矩 形
一、选择题(每小题4 分,共12 分)
1.在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上,一个合作
学习小组的4 位同学分别拟定了如下的方案,其中正确的是( )
A.测量对角线是否相等
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否都为直角
D.测量其中三个角是否都为直角
2.▱ABCD 中,AC 交BD 于点O,再添加一个条件,仍不能判定四边形
ABCD 是矩形的是( )
A.AB=AD
B.OA=OB
C.AC=BD
D.DC⊥BC
3.如图,△ABC 中,AC 的垂直平分线分别交AC,AB 于点D,F,BE⊥DF 交
DF 的延长线于点E,已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE 的面
积是( )
A.2
B.
C.4
D.3
[来源:学_科_网]
二、填空题(每小题4 分,共12 分)
4.如图,在△ABC 中,AB=AC,将△ABC 绕点C 旋转180°得到
△FEC,连接AE,BF.当∠ACB 为 度时,四边形ABFE
为矩形.
5.(呼和浩特中考)如图,在四边形ABCD 中,对角线AC⊥BD,垂足为O,
点E,F,G,H 分别为边AD,AB,BC,CD 的中点.若AC=8,BD=6,则四边形
EFGH 的面积为 .
6.如图,将矩形纸ABCD 的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重
叠的四边形EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,则边AD 的长是 cm.
三、解答题(共26 分)
7.(8 分)已知:如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD 交于
点O,BE⊥AC 于E,DF⊥AC 于F,点O 既是AC 的中点,又
是EF 的中点.
(1)求证:△BOE≌△DOF.
(2)若OA= BD,则四边形ABCD 是什么特殊四边形?说明理由.
8.(8 分)(新疆中考)如图,▱ABCD 中,点O 是AC 与BD 的交
点,过点O 的直线与BA,DC 的延长线分别交于点E,F.
(1)求证:△AOE≌△COF.
(2)请连接EC,AF,则EF 与AC 满足什么条件时,四边形AECF 是矩形,
并说明理由.[来源:Z*xx*k.Com]
【拓展延伸】
9.(10 分)如图,在△ABC 中,点O 是AC 边上(端点除外)的一个动点,
过点O 作直线MN∥BC.设MN 交∠BCA 的平分线于点E,交∠BCA 的邻补
角的平分线于点F,连接AE,AF.那么当点O 运动到何处时,四边形
AECF 是矩形?并证明你的结论.
答案解析
1.【解析】选D.根据矩形的判定,三个角都为直角的四边形是矩形.故
选D.
2.【解析】选A.根据矩形的判定定理(有一个角是直角的平行四边形是
矩形)可得:DC⊥BC 可证四边形ABCD 是矩形.故D 选项能判定四边
形ABCD 为矩形;矩形的对角线相等且相互平分,OA=OB,AC=BD 可
证四边形ABCD 为矩形,故B,C 选项能判定四边形ABCD 为矩
形;AB=AD 时,可证四边形ABCD 的四条边都相等,不能证四边形
ABCD 为矩形.
3.【解析】选A.∵DE 是AC 的垂直平分线,F 是AB 的中点,
∴DF∥BC,∴∠C=90°,又易知∠CDE=∠BED=90°,
∴四边形BCDE 是矩形.
∵∠A=30°,∠C=90°,BC=2,∴AB=4,
∴AC=
=2
.∴DC=
.
∴四边形BCDE 的面积为2×
=2
.
4.【解析】如果四边形ABFE 为矩形,
根据矩形的性质,那么AF=BE,AC=BC,
又因为AC=AB,那么三角形ABC 是等边三角形,[来源:学科网ZXXK]
所以∠ACB=60°.
答案:60
5.【解析】∵点E,F 分别为四边形ABCD 的边AD,AB 的中点,∴EF∥BD,
且EF= BD=3.
同理求得GH∥BD,且GH= BD=3,EH∥AC∥GF,且EH=GF= AC=4,
∴四边形EFGH 为平行四边形.
又∵AC⊥BD,∴EF⊥FG.
∴四边形EFGH 是矩形.
∴四边形EFGH 的面积=EF·EH=3×4=12,
即四边形EFGH 的面积是12.
答案:12
6.【解析】∵∠HEM=∠AEH,∠BEF=∠FEM,
∴∠HEF=∠HEM+∠FEM= ×180°=90°,
同理可得:∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°,
∴四边形EFGH 为矩形.
∴EH=FG,HG=EF,∠EHA=∠GFC,
又∠A=∠C=90°,
∴△AEH≌△CGF,∴AH=CF,∴BF=HD.
∵AD=AH+HD=HM+MF=HF,
HF=
=
=5,∴AD=5cm.
答案:5
7.【解析】(1)∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠BEO=∠DFO=90°.
又∵∠EOB=∠FOD,OE=OF,∴△BOE≌△DOF(ASA).
(2)四边形ABCD 是矩形.
∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD.
又∵OA=OC,∴四边形ABCD 是平行四边形,
∵OA= BD,OA= AC,
∴BD=AC,∴▱ABCD 是矩形.
8.【解析】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AO=OC,AB∥CD.∴∠E=∠F.又∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.
(2)连接EC,AF,则EF 与AC 满足EF=AC 时,四边形AECF 是矩形.
理由如下:
由(1)可知△AOE≌△COF,[来源:Z#xx#k.Com]
∴OE=OF,∵AO=CO,∴四边形AECF 是平行四边形,
∵EF=AC,∴四边形AECF 是矩形.
9.【解析】当点O 运动到AC 的中点(或OA=OC)时,四边形AECF 是矩
形.
证明:∵CE 平分∠BCA,
∴∠1=∠2.
又∵MN∥BC,∴∠1=∠3.∴∠3=∠2,∴EO=CO.
同理,FO=CO.∴EO=FO.
又OA=OC,∴四边形AECF 是平行四边形.[来源:Zxxk.Com]
方法一:又∵∠1=∠2,∠4=∠5,
∴∠1+∠5=∠2+∠4.
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,∴∠2+∠4=90°.
∴平行四边形AECF 是矩形.
方法二:∵EO=CO,FO=CO,OA=CO,
∴EO=CO=FO=OA,
即AC=EF.∴平行四边形AECF 是矩形.
