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因式分解计算题专项训练（8 大题型80 道）
【经典计算题一 提公因式进行因式分解】
1．因式分解：
2
4(
)(2
3 ) (3
2 )
a b
a
b
b
a b
-
-
+
-
2．用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)
2
3
2
2
2
4
8
12
x y
x y z
xy z
+
-
；
(2)
3
3
5
2
20
2
x x
y
y
y
x
-
-
-
．
3．分解因式：
(1) ² ²
a x
ax
-
(2)
2
14
7
49
abc
ab
ab c
-
-
+
4．运用拆项法因式分解：
3
8
7
x
x
-
+
；
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5．分解因式：
(1)
2
21
14
35
xy
xz
x
-
+
；
(2)
2
15
10
5
xy
x
x
+
-
；
(3)
2
3
2
4
2
a
b
a
b
a
a
b
+
-
-
+
；
(4)
2
2
2
x
x
-
-
+
．
6．把下列各式分解因式：
(1)
2
3
2
5
20
5
a b
ab
ab
-
+
-
；
(2)
2
x
y
x
y
x
y
+
-
-
+
；
(3)
2
3
8
4
a x
y
y
x
-
-
-
；
(4)
2
2
4
4
x x
xy
x
xy
-
-
-
．
7．用提公因式法分解因式：
(1)
2
6
6
a
a
b
ab b
a
-
+
-
；
(2)
2
a
ab
c a
b
-
+
-
．
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8．将下列各式分解因式：
(1)
2
5
a
a
-
；
(2) ab
ac
+
；
(3)
3
2
3
4
6
a b
ab c
-
；
(4)
2
2
3
3
2
3
x y
x y
x y
-
-
．
9．分解因式：
(1)
2
3
6
x
xy
-
(2)
2
2
3
12
3
m a
ma
ma
-
-
+
10．计算：
2
2
4
6
2
x y
xy
xy
-
+
-
．
【经典计算题二 运用乘法公式进行因式分解】
11．分解因式：
(1)
3
9x
x
-
(2)
2
4 12
9
x
y
x
y
-
-
+
-
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12．分解因式：
(1)
2
6
9
mx
mx
m
-
+
．
(2)
2
16
a
x
y
x
y
-
+
-
．
(3)
2
2
6
a b
ab
-
-
．
(4)
2
2
2
2
2
4
x
y
x y
+
-
．
13．把下列各式因式分解：
(1)
15
10
p p
q
p
q
+
-
+
；
(2)
2
2
2
2
2
4
x
y
x y
+
-
．
14．分解因式：
(1)
2
2
4
a
b
-
(2)
2
16
24
9
x
x
+
+
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15．因式分解：
(1)
2
a a
b
b b
a
-
-
-
(2)
2
2
2
1
4
x
x
+
-
16．分解因式：
(1)
3
2
4
a b
a
-
；
(2)
2
2
2
2
2
4
x
y
x y
+
-
17．因式分解
(1)
2
2
a
x
y
b
y
x
-
+
-
；
(2)
2
2
8
x -
＋8
2
8
x -
＋16．
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18．因式分解
(1)
2
2
5
15
x y
xy
xy
-
+
(2)
2
81
x -
(3)
3
4
x
x
-
(4)
3
1
4
x
x
-
+
+
19．把下列各式分解因式：
(1)
2
2
2
5
12
5
36
m
m
+
-
+
+
；
(2)
2
2
2
2
2
9
36
x
y
x y
+
-
．
20．分解因式：
(1)
2
2
12
3
x
y
-
(2)
12
36
a
b
a
b
+
+
-
+
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【经典计算题三 乘法公式在有理数简算中的应用】21．简便计算
(1)
2
2
199
199
400
200
-
´
+
(2)
2
2
2
2
2
2
2
2
20
19
18
17
16
15
2
1
-
+
-
+
-
+¼+
-
22．简便计算：
(1) 21 3.14
62 3.14 1.7 31.4
´
+
´
+
´
；
(2)
3
2
3
2
2025
2025
2024
2025
2025
2026
-
-
+
-
．
23．（1）因式分解：
2
4
9
4
x
y
y
-
-
-
；
（2）利用因式分解计算：
2
2
202
202 196 98
´
+
+
．
24．利用乘法公式计算：
2
2
2024
4048
2014
2014
-
´
+
．
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25．简便计算：
(1)
2
9999 10001 10000
´
-
；
(2)
2
99999
199999
+
．
26．利用乘法公式简便计算．
(1)
2
2020
2022
2021
´
-
(2)
2
2
3.672
6.328
6.328 7.344
+
+
´
27．（1）利用因式分解计算：21 3.14
62
3.14
17
3.14
´
+
´
+
´
（2）分解因式：
2
2
3
6
3
ax
axy
ay
+
+
28．简便计算：
2
2011
2007 2015
-
´
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29．请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算．
例1：
2
2
2
101
100 1
100
2 100 1 1 10201
=
+
=
+ ´
´ + =
；
例2：
2
2
17 23
20
3
20
3
20
3
391
´
=
-
+
=
-
=
．
(1)
2
99 ；
(2)
2
2022
2021 2023
-
´
．
30．利用因式分解计算：
(1)76 20.22
43 20.22 19 20.22
´
+
´
-
´
；
(2)
2
2
3.14 8.75
3.14 7.75
´
-
´
；
(3)
2
2
50 9.5
100 9.5 7.5
50 7.5
´
-
´
´
+
´
．
【经典计算题四 十字相乘法】
31．阅读下列材料：
将
2
2
35
x
x
+
-
分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项：
2x
x x
=
×
，
35
5
7
-
= -
´ +
．
②交叉相乘，验中项：
．
③横向写出两因式：
2
2
35
7
5
x
x
x
x
+
-
=
+
-
．
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．
试用上述方法分解因式：
(1)
2
5
4
x
x
+
+
；
(2)
2
6
7
x
x
-
-
；
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32．【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式
2
2
3
x
x
-
- ．
Ⅰ．次项系数2
1 2
= ´
．
Ⅱ．常数项3
1 3
1 ( 3)
- = - ´ = ´ -
，验算：“交叉相乘之和”
①1 3
2 ( 1)
1
´ + ´ -
= ，②1 ( 1)
2 3
5
´ -
+ ´ =
，
③1 ( 3)
2 1
1
´ -
+ ´ = - ，④1 1
2 ( 3)
5
´ + ´ -
= - ．
Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数1
- ，
即
2
2
(
1)(2
3)
2
3
2
3
2
3
x
x
x
x
x
x
x
+
-
=
-
+
-
=
-
- ，
则
2
2
3
(
1)(2
3)
x
x
x
x
-
-
=
+
-
．
像这样分解因式的方法叫做十字相乘法．
【迁移运用】仿照此方法，分解因式：
(1)
2
5
6
x
x
-
+
；
(2)
2
3
2
8
x
x
+
- ．
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33．利用整式的乘法运算法则推导得出：
2
(
)(
)
(
)
ax
b cx
d
acx
ad
bc x
bd
+
+
=
+
+
+
．我们知道因式分解是与整
式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得
2
(
)
(
)(
)
acx
ad
bc x
bd
ax
b cx
d
+
+
+
=
+
+
．通过观察可把
2
(
)
acx
ad
bc x
bd
+
+
+
中看作以x 为未知数，a、b、c、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项
式的二次项系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数．分解过程可形象地表述为“竖乘得
首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如：将二次三项式
2
2
11
12
x
x
+
+
的二
次项系数2 与常数项12 分别进行适当的分解，如图2，则
2
2
11
12
(
4)(2
3)
x
x
x
x
+
+
=
+
+
．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法分解因式：
2
6
27
x
x
+
-
；
(2)用十字相乘法分解因式：
2
6
7
3
x
x
-
-
；
(3)结合本题知识，分解因式：
2
20(
)
7(
)
6
x
y
x
y
+
+
+
-
．
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34．阅读材料
材料1 将一个形如
2x
px
q
+
+
的二次三项式因式分解时，如果能满足q
mn
=
且p
m n
=
+ ，则可以把
2x
px
q
+
+
因式分解成(
)(
)
+
+
x
m x
n ．
例：①
2
4
3
1
3
x
x
x
x
+
+
=
+
+
；
②
2
4
12
6
2
x
x
x
x
-
-
=
-
+
．
材料2 因式分解：
2
(
)
2
1
x
y
x
y
+
+
+
+ ．
解：将“ x
y
+
”看成一个整体，令x
y
A
+
=
，则原式
2
2
2
1
(
1)
A
A
A
=
+
+ =
+
，
再将“A”还原，得原式
2
(
1)
x
y
=
+
+
．
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
(1)根据材料1，把
2
6
8
x
x
-
+
分解因式；
(2)结合材料1 和材料2，完成下面小题：
①分解因式：
2
(
)
4
3
x
y
x
y
-
+
-
+
；
②分解因式：
2
2
2
2
3
4
m
m
m
m
+
+
-
-
．
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35．【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究：
（1）
2
1
5
6
5
x
x
x
x
+
+
=
+
+
；
（2）
2
3
2
5
6
x
x
x
x
-
-
=
-
+
；
（3）
2
4
2
2
8
y
y
y
y
+
-
=
+
- ．
我们发现，形如
x
p
x
q
+
+
的两个多项式相乘，其结果一定为
2x
p
q x
pq
+
+
+
（p，q 为整数）．因式分
解是与整式乘法方向相反的变形，故有
2x
p
q x
pq
x
p
x
q
+
+
+
=
+
+
，即可将形如
2x
p
q x
pq
+
+
+
的
多项式因式分解成(
x
p
x
q
+
+
（p，q 为整数）．
【初步应用】
（1）用上面的方法分解因式：
2
2
3
a
a
+
-
= ______；
【类比应用】
（2）规律应用：若
2
2
4
8
a
m
a
-
-
+
可用以上方法进行因式分解，求整数m 的所有可能值；
【拓展应用】
（3）分解因式：
2
3
10
a
b
a
b
+
-
+
+
．
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36．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式
2
x
a
x
b
x
a
b x
ab
+
+
=
+
+
+
，即
2x
a
b x
ab
x
a
x
b
+
+
+
=
+
+
是否可以分解因式呢？当然可以，而且
也很简单．如
2
2
5
4
1 4
1 4
1
4
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+ ´
=
+
+
；
2
2
3
4
1 4
1
4
1
4
x
x
x
x
x
x
-
-
=
+
-
+ ´ -
=
+
-
．
请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：
(1)
2
7
6
x
x
+
+
；
(2)
2
3
10
x
x
+
-
；
(3)
2
10
16
x
x
-
+
；
(4)
2
7
18
x
x
-
-
．
37．因式分解：
2
2
9
8
x y
xy
+
+ ．
38．因式分解：
2
2
2
2
2
5
2
6
x
x
x
x
-
+
-
-
．
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39．阅读理解
阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以
简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因
式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”．
下面是小亮同学用换元法对多项式
2
2
(
4
1)(
4
7)
9
x
x
x
x
+
+
+
+
+ 进行因式分解的过程．
解：设
2
4
x
x
y
+
=
，则原式
1
7
9
y
y
=
+
+
+ （第一步）
＝
2
8
16
y
y
+
+
（第二步）
＝
2
(
4)
y+
（第三步）
故原式
2
2
(
4
4)
x
x
=
+
+
（第四步）．
4
(
2)
x
=
+
； （第五步）
请根据上述材料回答下列问题：
(1)初步理解：
小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)尝试应用：
请你用换元法对多项式
2
2
2
2
2
3
x
x
x
x
-
-
-
-
进行因式分解；
(3)灵活运用：
请你将多项式(
3)(
1)(
4)
36
x x
x
x
+
-
-
+
进行因式分解
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40．睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121 页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次
三项式
2x
p
q x
pq
x
p
x
q
+
+
+
=
+
+
的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式
2
7
10
x
x
+
+
因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项10
2 5
=
´ ，一次项系数7
2
5
=
+
，则
7
10
2
5
x
x
x
x
+
+
=
+
+
，如图所示，仿照上述解决下列问题：
(1)因式分解：
2
6
8
x
x
+
+ ；
睿睿做了如下分析：
一次项为：
6
+
=
d □
，则常数项为：
8
´ =
d □
；
则=
d ________；=
W ________；
∴
2
6
8
x
x
+
+
= （x + ____）（x + ____）
(2)因式分解：
2
5
6
x
x
-
+
；
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【经典计算题五 分组分解法】
41．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2
3
4
6
a
ab
b
+
-
-
分解因式．
【观察】经过小组合作与交流，小明得到了如下的解决方法：
原式
2
4
3
6
a
ab
b
=
-
+
-
2
2
3
2
a
b a
=
-
+
-
2
2
3
a
b
=
-
+
【类比】（1）请用分组分解法将
2
2
x
a
x
a
-
+
+
分解因式．
【挑战】（2）请用分组分解法将
2
2
2
ax
a
ab
bx
b
+
-
-
+
分解因式．
42．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
甲：
2
4
4
x
xy
x
y
-
+
-
2
4
4
x
xy
x
y
=
-
+
-
（分成两组）
4
x x
y
x
y
=
-
+
-
（直接提公因式）
4
x
y
x
=
-
+
，
乙：
2
2
2
2
a
b
c
bc
-
-
+
2
2
2
2
a
b
c
bc
=
-
+
-
（分成两组）
2
2
a
b
c
=
-
-
（直接运用公式）
a
b
c
a
b
c
=
+
-
- +
请你在他们的解法的启发下，解答下面各题：
(1)因式分解：
2
2
4
1
4
a
b
a
-
+ +
；
(2)已知
3,
5
a
b
a
c
-
=
-
= - ，求式子
2
a
ac
ab
bc
-
-
+
的值．
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43．分解因式：
(1)
2
2
2
4
mn
mn
n
-
+
-
；
(2)
2
2
4
4
4
3
x
x
y
y
-
-
+
- ；
(3)
2
2
2
2
2
4
4
4
4
1
a
a
a b
b
ab
+
-
-
-
+ ．
44．先阅读，再解决问题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法．
例如：
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a m
n
b m
m
m
n
a
b
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
．
(1)分解因式：
2
2
4
ab
a
b
-
-
+ ；
(2)若
2
2
2
2
6
9
0
m
mn
n
n
+
+
-
+
=
，求m 和n 的值．
45．（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a m
n
b m
n
a
b
m
n
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
．
①分解因式：
3
3
9
ab
a
b
-
-
+ ；
②若
3
3
9
M
ab
a
b
=
-
-
+ ．a ，
b a
b
<
都是正整数且
4
M =
，求3a
b
+
的值；
（2）若a ，b 为实数且满足
2
1
0
ab
a b
-
- - =
，整式
2
2
3
4
7
N
a
ab
b
a
b
=
+
+
-
-
，求整式N 的最小值．
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46．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分别分解的方法是因式分解中的分组分解法，常见的分
组分解法的形式有：“ 2
2
+
”分法、“3 1
+ ”分法、“3 2
+
”分法及“3 3
+ ”分法等．如“ 2
2
+
”分法：
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
ax
ay
bx
by
ax
ay
bx
by
a x
y
b x
y
x
y a
b
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
． 再如“3 1
+ ”分法：
2
2
2
2
2
2
2
16
2
16
4
4
4
x
xy
y
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
-
+
-
=
-
+
-
=
-
-
=
-
+
-
-
．利用上述方法解决下列问题：
(1)分解因式：
①
2
2
9
6
16
x
xy
y
-
+
-
．
②
2
2
4
4
4
4
1
a
a
a b
b
ab
+
-
-
-
+ ．
(2)已知：a、b、c 为
ABC
V
的三条边，
2
2
2
4
4
6
17
0
a
b
c
a
b
c
+
+
-
-
-
+
=
，求
ABC
V
的周长．
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47．因式分解课后，老师给同学们布置了如下作业．
因式分解：
2
2
1
x
y
x
y
+
+
+
+ ．
小明：将“ x
y
+
”看成整体，令x
y
A
+
=
，则原式
2
2
2
1
1
A
A
A
=
+
+ =
+
，再将“A”还原，可以得到原式
2
1
x
y
=
+
+
．
张老师：上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请大家仿照小明的做
法完成下列题目．
(1)因式分解：
2
2
2
x
xy
y
+
+
．
(2)因式分解：
2
2
9
2
a
ab
b
- -
+
．
(3)因式分解：
2
2
4
1
4
7
9
a
a
a
a
-
+
-
+
+
．
48．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下：
甲:
2
2
2
4
a
ab
b
-
-
+
2
2
2
4
a
ab
b
=
-
+
-
（分成两组）
2
2
(
)
2
a
b
=
-
-
（直接运用公式）
=
2
2
a
b
a
b
- +
- -
．
乙
2
: a
ab
a
b
-
-
+
2
a
ab
a
b
=
-
-
-
（分成两组）
a a
b
a
b
=
-
-
-
（提公因式）
1
a
b
a
=
-
-
．
请在他们解法的启发下，解答下列各题：
(1)
3
2
2
4
8
m
m
m
-
-
+ ；
(2)
2
2
2
9
x
xy
y
-
+
- ．
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49．阅读材料：要把多项式am
an
bm
bn
+
+
+
分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：
am
an
bm
bn
am
an
bm
bn
a m
n
b m
n
m
n
a
b
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
，这种分解因式的方法叫做分组
分解法．
(1)请用上述方法分解因式：
2
2
x
y
x
y
-
+
-
；
(2)已知
3
a
b
-
=
，
5
a
c
+
= - ，求式子
2
ac
bc
a
ab
-
+
-
的值；
(3)分解因式：
3
2
6
11
6
x
x
x
+
+
+ =______．
50．【阅读理解】
对于二次三项式
2
2
2
x
ax
a
+
+
，能直接用公式法进行因式分解，得到
2
2
2
2
(
)
x
ax
a
x
a
+
+
=
+
，但对于二次三
项式
2
2
2
3
x
ax
a
+
-
，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式
2
2
2
3
x
ax
a
+
-
中先加
上一项
2
a ，使其成为完全平方式，再减去
2
a 这项，使整个式子的值不变，于是：
2
2
2
2
3
x
ax
a
x
+
-
=
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
4
(
)
(2 )
(
2 )
ax
a
a
a
x
ax
a
a
x
a
a
x
a
a
+
-
-
=
+
+
-
=
+
-
=
+
+
(
2 )
(
3 )(
)
x
a
a
x
a x
a
+
-
=
+
-
．像这样把
二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
【问题解决】将下面的式子分解因式：
(1)
2
8
15
a
a
-
+
；
(2)
2
2
2
8
x
ax
a
+
-
．
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【经典计算题六 因式分解的应用型计算】
51．已知
5
a
b
+
=
，
3
ab = ．
(1)求代数式
3
2
2
3
2
a b
a b
ab
+
+
．
(2)求a
b
- 的值．
52．已知
2
1
3
x x
x
y
-
-
-
= - ，求
2
2
2
x
y
xy
+
-
的值．
53．探究题：
【问题情景】
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
2
6
9
x
x
-
+
=___________；
2
25
10
1
x
x
+
+ = __________；
2
4
12
9
x
x
+
+
= ___________；
【探究发现】
（2）观察上述三个多项式的系数，有
2
6
4 1 9
-
=
´ ´ ，
2
10
4 25 1
=
´
´ ，
2
12
4 4 9
=
´ ´ ，于是小明发现：若多
项式
2
0,
0
ax
bx
c a
c
+
+
>
>
是完全平方式，那么系数a 、b 、c 之间存在的关系式为__________；
【问题解决】
（3）若多项式
2
1
2
6
6
k
x
k
x
k
+
-
+
+
+
是一个完全平方式，利用（2）中的结论求出k 的值．
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54．对于多项式
2
2
2
x
ax
a
+
+
可以直接用公式法分解因式为
2
(
)
x
a
+
的形式，但对于多项式
2
2
2
3
x
ax
a
+
-
就不
能直接用公式法了，此时我们可以在多项式
2
2
2
3
x
ax
a
+
-
中先加上
2
a ，使其成为完全平方式，再减去
2
a ，
使整个式子的值不变，于是有：
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
x
ax
a
x
ax
a
a
a
x
ax
+
-
=
+
-
+
-
=
+
+
2
2
2
2
4
(
)
(2 )
(
3 )(
)
a
a
x
a
a
x
a x
a
-
=
+
-
=
+
-
．像上面这样分解因式的方法叫做添项法．
(1)利用上述方法分解因式：
2
4
3
x
x
+
+ ；
(2)求多项式
2
10
28
x
x
+
+
的最小值，并求出此时x 的值．
55．阅读下列材料：整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是某同学对多项式
2
2
2
2
2
1
x
x
x
x
+
+
+
+ 进行因式分解的过程：
解：设
2
2
x
x
y
+
=
原式
2
1
y y
=
+
+ （第一步）
2
2
1
y
y
=
+
+ （第二步）
2
1)
y +
=(
（第三步）
2
2
2
1
x
x
=
+
+
．（第四步）
问题：
(1)该同学没有完成因式分解，请你直接写出最后的结果__________；
(2)请你结合以上的思想方法对多项式
2
2
4
4
8
16
x
x
x
x
-
-
+
+
进行因式分解；
(3)若
2
2
2
2
1
1
63
x
y
x
y
+
+
+
-
=
，求
2
2
x
y
+
的值．
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56．小亮在课余时间写了三个算式：
2
2
2
2
2
2
3
1
8 15
3
8 2 7
5
8 3
-
= ´
-
= ´
-
= ´
，
，
．通过观察，小亮发现任意两个
连续奇数的平方差是8 的倍数
(1)
2
2
9
7
-
的结果是8 的几倍？
(2)设两个连续奇数为2
1 2
1
n
n
+
-
，
（n 为正整数），写出它们的平方差，并判断其结果是否是8 的倍数
57．数学小组在研究式子
2
2
M
N
﹣
时，发现当M，N 是具有某种关联关系的两位数时，具有一定的运算规律：
2
2
11
11
0
-
=
①
2
2
21
12
1 3 99
´ ´
-
=
②
2
2
32
23
1 5 99
´ ´
-
=
③
2
2
42
24
2 6 99
´ ´
-
=
④
根据上述规律解决下列问题：
(1)填空：
2
2
52
25
-
=
7
99
´ ´
；
(2)若两位数M，十位上的数字为a，个位上的数字为b，写出你发现的规律，并加以证明；
(3)小智发现某一式子
2
2
M
N
M
N
-
¹
的结果恰好是一个整数的平方，直接写出M 的值．
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58．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都
为n 的小正方形，五块是长为m、宽为n 的全等小矩形，且m
n
>
．（以上长度单位：cm ）
(1)用含m，n 的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和；
(2)观察图形，发现可以用两种方法表示矩形纸板的面积：方法1：_______，方法2：______，利用面积相
等可以将代数式
2
2
2
5
2
m
mn
n
+
+
因式分解为________；
(3)若每块小矩形的面积为
2
10cm ，四个正方形的面积和为
2
58cm ，试求
2
m
n
+
的值．
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59．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长
都为n 的小正方形，五块是长为m，宽为n 的全等小长方形，且m
n
>
．（单位：cm ）
(1)观察图形，并解答问题：
①代数式
2
2
2
5
2
m
mn
n
+
+
可以因式分解为______；
②若长方形纸板面积为
2
108cm ，每块小长方形的面积为
2
10cm ，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和；
(2)若再给一块边长都为n 的小正方形，和两块长为m、宽为n 的小长方形，请用给出的所有图形拼凑出一
个长方形，并画出这个长方形，再对代数式
2
2
2
7
3
m
mn
n
+
+
进行因式分解．
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60．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都
为n 的小正方形，五块是长为m、宽为n 的全等小矩形，且m
n
>
．（以上长度单位：cm ）
(1)观察图形，可以发现代数式
2
2
2
5
2
m
mn
n
+
+
可以因式分解为 ；
(2)若每块小矩形的面积为
2
10cm ，四个正方形的面积和为
2
58cm ，试求
2
m
n
+
的值．
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【经典计算题七 利用因式分解求最值】
61．先阅读下列材料，再解答问题：
对于形如
2
2
2
x
ax
a
+
+
这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成
2
(
)
x
a
+
的形式．但对于二次三项式
2
2
2
3
x
ax
a
+
-
，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式
2
2
2
3
x
ax
a
+
-
中先加上一项
2
a ，使它
与
2
2
x
ax
+
的和成为一个完全平方式，再减去
2
a ，整个式子的值不变，于是有：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
(
)
(2 )
3
x
ax
a
x
ax
a
a
a
x
a
a
x
a
x
a
+
-
=
+
+
-
-
=
+
-
=
+
-
．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方
法”．
(1)利用“配方法”分解因式：
2
6
8
a
a
-
+ ．
(2)若
5,
6
a
b
ab
+
=
=
，求：①
2
2
a
b
+
；②
4
4
a
b
+
的值．
(3)已知x 是实数，若
2
4
5
M
x
x
=
-
+
，请你利用配方法求出M 的最小值．
62．阅读理解：我们常常把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题，
例如：
2
2
2
2
3
2
1 1 3
1
2
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+ - +
=
+
+
，
∵
2
1
0
x +
³
，∴
2
1
2
2
x +
+
³
．
(1)这个代数式
2
2
3
x
x
+
+ 的最小值是______，这时相应的x 的值是______．
(2)求代数式
2
4
10
x
x
-
+
的最小值，并写出相应的x 的值．
(3)若
2
3
4
M
x
x
=
+
，
2
4
5
N
x
=
+ 试比较M 、N 的大小，并说明理由．
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63．阅读理解并解答：
我们把多项式
2
2
2
a
ab
b
+
+
，
2
2
2
a
ab
b
-
+
叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判
断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的
最大（或最小）值问题．
(1)例如：①
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
1 1
3
1
1 3
1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
=
+
+ -
+
=
+
- +
=
+
+
，
2
1
x +
Q
是非负数，即
2
1
0
x +
³
，
2
1
2
2
x +
\
+
³
，
则这个代数
2
2
3
x
x
+
+ 的最小值是2，这时相应的x 的值是1
- ，
②
2
2
2
2
2
2
12
1
2
6
1
2
6
9
9
1
2
3
18 1
2
3
17
x
x
x
x
x
x
x
x
-
+ =
-
+ =
-
+
-
+ =
-
-
+ =
-
-
，
2
3
x -
Q
是非负数，即
2
3
0
x -
³
，
2
2
3
17
17
x
\
-
-
³ -
，
则这个代数式
2
2
12
1
x
x
-
+ 的最小值是______，这时相应的x 的值是_______；
(2)知识再现：当x =______时，代数式
2
4
5
x
x
-
+ 的最小值是______；
(3)知识运用：若
2
2
2
y
x
x
= -
+
+
，当x =______时，y 有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
(4)知识拓展：若
2
3
4
0
x
x
y
-
+
+
+
=
，求y
x
+
的最小值．
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64．1.阅读理解：
（1）为了求代数式
2
2
3
x
x
+
+ 的值，我们必须知道x 的值．
若
1
x = ，则这个代数式的值为________﹔若
2
x =
，则这个代数式的值为_______；……
可见，这个代数式的值因x 的取值不同而变化，尽管如此，尽管如此；把一个代数式进行变形，可以解决
求代数式的最大（或最小）值问题．
例如：例如：
2
2
2
2
3
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+ +
=
+
+
∵
2
1
0
x +
³
∴
2
1
2
2
x +
+
³
∴当
1 0
x+ =
时，代数式
2
2
3
x
x
+
+ 的最小值是2 ，此时x 的值为1
- ．
（2）求代数式
2
4
9
x
x
-
+ 的最小值，并写出相应的x 的值．
（3）代数式
2
6
8
x
x
-
-
+
的最大值为 ．
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65．阅读材料，解决问题：对形如
2
2
2
a
ab
b
±
+
的整式称为完全平方式，我们可以直接运用公式进行因式分
解，例如
2
2
4
4
2
x
x
x
-
+
=
-
；而对于
2
6
8
a
a
+
+ 这样无法直接运用公式进行因式分解的整式，我们可以先
适当变形，再运用公式进行因式分解，例如：
2
2
2
6
8
6
9
9
8
3
1
3 1
3 1
4
2 .
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
=
+
+
- +
=
+
- =
+ +
+ -
=
+
+
(1)若
2
2
9
25
x
kxy
y
-
+
是一个完全平方式，则k 的值为______．
(2)分解因式：
2
4
12
a
a
-
-
．
(3)我们还可以仿照上面的方法解决求整式的最大（或最小）值问题，例如：
2
2
2
6
8
6
9
9
8
3
1
a
a
a
a
a
+
+
=
+
+
- +
=
+
- ．
∵
2
3
0
a +
³
，
∴
2
3
1
1
a +
- ³ - ，
则当
3
a = - 时，整式
2
6
8
a
a
+
+ 有最小值，其值为1
- ．
求当x 的值为多少时，整式
2
10
6
x
x
-
-
+
有最大值或最小值，并求出最大值或最小值．
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66．阅读理解并解答：
我们把多项式
²
2
²
²
2
²
a
ab b
a
ab b
+
+
-
+
，
叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判
断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的
最大（或最小）值问题．
例如：
²
2
3
1 ²
2
x
x
x
+
+
=
+
+
①
，
∵
2
1
x+
是非负数， 即
1 ²
0
1 ²
2
2
x
x
+
³
\
+
+
³
，
，
则这个代数
²
2
3
x
x
+
+ 的最小值是2，这时相应的x 的值是1
- ；
3 ² 12
5
3
²
4
5
3
²
4
4
4
5
3
2 ² 12
5
3
2 ²
7
x
x
x
x
x
x
x
x
-
+
=
-
+
=
-
+
-
+
=
-
-
+
=
-
-
②
，
Q
2
2
x -
是非负数，即
2 ²
0
3
2 ²
7
7
x
x
-
³
\
-
-
³ -
，
，
则这个代数式 3 ² 12
5
x
x
-
+ 的最小值是
7
- ，这时相应的x 的值是 2
【知识再现】（1）当x = 时， 代数式
² 6
12
x
x
-
+
的最小值是 ；
【知识运用】 （2）若
2
2
3
y
x
x
= -
+
-
；当x = 时，y 有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
【知识拓展】 （3）若
2
3
5
0
x
x
y
-
+
+
+
= ，求y
x
+
的最小值．
67．如图，卡片A、B、C 各代表一个代数式，从三张卡片中取两张进行因式分解运算．
(1)若选择B、C 卡片，请进行因式分解；
(2)嘉嘉发现：“若选择A、B 卡片，不论k 为何整数，其结果总可以被
1
m m ¹
整除”，请确定满足条件的最
小正整数m的值．
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68．发现：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是4 的倍数．
验证：
(1)
2
2
9
5
-
的结果是4 的__________倍；
(2)设三个连续的奇数中间的一个为2
1
n + （n 为整数），计算最大奇数与最小奇数的平方差，并说明它是4 的
倍数．
69．阅读下列材料，观察解题过程：已知
2
2
2
2
4
4
0
a
ab
b
b
-
+
+
+
=
，求a
b
+
的值．
解：
2
2
2
2
4
4
0
a
ab
b
b
-
+
+
+
=
Q
，
2
2
2
2
4
4
0
a
ab
b
b
b
\
-
+
+
+
+
=
，
2
2
2
0
a
b
b
\
-
+
+
= ，
2
2
0
2
0
a
b
b
-
³
+
³
Q
，
，
2
2
0
2
0
a
b
b
\
-
=
+
=
，
，
0
2
0
a
b
b
-
=
ì
\í +
=
î
，解得
2
2
a
b
= -
ì
í = -
î
2
2
4
a
b
\ +
= - + -
= - ．
根据你的观察，解答以下问题：
(1)已知
2
2
4
5
2
1
0
m
mn
n
n
+
+
-
+ =
，求
2023
m
n
+
的值．
(2)当x、y 分别取何值时，多项式
2
2
2
2
10
x
y
x
y
+
-
+
+
的值最小？请你求出最小值．
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70．感知：为了求代数式
2
2
5
a
a
+
+
的值，我们必须知道a 的值．
若
1
a = - ，则这个代数式的值为________，
若
0
a =
，则这个代数式的值为________，
若
1
a = ，则这个代数式的值为________，
……
可见．这个代数式的值因a 的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来找到这个代数式值的范围．
探索：把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．例如：
2
2
2
2
5
2
1
4
1
4
a
a
a
a
a
+
+
=
+
+ +
=
+
+
，因为
2
1
+
a
是非负数，所以这个代数式的最小值是________，此时
相应的a 的值是________．
应用：试说明代数式
2
6
2014
a
a
-
+
+
有最大值，并求出最大值及相应的a 的值．
【经典计算题八 因式分解的新定义问题】
71．【新定义】如果a，b 都是非零整数，且
4
a
b
=
，那么就称a 是“4 倍数”．
【验证】嘉嘉说：
2
2
100
96
-
是“4 倍数”，淇淇说：12 11 9 11 19 11
´
+ ´
-
´
也是“4 倍数”，通过简便计算判断
他们说得对错？
【证明】设三个连续偶数的中间数是2n（n 是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4 倍数”．
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72．配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解
决一些问题．我们定义：一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（a ，b 是整数）的形式．则称这个数为“完美数”．例如，
10 是“完美数”．理由：因为
2
2
10
3
1
=
+
，所以10 是“完美数”；代数式
2
4
8
a
a
-
+ 可配方成
2
2
a
m
n
-
+
（m，
n 为常数）．也可以求代数式
2
4
8
a
a
-
+ 的最大值或最小值，即：
2
2
2
4
8
2
2
a
a
a
-
+
=
-
+
，因为
2
2
0
a -
³
，
所以
2
2
2
4
8
2
2
24
a
a
a
-
+
=
-
+
³
，所以
2
4
8
a
a
-
+ 最小值为4．
(1)解决问题：
下列各数中，“完美数”有______（填序号）．
①29； ②48； ③13； ④28．
(2)探究问题：
①已知
2
2
2
2
4
S
a
ab
b
b
k
=
+
+
-
+
（a ，b 是整数，k 是常数），猜想当k 为何值时，S 为“完美数”，并说明理
由．
②已知实数a ，b 满足
2
5
3
0
a
a
b
-
+
+
-
=
，求a
b
+
的最小值．
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73．若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点” P ，到点P 距离
为1的点所对应的数分别记为a ，b ，定义：若数
2
2
K
a
b
ab
=
+
-
，则称数K 为“尼尔数”，例如：若P 所表
示的数为3，则
2
a =
，
4
b =
，那么
2
2
2
4
2 4
12
K =
+
- ´ =
，若P 所表示的数为12，则
11
a =
，
13
b =
，那么
2
2
13
11
13 11
147
K =
+
-
´
=
，所以12，147 是“尼尔数”．
(1)请直接判断6 和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；
(2)已知两个“尼尔数”的差是315 ，求这两个“尼尔数”．
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74．数学兴趣小组在进行因式分解时发现，若多项式
2
ax
bx
c
+
+
能分解成两个一次整式相乘的形式
mx
p
nx
q
+
+
，则
0
mx
p
+
=
或
0
nx
q
+
=
时，原多项式的值为0，尝试定义
p
x
m
= -
和
q
x
n
= -
为多项式
2
ax
bx
c
+
+
的“零值”，两个“零值”的平均值为该多项式的“对称值”．例如：多项式
2
3
5
2
3
1
2
x
x
x
x
-
-
=
+
-
，当3
1 0
x+ =
或
2
0
x- = 时，
2
3
5
2
x
x
-
-
的值为0，则多项式
2
3
5
2
x
x
-
-
的“零值”
为
1
3
x = -
和
2
x =
，“对称值”为
1
2
5
3
2
6
x
æ
ö
+ -
ç
÷
è
ø
=
=
．
根据上述材料，解决下列问题．
(1)多项式
2
1 25x
-
的“零值”为__________，“对称值”为__________；
(2)若多项式
2
1
1
9
x
m x
-
+
-
+ （实数m 为常数）的两个“零值”相等，求m 的值及多项式
2
1
1
9
x
m x
-
+
-
+
的“对称值”．
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75．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或
几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
我们定义：一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（a、b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5 是“完美数”．理由：因为
2
2
5
2
1
=
+
，所以5 是“完美数”．
利用上面提到的数学思想方法解决下列问题：
【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）；
【探究】（2）已知
2
2
2
4
4
6
0
x
y
x
y
+
-
+
+
=
，则x
y
+
=__________；
（3）已知
2
2
5
2
12
S
x
y
xy
x
k
=
+
+
+
+
（x、y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的k
值；
【拓展】（4）已知x、y 满足
2
1
1
0
3 x
x
y
-
+
-
+ =
，求代数式7
3
x
y
-
的最小值．
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76．定义：若一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（a，b 都是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为
2
2
13
3
2
=
+
，所以13 是“完美数”；
再如：因为
2
2
2
2
2
2
a
ab
b
a
b
b
+
+
=
+
+
，所以
2
2
2
2
a
ab
b
+
+
也是“完美数”．
(1)请直接写出一个小于10 的“完美数”，这个“完美数”可以是_______；判断53_______（填“是”或“不是”）“完
美数”；
(2)已知
2
2
4
4
12
S
x
y
x
y
k
=
+
+
-
+
（x，y 是整数），k 是常数，要使M 为“完美数”，试求出符合条件的一个k
值，并说明理由；
(3)如果数m，n 都是“完美数”，m
n
¹
，试说明mn 是“完美数”．
77．定义一种新运算，规定
,
F a b
ab
=
，例
1,2
1 2
2
F
= ´
=
．
(1)已知
2 ,
2
A
F x
y x
y
=
+
-
，
4 ,
2
B
F
y x
y
=
-
，分别求A，B；
(2)通过计算比较A 与B 的大小．
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78．皓皓同学在学习了“平方根”这节课后知道了“负数在实数范围内没有平方根”，她对这句话产生了兴趣，
她想知道负数在其他范围内是否有平方根，所以她上网查找了以下一些资料．
数的概念是从实践中产生和发展起来的，在学习了实数以后，像
2
1
x = - 这样的方程还是没有实数解的，因
为没有一个实数的平方等于1
- ，即负数在实数范围内没有平方根，所以为了了解形如
2
1
x = - 这类方程的解，
就要引入一个新的数i ．
定义：如果一个数的平方等于1
- ，记为2
1
i = - ，这个数i 叫做虚数单位．
在这种情况下，i 可以与实数b 相乘再同实数a 相加从而得到形如“a bi
+
” (a 、b 为实数）的数，人们把这
种数叫作复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘
法运算类似．
比如：
（1）(2
)
(4
3 )
6
2
i
i
i
+
+
-
= -
（2）
2
( 3 )
3
i
= -
（3）
2
2
(5
)(5
)
5
25
( 1)
26
i
i
i
+
-
=
-
=
- -
=
这样数的范围就由实数扩充到了复数，在这种规定下，负数在复数范围内就有平方根．比如：i
± 就是1
- 的
平方根．
根据上面的材料解答以下问题：
(1)计算：
①(2
)
(3 2 )
i
i
+
-
-
=___________②3i = ___________③
2
(3
)i
+
= ___________
(2)在复数范围内9
- 的平方根是___________
(3)在复数范围内分解因式
4
4
x -
= ___________．
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79．【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通
过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非
负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（a ，b 为整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如，5 是“完美数”，理由：因为
2
2
5
1
2
=
+
．所以5 是“完美数”
(1)解决问题：已知29 是“完美数”，请将它写成
2
2
a
b
+
（a ，b 为整数）的形式；
(2)解决问题：若
2
6
4
x
x
-
+
可配方成
2
x
m
n
-
+
（m、n 为常数），求2mn 的值；
(3)解决问题：已知
2
2
4
2
12
S
x
y
x
y
k
=
+
-
-
+
（x ，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试写出k 的值，
并说明理由．
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80．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶
2
2
8
3
1
=
-
，
2
2
16
5
3
=
-
，
2
2
24
7
5
=
-
，因此8，16，24 都是“和谐数”
(1)特例感知：判断40 是否为“和谐数”，说明理由；
(2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为2
1
k - 和2
1
k + ，其中k 是正整数，那么“和谐数”都
能被8 整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明；
(3)拓展应用：设m，n 为正整数，且m
n
>
，若
2
29
m n
-
-
和
1
m
n
+
- 都是“和谐数”．判断7
5
3
m
n
-
- 是否
为“和谐数”，说明理由．
