★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
目录
类型1：几何综合60 题………………………………………1
类型2：几何最值44 题………………………………………15
类型3：几何多结论30 题……………………………………26
类型4：二次函数图像与系数及性质综合40 题……………36
类型5：反比例函数综合题+k 的几何意义40 题……………48
类型6：动点产生的函数图像18 题…………………………60
类型7：圆综合21 题…………………………………………66
类型8：新定义+数论+代数推理22 题………………………72
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
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★类型一：几何综合题 60 题★
1．（2025•湖北）如图，折叠正方形ABCD的一边BC ，使点C 落在BD 上的点F 处，折痕BE 交AC 于点
G ．若
2 2
DE =
，则CG 的长是( )
A．
2
B．2
C．
2
1
+
D．2 2
1
−
2．（2025•深圳）如图，将正方形ABCD沿EF 折叠，使得点A 与对角线的交点O 重合，EF 为折痕，则EF
CG
的值为( )
A．1
4
B．1
2
C．
2
2
D．2
3
3．（2025•重庆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E 是BC 边的中点，连接DE ，将△DCE 沿直线DE
翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE ，延长DF 交AB 于点G ．
ADG
和
DAG
的平分线DH ，
AH 相交于点H ，连接GH ，则△DGH 的面积为( )
A．5
8
B．5
4
C．5 5
8
D．5 5
4
4．（2025•连云港）如图，在△ABC 中，
90
ACB
=
，
30
CAB
=
，AD 平分
CAB
，BE
AD
⊥
，E 为垂
足，则AD
BE 的值为( )
A．2 3
B．7 3
3
C．5
3
2
D．8 3
3
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5．（2025•广东）如图，在矩形ABCD中，E ，F 是BC 边上的三等分点，连接DE ，AF 相交于点G ，连
接CG ．若
8
AB =
，
12
BC =
，则tan
GCF
的值是( )
A．
10
10
B．1
3
C．3 10
10
D．2
3
6．（2025•烟台）如图，在△ABC 中，
90
ACB
=
，AC
BC
=
，AD 是角平分线．点E 从点A 出发，沿AB
方向向点B 运动，连接CE ，点F 在BC 上，且
45
CEF
=
．设AE
x
=
，FD
y
=
，若y 关于x 的函数图象
过点(0,2
2)
−
，则该图象上最低点的坐标为( )
A．1
(2 ，3
2)
2 −
B．
2
( 2
，3
2)
2 −
C．1
(2 ，3
2 2)
−
D．
2
( 2
，3
2 2)
−
7．（2025•河北）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH 与正方形
OABC 的顶点均为整点．若只将正方形EFGH 平移，使其内部（不含边界）有且只有A ，B ，C 三个整点，
则平移后点E 的对应点坐标为( )
A．7 11
( ,
)
5 5
B．8 23
( ,
)
5 10
C．3
( ,2)
2
D．3 9
( , )
2 4
8．（2024•重庆）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E ，连接AE ，把AE 绕点E 逆时针旋转90，得
到FE ，连接CF 并延长与AB 的延长线交于点G ．则FG
CE 的值为( )
A．
2
B．
3
C．3 2
2
D．3 3
2
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9．（2024•自贡）如图，在矩形ABCD中，AF 平分
BAC
，将矩形沿直线EF 折叠，使点A ，B 分别落在
边AD 、BC 上的点A，B处，EF ，A F
分别交AC 于点G ，H ．若
2
GH =
，
8
HC =
，则BF 的长为
( )
A．20 2
9
B．20 3
9
C．5 3
2
D．5
10．（2024•淮安）如图，在
ABCD 中，
2
AB =
，
3
BC = ，
60
B
=
，P 是BC 边上的动点(
1)
BP
，将△
ABP 沿AP 翻折得△AB P
，射线PB与射线AD 交于点E ．下列说法不正确的是( )
A．当AB
AB
⊥
时，B A
B E
=
B．当点B落在AD 上时，四边形ABPB是菱形
C．在点P 运动的过程中，线段AE 的最小值为2
D．连接BB，则四边形ABPB的面积始终等于1
2 AP BB
11．
（2024•呼和浩特）如图，在
ABD
中，
30
ABD
=
，
105
A
=
，将
ABD
沿BD 翻折180得到CBD
，
将线段DC 绕点D 顺时针旋转30得到线段DF ，点E 为AB 的中点，连接EF ，ED ．若
1
EF = ，则BED
的面积是( )
A．1
3
4
+
B．2
3
4
+
C．2
3
2
+
D．1
3
2
+
12．（2025•成都）如图，在△ABC 中，AB
AC
=
，点D 在AC 边上，
3
AD = ，
2
CD =
，
45
CBD
=
，则
tan
ACB
的值为 ；点E 在BC 的延长线上，连接DE ，若
CED
ABD
=
，则CE 的长为 ．
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13．（2025•江西）如图，在矩形纸片ABCD中，沿着点A 折叠纸片并展开，AB 的对应边为AB，折痕与
边BC 交于点P ．当AB与AB ，AD 中任意一边的夹角为15时，
APB
的度数可以是 ．
14．（2025•山西）如图，在四边形ABCD中，
/ /
AD
BC ，
90
B
=
，
8
AB =
，
4
BC =
，点E 在边AB 上，
3
AE = ，连接CE ，且
DCE
BCE
=
．点F 在BC 的延长线上，连接DF ．若DF
DC
=
，则线段CF 的长
为 ．
15．（2025•陕西）如图，在
ABCD 中，
6
AB =
，
8
AD = ，
60
B
=
．动点M ，N 分别在边AB ，AD 上，
且AM
AN
=
，以MN 为边作等边△MNP，使点P 始终在
ABCD 的内部或边上．当△MNP 的面积最大时，
DN 的长为 ．
16．（2025•河南）定义：有两个内角的差为90的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC 中，
5
AB
AC
=
=
，
8
BC = ，点P 为边BC 上一点，若△APC 为“反直角三角形”，则BP 的长为 ．
17．（2025•内蒙古）如图，在菱形ABCD中，
4 5
AB =
，对角线BD 的长为16，E 是AD 的中点，F 是BD
上一点，连接EF ．若
3
BF = ，则EF 的长为 ．
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18．（2025•广西）如图，点A ，D 在BC 同侧，
2
AB
BC
CA
=
=
=
，
2
BD
CD
=
=
，则AD = ．
19．（2025•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，
6
AD =
，
60
CAD
=
，点E 是边CD 的中点，点F 是对角
线AC 上一动点，作点C 关于直线EF 的对称点P ，若PE
AC
⊥
，则CF 的长为 ．
20．（2025•辽宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC 与BD 相交于点O ，
8
AC =
，
12
BD =
，点E 在线段
OA上，
2
AE =
，点F 在线段OC 上，
1
OF = ，连接BE ，点G 为BE 的中点，连接FG ，则FG 的长为 ．
21．（2025•兰州）如图，黄金矩形ABCD中
5
1
2
AB
AD
−
=
，以宽AB 为边在其内部作正方形ABFE ，得到四
边形CDEF 是黄金矩形．依此作法，四边形DEGH ，四边形KEGL 也是黄金矩形．依次以点E ，G ，L 为
圆心作
,
,
AF FH HK ，曲线AFHK 叫做“黄金螺线”．若
2
AD =
，则“黄金螺线” AFHK 的长为 ．（结
果用表示）
22．（2025•贵州）如图，在矩形ABCD中，点E ，F ，M 分别在AB ，DC ，AD 边上，
2
BE
CF
=
，FM
分别交对角线BD 、线段DE 于点G ，H ，且H 是DE 的中点．若
2
CF =
，
30
ABD
=
，则HG 的长为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
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23．（2024•成都）如图，在Rt ABC
中，
90
C
=
，AD 是ABC
的一条角平分线，E 为AD 中点，连接
BE ．若BE
BC
=
，
2
CD =
，则BD = ．
24．（2024•深圳）如图，在△ABC 中，AB
BC
=
，
5
tan
12
B
=
，D 为BC 上一点，若满足
5
8
CD
BD
=
，过
D 作DE
AD
⊥
交AC 延长线于点E ，则CE
AC = ．
25．（2024•苏州）如图，△ABC 中，
90
ACB
=
，
5
CB =
，
10
CA =
，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，
5
AE
AD
=
，连接DE ，将△ADE 沿DE 翻折，得到△FDE ，连接CE ，CF ．若△CEF 的面积是△BEC
面积的2 倍，则AD = ．
26．（2024•山西）如图，在
ABCD 中，AC 为对角线，AE
BC
⊥
于点E ，点F 是AE 延长线上一点，且
ACF
CAF
=
，线段AB ，CF 的延长线交于点G ．若
5
AB =
，
4
AD =
，tan
2
ABC
=
，则BG 的长
为 ．
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27．（2024•天津）如图，正方形ABCD的边长为3 2 ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在CA 的延长线
上，
5
OE = ，连接DE ．
（Ⅰ）线段AE 的长为 ；
（Ⅱ）若F 为DE 的中点，则线段AF 的长为 ．
28．（2024•呼和浩特）如图，正方形ABCD的面积为50，以AB 为腰作等腰ABF
，AB
AF
=
，AE 平分
DAF
交DC 于点G ，交BF 的延长线于点E ，连接DE ．若
2
BF =
，则DG = ．
29．（2024•淄博）如图，在边长为10 的菱形ABCD中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在BC 延长线
上，OE 与CD相交于点F ．若
2
ACD
OEC
=
，
5
6
OF
FE =
，则菱形ABCD的面积为 ．
30．（2024•哈尔滨）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长BC 至点G ，连接DG ，
1
4
CDG
AOB
=
，点E 为DG 的中点，连接OE 交CD 于点F ，若
6
AO
EF
=
，
2 3
DE =
，则DF 的长
为 ．
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31．（2024•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，
2
AB =
，
2
AD =
，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，
连接EF ，将△DEF 沿EF 翻折，点D 的对应点为D，连接BD．若
2
BD=
，则DF = ．
32．（2024•盐城）如图，在△ABC 中，
90
ACB
=
，
2 2
AC
BC
=
=
，点D 是AC 的中点，连接BD ，将
△BCD绕点B 旋转，得到△BEF ．连接CF ，当
/ /
CF
AB 时，CF = ．
33．（2024•无锡）如图，在△ABC 中，
2
AC =
，
3
AB =
，直线
/ /
CM
AB ，E 是BC 上的动点（端点除外），
射线AE 交CM 于点D ．在射线AE 上取一点P ，使得
2
AP
ED
=
，作
/ /
PQ
AB ，交射线AC 于点Q ．设
AQ
x
=
，PQ
y
=
．当x
y
=
时，CD = ；在点E 运动的过程中，y 关于x 的函数表达式为 ．
34．（2024•眉山）如图，菱形ABCD的边长为6，
120
BAD
=
，过点D 作DE
BC
⊥
，交BC 的延长线于
点E ，连结AE 分别交BD ，CD于点F ，G ，则FG 的长为 ．
35．（2024•连云港）如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF ，连
接BF ．再将矩形纸片折叠，使点B 落在BF 上的点H 处，折痕为AG ．若点G 恰好为线段BC 最靠近点B
的一个五等分点，
4
AB =
，则BC 的长为 ．
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36．（2024•南充）如图，在矩形ABCD中，E 为AD 边上一点，
30
ABE
=
，将
ABE
沿BE 折叠得FBE
，
连接CF ，DF ，若CF 平分
BCD
，
2
AB =
，则DF 的长为 ．
37．
（2023•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，点E 在边AB 上，将纸片沿CE 折叠，点B 落在B处，CB
AD
⊥
，
垂足为F ．若
4
CF
cm
=
，
1
FB
cm
=
，则BE = cm ．
38．（2023•绵阳）如图，在ABC
中，
90
ACB
=
，
8
AC =
，将ABC
绕点C 按逆时针方向旋转得到△
1
1
ABC ，满足
1
1 / /
AB
AC ，过点B 作
1
BE
AC
⊥
，垂足为E ，连接AE ，若
3
ABE
ACE
S
S
=
，则AB 的长为 ．
39．（2023•襄阳）如图，在ABC
中，AB
AC
=
，点D 是AC 的中点，将BCD
沿BD 折叠得到BED
，连
接AE ．若DE
AB
⊥
于点F ，
10
BC =
，则AF 的长为 ．
40．（2023•成都）如图，在Rt ABC
中，
90
ABC
=
，CD平分
ACB
交AB 于点D ，过D 作
/ /
DE
BC 交
AC 于点E ，将DEC
沿DE 折叠得到DEF
，DF 交AC 于点G ．若
7
3
AG
GE =
，则tan A = ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
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41．（2023•深圳）如图，在ABC
中，AB
AC
=
，
3
tan
4
B =
，点D 为BC 上一动点，连接AD ，将
ABD
沿
AD 翻折得到
ADE
，DE 交AC 于点G ，GE
DG
，且
:
3:1
AG CG =
，则
AGE
ADG
S
S
=
三角形
三角形
．
42．（2023•济南）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C 的直线折叠，使点D 落在射线CA 上的点E 处，折痕
CP 交AD 于点P ．若
30
ABC
=
，
2
AP =
，则PE 的长等于 ．
43．（2023•杭州）如图，在ABC
中，AB
AC
=
，
90
A
，点D ，E ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，
连接DE ，EF ，FD ，已知点B 和点F 关于直线DE 对称．设BC
k
AB =
，若AD
DF
=
，则CF
FA = （结果
用含k 的代数式表示）．
44．
（2023•苏州）如图，
90
BAC
=
，
3 2
AB
AC
=
=
，过点C 作CD
BC
⊥
，延长CB 到E ，使
1
3
BE
CD
=
，
连接AE ，ED ．若
2
ED
AE
=
，则BE = ．（结果保留根号）
45．（2023•山西）如图，在四边形ABCD中，
90
BCD
=
，对角线AC ，BD 相交于点O ．若
5
AB
AC
=
=
，
6
BC =
，
2
ADB
CBD
=
，则AD 的长为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
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46．（2023•武汉）如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ，AC 分别与DF ，EF 相
交于G ，H 两点．若DG
m
=
，EH
n
=
，用含m ，n 的式子表示GH 的长是 ．
47．（2023•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，将正方形沿着EF
翻折，点B 恰好落在CD边上的点B处，如果四边形ABFE 与四边形EFCD 的面积比为3:5，那么线段FC
的长为 ．
48．（2023•滨州）如图，矩形ABCD的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段OB ，OA上的
点，若AE
BF
=
，
5
AB =
，
1
AF = ，
3
BE =
，则BF 的长为 ．
49．（2023•大连）如图，正方形ABCD中，
3
AB =
，点E 在BC 的延长线上，且
2
CE =
．连接AE ，DCE
的平分线与AE 相交于点F ，连接DF ，则DF 的长为 ．
50．（2023•新疆）如图，在
ABCD 中，
6
AB =
，
8
BC = ，
120
ABC
=
，点E 是AD 上一动点，将
ABE
沿BE 折叠得到△A BE
，当点A恰好落在EC 上时，DE 的长为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
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51．（2023•哈尔滨）如图，在正方形ABCD中，点E 在CD上，连接AE ，BE ，F 为BE 的中点，连接CF ，
若
29
2
CF =
，
3
2
DE
EC =
，则AE 的长为 ．
52．（2023•营口）如图，在ABC
中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，将AC 绕着点C 按顺时针旋转60得到CD ，
连接BD 交AC 于点E ，则AE
ED = ．
53．（2023•朝阳）在矩形ABCD中，
5
AB =
，
6
BC =
，点M 是边AD 上一点（点M 不与点A ，D 重合），
连接CM ，将△CDM 沿CM 翻折得到△CNM ，连接AN ，DN ．当△AND 为等腰三角形时，DM 的长
为 ．
54．（2023•呼和浩特）如图，正方形ABCD的边长为2 5 ，点E 是CD的中点，BE 与AC 交于点M ，F
是AD 上一点，连接BF 分别交AC ，AE 于点G ，H ，且BF
AE
⊥
，连接MH ，则AH = ，MH = ．
55．（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，
6
AB =
，
6
BC =
，点E 为边BC 的中点，点F 为边AD 上
一点，将四边形ABEF 沿EF 折叠，点A 的对应点为点A，点B 的对应点为点B，过点B作B H
BC
⊥
于
点H ，若
2 2
B H
=
，则FD 的长是 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
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56．（2025•绥化）在边长为7 的等边三角形ABC 中，点D 在AB 上，
2
BD =
．点M 是直线BC 上的一个动
点，连接MD ，以MD 为边在MD 的左侧作等边三角形MND ，连接BN ．当△BND为直角三角形时，则
CM 的长是 ．
57．（2025•威海）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可
拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m ，宽为n ，四边形EFGH 的面积等于四边形ABCD
面积的2 倍，则m
n = ．
58．（2024•武汉）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等
的直角三角形和中间的小正方形MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD．直线MP 交正方形ABCD 的两边于点
E ，F ，记正方形ABCD的面积为
1S ，正方形MNPQ 的面积为
2.
S 若
(
1)
BE
kAE k
=
，则用含k 的式子表
示
1
2
S
S 的值是 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
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59．（2024•安徽）如图，现有正方形纸片ABCD，点E ，F 分别在边AB ，BC 上．沿垂直于EF 的直线折
叠得到折痕MN ，点B ，C 分别落在正方形所在平面内的点B，C处，然后还原．
（1）若点N 在边CD上，且
BEF
=
，则
C NM
= （用含的式子表示）；
（2）再沿垂直于MN 的直线折叠得到折痕GH ，点G ，H 分别在边CD，AD 上，点D 落在正方形所在平
面内的点D处，然后还原．若点D在线段B C
上，且四边形EFGH 是正方形，
4
AE =
，
8
EB = ，MN 与
GH 的交点为P ，则PH 的长为 ．
60．（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700 多年前中国古代数学家赵爽的“弦
图”．如图，在由四个全等的直角三角形( DAE
，ABF
，BCG
，
)
CDH
和中间一个小正方形EFGH 拼
成的大正方形ABCD中，
ABF
BAF
，连接BE ．设
BAF
=
，
BEF
=
，若正方形EFGH 与正方
形ABCD的面积之比为1:n ，
2
tan
tan
=
，则
(
n = .
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
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★类型二：几何最值问题 44 题★
1．（2025•安徽）如图，在四边形ABCD中，
90
A
ABC
=
=
，
4
AB =
，
3
BC = ，
1
AD = ，点E 为边
AB 上的动点．将线段DE 绕点D 逆时针旋转90得到线段DF ，连接FB ，FC ，EC ，则下列结论错误
的是( )
A．EC
ED
−
的最大值是2 5
B．FB 的最小值是10
C．EC
ED
+
的最小值是4 2
D．FC 的最大值是13
2．（2025•自贡）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD 为斜边作Rt △BED ，
90
E
=
，点F 在
DE 上，连接BF ．若2
3
BE
DF
=
，则BF 的最小值为( )
A．6
B．6 2
5
−
C．3 5
D．4 5
2 2
−
3．（2025•宜宾）如图，在Rt △ABC 中，
90
ACB
=
，
4
AC =
，
5
BC =
．过点A 作直线/ /
l
BC ，点E
是直线l 上一动点，连结EC ，过点E 作EF
CE
⊥
，连结CF 使
1
tan
.
2
ECF
=
当BF 最短时，则AE 的长
度为( )
A．5
B．4
C．2 5
D．2 13
4．（2025•资阳）如图，在四边形ABCD中，
/ /
AB
DC ，AD
DC
⊥
，
4
AB =
，
2
AD
DC
=
=
，E 是线段AD
的中点，F 是线段AB 上的一个动点．现将△AEF 沿EF 所在直线翻折得到△A EF
（如图的所有点在同一
平面内），连接A B
，AC
，则△A BC
面积的最小值为( )
A．2
2
−
B．3
2
−
C．10
2
−
D．4
2
−
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
16 / 78
5．（2024•苏州）如图，矩形ABCD中，
3
AB =
，
1
BC = ，动点E ，F 分别从点A ，C 同时出发，以每
秒1 个单位长度的速度沿AB ，CD向终点B ，D 运动，过点E ，F 作直线l ，过点A 作直线l 的垂线，
垂足为G ，则AG 的最大值为( )
A．
3
B．
3
2
C．2
D．1
6．（2024•泸州）如图，在边长为6 的正方形ABCD中，点E ，F 分别是边AB ，BC 上的动点，且满足
AE
BF
=
，AF 与DE 交于点O ，点M 是DF 的中点，G 是边AB 上的点，
2
AG
GB
=
，则
1
2
OM
FG
+
的
最小值是( )
A．4
B．5
C．8
D．10
7．（2024•泰安）如图，菱形ABCD中，
60
B
=
，点E 是AB 边上的点，
4
AE =
，
8
BE =
，点F 是BC
上的一点，△EGF 是以点G 为直角顶点，
EFG
为30角的直角三角形，连结AG ．当点F 在直线BC
上运动时，线段AG 的最小值是( )
A．2
B．4 3
2
−
C．2 3
D．4
8．（2024•宜宾）如图，在ABC
中，
3 2
AB =
，
2
AC =
，以BC 为边作Rt BCD
，BC
BD
=
，点D 与
点A 在BC 的两侧，则AD 的最大值为( )
A．2
3 2
+
B．6
2 2
+
C．5
D．8
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
17 / 78
9．（2024•德阳）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：
)
dm 的正方形纸片
ABCD，他在边AB 和AD 上分别取点E 和点M ，使AE
BE
=
，
1
AM = ，又在线段MD 上任取一点N
（点N 可与端点重合），再将△EAN 沿NE 所在直线折叠得到△
1
EA N ，随后连接
1
DA ，小王同学通过多
次实践得到以下结论：①当点N 在线段MD 上运动时，点
1A 在以E 为圆心的圆弧上运动；
②当
1
DA 达到最大值时，
1A 到直线AD 的距离达到最大；③
1
DA 的最小值为2 5
2
−
；④
1
DA 达到最小值
时，
5
5
MN =
−
．你认为小王同学得到的结论正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
10．（2023•自贡）如图，分别经过原点O 和点
(4,0)
A
的动直线a ，b 夹角
30
OBA
=
，点M 是OB 中
点，连接AM ，则sin
OAM
的最大值是( )
A．3
6
6
+
B．
3
2
C．
6
3
D．5
6
11．（2023•泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt AOB
的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为
( 6,4)
−
；Rt COD
中，
90
COD
=
，
4 3
OD =
，
30
D
=
，连接BC ，点M 是BC 中点，连接
AM ．将Rt COD
以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM 的最小值是( )
A．3
B．6 2
4
−
C．2 13
2
−
D．2
12．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，
3 5
OA
OB
=
=
，点C 为平面内一动点，
3
2
BC =
，连接AC ，点M 是线段AC 上的一点，且满足
:
1:2
CM MA=
．当线段OM 取最大值时，点M
的坐标是( )
A．3
(5 ，6)
5
B．3
(
5
5
，6
5)
5
C．6
(5 ，12)
5
D．6
(
5
5
，12
5)
5
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
18 / 78
13．（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，
10
AB =
，
4 2
AD =
，点P 是边AD 上一点（不与点
A ，D 重合），连接PB ，PC ，点M ，N 分别是PB ，PC 的中点，连接MN ，AM ，DN ，点E 在边
AD 上，
/ /
ME
DN ，则AM
ME
+
的最小值是( )
A．2 3
B．3
C．3 2
D．4 2
14．（2025•连云港）如图，在菱形ABCD中，
4
AC =
，
2
BD =
，E 为线段AC 上的动点，四边形DAEF
为平行四边形，则BE
BF
+
的最小值为 ．
15．（2025•自贡）如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △ABC 的顶点C ，A 分别在x 轴，y 轴正半轴
上，
90
ACB
=
，
30
BAC
=
，
2
BC =
．以BC 为边作等边△BCD，连接OD ，则OD 的最大值
为 ．
16．（2025•烟台）如图，在菱形ABCD中，
60
BAD
=
，对角线
6
AC
cm
=
．点M 从点A 出发，沿AC
方向以1
/
cm s 的速度向点C 运动，同时，点N 从点C 出发，沿CD方向以3
/
cm s 的速度向点D 运动，当
一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN ，DM 交于点P ．在此过程中，点P 的运动路径长为
cm ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
19 / 78
17．（2025•扬州）如图，在矩形ABCD中，
4
AB =
，
4 3
BC =
，点E 是BC 边上的动点，将△ABE 沿直
线AE 翻折得到△APE ，过点P 作PF
AD
⊥
，垂足为F ，点Q 是线段AP 上一点，且
1
2
AQ
PF
=
．当点
E 从点B 运动到点C 时，点Q 运动的路径长是 ．
18．（2025•内江）如图，在△ABC 中，
45
A
=
，
60
B
=
，
2 2
AB =
，点D 、E 、F 分别是边
BC 、AB 、AC 上的动点，则△DEF 周长的最小值是 ．
19．（2025•内江）如图，在矩形ABCD中，
8
AB =
，
6
AD =
，点E 、F 分别是边AD 、CD上的动点，
连接BE 、EF ，点G 为BE 的中点，点H 为EF 的中点，连接GH ，则GH 的最大值是 ．
20．（2025•广安）如图，在等腰Rt △ABC 中，
90
BAC
=
，
4
AB
AC
=
=
，D 是BC 边上的一个动点，
连接AD ，则AD 的最小值为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
20 / 78
21．（2025•山东）如图，在Rt △ABC 中，
90
ABC
=
，
6
AB =
，
8
BC = ．点P 为边AC 上异于A 的一
点，以PA ，PB 为邻边作
PAQB ，则线段PQ 的最小值是 ．
22．（2025•宜宾）如图，在Rt △ABC 中，
90
ABC
=
，
6
BC =
，将射线CA 绕点C 顺时针旋转90到
1
CA ，在射线
1
CA 上取一点D ，连结AD ，使得△ACD 面积为24，连结BD ，则BD 的最大值是 ．
23．（2025•黑龙江）如图，已知△ABC 中，
90
ACB
=
，
7
AC =
，
9
BC =
，点M 是△ABC 内部一
点，连接AM 、BM 、CM ，若
3
CM =
，则
1
3
AM
BM
+
的最小值为 ．
24．（2024•扬州）如图，已知两条平行线1l 、2l ，点A 是1l 上的定点，
2
AB
l
⊥
于点B ，点C 、D 分别是
1l ，2l 上的动点，且满足AC
BD
=
，连接CD交线段AB 于点E ，BH
CD
⊥
于点H ，则当
BAH
最大
时，sin
BAH
的值为 ．
25．（2024•河南）如图，在Rt △ABC 中，
90
ACB
=
，
3
CA
CB
=
=
，线段CD 绕点C 在平面内旋转，
过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E ．若
1
CD = ，则AE 的最大值为 ，最小值为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
21 / 78
26．（2024•烟台）如图，在ABCD 中，
120
C
=
，
8
AB =
，
10
BC =
，E 为边CD 的中点，F 为边
AD 上的一动点，将DEF
沿EF 翻折得△D EF
，连接AD，BD，则ABD
面积的最小值为 ．
27．（2024•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点A 在直线
3
4
y
x
=
上，且点A 的横坐标为4，直角三角
板的直角顶点C 落在x 轴上，一条直角边经过点A ，另一条直角边与直线OA交于点B ，当点C 在x 轴
上移动时，线段AB 的最小值为 ．
28．（2024•黑龙江）如图，在Rt ABC
中，
90
ACB
=
，
1
tan
2
BAC
=
，
2
BC =
，
1
AD =
，线段AD
绕点A 旋转，点P 为CD 的中点，则BP 的最大值是 ．
29．（2024•海南）如图，矩形纸片ABCD中，
6
AB =
，
8
BC =
，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，将
纸片ABCD沿EF 折叠，使点D 的对应点D在边BC 上，点C 的对应点为C，则DE 的最小值
为 ，CF 的最大值为 ．
30．（2024•连云港）如图，在△ABC 中，
90
C
=
，
30
B
=
，
2
AC =
．点P 在边AC 上，过点P 作
PD
AB
⊥
，垂足为D ，过点D 作DF
BC
⊥
，垂足为F ．连接PF ，取PF 的中点E ．在点P 从点A
到点C 的运动过程中，点E 所经过的路径长为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
22 / 78
31．（2024•宜宾）如图，正方形ABCD的边长为1，M 、N 是边BC 、CD 上的动点．若
45
MAN
=
，
则MN 的最小值为 ．
32．（2024•宜宾）如图，在平行四边形ABCD中，
2
AB =
，
4
AD =
，E 、F 分别是边CD 、AD 上的
动点，且CE
DF
=
．当AE
CF
+
的值最小时，则CE = ．
33．（2024•广元）如图，在ABC
中，
5
AB =
，tan
2
C
=
，则
5
5
AC
BC
+
的最大值为 ．
34．（2023•广元）如图，
45
ACB
=
，半径为2 的
O 与角的两边相切，点P 是
O 上任意一点，过
点P 向角的两边作垂线，垂足分别为E ，F ，设
2
t
PE
PF
=
+
，则t 的取值范围是 ．
35．（2022•广元）如图，直尺AB 垂直竖立在水平面上，将一个含45角的直角三角板CDE 的斜边DE
靠在直尺的一边AB 上，使点E 与点A 重合，
12
DE
cm
=
．当点D 沿DA 方向滑动时，点E 同时从点
A 出发沿射线AF 方向滑动．当点D 滑动到点A 时，点C 运动的路径长为 cm ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
23 / 78
36．（2023•达州）在△ABC 中，
4 3
AB =
，
60
C
=
，在边BC 上有一点P ，且
1
2
BP
AC
=
，连接
AP ，则AP 的最小值为
37．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC ，BD 互相垂直，
4
AC =
，
6
BD =
，则
AD
BC
+
的最小值是 ．
38．（2023•泸州）如图，E ，F 是正方形ABCD的边AB 的三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当
PE
PF
+
取得最小值时，AP
PC 的值是 ．
39．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，
90
A
=
，
/ /
AD
BC ，
3
AB =
，
4
BC =
，点E 在AB
上，且
1
AE = ．F ，G 为边AD 上的两个动点，且
1
FG = ．当四边形CGFE 的周长最小时，CG 的长为
．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
24 / 78
40．（2023•自贡）如图，直线
1
2
3
y
x
= −
+
与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点D 是线段AB 上一动
点，点H 是直线
4
2
3
y
x
= −
+
上的一动点，动点
( ,0)
E m
，
(
3,0)
F m +
，连接BE ，DF ，HD ．当
BE
DF
+
取最小值时，3
5
BH
DH
+
的最小值是 ．
41．（2023•随州）如图，在矩形ABCD中，
5
AB =
，
4
AD =
，M 是边AB 上一动点（不含端点），将△
ADM 沿直线DM 对折，得到△NDM ．当射线CN 交线段AB 于点P 时，连接DP ，则△CDP 的面积
为 ；DP 的最大值为 ．
42．（2023•黑龙江）如图，在菱形ABCD中，
3
AB =
，
60
ABC
=
，点E ，F 分别是边BC 和对角线
AC 上的动点，且BE
CF
=
，连接AE ，BF 相交于点M ，点P 是BC 边上的一个动点，连接PM ，
PD ，则PM
PD
+
的最小值是 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
25 / 78
43．（2020•成都）如图，在矩形ABCD中，
4
AB =
，
3
BC =
，E ，F 分别为AB ，CD 边的中点．动
点P 从点E 出发沿EA 向点A 运动，同时，动点Q 从点F 出发沿FC 向点C 运动，连接PQ ，过点B
作BH
PQ
⊥
于点H ，连接DH ．若点P 的速度是点Q 的速度的2 倍，在点P 从点E 运动至点A 的过
程中，线段PQ 长度的最大值为 ，线段DH 长度的最小值为 ．
44．（2020•扬州）如图，在ABCD 中，
60
B
=
，
10
AB =
，
8
BC =
，点E 为边AB 上的一个动点，连
接ED 并延长至点F ，使得
1
4
DF
DE
=
，以EC 、EF 为邻边构造EFGC ，连接EG ，则EG 的最小值
为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
26 / 78
★类型三：几何多结论题 30 题★
1．（2025•天津）四边形ABCD中，
/ /
AD
BC ，
90
B
=
，
8
AB
cm
=
，
10
AD
cm
=
，
16
BC
cm
=
．动点M
从点B 出发，以2
/
cm s 的速度沿边BA 、边AD 向终点D 运动；动点N 从点C 同时出发，以1
/
cm s 的
速度沿边CB向终点B 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间
为t s ．当
2
t
s
=
时，点M ，N 的位置如图所示．有下列结论：①当
6
t
s
=
时，CN
DM
=
；
②当1
2
t
时，△BMN 的最大面积为
2
26cm ；③t 有两个不同的值满足△BMN 的面积为
2
39cm ．其中，
正确结论的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2025•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点F 在BC 边上（不与点B 、C 重合），点E 在CB的延
长线上，且BE
BF
=
，连接AC 、AE 、AF ，过点E 作EG
AF
⊥
于点G ，分别交AB 、AC 、DC
于点M 、H 、N ．则下列结论：①MN
AF
=
；②
EAH
EHA
=
；③EN BF
EC HN
=
；④若
:
3:4
BF FC =
，则
2
tan
5
FAC
=
；⑤图中共有5 个等腰三角形．其中正确的结论是( )
A．①②③⑤
B．①②④⑤
C．①②③④
D．①③④⑤
3．（2024•北京）如图，在菱形ABCD中，
60
BAD
=
，O 为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O 逆时
针旋转90得到菱形A B C D
，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H ．对八边形BFB GDHD E
给出下
面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；
③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
27 / 78
4．（2024•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点H 在AD 边上（不与点A 、D 重合），
90
BHF
=
，
HF 交正方形外角的平分线DF 于点F ，连接AC 交BH 于点M ，连接BF 交AC 于点G ，交CD 于
点N ，连接BD ．则下列结论：①
45
HBF
=
；②点G 是BF 的中点；③若点H 是AD 的中点，则
10
sin
10
NBC
=
；④
2
BN
BM
=
；⑤若
1
2
AH
HD
=
，则
11
2
BND
AHM
S
S
=
．其中正确的结论是( )
A．①②③④
B．①③⑤
C．①②④⑤
D．①②③④⑤
5．（2024•东营）如图，在正方形ABCD中，AC 与BD 交于点O ，H 为AB 延长线上的一点，且
BH
BD
=
，连接DH ，分别交AC ，BC 于点E ，F ，连接BE ，则下列结论：
①
3
2
CF
BF =
；②tan
3
1
H
=
−；③BE 平分
CBD
；④
2
2AB
DE DH
=
．
其中正确结论的个数是( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
6．（2024•宁夏）如图，在Rt ABC
中，
90
ABC
=
，
3
AB
cm
=
，
2
BC
cm
=
，点A 在直线1l 上，点B ，
C 在直线2l 上，1
2
/ /
l
l ，动点P 从点A 出发沿直线1l 以1
/
cm s 的速度向右运动，设运动时间为t s ．
下列结论：①当
2
t
s
=
时，四边形ABCP的周长是10cm；②当
4
t
s
=
时，点P 到直线2l 的距离等于5cm ；
③在点P 运动过程中，PBC
的面积随着t 的增大而增大；④若点D ，E 分别是线段PB ，PC 的中点，
在点P 运动过程中，线段DE 的长度不变．其中正确的是( )
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
28 / 78
7．（2024•呼和浩特）下列说法中，正确的个数有( )
①二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象经过(2,1) ，( 4,1)
−
两点，m ，n 是关于x 的一元二次方程
2
0(0
1)
ax
bx
c
k
k
+
+
−
=
的两个实数根，且m
n
，则4
2
m
n
−
恒成立．
②在半径为r 的
O 中，弦AB ，CD 互相垂直于点P ，当OP
m
=
时，则
2
2
2
2
8
4
AB
CD
r
m
+
=
−
．
③ABC
为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且
90
ABC
=
，点A 的坐标为(1,0) ，点B 的坐标为
(0,5) ，点C 是反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图象上一点，则
30
k =
．
④已知矩形的一组邻边长是关于x 的一元二次方程
2
2
2(
1)
1
0
x
a
x
a
−
+
+
−=
的两个实数根，且矩形的周长
值与面积值相等，则矩形的对角线长是4 6 ．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
8．（2024•德阳）一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为4（单位：
)
dm 的正方形纸片
ABCD，他在边AB 和AD 上分别取点E 和点M ，使AE
BE
=
，
1
AM = ，又在线段MD 上任取一点N
（点N 可与端点重合），再将△EAN 沿NE 所在直线折叠得到△
1
EA N ，随后连接
1
DA ，小王同学通过多
次实践得到以下结论：①当点N 在线段MD 上运动时，点
1
A 在以E 为圆心的圆弧上运动；
②当
1
DA 达到最大值时，
1
A 到直线AD 的距离达到最大；③
1
DA 的最小值为2 5
2
−
；④
1
DA 达到最小
值时，
5
5
MN =
−
．你认为小王同学得到的结论正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
9．（2024•南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由
四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，
10
AB =
．下列三个结论：①若
3
tan
4
ADF
=
，则
2
EF =
；②若Rt ABG
的面积是正方形EFGH 面积的3 倍，则点F 是AG 的三等分
点；③将ABG
绕点A 逆时针旋转90得到ADG
，则BG的最大值为5 5
5
+
．其中正确的是( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
29 / 78
10．（2024•达州）如图，△ABC 是等腰直角三角形，
90
ABC
=
，
4
AB =
，点D ，E 分别在AC ，
BC 边上运动，连结AE ，BD 交于点F ，且始终满足
2
2
AD
CE
=
，则下列结论：①
2
AE
BD
=
；②
135
DFE
=
；③△ABF 面积的最大值是4 2
4
−；④CF 的最小值是2 10
2 2
−
．正确的是( )
A．①③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
11．（2023•绥化）如图，在正方形ABCD中，点E 为边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF
AE
⊥
于点
F ，连接BD 交AE 于点G ，FH 平分
BFG
交BD 于点H ．则下列结论中，正确的个数为( )
①
2
AB
BF AE
=
②
:
2:3
BGF
BAF
S
S
=
③当AB
a
=
时，
2
2
BD
BD HD
a
−
=
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
12．（2023•眉山）如图，在正方形ABCD中，点E 是CD 上一点，延长CB至点F ，使BF
DE
=
，连结
AE ，AF ，EF ，EF 交AB 于点K ，过点A 作AG
EF
⊥
，垂足为点H ，交CF 于点G ，连结
HD ，HC ．下列四个结论：①AH
HC
=
；②HD
CD
=
；③
FAB
DHE
=
；④
2
2
AK HD
HE
=
．其中
正确结论的个数为( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
30 / 78
13．（2023•黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AF
DE
⊥
，垂
足为G ，将△ABF 沿AF 翻折，得到△AMF ，AM 交DE 于点P ，对角线BD 交AF 于点H ，连接
HM ，CM ，DM ，BM ，下列结论正确的是( )
①AF
DE
=
；②
/ /
BM
DE ；③若CM
FM
⊥
，则四边形BHMF 是菱形；④当点E 运动到AB 的中点，
tan
2 2
BHF
=
；⑤
2
EP DH
AG BH
=
．
A．①②③④⑤
B．①②③⑤
C．①②③
D．①②⑤
14．（2023•东营）如图，正方形ABCD的边长为4，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，且BF
CE
=
，
AE 平分
CAD
，连接DF ，分别交AE ，AC 于点G ，M ．P 是线段AG 上的一个动点，过点P
作PN
AC
⊥
，垂足为N ，连接PM ．有下列四个结论：①AE 垂直平分DM ；②PM
PN
+
的最小值为
3 2 ；③
2
CF
GE AE
=
；④
6 2
ADM
S
=
．其中正确的是( )
A．①②
B．②③④
C．①③④
D．①③
15．（2021•深圳）在正方形ABCD中，
2
AB =
，E 是BC 的中点，在BC 延长线上取点F 使
EF
ED
=
，过点F 作FG
ED
⊥
交ED 于点M ，交AB 于点G ，交CD 于点N ，以下结论中：①
1
tan
2
GFB
=
；②NM
NC
=
；③
1
2
CM
EG =
；④
5
1
2
GBEM
S
+
=
四边形
．正确的个数是( )
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
31 / 78
16．（2022•黑龙江）如图，正方形ABCD的对角线AC ，BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，
OE
OF
⊥
交BC 于点E ，连接AE ，BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE
BF
⊥
；②
45
OPA
=
；③
2
AP
BP
OP
−
=
；④若
:
2:3
BE CE =
，则
4
tan
7
CAE
=
；⑤四边形OECF 的面积是正
方形ABCD面积的1
4 ．其中正确的结论是( )
A．①②④⑤
B．①②③⑤
C．①②③④
D．①③④⑤
17．（2021•绥化）如图所示，在矩形纸片ABCD中，
3
AB =
，
6
BC =
，点E 、F 分别是矩形的边
AD 、BC 上的动点，将该纸片沿直线EF 折叠．使点B 落在矩形边AD 上，对应点记为点G ，点A
落在M 处，连接EF 、BG 、BE ，EF 与BG 交于点N ．则下列结论成立的是( )
①BN
AB
=
；②当点G 与点D 重合时，
3 5
2
EF =
；③GNF
的面积S 的取值范围是9
7
4
2
S
；
④当
5
2
CF =
时，
3 13
4
MEG
S
=
．
A．①③
B．③④
C．②③
D．②④
18．（2025•南充）如图，AC 为正方形ABCD的对角线，CE 平分ACB
，交AB 于点E ，把△CBE 绕
点B 逆时针方向旋转90得到△ABF ，延长CE 交AF 于点M ，连接DM ，交AC 于点N ．给出下列
结论：①CM
AF
⊥
；②CF
AF
=
；③
45
CMD
=
；④
2
1
AN
CN =
−．以上结论正确的是 ．（填写
序号）
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
32 / 78
19．（2025•遂宁）如图，在边长为1 的正方形ABCD的对角线BD 上取一点E ，使
15
BAE
=
，连结
CE 并延长至点F ，连结BF ，使BF
BC
=
，CF 与AB 相交于点H ．有下列结论：①AE
CE
=
；
②BE
AE
EF
+
=
；③
2 3
1
AH
HB =
−；④点M 是BC 边上一动点，连结HM ，将△BHM 沿HM 翻折，点
B 落在点P 处，连结BP 交HM 于点Q ，连结DQ ，则DQ 的最小值为
7
3
2
2
+
−
．
其中正确的结论有 ．（填序号）
20．（2025•眉山）如图，正方形ABCD的边长为4，点E 在边AD 上运动（不与点A 、D 重合），
45
CDP
=
，点F 在射线DP 上，且
:
1:
2
AE DF =
，连接BF ，交CD 于点G ，连接EB 、EF 、
EG ．下列结论：①
2
sin
2
BFE
=
；②
2
2
2
AE
CG
EG
+
=
；③△DEF 的面积最大值是2；④若
1
3
AE
AD
=
，则点G 是线段CD 的中点．其中正确结论的序号是 ．
21．（2025•长春）如图，在边长为4 的正方形ABCD中，对角线AC 、BD 相交于点O ．点E 在线段OA
上，连结BE ，作CF
BE
⊥
于点F ，交OB 于点P ．给出下面四个结论：
①
OCP
OBE
=
；②OE
OP
=
；③当CE
CB
=
时，BP
EF
=
；④点A 与点F 之间的距离的最小值为
2 5
2
−
．上述结论中，正确结论的序号有 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
33 / 78
22．（2024•遂宁）如图，在正方形纸片ABCD中，E 是AB 边的中点，将正方形纸片沿EC 折叠，点B
落在点P 处，延长CP交AD 于点Q ，连结AP 并延长交CD 于点F ．给出以下结论：①AEP
为等腰
三角形；②F 为CD 的中点；③
:
2:3
AP PF =
；④
3
cos
4
DCQ
=
．其中正确结论是 （填序号）．
23．（2024•济宁）如图，△ABC 中，AB
AC
=
，
90
BAC
=
，AD 是△ABC 的角平分线．
（1）以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ．
（2）以点A 为圆心，BE 长为半径画弧，交AC 于点G ．
（3）以点G 为圆心，EF 长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H ．
（4）画射线AH ．
（5）以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交射线AH 于点M ．
（6）连接MC ，MB ．MB 分别交AC ，AD 于点N ，P ．
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 .（只填序号）
① BD
CD
=
；②
15
ABM
=
③
APN
ANP
=
；④
3
2
AM
AD =
；⑤
2
MC
MN MB
=
．
24．（2023•日照）如图，矩形ABCD中，
6
AB =
，
8
AD =
，点P 在对角线BD 上，过点P 作
MN
BD
⊥
，交边AD ，BC 于点M ，N ，过点M 作ME
AD
⊥
交BD 于点E ，连接EN ，BM ，
DN ．下列结论：
①EM
EN
=
；②四边形MBND 的面积不变；③当
:
1:2
AM MD =
时，
96
25
MPE
S
=
；④BM
MN
ND
+
+
的
最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
34 / 78
25．（2023•南充）如图，在等边ABC
中，过点C 作射线CD
BC
⊥
，点M ，N 分别在边AB ，BC
上，将ABC
沿MN 折叠，使点B 落在射线CD 上的点B处，连接AB，已知
2
AB =
．给出下列四个
结论：①CN
NB
+
为定值；②当
2
BN
NC
=
时，四边形BMB N
为菱形；③当点N 与C 重合时，
18
AB M
=
；④当AB最短时，
7 21
20
MN =
．其中正确的结论是 .（填写序号）
26．（2023•湖北）如图，BAC
，DEB
和AEF
都是等腰直角三角形，
90
BAC
DEB
AEF
=
=
=
，
点E 在ABC
内，BE
AE
，连接DF 交AE 于点G ，DE 交AB 于点H ，连接CF ．给出下面四个
结论：①
DBA
EBC
=
；②
BHE
EGF
=
；③AB
DF
=
；④AD
CF
=
．其中所有正确结论的序号
是 ．
27．（2023•大庆）如图，在ABC
中，将AB 绕点A 顺时针旋转至AB，将AC 绕点A 逆时针旋转
至
(0
180 ,0
180 )
AC
，得到△AB C
，使
180
BAC
B AC
+
=
，我们称△AB C
是
ABC
的“旋补三角形“，△AB C
的中线AD 叫做ABC
的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．下列
结论正确的有 ．
①ABC
与△AB C
面积相同；②
2
BC
AD
=
；③若AB
AC
=
，连接BB和CC，则
180
B BC
CC B
+
=
；④若AB
AC
=
，
4
AB =
，
6
BC =
，则
10
B C
=
．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
35 / 78
28．（2023•牡丹江）如图，在正方形ABCD中，E 在边CD 上，BE 交对角线AC 于点F ，CM
BE
⊥
于M ，
CME
的平分线所在直线分别交CD ，AC 于点N ，P ，连接FN ．
下列结论：①
:
:
NPF
NPC
S
S
FM MC
=
；②CM
PN
=
；③EN CD
EC CF
=
；④若
1
EM = ，
4
MB =
，
则
2
PM =
．其中正确的是 ．
29．（2023•遂宁）如图，以ABC
的边AB 、AC 为腰分别向外作等腰直角ABE
、ACD
，连结ED 、
BD 、EC ，过点A 的直线l 分别交线段DE 、BC 于点M 、N ．以下说法：①当AB
AC
BC
=
=
时，
30
AED
=
；②EC
BD
=
；③若
3
AB =
，
4
AC =
，
6
BC =
，则
2 3
DE =
；④当直线l
BC
⊥
时，点
M 为线段DE 的中点．正确的有 ．（填序号）
30．（2022•青岛）如图，已知ABC
，AB
AC
=
，
16
BC =
，AD
BC
⊥
，
ABC
的平分线交AD 于点E ，
且
4
DE =
．将
C
沿GM 折叠使点C 与点E 恰好重合．下列结论正确的有： ．（填写序号）
①
8
BD =
；②点E 到AC 的距离为3；③
10
3
EM =
；④
/ /
EM
AC ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
36 / 78
★类型4：二次函数图像与系数及二次函数综合 40 题★
1．（2025•南充）已知某函数图象关于y 轴对称，当0
2
x
时，
2
2
y
x
x
=
−
；当
2
x 时，
2
4
y
x
=
−
．若直
线y
x
b
=
+
与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b 的范围是( )
A．
1
0
4
b
−
B．
9
1
4
4
b
−
−
C．
1
0
4
b
−
D．
1
4
b
−
或
0
b
2．（2025•遂宁）如图，已知抛物线
2
(
y
ax
bx
c a
=
+
+
、b 、c 为常数，且
0)
a
的对称轴是直线
1
x = ，且
抛物线与x 轴的一个交点坐标是(4,0) ，与y 轴交点坐标是(0,
)
m 且2
3
m
．有下列结论：①
0
abc
；②
9
3
0
a
b
c
−
+
；③9
27
4
8
y
最大值
；④关于x 的一元二次方程
2
(
1)
2
0
ax
b
x
c
+
−
+
−
=
必有两个不相等实
根；⑤若点
1
(
A x ，
1)
y ，
2
(
B x ，
2)
y ，
3
(
C x ，
3)
y 在抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+
上，且
1
2
3
1
2
3
n
x
n
x
n
x
n
+
+
+
，当
1
3
2
y
y
y
时，则n 的取值范围为
3
0
2
n
−
．
其中正确的有( )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
3．（2025•烟台）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的部分图象与x 轴的一个交点A 位于( 2,0)
−
和( 1,0)
−
之
间，顶点P 的坐标为(1, )
n ．下列结论：①
0
abc
；②对于任意实数m ，都有
2
0
am
bm
a
b
+
−
−
；③
3
2
b
c
；④若该二次函数的图象与x 轴的另一个交点为B ，且△PAB 是等边三角形，则
3
n
a
= −
．其中
所有正确结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．①③④
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
37 / 78
4．（2025•广安）如图，二次函数
2
(
y
ax
bx
c a
=
+
+
，b ，c 为常数，
0)
a
的图象交x 轴于A ，B 两点，
点A 的坐标是( 1,0)
−
，点B 的坐标是( ,0)
n
，有下列结论：①
0
abc
；②4
2
a
c
b
+
；③关于x 的方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
的解是
1
1
x = −，
2x
n
=
；④
1
2
2
b
n
a
−
−
=
．其中正确的有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．（2025•德阳）已知抛物线
2
(
y
ax
bx
c a
=
+
+
，b ，c 是常数，
0)
a
过点(1,0) ，( ,0)
m
，且2
3
m
，
该抛物线与直线
(
y
kx
c k
=
+
，c 是常数，
0)
k
相交于
1
(
A x ，
1)
y ，
2
(
B x ，
2)
y 两点（点A 在点B 左
侧）．下列说法：①
0
bc
；②3
0
a
b
+
；③点A是点A 关于直线
2
b
x
a
= −
的对称点，则3
4
AA
；
④当
2
4
x =
时，不等式
2
(
)
0
ax
b
k x
+
−
的解集为0
4
x
．其中正确的结论个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2025•宜宾）如图，O 是坐标原点，已知二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象与x 轴交于A 、C 两
点，与y 轴交于B 点，顶点为D ，对称轴为
2
x = −，其中
(2,0)
A
，
(0, )
B
c ，且3
2
c
−−．以下结论：①
0
abc
；②2
1
3
b
；③△ACD 是钝角三角形；④若方程
2
(
2)
0
ax
b
x
c
+
−
+
=
的两根为
1x 、
2
1
2
(
)
x
x
x
，则
1
2
4
2 7
x
−
−
，
2
6
4
2 7
x
+
．其中正确结论有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
38 / 78
7．（2025•齐齐哈尔）如图，二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象与x 轴交于两点( 1,0)
−
，
1
(x ，0) ，且
1
2
3
x
．下列结论：①
0
abc
；②2
0
a
c
+
；③4
2
0
a
b
c
−+
；④若m 和n 是关于x 的一元二次方程
1
(
1)(
)
0(
0)
a x
x
x
c
a
+
−
+
=
的两根，且m
n
，则
1
m−，
2
n ；⑤关于x 的不等式
2
1
(
0)
c
ax
bx
c
x
c a
x
+
+
−
+
的解集为
1
0
x
x
．其中正确结论的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
8．（2025•绥化）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+
与x 轴交于点
(3,0)
A
、
( 1,0)
B −
，与y 轴交于点
(0,
)
C
m ，
其中4
3
m
−
−．则下列结论：①
0
a
c
−
；②方程
2
5
0
ax
bx
c
+
+
−
=
没有实数根；③
8
2
3
b
−
−；
④
0
a
b
c
b
a
+
+
−
．其中错误的个数有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9．（2024•福建）已知二次函数
2
2
(
0)
y
x
ax
a a
=
−
+
的图象经过
1
( ,
)
2
a
A
y ，
2
(3 ,
)
B
a y
两点，则下列判断正
确的是( )
A．可以找到一个实数a，使得
1y
a
B．无论实数a 取什么值，都有
1y
a
C．可以找到一个实数a，使得
2
0
y
D．无论实数a 取什么值，都有
2
0
y
10．（2024•泸州）已知二次函数
2
(2
3)
1(
y
ax
a
x
a
x
=
+
−
+
−
是自变量）的图象只经过第一、二、四象限，
则实数a的取值范围为( )
A．
9
1
8
a
B．
3
0
2
a
C．
9
0
8
a
D．
3
1
2
a
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
39 / 78
11．（2024•连云港）已知抛物线
2
(
y
ax
bx
c a
=
+
+
、b 、c 是常数，
0)
a
的顶点为(1,2) ．小烨同学得出以
下结论：①
0
abc
；②当
1
x 时，y 随x 的增大而减小；③若
2
0
ax
bx
c
+
+
=
的一个根为3，则
1
2
a = −
；④抛物线
2
2
y
ax
=
+
是由抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+
向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位得到
的．其中一定正确的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
12．（2024•眉山）如图，二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象与x 轴交于点
(3,0)
A
，与y 轴交于点B ，
对称轴为直线
1
x = ，下列四个结论：①
0
bc
；②3
2
0
a
c
+
；③
2
ax
bx a
b
+
+ ；④若2
1
c
−−，则
8
4
3
3
a
b
c
−
+
+
−
，其中正确结论的个数为( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
13．（2024•宜宾）如图，抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象交x 轴于点
( 3,0)
A −
、
(1,0)
B
，交y 轴于点
C ．以下结论：①
0
a
b
c
+
+
=
；②
3
2
0
a
b
c
+
+
；③当以点A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角
形时，
7
c =
；④当
3
c = 时，在AOC
内有一动点P ，若
2
OP =
，则
2
3
CP
AP
+
的最小值为
97
3
．其中
正确结论有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
40 / 78
14．（2024•遂宁）如图，已知抛物线
2
(
y
ax
bx
c a
=
+
+
、b 、c 为常数，且
0)
a
的对称轴为直线
1
x = −，
且该抛物线与x 轴交于点
(1,0)
A
，与y 轴的交点B 在(0, 2)
−
，(0, 3)
−
之间（不含端点），则下列结论正确的
有多少个( )
①
0
abc
；②9
3
0
a
b
c
−
+
；③2
1
3
a
；④若方程
2
1
ax
bx
c
x
+
+
=
+ 两根为m ，(
)
n m
n
，则
3
1
m
n
−
．
A．1
B．2
C．3
D．4
15．（2024•广元）如图，已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+
过点
(0, 2)
C
−
与x 轴交点的横坐标分别为
1x ，
2
x ，且
1
1
0
x
−
，
2
2
3
x
，则下列结论：①
0
a
b
c
−+
；②方程
2
2
0
ax
bx
c
+
+
+
=
有两个不相等的实数
根；③
0
a
b
+
；④
2
3
a
；⑤
2
2
4
4
.
b
ac
a
−
其中正确的结论有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
16．（2024•日照）已知二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
图象的一部分如图所示，该函数图象经过点
( 1,0)
−
，对称轴为直线
2
x = ．对于下列结论：①
0
abc
；②a
c
b
+ =
；③多项式
2
ax
bx
c
+
+
可因式分解
为(
1)(
5)
x
x
+
−
；④当
9
m
a
−
时，关于x 的方程
2
ax
bx
c
m
+
+
=
无实数根．其中正确的个数有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
41 / 78
17．（2024•广安）如图，二次函数
2
(
y
ax
bx
c a
=
+
+
，b ，c 为常数，
0)
a
的图象与x 轴交于点
3
( 2
A −
，
0) ，对称轴是直线
1
2
x = −
，有以下结论：①
0
abc
；②若点
1
( 1,
)
y
−
和点
2
(2,
)
y
都在抛物线上，则
1
2
y
y
；③
2
1
1 (
4
2
am
bm
a
b m
+
−
为任意实数）；④3
4
0
a
c
+
=
，其中正确的有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
18．（2024•绥化）二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的部分图象如图所示，对称轴为直线
1
x = −，则下列结
论中：①
0
b
c
；②
2
(
am
bm a
b m
+
−
为任意实数）；③3
1
a
c
+ ；④若
1
(
M x ，
)
y 、
2
(
N x ，
)
y 是抛物线
上不同的两个点，则
1
2
3
x
x
+
−．其中正确的结论有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
19．（2024•雅安）已知一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两实根
1
1
x = −，
2
3
x =
，且
0
abc
，则下列结论
中正确的有( )
①2
0
a
b
+ =
；②抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的顶点坐标为
4
(1,
)
3
c ；③
0
a ；④若
(
)
4
2
m am
b
a
b
+
+
，则
0
1
m
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
42 / 78
20．（2024•齐齐哈尔）如图，二次函数
2
2(
0)
y
ax
bx
a
=
+
+
的图象与x 轴交于( 1,0)
−
，
1
(x ，0) ，其中
1
2
3
x
．结合图象给出下列结论：①
0
ab
；②
2
a b
−= −；③当
1
x 时，y 随x 的增大而减小；
④关于x 的一元二次方程
2
2
0(
0)
ax
bx
a
+
+
=
的另一个根是
2
a
−
；⑤b 的取值范围为
4
1
3
b
．其中正
确结论的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
21．（2024•资阳）已知二次函数
2
1
2
y
x
bx
= −
+
与
2
1
2
y
x
bx
=
−
的图象均过点
(4,0)
A
和坐标原点O ，这两个
函数在0
4
x
时形成的封闭图象如图所示，P 为线段OA的中点，过点P 且与x 轴不重合的直线与封闭
图象交于B ，C 两点．给出下列结论：
①
2
b =
；②PB
PC
=
；③以O，A ，B ，C 为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B 的横坐标为1，点Q 在y 轴上(Q ，B ，C 三点不共线），则△BCQ 周长的最小值为5
13
+
．
其中，所有正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
22．（2024•牡丹江）在平面直角坐标系中，抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
与x 轴交于A 、B 两点，
( 3,0)
A −
，
(1,0)
B
，与y 轴交点C 的纵坐标在3~ 2
−
−之间，根据图象判断以下结论：①
2
0
abc
；②
4
2
3
b
；③若
2
2
1
1
2
2
ax
bx
ax
bx
−
=
−
且
1
2
x
x
，则
1
2
2
x
x
+
= −；④直线
5
6
y
cx
c
= −
+
与抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的一个交点(m ，)(
0)
n m
，则
1
2
m =
．其中正确的结论是( )
A．①②④
B．①③④
C．①②③
D．①②③④
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
43 / 78
23．（2024•西宁）点
1
(
A x ，
1)
y ，
2
(
B x ，
2)
y
是抛物线
2
4
1(
y
ax
ax
a
=
−
+
是常数，且
0)
a
上的两个
点．下列结论：①抛物线与y 轴的交点是(0,1) ；②抛物线的对称轴是直线
2
x = −；③当
1
2
1
y
y
=
= 时，
4
AB =
；④当
1
2
2
x
x
时，
1
2
y
y
；⑤当0
2
x
时，y 有最大值是1．其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
24．（2023•丹东）抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
与x 轴的一个交点为
( 3,0)
A −
，与y 轴交于点C ，点D 是
抛物线的顶点，对称轴为直线
1
x = −，其部分图象如图所示，则以下4 个结论：①
0
abc
；②
1
(
E x ，
1)
y ，
2
(
F x ，
2)
y
是抛物线
2
(
0)
y
ax
bx a
=
+
上的两个点，若
1
2
x
x
，且
1
2
2
x
x
+
−，则
1
2
y
y
；③在x
轴上有一动点P ，当PC
PD
+
的值最小时，则点P 的坐标为
3
(
,0)
7
−
；④若关于x 的方程
2
(
2)
4(
0)
ax
b x
c
a
+
−
+
= −
无实数根，则b 的取值范围是
1
b ．其中正确的结论有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
25．（2023•盐城）如图，关于x 的函数y 的图象与x 轴有且仅有三个交点，分别是( 3,0)
−
，( 1,0)
−
，
(3,0) ，对此，小华认为：①当
0
y
时，3
1
x
−
−；②当
3
x −时，y 有最小值；③点
( ,
1)
P m
m
−
−
在
函数y 的图象上，符合要求的点P 只有1 个；④将函数y 的图象向右平移1 个或3 个单位长度经过原
点．其中正确的结论有( )
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
26．（2023•衢州）已知二次函数
2
4
(
y
ax
ax a
=
−
是常数，
0)
a
的图象上有
1
( ,
)
A m y
和
2
(2 ,
)
B
m y
两点．若
点A ，B 都在直线
3
y
a
= −
的上方，且
1
2
y
y
，则m 的取值范围是( )
A．
3
1
2
m
B．4
2
3
m
C．4
3
3
2
m
D．
2
m
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
44 / 78
27．（2023•湖州）已知在平面直角坐标系中，正比例函数
1
1
(
0)
y
k x k
=
的图象与反比例函数
2
2
(
0)
k
y
k
x
=
的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点
( , )
A t p 和点
(
2, )
B t
q
+
在函数
1
y
k x
=
的
图象上(
0
t
且
2)
t −
，点
( ,
)
C t m 和点
(
2, )
D t
n
+
在函数
2k
y
x
=
的图象上．当p
m
−
与q
n
−
的积为负数
时，t 的取值范围是( )
A．
7
3
2
t
−
−或1
1
2
t
B．
7
3
2
t
−
−或
3
1
2
t
C．3
2
t
−−或1
0
t
−
D．3
2
t
−−或0
1
t
28．（2023•泸州）已知二次函数
2
2
3
y
ax
ax
=
−
+
（其中x 是自变量），当0
3
x
时对应的函数值y 均为
正数，则a 的取值范围为( )
A．0
1
a
B．
1
a −或
3
a
C．3
0
a
−
或0
3
a
D．1
0
a
−
或0
3
a
29．（2023•南充）抛物线
2
5
4
y
x
kx
k
= −
+
+
−
与x 轴的一个交点为
( ,0)
A m
，若2
1
m
−
，则实数k 的取值
范围是( )
A．
21
1
4
k
−
B．
21
4
k
−
或
1
k
C．
9
5
8
k
−
D．
5
k
−
或
9
8
k
30．（2025•凉山州）二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的部分图象如图所示，其对称轴为
2
x =
，且图象经过点
(6,0) ，则下列结论错误的是( )
A．
0
bc
B．4
0
a
b
+
=
C．若
2
2
1
1
2
2
ax
bx
ax
bx
+
=
+
且
1
2
x
x
，则
1
2
4
x
x
+
=
D．若
1
( 1,
)
y
−
，
2
(3,
)
y
两点都在抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的图象上，则
2
1
y
y
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
45 / 78
31．（2025•资阳）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
与y 轴相交
于点
(0,2)
A
，且抛物线的对称轴为直线
1
x = −．给出以下4 个结论：①
0
abc
；②对于任意实数m ，
2
am
bm
c
a
+
+
+
的值不小于2；③若P 是对称轴上的一点，则OP
AP
+
的最小值为2 2 ；
④若点
1
(x ，
1)
y ，
2
(x ，
2)
y
在抛物线上，满足
1
2
x
x
且
1
2
2
0
x
x
+
+
，则一定有
1
2
y
y
．
其中，所有正确结论的序号为 ．
32．（2024•武汉）抛物线
2
(
y
ax
bx
c a
=
+
+
，b ，c 是常数，
0)
a
经过( 1,1)
−
，( ,1)
m
两点，且
0
1
m
．下列四个结论：①
0
b
；②若0
1
x
，则
2
(
1)
(
1)
1
a x
b x
c
−
+
−
+
；③若
1
a = −，则关于x
的一元二次方程
2
2
ax
bx
c
+
+
=
无实数解；④点
1
(
A x ，
1)
y ，
2
(
B x ，
2)
y
在抛物线上，若
1
2
1
2
x
x
+
−
，
1
2
x
x
，总有
1
2
y
y
，则
1
0
2
m
．其中正确的是 （填写序号）．
33．（2024•烟台）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的y 与x 的部分对应值如表：
x
4
−
3
−
1
−
1
5
y
0
5
9
5
27
−
下列结论：
①
0
abc
；②关于x 的一元二次方程
2
9
ax
bx
c
+
+
=
有两个相等的实数根；③当4
1
x
−
时，y 的取值
范围为0
5
y
；④若点
1
( ,
)
m y ，
2
(
2,
)
m
y
−
−
均在二次函数图象上，则
1
2
y
y
=
；⑤满足
2
(
1)
2
ax
b
x
c
+
+
+
的x 的取值范围是
2
x −或
3
x
．其中正确结论的序号为 ．
34．（2024•南充）已知抛物线
2
1 :
C
y
x
mx
m
=
+
+
与x 轴交于两点A ，
(
B A 在B 的左侧），抛物线
2
2 :
(
)
C
y
x
nx
n m
n
=
+
+
与x 轴交于两点C ，
(
D C 在D 的左侧），且AB
CD
=
．下列四个结论：①
1
C 与
2
C 交点为( 1,1)
−
；②
4
m
n
+
=
；③
0
mn
；④A ，D 两点关于( 1,0)
−
对称．其中正确的结论是 .
（填写序号）
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
46 / 78
35．（2024•德阳）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的顶点A 的坐标为
1
( 3
−
，)
n ，与x 轴的一个交点位于0 和
1 之间，则以下结论：①
0
abc
；②5
2
0
b
c
+
；③若抛物线经过点
1
( 6,
)
y
−
，
2
(5,
)
y
，则
1
2
y
y
；④若
关于x 的一元二次方程
2
4
ax
bx
c
+
+
=
无实数根，则
4
n
．其中正确结论是 （请填写序号）．
36．（2024•巴中）若二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象向右平移1 个单位长度后关于y 轴对称．则下
列说法正确的序号为 ．
①
2
b
a =
；②当3
5
2
2
a
时，代数式
2
2
5
8
a
b
b
+
−
+
的最小值为3；③对于任意实数m ，不等式
2
0
am
bm
a
b
+
−
+
一定成立；④
1
(
P x ，
1)
y ，
2
(
Q x ，
2)
y
为该二次函数图象上任意两点，且
1
2
x
x
，当
1
2
2
0
x
x
+
+
时，一定有
1
2
y
y
．
37．（2024•通辽）关于抛物线
2
2
2
4(
y
x
mx
m
m
m
=
−
+
+
−
是常数），下列结论正确的是 （填写所有
正确结论的序号）．
①当
0
m =
时，抛物线的对称轴是y 轴；②若此抛物线与x 轴只有一个公共点，则
4
m = −；
③若点
1
(
2,
)
A m
y
−
，
2
(
1,
)
B m
y
+
在抛物线上，则
1
2
y
y
；④无论m 为何值，抛物线的顶点到直线y
x
=
的距离都等于2 2 ．
38．（2023•无锡）二次函数
2
1
(2
1)
2 (
)
2
y
x
m
x
m m
=
+
−
+
，有下列结论：①该函数图象过定点( 1,2)
−
；
②当
1
m = 时，函数图象与x 轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y 轴的右侧；④当
3
1
2
m
时，点
1
(
P x ，
1)
y ，
2
(
Q x ，
2)
y
是曲线上两点，若
1
3
2
x
−
−，
2
1
0
2
x
−
，则
1
2
y
y
．
其中，正确结论的序号为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
47 / 78
39．（2023•青岛）如图，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+
的图象与正比例函数y
kx
=
的图象相交于A ，B 两点，
已知点A 的横坐标为3
−，点B 的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线
1
x = −．下列结论：①
0
abc
；②3
2
0
b
c
+
；③关于x 的方程
2
ax
bx
c
kx
+
+
=
的两根为
1
3
x = −，
2
2
x =
；④
1
2
k
a
=
．其中正
确的是 ．（只填写序号）
40．（2023•宜宾）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+
经过点
( 3,0)
A −
，顶点为
( 1,
)
M
m
−
，且抛物线与y 轴的交
点B 在(0, 2)
−
与(0, 3)
−
之间（不含端点），则下列结论：①当3
1
x
−
时，
0
y
；②当ABM
的面积为
3 3
2
时，
3
2
a =
；③当ABM
为直角三角形时，在AOB
内存在唯一一点P ，使得PA
PO
PB
+
+
的值最
小，最小值的平方为18
9 3
+
．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
48 / 78
★类型5：反比例系数K 的几何意义 40 题★
1．（2025•北京）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形
OACB是矩形，函数
1 (
0)
y
x
x
=
的图象与边AC 交于点M ，与边BC 交于点
(
N M ，N 不重合）．给出下
面四个结论：①△COM 与△CON 的面积一定相等；②△MON 与△MCN 的面积可能相等；③△MON
一定是锐角三角形；④△MON 可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
2．（2025•广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯” ABCDEFG 的所有线段均与x 轴平行或垂
直，且满足
1
BC
DE
FG
=
=
= ，点A ，C ，E ，G 均在双曲线
k
y
x
=
的一支上．若点A 的坐标为
3
(4, )
2 ，
则第三级阶梯的高
(
EF = )
A．4
B．3
C．7
2
D．5
2
3．（2025•烟台）如图，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，
3
OA = ，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象
过点C 和菱形的对称中心M ，则k 的值为( )
A．4
B．4 2
C．2
D．2 2
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
49 / 78
4．（2025•绥化）如图，反比例函数
k
y
x
=
经过A 、C 两点，过点A 作AB
y
⊥
轴于点B ，过点C 作
CD
x
⊥
轴于点D ，连接OA、OC 、AC ．若
4
ACO
S
=
，
:
1:3
CD OB =
，则k 的值是( )
A．12
−
B．9
−
C．6
−
D．3
−
5．（2025•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A 、点B 都在双曲线
(
0)
k
y
k
x
=
上，且点A 在点B
的右侧，点A 的横坐标为1
−，
45
AOB
ABO
=
=
，则k 的值为( )
A．
2
B．
5
2
−
C．
5
1
2
−
D．
5
1
2
+
−
6．（2025•贵州）如图，一次函数
(
0)
y
x x
=
与反比例函数
9 (
0)
y
x
x
=
的图象交于点C ，过反比例函数图
象上点A 作x 轴垂线，垂足为点D ，交y
x
=
的图象于点B ，点A 的横坐标为1．有以下结论：
①线段AB 的长为8；②点C 的坐标为(3,3) ；③当
3
x
时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
50 / 78
7．（2025•宜宾）如图，O是坐标原点，反比例函数
4 (
0)
y
x
x
= −
与直线
2
y
x
= −
交于点A ，点B 在
4 (
0)
y
x
x
= −
的图象上，直线AB 与y 轴交于点C ，连结OB ，若
3
AB
AC
=
，则OB 的长为( )
A．10
B．5 2
2
C．34
D．130
2
8．（2024•宿迁）如图，点A 在双曲线
1
(
0)
k
y
x
x
=
上，连接AO 并延长，交双曲线
2
(
0)
4
k
y
x
x
=
于点
B ，点C 为x 轴上一点，且AO
AC
=
，连接BC ，若△ABC 的面积是6，则k 的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
9．（2024•淄博）如图所示，正方形ABCD与AEFG （其中边BC ，EF 分别在x ，y 轴的正半轴上）的
公共顶点A 在反比例函数
k
y
x
=
的图象上，直线DG 与x ，y 轴分别相交于点M ，N ．若这两个正方形
的面积之和是15
2 ，且
4
MD
GN
=
．则k 的值是( )
A．5
B．1
C．3
D．2
10．（2024•长春）如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，点
(4,2)
A
在函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
=
的图
象上．将直线OA沿y 轴向上平移，平移后的直线与y 轴交于点B ，与函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
=
的图象交于
点C ．若
5
BC =
，则点B 的坐标是( )
A．(0, 5)
B．(0,3)
C．(0,4)
D．(0 ，2 5)
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
51 / 78
11．（2024•宜宾）如图，等腰三角形ABC 中，AB
AC
=
，反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图象经过点A 、B 及
AC 的中点M ，
/ /
BC
x 轴，AB 与y 轴交于点N ．则AN
AB 的值为( )
A．1
3
B．1
4
C．1
5
D．2
5
12．（2024•牡丹江）矩形OBAC 在坐标系中的位置如图所示，反比例函数
k
y
x
=
的图象与AB 边交于点
D ，与AC 边交于点F ，与OA交于点E ，
2
OE
AE
=
，若四边形ODAF 的面积为2，则k 的值是( )
A．2
5
B．3
5
C．4
5
D．8
5
13．（2024•通辽）如图，平面直角坐标系中，原点O 为正六边形ABCDEF 的中心，
/ /
EF
x 轴，点E 在双
曲线
(
k
y
k
x
=
为常数，
0)
k
上，将正六边形ABCDEF 向上平移
3 个单位长度，点D 恰好落在双曲线
上，则k 的值为( )
A．4 3
B．3 3
C．2 3
D．3
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
52 / 78
14．（2024•德州）如图，点A ，C 在反比例函数
a
y
x
=
的图象上，点B ，D 在反比例函数
b
y
x
=
的图象
上，
/ /
/ /
AB
CD
y 轴，若
3
AB =
，
2
CD =
，AB 与CD的距离为5，则a
b
−
的值为( )
A．2
−
B．1
C．5
D．6
15．（2023•广西）如图，过
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上点A ，分别作x 轴，y 轴的平行线交
1
y
x
= −
的图象于
B ，D 两点，以AB ，AD 为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为
1S ，
2
S ，
3S ，
4
S ，若
2
3
4
5
2
S
S
S
+
+
=
，则k 的值为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
16．（2023•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 在函数
(
0,
0)
k
y
k
x
x
=
的图象上，分别以A 、
B 为圆心，1 为半径作圆，当
A与x 轴相切、
B 与y 轴相切时，连接AB ，
3 2
AB =
，则k 的值为(
)
A．3
B．3 2
C．4
D．6
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
53 / 78
17．（2023•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在y 、x 轴上，BC
x
⊥
轴，点M 、N
分别在线段BC 、AC 上，BM
CM
=
，
2
NC
AN
=
，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象经过M 、N 两点，P
为x 轴正半轴上一点，且
:
1:4
OP BP =
，APN
的面积为3，则k 的值为( )
A．45
4
B．45
8
C．144
25
D．72
25
18．（2025•威海）如图，点A 在反比例函数
4
y
x
=
的图象上，点B 在反比例函数
2
y
x
= −
的图象上，连接
OA，OB ，AB ．若AO
BO
⊥
，则tan
BAO
= ．
19．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，过原点O 的直线与反比例函数
3
y
x
=
的图象交于A ，B
两点，分别以点A ，点B 为圆心，画半径为1 的
A和
B ．当
A，
B 分别与x 轴相切时，切点分别
为点C 和点D ，连接AC ，BD ，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留
)
20．（2025•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
1
y
x
= −−的图象与反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图象在第二象限内交于点A ，与x 轴交于点B ，点C 坐标为(0,3) ，连接AC ，BC ，若AC
BC
=
，则
实数k 的值为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
54 / 78
21．（2024•绥化）如图，已知点
( 7,0)
A −
，
( ,10)
B x
，
( 17, )
C
y
−
，在平行四边形ABCO中，它的对角线
OB 与反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图象相交于点D ，且
:
1:4
OD OB =
，则k = ．
22．（2024•甘南州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的两边OA、OC 分别在x 轴、y 轴的
正半轴上，反比例函数
k
y
x
=
的图象与AB 相交于点M ，与BC 相交于点N ，若点B 的坐标为(4,2) ，△
MON 的面积是15
4 ，则k 的值为 ．
23．（2024•深圳）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB 为菱形，
4
sin
5
AOC
=
，且点A 落在反比
例函数
3 (
0)
y
x
x
=
上，点B 落在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
上，则k = ．
24．（2024•广元）已知
3
y
x
=
与
(
0)
k
y
x
x
=
的图象交于点
(2,
)
A
m ，点B 为y 轴上一点，将OAB
沿
OA翻折，使点B 恰好落在
(
0)
k
y
x
x
=
上点C 处，则B 点坐标为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
55 / 78
25．（2024•扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0) ，点B 在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图
象上，BC
x
⊥
轴于点C ，
30
BAC
=
，将△ABC 沿AB 翻折，若点C 的对应点D 落在该反比例函数的
图象上，则k 的值为 ．
26．（2024•广州）如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点B 在函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上，
(1,0)
A
，
(0,2)
C
．将线段AB 沿x 轴正方向平移得线段A B
（点A 平移后的对应点为
)
A，A B
交函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象于点D ，过点D 作DE
y
⊥
轴于点E ，则下列结论：①
2
k =
；②△OBD的面积等于四
边形ABDA的面积；③A E
的最小值是
2 ；④
B BD
BB O
=
．其中正确的结论有 ．（填写所有
正确结论的序号）
27．（2024•日照）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点
(4,0)
A
，
(0,4 2)
C
是矩形OABC 的顶点，点
M ，N 分别为边AB ，OC 上的点，将矩形OABC 沿直线MN 折叠，使点B 的对应点B在边OA的中点
处，点C 的对应点C在反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图象上，则k = ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
56 / 78
28．（2024•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(5,0) ，(2,6) ，过点B 作
/ /
BC
x 轴交y 轴于点C ，点D 为线段AB 上的一点，且
2
BD
AD
=
，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象经过
点D 交线段BC 于点E ，则四边形ODBE 的面积是 ．
29．（2023•衢州）如图，点A ，B 在x 轴上，分别以OA，AB 为边，在x 轴上方作正方形OACD，
ABEF ，反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图象分别交边CD，BE 于点P ，Q ．作PM
x
⊥
轴于点M ，QN
y
⊥
轴于点N ．若
2
OA
AB
=
，Q 为BE 的中点，且阴影部分面积等于6，则k 的值为 ．
30．（2023•盐城）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 都在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上，延
长AB 交y 轴于点C ，过点A 作AD
y
⊥
轴于点D ，连接BD 并延长，交x 轴于点E ，连接CE ．若
2
AB
BC
=
，BCE
的面积是4.5，则k 的值为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
57 / 78
31．（2023•宁波）如图，点A ，B 分别在函数
(
0)
a
y
a
x
=
图象的两支上(A在第一象限），连结AB 交x
轴于点C ．点D ，E 在函数
(
0,
0)
b
y
b
x
x
=
图象上，
/ /
AE
x 轴，
/ /
BD
y 轴，连结DE ，BE ．若
2
AC
BC
=
，
ABE
的面积为9，四边形ABDE 的面积为14，则a
b
−
的值为 ，a 的值为 ．
32．（2023•安徽）如图，O是坐标原点，Rt △OAB 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，
2
AB =
，
30
AOB
=
，反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图象经过斜边OB 的中点C ．（1）k = ；
（2）D 为该反比例函数图象上的一点，若
/ /
DB
AC ，则
2
2
OB
BD
−
的值为 ．
33．（2023•连云港）如图，矩形OABC 的顶点A 在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上，顶点B 、C 在第一
象限，对角线
/ /
AC
x轴，交y 轴于点D ．若矩形OABC 的面积是6，
2
cos
3
OAC
=
，则k = ．
34．（2023•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数
(
k
y
k
x
=
为大于0 的常数，
0)
x
图象上的两点
1
(
A x ，
1)
y ，
2
(
B x ，
2)
y
，满足
2
1
2
x
x
=
，ABC
的边
/ /
AC
x轴，边
/ /
BC
y 轴，若OAB
的面积为6，则
ABC
的面积是 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
58 / 78
35．（2023•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上．点A 的坐
标为( ,2)
m
．连接OA，OB ，AB ．若OA
AB
=
，
90
OAB
=
，则k 的值为 ．
36．（2023•新疆）如图，在平面直角坐标系中，OAB
为直角三角形，
90
A
=
，
30
AOB
=
，
4
OB =
．若反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
的图象经过OA的中点C ，交AB 于点D ，则k = ．
37．（2023•达州）如图，一次函数
2
y
x
=
与反比例函数
2
y
x
=
的图象相交于A 、B 两点，以AB 为边作等
边三角形ABC ，若反比例函数
k
y
x
=
的图象过点C ，则k 的值为 ．
38．（2023•深圳）如图，Rt △OAB 与Rt △OBC 位于平面直角坐标系中，
30
AOB
BOC
=
=
，
BA
OA
⊥
，CB
OB
⊥
，若
3
AB =
，反比例函数
(
0)
k
y
k
x
=
恰好经过点C ，则k = ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
59 / 78
39．（2023•陕西）如图，在矩形OABC 和正方形CDEF 中，点A 在y 轴正半轴上，点C ，F 均在x 轴正
半轴上，点D 在边BC 上，
2
BC
CD
=
，
3
AB =
．若点B ，E 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比
例函数的表达式是 ．
40．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，MN 垂直于x 轴，以MN 为对称轴作△
ODE 的轴对称图形，对称轴MN 与线段DE 相交于点F ，点D 的对应点B 恰好落在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象上，点O、E 的对应点分别是点C 、A ，若点A 为OE 的中点，且
1
4
EAF
S
=
，则k 的
值为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
60 / 78
★类型6：动点产生的函数图像 18 题★
1．（2025•齐齐哈尔）如图，在菱形ABCD中，
60
A
=
，
4
AB =
，动点E 从点A 出发沿边AB
BC
→
匀
速运动，运动到点C 时停止，过点E 作AD 的垂线l ，在点E 运动过程中，垂线l 扫过菱形（即阴影部
分）的面积为y ，点E 运动的路程为(
0)
x x
．下列图象能反映y 与x 之间函数关系的是( )
A．
B．
C．
D．
2．（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，
点P 是一个固定观测点，运动点Q 从A 处出发，沿笔直公路AB 向目的地B 处运动．设AQ 为x （单位：
)(0
)
km
x n ，
2
PQ 为y （单位：
2)
km
．如图2，y 关于x 的函数图象与y 轴交于点C ，最低点
( ,81)
D m
，且经过
(1,225)
E
和
( ,225)
F n
两点．下列选项正确的是( )
A．
12
m =
B．
24
n =
C．点C 的纵坐标为240 D．点(15,85) 在该函数图象上
3．（2025•眉山）如图1，在Rt △ABC 中，
90
C
=
，点D 在AC 上，
2
CD =
，动点P 在Rt △ABC 的
边上沿C
B
A
→
→
方向以每秒1 个单位长度的速度匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形
DPEF ．设点P 的运动时间为t 秒，正方形DPEF 的面积为S ．当点P 由点B 运动到点A 时，如图2，S
是关于t 的二次函数．在3 个时刻1t ，2t ，3
1
2
3
(
)
t t
t
t
对应的正方形DPEF 的面积均相等．下列4 个结
论：①当
1
t = 时，
3
S = ；②点P 在线段BA 上时
2
2
16
34
S
t
t
=
−
+
；③
4 2
AD =
；④1
2
4
t
t
+
=
．其中正
确结论的个数为( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
61 / 78
4．（2025•甘肃）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，
90
ACB
=
，点D 为边AB 的中点．动点P 从点
A 出发，沿边AC
CB
→
方向匀速运动，运动到点B 时停止．设点P 的运动路程为x ，△APD 的面积为
y ，y 与x 的函数图象如图2 所示，当点P 运动到CB 的中点时，PD 的长为( )
A．2
B．2.5
C．2 2
D．4
5．（2025•新疆）一辆快车从A 地匀速驶向B 地，一辆慢车从B 地匀速驶向A 地，两车同时出发，各自到
达目的地后停止．两车之间的距离(
)
s km 与行驶时间( )
t h 之间的函数关系如图所示，下列错误的是( )
A．两车出发2h 后相遇 B．A ，B 两地相距280km
C．快车比慢车早3
2 h 到达目的地 D．快车的速度为80
/
km h ，慢车的速度为60
/
km h
6．（2025•山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y （厘米/ 天）和光照强度x
（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围(200
1000)
x
内，y 与x 近似成一次函数关系；在中
高光照强度范围(
1000)
x
内，y 与x 近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论
正确的是( )
A．当
1000
x
时，y 随x 的增大而减小
B．当
2000
x =
时，y 有最大值
C．当
0.6
y
时，
1000
x
D．当
0.4
y =
时，
600
x =
7．（2025•兰州）如图，在正方形ABCD中，
2
AB
cm
=
，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点O 出发
沿O
A
B
→
→
方向以
2
/
cm s 的速度运动，同时点Q 从点C 出发沿C
D
→
方向以1
/
cm s 的速度运动．当点
Q 到达点D 时，P ，Q 同时停止运动．若运动时间为( )
x s ，△CPQ 的面积为
2
(
)
y cm
，则点P 分别在OA，
AB 上运动时，y 与x 的函数关系分别是( )
A．均为一次函数
B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数
D．二次函数，一次函数
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
62 / 78
8．（2024•济南）如图1，△ABC 是等边三角形，点D 在边AB 上，
2
BD =
，动点P 以每秒1 个单位长度
的速度从点B 出发，沿折线BC
CA
−
匀速运动，到达点A 后停止，连接DP ．设点P 的运动时间为( )
t s ，
2
DP 为y ．当动点P 沿BC 匀速运动到点C 时，y 与t 的函数图象如图2 所示．有以下四个结论：①
3
AB =
；②当
5
t = 时，
1
y = ；③当4
6
t
时，1
3
y
；④动点P 沿BC
CA
−
匀速运动时，两个时刻1t ，
2
1
2
(
)
t t
t
分别对应
1y 和
2y ，若1
2
6
t
t
+
=
，则
1
2
y
y
．其中正确结论的序号是( )
A．①②③
B．①②
C．③④
D．①②④
9．（2024•安徽）如图，在Rt △ABC 中，
90
ABC
=
，
4
AB =
，
2
BC =
，BD 是边AC 上的高．点E ，
F 分别在边AB ，BC 上（不与端点重合），且DE
DF
⊥
．设AE
x
=
，四边形DEBF 的面积为y ，则y 关
于x 的函数图象为( )
A．
B．
C．
D．
10．（2024•烟台）如图，水平放置的矩形ABCD中，
6
AB
cm
=
，
8
BC
cm
=
，菱形EFGH 的顶点E ，G
在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，
2 3
EF
cm
=
，
60
E
=
，现将菱形EFGH 以1
/
cm s 的速度沿
BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD重叠部分
的面积
2
(
)
S cm
与运动时间( )
t s 之间的函数关系图象大致是( )
A．
B．
C．
D．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
63 / 78
11．（2024•威海）同一条公路连接A ，B ，C 三地，B 地在A ，C 两地之间．甲、乙两车分别从A 地、
B 地同时出发前往C 地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙
两车之间的距离(
)
y km 与时间( )
x h 的函数关系．下列结论正确的是( )
A．甲车行驶8
3 h 与乙车相遇
B．A ，C 两地相距220km
C．甲车的速度是70
/
km h
D．乙车中途休息36 分钟
12．（2024•甘肃）如图1，动点P 从菱形ABCD的点A 出发，沿边AB
BC
→
匀速运动，运动到点C 时停
止．设点P 的运动路程为x ，PO的长为y ，y 与x 的函数图象如图2 所示，当点P 运动到BC 中点时，
PO的长为( )
A．2
B．3
C．
5
D．2 2
13．（2024•淄博）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从A 地匀速出发，甲健
步走向B 地．途中偶遇一位朋友，驻足交流10min 后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30min ，
跑步到达B 地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．如图表示甲、乙两人之间的距离( )
y m 与
甲出发的时间(
)
x min 之间的函数关系．那么以下结论：①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为
20min；②甲出发86min 时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3600m；③甲、乙两人第二次相遇的时间
是在甲出发后100min；④A ，B 两地之间的距离是11200m．其中正确的结论有( )
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
64 / 78
14．（2024•齐齐哈尔）如图，在等腰Rt ABC
中，
90
BAC
=
，
12
AB =
，动点E ，F 同时从点A 出
发，分别沿射线AB 和射线AC 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E 停止运动时，点F 也随之停止
运动，连接EF ，以EF 为边向下作正方形EFGH ，设点E 运动的路程为(0
12)
x
x
，正方形EFGH 和
等腰Rt ABC
重合部分的面积为y ．下列图象能反映y 与x 之间函数关系的是( )
A．
B．
C．
D．
15．（2024•内蒙古）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同
学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x 表示
时间，y 表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：（1）体育场离该同学家2.5 千米．（2）该同学
在体育场锻炼了15 分钟．（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2 倍．（4）若该同学骑行的平均
速度是跑步平均速度的1.5 倍，则a 的值是3.75．其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
16．（2023•常州）折返跑是一种跑步的形式．如图，在一定距离的两个标志物①、②之间，从①开始，
沿直线跑至②处，用手碰到②后立即转身沿直线跑至①处，用手碰到①后继续转身跑至②处，循环进
行，全程无需绕过标志物．小华练习了一次2 50m
的折返跑，用时18s ．在整个过程中，他的速度大小
(
/ )
v m s 随时间( )
t s 变化的图象可能是( )
A．
B．
C．
D．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
65 / 78
17．（2025•湖北）如图1，在△ABC 中，
90
C
=
，
4
BC
cm
=
，AB
n
=
cm ．动点P ，Q 均以1
/
cm s
的速度从点C 同时出发，点P 沿折线C
B
A
→
→
向点A 运动，点Q 沿边CA 向点A 运动．当点Q 运动到
点A 时，两点都停止运动．△PCQ 的面积S （单位：
2)
cm
与运动时间t （单位：)s 的关系如图2 所示．
（1）m = ；（2）n = ．
18．（2023•烟台）如图1，在ABC
中，动点P 从点A 出发沿折线AB
BC
CA
→
→
匀速运动至点A 后停
止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2 是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲
线DE 的最低点，则ABC
的高CG 的长为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
66 / 78
★类型7：圆综合 21 题★
1．（2025•湖南）如图，北京市某处A 位于北纬40（即
40 )
AOC
=
，东经116，三沙市海域某处B 位
于北纬15（即
15 )
BOC
=
，东经116．设地球的半径约为R 千米，则在东经116所在经线圈上的点
A 和点B 之间的劣弧长约为( )
A．5
72
R
（千米） B．1
12
R
（千米）
C．5
36
R
（千米） D．2
9
R
（千米）
2．（2025•山西）如图，在△ABC 中，
90
BAC
=
，AB
AC
=
，分别以点B ，C 为圆心、BC 的长为半
径画弧，与BA ，CA 的延长线分别交于点D ，E ．若
4
BC =
，则图中阴影部分的面积为( )
A．2
4
−
B．4
4
−
C．8
8
−
D．4
8
−
3．（2025•南充）如图，AB 是
O 的直径，AD
AB
⊥
于点A ，OD 交
O 于点C ，AE
OD
⊥
于点E ，交
O 于点F ，F 为弧BC 的中点，P 为线段AB 上一动点，若
4
CD =
，则PE
PF
+
的最小值是( )
A．4
B．2 7
C．6
D．4 3
4．（2025•德阳）如图，
O 的直径
10
AB =
，DE 是弦，AB
DE
⊥
，CEB
EBD
=
，
3
sin
5
BAC
=
，AD
的延长线与CB 的延长线相交于点F ，DB 的延长线与OE 的延长线相交于点G ，连接CG ．下列结论中
正确的个数是( )
①
3
DBF
DAB
=
；②CG 是
O 的切线；③B ，E 两点间的距离是10 ；④
11 10
9
DF =
．
A．1
B．2
C．3
D．4
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
67 / 78
5．（2022•德阳）如图，点E 是ABC
的内心，AE 的延长线和ABC
的外接圆相交于点D ，与BC 相交
于点G ，则下列结论：①
BAD
CAD
=
；②若
60
BAC
=
，则
120
BEC
=
；③若点G 为BC 的中
点，则
90
BGD
=
；④BD
DE
=
．其中一定正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．（2023•十堰）如图，
O 是△ABC 的外接圆，弦BD 交AC 于点E ，AE
DE
=
，BC
CE
=
，过点O 作
OF
AC
⊥
于点F ，延长FO交BE 于点G ，若
3
DE =
，
2
EG =
，则AB 的长为( )
A．4 3
B．7
C．8
D．4 5
7．（2025•重庆）如图，AB 是
O 的直径，点C 在
O 上，连接AC ．以AC 为边作菱形ACDE ，CD 交
O 于点F ，AB
CD
⊥
，垂足为G ．连接AD ，交
O 于点H ，连接EH ．若
12
AG =
，
5
GF =
，则
DF 的长度为 ，EH 的长度为 ．
8．（2025•泸州）如图，梯形ABCD中，
/ /
AD
BC ，
10
AB
CD
=
=
，
O 与梯形ABCD的各边都相切，且
O 的面积为16，则点B 到CD的距离为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
68 / 78
9．（2025•浙江）如图，矩形ABCD内接于
O ，E 是AD 上一点，连接EB ，EC 分别交AD 于点F ，
G ．若
1
AF = ，
3
EG
FG
=
= ，则
O 的直径为 ．
10．（2025•遂宁）综合与实践﹣硬币滚动中的数学：将两枚半径为r 的硬币放在桌面上，固定白色硬币，
深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r 的硬币连贯的放
在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现
将四枚半径均为r 的硬币按图3、图4 摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一
周，则在图3 与图4 这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ．
11．（2025•河北）2025 年3 月是第10 个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快
降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1 12
−
对应的点均匀分布在一个圆上，数字0 对应
圆心．图中以数字0 ~12 对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半
径为1，则这条线段的长为 ．
（参考数据：
6
2
sin15
4
−
=
，
6
2
sin75
)
4
+
=
眼肌运动训练图
使用方法：以0，1，2，3，
的顺序沿着箭头方向移动
眼球．移动一圈后再回到原
点，反复进行．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
69 / 78
12．（2025•深圳）如图，以矩形ABCD的B 点为圆心，BC 的长为半径作
B ，交AB 于点F ，点E 为
AD 上一点，连接CE ，将线段CE 绕点E 顺时针旋转至EG ，点G 落在
B 上，且点F 为EG 中点．若
1
AF = ，
3
AE = ，则CD的长为 ．
13．（2025•天津）如图，在每个小正方形的边长为1 的网格中，点P ，A 均在格点上．
（Ⅰ）线段PA 的长为 ；
（Ⅱ）直线PA 与△ABC 的外接圆相切于点A ，AB
BC
=
．点M 在射线BC 上，点N 在线段BA 的延长线
上，满足
2
CM
AN
=
，且MN 与射线BA 垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M ，N ，
并简要说明点M ，N 的位置是如何找到的（不要求证明） ．
14．（2024•重庆）如图，以AB 为直径的
O 与AC 相切于点A ，以AC 为边作平行四边形ACDE ，点
D ，E 均在
O 上，DE 与AB 交于点F ，连接CE ，与
O 交于点G ，连接DG ．若
10
AB =
，
8
DE = ，则AF = ，DG = ．
15．（2024•重庆）如图，AB 是
O 的直径，BC 是
O 的切线，点B 为切点．连接AC 交
O 于点D ，
点E 是
O 上一点，连接BE ，DE ，过点A 作
/ /
AF
BE 交BD 的延长线于点F ．若
5
BC =
，
3
CD =
，
F
ADE
=
，则AB 的长度是 ；DF 的长度是 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
70 / 78
16．（2024•绵阳）如图，在矩形ABCD中，点E 在AB 上运动，△ADE 的内切圆与DE 相切于点G ，将
△ADE 沿DE 翻折，点A 落在点F 处，连接BF ．当点E 恰为AB 的三等分点（靠近点
)
A 时，且
5
1
EG =
−，
5
1
DG =
+ ，则cos
ABF
= ．
17．（2024•长春）如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE
AB
⊥
于点E ，交AC
于点F ，DB 交AC 于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①
ABD
DAC
=
；②AF
FG
=
；③当
2
DG =
，
3
GB =
时，
14
2
FG =
；④当
2
BD
AD
=
，
6
AB =
时，DFG
的面积是3 ，上述结论中，正确
结论的序号有 ．
18．（2024•青岛）如图，△ABC 中，BA
BC
=
，以BC 为直径的半圆O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．过
点E 作半圆O的切线，交AB 于点M ，交BC 的延长线于点N ．若
10
ON =
，
3
cos
5
ABC
=
，则半径OC
的长为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
71 / 78
19．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2 且各
有一个顶点在直线l 上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正
六边形的一边与直线l 平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2 中：
（1）
= 度；
（2）中间正六边形的中心到直线l 的距离为 （结果保留根号）．
20．（2023•湖北）如图，在ABC
中，
70
ACB
=
，ABC
的内切圆
O 与AB ，BC 分别相切于点
D ，E ，连接DE ，AO 的延长线交DE 于点F ，则
AFD
= ．
21．（2023•温州）图1 是4
4
方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为
2 ，现将它剪拼成一个“房
子”造型（如图2) ，过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF 作为题字区域（点A ，
E ，D ，B 在圆上，点C ，F 在AB 上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点A ，N ，M 在同
一直线上，
/ /
AB
PN ，
6
DE
EF
=
，则题字区域的面积为 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
72 / 78
★类型8：新定义+数论+代数推理 22 题★
1．（2025•重庆）已知整式
2
0
1
2
:
n
n
M a
a x
a x
a x
+
+
+
+
，其中
0a 为自然数，n ，1a ，
2a ，
，
na 为正整数，
且
0
1
4
n
a
a
a
+
+
+
=
．下列说法：①满足条件的所有整式M 中有且仅有1 个单项式；
②当
3
n = 时，满足条件的所有整式M 的和为
3
2
4
4
4
1
x
x
x
+
+
+ ；
③满足条件的所有二次三项式中，当x 取任意实数时，其值一定为非负数的整式M 共有3 个．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2025•威海）2025 年5 月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进
制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．
二进制数的组成数字为0，1．十进制数22 化为二进制数：
4
3
2
1
0
2
22
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
10110
=
+
+
+
+
=
．
传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22 化为三进制数：
2
1
0
3
22
2 3
1 3
1 3
211
=
+
+
=
．
将二进制数
2
1011 化为三进制数为( )
A．
3
102
B．
3
101
C．
3
110
D．
3
12
3．（2024•无锡）已知y 是x 的函数，若存在实数m ，
(
)
n m
n
，当m x n 时，y 的取值范围是
(
0)
tm y tn t
．我们将m x n称为这个函数的“t 级关联范围”．例如：函数
2
y
x
=
，存在
1
m = ，
2
n =
，
当1
2
x
时，2
4
y
，即
2
t =
，所以1
2
x
是函数
2
y
x
=
的“2 级关联范围”．下列结论：
①1
3
x
是函数
4
y
x
= −+
的“1 级关联范围”；②0
2
x
不是函数
2
y
x
=
的“2 级关联范围”；
③函数
(
0)
k
y
k
x
=
总存在“3 级关联范围”；④函数
2
2
1
y
x
x
= −
+
+ 不存在“4 级关联范围”．
其中正确的为( )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
4．（2024•重庆）已知整式
1
1
1
0
:
n
n
n
n
M a x
a
x
a x
a
−
−
+
+
+
+
，其中n ，
1
na −，，
0a 为自然数，
na 为正整数，
且
1
1
0
5
n
n
n
a
a
a
a
−
+
+
+
+
+
=
．下列说法：①满足条件的整式M 中有5 个整式是单项式；
②不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且仅有3 个；③满足条件的整式M 共有16 个．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
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5．（2024•湖南）在平面直角坐标系xOy 中，对于点
( , )
P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”，特
别地，当y
x
（其中
0)
xy
的值为整数时，称“整点” P 为“超整点”．已知点
(2
4,
3)
P
a
a
−
+
在第二象限，
下列说法正确的是( )
A．
3
a −
B．若点P 为“整点”，则点P 的个数为3 个
C．若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1 个
D．若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10
6．（2024•日照）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两
个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：2，4，进行第1 次构造，得到新的一列
数：2，6，4，第2 次构造后，得到一列数：2，8，6，10，4，，第n 次构造后得到一列数：2，1x ，
2x ，
3x ，，
kx ，4，记
1
2
3
2
4
n
k
a
x
x
x
x
=
+
+
+
+
+
+
．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是( )
A．
3
84
a =
B．
3
na 为偶数
C．
1
3
6
n
n
a
a
+ =
−
D．
2
1
k
n
=
−
7．（2023•济南）定义：在平面直角坐标系中，对于点
1
(
P x ，1)
y
，当点
2
(
Q x ，2)
y
满足
1
2
1
2
2(
)
x
x
y
y
+
=
+
时，
称点
2
(
Q x ，
2)
y
是点
1
(
P x ，
1)
y
的“倍增点”．已知点
1(1,0)
P
，有下列结论：
①点
1(3,8)
Q
，
2( 2, 2)
Q −−
都是点
1P 的“倍增点”；
②若直线
2
y
x
=
+
上的点A是点
1P 的“倍增点”，则点A的坐标为(2,4) ；
③抛物线
2
2
3
y
x
x
=
−
−上存在两个点是点
1P 的“倍增点”；
④若点B 是点
1P 的“倍增点”，则
1PB 的最小值是4 5
5
；其中，正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
8．（2023•重庆）在多项式x
y
z
m
n
−
−
−
−
（其中
)
x
y
z
m
n
中，对相邻的两个字母间任意添加绝对
值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：
|
|
x
y
z
m
n
x
y
z
m
n
−−
−
−=
−
−
+
−
，|
|
|
|
x
y
z
m
n
x
y
z
m
n
−
−−
−
=
−
−
−
+
，．下列说法：
①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有的“绝对操作”共有7 种不同运算结果．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
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9．（2025•成都）分子为1 的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一
个分数拆分成几个单位分数之和，如：3
1
1
5
2
10
=
+
．将3
11 拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，
对于任意奇数(
2)
k k
，将2
k 拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
10．（2025•安徽）对于正整数n ，根据n 除以3 的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m ；若余数为
0，则
3
n
m =
；若余数为1，则
2
m
n
=
；若余数为2，则
1
m
n
=
+ ．这种得到m 的过程称为对n 进行一次“变
换”．对所得的数m 再进行一次变换称为对n 进行二次变换，依此类推．例如，正整数
4
n =
，根据4 除以
3 的余数为1，由4 2
8
= 知，对4 进行一次变换得到的数为8，根据8 除以3 的余数为2，由8 1 9
+ =
知，
对4 进行二次变换得到的数为9；根据9 除以3 的余数为0，由9
3
3
=
知，对4 进行三次变换得到的数为
3．
（1）对正整数15 进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n 进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n 的值之和为 ．
11．（2025•重庆）我们规定：一个四位数M
abcd
=
，若满足
10
a
b
c
d
+
= +
=
，则称这个四位数为“十全
数”．例如：四位数1928，因为1 9
2
8
10
+
=
+
=
，所以1928 是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全
数”是 ；一个“十全数” M
abcd
=
，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换
位置，得到一个新的数M
dcba
=
，记
(
)
909
M
M
F M
−
=
，(
)
11
M
M
G M
+
=
．若4 (
)
(
)
15
13
F M
G M
+
+
与
17
ab
cd
+
均是整数，则满足条件的M 的值是 ．
12．（2025•湖南）已知，a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，记
( )
( )
k
k
a
b
t
c
c
=
+
，其中k 为整数．
（1）若三角形为等边三角形，则t = ；
（2）下列结论正确的是 ．（写出所有正确的结论）
①若
2
k =
，
1
t = ，则△ABC 为直角三角形；
② 若
1
1,
2,
1
2
k
a
b
c
=
=
+
= ，则5
11
t
；
③ 若
5
1,
3
k
t
=
，a ，b ，c 为三个连续整数，且a
b
c
，则满足条件的△ABC 的个数为7．
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13．（2025•长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要．青少年迈开人生第一步就要走正道，要严
格遵守国家法律法规．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理
过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的．
命题：如果a ，b ，c 为实数，且满足a
b
c
+
= −．那么2
1
= ．
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有a
b
c
+
= −；①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有
2
a
a
a
=
−
，
2
b
b
b
=
−
，
2
c
c
c
=
−；②
第三步：把②代入①，可得(2
)
(2
)
(2
)
a
a
b
b
c
c
−
+
−
= −
−
；③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(
)
(
)
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
；④
第五步：把④两边同时除以(
)
a
b
c
+
+
，得2
1
= ．⑤
请你判断上述推理过程中，第 步是错误的，它违背了数学的基本法则．
14．（2025•宜宾）已知
1a 、
2a 、
3a 、
4a 、
5a 是五个正整数，去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种
情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
+
+
+
+
= ．
15．（2025•新疆）对多项式A，B ，定义新运算“⊕”：A⊕
2
B
A
B
=
+
；对正整数k 和多项式A ，定义新
运算“”：
A
A
A
A
k
A
k
A
=
个
（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．已知正整数m ，n 为常数，记
2
(
31
)
M
m
x
xy
=
+
，
2
(
14
)
N
n
y
xy
=
−
，若M ⊕N 不含xy 项，则mn = ．
16．（2024•重庆）我们规定：若一个正整数A能写成
2
m
n
−
，其中m 与n 都是两位数，且m 与n 的十位数
字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成
2
m
n
−
的过程，称为“方减分解”．例如：
因为
2
602
25
23
=
−
，25 与23 的十位数字相同，个位数字5 与3 的和为8，所以602 是“方减数”，602 分
解成
2
602
25
23
=
−
的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”
A进行“方减分解”，即
2
A
m
n
=
−
，将m 放在n 的左边组成一个新的四位数B ，若B 除以19 余数为1，且
2
2
(
m
n
k
k
+
=
为整数），则满足条件的正整数A为 ．
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17．（2024•重庆）一个各数位均不为0 的四位自然数M
abcd
=
，若满足
9
a
d
b
c
+
=
+
=
，则称这个四位数
为“友谊数”．例如：四位数1278，1 8
2
7
9
+ =
+
=
，1278
是“友谊数”．若abcd 是一个“友谊数”，且
1
b
a
c
b
−
= −
= ，则这个数为 ；若M
abcd
=
是一个“友谊数”，设
(
)
9
M
F M =
，且
(
)
13
F M
ab
cd
+
+
是
整数，则满足条件的M 的最大值是 ．
18．（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46 周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为
在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，
5，6，7，8，9 这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后
加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010 年对应的四位数是2010)，
得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参
与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 ．
19．（2024•大庆）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2 倍的点，则把该函数称为“倍值函数”．该
点称为“倍值点”．例如：
“倍值函数”
3
1
y
x
=
+ ，其“倍值点”为( 1, 2)
−−
．下列说法不正确的序号为 ．
①函数
2
4
y
x
=
+
是“倍值函数”；
②函数
8
y
x
=
的图象上的“倍值点”是(2,4) 和( 2, 4)
−
−
；
④ 若关于x 的函数
2
1
(
1)
4
y
m
x
mx
m
=
−
+
+
的图象上有两个“倍值点”，则m 的取值范围是
4
3
m
；
⑤ 若关于x 的函数
2
(
2)
4
2
n
k
y
x
m
k
x
=
+
−
+
+
−
的图象上存在唯一的“倍值点”，且当1
3
m
−
时，n 的最
小值为k ，则k 的值为3
5
2
−−
．
20．（2023•成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且
1
m
n
−
，则称这个正
整数为“智慧优数”．例如，
2
2
16
5
3
=
−
，16 就是一个智慧优数，可以利用
2
2
(
)(
)
m
n
m
n m
n
−
=
+
−
进行研
究．若将智慧优数从小到大排列，则第3 个智慧优数是 ；第23 个智慧优数是 ．
★2026 中考数学（选择题+填空题）拔高题 共8 类275 题★
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21．（2023•重庆）如果一个四位自然数abcd 的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab
bc
cd
−
=
，那
么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，41 12
29
−
=
，4129
是“递减数”；又如：四位数5324，
53 32
21
24
−
=
，
5324
不是“递减数”．若一个“递减数”为312
a
，则这个数为 ；若一个“递减
数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd 的和能被9 整除，则满足条件的数的
最大值是 ．
22．（2023•重庆）对于一个四位自然数M ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，
则称M 为“天真数”．如：四位数7311，7 1
6
−=
，3 1
2
−=
，7311
是“天真数”；四位数8421，8 1
6
−
，
8421
不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数” M 的千位数字为a ，百位数字为
b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记
(
)
3(
)
P M
a
b
c
d
=
+
+
+
，
(
)
5
Q M
a
=
−
，若
(
)
(
)
P M
Q M 能被10 整除，则
满足条件的M 的最大值为 ．
