重难点专题07利用二次函数与实际问题（专项训练）（原卷版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十六章二次函数_题型专练

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重难点专题07 利用二次函数解决实际问题
重难点一解决增长率有关问题
1.找准基础量、增长率、增长次数，套用通用增长模型列函数解析式；
2.单次增长后量=基础量×(1+增长率)，连续两次增长用二次函数y = a(1 + x)2，下降问题替换为减号；
3.自变量x 为增长率，默认取值范围x > 0，结果需符合实际百分率逻辑；
4.求最值时结合取值范围，优先判断顶点是否在定义域内，不在则取端点值；
5.审题区分“增长到” 和“增长了”，避免基数计算错误。
1．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a 个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y 个，
设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y 与x 的函数关系是（
）
A．ݕ= ㌱1 + ㌱2
B．ݕ= ㌱1 െ㌱2
C．ݕ= 1 + ㌱2 + ㌱
D．ݕ= ㌱2 + ㌱
2．某公司去年的销售额为100 万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长
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率为ݕ%，时间（年）为㌱，假设增长率函数模型为ݕ= 2㌱2 +ܾ㌱+ܿ．根据市场分析，今年（第一年）的
增长率为10%，明年（第二年）的增长率为20%，那么第三年的增长率为______．
3．某公司Ͷ 月份的营收为ͺ0 万元，设每个月营收的增长率相同，且为㌱( ㌱> 0 )，͸ 月份的营收为ݕ万元，
写出ݕ关于㌱的函数解析式．
4．中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B
两种房间，A 种房间房价每天200 元，B 种房间房价每天300 元，今年2 月，该酒店登记入住了120 间，总
营业收入28000 元．
（1）求今年2 月该酒店A 种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A 种房间房价调低2a
元，将B 种房间房价下调a%，由此，今年3 月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B 两种房间入住量都比2
月增加了
ͷ
2a%，总营业收入在2 月的基础上增加了a%，求a 的值．
重难点二销售利润问题
1.牢记核心公式：总利润=单件利润×销售数量，以此为基础搭建二次函数关系式；
2.单件利润=售价-进价，涨价则销量减少、降价则销量增加，准确提取价格与销量的变化比例；
3.设未知数优先设每件涨价/降价x 元，简化列式计算难度；
4.二次函数开口向下，顶点横坐标为利润最大时的价格调整值；
5.必须验证自变量取值范围，售价不能低于进价、销量不能为负数；
6.题目若有整数销量、定价整数要求，顶点非整数时取临近整数对比最值。
1．某服装店衣服售价为280 元时，获得的利润是进价的Ͷ0%，此时每天可卖出200 件衣服．为尽快清空库
存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5 元时，每天销量增加25 件．店主要想每天获得的利润最大，
则需要将售价定为多少元？（
）
A．200
B．220
C．240
D．260
2．软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a 元，软件销售按份按年收费
（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n
（份）与售价x（元/份）的关系为：݊
= 2㌱െ㌱．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当㌱= ㌱元时，
年收入记为ݕ1元；当㌱=
͵
2 ㌱元时，年收入记为ݕ2元，则下列判断正确的是（
）
A．可以找到一个a，使得ݕ1 > ㌱
B．无论a 为多少，都有ݕ1 > ㌱
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C．可以找到一个a，使得ݕ2 >
͵
Ͷ ㌱2
D．无论a 为多少，都有ݕ2 >
͵
Ͷ ㌱2
3．某宾馆有50 个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180 元时，房间会全部住满；当每个房间每
天的定价每增加10 元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20 元的
各种费用．若设有x 个房间空闲，则宾馆利润为y 元．请你写出y 与x 的函数关系式____________________．
4．某商店购进一批单价为50 元的日用商品，如果以单价每个60 元销售时，每周能卖出120 个，若这种商
品零售价每涨价1 元，周销售量就减少3 个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的͵0%，则每周
获得的最大利润为_________元．
5．某商场销售一种进价为每件25 元的商品，售价为每件35 元时，每天可售出50 件；售价每上涨1 元，
每天的销售量就减少2 件．设每件商品的售价为x 元（㌱൒͵ͷ 且㌱为整数），每天的销售利润为y 元．
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
6．商场某种商品进价20 元每件，售价70 元每件，平均每天可销售30 件，为了尽快减少库存，商场决定
采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1 元，商场平均每天可多售出2 件．每件商品定价多
少元时，商场日盈利可达到2000 元？
(1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件商品降价㌱元，由题意，可列方程为：
．
小红：设每件商品定价为a 元，由题意，可列方程为：
．
(2)请写出一种完整的解答过程．
(3)降价多少元时可获得最大利润？最大利润为多少？
重难点三解决拱桥类问题
1.优先建立平面直角坐标系，常规以拱桥顶点为原点或桥面中点为原点，简化解析式系数；
2.根据图像对称性，快速获取抛物线上已知点的坐标；
3.代入坐标用待定系数法求二次函数解析式；
4.求桥高、桥宽、船只通行高度/宽度时，代入x 求y 或代入y 求x；
5.解题必验实际意义，宽度、高度均为正数，舍去负解；
6.遇到双向通行问题，需取单侧宽度计算，避免整体宽度误判。
1．如图所示，拱桥的形状是
抛物线，其函数关系式为ݕ=െ
1
͵ ㌱2，当水面离桥顶的高度为
1͸
͵ m 时，
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水面的宽度为（
）米．
A．7
B．8
C．9
D．10
2．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为ݕ=
െ
1
1͸ ㌱2，正常水位时，水面宽ܣܤ为1͸m，此时拱顶O 到水面ܣܤ的距离为_______m．
3．如图1 是佛山市顺德区顺峰山公园景区的大门，是一座三跨式巨型中式牌坊，享有“中华第一牌坊”的美
誉．已知中间主跨地面宽度ܣܤ为35 米，实际结构可简化为图2 所示的组合图形：上部为抛物线形，下部
为矩形ܣܤ形ܦ．某测量小组测得ܣܦ为3 米，从A 点出发，沿主跨地面向右侧走2 米到达点E，测得E 点处
对应的高度ܧܨ（即点E 上方到抛物线轮廓的竖直距离）为6.3 米，请你结合数据，求出主跨的高度（即抛
物线顶点到地面的距离）．（精确到0精1m）
4．赵州桥的历史距今已有1Ͷ00 多年，是由隋朝著名匠师李春设计建造，是世界上现存年代最久远、跨度
最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形
看成二次函数，建立平面直角坐标系，此时水面ܣܤ的宽为͵͸ 米，水面ܣܤ离桥拱顶点形的高度1ͺ 米．
(1)请你求出二次函数的表达式．
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(2)春夏之际，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面上的部分近似的看成长1Ͷ 米，
宽Ͷ 米，高2精ͷ 米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点形的高度͹ 米，游船是否能顺利通过
赵州桥，请计算说明．
5．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中
间的大拱截面形ㄠܦ可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼．
现有以下三条素材：
素材1：整个图形是轴对称图形；
素材2：跨度ܣܤ= 2Ͷ 米，竖直支撑ܣ形= ܤܦ= 1 米，最高点P 到ܣܤ的距离为5
米；
素材3：两灯笼ܯܧ，ܰܨ之间的水平距离为4 米，点M、N 均在抛物线上且关于抛
物线的对称轴对称．
现以ܣܤ所在直线为x 轴，ܣܤ的垂直平分线（直线ܱ
ㄠ）为y 轴，建立平面直角坐标系．
(1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围）
(2)若ܯܧ=ܰ
ܨ=
2ͷ
1ͺ米，求灯笼底端（点E 或F）到ܣܤ的距离．
6．如图1 是一张乒乓球桌，侧面简化结构如图2 所示，其下方支架ㄠܱ㠵可近似看成一条抛物线的一部分，
台面ܣܤ（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为͹2cm（台面ܣܤ与地面ㄠ㠵之间的距离）．以ܣܤ所
在直线为㌱轴，过点ܱ
且垂直于ܣܤ的直线为ݕ轴建立如图2 所示的平面直角坐标系．抛物线的最高点位
于原点ܱ
处，ㄠ、㠵关于ݕ轴对称，且ㄠ、㠵两点之间的距离为ͻ͸ ͷcm．
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(1)求支架ㄠܱ㠵所在抛物线的函数表达式；
(2)直线型支架形ܧ、ܦܨ的上端形、ܦ均在台面ܣܤ上，下端ܧ、ܨ均在抛物线上，且两条支架形ܧ、ܦܨ关于
ݕ轴对称，ס形ܦܨ= Ͷͷι，已知ܧ、ܨ两点间的距离为1͸0cm，过点ܧ、ܨ分别作㌱轴的垂线，垂足分别为点
ܩ、ܪ，求支架形ܧ与ܦܨ的总长度（即求形ܧ+ ܦܨ）．
重难点四解决投球类问题
1.明确变量含义：x 多为水平移动距离，y 为离地竖直高度；
2.抛物线开口向下，顶点对应球飞行的最高点、最远距离；
3.根据题目场景，确定起点坐标（出手点高度）、落点坐标（落地时y=0）；
4.求最大高度直接算顶点纵坐标，求投掷距离令y=0 解正数x；
5.自变量x≥0，舍去负数解；
6.落地前的高度问题，需限定x 在飞行有效区间内；
7.区分“出手高度”“落地高度”“最高点高度” 三个关键数值，避免混淆。
1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度݄（单位：m）与小球运动时间ݐ（单位：s）之间的函数关系
如图所示．下列结论：①小球抛出3 秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是ͺ0m；③当ݐ= ͷ
时，݄
= 20；④当݄
= ͵ͷ 时，ݐ= 2．其中正确的有（
）
A．①②
B．②③
C．①③④
D．①②④
2．如图，一小球从斜坡O 点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数ݕ= ㌱㌱2 +ܾ㌱（㌱㘠0）刻
画，斜坡可以用一次函数ݕ=
1
2 ㌱刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律
如下表：
x
0
1
2
m
4
5
6
…
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y
0
͹
2
6
1ͷ
2
8
1ͷ
2
n
…
有下列结论：
①݉
= ͵，݊
= ͸；②当小球飞行的水平距离为2 米时，小球距离斜坡的高度为6 米；
③小球的落点A 距离斜坡起点O 的水平距离为7 米；④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为͸精ͷ
米．其中，正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，这是某足球比赛的平面示意图，足球的飞行轨迹可看成抛物线的一部分，足球离地面的高度݄（m）
与足球被踢出后经过的时间ݐ（s）之间的关系的部分数据如下表，则被踢出的足球在第________s 落地．
ݐȀs
0
2
3
4
…݄
Ȁm
0
1͸
ͻ
2
1͸
ͻ
…
4．综合与实践：根据素材回答问题：
茶叶的销售问题
背景
黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又
称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山
种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿
中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）．
素材1
某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60 元，规定每千克售价需超过成本，
但不高于100 元，经调查发现，其日销售量ݕ（千克）与售价㌱（元/千克）之间的
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函数关系如图所示．
(1)任务1：求出ݕ与㌱的函数关系式；
(2)任务2：若该茶叶的日销售量不低于80 千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利
润是多少元；
5．2026 年美加墨世界杯开幕式于当地时间6 月11 日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在
小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的
站立位置为坐标原点，水平前进方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知：
①传球瞬间，足球高度为1 米，即坐标为：0，1 ；
②足球飞行水平距离20 米时，达到最高点，高度为5 米；
③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点͵ͺm～Ͷ2m，球门高度0m～2精ͶͶm．
(1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式；
(2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2 米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离
是多少米？（结果保留根号）
(3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离͵ͺ ൑㌱൑Ͷ2 的范围内，能否
飞入球门？
6．为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线
的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点ㄠ距水平地面的高度ܱ
ㄠ为1精ͺm，实心球到达最高点
时，距出手点的水平距离是Ͷm，距水平地面的高度是͵m，记落地点为ܯ，以ܱ
为原点，ܱܯ所在直线为
㌱轴，ܱㄠ所在直线为ݕ轴建立平面直角坐标系．
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(1)求实心球运动路线所在抛物线的表达式；
(2)若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10m 为满分，请通过计算判断该次练习小明同学
能否得满分；
(3)小明投掷实心球时，有一位身高1精ͺm 的同学正好闯入实心球场地且在线段ܱ
ܯ上跑动，若闯入的同学是
安全的，求此时该同学所在位置的横坐标的取值范围．
7．综合实践
探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响
试验说明
数学兴趣小组为了探究此问题，由一名男生做了两次投掷试验（出手角度不同）．建立如图1 所
示的平面直角坐标系．
实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，实心球着地点到出手点的水平距离为d
米（即掷球成绩）．男生实心球评分标准如下表所示．
d/米
8.4
8.2
7.8
7.6
7.0
6.7
得分
10
9.5
9.0
8.5
7.8
7.6
从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度y 与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系，
两次试验实心球所达到的最大高度相同．
试验过程
【第一次试验】：实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组对应数据如下：
水平距离x/米
0
1
2
3
4
5
6
竖直高度y/米
2
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5
n
【第二次试验】：实心球的竖直高度y 与水平距离x 的函数图象的一部分如图2 所示，其中A 为
第二次试验抛物线的顶点．
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解决问题
(1)根据第一次试验数据，直接写出：݊
= ________；此次试验中实心球达到的最大高度是________米；
(2)求第二次试验的抛物线的解析式；
(3)通过计算说明该男生两次投掷试验的最好成绩是多少分？
重难点五解决喷水问题
1.统一建模思路：水流轨迹为开口向下的抛物线，喷头位置为初始坐标；
2.以地面为x 轴、喷头竖直中线为y 轴建系，简化计算；
3.顶点为水流最高点，可直接读出最大喷水高度；
4.求喷水最远距离令y=0，求解正根即为水平射程；
5.求特定高度的喷水宽度，代入y 值求出两个x 值，差值即为宽度；
6.注意喷头离地有固定高度，初始y 值不为0，切勿默认原点喷水；
7.实际问题中舍弃地面以下、反向喷水的无效解。
1．广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管ܱ
ܣ喷出，ܱܣ长为1精ͷm．水流在各个方向上沿抛物线
路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B 到点O 的距离为͵m．建立如图所示的
平面直角坐标系，水流喷出的高度ݕm 与水平距离㌱m 之间满足函数关系ݕ= ㌱㌱2 + ㌱+ܿ(㌱്
0)，则水
流喷出的最大高度是（
）
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A．1精ͷm
B．2m
C．2精ͷm
D．͵m
2．小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为
20m，水池中心ܱ
处立着一个圆柱形实心石柱ܱ
ܯ，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈
拋物线型，水柱在距水池中心Ͷm 处到达最大高度为͸m，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点ܯ处汇
合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则ܱ
ܯ的高度是（）
A．͵m
B．
10
͵ m
C．
11
͵ m
D．Ͷm
3．某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管ܱ
ܣ喷出，ܱܣ的长为1精ͷm，水流在各个方向上沿
形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点ܤ到点ܱ
的距离为͵m．建
立平面直角坐标系，水流喷出的高度ݕ（单位：m）与水平距离㌱（单位：m）之间近似满足函数关系式ݕ= ㌱㌱2 +
㌱+ܿ（㌱്
0），则水流喷出的最大高度为_____________．
4．小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部ܣ下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口ܤ
流出，已知瓶身横截面为轴对称图形，ܱܣ为其对称轴，下部分的视图是矩形形ܩܪܦ，ܩܪ= 10cm，ܩ形=
ͺcm，ܧܨ= ͸cm，点ܧ到台面ܩܪ的距离为1Ͷcm，点ܤ距台面ܩܪ的距离为1͸cm，且B，D，H 三点共线．如
果从喷口ܤ流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C、E 两点．
（1）则ܦܧ的长为_______cm；
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（2）接洗手液时，当手心㠵距ܦܪ的水平距离为2cm 时，手心㠵距水平台面ܩܪ的高度为_______cm．
5．如图，为助力乡村振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为݅
= ͵：Ͷ 的斜坡上点A 处安装自动浇灌装置（其
高度忽略不计），为坡地ܣܤ进行浇灌，点A 处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知ܣܤ= 10m，
水柱在距出水口A 的水平距离为2m 时，达到距离地面ܱ
ܤ的竖直高度的最大值为ͺm．以ܱ
ܤ所在的水平
方向为㌱轴，ܱܣ所在的竖直方向为ݕ轴建立平面直角坐标系．
(1)求ܱ
ܣ的长；
(2)求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
(3)若该装置浇灌的最远点为ܣܤ上的点形处，求点形距出水口的水平距离．
6．综合与实践：问题情境
喷泉集环境保护、娱乐休闲、小区美化与装饰艺术于一身，通常是城市的重要景观．为了解喷泉设计的奥
秘，综合实践小组的同学对抛物线形喷泉展开探究．
资料收集
实践小组收集到某公园内一种喷泉的基本资料（由甲、乙两组喷泉组成），并进行组内交流：
小明：如图1，甲组喷泉喷水孔点O 在水平地面上，喷出的水柱形状为抛物线形，其跨度ܱ
ܯ（水流喷水孔
点O 与落地点M 之间的水平距离）为Ͷm，最高点距地面͵m．
小亮：图2 是乙组喷泉水柱形状的示意图，ܱܣ为喷水管，点A 为喷水孔，此时B 为水的落地点，记ܱ
ܤ的
长度为此时喷泉的跨度，两组喷泉的抛物线形状相同，乙组喷泉最高点距地面也为͵m．
小颖：图3 是甲、乙两组喷泉同时喷水时的示意图，公园要在两组喷泉之间设立安全通道，安全通道形ܦ在
线段ܱ
ܤ上，要求在两组喷泉同时喷水时，水柱都不会进入形ܦ上方的安全区域矩形形ܦܧܨ内．
数学建模
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如图3，以甲组喷泉喷水孔点O 为坐标原点，ܱܯ所在直线为x 轴，过点O 竖直向上为y 轴的正方向，建立
平面直角坐标系．
问题解决
(1)求图3 中甲组喷泉抛物线的函数表达式；
(2)若乙组喷泉跨度ܱ
ܤ恰好为͵m，求喷水管ܱ
ܣ的高度；
(3)在（2）的条件下，若能够进入该安全通道的儿童的最大身高为
21
1͸ m，求此时安全通道形ܦ的宽度．
7．项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究．
项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的
安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图1 是无人机的示意图，其中点ܱ
为无人机的摄像头，ܣ，ܤ是喷药口，ܣ，ܤ，ܱ，在同一条水
平直线上，ܣܤ= ͸0cm．如图2，以无人机摄像头所在位置ܱ
为坐标原点，竖直方向为ݕ轴，以ܣܤ所在直
线为㌱轴，建立平面直角坐标系．喷药口点ܣ和点ܤ到点ܱ
的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方
向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与ݕ轴的交点为形，ܱ形= ͵00cm．
（1）依题意，得点ܣ的坐标为：______；求出点ܣ所在抛物线的函数表达式．
问题解决；
（2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为300cm，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到
图3 位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为ܧܨ的区域，且ܧܨ= ͵0cm 时，田埂高度忽略不计）恰好不被
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喷洒农药，求无人机应该下降的高度；
（3）如图4，在直线ܣܤ上再增加2 个喷药口ܯ和ܰ
，ܯ在ܣ左侧，ܰ
在ܤ右侧，ܯܣ= ܣܤ= ܤܰ，当无
人机上升到距地面的高度为480cm 时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度ㄠ㠵的长．
重难点六解决几何图形问题
1.核心思路：用含x 的代数式表示图形的边长、底、高、半径等关键量；
2.结合矩形、三角形、圆形、梯形面积/周长公式，推导二次函数解析式；
3.面积问题多为求最值，周长限定条件下分析边长取值范围；
4.自变量必须满足边长大于0，多个边长需同时符合正数条件，取公共取值范围；
5.图形裁剪、拼接题型，找准不变量和变化量，以变化边长设未知数；
6.开口方向决定最值，开口向上有最小面积，开口向下有最大面积。
1．如图，利用一面墙，用40 米长的篱笆围成一块矩形场地，如果墙长为25 米，那么围成矩形场地的最大
面积是（
）
A．1ͷ0m2
B．200m2
C．2ͷ0m2
D．Ͷ00m2
2．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外
用栅栏围成，栅栏总长度为ͷ0m，门宽为2m．若饲养室长为㌱m，占地面积为ݕm2，则ݕ关于㌱的函数表
达式为（
）
A．ݕ=െ
1
2 ㌱2 + 2͹㌱െͷ2 2 ൑㌱൑ͷ2
B．ݕ=െ
1
2 ㌱2 + ͷ0㌱2 ൑㌱൑ͷ2
C．ݕ=െ
1
2 ㌱2 + ͷ2㌱2 ൑㌱൑ͷ2
D．ݕ=െ
1
2 ㌱2 + 2͸㌱2 ൑㌱൑ͷ2
3．用总长为㌱米的材料做成如图1 的矩形窗框，设窗框的宽为㌱米，窗框的面积为ݕ米
2，ݕ关于㌱的函
数图象如图2，则㌱的值是______．
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4．如图，在矩形ܣܤ形ܦ中，ܣܤ= Ͷ，ܣܦ= ͸，动点ܧ从点ܦ出发向终点ܣ运动，连接ܤܧ，以ܤܧ为边在
ܤܧ上方作正方形ܤܧܨܩ，在点ܧ运动的过程中，阴影部分面积的最小值为___________．
5．如图，一块矩形场地的长为Ͷ0m，宽为͵0m．现将这块地划分成四块，分别种植：
A．郁金香
B．月季
C．菊花
D．玉兰花
(1)求这块场地中种植月季的面积ݕm2 关于ܤ场地的长㌱m 的函数表达式，并求出自变量㌱的取值范围．
(2)当㌱是多少时，种植月季的面积最大？最大面积是多少？
6．如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为͸0m），
其他的边用总长͹0m 的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m 的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备
注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8 米处，规划有机动车停车位）
(1)设自行车车棚面积为ܵ m2，车棚宽度ܣܤ为㌱m，求ܵ
与㌱之间的函数关系式为_____，并直接写出自变
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量㌱的取值范围______；
(2)若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明．
7．把一边长为Ͷ0cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．如
图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．
(1)要使折成的长方形盒子的底面积为ͶͺͶcm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(2)折成的长方形盒子的侧面积为͸00cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
(3)折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形边长；如果没
有，说明理由．
重难点七二次函数在动态几何中的应用
1.先标记动点运动速度、运动时间t，用速度×时间表示动点移动的线段长度；
2.结合几何图形性质（直角、平行、相似、全等），转化出动态边长、高的表达式；
3.将几何面积、线段长度、周长转化为关于t 的二次函数；
4.严格限定自变量取值范围：动点未超出图形边界，t 最小值为0，最大值为动点到达端点的时间；
5.最值求解优先看顶点，顶点t 值在定义域内取顶点最值，超出则取区间端点；
6.直角动点、垂直动点题型，可结合勾股定理列方程，联立二次函数求解；
7.多动点问题分别表示各点动态线段，避免变量混淆，统一用时间t 为唯一自变量。
1．如图1，在ᇞܣܤ形中，ס形= ͻ0ι，ܤ形= Ͷcm，ܣܤ=݊
cm，动点ㄠ，㠵均以1cmȀs 的速度从点形同时出
发，点ㄠ沿折线形՜ ܤ՜ ܣ向点ܣ运动，点㠵沿边形ܣ向点ܣ运动，当点㠵运动到点ܣ时，两点都停止运
动．ᇞㄠ形㠵的面积ܵ（单位：cm2）与运动时间ݐ（单位：s）的关系如图2 所示，则下列结论错误的是（
）
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A．݉
= ͺ
B．ܵ
= ͺ 时，ݐ= Ͷ
C．݊
= 12
D．ݐ= ͹精ͷ 时，ᇞㄠ形㠵面积最大
2．如图，在矩形ܣܤ形ܦ中，ܣܤ= ͸，ܤ形= Ͷ，P，Q 分别是边ܣܤ，形ܦ上的动点，形㠵= 2ܣㄠ，设ܣㄠ= ㌱，ㄠ㠵2 =
ݕ，则y 关于x 的函数图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在ᇞܣܤ形中，סܤ= ͻ0ι，ܣܤ= ͸cm，ܤ形= 12cm，动点ㄠ从点ܣ开始沿边ܣܤ向ܤ以1cmȀs 的
速度移动（不与点ܤ重合），动点㠵从点ܤ开始沿边ܤ形向形以2cmȀs 的速度移动（不与点C 重合）．如果
ㄠ，㠵分别从ܣ，ܤ同时出发，那么经过______秒，四边形ܣㄠ㠵形的面积最小．
4．如图1，在ᇞܣܤ形中，ס形= ͻ0ι，ܣ形= ܤ形= ͵cm，动点ܧ从点ܣ，出发以1cmȀs 的速度沿折线ܣ形െ形ܤ
方向运动到点ܤ停止，动点ܨ以2cmȀs 的速度沿ܣܤ方向运动到点ܤ停止．设ᇞܣܧܨ的面积为ݕcm2，运
动时间为㌱s．表示ݕ与㌱之间关系的图象如图2 所示，则当面积ݕ= ͵ 时，对应的运动时间㌱的值是
_________．
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5．已知，如图正方形ܣܤ形ܦ的边长为Ͷcm，点ㄠ是边ܤ形上一个动点（不与ܤ，形重合），连接ܣㄠ，过点
ㄠ作ㄠ㠵٣ ܣㄠ交形ܦ于点㠵，设ܤㄠ= ㌱cm，形㠵= ݕcm．
(1)求ݕ与㌱间的函数关系式，并求ݕ的最大值．
(2)画出函数的图象．
6．如图所示，已知在ᇞܣܤ形中，סܤ= ͻ0ι，ܣܤ= ͷcm，ܤ形= Ͷcm，点Q 从点A 开始沿ܣܤ边向点B 以1cmȀs
的速度移动，点P 从点B 开始沿ܤ形边向点C 以2cmȀs 的速度移动，当P 运动到C 时，两点停止运动．设
运动时间为t 秒．
(1)填空：ܤ㠵=
，
ㄠܤ=
．（用含t 的代数式
表示）；
(2)如果P、Q 分别从A、B 两点出发，那么几秒后，ᇞㄠܤ㠵的面积等于Ͷcm2？
(3)在（1）中，ᇞㄠܤ㠵的面积能否等于͹cm2？试说明理由．
(4)点P、Q 运动几秒后，ᇞㄠܤ㠵的面积最大？最大值为多少？
7．如图，在边长为Ͷcm 的正方形ܣܤ形ܦ中，点ㄠ沿边ܣܦ从点ܣ开始沿ܣെܦെ形向点形以2cmȀs 的速
度移动，同时，点㠵沿边ܣܤ从点ܣ开始沿ܣെܤ向点ܤ以1cmȀs 的速度移动．点ㄠ出发时间为㌱㌱> 0 s，
ᇞㄠܣ㠵的面积为ݕcm2．
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(1)分别求出点ㄠ在边ܣܦ，形ܦ上的ݕ与㌱的函数关系式．
(2)当㌱=
͵
2时，求ᇞㄠܣ㠵的面积．
(3)当ᇞㄠܣ㠵的面积为正方形ܣܤ形ܦ面积的
͵
ͺ时，求㌱的值．
8．如图，在四边形ܣܤ形ܦ中，ܣܤ∥形ܦ，形ܧ٣ ܣܤ于点ܧ，ܣܧ= ͺ，ܤܧ= 形ܧ= Ͷ，ܦ形= 2．动点ㄠ从点ܣ
出发，沿ܣ՜ ܤ方向以每秒2 个单位长度的速度运动，同时动点㠵从点ܧ出发，沿折线ܧ՜ 形՜ ܦ方向以
每秒1 个单位长度的速度运动．当点㠵到达点ܦ时，ㄠ、㠵两点都停止运动．设动点ㄠ运动的时间为㌱秒，
ᇞㄠܧ㠵的面积为ݕ．
(1)请直接写出ݕ关于㌱的函数关系式并注明自变量㌱的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出当函数ݕ= Ͷ 时㌱的值．（结果保留一位小数，误差不超过0精2）