★2026 中考数学 压轴题 每日一题（142 题）★
目录
类型1-1：二次函数代几综合……………………01
类型1-2：二次函数代数综合……………………27
类型2：相似综合…………………………………33
类型3-1：三角形综合……………………………45
类型3-2：四边形综合……………………………52
类型3-3：四边形中的动点问题…………………65
类型4：跨学科融合+情景实际运用 ……………69
类型5：圆综合……………………………………82
类型6：新定义……………………………………90
类型7：反比例函数综合…………………………98
类型8：各类题型综合 …………………………102
★2026 中考数学 压轴题 每日一题（142 题）★
第01题
2025成都中考T26
第49题
2025北京中考T27
第97题
2025青岛中考T23
第02题
2025重庆中考T24
第50题
2025新疆中考T23
第98题
2025成都中考T18
第03题
2025甘肃中考T27
第51题
2025广西中考T23
第99题
2025广东中考T23
第04题
2025苏州中考T27
第52题
2025安徽中考T22
第100题2025宜宾中考T23
第05题
2025烟台中考T24
第53题
2025甘肃中考T26
第101题2025大庆中考T26
第06题
2025扬州中考T27
第54题
2025连云港中考T27
第102题2025武汉中考T23
第07题
2025威海中考T24
第55题
2025扬州中考T28
第103题2025武汉中考T24
第08题
2025湖北中考T24
第56题
2025浙江中考T24
第104题2025乐山中考T26
第09题
2025河北中考T24
第57题
2025湖南中考T25
第105题2025乐山中考T25
第10题
2025河南中考T22
第58题
2025河北中考T23
第106题2025广元中考T25
第11题
2025齐齐哈尔中考T24
第59题
2025广州中考T25
第107题2025广元中考T26
第12题
2025吉林中考T22
第60题
2025内蒙古中考T18
第108题2025南通中考T25
第13题
2025绥化中考T28
第61题
2025吉林中考T21
第109题2025南通中考T26
第14题
2025长春中考T24
第62题
2025眉山中考T26
第110题2025常州中考T27
第15题
2025辽宁中考T23
第63题
2025兰州中考T25
第111题2025常州中考T28
第16题
2025青海中考T24
第64题
2025烟台中考T23
第112题2025大庆中考T27
第17题
2025宜宾中考T25
第65题
2025绥化中考T27
第113题2025大庆中考T28
第18题
2025德阳中考T25
第66题
2025天津中考T24
第114题2025宁夏中考T25
第19题
2025湖南中考T26
第67题
2025黑龙江中考T28
第115题2025宁夏中考T26
第20题
2025眉山中考T25
第68题
2025青岛中考T25
第116题2025宿迁中考T27
第21题
2025遂宁中考T25
第69题
2025苏州中考T26
第117题2025宿迁中考T28
第22题
2025南充中考T25
第70题
2025广东中考T22
第118题2025潍坊中考T21
第23题
2025自贡中考25
第71题
2025山西中考T22
第119题2025潍坊中考T22
第24题
2025内江中考T28
第72题
2025陕西中考T26
第120题2025徐州中考T27
第25题
2025泸州中考T25
第73题
2025齐齐哈尔中考T22
第121题2025徐州中考T28
第26题
2025达州中考T24
第74题
2025内蒙古中考T17
第122题2025济南中考T23
第27题
2025北京中考T26
第75题
2025广西中考T22
第123题2025济南中考T24
第28题
2025上海中考T24
第76题
2025深圳中考T19
第124题2025济南中考T25
第29题
2025浙江中考T23
第77题
2025吉林中考T20
第125题2025无锡中考T27
第30题
2025天津中考T25
第78题
2025贵州中考T24
第126题2025无锡中考T28
第31题
2025安徽中考T23
第79题
2025自贡中考T24
第127题2025海南中考T22
第32题
2025山东中考T22
第80题
2025青岛中考T24
第128题2025海南中考T21
第33题
2025成都中考T25
第81题
2025广州中考T24
第129题2025巴中中考T23
第34题
2025上海中考T25
第82题
2025福建中考T25
第130题2025巴中中考T24
第35题
2025广州中考T25
第83题
2025长沙中考T25
第131题2025青海中考T25
第36题
2025河南中考T23
第84题
2025连云港中考T26
第132题2025青海中考T26
第37题
2025江西中考T23
第85题
2025云南中考T27
第133题2025盐城中考T26
第38题
2025山东中考T23
第86题
2025青海中考T25
第134题2025盐城中考T27
第39题
2025湖北中考T23
第87题
2025宜宾中考T24
第135题2025湛江中考T25
第40题
2025山西中考T23
第88题
2025德阳中考T24
第136题2025湛江中考T26
第41题
2025贵州中考T25
第89题
2025内江中考T27
第137题2025淮安中考T26
第42题
2025齐齐哈尔中考T23
第90题
2025江西中考T22
第138题2025淮安中考T27
第43题
2025资阳中考T23
第91题
2025福建中考T24
第139题2025西藏中考T26
第44题
2025南充中考T24
第92题
2025深圳中考T20
第140题2025淄博中考T22
第45题
2025黑龙江中考T26
第93题
2025北京中考T28
第141题2025淄博中考T23
第46题
2025辽宁中考T22
第94题
2025长沙中考T24
第142题2025攀枝花中考T24
第47题
2025长春中考T23
第95题
2025长春中考T22
第48题
2025重庆中考T26
第96题
2025兰州中考T26
2026中考数学压轴题 每日一题 目录（2025年最新中考真题）
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第1题★
1 / 142
★类型一：二次函数代几综合（1-26 题）+二次函数无图代数综合（27-32 题）★
1．（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
y
ax
bx
=
+
过点( 1,3)
−
，且对称轴为直线
1
x = ，
直线y
kx
k
=
−
与抛物线交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当
1
k = 时，直线AB 与y 轴交于点D ，与直线
2
x =
交于点E ．若抛物线
2
(
)
1
y
x
h
=
−
−与线段DE 有
公共点，求h 的取值范围；
（3）过点C 与AB 垂直的直线交抛物线于P ，Q 两点，M ，N 分别是AB ，PQ 的中点．试探究：当k
变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T ，使得TC 总是平分
MTN
？若存在，求出点T 的坐标；若不
存在，请说明理由．
x
y
C
B
A
O
x
y
C
B
A
O
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第2题★
2 / 142
2．（2025•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+
与x 轴交于A ，
(6,0)
B
两点，与y 轴
交于点C ，抛物线的对称轴是直线
5
2
x =
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 是射线BC 下方抛物线上的一动点，连接OP 与射线BC 交于点Q ，点D ，E 为抛物线对称轴上
的动点（点E 在点D 的下方），且
4
DE =
，连接BD ，PE ．当PQ
OQ
取得最大值时，求点P 的坐标及BD
PE
+
的最小值；
（3）在（2）中PQ
OQ
取得最大值的条件下，将抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+
沿射线BC 方向平移2 2 个单位长度得
到抛物线y，点M 为点P 的对应点，点N 为抛物线y上的一动点．若
45
NAB
OPM
=
−
，请直接写出
所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．
x
y
Q
O
P
E
C
B
D
A
x
y
A
B
C
O
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第3题★
3 / 142
3．（2025•甘肃）如图1，抛物线
5
(
)(
4)(
0)
2
y
a x
x
a
=
+
−
分别与x 轴，y 轴交于A ，
(0, 4)
B
−
两点，M 为
OA的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AB ，过点M 作OA的垂线，交AB 于点C ，交抛物线于点D ，连接BD ，求△BCD的面积；
（3）点E 为线段AB 上一动点（点A 除外），将线段OE 绕点O 顺时针旋转90得到OF ．
①当
2
AE =
时，请在图2 中画出线段OF 后，求点F 的坐标，并判断点F 是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P 是第四象限的一动点，
90
OPA
=
，连接PF ，当点E 运动时，求PF 的最小值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第4题★
4 / 142
4．（2025•苏州）如图，二次函数
2
2
3
y
x
x
= −
+
+
的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与
y 轴交于点C ，作直线BC ，
1
( ,
)
M m y ，
2
(
2,
)
N m
y
+
为二次函数
2
2
3
y
x
x
= −
+
+
图象上两点．
（1）求直线BC 对应函数的表达式；
（2）试判断是否存在实数m 使得
1
2
2
10
y
y
+
=
．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
（3）已知P 是二次函数
2
2
3
y
x
x
= −
+
+
图象上一点（不与点M ，N 重合），且点P 的横坐标为1 m
−
，作
△MNP ．若直线BC 与线段MN ，MP 分别交于点D ，E ，且△MDE 与△MNP 的面积的比为1:4 ，请直
接写出所有满足条件的m 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第5题★
5 / 142
5．（2025•烟台）如图，抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+
与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点
C ，
2
OA=
，
6
OB =
，D 是直线BC 上方抛物线上一动点，作DF
AB
⊥
交BC 于点E ，垂足为点F ，连接
CD．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设点D 的横坐标为t ，
①用含有t 的代数式表示线段DE 的长度；
②是否存在点D ，使△CDE 是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D 的坐标；若不存在，请说
明理由；
（3）连接OE ，将线段OE 绕点O 按顺时针方向旋转90得到线段OG ，连接AG ，请直接写出线段AG 长
度的最小值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第6题★
6 / 142
6．（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
2
3
y
x
x
= −
−
+
的图象（记为
1)
G
与x 轴交于点A ，
B ，与y 轴交于点C ，二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+
的图象（记为
2)
G
经过点A ，C ．直线x
t
= 与两个图象
1
G ，
2
G 分别交于点M ，N ，与x 轴交于点P ．
（1）求b ，c 的值．
（2）当点P 在线段AO 上时，求MN 的最大值．
（3）设点M ，N 到直线AC 的距离分别为m ，n ．当
4
m
n
+
=
时，对应的t 值有 个；当
3
m
n
−
=
时，
对应的t 值有 个；当
2
mn =
时，对应的t 值有 个；当
1
m
n = 时，对应的t 值有 个．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第7题★
7 / 142
7．（2025•威海）已知抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
−交x 轴于点
( 1,0)
A −
，点B ，交y 轴于点C ．点C 向右平移2 个
单位长度，得到点D ，点D 在抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
−上．点E 为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的表达式及顶点E 的坐标；
（2）连接BC ，点M 是线段BC 上一动点，连接OM ，作射线CD．
①在射线CD上取一点F ，使CF
CO
=
，连接FM ．当OM
FM
+
的值最小时，求点M 的坐标；
②点N 是射线CD上一动点，且满足CN
CM
=
．作射线CE ，在射线CE 上取一点G ，使CG
CO
=
．连接
GN ，BN ．求OM
BN
+
的最小值；
（3）点P 在抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
−的对称轴上，若
45
OAP
OCA
+
=
，则点P 的坐标为 ．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第8题★
8 / 142
8．（2025•湖北）抛物线
2
1
2
y
x
x
c
=
−
+
与x 轴相交于点
( 1,0)
A −
和点B ，与y 轴相交于点C ，T 是抛物线的
顶点，P 是抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t ．
（1）求c 的值；
（2）如图1，若点P 在对称轴左侧，过点P 作对称轴的垂线，垂足为H ，求
2
PH
TH 的值；
（3）定义：抛物线上两点M ，N 之间的部分叫做抛物线弧MN （含端点M 和
)
N ．过M ，N 分别作x 轴
的垂线1l ，2l ，过抛物线弧MN 的最高点和最低点分别作y 轴的垂线3l ，4l ，直线1l ，2l ，3l 与4l 围成的矩形
叫做抛物线弧MN 的特征矩形，若点P 在第四象限，记抛物线弧CP 的特征矩形的周长为f ．
①求f 关于t 的函数解析式；
②过点P 作
/ /
PQ
x 轴，交抛物线于点Q ，点Q 与点C 不重合．记抛物线弧CQ 的特征矩形的周长为g ．若
11
2
f
g
+
=
，直接写出PQ 的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第9题★
9 / 142
9．（2025•河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
= −
+
+
经过点
(0,3)
A
，(6,3)
B
，顶点为P ．抛
物线
2
(
3)
(
0)
y
a x
d a
=
−
+
经过点
1
(2
C
，2) ．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为
1L ，
2L ．
（1）求b ，c 的值及点P 的坐标．
（2）点D 在
1L 上，到x 轴的距离为23
4 ．判断
2L 能否经过点D ，若能，求a 的值；若不能，请说明理由．
（3）直线
:
(
0)
AE y
kx
n k
=
+
交
1L 于点E ，点M 在线段AE 上，且点M 的横坐标是点E 横坐标的一半．
①若点E 与点P 重合，点M 恰好落在
2L 上，求a 的值；
②若点M 为直线AE 与
2L 的唯一公共点，请直接写出k 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第10题★
10 / 142
10．（2025•河南）在二次函数
2
2
y
ax
bx
=
+
−
中，x 与y 的几组对应值如表所示．
x
2
−
0
1
y
2
−
2
−
1
（1）求二次函数的表达式．
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
（3）将二次函数的图象向右平移n 个单位长度后，当0
3
x
时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为
5，请直接写出n 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第11题★
11 / 142
11．（2025•齐齐哈尔）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
2
3(
0)
y
ax
bx
a
=
+
+
与x 轴交于点
( 1,0)
A −
，(6,0)
C
，与y 轴交于点
B ，连接BC ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的点，连接PB ，PC ，当
24
PBC
S
=
时，求点P 的坐标；
（3）点G 是第四象限内抛物线上的一点，连接BG ，若
45
CBG
=
，则点G 的坐标为 ；
（4）如图2，作点B 关于x 轴的对称点D ，过点D 作x 轴的平行线l ，过点C 作CE
l
⊥，垂足为点E ，动
点M ，N 分别从点O ，E 同时出发，动点M 以每秒1 个单位长度的速度沿射线OC 方向匀速运动，动点
N 以每秒2 个单位长度的速度沿射线ED 方向匀速运动（当点N 到达点D 时，点M ，N 都停止运动），连
接MN ，过点D 作MN 的垂线，垂足为点F ，连接CF ，则CF 的取值范围是 ．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第12题★
12 / 142
12．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线
2
1
y
x
bx
=
+
−经过点(2, 1)
−
．点P
在此抛物线上．其横坐标为m ；连接PO并延长至点Q ，使
2
OQ
PO
=
．当点P 不在坐标轴上时，过点P
作x 轴的垂线，过点Q 作y 轴的垂线，这两条垂线交于点M ．
（1）求此抛物线对应的函数解析式．
（2）△PQM 被y 轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变
化，说明理由．
（3）当△PQM 的边MQ 经过此抛物线的最低点时，求点Q 的坐标．
（4）当此抛物线在△PQM 内部的点的纵坐标y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第13题★
13 / 142
13．（2025•绥化）综合与探究
如图，抛物线
2
5
y
ax
bx
=
+
−
交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．直线
5
y
kx
=
−
经过B 、C 两点，若点
(1,0)
A
，
( 5,0)
B −
，点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 、B 重合）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）过点P 作直线PD
x
⊥
轴于点D ，交直线BC 于点E ，当
3
PE
ED
=
时，求P 点坐标；
（3）若点F 是直线BC 上的一个动点，请判断在点B 右侧的抛物线上是否存在点P ，使△AFP 是以PF
为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第14题★
14 / 142
14．（2025•长春）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线
2
y
x
bx
=
+
经过点(3,3) ，点A 、B 是该
抛物线上的两点，横坐标分别为m 、
1
m+ ，已知点
(1,1)
M
，作点A 关于点M 的对称点C ，作点B 关于点
M 的对称点D ，构造四边形ABCD．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）当A ，B 两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点C 的坐标；
（3）设抛物线在A 、B 两点之间的部分（含A 、B 两点）为图象G ，当0
1
m
时，若图象G 的最高点
与最低点的纵坐标之差为1
2 ，求m 的值；
（4）连结OA、OB ，当
AOB
OAD
OBC
=
+
时，直接写出m 的取值范围．
（这里
AOB
、OAD
、OBC
均是大于0且小于180的角）
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第15题★
15 / 142
15．（2025•辽宁）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
2
1
1 (
1)
1
4
y
x
= −
−
+ 的图象与x 轴的正半轴相交
于点A ，二次函数
2
2y
ax
c
=
+
的图象经过点A ，且与二次函数
1y 的图象的另一个交点为B ，点B 的横坐
标为
7
3
−
．
（1）求点A 的坐标及a ，c 的值．
（2）直线x
m
=
与二次函数
1y ，2y 的图象分别相交于点C ，D ，与直线AB 相交于点E ，当
7
3
3
m
−
时，
①求证：
2
DE
CE
=
；
②当四边形ACBD的一组对边平行时，请直接写出m 的值．
（3）二次函数
2
1
1
7
(
1)
1(
3)
4
3
y
x
x
= −
−
+
−
与二次函数
2
2
(
3)
y
ax
c x
=
+
组成新函数
3y ，当
7
3
x t
n
−
−
时，
函数
3y 的最小值为11
5
9
t
−
，最大值为8
3
t
−，求n 的取值范围．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第16题★
16 / 142
16．（2025•青海）在平面直角坐标系中，抛物线
2
3(
0)
y
ax
bx
a
=
+
−
与x 轴交于A ，B 两点，点B 的坐
标为(1,0) ，点
(2,5)
C
在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①求点A 的坐标；
②当
0
y
时，根据图象直接写出x 的取值范围 ；
（3）连接AC 交y 轴于点D ，在y 轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形，若存在，
请直接写出所有符合条件的点P 坐标，若不存在，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第17题★
17 / 142
17．（2025•宜宾）如图，O 是坐标原点，已知抛物线
2
y
x
bx
c
= −
+
+
与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于
C 点，其中
(3,0)
A
，
(0,3)
C
．
（1）求b 、c 的值；
（2）点D 为抛物线上第一象限内一点，连结BD ，与直线AC 交于点E ，若
:
1:2
DE BE =
，求点D 的坐标；
（3）若F 为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为
(
P m ，)(
1)
n m
，若P 又在原抛物线上，新抛物线
与直线
1
x = 交于点N ，连结FP 、PN ，
120
FPN
=
．探究新抛物线与x 轴是否存在两个不同的交点．若
存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第18题★
18 / 142
18．
（2025•德阳）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数
2
y
x
bx
c
= −
+
+
的图象与x 轴交于点
( 1,0)
A −
，
(3,0)
B
，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，连接BC ，过点C 作CD
BC
⊥
与抛物线相交于另一点D ．
①求点D 的坐标；
②如图3，点E ，F 为线段BC 上两个动点（点E 在点F 的右侧），且
2
EF =
，连接OF ，DE ．求OF
DE
+
的最小值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第19题★
19 / 142
19．（2025•湖南）如图，已知二次函数
(
4)(
0)
y
ax x
a
=
−
的图象过点
(2,2)
A
，连接OA点
1
(
P x ，1)
y ，
2
(
Q x ，
2)
y
，
3
(
R x ，
3)
y
是此二次函数图象上的三个动点，且
3
1
2
0
2
x
x
x
，过点P 作
/ /
PB
y 轴交线段OA于
点B ．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）如图1，点C 、D 在线段OA上，且直线QC 、RD 都平行于y 轴，请你从下列两个命题中选择一个进
行解答：
①当PB
QC
时，求证：
1
2
2
x
x
+
；②当PB
RD
时，求证：
1
3
2
x
x
+
；
（3）如图，若
2
1
3
1
3
1
,
2
2
x
x x
x
=
=
，延长PB 交x 轴于点T ，射线QT 、TR 分别与y 轴交于点
1
Q ，
1R ，连接
AP ，分别在射线AT 、x 轴上取点M 、N （点N 在点T 的右侧），且
AMN
PAO
=
，
2 2
MN =
．记
1
1
t
RQ
ON
=
−
，试探究：当x 为何值时，t 有最大值？并求出t 的最大值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第20题★
20 / 142
20．（2025•眉山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+
关于直线
3
x = −对称，与x 轴交于
( 1,0)
A −
、B 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 为抛物线对称轴上一点，连接BP ，将线段BP 绕点P 逆时针旋转90，使点B 的对应点D 恰好
落在抛物线上，求此时点P 的坐标；
（3）在线段OC 上是否存在点Q ，使2
2
AQ
CQ
+
存在最小值？若存在，请直接写出点Q 的坐标及最小值；
若不存在，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第21题★
21 / 142
21．（2025•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
(
y
x
bx
c b
=
+
+
、c 为常数）的图象与x 轴交于
( 1,0)
A −
、B 两点，交y 轴于点C ，对称轴为直线
1
x = ．
（1）求二次函数关系式．
（2）连结AC 、BC ，抛物线上是否存在点P ，使
45
CBP
ACO
+
=
，若存在，求出点P 的坐标，若不
存在，说明理由．
（3）在x 轴上方的抛物线上找一点Q ，作射线AQ ，使
2
BAQ
ACO
=
，点M 是线段AQ 上的一动点，
过点M 作MN
x
⊥
轴，垂足为点N ，连结BM ，求BM
MN
+
的最小值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第22题★
22 / 142
22．（2025•南充）抛物线
2
15
2
(
0)
4
y
ax
ax
a
=
+
−
与x 轴交于
(3,0)
A
，B 两点，N 是抛物线顶点．
（1）求抛物线的解析式及点B 的坐标；
（2）如图1，抛物线上两点
1
( ,
)
P m y
，
2
(
2,
)
Q m
y
+
，若
/ /
PQ
BN ，求m 的值；
（3）如图2，点
( 1, 5)
M −−
，如果不垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点G ，H ，满足
GMN
HMN
=
．探
究直线l 是否过定点？若直线l 过定点；求定点坐标；若不过定点，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第23题★
23 / 142
23．（2025•自贡）如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，连接DE ，CE ，BD 交于点G ．
（1）若BD
CE
⊥
，
1
BD = ，
1
2
CE =
，则四边形BCDE 的面积为 ；
（2）若
3
2
BD
CE
+
=
，△ABC 的最大面积为S ．设BD
x
=
，求S 与x 之间的函数关系式，并求S 的最大值；
（3）若（2）问中x 取任意实数，将函数S 的图象依次向右、向上平移1 个单位长度，得到函数y 的图象．直
线
1
1
y
k x
k
=
−
交该图象于点F ，
(
H F 点在H 点左边），过点H 的直线
2
:l y
k x
b
=
+
交该图象于另一点Q ，
过点F ，Q 的直线与直线
1
x = 交于点K ．若
HFK
HKQ
S
S
=
，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出定点
坐标；若不过定点，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第24题★
24 / 142
24．（2025•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+
与x 轴相交于
( 3,0)
A −
、(1,0)
B
两点，
与y 轴交于点
(0,3)
C
．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，过点B 的直线:
1
l y
x
=
−与抛物线的另一个交点为点D ，点M 为抛物线对称轴上的一点，连
接MB 、MD ，设点M 的纵坐标为n ，当MB
MD
=
时，求n 的值；
（3）如图2，点N 是抛物线的顶点，点P 是x 轴上一动点，将顶点N 绕点P 旋转90后刚好落在抛物线上
的点H 处，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第25题★
25 / 142
25．（2025•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
y
x
bx
c
= −
+
+
经过点(2,3) ，与x 轴交于点
( 1,0)
A −
和点B ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点C ，D 在直线
1
1
2
2
y
x
=
+
上，点E 在x 轴上，F 是抛物线上位于第一象限的点，若四边形CDEF
是正方形，求点F 的坐标；
（3）设点
1
(
P x ，
1)
y 在抛物线
2
y
x
bx
c
= −
+
+
上，点
1
(
Q x ，
2)
y
在抛物线
2
2
(4
2)
4
2
y
x
m
x
m
=
−
−
+
+
上，当
1
1
2
x
时，
2
1
y
y
−
的最小值为3，求m 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第26题★
26 / 142
26．如图，已知抛物线
2
y
x
bx
c
= −
+
+
交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，B 的坐标为(3,0) ，C 的坐标
为(0,3)，顶点为M ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC ，过第四象限内抛物线上一点作BC 的平行线．交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．
①连接AF ，当
90
AFE
=
时，求Rt △AFE 内切圆半径r 与外接圆半径R 的比值；
②连接CA，CE ，当点F 在△AEC 的内角平分线上，BC 上的动点P 满足
2
2
MP
BP
+
的值最小时，求△
BPE 的面积．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第27题★
27 / 142
27．（2025•北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
经过点O 和点
(3,3 )
A
a ．
（1）求c 的值，并用含a 的式子表示b ；
（2）过点
( ,0)
P t
作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，交直线y
ax
=
于点N ．
①若
1
a = ，
4
t =
，求MN 的长；
②已知在点P 从点O 运动到点
(2 ,0)
B
a
的过程中，MN 的长随OP 的长的增大而增大，求a 的取值范围．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第28题★
28 / 142
28．（2025•上海）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+
经过点
(1,1)
A
和
(3,1)
B
，顶点为点P ，
抛物线于y 轴交于点C ．
（1）求b 和c 的值．
（2）另一条抛物线
2
(
1)
y
ax
mx
n a
=
+
+
也经过点
(1,1)
A
和
(3,1)
B
，顶点为点Q ，与y 轴交于点D ．
①求CD
PQ
的值；
②当四边形CDPQ 是直角梯形，求其最小内角的正弦值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第29题★
29 / 142
29．（2025•浙江）已知抛物线
2
5(
y
x
ax
a
=
−
+
为常数）经过点(1,0) ．
（1）求a 的值．
（2）过点
(0, )
A
t 与x 轴平行的直线交抛物线于B ，C 两点，且点B 为线段AC 的中点，求t 的值．
（3）设
3
m
n
，抛物线的一段
2
5(
)
y
x
ax
m x n
=
−
+
夹在两条均与x 轴平行的直线1l ，2l 之间．若直线
1l ，2l 之间的距离为16，求n
m
−
的最大值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第30题★
30 / 142
30．（2025•天津）已知抛物线
2
(
y
ax
bx
c a
=
+
+
，b ，c 为常数，
0
a
，
0)
b
．
（Ⅰ）当
1
a = −，
2
b =
，
3
c =
时，求该抛物线顶点P 的坐标；
（Ⅱ）点
( 1,0)
A −
和点B 为抛物线与x 轴的两个交点，点C 为抛物线与y 轴的交点．
② 当
2
a = −时，若点D 在抛物线上，
90
CAD
=
，AC
AD
=
，求点D 的坐标；
②若点
( ,0)
B m
，
2
CAB
ABC
=
，以AC 为边的
ACEF
的顶点F 在抛物线的对称轴l 上，当CE
CF
+
取
得最小值为2 6 时，求顶点E 的坐标．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第31题★
31 / 142
31．（2025•安徽）已知抛物线
2
(
0)
y
ax
bx a
=
+
经过点(4,0) ．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点
1
(
A x ，
1)
y 和
2
(
B x ，
2)
y
分别在抛物线
2
y
ax
bx
=
+
和
2
2
y
x
x
=
−
上(A，B 与原点都不重合）．
( )i 若
1
2
a =
，且
1
2
x
x
=
，比较
1y 与
2y 的大小；
( )
ii 当
2
2
1
1
y
x
y
x
=
时，若
2
1
x
x
是一个与
1x 无关的定值，求a 与b 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第32题★
32 / 142
32．（2025•山东）已知二次函数
(
)
(
)(
)
(
)
y
x x
a
x
a x
b
x x
b
=
−
+
−
−
+
−
，其中a ，b 为两个不相等的实数．
（1）当
0
a =
、
3
b =
时，求此函数图象的对称轴；
（2）当
2
b
a
=
时，若该函数在0
1
x
时，y 随x 的增大而减小；在3
4
x
时，y 随x 的增大而增大，求a
的取值范围；
（3）若点
1
( ,
)
A a y ，(
2
a
b
B
+
，2)
y
，
3
( ,
)
C b y
均在该函数的图象上，是否存在常数m ，使得
1
2
3
0
y
my
y
+
+
=
？
若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第33题★
33 / 142
★类型二：相似综合（12 题）★
1．（2025•成都）如图，在
ABCD
中，点E 在BC 边上，点B 关于直线AE 的对称点F 落在
ABCD
内，
射线AF 交射线DC 于点G ，交射线BC 于点P ，射线EF 交CD边于点Q ．
【特例感知】
（1）如图1，当CE
BE
=
时，点P 在BC 延长线上，求证：△EFP △ECQ ；
【问题探究】
（2）在（1）的条件下，若
3
CG =
，
5
GQ =
，求DQ 的长；
【拓展延伸】
（3）如图2，当
2
CE
BE
=
时，点P 在BC 边上，若
1
CQ
DQ
n
=
，求CG
DG 的值．（用含n 的代数式表示）
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第34题★
34 / 142
2．（2025•上海）如图1，平行四边形ABCD中，点E 、F 分别是边BC 、CD上的点．
（1）若E 是BC 中点；
①如图1，若AE
EF
=
，求证：
BAE
EFC
=
；
②如图2，若CF
DF
=
，联结BF 交AE 于G ，求
:
BEG
AEF
S
S
的值；
（2）如图3，若
3
AB =
，
5
AD =
，
1
CF = ，
AEB
AFE
EFC
=
=
，求AF 的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第35题★
35 / 142
3．（2025•广州）如图1，
4
AC =
，O 为AC 中点，点B 在AC 上方，连接AB ，BC ．
（1）尺规作图：作点B 关于点O 的对称点D （保留作图痕迹，不写作法），连接AD 、DC ，并证明四边
形ABCD为平行四边形；
（2）如图2，延长AC 至点F ，使得CF
AC
=
，当点B 在直线AC 的上方运动，直线AC 的上方有异于点
B 的动点E ，连接EA ，EB ，EC ，EF ，若
45
AEC
=
，且△ABC∽△FCE ．
①求证：△ABC∽△CBE ；
②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第36题★
36 / 142
4．（2025•河南）在
AOB
中，点C 是
AOB
的平分线上一点，过点C 作CD
OB
⊥
，垂足为点D ，过点D
作DE
OA
⊥
，垂足为点E ，直线DE ，OC 交于点F ，过点C 作CG
DE
⊥
，垂足为点G ．
（1）观察猜想
如图1，当
AOB
为锐角时，用等式表示线段CG ，OE ，OD 的数量关系： ．
（2）类比探究
如图2，当
AOB
为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．
（3）拓展应用
当0
180
AOB
，且
90
AOB
时，若
3
GF
EF =
，请直接写出OD
CD 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第37题★
37 / 142
5．（2025•江西）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展
开探究．
特例研究
在正方形ABCD中，AC ，BD 相交于点O ．
（1）如图1，△ADC 可以看成是△AOB绕点A 逆时针旋转并放大k 倍得到，此时旋转角的度数为 ，
k 的值为 ；
（2）如图2，将△AOB绕点A 逆时针旋转，旋转角为，并放大得到△AEF （点O ，B 的对应点分别为
点E ，
)
F ，使得点E 落在OD 上，点F 落在BC 上，求BF
OE 的值；
类比探究
（3）如图3，在菱形ABCD中，
60
ABC
=
，O 是AB 的垂直平分线与BD 的交点，将△AOB 绕点A 逆
时针旋转，旋转角为，并放缩得到△AEF（点O ，B 的对应点分别为点E ，)
F ，使得点E 落在OD 上，
点F 落在BC 上．猜想BF
OE 的值是否与有关，并说明理由；
（4）若（3）中
ABC
=
，其余条件不变，探究BA ，BE ，BF 之间的数量关系（用含的式子表示）．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第38题★
38 / 142
6．（2025•山东）【图形感知】
如图1，在四边形ABCD中，已知
90
BAD
ABC
BDC
=
=
=
，
2
AD =
，
4
AB =
．
（1）求CD的长；
【探究发现】
老师指导同学们对图1 所示的纸片进行了折叠探究．
在线段CD上取一点E ，连接BE ．将四边形ABED 沿BE 翻折得到四边形A BED
，其中A，D分别是A ，
D 的对应点．
（2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点D恰好落在边BC 上，延长A D
交CD于点F ，如图2．判断四边形DBA F
的形状，并说明理由；
②乙：点A恰好落在边BC 上，如图3．求DE 的长；
（3）如图4，连接DD交BE 于点P ，连接CP ．当点E 在线段CD上运动时，线段CP 是否存在最小值？
若存在，直接写出；若不存在，说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第39题★
39 / 142
7．（2025•湖北）在△ABC 中，
90
ACB
=
，将△ABC 绕点C 旋转得到△DEC ，点A 的对应点D 落在边
AB 上，连接BE ．
（1）如图1，求证：△BCE∽△ACD ；
（2）如图2，当
2
BC =
，
1
AC = 时，求BE 的长；
（3）如图3，过点E 作AB 的平行线交AC 的延长线于点F ，过点B 作AC 的平行线交EF 于点G ，DE
与BC 交于点K ．
①求证：AC
CF
=
；
②当
5
6
GF
GB =
时，直接写出KD
KE 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第40题★
40 / 142
8．（2025•山西）综合与探究
问题情境：如图1，在△ABC 纸片中，AB
BC
，点D 在边AB 上，AD
BD
．沿过点D 的直线折叠该纸
片，使DB 的对应线段DB与BC 平行，且折痕与边BC 交于点E ，得到△DB E
，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边形BDB E
的形状，并说明理由；
拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点D 的直线折叠该纸片，使点A 的对应点A落在射线DB上，且折痕与
边AC 交于点F ，然后展平．连接A E
交边AC 于点G ，连接A F
．
①若
2
AD
BD
=
，判断DE 与A E
的位置关系，并说明理由；
②若
90
C
=
，
15
AB =
，
9
BC =
，当△A FG
是以A F
为腰的等腰三角形时，请直接写出A F
的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第41题★
41 / 142
9．（2025•贵州）如图，在菱形ABCD中，
60
ABC
=
，点P 为线段AC 上一动点，点E 为射线BP 上的一
点（点E 与点B 不重合）．【问题解决】
（1）如图①，若点P 与线段AC 的中点O 重合，则
PBC
= 度，线段BP 与线段AC 的位置关系
是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点P 运动过程中，点E 在线段BP 上，且
30
AEP
=
，
60
PEC
=
，探究线段BE 与线
段EC 的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点P 运动过程中，将线段BE 绕点E 逆时针旋转120得到EF ，射线EF 交射线BC 于点G ，若
2
BE
FG
=
，
5
AB =
，求AP 的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第42题★
42 / 142
10．（2025•齐齐哈尔）综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何
模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．
（1）【几何直观】如图1，△ABC 中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，在△ABC 内部取一点D ，连接AD ，将
线段AD 绕点A 逆时针旋转90得到线段AD，连接BD ，CD，则CD与BD 的数量关系是 ；ADC
与
ADB
的数量关系是 ；
（2）【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E ，使
90
CED
=
，将线段CE 绕点C 逆时针旋转
90得到线段CE，连接E B
，延长E B
交DE 的延长线于点F ，求证：四边形CEFE是正方形；
（3）【深度探究】如图3，矩形ABCD中，
3
AB =
，
4
BC =
，在其内部取一点E ，使
90
CED
=
，将线
段CE 绕点C 逆时针旋转90得到线段CE，延长CE至点G ，使
4
3
CG
CE =
，连接GB ，延长GB 交DE 的延
长线于点F ，连接AF ，若
2
AF =
，则BF = ；
（4）【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E 为BC 边上的一点，连接AE ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转60
得到线段AE，连接DE，若
3 2
AD =
，
6
AB =
，则DE的最小值为 ．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第43题★
43 / 142
11．（2025•资阳）在四边形ABCD中，E 是边BC 上的一点，O 是对角线AC 的中点．
（1）如图1，四边形ABCD是正方形，连接OE ，作OF
OE
⊥
交CD于点F ，求证：OE
OF
=
；
（2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，AB
AC
⊥
，
3 5
5
AB =
，
1
tan
2
ACB
=
，
:
1:2
BE EC =
，连接
AE ，作EF
AE
⊥
交CD于点F ，连接OF ，求OF
CF 的值；
（3）如图3，四边形ABCD是菱形，
60
B
=
，
6
BC =
，连接DE 交AC 于点G ，F 是边AB 上的一点，
30
EDF
=
，若
1
3
AF
AB
=
，求OG 的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第44题★
44 / 142
12．（2025•南充）矩形ABCD中，
10
AB =
，
17
AD =
，点E 是线段BC 上异于点B 的一个动点，连接AE ，
把△ABE 沿直线AE 折叠，使点B 落在点P 处．
【初步感知】（1）如图1，当E 为BC 的中点时，延长AP 交CD于点F ，求证：FP
FC
=
．
【深入探究】（2）如图2，点M 在线段CD上，
4
CM =
．点E 在移动过程中，求PM 的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点N 在线段AD 上，
4
AN =
．点E 在移动过程中，点P 在矩形内部，当△PDN
是以DN 为斜边的直角三角形时，求BE 的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第45题★
45 / 142
★类型3：三角形（1-7）+四边形（8-20）+动点问题（21-24）★
1．（2025•黑龙江）已知：如图，△ABC 中，AB
AC
=
，设
BAC
=
，点D 是直线BC 上一动点，连接AD ，
将线段AD 绕点A 顺时针旋转至AE ，连接DE 、BE ，过点E 作EF
BC
⊥
，交直线BC 于点F ．探究如
下：
（1）若
60
=
时，
如图①，点D 在CB延长线上时，易证：BF
DF
BC
=
+
如图②，点D 在BC 延长线上时，试探究线段BF 、DF 、BC 之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并
说明理由．
（2）若
120
=
，点D 在CB延长线上时，如图③，猜想线段BF 、DF 、BC 之间又有怎样的数量关系？
请直接写出结论，不需要证明．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第46题★
46 / 142
2．（2025•辽宁）（1）如图1，在△ABC 与△DCB中，BAC
CDB
=
，AC 与DB 相交于点P ，PB
PC
=
，
求证：△ABC △DCB；
（2）如图2，将图1 中的△DCB绕点B 逆时针旋转得到△D C B
，当点D 的对应点D在线段BA 的延长
线上时，BC与AC 相交于点M ，若
2
AB =
，
3
BC = ，
60
ABC
=
，求CM 的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CC并延长，与BD的延长线相交于点N ，连接MN ，求△AMN 的
面积．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第47题★
47 / 142
3．（2025•长春）如图，在△ABC 中，
90
C
=
，
4
AC
BC
=
=
，点D 为边AC 的中点，点E 为边AB 上一
动点，连结DE ，将线段DE 绕点E 顺时针旋转45得到线段EF ．
（1）线段AB 的长为 ；
（2）当
/ /
EF
AC 时，求AE 的长；
（3）当点F 在边BC 上时，求证：△ADE △BEF ；
（4）当点E 到BC 的距离是点F 到BC 距离的2 倍时，直接写出AE 的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第48题★
48 / 142
4．（2025•重庆）在△ABC 中，AB
AC
=
，点D 是BC 边上一点（不与端点重合），连接AD ．将线段AD
绕点A 逆时针旋转得到线段AE ，连接DE ．
（1）如图1，
60
BAC
=
=
，
20
CAE
=
，求
ADB
的度数；
（2）如图2，
90
BAC
=
=
，BD
CD
，过点D 作DG
BC
⊥
，DG 交CA 的延长线于G ，连接BG ．点
F 是DE 的中点，点H 是BG 的中点，连接FH ，CF ．用等式表示线段FH 与CF 的数量关系并证明；
（3）如图3，
120
BAC
=
，
60
=
，
8
AB =
，连接BE ，CE ．点D 从点B 移动到点C 过程中，将BE
绕点B 逆时针旋转60得线段BM ，连接EM ，作MN
CA
⊥
交CA 的延长线于点N ．当CE 取最小值时，在
直线AB 上取一点P ，连接PE ，将△APE 沿PE 所在直线翻折到△ABC 所在的平面内，得△QPE ，连接
BQ ，MQ ，NQ ，当BQ 取最大值时，请直接写出△MNQ 的面积．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第49题★
49 / 142
5．（2025•北京）在△ABC 中，
90
ACB
=
，
ABC
=
，点D 在射线BC 上，连接AD ，将线段AD 绕点
A 逆时针旋转180
2
−
得到线段AE （点E 不在直线AB 上），过点E 作
/ /
EF
AB ，交直线BC 于点F ．
（1）如图1，
45
=
，点D 与点C 重合，求证：BF
AC
=
；
（2）如图2，点D ，F 都在BC 的延长线上，用等式表示DF 与BC 的数量关系，并证明．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第50题★
50 / 142
6．（2025•新疆）如图，在等腰直角三角形ABC 中，
90
A
=
，
4
BC =
，AD
aBN
=
，点M 是AB 的中点，
点D 和点N 分别是线段AC 和BC 上的动点．
（1）当点D 和点N 分别是AC 和BC 的中点时，求a 的值；
（2）当
2
a =
时，以点C ，D ，N 为顶点的三角形与△BMN 相似，求BN 的值；
（3）当
2
a =
时，求MN
ND
+
的最小值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第51题★
51 / 142
7．（2025•广西）【平行六边形】如图1，在凸六边形ABCDEF 中，满足
/ /
AB
DE ，
/ /
BC
EF ，
/ /
CD
FA ，
我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中AB 与DE ，BC 与EF ，CD与FA 叫做“主对边”；
A
和
D
，
B
和
E
，
C
和
F
叫做“主对角”； AD ，BE ，CF 叫做“主对角线”．
（1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．
猜想
判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等
②平行六边形的三组主对角分别相等
③平行六边形的三条主对角线互相平分
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．
（2）如图2，已知平行六边形OPQRST 满足OP
PQ
QR
RS
=
=
=
．求证：平行六边形OPQRST 是菱六边形；
（3）如图3 是一张边长为3，4，6 的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请
在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第52题★
52 / 142
8．（2025•安徽）已知点A在正方形ABCD内，点E 在边AD 上，BE 是线段AA的垂直平分线，连接A E
，
A B
．
（1）如图1，若BA的延长线经过点D ，
1
AE = ，求AB 的长；
（2）如图2，点F 是AA的延长线与CD的交点，连接CA．
( )i 求证：
45
CA F
=
；
( )
ii 如图3，设AF ，BE 相交于点G ，连接CG ，DG ，DA，若CG
CB
=
，判断△A DG
的形状，并说明
理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第53题★
53 / 142
9．（2025•甘肃）四边形ABCD是正方形，点E 是边AD 上一动点（点D 除外），△EFG 是直角三角形，
EG
EF
=
，点G 在CD的延长线上．
（1）如图1，当点E 与点A 重合，且点F 在边BC 上时，写出BF 和DG 的数量关系，并将明理由；
（2）如图2，当点E 与点A 不重合，且点F 在正方形ABCD内部时，FE 的延长线与BA 的延长线交于点
P ，如果EF
EP
=
，写出AE 和DG 的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF ，写出BF 和DG 的数量关系，并说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第54题★
54 / 142
10．（2025•连云港）综合与实践
【问题情境】
如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB 、BC 上分别取点E 、F ，且AE
BF
=
，AF 交DE 于点O ．连
接AC ，过点F 作FG
AC
⊥
，垂足为G ，连接GD 、GE ，DE 交AC 于点P ，GE 交AF 于点Q ．
【活动猜想】
（1）GD 与GE 的数量关系是 ，位置关系是 ；
【探索发现】
（2）证明（1）中的结论；
【实践应用】
（3）若
3
AD =
，
1
AE = ，求QF 的长；
【综合探究】
（4）若
3
AD =
，则当AP = 时，△DPG 的面积最小．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第55题★
55 / 142
11．（2025•扬州）问题：如图1，点P 为正方形ABCD内一个动点，过点P 作
/ /
EF
AD，
/ /
GH
AB，矩形
PHCF 的面积是矩形PGAE面积的2 倍，探索
FAH
的度数随点P 运动的变化情况．
【从特例开始】
（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2) ，请你仅用无刻度的直尺连接一条线
段，由此可得此图形中
FAH
= ．
（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3) ，其中
6
PE
PF
=
=
，
4
PG =
，
8
PH =
，求此图形
中
FAH
的度数；
【一般化探索】
（3）利用图1，探索上述问题中
FAH
的度数随点P 运动的变化情况，并说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第56题★
56 / 142
12．（2025•浙江）在菱形ABCD中，
5
AB =
，
8
AC =
．
（1）如图1，求sin
BAC
的值．
（2）如图2，E 是AD 延长线上的一点，连接BE ，作△FBE 与△ABE 关于直线BE 对称，EF 交射线AC
于点P ，连接BP ．
①当EF
AC
⊥
时，求AE 的长．
②求PA
PB
−
的最小值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第57题★
57 / 142
13．（2025•湖南）【问题背景】
如图1，在平行四边形纸片ABCD中，过点B 作直线l
CD
⊥
于点E ，沿直线l 将纸片剪开，得到△
1
1
1
BC E
和四边形ABED ，如图2 所示．
【动手操作】
现将三角形纸片
1
1
1
BC E 和四边形纸片ABED 进行如下操作（以下操作均能实现）
①将三角形纸片
1
1
1
BC E 置于四边形纸片ABED 内部，使得点
1B 与点B 重合，点
1
E 在线段AB 上，延长
1
BC
交线段AD 于点F ，如图3 所示；
②连接
1
CC ，过点C 作直线CN
CD
⊥
交射线
1
EE 于点N ，如图4 所示；
③在边AB 上取一点G ，分别连接BD ，DG ，FG ，如图5 所示．
【问题解决】
请解决下列问题：
（1）如图3，填空：
A
ABF
+
= ；
（2）如图4，求证：△CNM △
1
1
C E M ；
（3）如图5，若
2
2 7
AB
AD
AF
=
=
，
60
AGD
=
，求证：
/ /
FG
BD．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第58题★
58 / 142
14．（2025•河北）综合与实践
[ 情境] 要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1) ，需找到合适的切割线．
[ 模型] 已知矩形ABCD（数据如图2 所示）．作一条直线MN ，使MN 与BC 所夹的锐角为45，且将矩形
ABCD分成周长相等的两部分．
[ 操作] 嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
如图3，嘉嘉的思路如下：
①连接AC ，BD 交于点O ；
②过点O 作EF
BC
⊥
，分别交BC ，AD 于点
E ，F ；
如图4，淇淇的方法如下：
①在边BC 上截取BG
AB
=
，连接AG ；
②作线段GC 的垂直平分线l ，交BC 于点
M ；
③在边AD 上截取AN
GM
=
，作直线MN ．
[ 探究] 根据以上描述，解决下列问题．
（1）图2 中，矩形ABCD的周长为 ；
（2）在图3 的基础上，用尺规作图作出直线MN （作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4 中的直线MN 符合要求．
[ 拓展] 操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
（4）如图5，若直线PQ 将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD ，BC 于点P ，Q ，过点B
作BH
PQ
⊥
于点H ，连接CH ．
①当
45
PQC
=
时，求tan
BCH
的值；
②当
BCH
最大时，直接写出CH 的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第59题★
59 / 142
15．（2025•广州）宽与长的比是
5
1
2
−（约为0.618) 的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片ABCD，
长
5
1
AD =
+ ．如图1，折叠纸片ABCD，点B 落在AD 上的点E 处，折痕为AF ，连接EF ．然后将纸
片展开．
（1）求AB 的长；
（2）求证：四边形CDEF 是黄金矩形；
（3）如图2，点G 为AE 的中点，连接FG ，折叠纸片ABCD，点B 落在FG 上的点H 处，折痕为FP ，
过点P 作PQ
EF
⊥
于点Q ．四边形BFQP 是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第60题★
60 / 142
16．（2025•内蒙古）如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD 是一条对角线，
5
BD
BC
=
=
，
6
CD =
．
（1）如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD 折叠，点A 的对应点落在点P 处，PB 交CD于点M ．
①试猜想PM 与CM 的数量关系，并说明理由；
②求△BDM 的面积；
（2）如图2，点E ，F 分别在平行四边形纸片ABCD的AB ，AD 边上，连接EF ，且
/ /
EF
BD ，将平行
四边形纸片ABCD沿EF 折叠，使点A 的对应点G 落在CD边上，求DG 的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第61题★
61 / 142
17．（2025•吉林）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60的平行四
边形的折叠问题．其探究过程如下：
【探究发现】如图①，在
ABCD
中，
60
A
=
，AB
AD
，E 为边AD 的中点，点F 在边DC 上，且DF
DE
=
，
连接EF ，将△DEF 沿EF 翻折得到△GEF ，点D 的对称点为点G ．小组成员发现四边形DEGF 是一
个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
【探究证明】取图①中的边BC 的中点M ，点N 在边AB 上，且BN
BM
=
，连接MN ，将△BMN 沿MN
翻折得到△HMN ，点B 的对称点为点H ，连接FH ，GN ，如图②，求证：四边形GFHN 是平行四边
形．
【探究提升】在图②中，四边形GFHN 能否成为轴对称图形．如果能，直接写出AD
AB 的值；如果不能，说
明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第62题★
62 / 142
18．（2025•眉山）综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点C 的直线折叠，使点B 落在AD 边上的点B处，折痕交
AB 于点E ，再沿着过点B的直线折叠，使点D 落在B C
边上的点D处，折痕交CD 于点F ．将纸片
展平，画出对应点B、D及折痕CE 、B F
，连接B E
、B C
、D F
．
【初步猜想】（1）确定CE 和B F
的位置关系及线段BE 和CF 的数量关系．
创新小组经过探究，发现
/ /
CE
B F
，证明过程如下：
由折叠可知
1
2
DB F
CB F
DB C
=
=
，
1
2
ECB
ECB
BCB
=
=
．由矩形的性质，可知
/ /
AD
BC ，
DBC
BCB
=
，① ，
/ /
CE
B F
．
智慧小组先测量BE 和CF 的长度，猜想其关系为② ．
经过探究，发现验证BE 和CF 数量关系的方法不唯一：
方法一：证明△AB E
△DCF
，得到B E
CF
=
，再由B E
BE
=
可得结论．
方法二：过点B作AB 的平行线交CE 于点G ，构造平行四边形CFB G
，然后证B G
B E
=
可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．
【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE 和CF 的数量关系，写出证明过
程．
【尝试运用】（3）如图2，在矩形ABCD中，
6
AB =
，按上述操作折叠并展开后，过点B作
/ /
BG
AB
交CE
于点G ，连接DG
，当△B D G
为直角三角形时，求出BE 的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第63题★
63 / 142
19．（2025•兰州）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1 所示的图形，正方形ABCD 与正方形
(
)
BEFG AB
BE
，点E ，G 分别在AB ，BC 上．根据图形提出问题：如图2，正方形BEFG绕点B 顺
时针旋转，旋转角为
(0
180 )
，直线AE 与CG 相交于点H ，连接BH ，探究线段AH ，BH ，CH
之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G ，H 重合时，请你写出AH ，BH ，CH 之间
的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2 所示的一般化问题，当点G ，H 不重合时，请
你写出AH ，BH ，CH 之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2 所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形BEFG绕点B 顺时针旋转，旋
转角为
(180
360 )
，直线AE 与CG 相交于点H ，连接BH ，请直接写出AH ，BH ，CH 之间
的数量关系．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第64题★
64 / 142
20．（2025•烟台）【问题呈现】
如图1，已知P 是正方形
1
2
3
4
A A A A 外一点，且满足
1
2
3
2
180
PA A
PA A
+
=
，探究
1
PA ，
2
PA ，
3
PA 三条
线段的数量关系．
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：如图2，构造△
3
2
QA A 与△
1
2
PA A 全等，从而得出
1
3
PA
PA
+
与
2
PA 的数量关系；
思路二：如图3，构造△
1
2
MA A 与△
3
2
NA A 全等，从而得出
1
3
PA
PA
+
与
2
PA 的数量关系．
（1）请参考小颖的思路，直接写出
1
3
PA
PA
+
与
2
PA 的数量关系 ；
【类比探究】
（2）如图4，若P 是正五边形
1
2
3
4
5
A A A A A 外一点，且满足
1
2
3
2
180
PA A
PA A
+
=
，
1
11
PA =
，
3
49
PA =
，
求
2
PA 的长度（结果精确到0.1，参考数据：sin54
0.81
，sin72
0.95
，cos54
0.59
，cos72
0.31)
；
【拓展延伸】
（3）如图5，若P 是正十边形
1
2
10
A A
A
外一点，且满足
1
2
3
2
180
PA A
PA A
+
=
，则
1
PA ，
2
PA ，
3
PA
三条线段的数量关系为 （结果用含有锐角三角函数的式子表示）．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第65题★
65 / 142
21．（2025•绥化）综合与实践
如图．在边长为8 的正方形ABCD中，作射线BD ，点E 是射线BD 上的一个动点，连接AE ，以AE 为
边作正方形AEFG ，连接CG 交射线BD 于点M ，连接DG ．（提示：依题意补全图形，并解答）
【用数学的眼光观察】
（1）请判断BD 与DG 的位置关系，并利用图（1）说明你的理由．
【用数学的思维思考】
（2）若DG
a
=
，请你用含a的代数式直接写出
CMB
的正切值 ．
【用数学的语言表达】
（3）设DE
x
=
，正方形AEFG 的面积为S ，请求出S 与x 的函数解析式．（不要求写出自变量x 的取值范围）
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第66题★
66 / 142
22．（2025•天津）在平面直角坐标系中，O 为原点，等边△ABC 的顶点
(0,2)
A
，
(0, 1)
B
−
，点C 在第一象
限，等边△EOF 的顶点(
3,0)
E −
，顶点F 在第二象限．
（Ⅰ）填空：如图①，点F 的坐标为 ，点C 的坐标为 ；
（Ⅱ）将等边△EOF 沿水平方向向右平移，得到等边△E O F
，点E ，O ，F 的对应点分别为E，O，
F．设OO
t
= ．
①如图②，若边E F
与边AB 相交于点G ，当△E O F
与△ABC 重叠部分为四边形OO F G
时，试用含有
t 的式子表示线段GA的长，并直接写出t 的取值范围；
②设平移后重叠部分的面积为S ，当3 3
3 3
4
2
t
时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第67题★
67 / 142
23．（2025•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA在x 轴上，tan
3
COA
=
，OA的长
是一元二次方程
2
3
18
0
x
x
−
−
=
的根，过点C 作CQ
OA
⊥
交OA于点Q ，交对角线OB 于点P ．动点M
从点O 以每秒1 个单位长度的速度沿OA向终点A 运动，动点N 从点B 以每秒
3 个单位长度的速度沿
BO向终点O 运动，M 、N 两点同时出发，设运动时间为t 秒．
（1）求点P 坐标；
（2）连接MN 、PM ，求△PMN 的面积S 关于运动时间t 的函数解析式；
（3）当
3
t = 时，在对角线OB 上是否存在一点E ，使得△MNE 是含30角的等腰三角形．若存在，请直接
写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第68题★
68 / 142
24．（2025•青岛）如图①，在Rt △ABC 中，
90
ACB
=
，
6
AC
cm
=
，
8
BC
cm
=
，将Rt △ABC 沿AC 方
向平移6cm，得到Rt △CDE ，过点D 作DF
AB
⊥
，交AB 的延长线于点F ，H 为DE 的中点．点P 从点
D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1
/
cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AE 方向匀速运动，速度为
1.2
/
cm s ．连接PQ，QH ，PH ．设运动时间为( )(0
10)
t s
t
．解答下列问题：
（1）当
/ /
HP
DF 时，求t 的值；
（2）如图②，当5
10
t
时，设△PQH 的面积为
2
(
)
S cm
，求S 与t 之间的函数关系式；
（3）当0
5
t
时，是否存在某一时刻t ，使△PQH 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请
说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第69题★
69 / 142
★类型4：跨学科融合+情景实际运用（13 题）★
1．
（2025•苏州）两个智能机器人在如图所示的Rt △ABC 区域工作，
90
ABC
=
，
40
AB
m
=
，
30
BC
m
=
，
直线BD 为生产流水线，且BD 平分△ABC 的面积（即D 为AC 中点）．机器人甲从点A 出发，沿A
B
→
的
方向以
1(
/
)
v m min 的速度匀速运动，其所在位置用点P 表示，机器人乙从点B 出发，沿B
C
D
→
→
的方
向以
2(
/
)
v m min 的速度匀速运动，其所在位置用点Q 表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为
(
)
t min ，记点P 到BD 的距离（即垂线段PP的长）为
1( )
d m ，点Q 到BD 的距离（即垂线段QQ的长）为
2( )
d m ．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时
1
7.5
d
m
=
．
2
d 与t 的部分对应数值
如表
1
2
(
):
t
t
(
)
t min
0
1t
2t
5.5
2( )
d m
0
16
16
0
（1）机器人乙运动的路线长为 m ；
（2）求2
1
t
t
−
的值；
（3）当机器人甲、乙到生产流水线BD 的距离相等（即
1
2)
d
d
=
时，求t 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第70题★
70 / 142
2．（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角
三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a ，b ，c 都是正整数，则a ，b ，c 为一组“勾股数”．如表
中的每一组数都是勾股数．
3，4，5
7，24，25
11，60，61
15，112，113
19，180，181
4，3，5
8，15，17
12，35，37
16，63，65
20，21，29
5，12，13
9，12，15
13，84，85
17，144，145
21，28，35
6，8，10
10， ，26
14，48，50
18，80，82
22，120，122
（1）请补全如表中的勾股数．
（2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a ，b ，c ，使该组代数式能表示上
表中所有的勾股数，并证明．
（3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种
花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m ．如
果每个三角形最短边都种21 株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第71题★
71 / 142
3．（2025•山西）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计
出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合．
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳
点与落地点的距离为160cm ．
数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N ，对称轴为直线l ，仿青蛙机
器人在水平地面上的起跳点为O ，落地点为M ．以O 为原点，OM 所在直线为x 轴，过点O 与OM 所在
水平地面垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
（1）请直接写出顶点N 的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（2）如图1，若仿青蛙机器人从点O 正上方的点P 处起跳，落地点为Q ，点P 的坐标为(0,75) ，点Q
在x轴的正半轴上．求起跳点P 与落地点Q 的水平距离OQ 的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm ，
才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中
90
ABC
BCD
=
=
，
57
AB
cm
=
，
40
BC
cm
=
，
48
CD
cm
=
．仿青蛙机器人从距离AB 左侧80cm 处的地面起跳，发现不能安全通
过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍
物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一
竖直平面内）．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第72题★
72 / 142
4．（2025•陕西）问题探究
（1）如图①，在△ABC 中，请画出一个BDEF
，使得点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上；
（2）如图②，在矩形ABCD中，
4
AB =
，
6
BC =
，P 为矩形ABCD内一点，且满足
9
BPC
S
=
，△BPC 周
长的最小值；
问题解决
（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址
修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC 区域为草地，线段BC 为花海边沿，点A 为游客
服务中心，线段PQ 为步道，点P 和点Q 为步道口，点O 为观景台．按照设计要求，点P ，Q 分别在边
AB ，AC 上，且满足
:
2:3
BP AQ =
，O 为PQ 的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使
BOC
最大．已
知
120
AB
m
=
，
180
AC
BC
m
=
=
，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），
并计算此时步道口P 与游客服务中心A 之间的距离PA ．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大
小均忽略不计）
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第73题★
73 / 142
5．（2025•齐齐哈尔）2025 年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足
学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”， AI 热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤
学路”上依次设置了A ，B ，C 三个互动区，机器人甲、乙分别从A ，C 两区同时出发开始表演，机
器人甲沿“勤学路”以20 米/ 分的速度匀速向B 区行进，行至B 区时停留4.5 分钟（与师生热情互动）
后，继续沿“勤学路”向C 区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10 米/ 分的速度匀速向B 区行进，行
至B 区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C 区．机器人甲、乙距B 区的距离y（米) 与机
器人乙行进的时间x （分) 之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题：
（1）A ，C 两区相距 米，a = ；
（2）求线段EF 所在直线的函数解析式；
（3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30 米？（直接写出答案即可）
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第74题★
74 / 142
6．（2025•内蒙古）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1 所示．
外形参数：
如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线
1
L ，中间的矩形ABCD和下方的抛物线
2
L 组
成．抛物线
1
L 的高度为8cm ，矩形ABCD的边
8
AB
cm
=
，
6
BC
cm
=
，抛物线
2
L 的高度为4cm．在装置内
部安装矩形电子显示屏EFGH ，点E ，F 在抛物线
2
L 上，点H ，G 在抛物线
1
L 上．
问题解决：
如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A 为原点，以AB 边所在的直线为x 轴，以AD 边所在的直线为y 轴，
建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
（1）直接写出B ，C ，D 三点的坐标；
（2）直接写出抛物线
1
L 和
2
L 的顶点坐标，并分别求出抛物线
1
L 和
2
L 的函数表达式；
（3）为满足矩形电子显示屏EFGH 的空间要求，需要EH 边的长为15cm，求此时EF 边的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第75题★
75 / 142
7．（2025•广西）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上
的投影是一个平行四边形（如图1) ．
初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影
MNPQ
的平面图如图2所示，P 在AD 上，
3
MN
m
=
，
1
AN
m
=
，
2
AP
m
=
，
3
AB
m
=
，
2.5
BC
m
=
．由于场地限制，参加义卖的同字只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，
MNPQ
也随之移动(MN 始终在AB 边所在直线1．且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）
会呈现不同的形状．如图3 为
MNPQ
移动到P 落在BC 上的情形．
【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时
MNPQ
的位置．
设遮阳区的面积为S
2
m ，
MNPQ
从初始时向右移动的距离为x m ．
【直观感知】（1）从初始起右移至图3 情形的过程中，S 随x 的增大如何变化？
【初步探究】（2）求图3 情形的x 与S 的值；
【深入研究】（3）从图3 情形起右移至M 与A 重合，求该过程中S 关于x 的解析式；
【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，
MNPQ
向右移动了多少？（直接写出结果）
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第76题★
76 / 142
8．（2025•深圳）综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，
安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数= 现场总人数−已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9 条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6 人．
【模型构建】若该演出前30 分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y 与安检时间x 之间满足关系式：
2
60
100(0
30)
y
x
x
x
= −
+
+
．
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通3 条安检通道时，安检时间x 分钟时，已入场人数为 ，排队人数w 与安检时间x 的函数
关系式为 ．
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10 分钟内（包含10 分钟）减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优
化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第77题★
77 / 142
9．（2025•吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两
个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A 、B 的下方，从离桌面20cm 的高度，分别缓慢浸入
到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不
计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液
体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F
G
=
拉力
重力；当小铝块浸入液面后，F
G
F
=
−
拉力
重力
浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A ，B 各自的示数
(
)
F
N
拉力
与小铝块各
自下降的高度(
)
x cm 之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A 和弹簧测力计B 的示数．
（2）当6
10
x
时，求弹簧测力计A 的示数F拉力关于x 的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A 悬挂的小铝块下降8cm 时，甲液体中的小铝块受到的浮力为
(
)
m N ，若使乙液体中
的小铝块所受的浮力也为
(
)
m N ，则乙液体中小铝块浸入的深度为(
)
n cm ，直接写出m ，n 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第78题★
78 / 142
10．（2025•贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似
地形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的
高度y 与水平距离x 之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点F ，运动路径近似为抛物线
1
C ，
且
2
1 :
C
y
ax
bx
c
=
+
+
，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G ，运动路径近似为抛物线
2
C ，且
2
2
1
:
5
C
y
x
mx
n
= −
+
+
．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
（1）如图②，当
1
2
a = −
，
1
2
b =
时，若点F 坐标为(2,0) ，求抛物线
1
C 的表达式；
（2）在（1）的条件下，若
4
FG =
，在水面上有一个截面宽
1
AB = ，高
0.5
BC =
的矩形ABCD的障碍物，
点A 的坐标为(4.5,0) ，判断此时石块沿抛物线
2
C 运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
（3）小星在抛掷石块时，若
1
C 的顶点需在一个正方形MNPQ 区域内（包括边界），且点F 在(3,0) 和(4,0)
之间（包括这两点），其中
1
(
2
M
，1) ，
(1,1)
N
，
1
(2
Q
，3)
2 ，求a 的取值范围．（在抛掷过程中正方形与抛物
线
1
C 在同一平面内）
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第79题★
79 / 142
11．（2025•自贡）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了
测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
（1）制作工具
如图2，在矩形木板HIJK 上O 点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物G ，过点O 画射线
/ /
QM
HK ．测量时竖放木板，当重垂线
/ /
OG
HI 时，将等腰直角三角尺ACB 的直角顶点C 紧靠铁钉，绕
点O 转动三角尺，通过OB 边瞄准目标N ，测量
MOB
可得仰角度数，采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，QM 是否水平呢？小蕊产生了疑问，组长对她说：“因为OG 始终垂直于水平面，满足OG
QM
⊥
就行．”求证：OG
QM
⊥
．
（2）获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3 米，小蕊在15 楼
阳台P 处测得塔底U 的仰角为5.1，在25 楼对应位置D 处测得塔底U 的俯角为9.1，塔顶T 的仰角为
14.5．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个Rt △VWZ ，
90
W
=
，
14.5
WVZ
=
，
10.0
VW
cm
=
．在边WZ 上取两点X ，Y ，使
5.1
YVW
=
，
4.0
XVY
=
，量得
0.91
YW
cm
=
，
0.70
XY
cm
=
，
0.94
ZX
cm
=
，则tan5.1 ，tan9.1 ，tan14.5 （结果保留小数点后两位）．
（3）计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
（4）反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2 米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊
提出两条合理的改进建议（总字数少于50 字）．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第80题★
80 / 142
12．（2025•青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O 正上方1.8 米的A 点将球击
出．
信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O 为原点，OA在y 轴上，球的运动路线可以看作是二次函数
2
1.8(
y
ax
bx
a
=
+
+
，b 为常数）图象的一部分，其中y（米) 是球的高度，x（米) 是球和原点的水平距离，
图象经过点(2,3.2) ，(4,4.2) ．
信息二：球和原点的水平距离x（米) 与时间t（秒)(0
1.6)
t
之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：
t （秒)
0
0.4
0.6
x （米)
0
4
6
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？
（3）当t 为1.6 秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数
2
0.02
(
y
x
px
m p
= −
+
+
，
m 为常数）图象的一部分，其中y （米) 是球的高度，x（米) 是球和原点的水平距离．当网球所在点的横
坐标x 为2，纵坐标y 大于等于1.8 时，p 的取值范围为 （直接写出结果）．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第81题★
81 / 142
13．（2025•广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学
原理，该小组考察了如图1 所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决
问题．
发现问题确定
目标
涉水线设置
限高架设置
数学抽象绘制
图形
隧道及斜坡的侧面示意图可近似如
图2 所示．
图3 为隧道横截面示意图，由抛
物线的一部分ACB 和矩形ADEB
的三边构成．
信息收集资料
整理
当隧道内积水的水深为0.27 米时
（即积水达到涉水线处），车辆应
避免通行．
车辆进入隧道，应在行驶车道内
通行（禁止压线），且必须保证车
辆顶部与隧道顶部ACB 在竖直方
向的空隙不小于0.3 米．
实地考察数据
采集
斜坡的坡角为10，并查得
sin10
0.174
，cos10
0.985
，
tan10
0.176
．
隧道的最高点C 到地面DE 距离
为5.4 米，两侧墙面高
3
AD
BE
=
= 米，地面跨度
10
DE =
米．车辆行驶方向的右侧
车道线（宽度忽略不计）与墙面
的距离为1 米．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离MN （精确到0.01 米）；
（2）在图3 中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线ACB 的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h 米”（即最大安全限商），求h 的值（精确到1 米）．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第82题★
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★类型：圆综合（8 题）★
1．（2025•福建）如图，四边形ABCD内接于
O
，AD ，BC 的延长线相交于点E ，AC ，BD 相交于点
F ．G 是AB 上一点，GD 交AC 于点H ，且AB
AC
=
，BG
DG
=
．
（1）求证：
ABC
DBE
E
=
+；
（2）求证：
2
AH
HF HC
=
；
（3）若tan
5
ABC
=
，
2
AD
DE
=
，
6
CD =
，求△AGH 的周长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第83题★
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2．（2025•长沙）如图1，点O 是以AB 为直径的半圆的圆心，AD 与BC 均为该半圆的切线，C ，D 均为
直径AB 上方的动点，连接CD，且始终满足CD
AD
BC
=
+
．
（1）求证：CD与该半圆相切；
（2）当半径
2
r =
时，令AD
a
=
，BC
b
=
，
2
2
2
2
m
a
b
=
+
+
+
，
1
1
a
b
n
a
b
=
+
+
+
，比较m 与n 的大小，并
说明理由；
（3）在（1）的条件下，如图2，当半径
1
r = 时，若点E 为CD与该半圆的切点，AC 与BD 交于点G ，连
接EG 并延长交AB 于点F ，连接AE ，BE ，令EG
x
=
，
4
1
CD
y
AE BE
FG
+
+
=
，求y 关于x 的函数解析
式．（不考虑自变量x 的取值范围）
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第84题★
84 / 142
3．（2025•连云港）已知AD 是△ABC 的高，
O
是△ABC 的外接圆．
（1）请你在图1 中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC 的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，若
O
的半径为R ，求证：
2
AC AB
R
AD
=
；
（3）如图3，延长AD 交
O
于点E ，过点E 的切线交OC 的延长线于点F ．若
7
BC =
，
3 3
AD =
，
60
ACB
=
，求CF 的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第85题★
85 / 142
4．（2025•云南）如图，
O
是五边形ABCDE 的外接圆，BD 是
O
的直径．连接AC ，BE ，CE ，
AEC
ACF
=
．
（1）若CE
CB
=
，且
60
CBE
=
，求BCE
的度数；
（2）求证：直线CF 是
O
的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC 平分
BAE
，是否存在常数a ，b ，使等式
2
AC
aBC CE
bAB AE
=
+
成立？若存在，请直接写出
一个a的值和一个b 的值，并证明你写出的a 的值和b 的值，使等式
2
AC
aBC CE
bAB AE
=
+
成立；若不存
在，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第86题★
86 / 142
5．（2025•青海）活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点
儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全
相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．
探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？
平面图形
每个内角度数
能否整除
能否密铺
正三角形
60
360
60
6
=
能
正方形
①
②
能
正五边形
108
10
360
108
3
=
不能
正六边形
120
360
120
3
=
能
正七边形
900
7
900
14
360
7
5
=
不能
正八边形
135
③
④
（1）请补全上述表格① ；② ；③ ；④ ．
探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内
切圆半径均为1 时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．
观察图1，发现
O
是正三角形ABC 的内切圆，与AC 切于点D ，OD
AD
⊥
，
30
OAD
=
，
1
OD =
，在
Rt △ADO中，
3
AD =
，则△ABC 的周长为6 3 ．
（2）如图2，正方形ABCD的周长为 ；
（3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）．
探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小．
（4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为 ；正方形的面积为 ；正六边形的面积
为 ．
【得出结论】
综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第87题★
87 / 142
6．（2025•宜宾）如图，已知AE 是
O
的直径，D 是
O
上一点．过D 作直线DB 与AE 的延长线交于B
点．过点A 作AC
BD
⊥
于C 点，连结AD 、DE ，且
AED
ADC
=
．
（1）求证：直线BC 是
O
的切线；
（2）若
10
AE =
，
3
tan
4
CAD
=
，求DE 与BD 的长度；
（3）在（2）的条件下，若F 为AE 上的一动点，且F 在直线AB 上方，连结AF 、DF 、EF ．当四边形
ADEF 面积最大时，求DF 的长度．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第88题★
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7．（2025•德阳）在
O
中直径AB 与弦CD交于点E ，
2
AC
BD
=
，连接AD ，过点B 作
O
的切线与AD
的延长线相交于点F ，CD的延长线与BF 的延长线相交于点G ．
（1）若
70
AFB
=
，求
G
的度数；
（2）连接CO，AC ，再连接DO 并延长交AC 于点M ，
①证明：DM
AC
⊥
；
②若
16
CD AF
=
，求
O
的直径．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第89题★
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8．（2025•内江）如图，在△ABC 中，
90
C
=
，ABC
的平分线BD 交AC 于点D ，点O 是边AB 上一点，
以点O 为圆心、OB 长为半径作圆，
O
恰好经过点D ，交AB 于点E ．
（1）求证：直线AC 是
O
的切线；
（2）若点E 为AO 的中点，
3
AD =
，求阴影部分的面积；
（3）连接DE ，若
5
sin
5
DBA
=
，求cos A 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第90题★
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★类型6：新定义（8 题）★
1．（2025•江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量
0x
m
=
时，其对应的函数值
0y
m
=
，那么我们
称该函数为“不动点函数”，点( ,
)
m m 为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数
2
y
x
=
中，当
1
x = 时，
1
y = ，则我们称函数
2
y
x
=
为“不动点函数”，点(1,1) 为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕
该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数
(
0)
y
kx
b k
=
+
进行探究后，得出下列结论：
①
2
y
x
=
+
是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②
3
2
y
x
= −
+
是“不动点函数”，且不动点是1
( ,0)
2
；
③y
x
=
是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是 （填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数
(
0)
y
kx
b k
=
+
是“不动点函数”，请直接写出k ，b 应满足的条件．
探究2
（3）对二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线
2
2
y
x
bx
c
=
−
+
的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b ，c 满足的关系式．
探究3
（4）某种商品每件的进价为6 元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(12
)
x
−
件，获得利润y 元．请
写出y 关于x 的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，
请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第91题★
91 / 142
2．（2025•福建）阅读材料，回答问题．
【主题】两个正数的积与商的位数探究．
【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“ 46 2
92
=
；
35 21
735
=
；663 11 7293
=
；186 362
67332
=
”，猜想：m 位的正整数与n 位的正整数的乘积是一个
(
1)
m
n
+
−
位的正整数．
【分析探究】问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例．
【推广延伸】
小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的
研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为
10n
a
，
则称这个数的位数是
1
n + ，数字是a．
借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题．
命题：若正数A ，B ，C 的位数分别为m ，n ，p ，数字分别为a ，b ，c ，且A B
C
=
，则必有c a
且c b
，或c
a
且c
b
．并且，当c a
且c b
时，
1
p
m
n
=
+
−；当c
a
且c
b
时，p
m
n
=
+
．
证明：依题意知，A ，B ，C 用科学记数法可分别表示为
1
10m
a
−
，
1
10n
b
−
，
1
10 p
c
−
，其中a ，b ，c 均
为正数．由A B
C
=
，得
2
1
10
10
m n
p
ab
c
+ −
−
=
，
即
1
10 p m n
ab
c
−
−+
=
．(*)
当c a
且c b
时，
1
a
c
，所以
10
ab
b
c
，又
1
10
ab
a
c
c
，所以1
10
10
ab
c
．由(*) 知，
1
ab
c
= ，所以
1
p
m
n
=
+
−；
当c a
且c
b
时，
1
1
a
c
b
c
，所以
10
1
ab
b
c
ab
a
c
，所以1
10
ab
c
，与(*) 矛盾，不合题意；
当c
a
且c b
时，① ；
当c
a
且c
b
时，② ．
综上所述，命题成立．
【拓展迁移】问题2 若正数A 、B 的位数分别为m ，n ，那么A
B 的位数是多少？证明你的结论．
（1）解决问题1；
（2）请把①②所缺的证明过程补充完整；
（3）解决问题2．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第92题★
92 / 142
3．（2025•深圳）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此
时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC 中，AB
AC
=
，
AC
AD
=
，
D
BAC
=
．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ ABC 是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形ABCD中，AB
AC
=
，AD
CD
=
，D
BAC
=
．求：①AD 与BC 的位置关
系为： ；②
2
AC AD BC
．（填“ ”，“ ”或“= ” )
【方法应用】①如图4，在△ABC 中，AC
BC
=
．将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△ADE ，点D 恰好落在
BC 边上，求证：四边形ABDE 是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形ABC 中，AC
BC
=
，
3
cos
5
B =
，
5
AB =
，在平面内找一点D ，使四边形ABCD是
以△ABC 为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出CD的长，若不存在，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第93题★
93 / 142
4．（2025•北京）在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和
C
给出如下定义：若
C
上存在两个不同的点
M ，N ，对于
C
上任意满足AP
AQ
=
的两个不同的点P ，Q ，都有
PAQ
MAN
，则称点A 是
C
的关联点，称
MAN
的大小为点A 与
C
的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
（1）如图，
O
的半径为1．
①在点
1
1
(
2
A
，0) ，
2
4
(
3
A
，0) ，
3(2,0)
A
中，点 是
O
的关联点且其与
O
的关联角度小于90，该点
与
O
的关联角度为 ；
②点
(1,
)
B
m 在第一象限，若对于任意长度小于1 的线段BD ，BD 上所有的点都是
O
的关联点，则m 的
最小值为 ；
（2）已知点
(1,3)
E
，
(4,3)
F
，( ,0)
T t
，
T
经过原点，线段EF 上所有的点都是
T
的关联点，记这些点
与
T
的关联角度的最大值为．若90
180
，直接写出t 的取值范围．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第94题★
94 / 142
5．（2025•长沙）我们约定：当
1x ，
1y ，
2
x ，
2
y 满足
2
2
1
2
2
1
(
)
(
)
0
x
y
x
y
+
+
+
=
，且
1
1
0
x
y
+
时，称点
1
(x ，
1)
y 与点
2
(x ，2)
y 为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请
你根据该约定，解答下列问题：
（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“”，错误的打“” ) ；
①函数
(
k
y
k
x
=
是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；
②函数
2
1
y
x
= −
+ 一定不是“对偶函数”；
③函数
2
1
y
x
x
=
+
−的图象上至少存在两对“对偶点”．
（2）若关于x 的一次函数
1
1
y
k x
b
=
+
与
2
2
1
(
y
k x
b b
=
+
，
2
b 都是常数，且
1
2
0)
b b
均是“对偶函数”，求这
两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和；
（3）若关于x 的二次函数
2
2
1
y
ax
=
−是“对偶函数”，求实数a 的取值范围．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第95题★
95 / 142
6．（2025•长春）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的
覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段AB 的覆盖圆有无数个，其中，以AB 为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段AB 的最小覆盖圆一定经过点A 、点B ．如图①，以AB 为直径作
O
，再过A 、B
两点作
(
O O
与O 不重合），连结O A
，O B
．
在△O AB
中，有
(
O A
O B
AB
+
▲) ．
O A
O B
=
，
2O A
AB
，即
O
的直径大于
O
的直径．
O
是线段AB 的最小覆盖圆．
“▲”处应填写的推理依据为 ．
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以
先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三
角形的最小覆盖圆．
如图②，在Rt △ABC 中，
90
ACB
=
．
O
是以AB 为直径的圆．
请你判断点C 与
O
的位置关系，并说明理由．
又由【探究一】可知，
O
是Rt △ABC 最长边AB 的最小覆盖圆，所以，
O
是Rt △ABC 的最小覆盖圆．
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形ABCD中，
1
AB
cm
=
，
2
BC
cm
=
．
（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆；
（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）
（2）该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为 cm；
（3）若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，则这样的两个等圆的最小直径为 cm ．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第96题★
96 / 142
7．（2025•兰州）在平面直角坐标系xOy 中，对于图W 上或内部有一点N （不与原点O 重合），及平面内
一点P ，给出如下定义：若点P 关于直线ON 的对称点P在图W 上或内部，则称点P 是图W 的“映射
点”．
（1）如图1，已知图
1
W ：线段AB ，
( 1, 1)
A −
−
，
(1, 1)
B
−
．在
1( 1,0)
P −
，
2(1,2)
P
中， 是图
1
W 的“映射
点”；
（2）如图2，已知图
2
W ：正方形ABCD，
( 1, 1)
A −
−
，
(1, 1)
B
−
，
(1,1)
C
，
( 1,1)
D −
．若直线:l y
x
b
=
+
上存
在点P 是图
2
W 的“映射点”，求b 的最大值；
（3）如图3，已知图
3 :
W
T
，圆心为
(0, )
T
t ，半径为1．若x 轴上存在点P 是图
3
W 的“映射点”，请直接
写出t 的取值范围．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第97题★
97 / 142
8．（2025•青岛）【定义新运算】
对正实数a，b ，定义运算“”，满足
ab
a
b
a
b
=
+
．
例如：当
0
a 时，
2
1
2
(2 )
1
2
1
2
1
a
a
a
a
a
=
=
+
+
．
（1）当
0
a 时，请计算：(2 )
(2 )
a
a =
；
【探究运算律】
对正实数a，b ，运算“”是否满足交换律a
b
b
a
=
？
ab
a
b
a
b
=
+
，
ba
b
a
b
a
=
+
，
a
b
b
a
=
．
运算“”满足交换律a
b
b
a
=
．
（2）对正实数a，b ，c ，运算“”是否满足结合律(
)
(
)
a
b
c
a
b
c
=
？请说明理由；
【应用新运算】
（3）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH 拼成，AF
a
=
，BF
b
=
，
且a
b
．若正方形ABCD与正方形EFGH 的面积分别为26 和16，则(2 )
(2 )
a
b
a
的值为 ．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第98题★
98 / 142
★类型7：反比例函数综合（2 题）★
1．（2025•成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y
x
b
= −+
与反比例函数
k
y
x
=
的图象的一个交点
为
( ,2)
A a
，与x 轴的交点为
(3,0)
B
．
（1）求k 的值；
（2）直线AO 与反比例函数的图象在第三象限交于点C ，点D 在反比例函数的图象上，若
90
ACD
=
，
求直线AD 的函数表达式；
（3）P 为x 轴上一点，直线AP 交反比例函数的图象于点E （异于
)
A ，连接BE ，若△BEP 的面积为2，
求点E 的坐标．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第99题★
99 / 142
2．（2025•广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段
被分为中外比，这个点称为中外比点．
（1）如图1，点P 是线段MN 的中外比点，MP
PN
，
2
MN =
，求PN 的长．
（2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C 把线段AB 分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）如图3，动点B 在第一象限内，反比例函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
=
的图象分别与矩形OABC 的边AB ，BC
相交于点D ，E ，与对角线OB 相交于点F ．当△ODE 是等腰直角三角形时，探究点D ，E ，F 是否
分别为AB ，BC ，OB 的中外比点，并证明．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第100题★
100 / 142
3．（2025•宜宾）如图，过原点O 的直线与反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图象交于A 、B 两点．一次函数
(
0)
y
mx
b m
=
+
的图象过点A 与反比例函数交于另一点C ，与x 轴交于点M ，其中
( 2,1)
A −
，
( 1, )
C
n
−
．
（1）求一次函数y
mx
b
=
+
的表达式，并求△AOM 的面积；
（2）连结BC ，在直线AC 上是否存在点D ，使以O 、A 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，
求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第101题★
101 / 142
4．（2025•大庆）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，
2
OA=
，点B 在
反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图象上，△OBA 为等边三角形，延长BO与反比例函数
k
y
x
=
的图象在第三象限
交于点C ，连接CA 并延长与反比例函数
k
y
x
=
的图象在第一象限交于点D ．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点D 的坐标及△OAD的面积；
（3）在x 轴上是否存在点Q ，使得以A ，D ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出Q
点坐标；若不存在，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第102题★
102 / 142
★类型8：各类型综合练习（41 题）★
1．（2025•武汉）如图，四边形ABCD是正方形，点E 在边CD上，点F 在边BC 的延长线上，DE
CF
=
，
射线AE 交对角线BD 于点G ，交线段DF 于点H ．
（1）求证：DH
GH
=
．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明△ADE △
)
DCF
（2）求证：AG EH
EG GH
=
．
（3）若GE
n
EH =
，直接写出DH
DF 的值（用含n 的式子表示）．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第103题★
103 / 142
2．（2025•武汉）抛物线
2
1
3
4
y
x
=
−
与直线y
x
=
交于A ，B 两点(A在B 的左边）．
（1）求A ，B 两点的坐标．
（2）如图1，若P 是直线AB 下方抛物线上的点，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点M ，过点P 作y
轴的平行线交线段AB 于点N ，满足PM
PN
=
，求点P 的横坐标．
（3）如图2，经过原点O 的直线CD交抛物线于C ，D 两点（点C 在第二象限），连接AC ，BD 分别交x
轴于E ，F 两点．若
3
4
DOF
COE
S
S
=
，求直线CD的解析式．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第104题★
104 / 142
3．（2025•乐山）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P 成中
心对称，则称这两个函数关于点P 互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：
（1）求函数
1
y
x
=
−关于点(0,0) 的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：
第一步：在函数
1
y
x
=
−的图象上取两点(1,0) 和(0, 1)
−
；
第二步：分别求出这两个点关于点(0,0) 的对称点 和 ；
第三步：函数
1
y
x
=
−关于点(0,0) 的“对称函数”为 ．
（2）是否存在点P ，使得函数
1
1
y
x
=
+ 关于点P 的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点P 的坐
标；如果不存在，请说明理由；
（3）函数
2
1 :
2
2 (
0)
C
y
ax
ax
a a
=
−
+
关于点(2,2) 的“对称函数”为
2
C ，函数
1
C 与函数
2
C 所围成的区域（包
括边界）记作W ，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．
( )i 若
1
2
a =
，求W 内的“整点”个数；
( )
ii 若W 内至少有9 个“整点”，至多有13 个“整点”，求a 的取值范围．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第105题★
105 / 142
4．（2025•乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB 分割成长、短两条线段AC 、
CB ，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即CB
AC
AC
AB
=
，则这种分割称为黄金分割，这
个比值称为黄金比，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．
【问题初探】
如图1，已知点C 为线段AB 的黄金分割点(
)
AC
BC
，求黄金比．
解：设
1
AB = ，AC
x
=
，则
1
CB
x
= −
．
CB
AC
AC
AB
=
，
请补全以上解题过程；
【问题再探】
如图2，在Rt △ABC 中，
90
C
=
，
1
BC = ，
2
AC =
，请作出AC 的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，
不写作法，保留作图痕迹）；
【知识迁移】
如图3，点C 为线段AB 的黄金分割点(
)
AC
BC
，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作正方形ACDE
和矩形CBFD，连结BD 、BE ．求证：△EAB∽△BCD；
【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE 中，对角线AD 与BE 交于点M ．求证：点M 是AD 的黄金分割点．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第106题★
106 / 142
5．（2025•广元）综合与实践
（1）【初步感知】
如图①，△ABC 和△ADE 中，
90
C
=
，AE AB
AD AC
=
，
CAD
EAB
=
，求
E
的度数；
（2）【深入探究】
如图②，在矩形ABCD 中，
3
AB =
，
4
BC =
，点E 是线段BC 上一点，连接AE ，过点A 在AE 上方作
FA
EA
⊥
，使
1
2
AEF
ABCD
S
S
=
矩形
，连接DF ，请证明△ABE∽△AFD ，并直接写出点F 到BC 的距离的最
大值；
（3）【学以致用】
如图③，梯形ABCD中，
/ /
AD
BC ，
90
B
=
，
8
AD
AB
=
=
，
16
BC =
，点E 是线段AB 的中点，点F
是线段BC 上一点，连接EF ，过点E 在EF 上方作GE
FE
⊥
，使
1
8
EFG
ABCD
S
S
=
梯形
，当△ADG 的面积最小
时，求EG 的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第107题★
107 / 142
6．（2025•广元）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
4(
0)
y
ax
bx
a
=
+
−
与x 轴交于点A 和点
( 4,0)
B −
，
与y 轴交于点C ．
（1）求b 与a 的关系；
（2）如图①，当
1
2
a =
时，点P 在抛物线上，
4
PBC
S
=
，求点P 的坐标；
（3）如图②，若抛物线上一点Q 关于直线BC 的对称点是△AOC 的外心M ，求a 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第108题★
108 / 142
7．（2025•南通）如图，矩形ABCD中，对角线AC ，BD 相交于点O ．M 是BC 的中点，DM 交AC 于点
G ．
（1）求证：
2
AG
GC
=
；
（2）设
BCD
，
BDC
的角平分线交于点I ．
①当
6
AB =
，
8
BC = 时，求点I 到BC 的距离；
②若
2
AB
AC
BC
+
=
，作直线GI 分别交BD ，CD于E ，F 两点，求EF
BC 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第109题★
109 / 142
8．（2025•南通）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数的图象经过点
(1,5)
A
，点A ，B 关于原点对称．该
函数图象上另有两点
1
M ，
2
M ，它们的横坐标分别为m ，m
n
+
，其中
1
m ，
0
n
．依次作直线
1
AM ，
1
BM 与y 轴分别交于点
1
C ，
1
D ，直线
2
AM ，
2
BM 与y 轴分别交于点
2
C ，
2.
D
记
1
1
1
OC
OD
d
−
=
，
2
2
2
OC
OD
d
−
=
．
（1）若
2
m =
，求
1
OC 的长；
（2）求代数式
2
(
)
m
n
d
+
的值；
（3）当
1
2
2
(
)
2
m d
d
d
−
=
，
3
1
2
3(
)
2
d
d
n
+
=
时，求点
2
D 关于直线
2
AM 对称的点P 的坐标．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第110题★
110 / 142
9．（2025•常州）如图：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数
3
3
2
y
x
= −
+
的图象分别与x 轴，y 轴交于点
A 、B ，点C 是线段AB 上一点，C 与B 不重合．二次函数
2
(
y
ax
bx
c a
=
+
+
，b ，c 是常数，且
0)
a
的
图象经过点B ，顶点是C ．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线，B、C分别是B 、C 的对应点，
且点B落在x 轴正半轴上，点C的纵坐标为2
−．
（1）OB = ；
（2）求点C 的坐标；
（3）已知新抛物线与y 轴交于点
5
(0, )
2
G
，点
1
(3,
)
D
y
、
2
(
E x ，
2)
y
在新抛物线上，若对于满足
2
1
m
x
m
+
的任意实数
2x ，
2
1
y
y
总成立，求实数m 的取值范围．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第111题★
111 / 142
10．（2025•常州）在平面xOy 中以下种不同所得线段的关系．
方式一：向右平移1 个单位长度，后绕原点O 按逆时针方向旋转90；
方式二：先原点O 按逆时针方向旋转90，然后向右平移1 个单位长度．
如图1 小明将线段AB 按方式一方式二运动：分别得到线段
1
1
A B 、
2
2
A B ，发现它们除长度相等外还有其他
关系．
【实践体验】
（1）如图2，小明已画出线段CD按方式一运动得到的线段
1
1
C D ．请你利用网格，在图2 中画出线段CD
按方式二运动得到的线段；
【探索发现】
（2）在平面直角坐标系xOy 中，将线段a 按方式一、方式二运动，分别得到线段
1a 、
2a ，则线段
1a 、
2a
所在直线可能 （写出所有可能的序号）；
①相交；②平行；③是同一条直线．
【综合应用】
（3）如图3，已知点
(2,3)
G
，
( , )
H x y 是第一象限内两个不重合的点，将线段GH 按方式一、方式二运动，
分别得到线段
1
1
G H 、
2
2
1
(
G H G 、
2
G 是G 的对应点．
1
H 、
2
H 是H 的对应点）．
①若点
1
H 与点
2
G 重合，求点H 的坐标；
②若线段
1
1
G H 与线段
2
2
G H 有公共点，直接写出y 与x 之间的函数表达式，并写出实数x 的取值范围．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第112题★
112 / 142
11．（2025•大庆）如图，DE 为△ADE 外接圆
O
的直径，点C 为线段DO 上一点（不与D ，O 重合），
点B 为OD 的延长线上一点，连接BA 并延长至点M ，满足
CAE
MAE
=
．
（1）求证：AD 平分
BAC
；
（2）证明：
2
OE
OB OC
=
；
（3）若射线BM 与
O
相切于点A ，
3
DC =
，
:
10:9
BD OC =
，求tan
AED
的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第113题★
113 / 142
12．
（2025•大庆）如图，已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+
图象的对称轴为y 轴，且过坐标原点O 及点
(2 3,3)
A
，
过点A 作射线AM 平行于y 轴（点M 在点A 上方），点F 坐标为(0,1) ，连接AF 并延长交抛物线于点E ，
射线AB 平分
FAM
，过点A 作AB 的垂线l 交y 轴于点T ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）判断直线l 与二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的图象的公共点的个数，并说明理由；
（3）点
( ,0)
P m
为x 轴上的一个动点，且
APE
为钝角，请直接写出实数m 的取值范围．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第114题★
114 / 142
13．（2025•宁夏）如图，抛物线
2
2
3
y
ax
x
=
−
+ 与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，顶点C 的横坐
标为1
−．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，将直线AB 沿y 轴向上平移
(
0)
m m
个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m 的取值范围；
（3）如图2，抛物线的对称轴交直线AB 于点D ，交x 轴于点E ，连接AC ．抛物线上是否存在点P （不
与点C 重合），使得
PAD
CAD
S
S
=
．若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第115题★
115 / 142
14．（2025•宁夏）如图，在Rt △ABC 和Rt △ADE 中，
90
ACB
AED
=
=
，
60
BAC
DAE
=
=
，
AD
AC
．连接BD ，点F 是BD 的中点，连接CE ，CF ，EF ．
（1）如图1，当点D 在AC 上时，求证：△CEF 是等边三角形；
（2）将图1 中的△ADE 绕点A 顺时针旋转．
①当旋转角为60时，如图2 所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
②当EF 最长时，EF 与AD 的交点记作M ．若
3
AE =
，则EM = ．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第116题★
116 / 142
15．（2025•宿迁）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于k 的点叫“ k 阶近轴点”，
所有的“ k 阶近轴点”组成的图形记为图形W ．如图所示，所有的“1 阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为
中心，2 为边长的正方形区域．
（1）下列函数图象上存在“1 阶近轴点”的是 ；
①
1
y
x
=
；②
3
y
x
= −+
；③
2
2
3
y
x
x
=
−
+
．
（2）若一次函数
2
y
x
m
=
+
的图象上存在“3 阶近轴点”，求实数m 的取值范围；
（3）特别地，当点P 在图形W 上，且横坐标是纵坐标的k 倍时，称点P 是图形W 的“ k 阶完美点”，若二
次函数
2
2
2
y
ax
ax
a
=
−
−
+
的图象上有且只有一个“2 阶完美点”，求实数a 的取值范围．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第117题★
117 / 142
16．（2025•宿迁）如图1，在矩形ABCD中，
3
AB =
，
3 3
BC =
，点M 是边BC 上一个动点，点N 在射线
CD上，
60
MAN
=
．线段AM 的垂直平分线分别交直线AB 、AM 、AN 、CD于点E 、F 、G 、H ．
（1）直接写出
ACB
= ，EH
AM = ；
（2）当
1
BM = 时，求EF
GH
+
的值；
（3）如图2，连接MG 并延长交直线CD于点P ．
①求证：MG
PG
=
；
②如图3，过点P 作直线EH 的垂线，分别交直线EH 、AN 于点T 、Q ，连接DQ ，求线段DQ 的最小
值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第118题★
118 / 142
17．（2025•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
2
(
0)
y
ax
bx a
=
+
与正比例函数y
kx
=
的图象都
经过点
(3,3)
A
，点P 为二次函数图象上点O 与点A 之间的一点，过点P 作x 轴的垂线，交OA于点C ，交
x 轴于点D ．
（1）若点A 为该二次函数的顶点，
①求二次函数的表达式；
②求线段PC 长度的最大值．
（2）若该二次函数与x 轴的一交点为
( ,0)
B m
，且
4
m
，求a 的取值范围．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第119题★
119 / 142
18．（2025•潍坊）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分
割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技−−黄金比例》（如图1) 就是用黄金分割比作为主题设计的．
【阅读观察】
材料1：黄金分割点的定义
如图2，若线段AB 上的点C 满足BC
AC
AC
AB
=
，则点C 称作线段AB 的黄金分割点，其中AC
AB 的比值称作黄
金分割比
5
1
2
−
=
，而AB
AC 的比值为
1
5
2
+
=
，与互为倒数．
材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2 中线段AB 的黄金分割点
)
C
方法1：如图3，
①过点B 作l
AB
⊥
；
②在直线l 上截取
1
2
BD
AB
=
，连接AD ；
③在DA 上截取DE
DB
=
；
④在AB 上截取AC
AE
=
．
点C 即为所求．
方法2：如图4，
①以AB 为边作正方形ABED ；②取AD 中点F ，连接BF ；
③以点F 为圆心，FB 为半径作圆弧，与DA 的延长线交于点H ；
④以AH 为边在AB 一侧作正方形AHGC ，GC 交AB 于点C ，
可得BC
AC
AC
AB
=
．
点C 即为所求．
【思考探究】
（1）说明图3 中AC
AB
=
；
（2）用不同于（1）的方法，说明图4 中BC
AC
AC
AB
=
．
【迁移拓展】
如图5，作圆内接正五边形：
①作
O
的两条互相垂直的半径OA和OM ，取OM 的中点N ，连接AN ；
②作
ONA
的平分线，交OA于点K ；
③过点K 作OA的垂线，交
O
于点B ，E ，连接AB ，AE ；
④截取BC
BA
=
，CD
CB
=
，连接BC ，CD，DE ．
五边形ABCDE 即为所求．
（3）若
2
OA=
，根据以上作法，证明；
2
2
2
AB
BE
=
．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第120题★
120 / 142
19．
（2025•徐州）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作y m ；
反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作
1d m ；刹车距离是指骑车人实施刹车到
车辆停下来所走的距离，记作
2
d m ，已知
1
2
y
d
d
=
+
，1d 与骑行速度成正比，2
d 与骑行速度的平方成正比．当
骑行速度为13
/
km h时，反应距离为2.6m ，刹车距离为1m ．
（1）若骑行速度为26
/
km h ，则
1d = m ，
2
d = m ；
（2）设骑行速度为x
/
km h ，求y 关于x 的函数表达式；
（3）当刹车距离为2m 时，停车距离为多少？（精确到0.1m ，参考数据：2
1.41
，3
1.73
，5
2.24)
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第121题★
121 / 142
20．（2025•徐州）如图1，将Rt △AOB 绕直角顶点O 旋转至△COD ，点A ，B 的对应点分别为C ，D ．连
接AD ，BC ，AC ，BD ，直线AC 与BD 交于点E ．
（1）△AOD与△BOC 的面积存在怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图2，连接OE ，若AB ，CD，OE 的中点分别为P ，Q ，R ．求证：P ，Q ，R 三点共线；
（3）已知
5
AB =
，随着OA，OB 及旋转角的变化，若存在以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形，其面积为
S ，则S 的最大值为 ．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第122题★
122 / 142
21．（2025 年山东省济南市中考数学真题）一次函数
2
4
y
x
=
+
的图象与反比例函数
(
)
0
k
y
x
x
=
的图象交
于点(
)
,6
A m
，与x 轴交于点B，与y 轴交于点C．
(1)求m，k 的值．
(2)D 为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．
①如图1，若点D 的横坐标为4，连接AD，E 为线段AD上一点，且
1
2
AE
ED =
，求点E 的坐标；
②如图2，M 为线段OC 上一点，且
1
CM = ，四边形OMDN 是平行四边形，连接AN ，若
45
BAN
=
，
求点D 的坐标．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第123题★
123 / 142
22．（2025 年山东省济南市中考数学真题）二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的图象经过(
)
3,1
A
，(
)
0, 2
B
−
两点，顶
点为G．
(1)求二次函数的表达式和顶点G 的坐标．
(2)如图1，将二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的图象沿x 轴方向平移(
)
0
n n
个单位长度得到一个新函数的图象，
当0
3
x
时，新函数的最大值是8，求n 的值．
(3)如图2，将二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的图象沿直线AB 平移，点A，G 的对应点分别为A，G，连接
AG，A G
，线段AG与A G
交于点M．若
1
tan
3
BMG
=
，请直接写出点G的坐标．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第124题★
124 / 142
23．（2025 年山东省济南市中考数学真题）在Rt
ABC
△
中，
90
ABC
=
，
6
AB =
，
8
BC = ，点O 为AC
的中点．在Rt DBE
中，
90
DBE
=
，
3
DB =
，
4
BE = ，连接EO并延长到点F，使OF
EO
=
，连接
AF ．
【初步感知】（1）如图1，当点D，E 分别在AB ，BC 上时，请完成填空：
DAF
= ___________；AD
AF =
___________．
【深入探究】（2）如图2，若将图1 中的DBE
绕点B 按逆时针方向旋转一定的角度(
)
0
90
，连
接AD，CE ，AE ，CF ．
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
②当四边形AECF 的面积最小时，求线段AD的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第125题★
125 / 142
24．（2025 年江苏省无锡市中考数学试卷）已知二次函数
(
)
2
1
3
0
2
3
y
x
mx
m m
= −
+
+
图象的顶点为A，
与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点C ．
(1)若该函数图象经过点(
)
0, 3 ，求点A的横坐标；
(2)若
3
m
，点(
)
1
2,
P
y
和(
)
2
4,
Q
y
在该函数图象上，证明：
1
2
y
y
；
(3)若
ABC
是等腰三角形，求m 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第126题★
126 / 142
25．（2025 年江苏省无锡市中考数学试卷）【数学发现】
某校数学兴趣小组进行了如下探究：以
ABC
内部任意一点O为中心，画出与
ABC
成中心对称的
A B C
．当点O处于不同位置时，从“形”的角度发现两个三角形的重叠部分只可能有两种情况：如图1
所示的平行四边形，如图2 所示的有三组对边分别平行的六边形（称为“平行六边形”）；从“数”的角度发
现两个三角形重叠部分的面积在不断变化．
【问题解决】
组员小明选择面积为1 的
ABC
，以其内部任意一点O为中心，画出与之成中心对称的A B C
，探究了
下列问题，请你帮他解答．
(1)如图3，
2
BC =
，当点A关于点O的对称点A落在边BC 上时，两个三角形重叠部分为AQAP
．
①若AA
BC
⊥
，求AO 的长；（请直接写出答案）
②若AQAP
的面积为1
4 ，求A C
的长．
(2)如图4，点D 为BC 的中点，点O在AD上，若两个三角形的重叠部分为“平行六边形” EFGHMN ，求
“平行六边形” EFGHMN 面积的最大值，并指出此时点O的位置．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第127题★
127 / 142
26．（2025 年海南省中考数学试题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要
方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究．
【知识技能】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E 、F 分别是边CD、AD上的点，连接BE 、BF 、EF 、且
45
EBF
=
．将BCE
绕点B 按逆时针方向旋转90至BAM
，则点M 在DA的延长线上．
①证明
BFM
BFE
≌
△
△
，并判断AF
EC
EF
+
=
是否成立；
②若
5
DF =
，
12
DE =
，请计算正方形ABCD的周长．
【教学理解】
（2）如图2，在正方形ABCD中，E 、F 分别是边AB 、CD上的点，AE
CF
=
．连接AF 、CE ，M 、
N 分别是线段AF 、CE 上的点，连接BM 、BN 、MN ，且
45
MBN
=
（点E 、F 、M 、N 均不与端
点重合）．请猜想线段AM 、MN 、NC 的数量关系，并说明理由．
【拓展研究】
（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，P 、Q分别为线段BD、BC 上的点，且
45
PQB
=
．将
BPQ
绕点B 按顺时针方向旋转（旋转角小于45）至BMN
．连接ND，取线段ND的中点E ，连接
CE 、CM ，求CM
CE 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第128题★
128 / 142
27．（2025 年海南省中考数学试题）如图，抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
经过(
)
4,0
A
、(
)
2,6
B −
两点．点
(
)
0
0
,
P x y
是线段AB 上的动点，过点P 作PQ
x
⊥
轴交抛物线于点Q．
(1)若
4
c = −．
①求抛物线的解析式；
②求线段PQ 长度的最大值；
③若
0
1
t
x
t
+ ，求
0x 取何值时线段PQ 的长度最大（可用含t 的代数式表示
0x ）．
(2)若
4
c −，
0
1
t
x
t
+ ，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第129题★
129 / 142
28．（2025 年四川省巴中市中考数学试题）综合与实践
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(
)
0,4 ，M 是x 轴上一点，连接AM ，作线段AM 的垂直平分
线1l ，过点M 作x 轴的垂线2l ，记1l ，2l 的交点为P ．
【操作与发现】
（1）当M 为(
)
0,0 时，点P 的坐标为______；
当M 为(
)
4,0 时，点P 的坐标为______．
【猜想与证明】
（2 ）在x 轴上多次改变点M 的位置，得到相应的点P ，把这些点连接起来形成图象L ，猜想L 为我们学
过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数）
（3 ）设点P 的坐标是(
)
,x y ，根据PA与PM 的关系，确定x y
，满足的关系式．
【实践与运用】
（4 ）运用所学知识，要使AMP 为钝角三角形，直接写出x 的取值范围．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第130题★
130 / 142
29．（2025 年四川省巴中市中考数学试题）如图，在Rt
ABC
△
中，
4
AC
BC
=
=
，
90
C
=
，点P 是边
AB 中点，
90
MPN
=
，
APN
=
．
(1)点N 在线段AC 上，点M 在线段CB 上．
①当
45
=
时，CM 的值是______；
②当0
90
时，求CM
CN
+
的值；
(2)点N 在射线AC 上，点M 在射线CB 上．当0
135
时，直线MN 与射线PC 相交于点F，若
2
CM
CN
=
，求CF
PF 的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第131题★
131 / 142
30．（2025 年青海省西宁市中考数学数学试卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以P 为顶点的抛物线
的解析式为
(
)
2
4
0
y
ax
ax a
=
−
，点A 的坐标是(
)
1,0
−
，以原点为中心，把点A 顺时针旋转90，得到点
A．
(1)直接写出A点的坐标和抛物线的对称轴；
(2)当3
5
x
时，y 有最大值为1 2a
−
，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，若点M 在y 轴上，点N 在坐标平面内，是否存在以点A，P，M，N 为顶点的四边形
是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第132题★
132 / 142
31．（2025 年青海省西宁市中考数学数学试卷）综合与实践
【问题提出】
原题呈现（人教版九年级下册85 页第14 题）
如图1，在锐角
ABC
中，探究sin
a
BAC
，sin
b
ABC
，sin
c
ACB
之间的关系．
【问题探究】
将下列探究过程补充完整：
（1）如图1，过点A 作AD
BC
⊥
，垂足为D，过点B 作BE
AC
⊥
，垂足为E．
在Rt
ABD
△
中，sin
AD
ABC
c
=
，
∴
sin
AD
c
ABC
=
，
在Rt ADC
中，sin
AD
ACB
b
=
，
∴
sin
AD
b
ACB
=
，
∴
sin
sin
c
ABC
b
ACB
=
，即sin
sin
=
b
c
ABC
ACB ，
同理，在Rt AEB
中，BE = _____，
在Rt BEC
中，BE =_____，
∴______ =_____，
即sin
sin
a
c
BAC
ACB
=
，
∴sin
sin
sin
a
b
c
BAC
ABC
ACB
=
=
；
【结论应用】
（2）如图2，在
ABC
中，
2 3
AB =
，
70
A
=
，
50
B
=
．求AC ，BC 的长．（结果保留小数点后一
位；参考数据：sin50
0.77
，sin70
0.94
．）
【深度探究】
（3）如图3，
O
是锐角
ABC
的外接圆，半径为R ．
求证：
2
sin
sin
sin
a
b
c
R
BAC
ABC
ACB
=
=
=
．
【拓展应用】
（4）如图4，在
ABC
中，
60
BAC
=
，
45
B
=
，
2 2
AB =
，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为
直径的
O
分别交AB ，AC 于点E，F，连接EF ．则线段EF 长度的最小值是________．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第133题★
133 / 142
32．（2025 年江苏省盐城市中考数学试题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务．
“变换”
研
究
内
容
提出概念
已知点(
)
,
P x y ．如果点
(
)
,
P x y
满足
cos
sin
sin
cos
x
x
y
y
x
y
=
−
=
+
，那
么称点P是点P 的“变换”点．
理解概念
已知点(
)
3 3,3
P
，
60
=
，求点P 的“变换”点
(
)
,
P x y
．
探究性质
如图（1），已知点(
)
3 3,3
P
和点(
)
2,2 3
Q −
，当
60
=
时，
①请在图（1）中分别画出点P 、Q对应的“变换”点P、Q；
②研究发现：线段P Q
可由线段PQ 通过一次图形变换得到，点
P是点P 的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是
轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称
轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）
运用性质
如图（2），在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B 、C
的坐标分别为(
)
2, 2
A −
，(
)
3 2, 3 2
B −
−
，(
)
2,
2
C
−
，曲
线l 是反比例函数
2
y
x
=
（
0
x
）图像的“变换”线，
45
=
，l
交边BC 于点M 、N ，直线OM 、ON 分别交边AD 于点E 、
F ，记BOM
、CON
、DOE
、AOF
的面积分别为
1S 、
2
S 、
3S 、
4
S ，求
1
2
3
4
S
S
S
S
+
+
+
的值．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第134题★
134 / 142
33．（2025 年江苏省盐城市中考数学试题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的
几何形态和内在规律．
［发现问题］
黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连
接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正n 边形，且各顶点连接r （
3
r
）条棱的立体
图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体．
［提出问题］
小明思考：这样的正多面体有几个？
［分析问题］
一个正F 面体的每个面都是全等的正n 边形，有V 个顶点，E 条棱，且每个顶点都连接r 条棱．小明对部
分正F 面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据：
正多面体
F
n
V
E
r
正四面体
4
3
4
6
3
正方体
6
4
8
12
3
正八面体
8
3
6
12
4
（1）根据表中的数据，请写出F 、V 、E 之间存在的等量关系式_________；
（2）小明进一步发现，正F 面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关
系．
①从面出发：以正方体为例，它有6 个面，每个面都有4 条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方
体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．
正F 面体的棱数E = _________．（用含n 、F 的代数式表示）
②从顶点出发：正F 面体的棱数E = _________．（用含r 、V 的代数式表示）
［解决问题］
（3）已知一个正多面体有30 条棱，且每个顶点连接3 条棱，求这个正多面体的面数．
（4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第135题★
135 / 142
34．（2025 年江苏省镇江市中考数学试题）为什么变速自行车会“变速”？
变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中𝐴、𝐵处分别有几个
大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通
过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同
时间内啮合的齿数相等．
（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为
1n 、
2n ，主动轮每分钟转
1
圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，
从动轮每分钟转
2
圈，则每分钟啮合的齿数有_____个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出
1
与
2
的关系是
1
2
=_____．
（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数
分别为32 齿和14 齿．
若主动轮的转速为每分钟70 圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的
作用是什么？
［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变
速”的方法可以是_____（写出一种即可）．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第136题★
136 / 142
35．（2025 年江苏省镇江市中考数学试题）在平面直角坐标系中，过点(
)
0,
T
t 作y 轴的垂线与二次函数
(
)
2
1
2
y
x
h
k
=
−
+
（h 、k 为常数）的图像交于点E 、F （点E 在点F 的左侧），点P 在直线EF 上，当点
P 满足
6
PE
PF
+
=
时，我们称点P 是该二次函数图像的
6
T
生长点．
(1)二次函数
2
1
2
y
x
=
的图像如图所示．
①在t 的不同取值2、9
2 、5 中，使该函数图像有
6
T
生长点的t 的值是_____；
②已知(
)
,
P m n 是该函数图像的
6
T
生长点，猜想n 的取值范围，并说明理由．
(2)二次函数
(
)
2
1
2
y
x
h
k
=
−
+
（h、k 为常数）的图像经过点(
)
6,1 ，若(
)
3,5
P
是该函数图像的
6
T
生长
点，求该函数的表达式．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第137题★
137 / 142
36．（2025 年江苏省淮安市中考数学试题）综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，
0.2
MN =
米，
1.6
MQ =
米，雨伞撑开的宽度
1
AC = 米，伞柄的OG 部分长为0.45米，点O 为AC 中点，
OG
AC
⊥
，点G 到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB 与地面的夹角为
，雨线AB 与CD平行，AC 与地面BD平行．
【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点C 到地面的距离是 米；
②如图（1）所示，
72
=
，若小丽将伞拿在胸前（OG 与NP 在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿
的部分PK = 米．（参考数据：sin72
0.95
，cos72
0.31
，tan72
3.08
）
【问题探究】（2）如图（2）所示，
60
=
，设小丽将手臂水平前伸了x 米（即线段EG 的长度），身体
被雨水淋湿部分PK 的长度为y 米，求y 与x 的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下x 的取值范围．
【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G
顺时针旋转一定角度（点G 到地面的距离保持不变），使得AC 与雨线AB 垂直，如图（3）所示，试问：
小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求
出EG 的最小值；如果不可以，请说明理由．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第138题★
138 / 142
37．（2025 年江苏省淮安市中考数学试题）探究与应用
【问题初探】（1）在等腰三角形ABC 的底边BC 上任取一点P（不与端点重合），连接AP ，线段
AB
AP
BP
CP
、
、
、
有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空：
如图（1），过点A 作AD
BC
⊥
于点D，
在Rt
ABD
△
中，∵
90
ADB
=
，∴
2
2
2
AB
AD
BD
=
+
． ①
在Rt APD
中，∵
90
ADP
=
，∴
2
AP = ． ②
由①－②得：
(
) (
)
2
2
2
2
AB
AP
BD
PD
BD
PD
BD
PD
−
=
−
=
+
−
．
∵AB
AC
=
，AD
BC
⊥
，
∴BD = ．
∴BD
PD
CD
PD
CP
−
=
−
=
．
……
根据小刚的方法，可以得到线段AB
AP
BP
CP
、
、
、
的数量关系是 ．
【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形ABC 中，
90
ACB
=
，点D 在边AB 上，
2
AD
AC
=
=
，以CD为边构造正方形CDEF ，利用（1）中的结论求正方形CDEF 的面积．
【灵活应用】（3）如图（3），
O
是
ABC
的外接圆，
ABC
的平分线交AC 于点D，连接OB
OD
、
，
若
9
OB = ，
5
OD = ，
1
2
CD
BC =
，求BD的长．
【深度思考】（4）如图（4），在
ABC
中，
120
C
=
，点D、E 分别在边AC
BC
、
上，且满足
AD
DE
BE
=
=
，AE
BD
、
交于点P，若
1
tan
5
CAE
=
，则PB
PD
PA
PE
−
−
的值为 ．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第139题★
139 / 142
38．（2025 年西藏自治区中考真题数学试卷）已知抛物线
2
4
y
ax
bx
=
+
−
过点
(
)
1,0
A −
，(
)
,0
B m
，与y 轴
交于点C ．点B 是x 轴正半轴上的动点，点F 是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC ，AF ，且AF
交y 轴于点D ，交BC 于点E ．
(1)当
3
m =
时，求抛物线的解析式；
(2)如图1，在（1）的条件下，若
CDE
CED
=
，求直线AF 的解析式；
(3)要使得
DCE
DEC
=
成立，请探索m 的取值范围（直接写出结果）；
(4)如图2，
DCE
DEC
=
，当m 为何值时，OD 的长度等于1？
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第140题★
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39．（2025 年山东省淄博市中考数学试题）如图，一条抛物线
2
5
2
y
ax
bx
=
+
+
与x 轴相交于(
)
1,0
A −
，
(
)
5,0
B
两点，与y 轴相交于点C ．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)问在抛物线上是否存在点P ，使得
1
2
ABC
PAB
=
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理
由；
(3)将射线CB 绕点C 逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D ，再将抛物线沿直线CD平移，
得到一条新的抛物线（其顶点为M ）．设这两条抛物线的交点为Q．
①求旋转角度的正切值；
②当
90
CQM
=
时，求原抛物线平移的距离．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第141题★
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40．（2025 年山东省淄博市中考数学试题）【问题情境】
小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4 的ABCD正方形纸片上进行了关于折叠的研究性
学习．
【探究感悟】
如图①，小明在边AB 上取点E （E 不与A，B 重合），连接DE ，将
ADE
沿DE 翻折，使得点A的对应
点
1A 恰好落到对角线BD上．则此时线段BE 的长是 ；
【深入探究】
小明继续将
ADE
沿DE 翻折，发现：
1A ，B ，C 三点能构成等腰三角形．请求出此时线段BE 的长；
【拓展延伸】
如图②，小明又在边CD上取点F （F 不与C ，D 重合），并将四边形ADFE 沿EF 翻折，使得点A的对
应点
1A 恰好落在边BC 上．记
1
1
A D （
1
D 为D 的对应点）与CD的交点为G ，连接
1
AD ，小明再次发现：线
段EF 与
1
AD 的长度之和存在最小值．请求出此时线段CG 的长．
★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第142题★
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41．（2025 年四川省攀枝花中考数学试题）如图1，正方形ABCD的边长为2．E、F 分别为边BC 、CD
上的动点，
CEF
△
的周长为4，G 是CB 延长线上的一点，且GB
DF
=
．
(1)求证：AG
AF
⊥
；
(2)试问
EAF
的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；
(3)如图2，若M 为边BC 的中点，过点A作AH
EF
⊥
，垂足为H ．求MH 的最小值．
