ܱ,ሻ为顶点的四边形是平行四边形
【详解】（1）解：׶抛物线过点ܣ(͵,ㄹ),ሻ(ㄹ, −Ͷ)，
׵ ㄹ= ͻ −͵香−ܿ
−Ͷ =−ܿ
，
解得香=
ͷ
͵ܿ
= Ͷ
，
׵抛物线的表达式为ݕ= ݔ2 −
ͷ
͵ ݔ−Ͷ；
（2）解：存在．设点ܯ݉
,݉
2 −
ͷ
͵݉
−Ͷ ，
׶ ܣ(͵,ㄹ),ሻ(ㄹ, −Ͷ)，
׵ܱ
ሻ= Ͷ，
设直线ܣሻǣݕ= 䁠1ݔ+ 香1，
∴͵䁠1 + 香1 = ㄹ
香1 =−Ͷ
解得：
䁠1 =
Ͷ
͵
香1 =−Ͷ
∴直线ܣሻ的函数表达式为ݕ=
Ͷ
͵ ݔ−Ͷ，
׶ ܯܰ
∥ݕ轴，如答案图所示，
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׵ܰ݉
,
Ͷ
͵݉
−Ͷ ，
׶ ሻܱ
∥ܯܰ，
∴要使以ܯ,ܰ,ܱ,ሻ为顶点的四边形是平行四边形，只需使ܯܰ
=ܱ
ሻ即可，
当点M 在第一、二，三象限时，ܯܰ
=݉
2 −
ͷ
͵݉
−Ͷ −
Ͷ
͵݉
−Ͷ =݉
2 −͵݉
=ܱ
ሻ= Ͷ，
解得：݉
1 = Ͷ,݉
2 =−1；
׶当݉
= Ͷ 时，ݕ= Ͷ2 −
2ㄹ
͵ −Ͷ =
1͸
͵ ；
当݉
=−1 时，ݕ= 1 +
ͷ
͵ −Ͷ =−
Ͷ
͵，
׵ ܯ1 Ͷ,
1͸
͵
,ܯ2 −1, −
Ͷ
͵ ；
当点M 在第四象限时，ܯܰ
=
Ͷ
͵݉
−Ͷ −݉
2 −
ͷ
͵݉
−Ͷ =−݉
2 + ͵݉
=ܱ
ሻ= Ͷ，此时m 无实数解．
׵综上所述，当点M 的坐标为Ͷ,
1͸
͵ 或−1, −
Ͷ
͵ 时，以ܯ,ܰ,ܱ,ሻ为顶点的四边形是平行四边形．
2．如图，在平面直角坐标系ݔܱݕ中，二次函数ݕ= ݔ2 + 香ݔ+ܿ
的图象与x 轴交于A，B 两点，A 点在原点
的左侧，B 点的坐标为͵,ㄹ，与y 轴交于点ܥㄹ, −͵ ，点P 是直线ሻܥ下方的抛物线上一动点．
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(1)求这个二次函数的表达式；
(2)连接ܱܲ
,ܲܥ，并把ᇞܱܲ
ܥ沿ܥܱ
翻折，得到四边形ܱܲܲ
Ԣܥ，那么是否存在点P，使四边形ܱܲܲ
Ԣܥ为菱形？
若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为：ݕ= ݔ2 −2ݔ−͵
(2)存在，
2+ 1ㄹ
2
, −
͵
2
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数动点与菱形的存在性的问题．
（1）把B、C 点坐标代入二次函数解析式即可解出．
（2）若四边形ܱܲܲ
Ԣܥ是菱形，ܲܲ
Ԣ和ܱ
ܥ相互垂直，P 点纵坐标是−
͵
2，代入二次函数表达式即可解得．
【详解】（1）解：将点B、C 的坐标代入ݕ= ݔ2 + 香ݔ+ܿ
中，得：
ͻ + ͵香+ܿ
= ㄹܿ
=−͵
，
解得：香=−2,ܿ=−͵；
∴抛物线：ݕ= ݔ2 −2ݔ−͵．
（2）解：存在．理由如下：
作ܱ
ܥ的垂直平分线交直线ሻܥ下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，
则ܱܲ
=ܲ
ܥ．
∵ᇞܱܲ
ܥ沿ܥܱ
翻折，得到四边形ܱܲܲ
Ԣܥ，
∴ܱܲ
Ԣ =ܱܲ
,ܥܲ
Ԣ = ܥܲ，
∴ܱܲ
Ԣ =ܱܲ
= ܥܲ
Ԣ = ܥܲ，
∴四边形ܱܲܲ
Ԣܥ为菱形．
∵ܥㄹ, −͵ ，
∴点E 的坐标为ㄹ, −
͵
2 ，
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∴点P 的纵坐标为−
͵
2，
把ݕ=−
͵
2代入ݕ= ݔ2 −2ݔ−͵ 得ݔ2 −2ݔ−͵ =−
͵
2，解得ݔ=
2േ1ㄹ
2
．
∵点P 在直线ሻܥ下方的抛物线上，
∴ݔ=
2+ 1ㄹ
2
，
∴满足条件的点P 的坐标为
2+ 1ㄹ
2
, −
͵
2 ．
3．如图，已知抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
过ܣ͵,͵͵ͷ 、ሻͶ,2 、ܥㄹ,2 三点，点P 是x 轴上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲所示，连接ܣܥ、ܥܲ、ܲሻ、ሻܣ，是否存在点P，使四边形ܣሻܲܥ为等腰梯形？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点H 是题中抛物线对称轴l 上的动点，如图乙所示，求四边形ܣܪܲሻ周长的最小值．
【答案】(1)ݕ=−
1
2 ݔ2 + 2ݔ+ 2
(2)不存在，理由见解析
(3)
1͵+ 1ͷ͹
2
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
过ܣ͵,͵͵ͷ 、ሻͶ,2 、ܥㄹ,2 三点，得ܣܥ=
͵ ͷ
2 ，ܣሻ=
1͵
2 ，再分两种情况
进行讨论解答即可；
（3）过点A 作抛物线对称轴的对称点ܣԢ，过点B 作x 轴的对称点ሻԢ，连接ܣԢሻԢ，分别交抛物线对称轴和x
轴于点H 和点P，则这两点即为所求，得到ܣሻ+ ܣܪ+ܲ
ܪ+ܲ
ሻ= ܣሻ+ ܣԢܪ+ܲ
ܪ+ܲ
ሻԢ = ܣሻ+ ܣԢሻԢ，进
一步求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
过ܣ͵,͵͵ͷ 、ሻͶ,2 、ܥㄹ,2 三点，
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∴
ͻ线+ ͵香+ܿ
= ͵͵ͷ
1͸线+ Ͷ香+ܿ
= 2ܿ
= 2
解得
线=−
1
2
香= 2ܿ
= 2
∴抛物线的解析式为ݕ=−
1
2 ݔ2 + 2ݔ+ 2；
（2）不存在，理由如下：
∵抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
过ܣ͵,͵͵ͷ 、ሻͶ,2 、ܥㄹ,2 三点，
∴ܣܥ=
͵ −ㄹ2 + ͵͵ͷ −2 2 =
͵ ͷ
2 ，ܣሻ=
͵ −Ͷ 2 + ͵͵ͷ −2 2 =
1͵
2 ，
①若ܲ
ܥ∥ܣሻ，过点B 作ሻܧ∥ݔ，过点A 作ܣܧ∥ݕ轴，交点为点E，
∴ܣܧ= 1͵ͷ,ሻܧ= 1,
当ܱ
ܥ
ܣܧ=ܱܲሻܧ时，ܣሻ∥ܲ
ܥ
∴
2
1͵ͷ =ܱܲ1
∴ܱܲ
=
Ͷ
͵，
∴点P 的坐标为
Ͷ
͵ ,ㄹ；
∴ሻܲ
=
1ㄹ
͵
∴ܣ്ܲ
ሻܥ
∴此点不符合要求，舍去，
②若ܲ
ሻ∥ܣܥ，过点A 作ܣܧ∥ݕ轴，过点C 作ܥܧ∥ݔ轴，交点为点E，过点B 作ሻܨ∥ݕ轴，
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当
ܣܧ
ሻܨ=
ܥܧܲ
ܨ时，ܲሻ∥ܣܥ，
∴
1͵ͷ
͵ =
2ܲ
ܨ
∴ܲܨ= Ͷ，
∴点P 与点O 重合；
∴ܲܥ= 2്
ܣሻ
∴此点不符合要求，舍去；
（3）过点A 作抛物线对称轴的对称点ܣԢ，过点B 作x 轴的对称点ሻԢ，连接ܣԢሻԢ，分别交抛物线对称轴和x
轴于点H 和点P，则这两点即为所求，
∴ܣܪ= ܣԢܪ，ܲሻ=ܲ
ሻԢ
∴ܣሻ+ ܣܪ+ܲ
ܪ+ܲ
ሻ= ܣሻ+ ܣԢܪ+ܲ
ܪ+ܲ
ሻԢ = ܣሻ+ ܣԢሻԢ
∵抛物线ݕ=−
1
2 ݔ2 + 2ݔ+ 2 的对称轴为ݔ= 2，ܣ͵,͵͵ͷ 、ሻͶ,2 ，
∴ܣԢ 1,͵͵ͷ 、ሻԢ Ͷ, −2 ，
∴ܣሻ=
͵ −Ͷ 2 + ͵͵ͷ −2 2 =
1͵
2 ，ܣԢሻԢ =
1 −Ͷ 2 + ͵͵ͷ + 2 2 =
1ͷ͹
2
∴四边形ܣܪܲሻ周长的最小值为
1͵+ 1ͷ͹
2
4．如图，抛物线ݕ= ݔ2 +ܿ
与直线ݕ= 䁠ݔ交于A，B 两点，与y 轴交于点C，已知B 点的坐标是2,2 ．
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(1)求直线ܣሻ及抛物线的解析式．
(2)求ᇞܣሻܥ的面积．
(3)点P 在抛物线上，点Q 在直线ܣሻ上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M 为顶点的四边
形是正方形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)直线ܣሻ的解析式为ݕ= ݔ，抛物线的解析式是ݕ= ݔ2 −2；(2)3
(3)ܯ1 1, −1 ,ܯ2 ㄹ, −2 ,ܯ͵ −1,1 ,ܯͶ −1, −͵
【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关
知识是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据题意得出，ܱܥ= 2，连接ܣܥ、ሻܥ，然后结合图形得出ܵᇞܣሻܥ=ܵ
ᇞܣܱܥ+ܵ
ᇞሻܱܥ即可求解；
（3）分ܣܳ
是正方形的边和ܣܳ
是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵直线ݕ= 䁠ݔ与抛物线ݕ= ݔ2 +ܿ
交于点ሻ2,2
∴2䁠= 2，Ͷ +ܿ
= 2，
∴䁠= 1，ܿ=−2
∴直线ܣሻ的解析式为ݕ= ݔ，抛物线的解析式是ݕ= ݔ2 −2；
（2）解：联立方程组
ݕ= ݔ
ݕ= ݔ2 −2 ，
解得ݔ= 2
ݕ= 2 或ݔ=−1
ݕ=−1 ，
∴点A 的坐标是−1, −1 ，
当ݔ= ㄹ时，ݕ= ݔ2 −2 =−2，
∴点C 的坐标是ㄹ, −2 ，
∴ܱܥ= 2，
连接ܣܥ、ሻܥ，如图所示：
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∴ܵᇞܣሻܥ=ܵ
ᇞܣܱܥ+ܵ
ᇞሻܱܥ=
1
2ܱ
ܥൈݔܣ+
1
2ܱ
ܥൈݔሻ=
1
2 ൈ2 ൈ(1 + 2) = ͵；
（3）解：当ܣܳ
是正方形的边时，ܲܳ
为对角线，连接ܣܯ，如图所示：
此时M 点与A 点关于y 轴对称，点Q 与点O 重合，点P 与点Q 关于ܣܯ对称，
∴ܯ1, −1 ，ܲ
ㄹ, −2 ，
∴ܣ−1, −1 ，ܯ1, −1 ，ܲ
ㄹ, −2 ,ܳ(ㄹ,ㄹ)，
∴当ܲ
ㄹ, −2 ，ܯ1, −1 时，四边形ܣܲܯܳ
为正方形；
同理，当点M 与顶点C 重合，点Q 与点O 重合时，如图所示：
∴当ܲ
1, −1 ，ܯㄹ, −2 时，四边形ܣܲܯܳ
为正方形；
当ܣܳ
是正方形的边时，ܲܳ
为对角线，连接ܣܯ，如图所示：作点A 关于ܲܳ
的对称点M，
∴ܯ−1, −͵ ，ܳ
−2, −2 ,ܲ(ㄹ, −2)，
∴当ܲ
ㄹ, −2 ，ܯ−1, −͵ 时，，四边形ܣܲܯܳ
为正方形；
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如图，当ܣܳ
是正方形的对角线时，如图所示：
∴点P 的纵坐标为−1
∴ܲ
1, −1
∴ܣܲ
= 2
∵ܣܯ٣ ܣܲ
∴ܯ−1,1
综上所述：M 点坐标为ܯ1 1, −1 ,ܯ2 ㄹ, −2 ,ܯ͵ −1,1 ,ܯͶ −1, −͵ ．
5．我们约定：若关于x 的二次函数ݕ1 = 线1ݔ2 + 香1ݔ+ܿ
1与ݕ2 = 线2ݔ2 + 香2ݔ+ܿ
2同时满足线1്
ㄹ，线2്
ㄹ，|线1 +
线2| +
香1 −香2 +ܿ
1 +ܿ
2 2 = ㄹ，则称函数y1 与y2 互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)求二次函数ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͵ 的“回旋”函数的解析式；
(2)若关于x的二次函数ݕ= 线ݔ2 + 2线ݔ+ܿ
的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当ܿ线൑ݔ൑
线−ܿ
线时，−Ͷ ൑ݕ2 ൑Ͷ，
求a，c 的值；
(3)关于x 的函数ݕ1 = 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
线㘠ㄹ的图象顶点为M，与x 轴的交点为A、B，当它的“回旋”函数ݕ2的
顶点为N，与x 轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若ܣܥ= ͵ሻܥ，是否存在b 使得ܣܯܦܰ
为矩形？
【答案】(1)二次函数ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͵ 的“回旋”函数的解析式为ݕ=−ݔ2 −Ͷݔ−͵；
(2)线= 2，ܿ=−2 或线=−2，ܿ= 2；
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(3)存在香=−͸ 使得ܣܯܦܰ
为矩形．
【分析】（1）由新定义即可求解；
（2）求出新函数的表达式为：ݕ2 =−线(ݔ−1)2 + 2线，得到−1 ൑ݔ൑2 时，−Ͷ ൑ݕ2 ൑Ͷ，再分类求解即
可；
（3）证明ܰ
ܪ2 = ܣܪڄ ܦܪ，即可求解．
【详解】（1）解：∵线1 + 线2 +
香1 −香2 +ܿ
1 +ܿ
2
2 = ㄹ，
∴线1 =−线2，香1 = 香2，ܿ1 =−ܿ
2，
∴二次函数ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͵ 的“回旋”函数的解析式为ݕ=−ݔ2 −Ͷݔ−͵．
（2）解：ݕ1 = 线ݔ2 + 2线ݔ+ܿ
的“回旋”函数为：ݕ2 =−线ݔ2 + 2线ݔ−ܿ，
由ݕ1 = 线ݔ2 + 2线ݔ+ܿ
= 线ݔ+ 1 2 +ܿ
−线知，其顶点坐标为−1,ܿ−线，
将该点代入ݕ2 =−线ݔ2 + 2线ݔ−ܿ
得ܿ
−线=−线−2线−ܿ，
解得线=−ܿ，
则函数的表达式为ݕ2 =−线(ݔ−1)2 + 2线，
即−1 ൑ݔ൑2 时，−Ͷ ൑ݕ2 ൑Ͷ，
当线㘠ㄹ时，
当ݔ= 1 时，ݕ2 =−线(ݔ−1)2 + 2线= 2线= Ͷ，
解得线= 2，则ܿ
=−2；
当线t ㄹ时，
当ݔ= 1 时，ݕ2 =−线(ݔ−1)2 + 2线= 2线=−Ͷ，
解得线=−2，则ܿ
= 2；
综上，线= 2，ܿ=−2 或线=−2，ܿ= 2．
（3）解：如下图：
设点ܣ、ሻ、ܥ、ܦ的横坐标分别为：ݔ1，ݔ2，ݔ͵，ݔͶ，Δ = 香2 −Ͷ线ܿ，
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∴点ܯ的坐标为：−
香
2线,
−Δ
Ͷ线且ݔ1 =
−香+ Δ
2线，ݔ2 =
−香−Δ
2线，点ܰ
的坐标为：
香
2线,
Δ
Ͷ线
且ݔ͵ =
香+ Δ
2线，ݔͶ =
香−Δ
2线，
∴ܣܥ= ݔ1 −ݔ͵ =−
香
线，ሻܥ= ݔ2 −ݔ͵ =
−香−Δ
线
=
1
͵ ܣܥ=
1
͵ ൈ−
香
线=−
香
͵线
∴Δ =−
2香
͵ ，
∵四边形ܣܯܦܰ
为矩形，
∴סܣܰܦ= ͻㄹι，
设左侧抛物线的对称轴交ݔ轴于点ܪ，
∵סܣܰܪ+ סܦܰܪ= ͻㄹι，סܰܦܪ+ סܦܰܪ= ͻㄹι，
∴סܣܰܪ= סܰܦܪ．
在Rt ᇞܣܦܰ
中，tanסܰܦܪ=ܰ
ܪ
ܦܪ= tanסܣܰܪ=
ܣܪܰ
ܪ，
∴ܰܪ2 = ܣܪڄ ܦܪ，
∵ܪܰ
=
Δ
Ͷ线，
∴ܣܪ=
−香+ Δ
2线
−
香
2线=
−2香+ Δ
2线
同理：ܦܪ=
Δ
2线，
∴
Δ
Ͷ线
2
=
−2香+ Δ
2线
ൈ
Δ
2线，
即
−2香
͵
Ͷ线
2
=
−2香−2香
͵
2线
ൈ
−2香
͵
2线，
解得香= ͸（不合题意，舍去）或香= ㄹ（不合题意，舍去）或−͸，
∴存在香=−͸ 使得ܣܯܦܰ
为矩形．
6．已知抛物线ݕ= 线ݔ2 + 2ݔ+ܿ
与ݔ轴交于点ܣ,ሻ2,ㄹ（点ܣ在点ሻ的左侧），与ݕ轴交于点ܥ，对称轴
是直线ݔ=
1
2 ,ܲ
是第一象限内抛物线上一个动点，过点ܲ
作ܲ
ܪ٣ ݔ轴于点ܪ，与线段ሻܥ交于点ܯ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当ᇞܲ
ܯܥ是以ܯܥ为底边的等腰三角形时．
（i）求线段ܲ
ܯ的长；
（ii）已知ܳ
是直线ܲ
ܥ上一点，直线ܲ
ܯ上是否存在一点ܭ，使得以ܳ
,ܯ,ܥ,ܭ为顶点的四边形是矩形？若
存在，求出点ܭ的坐标；若不存在，请说明理由．
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【答案】(1)ݕ=−2ݔ2 + 2ݔ+ Ͷ (2)（i）ܲܯ=
ͷͷ
͵2；（ii）存在，点ܭ的坐标为
11
ͺ ,
͹ͷ
1͸
【分析】（1）根据对称轴直线得到线=−2，把点ሻ2,ㄹ代入，运用待定系数法即可求解；
（2）（i）根据题意，运用待定系数法可得直线ሻܥ的解析式为ݕ=−2ݔ+ Ͷ，设ܲ݉
, −2݉
2 + 2݉
+ Ͷ
ㄹt݉
t 2 ，则ܯ(݉
, −2݉
+ Ͷ)，ܲܯ=−2݉
2 + Ͷ݉
，根据等腰三角形的定义得到ܲ
ܯ=ܲ
ܥ=−2݉
2 + Ͷ݉
，
如图，过点ܥ作ܥܧ٣ܲ
ܪ，则ܥܧ=݉
，在Rt ᇞܥܧܲ
中，由勾股定理得−2݉
2 + Ͷ݉
2 =݉
2 + 2݉
2 −2݉
2，
由此即可求解；
（ii）由（i）可知，ܲ
11
ͺ ,
ͻͷ
͵2 ,ܯ
11
ͺ ,
ͷ
Ͷ ，可得直线ܲ
ܥ的解析式ݕ=−
͵
Ͷ ݔ+ Ͷ，设ܭ
11
ͺ ,䁠,ܳ
ݍ, −
͵
Ͷ ݍ+ Ͷ ，若四边形ܥܯܳܭ为矩形，ܥܯ∥ܭܳ,ܥܯ= ܭܳ,ܭܥ٣ ܥܯ，根据点ܥ先向右平移
11
ͺ 个单位长度，再向
下平移
11
Ͷ 个单位长度，得到点ܯ，将点ܭ先向右平移
11
ͺ 个单位长度，再向下平移
11
Ͷ 个单位长度，得到点ܳ
，
由此即可求解．
【详解】（1）解：׶抛物线的对称轴为直线ݔ=
1
2，
׵−
2
2线=
1
2，
解得线=−2，
׶ ሻ2,ㄹ，
׵−2 ൈ22 + 2 ൈ2 +ܿ
= ㄹ，
׵ܿ
= Ͷ，
׵抛物线的解析式为ݕ=−2ݔ2 + 2ݔ+ Ͷ．
（2）解：（i）设直线ሻܥ的解析式为ݕ= 䁠ݔ+ Ͷ，将点ሻ代入，得䁠=−2，
׵直线ሻܥ的解析式为ݕ=−2ݔ+ Ͷ，
设ܲ݉
, −2݉
2 + 2݉
+ Ͷ
ㄹt݉
t 2 ，则ܯ(݉
, −2݉
+ Ͷ)，
׵ܲ
ܯ=−2݉
2 + 2݉
+ Ͷ + 2݉
−Ͷ =−2݉
2 + Ͷ݉
，
由题意知ܲ
ܯ=ܲ
ܥ=−2݉
2 + Ͷ݉
，
如图，过点ܥ作ܥܧ٣ܲ
ܪ，则ܥܧ=݉
，
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׵ܲ
ܧ= ܧܪ−ܲ
ܪ= Ͷ + 2݉
2 −2݉
−Ͷ = 2݉
2 −2݉
，
在Rt ᇞܥܧܲ
中，由勾股定理得−2݉
2 + Ͷ݉
2 =݉
2 + 2݉
2 −2݉
2，
解得݉
1 = ㄹ（舍去），݉
2 =
11
ͺ ，
׵ܲ
ܯ=−2 ൈ
11
ͺ
2
+ Ͷ ൈ
11
ͺ =
ͷͷ
͵2；
（ii）由（i）可知，ܲ
11
ͺ ,
ͻͷ
͵2 ,ܯ
11
ͺ ,
ͷ
Ͷ ，
设直线ܲ
ܥ的解析式为ݕ= 䁠1ݔ+ Ͷ，
将ܲ
11
ͺ ,
ͻͷ
͵2 代入得䁠1 =−
͵
Ͷ，
׵ ݕ=−
͵
Ͷ ݔ+ Ͷ，
设ܭ
11
ͺ ,䁠,ܳ
ݍ, −
͵
Ͷ ݍ+ Ͷ ，
若以ܳ
,ܯ,ܥ,ܭ为顶点的四边形是矩形，如图所示，
∴四边形ܥܯܳܭ为矩形，
׵ ܥܯ∥ܭܳ,ܥܯ= ܭܳ,ܭܥ٣ ܥܯ，
׶点ܥ先向右平移
11
ͺ 个单位长度，再向下平移
11
Ͷ 个单位长度，得到点ܯ，
׵将点ܭ先向右平移
11
ͺ 个单位长度，再向下平移
11
Ͷ 个单位长度，得到点ܳ
，
׵ ݍ=
11
ͺ +
11
ͺ =
11
Ͷ ，
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׵−
͵
Ͷ ݍ+ Ͷ =−
͵
Ͷ ൈ
11
Ͷ + Ͷ =
͵1
1͸，
׵ 䁠=
͵1
1͸ +
11
Ͷ =
͹ͷ
1͸，
׵ ܭ
11
ͺ ,
͹ͷ
1͸ ，
׵ ܥܭ2 =
11
ͺ
2
+
͹ͷ
1͸ −Ͷ
2
=
͸ㄹͷ
2ͷ͸ ,ܥܯ2 =
11
ͺ
2
+
ͷ
Ͷ −Ͷ
2
=
͸ㄹͷ
͸Ͷ ，
ܭܯ2 =
͹ͷ
1͸ −
ͷ
Ͷ
2
=
͵ㄹ2ͷ
2ͷ͸ ，
׵ ܥܭ2 + ܥܯ2 = ܭܯ2，
׵ סܭܥܯ= ͻㄹל，
则四边形ܥܯܳܭ为矩形，满足题意，
׵点ܭ的坐标为
11
ͺ ,
͹ͷ
1͸ ．
重难点六二次函数与相似三角形
1.先算出定三角形边长与比例，无规定对应顶点时必须分两组对应关系讨论，根据相似比例
AB
A1B1 =
BC
B1C1 =
AC
A1C1列分式方程；
2.设动点坐标代入求解，最后检验坐标是否符合图像位置，剔除不合理解。
1．已知抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ−Ͷ 经过点ܣ−2,ㄹ，ሻͶ,ㄹ，与ݕ轴的交点为ܥ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点ܲ
是该抛物线上一点，且位于其对称轴݈
的右侧，过点ܲ
分别作݈，ݔ轴的垂线，垂足分别为ܯ，ܰ，
连接ܯܰ．若ᇞܲ
ܯܰ
和ᇞܱ
ሻܥ相似，求点ܲ
的坐标．
【答案】(1)ݕ=
1
2 ݔ2 −ݔ−Ͷ
(2)坐标为
1ㄹ+ 2, 1ㄹ+ 1 或
1ㄹ,1 −
1ㄹ
【分析】（1）运用待定系数法解题即可；
（2）先确定ᇞܲ
ܯܰ
的形状是等腰直角三角形，根据相似可知ᇞܲ
ܯܰ
是等腰直角三角形，设ܲ
(݉
,
1
2݉
2 −݉
−
Ͷ)，根据ܲ
ܯ=ܲܰ
解题即可．
【详解】（1）把ܣ( −2,ㄹ)，ሻ(Ͷ,ㄹ)代入ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ−Ͷ 得：
Ͷ线−2香−Ͷ = ㄹ
1͸线+ Ͷ香−Ͷ = ㄹ，
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解得
线=
1
2
香=−1
，
׵抛物线的函数表达式为ݕ=
1
2 ݔ2 −ݔ−Ͷ；
（2）如图：
׶ ݕ=
1
2 ݔ2 −ݔ−Ͷ =
1
2 ݔ−1 2 −
ͻ
2，
׵抛物线ݕ=
1
2 ݔ2 −ݔ−Ͷ 的对称轴是直线ݔ= 1，
在ݕ=
1
2 ݔ2 −ݔ−Ͷ 中，令ݔ= ㄹ得ݕ=−Ͷ，
׵ ܥ(ㄹ, −Ͷ)，
׵ܱ
ሻ=ܱ
ܥ= Ͷ，
׵ᇞሻܱܥ是等腰直角三角形，
׶ᇞܲ
ܯܰ
和ᇞܱ
ሻܥ相似，
׵ᇞܲ
ܯܰ
是等腰直角三角形，
׶ܲ
ܯ٣直线ݔ= 1，ܲܰ
٣ ݔ轴，
׵ סܯܲܰ
= ͻㄹι，ܲܯ=ܲܰ
，
设ܲ
(݉
,
1
2݉
2 −݉
−Ͷ)，
׵݉
−1 =
1
2݉
2 −݉
−Ͷ ，
׵݉
−1 =
1
2݉
2 −݉
−Ͷ 或݉
−1 =−
1
2݉
2 +݉
+ Ͷ，
解得݉
=
1ㄹ+ 2 或݉
=−
1ㄹ+ 2 或݉
=
1ㄹ或݉
=−
1ㄹ，
׶点ܲ
是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线ݔ= 1 的右侧，
׵ܲ
的坐标为
1ㄹ+ 2, 1ㄹ+ 1 或
1ㄹ,1 −
1ㄹ．
2．如图①，二次函数ݕ=−
1
ͺ ݔ2 +
1
Ͷ ݔ+ ͵ 的图象交x 轴于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C
点，连接ܣܥ，过点C 作ܥܦ٣ ܣܥ交ܣሻ于点D．
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(1)求点D 的坐标；
(2)如图②，在直线ሻܥ上取一点M（不与点B 重合），在直线ܥܦ的右上方是否存在这样的点N，使得以C、
M、N 为顶点的三角形与ᇞሻܥܦ全等？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)ܦ
ͻ
Ͷ ,ㄹ；(2)存在，满足要求的N 点坐标有
͵ ͷ
2 ,
12+͵ ͷ
Ͷ
，͵ ͷ,͵ ，−
͵ ͷ
1ㄹ,
͸ㄹ+͵͵ ͷ
2ㄹ
．
【分析】（1）根据二次函数图象的与坐标轴交点的计算方法，分别求出ܣ，ሻ，ܥ的坐标，根据题意，可证
ᇞܣܱܥ׾ ᇞܥܱܦ，可得ܱ
ܥ2 =ܱ
ܣڄܱ
ܦ，由此即可求解；
（2）根据题意，运用勾股定理求出ܦܥ，ܦሻ，ሻܥ的值，可得ᇞܦሻܥ是等腰三角形，结合图形，分类讨论：
①如图所示，ᇞܥܯܰ، ᇞܦܥሻ，可证ᇞܥܭܰ׾ ᇞܥܱሻ，即可求解；②如图所示，ᇞܯܥܰ، ᇞܦሻܥ，根据平
行线，等腰三角形的性质即可求解；③如图所示，ᇞܥܯܰ، ᇞܦሻܥ，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：令ݔ= ㄹ，则ݕ= ͵，
∴ܥㄹ,͵ ，
∴ܱܥ= ͵．
令ݕ= ㄹ，则−
1
ͺ ݔ2 +
1
Ͷ ݔ+ ͵ = ㄹ，
解得ݔ1 =−Ͷ，ݔ2 = ͸，
∴ܣ−Ͷ，ㄹ，ሻ͸,ㄹ，
∴ܱܣ= Ͷ，ܱሻ= ͸．
∵ܥܦ٣ ܣܥ，
∴סܣܥܦ=ͻㄹι，
∵ܥܱ
٣ ܣܦ，
∴ᇞܣܱܥ׾ ᇞܥܱܦ，
∴ܱ
ܣܱ
ܥ=ܱ
ܥܱ
ܦ，即ܱ
ܥ2 =ܱ
ܣڄܱ
ܦ，
∴͵2 = Ͷܱܦ，
∴ܱܦ=
ͻ
Ͷ，
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∴ܦ
ͻ
Ͷ ,ㄹ；
（2）解：存在，理由如下，
∵ሻ͸,ㄹ，ܥㄹ,͵ ，ܦ
ͻ
Ͷ ,ㄹ，
∴ܥܦ=
ͻ
Ͷ
2
+ ͵2 =
1ͷ
Ͷ ，ሻܥ=
͸2 + ͵2 = ͵ ͷ，则ሻܦ=ܱ
ሻ−ܱ
ܦ= ͸ −
ͻ
Ͷ =
1ͷ
Ͷ ，
∴ܦܥ= ܦሻ，
∴סܦܥሻ= סܦሻܥ．
①如图所示，ᇞܥܯܰ، ᇞܦܥሻ，ܯܰ
交ݕ轴于ܭ，
则ܥܯ= ܥܰ
= ܦܥ= ܦሻ=
1ͷ
Ͷ ，ܯܰ
= ሻܥ= ͵ ͷ，סܥܯܰ
= סܥܰܯ= סܦሻܥ= סܦܥሻ，
∴ܯܰ
∥ܣሻ，
∴ܯܰ
٣ ݕ轴，
∴סܥܭܰ
= סܥܱሻ= ͻㄹι，ܯܭ=ܰ
ܭ=
1
2 ܯܰ
=
͵ ͷ
2 ，
∴ᇞܥܭܰ׾ ᇞܥܱሻ，
∴
ܭܰ
ܥܭ=ܱ
ሻܱ
ܥ= 2，
∴ܥܭ=
͵ ͷ
Ͷ ，
∴ܱܭ=ܱ
ܥ+ ܥܭ=
12+͵ ͷ
Ͷ
，
∴ܰ
͵ ͷ
2 ,
12+͵ ͷ
Ͷ
；
②如图所示，ᇞܯܥܰ، ᇞܦሻܥ，
则ܥܰ
= ܥሻ= ͵ ͷ，סܯܥܰ
= סܦሻܥ，
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∴ܥܰ
∥ܣሻ，
∴ܰ
͵ ͷ,͵ ；
③如图所示，ᇞܥܯܰ، ᇞܦሻܥ，
则סܥܯܰ
= סܦሻܥ= סܦܥሻ，ܥܯ= ܥܰ
= ܦܥ= ܦሻ=
1ͷ
Ͷ ，ܯܰ
= ሻܥ= ͵ ͷ，
∴ܯܰ
∥ܥܦ，
作ܯܴ
٣ ݕ轴于ܴ
，则
ܥܴ
ܥܱ=ܴ
ܯܱ
ሻ=
ܥܯ
ܥሻ=
ͷ
Ͷ ，
∴ܥܴ
=
͵ ͷ
Ͷ ，ܴܯ=
͵ ͷ
2 ，
∴ܱܴ
= ܥܱ
−ܥܴ
= ͵ −
͵ ͷ
Ͷ ，
作ܯܳ
∥ݕ轴，ܰܳ
٣ ܯܳ
于点ܳ
，则סܰܯܳ
= סܦܥܱ，סܰܳ
ܯ= סܦܱܥ= ͻㄹι，
∴ᇞܥܱܦ׾ ᇞܯܳܰ
，
∴
ܯܳܰܳ=
ܥܱ
ܦܱ=
Ͷ
͵，
∵在Rt ᇞܯܳܰ
中，ܯܳ
2 +ܰܳ
2 = ܯܰ
2，
∴ܯܳ
=
Ͷ
ͷ ܯܰ
=
12 ͷ
ͷ ，ܰܳ
=
͵
ͷ ܯܰ
=
ͻ ͷ
ͷ ，
∴ܰܳ
−ܴ
ܯ=
͵ ͷ
1ㄹ，ܱܴ
+ ܯܳ
=
͸ㄹ+͵͵ ͷ
2ㄹ
，
∴ܰ
−
͵ ͷ
1ㄹ,
͸ㄹ+͵͵ ͷ
2ㄹ
．
综上所述，满足要求的N 点坐标有
͵ ͷ
2 ,
12+͵ ͷ
Ͷ
，͵ ͷ,͵ ，−
͵ ͷ
1ㄹ,
͸ㄹ+͵͵ ͷ
2ㄹ
．
3．如图所示，抛物线坐标轴交于ܣ、ሻ、ܥ(ㄹ,͵)，其顶点是ܦ( −1,Ͷ)．
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(1)求该抛物线的解析式；
(2)试判断ᇞሻܥܦ的形状，并说明理由；
(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C 为顶点的三角形与ᇞሻܥܦ相似？若存在，请直接写出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为ݕ=−ݔ2 −2ݔ+ ͵；
(2)ᇞሻܥܦ是直角三角形，理由见解析；
(3)坐标轴上存在点P，使得以P、A、C 为顶点的三角形与ᇞሻܥܦ相似，点P 的坐标为ㄹ,ㄹ或ㄹ, −
1
͵ 或−ͻ,ㄹ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）过点D 作ܦܨ٣ ݕ轴于点F，ᇞܥܨܦ和ᇞܥܱሻ都是等腰直角三角形，可得סሻܥܦ= ͻㄹι，即可证得结论；
（3）利用勾股定理求得ᇞሻܥܦ的三边的长，然后分点P 在x 轴和y 轴两种情况讨论，设出P 的坐标，根据
相似三角形的对应边的比相等即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为ݕ= 线ݔ+ 1 2 + Ͷ，
׵ 线+ Ͷ = ͵，
∴线=−1，
∴ݕ=−ݔ+ 1 2 + Ͷ =−ݔ2 −2ݔ+ ͵，
∴抛物线的解析式为ݕ=−ݔ2 −2ݔ+ ͵．
（2）解：ᇞሻܥܦ是直角三角形，理由如下：
过点D 作ܦܨ٣ ݕ轴于点F，
在Rt ᇞሻܱܥ中，
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∵ܱሻ= ͵，ܱܥ= ͵，
∴ܱሻ=ܱ
ܥ，
∴סܱܥሻ= Ͷͷι
∵在Rt ᇞܥܦܨ中，ܦܨ= 1，ܥܨ=ܱ
ܨ−ܱ
ܥ= Ͷ −͵ = 1，
∴ܦܨ= ܥܨ，
∴סܦܥܨ= Ͷͷι，
∴סሻܥܦ= 1ͺㄹι −סܦܥܨ−סܱܥሻ= ͻㄹι，
∴ᇞሻܥܦ为直角三角形．
（3）解：坐标轴上存在点P，使得以P、A、C 为顶点的三角形与ᇞሻܥܦ相似，理由：
由（2）知ሻܥ=
͵2 + ͵2 = ͵ 2，ܥܦ=
12 + 12 =
2，ሻܦ=
͵ 2
2 +
2
2 = 2 ͷ，
①∵
ܥܦ
ሻܥ=
2
͵ 2 =
1
͵，ܱ
ܣܱ
ܥ=
1
͵，故当P 是原点O 时，ᇞܣܥܲ
׾ᇞܦሻܥ；
②当ܣܥ是直角边时，若ܣܥ与ܥܦ是对应边，
设P 的坐标是ㄹ,线，则ܲ
ܥ= ͵ −线，
∴
ܣܥ
ܥܦ=ܲ
ܥ
ሻܦ，即
1ㄹ
2 =
͵−线
2 ͷ，
解得线=−͹，
则P 的坐标是ㄹ, −͹ ，ᇞܣܥܲ
不是直角三角形，则ᇞܣܥܲ
׾ᇞܥሻܦ不成立；
③当ܣܥ是直角边，若ܣܥ与ሻܥ是对应边时，
设P 的坐标是ㄹ,香，则ܲ
ܥ= ͵ −香，
则
ܣܥ
ሻܥ=ܲ
ܥ
ሻܦ，即
1ㄹ
͵ 2 =
͵−香
2 ͷ，
解得香=−
1
͵，故P 是ㄹ, −
1
͵ 时，ᇞܣܥܲ
׾ᇞܥሻܦ一定成立；
④当P 在x 轴上时，ܣܥ是直角边，P 一定在B 的左侧，设P 的坐标是݀
,ㄹ．
则ܣܲ
= 1 −݀
，当ܣܥ与ܥܦ是对应边时，
则
ܣܥ
ܥܦ=
ܣܲ
ሻܥ，即
1ㄹ
2 =
1−݀
͵ 2，
解得݀
= 1 −͵ 1ㄹ，此时，两个三角形不相似；
⑤当P 在x 轴上时，ܣܥ是直角边，P 一定在B 的左侧，设P 的坐标是݁
,ㄹ．
则ܣܲ
= 1 −݁，当ܣܥ与ܦܥ是对应边时，
则
ܣܥ
ܥܦ=
ܣܲ
ሻܦ，即
1ㄹ
2 =
1−݁
2 ͷ，
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解得݁
=−ͻ，符合条件．
总之，符合条件的点P 的坐标为ㄹ,ㄹ或ㄹ, −
1
͵ 或−ͻ,ㄹ．
4．如图所示，抛物线经过点ܣ−͵,ㄹ，ሻ1,ㄹ，ܥㄹ, −͵ ，它的对称轴为直线݈．
(1)求ᇞܣሻܥ的面积；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点ܲ
是该抛物线上的一个动点，过点ܲ
作直线݈
的垂线，垂足为点ܦ，点ܧ是直线݈
上的点，若以点ܲ
，
ܦ，ܧ为顶点的三角形与ᇞܣܱܥ全等，求满足条件的点ܲ
，点ܧ的坐标．
【答案】(1)ܵᇞܣሻܥ= ͸；(2)ݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵；(3)ܲ
1 2,ͷ ，ܲ
2 −Ͷ,ͷ ，ܧ1 −1,ͺ ，ܧ2 −1,2 ．
【分析】（1）求出ܣሻ、ܱܥ的长，然后利用面积公式即可求解；
（2）利用待定系数法求解析式即可；
（͵）分别解得ܣ、ሻ、ܥ的坐标，抛物线的对称轴ݔ=−1，推理出当ܲ
ܦ= ܦܧ= ͵ 时，以ܲ
，ܦ，ܧ为顶
点的三角形与ᇞܣܱܥ全等，设ܲ
ݔܲ,ݕܲ
，则ݔܲ=−1 േ͵，据此当点ܲ
在抛物线对称轴的右（或左）侧时解
答即可；
本题考查了二次函数的应用，根据题意推出两个三角形全等的条件，掌握待定系数法、二次函数的对称性
及坐标轴上点的特征，解题的关键是掌握知识点的应用与分类讨论的思想方法．
【详解】（1）解：∵ܣ−͵,ㄹ，ሻ1,ㄹ，ܥㄹ, −͵ ，
∴ܣሻ= Ͷ，ܱܥ= ͵，
∴ܵᇞܣሻܥ=
1
2 ܣሻڄܱ
ܥ=
1
2 ൈͶ ൈ͵ = ͸；
（2）解：∵ܣ−͵,ㄹ，ሻ1,ㄹ，ܥㄹ, −͵ ，
∴可设所求解析式为：ݕ= 线ݔ+ ͵
ݔ−1 ，
则−͵ = 线ㄹ+ ͵
ㄹ−1 ，解得：线= 1，
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∴ݕ= ݔ+ ͵
ݔ−1 ，
∴解析式为ݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵；
（3）解：∵抛物线：ݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵，
∴对称轴直线ݔ=−
香
2线=−
2
2ൈ1 =−1，
∴直线݈
为直线ݔ=−1，
∵ܣ( −͵,ㄹ)，ܥ(ㄹ, −͵)，
∴等腰Rt ᇞܱ
ܣܥ中，ܱܣ=ܱ
ܥ= ͵，
∵ᇞܲ
ܦܧ与ᇞܣܱܥ全等，ܲܦ٣݈，
∴ܲܦ= ܦܧ= ͵ 且点ܦ、ܧ在直线ݔ=−1 上，
设ܲ
ݔܲ,ݕܲ
，则ݔܲ=−1 േ͵，
∴当ݔܲ=−1 + ͵ = 2 时，ݕܲ= 22 + 2 ൈ2 −͵ = ͷ，即ܲ
1 2,ͷ ；
∴当ݔܲ=−1 −͵ =−Ͷ 时，ݕܲ= ( −Ͷ)2 + 2 ൈ( −Ͷ) −͵ = ͷ，即ܲ
2 −Ͷ,ͷ ；
∵ܲܦ٣݈，ݕܲ= ͷ，
∴ݕܦ= ݕ݌= ͷ，即ܦ−1,ͷ
∵ܦܧ= ͵，点ܦ，ܧ在直线ݔ=−1 上，
∴ݕܧ= ݕܦേ͵ = ͷ േ͵，
∴ܧ1 −1,ͺ ，ܧ2 −1,2 ，
∴ܲ
1 2,ͷ ，ܲ
2 −Ͷ,ͷ ，ܧ1 −1,ͺ ，ܧ2 −1,2 ．
重难点七二次函数与几何变换
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1.抛物线平移遵循左加右减、上加下减规则，顶点式y = a(x −ℎ)2 + k 仅改变ℎ、k；
2.折叠属于轴对称，折痕垂直平分对应点连线，利用中点公式验证；
3.旋转前后线段长度不变，熟记90°、180° 坐标变换规律，将变换后点坐标代入抛物线建立方程计算。
1．如图，抛物线ݕ=−ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与x 轴交于点ܣ−1,ㄹ，ሻ͵,ㄹ交ݕ轴于点ܥ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点ܲ
，使ᇞሻܥܲ
是以ሻܥ为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，
请求出点P 的坐标；
(3)若ܯ为抛物线对称轴上的一点，连接ܣܯ，ሻܯ，将ᇞܣሻܯ沿直线ܣܯ翻折得到ᇞܣሻԢܯ，若点ሻԢ恰好落
在抛物线的对称轴上，求点ܯ的坐标．
【答案】(1)ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵；(2)存在，ܲ
1+ 1͵
2
,
1+ 1͵
2
或ܲ
1−1͵
2
,
1−1͵
2
；(3)ܯ1,
2 ͵
͵
或ܯ1, −
2 ͵
͵
；
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出ሻܥ的垂直平分线为ݕ= ݔ，与二次函数联立即可求出答案；
（3）分两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线ݕ=−ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与x 轴交于点ܣ−1,ㄹ，ሻ͵,ㄹ
抛物线的表达式为：ݕ=−ݔ+ 1
ݔ−͵ =−ݔ2 + 2ݔ+ ͵；
（2）存在，理由：ᇞሻܥܲ
是以ሻܥ为底边的等腰三角形，则点P 在ሻܥ的中垂线上，
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∵ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵，
∴ܥㄹ,͵ ，而ሻ͵,ㄹ，
∴ᇞሻܥܱ
为等腰直角三角形，
∵ሻܥ的中点为
͵
2 ,
͵
2 ，
∴ሻܥ的垂直平分线为ݕ= ݔ，
∴ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵
ݕ= ݔ
，
解得：
ݔ=
1േ1͵
2
ݕ=
1േ1͵
2
，
∴ܲ
1+ 1͵
2
,
1+ 1͵
2
或ܲ
1−1͵
2
,
1−1͵
2
．
（3）∵点ܣ−1,ㄹ，ሻ͵,ㄹ，
∴ܣሻ= Ͷ，抛物线的对称轴为直线ݔ= 1，
如图，由题意得，设翻折后点ሻԢ和点B 对应，
则ܣሻ= ܣሻԢ = Ͷ，סܣሻܯ= סܣሻԢܯ= סܯܣሻ= סሻԢܣܯ，ܣܭ= ሻܭ= 2，
∴סܣሻԢܯ= ͵ㄹι = סܯܣሻ，
∴ܯܭ= ܣܭڄ tan͵ㄹι =
2 ͵
͵ ，
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∴ܯ1,
2 ͵
͵
，
当点M 在x 轴下方时，根据对称性，则点ܯ1, −
2 ͵
͵
；
故点M 的坐标为：ܯ1,
2 ͵
͵
或ܯ1, −
2 ͵
͵
．
2．抛物线ݕ= 线ݔ2 + Ͷ线ݔ线t ㄹ与ݔ轴交于ܣ，ܱ两点（点ܣ在点ܱ
左侧），点ܥ是抛物线的顶点，连接ܣܥ、
ܥܱ．
(1)求ܣ、ܥ的坐标（用含线的式子表示）；
(2)若抛物线与直线݈ǣݕ= 䁠ݔ+ 2线䁠്
ㄹ交于ܯݔ1,ݕ1 ，ܰ
ݔ2,ݕ2 两点，当ݔ1，ݔ2满足1 −ݔ1 −1 + ݔ2 = 1
时，直线݈
是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，否则，请说明理由；
(3)如图，若ᇞܣܱܥ是等腰直角三角形，点ሻ是一动点且满足ܣሻ= Ͷ线2，连接ሻܥ，将线段ሻܥ绕点ܥ逆时
针旋转12ㄹι到ܲ
ܥ，连接ܣܲ，求ܣܲ
的最大值．
【答案】(1)ܣ−Ͷ,ㄹ,ܥ−2, −Ͷ线
(2)直线l 总经过定点−1,ㄹ，理由见解析
(3)ܣܲ
最大值为2 ͸ + 1
【分析】（1）当ݕ= ㄹ时，线ݔ2 + Ͷ线ݔ= ㄹ，求得点A 的坐标，将函数解析式化为顶点式，得到点C 的坐标；
（2）由直线与抛物线相交得到线ݔ2 + Ͷ线ݔ= 䁠ݔ+ 2线，根据根与系数的关系得到ݔ1 + ݔ2 =
䁠−Ͷ线
线
，ݔ1ݔ2 =−2，
由等式变形后，将根与系数的关系式代入求得䁠= 2线，由此得到答案；
（3）作ܥܯ٣ܱ
ܣ于M，由ᇞܣܱܥ是等腰直角三角形，得−Ͷ线= 2，ܥ−2,2 ，求出ܣሻ= Ͷ线2 = 1，将线
段ܣܥ绕点ܥ逆时针旋转12ㄹι到ܥܰ，连接ܰܲ
,ܣܰ，作ܥܪ٣ ܣܰ
于H，证得ᇞܣܥሻ، ᇞܰ
ܥܲ，推出ܰܲ
= ܣሻ= 1，
由ܥܪ٣ ܣܰ,סܣܥܰ
= 12ㄹι，得ܣܰ
=
͵ܣܥ，由两点距离公式求出ܣܥ得到ܣܰ
当A，N，P 三点共线时，ܣܲ
有最大值2 ͸ + 1．
【详解】（1）解：∵抛物线ݕ= 线ݔ2 + Ͷ线ݔ线t ㄹ与ݔ轴交于ܣ，ܱ
两点（点ܣ在点ܱ
左侧），
∴当ݕ= ㄹ时，线ݔ2 + Ͷ线ݔ= ㄹ，
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解得ݔ1 = ㄹ，ݔ2 =−Ͷ，
∴ܣ−Ͷ,ㄹ，
∵ݕ= 线ݔ2 + Ͷ线ݔ= 线ݔ+ 2 2 −Ͷ线，
∴ܥ−2, −Ͷ线；
（2）解：直线l 总经过定点−1,ㄹ，理由如下：
∵抛物线与直线݈ǣݕ= 䁠ݔ+ 2线䁠്
ㄹ交于ܯݔ1,ݕ1 ，ܰ
ݔ2,ݕ2 两点，
∴线ݔ2 + Ͷ线ݔ= 䁠ݔ+ 2线，
整理得线ݔ2 + Ͷ线−䁠ݔ−2线= ㄹ，
∴ݔ1 + ݔ2 =
䁠−Ͷ线
线
，ݔ1ݔ2 =−2，
∵1 −ݔ1 −1 + ݔ2 = 1，
∴
1
1−ݔ1 = 1 −ݔ2
∴1 −ݔ1
1 −ݔ2 = 1，
∴ݔ1ݔ2 = ݔ1 + ݔ2
∴
䁠−Ͷ线
线
=−2
得䁠= 2线，
∴ݕ= 2线ݔ+ 2线= 2线ݔ+ 1
当ݔ=−1 时，ݕ= ㄹ
∴直线l 总经过定点−1,ㄹ；
（3）解：作ܥܯ٣ܱ
ܣ于M，
∵ᇞܣܱܥ是等腰直角三角形，
∴ܣܯ=ܱ
ܯ= ܥܯ=
1
2ܱ
ܣ= 2，
∴−Ͷ线= 2，ܥ−2,2 ，
∴线=−
1
2，
∴ܣሻ= Ͷ线2 = 1
将线段ܣܥ绕点ܥ逆时针旋转12ㄹι到ܥܰ，连接ܰܲ
,ܣܰ，作ܥܪ٣ ܣܰ
于H，
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则ܣܥ= ܥܰ,סܣܥܰ
= סሻܥܲ
= 12ㄹι，
∴סܣܥሻ= סܰܥܲ，
又∵ሻܥ=ܲ
ܥ，
∴ᇞܣܥሻ، ᇞܰ
ܥܲ
SAS ，
∴ܰܲ
= ܣሻ= 1，
在ᇞܣܥܰ
中，ܥܪ٣ ܣܰ,סܣܥܰ
= 12ㄹι，
∴סܥܣܰ
= סܥܰܣ= ͵ㄹι，
∴ܥܪ=
1
2 ܣܥ
∵ܣܪ=
ܣܥ2 −ܥܪ2 =
͵
2 ܣܥ，ܣܪ=ܰ
ܪ=
1
2 ܣܰ，
∴ܣܰ
=
͵ܣܥ，
∵ܣ−Ͷ,ㄹ,ܥ−2,2 ，
∴ܣܥ=
−Ͷ + 2 2 + 2 −ㄹ2 = 2 2，
∴ܣܰ
= 2 ͸，
∵ܣܲ
t ܣܰ
+ܰܲ
，
∴当A，N，P 三点共线时，ܣܲ
有最大值2 ͸ + 1．
重难点八二次函数解决角度问题
1.遇到45°角构造一线三垂直全等模型实现线段转化，30°、60° 角利用直角三角形三边比例1ǣ ͵ǣ2 列式；
2.等角可通过平行线、相似、对称进行等量转换，通用方法为过角顶点作横竖辅助线，把角度条件全部转
化为线段长度关系再结合函数计算。
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ 2 与x 轴相交于ܣ−1,ㄹ，ሻͶ,ㄹ两点，与y
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轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是直线ሻܥ上方抛物线上一动点，连接ܲ
ሻ，ܲܥ，求ᇞܲ
ሻܥ面积的最大值以及此时点P 的坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使סܳܥሻ=Ͷͷι？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为ݕ=−
1
2 ݔ2 +
͵
2 ݔ+ 2
(2)ᇞܲ
ሻܥ面积的最大值为4，此时点P 的坐标为2,͵
(3)存在，Q 的坐标为
͹
͵ ,
2ͷ
ͻ 或(ͻ, −2ͷ)
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为ݕ=−
1
2 ݔ2 +
͵
2 ݔ+ 2；
（2）过P 作ܲ
ܭ∥ݕ轴交ሻܥ于K，求出ܥㄹ,2 ，直线ሻܥ解析式为ݕ=−
1
2 ݔ+ 2，设ܲ
ݐ, −
1
2 ݐ2 +
͵
2 ݐ+ 2 ，
则䁠ݐ, −
1
2 ݐ+ 2 ，可得ܲ
ܭ=−
1
2 ݐ2 + 2ݐ，故ܵᇞܲሻܥ=−ݐ−2 2 + Ͷ，根据二次函数性质可得答案；
（3）当Q在ሻܥ上方时，过B作ሻܶ
٣ ܥܳ
于T，过T作ܯܰ
٣ ݕ轴于N，过B作ሻܯ٣ ܯܰ
于M，，证明ᇞሻܶܯ، ᇞܶ
ܥܰ
AAS ，有ሻܯ=ܰܶ
，ܶܯ= ܥܰ，设设ܶ݉
,䁠，可得
䁠=݉
Ͷ −݉
= 䁠−2 ，即知ܶ
͵，͵ ，直线ܥܶ
解析式
为ݕ=
1
͵ ݔ+ 2，联立
ݕ=
1
͵ ݔ+ 2
ݕ=
1
2 ݔ2 +
͵
2 ݔ+ 2
，解得ܳ
͹
͵ ,
2ͷ
ͻ ；当Q 在BC 下方时，过B 作ሻܴ
٣ ܥܳ
于R，过R
作ܹܵ
٣ ݕ轴于W，过B 作ሻܵ
٣ܹܵ
于S，同理可得(ͻ, −2ͷ)．
【详解】（1）解：把ܣ−1,ㄹ，ሻͶ,ㄹ两点代入ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ 2 得：
线−香+ 2 = ㄹ
1͸线+ Ͷ香+ 2 = ㄹ，
解得
线=−
1
2
香=
͵
2
，
∴抛物线的解析式为ݕ=−
1
2 ݔ2 +
͵
2 ݔ+ 2；
（2）解：过P 作ܲ
ܭ∥ݕ轴交ሻܥ于K，如图：
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在ݕ=−
1
2 ݔ2 +
͵
2 ݔ+ 2 中，令ݔ= ㄹ得ݕ= 2，
∴ܥㄹ,2 ，
设直线ሻܥ解析式为ݕ= 䁠ݔ+ 香，
把ሻͶ,ㄹ，ܥㄹ,2 代入得，Ͷ䁠+ 香= ㄹ
香= 2
，
解得，线=−
1
2
香= 2
，
∴直线ሻܥ解析式为ݕ=−
1
2 ݔ+ 2，
设ܲ
ݐ, −
1
2 ݐ2 +
͵
2 ݐ+ 2 ，则ܭݐ, −
1
2 ݐ+ 2 ，
∴ܲܭ=−
1
2 ݐ2 +
͵
2 ݐ+ 2 −−
1
2 ݐ+ 2 =−
1
2 ݐ2 + 2ݐ
∴ܵᇞܲሻܥ=
1
2ܲ
ܭڄ |ݔሻ−ݔܥ| =
1
2 ൈ−
1
2 ݐ2 + 2ݐൈͶ =−ݐ2 + Ͷݐ=−ݐ−2 2 + Ͷ，
∵−1 t ㄹ，
∴当ݐ= 2 时，ܵᇞܲሻܥ取最大值4，此时ܲ
2,͵ ，
∴ᇞܲ
ሻܥ面积的最大值为4，此时点P 的坐标为2,͵ ；
（3）解：抛物线上存在点Q，使סܳܥሻ=Ͷͷι，理由如下：
当Q 在ሻܥ上方时，过B 作ሻܶ
٣ ܥܳ
于T，过T 作ܯܰ
٣ ݕ轴于N，过B 作ሻܯ٣ ܯܰ
于M，如图：
∵סܳܥሻ= Ͷͷι，
∴ᇞሻܥܶ
是等腰直角三角形，
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∴סሻܶܥ= ͻㄹι，ሻܶ
= ܥܶ，
∴סܥܶܰ
= ͻㄹι −סሻܶܯ= סܶሻܯ，
∵סܯ= סܶܰ
ܥ= ͻㄹι，
∴ᇞሻܶܯ، ᇞܶ
ܥܰ
AAS ，
∴ሻܯ=ܰܶ
，ܶܯ= ܥܰ，
设ܶ݉
,䁠，则ܰܶ
=݉
，ሻܯ= 䁠，
∵ሻͶ,ㄹ，ܥㄹ,2 ，
∴ܶܯ= ܯܰ
−ܰܶ
= Ͷ −݉
，ܥܰ
=ܱܰ
−ܱ
ܥ= 䁠−2，
∵ሻܯ=ܰܶ
，ܶܯ= ܥܰ，
∴
䁠=݉
Ͷ −݉
= 䁠−2，，
解得݉
= ͵
䁠= ͵
∴ܶ
͵，͵ ，
设直线ܥܶ
解析式为ݕ= ݌ݔ+ ݍ，
把ܥㄹ,2 ，ܶ
͵，͵ 代入得͵݌+ ݍ= ͵
ݍ= 2
，
解得݌=
1
͵
ݍ= 2
，
∴直线ܥܶ
解析式为ݕ=
1
͵ ݔ+ 2，
联立
ݕ=
1
͵ ݔ+ 2
ݕ=
1
2 ݔ2 +
͵
2 ݔ+ 2
，
解得
ݔ=
͹
͵
ݕ=
2ͷ
ͻ
，
∴ܳ
͹
͵ ,
2ͷ
ͻ ；
当Q 在BC 下方时，过B 作ሻܴ
٣ ܥܳ
于R，过R 作ܹܵ
٣ ݕ轴于W，过B 作ሻܵ
٣ܹܵ
于S，如图：
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同理可得ᇞሻܴܵ
، ᇞܴܹ
ܥAAS ，
∴ሻܵ=ܴܹ
，ܴܵ
= ܥܹ
，
设ܴ
݌,ݍ，
∴
−ݍ= ݌
Ͷ −݌= 2 −ݍ，
解得݌= 1
ݍ=−1，，
∴ܴ
1, −1 ，
设直线ܥܴ
解析式为ݕ= 䁠Ԣݔ+ 香Ԣ，
把ܥㄹ,2 ，ܴ
1, −1 代入得，䁠Ԣ + 香Ԣ =−1
香Ԣ = 2
，
解得，䁠Ԣ =−͵
香Ԣ = 2 ，
∴直线ܥܴ
解析式为ݕ=−͵ݔ+ 2，
联立
ݕ=−͵ݔ+ 2
ݕ=
1
2 ݔ2 +
͵
2 ݔ+ 2 ，
解得
ݔ= ͻ
ݕ=−2ͷ ，
∴ܳ(ͻ, −2ͷ)，
综上所述，Q 的坐标为
͹
͵ ,
2ͷ
ͻ 或(ͻ, −2ͷ)．
2．在平面直角坐标系ݔܱݕ中，抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ ͵ 的图象与x 轴交于点ܣ−1,ㄹ和点ሻ͵,ㄹ．与y 轴
交于点C，D 是线段ܱ
ሻ上一点．
(1)求这条抛物线的表达式．
(2)如图，过点D 作ܦܩ٣ ݔ轴，交该抛物线于点G，当סሻܩܦ= סܦܩܥ时，求D 的坐标；
(3)点P 为该抛物线上第一象限内一点，当ܱ
ܦ= 1，且סܲܣܥ+ סܦܥܣ= Ͷͷι时，求点P 的坐标．
【答案】(1)ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵ (2)ܦ
1
2 ,ㄹ
(3)ܲ
1,Ͷ
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【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设ܦ݉
,ㄹ，则ܩ݉
, −݉
2 + 2݉
+ ͵ ，运用待定系数法求出直线ܥܩ的解析式，设直线ܥܩ与x 轴交于
点E，求得点E 的坐标，由סሻܩܦ= סܦܩܥ知ܧܦ= ሻܦ，由此可列出关于m 的方程，求出m 的值即可；
（3）利用ܵᇞܥܣܦ=
1
2 ൈܣܦൈܱ
ܥ=
1
2 ൈܥܦൈܣܪ求出ܣܪ=
͵
ͷ
1ㄹ，利用סܪܰܣ= Ͷͷι求出ܣܰ
=
͸
ͷ
ͷ，直线ܥܦ
的表达式，设点ܰ݉
, −͵݉
+ ͵ ，由ܣܰ
2 =݉
+ 1 2 + −͵݉
+ ͵ 2 =
͸
ͷ
ͷ
2
求出݉
=
1
ͷ，得点ܰ
1
ͷ ,
12
ͷ ，
求出直线ܣܰ
的表达式，联立方程组
ݕ= 2ݔ+ 2
ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵ ，即可求出点P 的坐标．
【详解】（1）解：抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ ͵ 的图象与x 轴交于点ܣ−1,ㄹ和点ሻ͵,ㄹ，
把点ܣ−1,ㄹ和点ሻ͵,ㄹ代入ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ ͵ 得，
线−香+ ͵ = ㄹ
ͻ线+ ͵香+ ͵ = ㄹ，
解得，线=−1
香= 2 ，
所以，设抛物线的表达式为：ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵；
（2）解：设ܦ݉
,ㄹ，则ܩ݉
, −݉
2 + 2݉
+ ͵ ，
对于ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵，当ݔ= ㄹ时，ݕ= ͵,
∴点C 的坐标为ㄹ,͵ ,
延长ܩܥ交ݔ轴于点ܧ，如图，
设直线ܥܩ的解析式为ݕ= 䁠ݔ+ 香,
把ܩ݉
, −݉
2 + 2݉
+ ͵ ，ܥㄹ,͵ 代入得，
䁠݉
+ 香=−݉
2 + 2݉
+ ͵
香= ͵
，
∴䁠݉
+ ͵ =−݉
2 + 2݉
+ ͵，即䁠݉
=−݉
2 + 2݉
，
∵്݉
ㄹ,
∴䁠=−݉
+ 2,
∴直线ܥܩ的解析式为ݕ= −݉
+ 2 ݔ+ ͵,
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当ݕ= ㄹ时，ݔ=
͵݉
−2，
∴ܧ
͵݉
−2 ,ㄹ，
∴ܱܧ=
͵
2−݉，
∵ܦܩ٣ ݔ轴，סሻܩܦ= סܦܩܥ，
∴ܧܦ= ሻܦ,
∴݉
+
͵
2−݉
= ͵ −݉
，
解得，݉
= ͵,݉
=
1
2 ,
经检验，݉
= ͵,݉
=
1
2是原方程的解，但݉
= ͵ 时，点D 与点B 重合，不符合题意，舍去，
∴݉
=
1
2，
∴ܦ
1
2 ,ㄹ；
（3）解：∵ܣ−1,ㄹ,ܥㄹ,͵ ,ܦ1,ㄹ，
∴ܱܣ= 1,ܱܥ= ͵,ܱܦ= 1,
∴ܣܥ= ܥܦ=
12 + ͵2 =
1ㄹ，ܣܦ=ܱ
ܣ+ܱ
ܦ= 2,
过点A 作ܣܪ٣ ܥܦ于点H，设ܣܲ
交ܥܦ于点N，
而ܵᇞܥܣܦ=
1
2 ൈܣܦൈܱ
ܥ=
1
2 ൈܥܦൈܣܪ，
即2 ൈ͵ =
1ㄹൈܣܪ，
则ܣܪ=
͸
1ㄹ=
͵
ͷ
1ㄹ，
∵סܦܥܣ+ סܲܣܥ= Ͷͷι，即סܪܰܣ= Ͷͷι，
则ܣܰ
=
2ܣܪ=
͸
ͷ
ͷ，
设直线ܥܦ的表达式为ݕ= 䁠ݔ+ 香，
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把ܥㄹ,͵ ,ܦ1,ㄹ代入得，
香= ͵
䁠+ 香= ㄹ，
解得，香= ͵
䁠=−͵
∴直线ܥܦ的表达式为ݕ=−͵ݔ+ ͵，
设点ܰ݉
, −͵݉
+ ͵ ，
则ܣܰ
2 =݉
+ 1 2 + −͵݉
+ ͵ 2 =
͸
ͷ
ͷ
2
，
解得：݉
=
͹
ͷ 㘠1（舍去）或
1
ͷ，
则点ܰ
1
ͷ ,
12
ͷ ，
设直线ܣܰ
的表达式为ݕ= 䁠1ݔ+ 香1，
把ܰ
1
ͷ ,
12
ͷ ，ܣ−1,ㄹ代入得，
1
ͷ 䁠1 + 香1 = 12
ͷ
−䁠1 + 香1 = ㄹ
解得，䁠1 = 2
香1 = 2 ，
∴直线ܣܰ
的表达式为ݕ= 2ݔ+ 2，
联立方程组
ݕ= 2ݔ+ 2
ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵ ，
解得，ݔ1 = 1
ݕ1 = Ͷ ，ݔ2 =−1
ݕ2 = ㄹ（舍去）
∴点ܲ
1,Ͷ ．
3．已知抛物线ݕ=−ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与x 轴交于点ܣ−1,ㄹ和点B，对称轴为直线ݔ= 1，抛物线与y 轴交于C
点．
(1)求抛物线的解析式；
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(2)如图（甲），P 是抛物线第一象限内的任一点，过点P 作ܲ
ܦ٣ ݔ轴于D，直线ሻܥ与ܲ
ܦ交于点E，当ᇞܥܧܲ
是以ܲ
ܧ为底的等腰三角形时，求P 点的坐标；
(3)如图（乙），若点M 是抛物线上任意一点，且满足סܯܣሻ= 2סܣܥܱ，求M 的坐标．
【答案】(1)ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵；
(2) 1,Ͷ ；
(3)
ͻ
Ͷ ,
͵ͻ
1͸ 或
1ͷ
Ͷ , −
ͷ͹
1͸
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（1）求出直线ሻܥ解析式，设点P 坐标为：ݔ, −ݔ2 + 2ݔ+ ͵ ，则点E 坐标为ݔ, −ݔ+ ͵ ，当ᇞܥܧܲ
是以ܲ
ܧ为底的等腰三角形时，点C 在线段ܲ
ܧ垂直平分线上，线段ܲ
ܧ中点的纵坐标为3，由此求出x 即可；
（3）如图所示，取点ܦ1，ㄹ，连ܥܦ，在ܥܦ上取点F，使得ܣܨ= ܣܦ，连ܣ,ܨ并延长交抛物线于点M，
利用等腰三角形的性质和三角形内角和证明סܯܣሻ= סܦܥܣ= 2סܣܥܱ，再分别用待定系数法依次求出直线
ܦܥ和直线ܣܯ的解析式，求出直线ܣܯ与抛物线交点M 的坐标，再由对称性求出另一点M 的坐标即可．
【详解】（1）解：由题意，得
ㄹ=−1 −香+ܿ
−
香
2ൈ−1 = 1
，
解得：香= 2ܿ
= ͵ ，
∴抛物线的解析式为：ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵；
（2）解：由题意点C 坐标为ㄹ,͵ ，
由抛物线的对称性，点B 的横坐标为1 + 1 −−1 = ͵，
则B 点的坐标为：͵,ㄹ，
设直线ሻܥ解析式为：ݕ= 䁠ݔ+ 香䁠്
ㄹ，
把ሻ͵,ㄹ，ܥㄹ,͵ 代入，得，
ㄹ= ͵䁠+ 香
͵ = 香
，
解得：䁠=−1
香= ͵ ，
∴直线ሻܥ解析式为：ݕ=−ݔ+ ͵，
∴设点P 坐标为：ݔ, −ݔ2 + 2ݔ+ ͵ ，则点E 坐标为ݔ, −ݔ+ ͵ ，
当ᇞܥܧܲ
是以ܲ
ܧ为底的等腰三角形时，
点C 在线段ܲ
ܧ垂直平分线上，线段ܲ
ܧ中点的纵坐标为3，
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∴͵ =
−ݔ2+2ݔ+͵ + −ݔ+͵
2
，
解得，ݔ1 = 1，ݔ2 = ㄹ（舍去），
∴−ݔ2 + 2ݔ+ ͵ =−1 + 2 + ͵ = Ͷ，
故P 点的坐标为1,Ͷ ．
（3）解：取直线ݔ= 1 与x 轴交点1,ㄹ，记为点D，
连ܥܦ，在ܥܦ上取点F，使得ܣܨ= ܣܦ，连ܣ，ܨ并延长交抛物线于点M，
由题意可知，点ܣ,ܦ关于y 轴对称，则有סܦܣܥ= סܥܦܣ，2סܣܥܱ
= סܦܥܣ，
∵ܣܨ= ܣܦ，
∴סܣܨܦ= סܥܦܣ，
∴סܯܣሻ= סܦܥܣ= 2סܣܥܱ，
设直线ܦܥ解析式为：ݕ=݉
ݔ+ 䁠്݉
ㄹ，
把ܦ1,ㄹ，ܥㄹ,͵ 代入，得，
ㄹ= 䁠+ 香
͵ = 香
，
解得，
䁠=−͵
香= ͵ ，
∴直线ܦܥ解析式为：ݕ=−͵ݔ+ ͵
设点F 坐标为ݔ, −͵ݔ+ ͵ ，
ܣܨ2 = ݔ−−1
2 + −͵ݔ+ ͵ 2 = ݔ+ 1 2 + −͵ݔ+ ͵ 2，ܣܦ2 = −1 −1 2 = Ͷ，
∵ܣܨ= ܣܦ，
∴ݔ+ 1 2 + −͵ݔ+ ͵ 2 = Ͷ，
解得，ݔ1 =
͵
ͷ ，ݔ2 = 1（舍去），
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则点F 坐标为：
͵
ͷ ,
͸
ͷ ，
设直线ܣܯ的解析式为ݕ=݁
ݔ+ ㌳്݁
ㄹ，
把点ܣ−1,ㄹ，ܨ
͵
ͷ ,
͸
ͷ 代入，得
ㄹ=−݁
+ ㌳
͸
ͷ =
͵
ͷ݁
+ ㌳，
解得，݁
=
͵
Ͷ
㌳=
͵
Ͷ
ܣܯ的解析式为ݕ=
͵
Ͷ ݔ+
͵
Ͷ，
当
͵
Ͷ ݔ+
͵
Ͷ =−ݔ2 + 2ݔ+ ͵ 时，
解得ݔ1 =
ͻ
Ͷ ,ݔ2 =−1（舍去）
∴点M 的坐标为
ͻ
Ͷ ,
͵ͻ
1͸ ，
由对称性可知当F 坐标为
͵
ͷ , −
͸
ͷ 时，直线ܣܨ与抛物线的另一个交点也满足题意，
同理可以求出此时M 的坐标为
1ͷ
Ͷ , −
ͷ͹
1͸ ；
综上，点M 的坐标为
ͻ
Ͷ ,
͵ͻ
1͸ 或
1ͷ
Ͷ , −
ͷ͹
1͸ ．
4．如图，四边形ܱ
ܣሻܥ是矩形，点A 的坐标为−͸,ㄹ，点C 的坐标为ㄹ,͵ ，点P 从点C 出发，沿CO 以
每秒1 个单位长度的速度向点O 出发，同时点Q 从点O 出发，沿OA 以每秒2 个单位长度的速度向点A 运
动，当点P 与点O 重合时运动停止．设运动时间为t 秒．
(1)当ݐ= 2 时，ܵᇞܱܲܳ
= ；
(2)当ᇞܱܲܳ
与ᇞሻܳܣ相似时，求t 的值；
(3)当ݐ= 1 时，抛物线ݕ=−ݔ2 + 香ݔ+ܿ
经过P，Q 两点，与x 轴交于另一点M．抛物线的顶点为N，问该
抛物线上是否存在点D，使סܯܳܦ=
1
2 סܯܰܳ
？若存在，求出所有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理
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由．
【答案】(1)2
(2)t 的值为
͵
Ͷ或
ͻ−͵ ͷ
2
(3)抛物线上存在点D，其坐标为
1
͵ ,
1Ͷ
ͻ 或
ͷ
͵ , −
22
ͻ
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想在
解题过程中的运用．
（1）可用含ݐ的代数式分别表示出ܥܲ，ܱܳ
，ܱܲ
的长，再将ݐ= 2 代入，即可直接求出ᇞܱܲܳ
的面积；
（2）分两种情况讨论，①当ᇞܱܲܳ
∽ᇞܳ
ܣሻ时，②当ᇞܱܲܳ
∽ᇞሻܣܳ
时，分别用相似三角形的性质可求
出ݐ的值；
（3）先求出抛物线的解析式，顶点坐标，点ܯ的坐标，如图2，连接ܰ
ܯ，ܰܳ
，过点ܰ
作ܰ
ܪ٣ ݔ轴于点
ܪ，则ܪ−
1
2 ,ㄹ，推出סܪܰܳ
= סܪܰܯ=
1
2 סܯܰܳ
，①当点ܦ在ݔ轴上方时，设ܦܳ
与ܰ
ܪ交于点ܧ，求
出直线ܳ
ܧ的解析式，求出其与抛物线交点即可；②当点ܦ在ݔ轴下方时，作点ܧ关于ݔ轴的对称点
ܨ−
1
2 , −1 ，ܳܨ与抛物线交于点ܦ，求出直线ܨܳ
的解析式，求出其与抛物线的解析式即可．
【详解】（1）解：由题意知，ܥܲ
= ݐ，ܱܳ
= 2ݐ，
׵ܱܲ
= ͵ −ݐ，
׵当ݐ= 2 时，ܱܲ
= 1，ܱܳ
= Ͷ，
׵ܵ
ᇞܱܲܳ
=
1
2 ൈͶ ൈ1 = 2，
故答案为：2；
（2）由题意知，סܱܲܳ
= סሻܣܳ
= ͻㄹι，
①当ᇞܱܲܳ
׾ᇞܳ
ܣሻ时，ܱܲܳ
ܣ=ܱܳܣሻ，即
͵−ݐ
͸−2ݐ=
2ݐ
͵，
解得，ݐ1 = ͵（舍去），ݐ2 =
͵
Ͷ；
②当ᇞܱܲܳ
׾ᇞሻܣܳ
时，
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ሻܣ=ܱܳܣܳ，即
͵−ݐ
͵ =
2ݐ
͸−2ݐ，
解得，ݐ1 =
ͻ+͵ ͷ
2
（舍去），ݐ2 =
ͻ−͵ ͷ
2
，
综上所述，当ᇞܱܲܳ
与ᇞሻܣܳ
相似时，ݐ的值为
͵
Ͷ或
ͻ−͵ ͷ
2
；
（3）当ݐ= 1 时，ܲ
ㄹ,2 ，ܳ
−2,ㄹ，
׵将ܳ
−2,ㄹ代入ݕ=−ݔ2 + 香ݔ+ 2，得，香=−1，
׵抛物线的解析式为ݕ=−ݔ2 −ݔ+ 2 =−ݔ+
1
2
2
+
ͻ
Ͷ，
׵顶点ܰ
的坐标为−
1
2 ,
ͻ
Ͷ ，
׶ܳ
−2,ㄹ，
׵由对称性知，ܯ1,ㄹ，
如图2，连接ܰ
ܯ，ܰܳ
，过点ܰ
作ܰ
ܪ٣ ݔ轴于点ܪ，则ܪ−
1
2 ,ㄹ，ܰܯ=ܰܳ
，
׵ סܪܰܳ
= סܪܰܯ=
1
2 סܯܰܳ
，
①当点ܦ在ݔ轴上方时，
则סܯܳܦ= סܪܰܳ
时，设ܦܳ
与ܰ
ܪ交于点ܧ，
又׶ סܰܪܳ
= סܳܪܧ，
׵ ᇞܰ
ܪܳ
׾ᇞܳ
ܪܧ，
׵ܰ
ܪܳ
ܪ=
ܪܳ
ܪܧ，
即
ͻ
Ͷ
͵
2
=
͵
2
ܪܧ，
解得，ܪܧ= 1，
׵ ܧ−
1
2 ,1 ，
设直线ܧܳ
的解析式为ݕ= 䁠ݔ+ 香，
将ܧ−
1
2 ,1 ，ܳ
−2,ㄹ代入，
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得，−
1
2 䁠+ 香= 1
−2䁠+ 香= ㄹ
，
解得，䁠=
2
͵，香=
Ͷ
͵，
׵直线ܧܳ
的解析式为ݕ=
2
͵ ݔ+
Ͷ
͵，
联立，得
2
͵ ݔ+
Ͷ
͵ =−ݔ2 −ݔ+ 2，
解得，ݔ1 =
1
͵，ݔ2 =−2（舍去），
׵ ܦ1
1
͵ ,
1Ͷ
ͻ ；
②当点ܦ在ݔ轴下方时，
作点ܧ关于ݔ轴的对称点ܨ−
1
2 , −1 ，ܳܨ与抛物线交于点ܦ，
此时סܯܳܦ=
1
2 סܯܰܳ
，
设直线ܨܳ
的解析式为ݕ= 䁠ݔ+ 香，
将ܨ−
1
2 , −1 ，ܳ
−2,ㄹ代入，
得，−
1
2 䁠+ 香=−1
−2䁠+ 香= ㄹ
，
解得，䁠=−
2
͵，香=−
Ͷ
͵，
׵直线ܧܳ
的解析式为ݕ=−
2
͵ ݔ−
Ͷ
͵，
联立，得−
2
͵ ݔ−
Ͷ
͵ =−ݔ2 −ݔ+ 2，
解得，ݔ1 =
ͷ
͵，ݔ2 =−2（舍去），
׵ ܦ2
ͷ
͵ , −
22
ͻ ，
综上所述，抛物线上存在点ܦ，其坐标为
1
͵ ,
1Ͷ
ͻ 或
ͷ
͵ , −
22
ͻ ．
5．如图，已知抛物线ݕ=−
1
͵ ݔ2 + 香ݔ+ܿ
交ݔ轴于ܣ−͵,ㄹ，ሻͶ,ㄹ两点，交ݕ轴于点ܥ，点ܲ
是抛物线上
一点，连接ܣܥ、ሻܥ．
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(1)求抛物线的表达式；
(2)连接ܱܲ
，ሻܲ，若2ܵᇞሻܱܲ
= ͵ܵᇞܣܱܥ，求点ܲ
的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上有一动点ܳ
，若סܳሻܣ= 1ͷι，请直接写出点ܳ
的坐标．
【答案】(1)ݕ=−
1
͵ ݔ2 +
1
͵ ݔ+ Ͷ；
(2)
1+ 1ㄹ͵
2
, −
ͻ
2 或
1−1ㄹ͵
2
, −
ͻ
2
(3)
1
2 ,
1Ͷ−͹ ͵
2
或
1
2 ,
͹ ͵−1Ͷ
2
【分析】（1）将ܣ、ሻ两点的坐标代入抛物线的解析式即可求解；
（2）可求ܵᇞܱܣܥ= ͸，①当ܲ
在ݔ轴上方时，设ܲ݉
, −
1
͵݉
2 +
1
͵݉
+ Ͷ ，可求ܵᇞሻܱܲ
=−
2
͵݉
2 +
2
͵݉
+ ͺ，
由2ܵᇞሻܱܲ
= ͵ܵᇞܣܱܥ，即可求解；②当ܲ
在ݔ轴下方时，由①得可求ܵ
ᇞሻܱܲ
=
2
͵݉
2 −
2
͵݉
−ͺ，由2ܵᇞሻܱܲ
=
͵ܵᇞܣܱܥ，即可求解；
（3）①当ܳ
在ݔ轴上方时，连接ܣܳ，作ሻܧ٣ ܣܳ
交ܣܳ
的延长线于ܧ，设ሻܳ
= 2线，可求ܧܳ
=
͵线，
由ܣܧ2 + ሻܧ2 = ܣሻ2，可得
2 +
͵ 线
2 + 线2 = Ͷͻ，即可求解；②当ܳ
在ݔ轴下方时，同理可求解．
【详解】（1）解：由题意得
−
1
͵ ൈͻ −͵香+ܿ
= ㄹ
−
1
͵ ൈ1͸ + Ͷ香+ܿ
= ㄹ
，
解得：香=
1
͵ܿ
= Ͷ
，
׵抛物线的表达式ݕ=−
1
͵ ݔ2 +
1
͵ ݔ+ Ͷ．
（2）解：当ݔ= ㄹ时，ݕ= Ͷ，
׵ ܥㄹ,Ͷ ，
׶ ܣ−͵,ㄹ，ሻͶ,ㄹ，
׵ܱ
ܣ= ͵，ܱሻ= Ͷ，ܱܥ= Ͷ，
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׵ܵ
ᇞܱܣܥ=
1
2ܱ
ܣڄܱ
ܥ，
=
1
2 ൈ͵ ൈͶ = ͸；
①如图，当ܲ
在ݔ轴上方时，
设ܲ݉
, −
1
͵݉
2 +
1
͵݉
+ Ͷ ，
׵ܵ
ᇞሻܱܲ
= 1
2ܱ
ሻڄ ݕܲ
= 1
2 ൈͶ −1
͵݉
2 + 1
͵݉
+ Ͷ
=−
2
͵݉
2 +
2
͵݉
+ ͺ，
׶ 2ܵᇞሻܱܲ
= ͵ܵᇞܣܱܥ，
׵ 2 −
2
͵݉
2 +
2
͵݉
+ ͺ = 1ͺ，
整理得：2݉
2 −2݉
+ ͵ = ㄹ，
׵ Δ = −2 2 −Ͷ ൈ2 ൈ͵
=−2ㄹt ㄹ，
׵此方程无实数根，
׵在ݔ轴上方不存在ܲ
点满足题意．
②如图，当ܲ
在ݔ轴下方时，
由①得：׵ܵ
ᇞሻܱܲ
=
1
2ܱ
ሻڄ −ݕܲ
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= 1
2 ൈͶ 1
͵݉
2 −1
͵݉
−Ͷ
=
2
͵݉
2 −
2
͵݉
−ͺ，
׶ 2ܵᇞሻܱܲ
= ͵ܵᇞܣܱܥ，
׵ 2
2
͵݉
2 −
2
͵݉
−ͺ = 1ͺ，
整理得：2݉
2 −2݉
−ͷ1 = ㄹ，
解得：݉
1 =
1+ 1ㄹ͵
2
，݉
2 =
1−1ㄹ͵
2
，
当݉
=
1+ 1ㄹ͵
2
时，
ݕ=−1
͵
1 +
1ㄹ͵
2
2
+ 1
͵
1 +
1ㄹ͵
2
+ Ͷ
=−
ͻ
2；
当݉
=
1−1ㄹ͵
2
时，
ݕ=−1
͵
1 −
1ㄹ͵
2
2
+ 1
͵
1 −
1ㄹ͵
2
+ Ͷ
=−
ͻ
2；
׵ܲ
的坐标为
1+ 1ㄹ͵
2
, −
ͻ
2 或
1−1ㄹ͵
2
, −
ͻ
2 ．
（3）解：①如图，当ܳ
在ݔ轴上方时，
连接ܣܳ，作ሻܧ٣ ܣܳ
交ܣܳ
的延长线于ܧ，
׶ܳ
在抛物线的对称轴上，
׵ ܣܳ
= ሻܳ，
׵ סܳሻܣ= סܳܣሻ= 1ͷι，
׵ סሻܳܧ= ͵ㄹι，
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设ሻܳ
= 2线，则有ሻܧ=
1
2 ሻܦ= 线，
ܣܳ
= 2线，
在Rt ᇞሻܧܳ
中，ܧܳ
=
ሻܳ
2 −ሻܧ2 =
͵线，
׵ ܣܧ= ܣܳ
+ ܧܳ
= 2 +
͵ 线，
׶ܱ
ܣ= ͵，ܱሻ= Ͷ，
׵ ܣሻ=ܱ
ܣ+ܱ
ሻ= ͹，
在Rt ᇞܣܧሻ中，ܣܧ2 + ሻܧ2 = ܣሻ2，
׵
2 +
͵ 线
2 + 线2 = Ͷͻ，
整理得：Ͷ线2 = Ͷͻ 2 −
͵ ，
׵ ሻܳ
2 = Ͷͻ 2 −
͵ ，
׶对称轴为直线ݔ=−
1
͵
2ൈ−1
͵
=
1
2，
׵ ሻܦ= Ͷ −
1
2 =
͹
2，
在Rt ᇞܳ
ܦሻ中，ܦܳ
=
ሻܳ
2 −ሻܦ2
=
Ͷͻ 2 −
͵ −͹
2
2
=
1Ͷ−͹ ͵
2
，
׵ܳ
1
2 ,
1Ͷ−͹ ͵
2
；
②当ܳ
在ݔ轴下方时，
同理可求：ܳ
1
2 ,
͹ ͵−1Ͷ
2
；
综上所述：ܳ
的坐标为
1
2 ,
1Ͷ−͹ ͵
2
或
1
2 ,
͹ ͵−1Ͷ
2
．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数ݕ=
1
2 ݔ−2 的图象分别交ݔ轴、ݕ轴于点ܣ、ሻ，抛物线ݕ= ݔ2 + 香ݔ+ܿ
经过点ܣ、ሻ，ܧ是线段ܱ
ܣ的中点．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点ܨ是抛物线上的动点，当סܱܧܨ= סሻܣܧ时，求点ܨ的横坐标；
(3)在抛物线上是否存在点ܲ
，使得ᇞܣሻܲ
是以点ܣ为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出ܲ
点坐标，
若不存在，请说明理由．
(4)抛物线上（ܣሻ下方）是否存在点ܯ，使得סܣሻܯ= סܣሻܱ？若存在，求出点ܯ到ݕ轴的距离，若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线解析式为ݕ= ݔ2 −
͹
2 ݔ−2
(2)ܨ点横坐标为2 −
ͷ或ݔ=
͵−21
2
(3)存在，ܲ
−
ͷ
2 ,1͵
(4)存在，ܯ到ݕ轴的距离为
11
Ͷ
【分析】（1）ܣͶ,ㄹ，ሻㄹ, −2 ，把ܣ，ሻ两点坐标代入ݕ= ݔ2 + 香ݔ+ܿ
即可求解；
（2）过ܧ点作ܣሻ的平行线݈
交抛物线左侧于点ܨ，可求直线݈
的解析式为ݕ=
1
2 ݔ−1，
ݔ2 −
͹
2 ݔ−2 =
1
2 ݔ−1，即可求解；作݈
关于ݔ轴对称的直线݈Ԣ交抛物线左侧于点ܨԢ，同理可求；
（3）设ܲ
ݐ,ݐ2 −
͹
2 ݐ−2 ，由ሻܲ
2 = ܣሻ2 + ܣܲ
2，即可求解；
（4）过ܱ
点作ܱ
ܩ٣ ܣሻ于点ܩ，延长ܱ
ܩ至点ܪ，使得ܩܪ=ܱ
ܩ，连接ሻܪ，并延长ሻܪ交抛物线于点ܯ，
作ܩܰ
٣ ݔ轴于ܰ
，可求ܣሻ= 2 ͷ，ܱ
ܩ=
Ͷ ͷ
ͷ ，可证ᇞܱ
ܩܰ׾ ᇞܱ
ܣܩ，可求ܱܰ
=
Ͷ
ͷ，从而可求ܩ
Ͷ
ͷ , −
ͺ
ͷ ，
过ܪ作ܪܲ
٣ ݔ轴，交ݔ轴于ܲ
，可求ܪ
ͺ
ͷ , −
1͸
ͷ ，直线ሻܪ解析式为ݕ=−
͵
Ͷ ݔ−2，即可求解．
【详解】（1）解：当ݔ= ㄹ时，ݕ=−2；
当ݕ= ㄹ时，
1
2 ݔ−2 = ㄹ，
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解得：ݔ= Ͷ；
׵ ܣͶ,ㄹ，ሻㄹ, −2 ，
把ܣ，ሻ两点坐标代入ݕ= ݔ2 + 香ݔ+ܿ
得1͸ + Ͷ香+ܿ
= ㄹܿ
=−2
，
解得：香=−
͹
2ܿ
=−2
，
∴抛物线解析式为ݕ= ݔ2 −
͹
2 ݔ−2．
（2）解：如图，过ܧ点作ܣሻ的平行线݈
交抛物线左侧于点ܨ，此时סܱܧܨ= סሻܣܧ
׶ ܧ是ܱ
ܣ的中点，
׵ ܧ2,ㄹ，
设直线݈
的解析式为ݕ=
1
2 ݔ+ 香，
׵
1
2 ൈ2 + 香= ㄹ，
解得：香=−1，
直线݈
的解析式为ݕ=
1
2 ݔ−1，
令ݔ2 −
͹
2 ݔ−2 =
1
2 ݔ−1，
整理得：ݔ2 −Ͷݔ−1 = ㄹ，
解得：ݔ1 = 2 −
ͷ，ݔ2 = 2 +
ͷ（舍去），
作݈
关于ݔ轴对称的直线݈Ԣ交抛物线左侧于点ܨԢ，此时סܱܧܨԢ = סሻܣܧ
同理可求直线݈Ԣ的解析式：ݕ=−
1
2 ݔ+ 1，
令ݔ2 −
͹
2 ݔ−2 =−
1
2 ݔ+ 1，
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整理得：ݔ2 −͵ݔ−͵ = ㄹ
解得：ݔ1 =
͵−21
2
，ݔ2 =
͵+ 21
2
（舍去），
∴ܨ点横坐标为2 −
ͷ或ݔ=
͵−21
2
．
（3）解：存在，理由如下：
设ܲ
ݐ,ݐ2 −
͹
2 ݐ−2 ，
又∵ܣͶ,ㄹ，ሻㄹ, −2 ，
∴ܲܣ2 = ݐ−Ͷ 2 + ݐ2 −
͹
2 ݐ−2
2
，ܲ
ሻ2 = ݐ2 + ݐ2 −
͹
2 ݐ
2
，
ܣሻ2 = 2ㄹ，
׶ סሻܣܲ
= ͻㄹι，
׵ ሻܲ
2 = ܣሻ2 + ܣܲ
2，
即：ݐ2 + ݐ2 −
͹
2 ݐ
2
= 2ㄹ+ ݐ−Ͷ 2 + ݐ2 −
͹
2 ݐ−2
2
整理得：2ݐ2 −͵ݐ−2ㄹ= ㄹ，
解得：ݐ1 =−
ͷ
2，ݐ2 = Ͷ（舍去），
∴ܲ
−
ͷ
2 ,1͵ ．
（4）解：存在，
如图，过ܱ
点作ܱ
ܩ٣ ܣሻ于点ܩ，延长ܱ
ܩ至点ܪ，使得ܩܪ=ܱ
ܩ，连接ሻܪ，并延长ሻܪ交抛物线于点ܯ，
作ܩܰ
٣ ݔ轴于ܰ
．
׵ ሻܱ
= ሻܪ，סܱܰ
ܩ= סܱܩܣ= ͻㄹι，
׶ ܣͶ,ㄹ，ሻㄹ, −2 ，
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׵ܱ
ሻ= 2，ܱܣ= Ͷ，
׵ ܣሻ=
22 + Ͷ2 = 2 ͷ，
又׶ܱ
ܩ٣ ܣሻ，
׵
1
2ܱ
ሻڄܱ
ܣ=
1
2ܱ
ܩڄ ܣሻ，
׵
1
2 ൈ2 ൈͶ =
1
2 ൈܱ
ܩൈ2 ͷ，
׵ܱ
ܩ=
Ͷ ͷ
ͷ ，
׶ סܱܩܰ
+ סܣܩܰ
= ͻㄹι，
סܩܣܰ
+ סܣܩܰ
= ͻㄹι，
׵ סܱܩܰ
= סܩܣܰ，
׵ ᇞܱ
ܩܰ׾ ᇞܱ
ܣܩ，
׵ܱܱܰ
ܩ=ܱ
ܩܱ
ܣ，
׵ܱ
ܩ2 =ܱܰ
ڄܱ
ܣ，
׵
Ͷ ͷ
ͷ
2
=ܱܰ
ڄ Ͷ，
∴ܱܰ
=
Ͷ
ͷ，
׵ ݕ=
1
2 ൈ
Ͷ
ͷ −2 =−
ͺ
ͷ，
׵ ܩ
Ͷ
ͷ , −
ͺ
ͷ ，
过ܪ作ܪܲ
٣ ݔ轴，交ݔ轴于ܲ
，
׵ ܩܰ∥ܪܲ，
׵ܱܱܰܲ
=
ܩܰ
ܪܲ=ܱ
ܩܱ
ܪ，
׶ܱ
ܩ= ܩܪ，
׵
Ͷ
ͷܱܲ=
ͺ
ͷ
ܪܲ
=
1
2，
׵ܱܲ
=
ͺ
ͷ，ܪܲ
=
1͸
ͷ ，
׵ ܪ
ͺ
ͷ , −
1͸
ͷ ，
设直线ሻܪ解析式为ݕ= 䁠1ݔ+ 香1，则有
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ͺ
ͷ 䁠1 + 香1 =−
1͸
ͷ
香1 =−2
，
解得：
䁠1 =−
͵
Ͷ
香1 =−2
，
׵直线ሻܪ解析式为ݕ=−
͵
Ͷ ݔ−2，
令−
͵
Ͷ ݔ−2 = ݔ2 −
͹
2 ݔ−2，
整理得：Ͷݔ2 −11ݔ= ㄹ，
解得：ݔ1 =
11
Ͷ ，ݔ2 = ㄹ（舍去），
∴ܯ到ݕ轴的距离为
11
Ͷ ．