2026《中考数学•计算题》专项练习(416题)答案_初中数学中考压轴2026《中考数学压轴题》+《基础打卡系列》+《专项训练题》（基础提高400+计算专训416+压轴题417）(1)

第1页（共50页） 
2026 中考基础计算题专项练习416 题参考答案 
类型一：实数的运算60 题 
1．计算：
2022
0
1
1
( 1)
|1
3 | (
2022)
( )
2sin60
2

−
−
+
−
−
−
+
−
． 
【解答】解：
2022
0
1
1
( 1)
|1
3 | (
2022)
( )
2sin60
2

−
−
+
−
−
−
+
−
 
3
1
3
1 1
2
2
2
= +
−−+
−
 
1
3 1 1 2
3
= +
−−+
−
 
1
= ． 
2．计算：
0
1
3
1
| 4 | ( 3
1)
2cos45
(
)
8
2
−
−
−
−
+
+ −
+
−． 
【解答】解：原式
2
4 1
2
( 2)
( 2)
2
=
−+ 
+ −
+ −
 
2
1
=
−． 
3．计算：
2
0
2025
5
1
( 2)
(
)
( 1)
|
3 |
sin60
2

−
−
−
−
+ −
−−
+
． 
【解答】解：原式
3
2 1 1
3
2
=
−−−
+
 
3
2
= −
． 
4．计算：
1
0
1
|
3 | 2sin60
( )
(2025
)
4
3

−
−
−
+
+
−
+
． 
【解答】解：
1
0
1
|
3 | 2sin60
( )
(2025
)
4
3

−
−
−
+
+
−
+
 
3
3
2
3 1
2
2
=
−
+ + +
 
3
3
3 1
2
=
−
+ + +
 
6
=
． 
5．计算：
0
1
3
3
1
(
5)
2 cos45
| 3| ( )
( 3)
2

−
−
+
−−
+
−
−
． 
【解答】解：
0
1
3
3
1
(
5)
2 cos45
| 3| ( )
( 3)
2

−
−
+
−−
+
−
−
 
2
1
2
3
2
( 3)
2
= +

−+
−−
 
1 1 3
2
3
= + −+
+ 
4
=
． 
6．计算：
2
0
1
|1
2 | (
)
(3.14
)
2 sin45
3

−
−
+ −
+
−
−

． 
【解答】解：原式
2
2
1 9 1
2
2
=
−+
+ −

 
2
1 9 1 1
=
−+
+ − 
8
2
= +
． 
7．计算：
0
1
1
1
( 2025)
( )
2cos60
|1
3 |
27
6
3
−
−
−
+
−
−
−

． 
【解答】解：
0
1
1
1
( 2025)
( )
2cos60
|1
3 |
27
6
3
−
−
−
+
−
−
−

 
1
1
1
6
2
( 3
1)
3 3
2
3
= −
+

−
−
−

 
1 6 1
3
1
3
= −+ −
+ −
 
3
2 3
= −−
． 
8．计算：
1
0
1
2sin30
(
)
(
2022)
|
3
2|
12
3

−
+ −
+
−
−
−
−
． 
【解答】解：原式
1
2
3 1
(2
3)
2 3
2
=

−
+ −
−
−
 
1 3 1 2
3
2 3
= −+ −
+
−
 
3
3
= −−
． 
9．计算：
2
1
0
4
sin60
cos 45
| (
)
(3.14
) |
32
3

−

−
−
−
−
+
． 
【解答】解：
2
1
0
4
sin60
cos 45
| (
)
(3.14
) |
32
3

−

−
−
−
−
+
 
2
3
2
3
(
)
| (
) 1| 4 2
2
2
4
=

−
−
−
+
 
3
1
7
|
| 4 2
2
2
4
=

−−
+
 
3
7
4 2
4
4
=
−
+
． 
10．计算：
0
2022
12
(3.14
)
3tan60
|1
3 | ( 1)

+
−
−
+
−
+ −
． 
【解答】解：
0
2022
12
(3.14
)
3tan60
|1
3 | ( 1)

+
−
−
+
−
+ −
 
2 3
1 3 3
3 1 1
=
+ −
+
−+ 
1
= ． 
11．计算：
0
2
2024
1
(3
)
| 12
2| ( )
4sin60
( 1)
3

−
−
+
−
+
−
+ −
． 
【解答】解：
0
2
2024
1
(3
)
| 12
2| ( )
4sin60
( 1)
3

−
−
+
−
+
−
+ −
 
3
1
(2 3
2)
9
4
1
2
= +
−
+
−
+ 
1 2 3
2
9
2 3
1
= +
−+ −
+ 
9
=
． 
12．计算：
2
0
3
1
(
)
|
2 | (2024
)
2sin 45
8
2

−
−
+ −
−
−
−
+
−． 
第2页（共50页） 
【解答】解：
2
0
3
1
(
)
|
2 | (2024
)
2sin 45
8
2

−
−
+ −
−
−
−
+
− 
2
4
2
1
2
( 2)
2
=
+
−−
+ −
 
4
2
1
2
( 2)
=
+
−−
+ −
 
1
= ． 
13．计算：
2
0
1
8
(
)
|
2
3 | (2024
)
2tan60
2
2

−
−
+
−
−
−
+
+
． 
【解答】解：
2
0
1
8
(
)
|
2
3 | (2024
)
2tan60
2
2

−
−
+
−
−
−
+
+
 
4
( 3
2)
1
2 3
2
=
+
−
−+
+
 
4
3
2
1 2 3
2
=
+
−
−+
+
 
3
3 3
=
+
． 
14．计算：
2024
0
1
3 1
1
|1
2 | (
3.14)
( 1)
cos60
8

−
−
−
−
+
−
−
+ −
+
． 
【解答】解：原式
1
1
1 1
2
1
1
2
2
= −+ −
+ −
−+
 
2
= −
． 
15．计算：
0
1
4
1
12
(3
)
( )
1
tan60
2

−
−
−
−
+
+

． 
【解答】解：
0
1
4
1
12
(3
)
( )
1
tan60
2

−
−
−
−
+
+

 
4
2 3
1
2
1
3
=
−
−+
+
 
2 3
2( 3
1)
1
2
=
−
−
−+
 
2 3
2 3
2 1
2
=
−
+
−+
 
3
=
． 
16．计算：
1
0
1
| 2| (
)
( 3
2)
( 3
2)
(
2025)
2

−
−
+ −
+
+

−
−
−
． 
【解答】解：原式
2
2
3
4 1
=
−+ −− 
2
= −． 
17．计算：
0
2
1
(3.14
)
( )
2cos60
|1
3 |
12
2

−
−
−
+
−
−
+
． 
【解答】解：
0
2
1
(3.14
)
( )
2cos60
|1
3 |
12
2

−
−
−
+
−
−
+
 
1
1
4
2
( 3
1)
2 3
2
= −
+

−
−
+
 
1 4 1
3
1 2 3
= −+ −
+ +
 
3
1
=
−． 
18．计算：
2025
0
1
3
3
1
( 1)
8
12
(
3.14)
( )
2
2

−
−
+
−

+
−
+
． 
【解答】解：
2025
0
1
3
3
1
( 1)
8
12
(
3.14)
( )
2
2

−
−
+
−

+
−
+
． 
3
1
2
2 3
1
2
2
= −+
−

+ +
 
1
2
3 1
2
= −+
−+ +
 
1
= ． 
19．计算题： 
（1）
2024
2
3
1
| 3
2|
27
( 3)
−
+
−
−−
+
−
； 
（2）
2
0
2023
2024
1
1
(
)
(2024
)
(
)
( 3)
2
3

−
−
−
−
+ −
−
． 
【解答】解：（1）原式
1 2
3
3
3
= −+
−
+ +
 
7
3
=
−
； 
（2）原式
2023
1
4
1 [(
)
( 3)]
( 3)
3
=
−+
−
−
−
 
4
1 1 ( 3)
=
−+ −
 
4 1 3
=
−− 
0
=
． 
20．计算：
2
0
3
3
( 2)
|
3
2| (
)
8
2cos30
2
−
−
−
−
+ −
−
−
． 
【解答】解：
2
0
3
3
( 2)
|
3
2| (
)
8
2cos30
2
−
−
−
−
+ −
−
−
 
1
3
2
3
1
2
2
4
2
=
−
+
+ −
−
 
3
2 4
= −
． 
21．计算：
2
2
0
3
1
2
( )
(
5)
125
3

−
−
+
+
−
+
−
． 
【解答】解：原式
4
9 1 5
= −+ + −
 
1
= ． 
22．化简：
0
2
9
3
6
18
( 3
2)
(1
2)
2
3
+
−
−
+
−
+
−
． 
【解答】解：原式
3
3 2
2
(1
2)
1 |1
2 |
2
=
−
−
+
+ +
−
 
3
3 2
2
1
2
1
2
1
2
=
−
−−
+ +
− 
3
2
1
2
=
−． 
23．计算：
0
2
12
(3.14
)
3tan60
|1
3 | ( 2)

−
+
−
−
+
−
+ −
． 
第3页（共50页） 
【解答】解：原式
1
2 3
1
3
3
3
1
4
=
+ −
+
−+
 
1
2 3
1
3 3
3
1
4
=
+ −
+
−+
 
1
4
=
． 
24．计算：
2
0
2
1
8 |
2 | ( 2 3)
(
3.14)
( )
2

−
−−
+ −
−
−

． 
【解答】解：原式
2 2
2
12 1 4
=
−
+
−
 
2
8
=
+
． 
25．计算：
2024
0
1
1
|
sin45 | (3.14
)
( 2)
9

−
−
−−
+
−
+
−
． 
【解答】解：
2024
0
1
1
|
sin45 | (3.14
)
( 2)
9

−
−
−−
+
−
+
−
 
2
2
1
1
3
2
2
= −−
+ +
− 
3
= −． 
26．计算：
0
2
1
| 4
12 | (
3.14)
(1
cos30 )
(
)
3

−
−
−
−
−
+
−
−
． 
【解答】解：原式
3
(4
2 3) 1
(1
) 9
2
= −
−
−+
−

 
9
4
2 3
1
3
9
2
= −+
−−
+
 
5
4
3
2
=
−
． 
27．计算：
1
2020
2020
1
2
|
6
3| 2 3sin45
( 2)
( )
2
−+
−
+
−−
． 
【解答】解：原式
2020
1
2
1
3
6
2 3
( 2
)
2
2
2
=
+ −
+

−−
 
1
3
6
6
1
2
=
+
−
+
− 
1
2 2
=
． 
28．计算：
2
0
3
1
| 5| (
)
( 9
)
64
tan 45
2

−
−−
+ −
−
−
+
−
． 
【解答】解：原式
5
4 1
4 1
= −+
−+
− 
1
= ． 
29．计算：
0
2
12
(3.14
)
3tan60
|1
3 | ( 2)

−
+
−
−
+
−
+ −
． 
【解答】.解：
0
2
12
(3.14
)
3tan60
|1
3 | ( 2)

−
+
−
−
+
−
+ −
 
1
2 3
1
3 3
3
1
4
=
+ −
+
−+
 
1
4
=
． 
30．计算：
2017
2
2
0
3
1
1
|1
tan60 |
( 2)
( )
(2017
)
3
2

−
−
−
−
+
−

+
−
． 
【解答】解：原式
3
1 |1
3 | 2 4 1
3
= −−
−

+ 
+ 
1 0
8 1
= −−
+ + 
8
=
． 
31．计算：
0
3
2
1
2024
|
|
32
3sin30
(
)
2
2
2025
−
−

+
−
； 
【解答】解：（1）原式
2
3
1
1
32
3
1
2
2
2
−
=
−

+

− 
3
3
1
16
1
2
2
= −
−
+
− 
3
3
1
4
1
2
2
= −
−
+
− 
4
= −； 
32．计算：
0
1
1
1
(
)
3tan30
( )
4
|
3 |
3
2
−
−
+
+
−
+ −
． 
【解答】解：原式
3
1 3
2
2
3
3
= + 
+
−
+
 
1
3
2
2
3
= +
+
−
+
 
1 2 3
= +
． 
33．计算：
0
2
1
(2 3
)
|1
3 | 3tan30
(
)
2

−
−
−
−
+
+ −
． 
【解答】解：
0
2
1
(2 3
)
|1
3 | 3tan30
(
)
2

−
−
−
−
+
+ −
 
3
1
( 3
1)
3
4
3
= −
−
+ 
+
 
1
3
1
3
4
= −
+ +
+
 
6
=
． 
34．计算：
0
1
2
1
|
3 | (
2025)
(
)
( 5)
2cos30
3

−
−
−
−
+ −
−
−
． 
【解答】解：原式
3
3
1
( 3)
5
2
2
=
−+ −
−
−
 
3 1 3 5
3
=
−−−−
 
9
= −． 
35．计算：
1
0
3
1
| 2|
3
( 3
2)
27
−
−
−−
−
+
−
． 
【解答】解：
1
0
3
1
| 2|
3
( 3
2)
27
−
−
−−
−
+
−
 
1
1
2
(
)
1
3
3
=
−−
−
+ 
1
1
2
1
3
3
=
+
−
+ 
3
=
． 
第4页（共50页） 
36．计算：
3
2( 2
1)
25
64
|1
2 |
−
+
+
−
+
−
． 
【解答】解：原式
2
2
5
4
2
1
2
=
−
+ −
+
−=
． 
37．计算
． 
【解答】解
 
＝
 
＝
 
＝
． 
38．计算：
2
1
1
( 3)
2 sin 45
|1
2 | ( )
2
−
−
−

+
−
+
． 
【解答】解：原式
2
3
2
2
1
2
2
=
−
+
−+
 
3
2
2
1 2
= −
+
−+
 
4
=
． 
39．计算：
2026
1
2tan60
|1
3 |
4
−
+
−
−
+
． 
【解答】解：原式
1
2 3
( 3
1)
2
= −+
−
−
+
 
1
2 3
3
1
2
= −+
−
+ +
 
2
3
=
+
． 
40．计算：
1
0
2
( )
cos60
| 2
5 | (2025
)
3

−−
+
−
+
−
． 
【解答】解：原式
3
1
5
2
1
5
2
2
=
−
+
−
+ =
． 
41．计算：
2
0
2025
3
1
2
8
(
3.14)
( 1)
4

−

−
+
−
−
． 
【解答】解：
2
0
2025
3
1
2
8
(
3.14)
( 1)
4

−

−
+
−
−
 
1
4
2
1 ( 1)
2
= −
−
+ −
 
2
2
1
= −−
− 
5
= −． 
42．计算：
0
2025
(
3.14)
2cos60
|1
2 | ( 1)
−
+
−
−
+ −
． 
【解答】解：原式
1
1
2
( 2
1)
1
2
= +

−
−
− 
1 1
2
1 1
= + −
+ − 
2
2
=
−
． 
43．计算：
0
1
2
1
(
3.14)
(
)
| 2
3 | ( 3)
3tan30
2

−
−
+ −
+
−
+
+
． 
【解答】解：
0
1
2
1
(
3.14)
(
)
| 2
3 | ( 3)
3tan30
2

−
−
+ −
+
−
+
+
 
3
1
( 2)
2
3
3
3
3
= + −
+
−
+ + 
 
1 2
2
3
3
3
= −
+
−
+ +
 
4
=
． 
44．计算：
2
0
1
5
1
(
)
4cos30
27
(
)
|1
3 |
2
2
−
−
−
+
−
+
+
−
． 
【解答】解：原式
3
4
4
3 3
1
3
1
2
=
+ 
−
+ +
− 
4
2 3
3 3
1
3 1
=
+
−
+ +
− 
4
=
． 
45．计算：
0
1
1
|
2 | ( 2
3)
3
sin60
( )
3
−
−
−
−
+

−
． 
【解答】解：原式
3
2
1
3
3
2
=
−+

−
 
3
2
1
3
2
=
−+
−
 
5
2
2
=
−
． 
46．计算：
0
3
1
(
3.14)
48 |
3
2| 6cos30
(
)
3

−
−
−
−
−
+
−−
． 
【解答】解：
0
3
1
(
3.14)
48 |
3
2| 6cos30
(
)
3

−
−
−
−
−
+
−−
 
3
1
4 3
(2
3)
6
( 27)
2
= −
−
−
+ 
−−
 
1 4 3
2
3
3 3
27
= −
−
+
+
+
 
26
=
． 
47．计算：
0
2
1
(
2025)
(
)
| 3
2 3 |
27
tan 45
2

−
−
+ −
−
−
+
−
． 
【解答】解：
0
2
1
(
2025)
(
)
| 3
2 3 |
27
tan 45
2

−
−
+ −
−
−
+
−
 
1
4
(2 3
3)
3 3
1
= +
−
−
+
− 
1 4
2 3
3
3 3 1
= +
−
+ +
− 
7
3
=
+
． 
48．计算：
2025
1
0
1
22
( 1)
|1
2sin60 | (
)
(
)
2
7

−
−
+
−
−−
+
−
． 
第5页（共50页） 
【解答】解：原式
3
1 |1
2
| 2 1
2
= −+
−
+ + 
1
3 1 2 1
= −+
−+
+ 
3
1
=
+ ． 
49．计算：
0
1
3
1
| 2025| 2sin30
( )
8
3

−
+ −
+
−
+
−． 
【解答】解：原式
1
1
2025
2
3
2
2
= +
+

−
−
 
1 2025 1 3
2
= +
+ −−
 
2022
=
． 
50．计算：
0
1
3
1
( 36
1)
|
3
2| 2cos30
( )
27
3
−
−
+
−
+
−
−
−
． 
【解答】解：原式
0
3
(6 1)
2
3
2
3
( 3)
2
=
−
+
−
+ 
−−−
 
1
2
3
3
3
3
= +
−
+
−+ 
3
=
． 
51．计算：
 
【解答】解：原式＝1+
﹣2+5﹣
 
＝4． 
52．计算：
2025
0
1
2
1
1
(
3.14)
( )
( 5)
2tan 45
3

−
−
+
−
+
+
−
． 
【解答】解：原式
1 1 3
5
2 1
= −+ + + − 
1 1 3
5
2
= −+ + + −
 
6
=
． 
53．计算：
2025
2
0
1
( 1)
|1
2 | (
)
(
3.1)
2sin45
3

−
−
+
−
−−
+
−
−
． 
【解答】解：原式
2
1
2
1 9
1
2
2
= −+
−−
+ −
 
1
2
1 9 1
2
= −+
−−+ −
 
10
= −
． 
54．计算：
2025
0
1
1
( 1)
(3.14
)
( )
|
4 | 2cos30
2

−
−
+
−
+
+ −
−
． 
【解答】解：原式
3
1 1
2
2
2
2
= −+ +
+
−
 
1 1 2
2
3
= −+ +
+
−
 
4
3
=
−
． 
55．计算：
． 
【解答】解：
 
＝3﹣1+（﹣1）﹣
+
 
＝1． 
56．计算：
3
0
1
( )
|
3
2| (4 3
3)
48
2
−+
−
−
−
+
． 
【解答】解：原式
8
2
3 1 4 3
= +
−
−+
 
3 3
9
=
+
． 
57．计算：
1
0
2
1
2cos45
( )
| 2 2
2| (2025
)
( 2)
3

−
+
−
−
+
−
−
． 
【解答】解：原式
2
2
3
2 2
2 1
2
2
=

+ −
+
+ −
 
2
3
2 2
2 1 2
=
+ −
+
+ −
 
4
2
=
−
． 
58．计算：
1
0
1
( )
2cos45
8
(
2)
|
2 |
3

−+
−
−
+
+ −
． 
【解答】解：原式
2
3
2
2 2
1
2
2
=
+ 
−
−+
 
3
2
2 2
1
2
= +
−
−+
 
2
=
． 
59．计算：
1
0
1
(
)
(
3)
4cos45
| 2 2
3|
3

−
−
−
−
+
+
−
． 
【解答】解：原式
2
3 1
4
3
2 2
2
= −−+ 
+ −
 
3 1 2 2
3
2 2
= −−+
+ −
 
1
= −． 
60．计算：
2025
0
2
1
1
(
3.14)
(
)
2sin45
|
2
2|
3

−
−
+
−
+ −
+
+
−
． 
【解答】解：原式
2
1 1 9
2
2
2
2
= −+ +
+ 
+
−
 
1 1 9
2
2
2
= −+ + +
+
−
 
11
=
． 
 
类型二：二次根式的运算46 题 
1．计算：
2
2
1
1
( 3
2) (5
2 6) | 2 2
3|
(
)
2
2
−
−
+
−
−
+
−
． 
【解答】解：原式
1
(5
2 6) (5
2 6)
2 2
3
4
2
=
−
+
+
−
+

 
1
2 2
3
2
= +
−+
 
第6页（共50页） 
2 2
=
． 
2．计算：
2
1
1
4 2
3
( 3
2)
2
3
2

−
+
+
−
． 
【解答】解：原式
2
3
2 6
(3
2
2 6)
( 3
2)( 3
2)
+
=
−
+
+
+
−
+
 
2 6
5
2 6
(2
3)
=
−
−
−
+
 
2 6
5
2 6
2
3
=
−−
−
−
 
7
3
= −−
． 
3．计算：
2
0
1
3
2
|
3
2 | (
)
(2022
)
2
2
3
1
−
−
+ −
−
−
+
+
． 
【解答】解：原式
2( 3
1)
2
3
4
1
( 3
1)( 3
1)
−
=
−
+
−+
+
−
 
2
3
4 1
3
1
=
−
+
−+
− 
4
=
． 
4．计算． 
（1）
3
1
1
4
1
(
)
27
48 |
3
2|
2
3
3
4
−
−
+

−
−
−
； 
（2）
0
2
2
18
6
(2024
)
tan30
sin 68
cos 68
2

−
−
+
−
+
+
． 
【解答】解：（1）
3
1
1
4
1
(
)
27
48 |
3
2|
2
3
3
4
−
−
+

−
−
−
 
1
4
1
8
27
4 3
(2
3)
3
3
4
= −+

−

−
−
 
1
8
36
3
2
3
3
= −+

−
−
+
 
1
8
6
3
2
3
3
= −+

−
−
+
 
8
2
3
2
3
= −+
−
−
+
 
8
= −； 
（2）
0
2
2
18
6
(2024
)
tan30
sin 68
cos 68
2

−
−
+
−
+
+
 
18
6
3
1
1
3
2
2
= +
−
−
+ 
3
1
9
3
1
3
= +
−
−
+ 
3
1
3
3
1
3
= +
−
−
+ 
4 3
5
3
=
−
． 
5．计算：
3
( 7
3)( 7
3)
4
(
) | 2
5 |
2
+
−
+
−
−
−
． 
【解答】解：
3
( 7
3)( 7
3)
4
(
) | 2
5 |
2
+
−
+
−
−
−
 
7
3
( 6)
( 5
2)
=
−
+ −
−
−
 
7
3
6
2
5
=
−−+
−
 
5
= −
． 
6．计算：
2
2
2024
3
( 3)
(
)
cos60
|
3
2| ( 1)
3
−
−
−−
+
−
−
+ −
； 
【解答】解：（1）原式
1
3
3
(2
3)
1
2
=
−
+
−
−
+ 
1
3
3
2
3
1
2
=
−
+
−
+
+ 
1
3
2
=
−
； 
7．计算：
2
1
( 3)
(
)
2 |
3
2 | ( 3 3)
( 3)
2
−
+ −
−
−
−−
−
． 
【解答】解：原式
9
1
(2
3)
3
=
−−
−
−
 
9 1 2
3
3
=
−−
+
−
 
6
=
． 
8．计算：
2
1
6
( 5
1)( 5
1)
(
)
12 |
|
2
2
−
−
+
−−
+
−
． 
【解答】解：原式
6
5 1
4
2 3
3 2
2
=
−−
+

=
． 
9．计算：
2
1
3
1
(1 )
(
)
3
12
(
)
2
4
1
3
−
−
+

−
−
 
【解答】解：原式
2
3
4
(
)
3 12
(1
3)
2
3
=
−
+

−
−
 
2
6
(1
2 3
3)
= −+
−
−
+
 
4
4
2 3
=
−
+
 
2 3
=
． 
10．计算：
1
1
3
1
1
| 2
3 | ( )
27
2
3
2
−
+
−
+
+
+
． 
【解答】解：
1
1
3
1
1
| 2
3 | ( )
27
2
3
2
−
+
−
+
+
+
 
3
2
2
3
2
3
( 3
2)( 3
2)
−
=
+
−
+
+
+
−
 
第7页（共50页） 
3
2
2
3
2
3
=
−
+
−
+
+ 
7
2
=
−
． 
11．计算：
0
2
2
1
(2020
sin30 )
12
(
)
tan60
1
3
−
−
+

−
+ −
−
． 
【解答】解：
0
0
2
0
2
1
(2020
sin30 )
12
(
)
tan60
1
3
−
−
+
−
+ −
−
 
2
1
2 3
9
3
1
=
−−
+
−
 
3
1 1 2 3
9
=
+ −−
+
 
3
9
= −
+
． 
12．计算：
2
0
1
( 5
1)( 5
1)
(
)
|1
2 | (
2)
8
3

−
−
+
−−
+
−
−
−
+
． 
【解答】解：原式
5 1 9
2
1 1 2 2
= −−+
−−+
 
7
3 2
= −+
． 
13．计算：
1
48
3
12
24
2

−

+
． 
【解答】解：原式
48
1 12
2 6
3
2
=
−

+
 
4
6
2 6
=
−
+
 
4
6
=
+
． 
14．计算：
2012
2013
0
3
(2
3)
(2
3)
2|
| (
2)
2
−
+
−
−
−−
． 
【解答】解：
2012
2013
0
3
(2
3)
(2
3)
2|
| (
2)
2
−
+
−
−
−−
 
2012
[(2
3)(2
3)]
(2
3)
3
1
=
−
+
+
−
− 
2
3
3 1
=
+
−
− 
1
= ． 
15．计算：
1
0
1
1
12
( )
(
3.14)
| 2 3
4|
2
3
1

−
−
+
−
−
+
−
−
． 
【解答】解：原式
3
1
2 3
2
1
4
2 3
2
+
=
−
+
−+
−
 
3
3
2
+
=
． 
16．计算：
2012
2013
0
3
( 3
2)
( 3
2)
2|
| (
3)
2
−
+
−
−
−−
． 
【解答】解：原式
2012
3
[( 3
2)( 3
2)]
( 3
2)
2
1
2
=
−
+
+
−
− 
3
2
3 1
=
+
−
− 
1
= ． 
17．计算：
2
2
( 3
2)( 3
2)
( 2)
|1
3 |
3
1
−
−
+
+
−
−
−
+
． 
【解答】解：原式
2( 3
1)
1
3
2
( 3
1)
2
( 3
1)( 3
1)
−
=
−
+
−
−
−
+
−
 
1
3
2
3
1
3
1
2
=
−
+
−−
−
+ 
1
2
=
． 
18．计算：
1
2
1
1
8
( )
3
(1
2)
3
3
2
−
−
−

+
−
−
． 
【解答】解：原式
2
3
1
2 2
3
1
2 2
2
(2
3)(2
3)
3
+
=
+
−
+ −
+
−
+
 
2 2
2
3
3
3
2 2
=
+
+
−
+ −
 
5
=
． 
19．计算：
1
0
1
2
(
)
(3.14
)
|
2
2 |
3
2
2

−
−
−
−
+
−
−
+
． 
【解答】解：原式
2(2
2)
3
1
2
2
(2
2)(2
2)
−
= −−+
−
−
+
−
 
4
2
2
(2
2)
= −+
−
−
−
 
2
2
2
2
= −−
−
+
 
4
= −． 
20．化简：
2
2 0.5
(2 3
3 2)(2 3
3 2)
( 2
2)
−
+
−
+
−
 
【解答】解：
2
2 0.5
(2 3
3 2)(2 3
3 2)
( 2
2)
−
+
−
+
−
 
2
2
2
2
(2 3)
(3 2)
2
2
2
=

−
+
+
−
 
2
12 18
2
2
=
−
+
+
−
 
8
=
． 
21．计算： 
（1）
1
48
3
12
24
2

−

+
． 
（2）
2
(2 5
3)
( 5
2)( 5
2)
+
−
+
−
． 
【解答】解：（1）原式
1
48
3
12
2 6
2
=

−

+
 
第8页（共50页） 
4
6
2 6
=
−
+
 
4
6
=
+
； 
（2）原式
20
4 15
3
(5
2)
=
+
+
−
−
 
20
4 15
=
+
． 
22．计算题： 
0
1
1
1
4sin 45
( 8
2)
( )
3( 3
6)
3
2
1
−
+
−
−
+
−
+
−
． 
【解答】解：原式
2
4
1 3
3
3 2
2
1
2
=

+ −+ −
+
+ 
2 2
1 3
3 3 2
2
1
=
+ −+ −
+
+ 
2
=
． 
23．计算：
12
6
1
(
)
6
6
18
3
2
−
+
−
． 
【解答】解：
12
6
1
(
)
6
6
18
3
2
−
+
−
 
2 3
6
(
3
2)
6
6
3 2
=
−
+
+
 
3
(
2
3
2)
6
3
=
−
+
+
 
4 3
6
3
=

 
4 2
=
． 
24．计算：
0
1
( 2017
1)
|
2
2| ( 2
1)
2sin30
−
−
+
−
+
−
−
． 
【解答】解：原式
1
1
1
2
2
2
2
2
1
= +
−
+
−

−
 
3
2
2
1 1
= −
+
+ − 
3
=
． 
25．计算：
0
1
( 3
2)( 3
2)
(1
3)
2 2
+
−
−
−
+
． 
【解答】解：原式
3
2 1
2
= −
−+
 
2
=
． 
26．计算：
2022
2023
0
3
(2
3)
(2
3)
2|
| (
2)
2
−

+
−
−
−−
． 
【解答】解：
2022
2023
0
3
(2
3)
(2
3)
2|
| (
2)
2
−

+
−
−
−−
 
2022
3
[(2
3)(2
3)]
(2
3)
2
1
2
=
−
−

+
−
− 
2022
3
(4
3)
(2
3)
2
1
2
=
−

+
−
− 
2022
3
1
(2
3)
2
1
2
=

+
−
− 
3
1 (2
3)
2
1
2
= 
+
−
− 
2
3
3 1
=
+
−
− 
1
= ． 
27．计算：
2
8
( 2)
12
4 3(4
3)
2
3
−

−
−
+
−
 
【解答】解：原式
4 2 3 16 3
12 16
8 3
= 
−
+
+
+
 
28
=
． 
28．计算：
0
2014
2
1
8
2
(2
2014)
( 1)
|
2
2| (
)
2
−

+
−
−−
+
−
+ −
． 
【解答】解：原式
8
2
1 1 2
2
4
=

+ −+
−
+
 
2 1 1
2
2
4
=
+ −+
−
+
 
8
2
= −
． 
29．计算：
0
1
2012
1
|
3
2| (
3.14)
( )
12
( 1)
4cos30
2

−
−
+
−
+
−
−−
+
． 
【解答】解：原式
3
2
3
1
2
2 3
1
4
2
=
−
+ +
−
−+ 
 
4
3
=
−
． 
30．计算：
2
1
0
2
1
2cos60
( 3
)
( )
(
2012)
12
( 1
2
3
1


−
+
+
−
+
+
−
+
+ −
−
． 
【解答】解：原式
1
3
1
2
|
3
| 2
1
2 3
1
2

=
+ +

+
−
+ + +
+ 
3
1 1
3
2 1 2 3
1

=
+ + +
−
+
+ +
+ 
2 3
6

=
+
+
． 
31．计算：
0
2
1
12
( 2025)
2sin45
(1
tan60 )
3

+ −
+
−
−

； 
【解答】解：（1）
0
2
1
12
( 2025)
2sin45
(1
tan60 )
3

+ −
+
−
−

 
第9页（共50页） 
2
4
1
2
|1
3 |
2
=
+ +

−
−
 
2
1 1
( 3
1)
=
+ + −
−
 
4
3
1
=
−
+ 
5
3
=
−
 
32．计算： 
2
1
48
3
2
30
(2 2
3)
5

+

−
+
． 
【解答】解：
2
1
48
3
2
30
(2 2
3)
5

+

−
+
 
16
2 6
(8
4 6
3)
=
+
−
+
+
 
4
2 6
8
4 6
3
=
+
−−
−
 
7
2 6
= −−
． 
33．计算：
2
( 54
6
2 24)
6
3
−
+

． 
【解答】解：原式
(3 6
2 6
4 6)
6
=
−
+

 
5 6
6
=

 
5
=
． 
34．计算：
1
2
0
1
1
3
|
2
2 |
( )
8
2025
2
3
−
−
+
−
−
+
． 
【解答】解：原式
3
2
2
2
2 2
3
( 3
2)( 3
2)
−
=
−
+
−
−
+
−
 
2
2
3
2
2 2
3
=
−
+
−
−
−
 
2
3
3
2
2
2 2
=
−
+
−
−
−
 
2
4 2
=
−
． 
35．计算：
1
1
|
3
2| ( )
( 5
1)( 5
1)
2
−
−
+
−
+
−
． 
【解答】解：原式
2
3
2
(5
1)
=
−
+
−
−
 
2
3
2
4
=
−
+
−
 
3
= −
． 
36．计算：
2
2
1
1
( 3
2) (5
2 6) | 2 2
3|
(
)
2
2
−
−
+
−
−
+
−
． 
【解答】解：原式
1
(5
2 6) (5
2 6)
2 2
3
4
2
=
−
+
+
−
+

 
1
2 2
3
2
= +
−+
 
2 2
=
． 
37．计算：
2
1
1
4 2
3
( 3
2)
2
3
2

−
+
+
−
． 
【解答】解：原式
2
3
2 6
(3
2
2 6)
( 3
2)( 3
2)
+
=
−
+
+
+
−
+
 
2 6
5
2 6
(2
3)
=
−
−
−
+
 
2 6
5
2 6
2
3
=
−−
−
−
 
7
3
= −−
． 
38．计算：
2
0
1
3
2
|
3
2 | (
)
(2022
)
2
2
3
1
−
−
+ −
−
−
+
+
． 
【解答】解：原式
2( 3
1)
2
3
4
1
( 3
1)( 3
1)
−
=
−
+
−+
+
−
 
2
3
4 1
3
1
=
−
+
−+
− 
4
=
． 
39．计算：
1
1
3
1
1
| 2
3 | ( )
27
2
3
2
−
+
−
+
+
+
． 
【解答】解：
1
1
3
1
1
| 2
3 | ( )
27
2
3
2
−
+
−
+
+
+
 
3
2
2
3
2
3
( 3
2)( 3
2)
−
=
+
−
+
+
+
−
 
3
2
2
3
2
3
=
−
+
−
+
+
 
7
2
=
−
． 
40．计算：
1
1
2
7
4
3
(1 )
| 2
3 |
(
)
9
3
3
1
−
+
−
+
−
−
． 
【解答】解：原式
4
2
3
2( 3
1)
3
3
=
+
−
+
+
−
 
16
3
=
． 
第10页（共50页） 
 
类型三：整式的化简求值30 题 
1．先化简，再求值：
2
[(
2 )
(
2 )(
2 )]
4
x
y
x
y x
y
y
+
−
+
−

，
其中
3
x = ，
3
y = −． 
【解答】解：原式
(
2 )[(
2 )
(
2 )]
4
x
y
x
y
x
y
y
=
+
+
−
−

 
(
2 )(
2
2 )
4
x
y x
y
x
y
y
=
+
+
−
+

 
(
2 ) 4
4
x
y
y
y
=
+


 
2
x
y
=
+
， 
代入
3
x = ，
3
y = −，原式
3
2
( 3)
3
=
+
−
= −． 
2．化简：
2
2
2
( 2
3 )( 2
3 )
(
3 )
x
x
y
x
y
x
y
+ −
+
−
−
−
−
，其中
2
x = −，
1
y = −． 
【解答】解：原式
2
2
2
2
2
2
4
9
6
9
x
x
y
x
xy
y
=
+
−
−
+
−
 
2
2
5
6
18
x
xy
y
=
+
−
 
当
2
x = −，
1
y = −时， 
原式
5 4
6 2 18 1
= + −
 
14
=
． 
3．先化简，再求值：
2
2
2
2
3
2
[4
4(
)]
4
a b
ab
a b
ab
−
−
−
+
，其
中
1
2
a = −
，
3
b = ． 
【解答】解：原式
2
2
2
2
2
(4
3
4
)
a b
ab
a b
ab
=
−
+
−
 
2
2
2
3
a b
a b
=
−
 
2
a b
= −
， 
当
1 ,
3
2
a
b
= −
=
时，原式
2
1
3
(
)
3
2
4
= −−

= −
． 
4．先化简，再求值：
2
(
2 )
(2
)(2
)
(
4 )
x
y
x
y
x
y
x x
y
−
+
−
+
−
−
，
其中
1
x = −，
2
y =
． 
【解答】解：
2
(
2 )
(2
)(2
)
(
4 )
x
y
x
y
x
y
x x
y
−
+
−
+
−
−
 
原式
2
2
2
2
2
4
4
4
4
x
xy
y
x
y
x
xy
=
−
+
+
−
−
+
 
2
2
4
3
x
y
=
+
， 
当
1
x = −，
2
y =
时， 
原式
2
2
4 ( 1)
3 2
=
−
+ 
 
4
12
=
+
 
16
=
． 
5．先化简，再求值：
2
[(2
)
(2
)(
2 )
4
]
2
x
y
x
y y
x
xy
y
−
−
−
+
−

，
其中
1
x = ，
2
y =
． 
【解答】解：
2
[(2
)
(2
)(
2 )
4
]
2
x
y
x
y y
x
xy
y
−
−
−
+
−

 
2
2
2
2
(4
4
2
4
2
4
)
2
x
y
xy
xy
x
y
xy
xy
y
=
+
−
−
−
+
+
−

 
2
(2
8
)
2
y
xy
y
=
−

 
4
y
x
=
−
； 
当
1
x = ，
2
y =
时，原式
2
4
2
=
−
= −． 
6．先化简，再求值：
2
(2
)
(2
)(2
)
2 (
)
x
y
x
y
x
y
y x
y
+
−
+
−
−
+
，
其中
2024
1
( )
2
x =
，
2023
2
y =
． 
【解答】解：
2
(2
)
(2
)(2
)
2 (
)
x
y
x
y
x
y
y x
y
+
−
+
−
−
+
 
2
2
2
2
2
4
4
4
2
2
x
xy
y
x
y
xy
y
=
+
+
−
+
−
−
 
2xy
=
， 
当
2024
2023
1
( )
,
2
2
x
y
=
=
时， 
原式
2024
2023
1
2
( )
2
2

=

 
2023
2023
1
1
2
( )
2
2
2
=



 
2023
1
1
2
(
2)
2
2
=



 
2023
1
2
1
2
=


 
1
2
1
2
=

 
1
= ． 
7．先化简，再求值：
2
(2
1)
6 (
1)
(3
2)(3
2)
a
a a
a
a
−
+
+
−
+
−
，
其中
2
2
2024
0
a
a
+
−
=
． 
【解答】解：原式
2
2
2
4
4
1
6
6
9
4
a
a
a
a
a
=
−
+ +
+
−
+
 
2
2
5
a
a
=
+
+
， 
2
2
2024
0
a
a
+
−
=
， 
2
2
2024
a
a

+
=
， 
原式
2024
5
2029
=
+
=
． 
8．先化简，再求值：
2
2
[(
3 )(
3 )
(
3 )
6
]
( 2 )
x
y x
y
x
y
y
y
+
−
−
−
+
−
，其中
3
x =
，
1
3
y =
． 
【解答】解：
2
2
[(
3 )(
3 )
(
3 )
6
]
( 2 )
x
y x
y
x
y
y
y
+
−
−
−
+
−
 
2
2
2
2
2
(
9
6
9
6
)
( 2 )
x
y
x
xy
y
y
y
=
−
−
+
−
+
−
 
第11页（共50页） 
2
(6
12
)
( 2 )
xy
y
y
=
−
−
 
3
6
x
y
= −
+
， 
当
3
x = ，
1
3
y =
 时，原式
1
3 3
6
7
3
= −+

= −． 
9．先化简，再求值：
2
[3
(1 2 )
3(
1)(
1)
3]
( 2 )
x
x
x
x
x
−
−
+
−
−
−
，
其中
5
x = −
． 
【解答】解：原式
2
3
2
(3
6
3
3
3)
( 2 )
x
x
x
x
=
−
−
+ −
−
 
3
( 6
)
( 2 )
x
x
= −
−
 
2
3x
=
， 
当
5
x = −
时，原式
2
3 (
5)
15
= −
=
． 
10．先化简，再求值：
2
(
1)
(
2)(
2)
(
3)(
1)
x
x
x
x
x
−
+
+
−
−
+
+
，
其中x 为方程
2
6
2030
0
x
x
−
−
=
的解． 
【解答】解：
2
(
1)
(
2)(
2)
(
3)(
1)
x
x
x
x
x
−
+
+
−
−
+
+
 
2
2
2
2
1
4
4
3
x
x
x
x
x
=
−
+ +
−
−
−
−
 
2
6
6
x
x
=
−
−
， 
2
6
2030
0
x
x
−
−
=
， 
2
6
2030
x
x

−
=
， 
原式
2030
6
2024
=
−
=
． 
11．先化简，再求值：
2
2
(
2 )
(5
)
4
x
y
x
y
x
y
−
+
−
−
，其中
5
1
2
x
+
=
，
5
1
2
y
−
=
． 
【解答】解：原式
2
2
2
2
4
4
5
4
x
y
xy
x
xy
y
=
+
−
−
+
−
 
xy
=
， 
当
5
1
2
x
+
=
，
5
1
2
y
−
=
时， 
原式
5
1
5
1
4
1
2
2
4
xy
+
−
=
=

=
= ． 
12．先化简，再求值：
2
2
(2
)
(
2 )
(
)
2(
2 )(2
)
x
y
x
y
x x
y
x
y
x
y
+
+
+
−
+
−
+
+
，其中
2
1
x =
+ ，
2
1
y =
−． 
【解答】解：原式
2
2
[(2
)
(
2 )]
x
y
x
y
x
xy
=
+
−
+
−
−
 
2
2
(
)
x
y
x
xy
=
−
−
−
 
2
2
2
2
x
xy
y
x
xy
=
−
+
−
−
 
2
3
y
xy
=
−
， 
当
2
1
x =
+ ，
2
1
y =
−时， 
原式
2
( 2
1)
3( 2
1)( 2
1)
=
−
−
+
−
 
3
2 2
3
= −
−
 
2 2
= −
． 
13．先化简，再求值：
2
(2
)
(
)(
)
5 (
)
x
y
x
y x
y
x x
y
+
+
−
+
−
−
，
其中
6
1
x =
−，
6
1
y =
+ ． 
【解答】解：原式
2
2
2
2
2
4
4
5
5
x
xy
y
x
y
x
xy
=
+
+
+
−
−
+
 
9xy
=
， 
当
6
1
x =
−，
6
1
y =
+ 时，原式
9( 6
1)( 6
1)
9
(6
1)
45
=
−
+
=

−
=
． 
14．先化简，再求值：
2
(2
3 )
(2
)(2
)
2 (3
5 )
x
y
x
y
x
y
y
x
y
+
−
+
−
−
+
，其中
2
x =
，
6
1
2
y =
−． 
【解答】解：原式
2
2
2
2
2
4
12
9
4
6
10
x
xy
y
x
y
xy
y
=
+
+
−
+
−
−
 
6xy
=
， 
当
2
x =
，
6
1
2
y =
−时，原式
6
6
2
(
1)
6 3
6 2
2
=


−
=
−
． 
15．化简求值：
2
1
[4(
1)
(
2)(2
)]
4
xy
xy
xy
xy
−
−
+
−

，其中
2
x = −，
0.5
y = −
． 
【解答】解：原式
2
2
2
2
1
(4
8
4
4
)
20
32
4
x y
xy
x y
xy
xy
=
−
+
−
+

=
−
， 
当
2
x = −，
0.5
y = −
时，原式
20
32
12
=
−
= −
． 
16．先化简，再求值：
2
[(
2 )
(
2 )(2
)
2 (2
)]
2
x
y
x
y
y
x
x
x
y
x
−
+
−
+
−
−

，其中
1
x = ，
1
y = −． 
【解答】解：原式
2
2
2
2
2
(
4
4
4
4
2
)
(2 )
x
xy
y
x
y
x
xy
x
=
−
+
+
−
−
+

 
第12页（共50页） 
2
( 2
2
)
(2 )
x
xy
x
= −
−

 
x
y
= −−
， 
当
1
x = ，y
l
= −时， 
原式
1
( 1)
0
= −−−
=
． 
17．先化简，再求值：
2
(2
)
(3
)(
)
(
2 )(
2 )
x
y
x
y x
y
x
y x
y
−
−
+
−
+
−
+
，其中
0
x =
，
2
y = −
． 
【解答】解：原式
2
2
2
2
2
2
(4
4
)
(3
3
)
(
4
)
x
xy
y
x
xy
xy
y
x
y
=
−
+
−
−
+
−
+
−
 
2
2
2
2
2
2
4
4
3
3
4
x
xy
y
x
xy
xy
y
x
y
=
−
+
−
+
−
+
+
−
 
2
2
2
2
2
x
xy
y
=
−
−
， 
0
x =
，
2
y = −
， 
原式
2
2
(
2)
2
2
4
= −−
= −
= −． 
18．先化简，再求值：
4
4
2 2
2
(2
)(
2 )
2
(
)
(
2 )
b
a a
b
a b
ab
a
b
−
+
+
−
−
−
，其中
1
2
ab = −
． 
【解答】解：
4
4
2 2
2
(2
)(
2 )
2
(
)
(
2 )
b
a a
b
a b
ab
a
b
−
+
+
−
−
−
 
2
2
4
4
2
4
2
2
(2 )
2
(
4
4
)
b
a
a b
a b
a
b
ab
=
−
+

−
+
−
 
2
2
2
2
2
4
2
4
4
b
a
a
a
b
ab
=
−
+
−
−
+
 
4ab
=
． 
当
1
2
ab = −
时，原式
1
4
4
(
)
2
2
ab
=
=
−
= −． 
19．先化简，再求值：
2
1
[(2
)(2
)
(3
2 )(3
)
7
]
2
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
−
+
−
+
−
+

，其中
0
1
(
)
2
x
y
−
= −
． 
【解答】解：原式
2
2
2
2
2
2
(4
9
3
6
2
7
)
x
y
xy
x
y
xy
y
x
=
−
−
+
−
+
+

 
2
2
(7
7
)
x
xy
x
=
−

 
2
2
2
7
7
x
xy
x
x
=

−

 
14
14
x
y
=
−
 
14(
)
x
y
=
−
， 
当
0
1
(
)
2
x
y
−
= −
时， 
原式
0
1
14(
)
14
(
)
14 1 14
2
x
y
=
−
=
−
=
=
． 
20．先化简，再求值：已知a 、b 满足
2025
b
a
−
= −
，求
代数式
2
[(
)(
)
(
)
2 (
)]
4
a
b a
b
a
b
b b
a
b
+
−
−
−
−
−

的值． 
【解答】解：
2
[(
)(
)
(
)
2 (
)]
4
a
b a
b
a
b
b b
a
b
+
−
−
−
−
−

 
2
2
2
2
2
[
2
2
2
]
4
a
b
a
ab
b
b
ab
b
=
−
−
+
−
−
+

 
2
( 4
4
)
4
b
ab
b
= −
+

 
b
a
= −+
， 
2025
b
a
−
= −
， 
2025
b
a
−+
=
， 
原式
2025
b
a
= −+
=
． 
21．先化简，再求值：
2
(2
3)(2
3)
3 (
1)
(2
1)
m
m
m m
m
+
−
+
+
−
−
，其中
2
3
7
3
0
m
m
+
−
=
． 
【解答】解：原式展开并化简：
2
(2
3)(2
3)
3 (
1)
(2
1)
m
m
m m
m
+
−
+
+
−
−
 
= 
2
2
2
4
9
3
3
4
4
1
m
m
m
m
m
−
+
+
−
+
− 
2
3
7
10
m
m
=
+
−
． 
由
2
3
7
3
0
m
m
+
−
=
， 
得
2
3
7
3
m
m
+
=
， 
代入上式：
2
3
7
10
3 10
7
m
m
+
−
=
−
= −． 
22．先化简，再求值：
2
(
3 )
2 (
2 )
(
3 )(
3 )
x
y
x x
y
x
y x
y
+
−
+
+
−
+
，其中
1
x = −，
2
y =
． 
【解答】解：
2
(
3 )
2 (
2 )
(
3 )(
3 )
x
y
x x
y
x
y x
y
+
−
+
+
−
+
 
2
2
2
2
2
6
9
2
4
9
x
xy
y
x
xy
x
y
=
+
+
−
−
+
−
 
2xy
=
， 
当
1
x = −，
2
y =
时，原式
2
( 1)
2
4
=
−

= −． 
23．先化简，再求值：
2
[(
3 )(
3 )
(
)
2 (
)]
4
x
y x
y
x
y
y x
y
y
−
+
−
−
+
−

，其中
2
x = −，
1
2
y =
． 
【解答】解：原式
2
2
2
2
2
[
9
(
2
)
2
2
]
4
x
y
x
xy
y
xy
y
y
=
−
−
−
+
+
−

 
第13页（共50页） 
2
2
2
2
2
(
9
2
2
2
)
4
x
y
x
xy
y
xy
y
y
=
−
−
+
−
+
−

 
2
(4
12
)
4
xy
y
y
=
−

 
3
x
y
=
−
； 
当
1
2,
2
x
y
= −
=
时，原式
1
7
2
3
2
2
= −−
= −
． 
24．先化简，再求值：
2
[(2
)
(2
)(2
)]
2
a
b
a
b
a
b
b
+
−
+
−

，
其中
2
a =
，
1
b = −． 
【解答】解：
2
[(2
)
(2
)(2
)]
2
a
b
a
b
a
b
b
+
−
+
−

 
2
2
2
2
(4
4
4
)
2
a
ab
b
a
b
b
=
+
+
−
+

 
2
(4
2
)
2
ab
b
b
=
+

 
2a
b
=
+
， 
当
2
a =
，
1
b = −时，原式
2
2
( 1)
3
=

+ −
=
． 
25．先化简再求值：
2
2
[(3
)(2
)
(
3 )
10
]
x
y
x
y
x
y
y
x
−
+
−
−
+

，
其中
1
x = −，
2
y =
． 
【解答】解：
2
2
[(3
)(2
)
(
3 )
10
]
x
y
x
y
x
y
y
x
−
+
−
−
+

 
2
2
2
2
2
(6
6
9
10
)
x
xy
y
x
xy
y
y
x
=
+
−
−
+
−
+

 
2
(5
7
)
x
xy
x
=
+

 
5
7
x
y
=
+
， 
当
1
x = −，
2
y =
时，原式
5
7
5
( 1)
7
2
5
14
9
x
y
=
+
=
−
+

= −+
=
． 
26．先化简，再求值：
2
2
(
4
)
(
)(
)
a b
ab
b
b
a
b a
b
−
+
−
+
−
，
其中
1
2
a =
，
1
b = −． 
【解答】解：
2
2
(
4
)
(
)(
)
a b
ab
b
b
a
b a
b
−
+
−
+
−
 
2
2
2
4
1 (
)
a
ab
a
b
=
−
+ −
−
 
2
2
2
4
1
a
ab
a
b
=
−
+ −
+
 
2
4
1
ab
b
= −
+ +
， 
当
1
2
a =
，
1
b = −时，原式
2
1
4
( 1)
1
( 1)
2
1 1
4
2
= −
−
+ + −
=
+ + =
． 
27．先化简，再求值：
3
3
(3
6
)
3
(
)(
)
xy
x y
xy
x
y x
y
−

−
+
−
，
其中
2
x =
，
1
2
y = −
． 
【解答】解：
3
3
(3
6
)
3
(
)(
)
xy
x y
xy
x
y x
y
−

−
+
−
 
2
2
2
2
2
y
x
x
y
=
−
−
+
 
2
2
2
3
y
x
=
−
， 
当
2
x =
，
1
2
y = −
时，原式
2
2
1
23
2
(
)
3 2
2
2
=
−
−
= −
． 
28．先化简，再求值：
2
[(
2 )
(
)(
)]
(
)
x
y
x
y x
y
y
−
−
+
−
−
，
其中
1
x = ，
1
y = −． 
【解答】解：原式
2
2
2
2
[
4
4
(
)]
(
)
x
xy
y
x
y
y
=
−
+
−
−
−
 
2
2
2
2
(
4
4
)
(
)
x
xy
y
x
y
y
=
−
+
−
+
−
 
2
( 4
5
)
(
)
xy
y
y
= −
+
−
 
4
5
x
y
=
−
， 
当
1
x = ，
1
y = −时，原式
4 1
5 ( 1)
9
=
−−
=
． 
29．先化简，再求值：
2
2
[(3
)
(
)(
)
2
]
2
x
y
x
y x
y
y
x
−
−
+
−
−

，
其中
3
x = ，
1
y = −． 
【解答】解：
2
2
[(3
)
(
)(
)
2
]
2
x
y
x
y x
y
y
x
−
−
+
−
−

 
2
2
2
2
2
[9
6
(
)
2
]
2
x
xy
y
x
y
y
x
=
−
+
−
−
−

 
2
2
2
2
2
(9
6
2
)
2
x
xy
y
x
y
y
x
=
−
+
−
+
−

 
2
(8
6
)
2
x
xy
x
=
−

 
4
3
x
y
=
−
． 
当
3
x = ，
1
y = −时， 
原式
4
3
3 ( 1)
=
−−
 
12
3
=
+
 
15
=
． 
30．先化简，再求值：
2
(2
1)(1
2 )
2(
2)(
4)
(2
1)
x
x
x
x
x
+
−
−
+
−
+
−
，其中
3
x = −
． 
【解答】解：
2
(2
1)(1
2 )
2(
2)(
4)
(2
1)
x
x
x
x
x
+
−
−
+
−
+
−
， 
2
2
2
1
4
2(
4
2
8)
4
4
1
x
x
x
x
x
x
= −
−
−
+
−
+
−
+ 
2
2
2
1
4
2
8
4
16
4
4
1
x
x
x
x
x
x
= −
−
+
−
+
+
−
+ 
2
2
18
x
= −
+
， 
当
3
x = −
时，原式
2
2
(
3)
18
= −−
+
 
2 3 18
= −+
 
6 18
= −+
 
第14页（共50页） 
12
=
． 
 
★类型四、分式的化简求值60 题★ 
1．先化简，再求值：
2
2
1
2
(
1)
2
4
4
x
x
x
x
x
x
+
−
−

−
−
+
，其中
tan60
x =
． 
【解答】解：原式
2
1
2
(
2)
(
)
2
2
(
2)
x
x
x
x
x
x x
+
−
−
=
−
−
−
−
， 
2
3
(
2)
2
(
2)
x
x
x x
−
=
−
−
， 
3
x
=
， 
当
tan60
3
x =
=
时，原式
3
3
3
=
=
． 
2．先化简，再求值：
2
2
2
1
(
1)
1
2
1
a
a
a
a
a
a
−
−
+

+
+
+
，其中
2
a =
． 
【解答】解：原式
2
2
(
1)(
1)
(
1)
[
]
1
1
(
1)(
1)
a
a
a
a
a
a
a
a
−
+
+
=
−

+
+
+
−
 
1
1
1
1
a
a
a
+
=

+
−
 
1
1
a
=
−
， 
当
2
a =
时，原式
1
1
2
1
=
=
−
． 
3．先化简，再求代数式
2
1
3
1
(
)
2
4
2
x
x
x
x
−
−

−
−
−
的值，其
中
2cos30
2tan45
x =
−
． 
【解答】解：
2
1
3
1
(
)
2
4
2
x
x
x
x
−
−

−
−
−
 
2
3
2
[
]
(
2)(
2)
(
2)(
2)
1
x
x
x
x
x
x
x
+
−
=
−

+
−
+
−
−
 
2
3
2
(
2)(
1)
1
x
x
x
x
x
+
−
−
=

+
−
−
 
1
2
(
2)(
2)
1
x
x
x
x
x
−
−
=

+
−
−
 
1
2
x
=
+
， 
3
2cos30
2tan45
2
2 1
3
2
2
x =
−
=

−=
−
， 
原式
1
3
3
3
2
2
=
=
−
+
． 
4．先简化，再求值：
2
2
1
1
(
)
4
2
2
x
x
x
x
x
−
−

−
+
−
，其中
3
1
x =
+ ． 
【解答】解：原式
2
1
1
[
]
(
2)(
2)
2
2
x
x
x
x
x
x
−
=
−

+
−
+
−
 
2
(
2)
2
(
2)(
2)
1
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=

+
−
−
 
1
1
x
=
−
， 
当
3
1
x =
+ 时， 
原式
3
3
=
． 
5．化简：
2
2
2
1
(
)
(
1)
4
2
1
x
x
x
x
x
x
+

−
−
−
−
−
，并从2
2
x
−
的
范围内选取一个合适的x 的整数值代入求值． 
【解答】解：
2
2
2
1
(
)
(
1)
4
2
1
x
x
x
x
x
x
+

−
−
−
−
−
 
2
2
(
2)
(
1)(
1)
(
2)(
2)
1
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
+
−
=

+
−
−
 
2
2
2
2
1
(
2)(
2)
1
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=

+
−
−
+
 
2
1
(
2)(
2)
1
x
x
x
x
−
−
=

+
−
 
1
2
x
x
−
=
+
， 
2
x = 或1 时，原分式无意义，2
2
x
−
， 
0
x
=
或1
−， 
当
0
x =
时，原式
0
1
1
0
2
2
−
=
= −
+
； 
当
1
x = −时，原式
1 1
2
1
2
−−
=
= −
−+
． 
6．先化简
2
2
2
1
4
(
)
2
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
−
−

−
−
+
，然后再从0，2，
3，4 这4 个数字中选择一个使原式有意义的数作为x 的值
代入求值． 
【解答】解：
2
2
2
1
4
(
)
2
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
−
−

−
−
+
 
2
2
1
[
]
(
2)
(
2)
4
x
x
x
x x
x
x
+
−
=
−

−
−
−
 
2
(
2)(
2)
(
1)
(
2)
4
x
x
x x
x
x x
x
+
−
−
−
=

−
−
 
2
2
2
4
(
2)
4
x
x
x
x
x x
x
−
−
+
=

−
−
 
2
4
(
2)
4
x
x
x x
x
−
=

−
−
 
2
1
(
2)
x
=
−
， 
当
0
x =
，2，4 时，原分式无意义， 
3
x
=
， 
当
3
x = 时，原式
2
1
1
(3
2)
=
=
−
． 
7．先化简，再求值：
2
2
1
2
1
(1
)
1
1
m
m
m
m
m
−
−
+
−

+
−
，其中
第15页（共50页） 
2
1
m =
+ ． 
【解答】解：原式
2
2
1
1
1
(
)
1
1
2
1
m
m
m
m
m
m
m
+
−
−
=
−

+
+
−
+
 
2
2
(
1)(
1)
1
(
1)
m
m
m
m
+
−
=

+
−
 
2
1
m
=
−
， 
当
2
1
m =
+ 时，原式
2
2
2
1 1
=
=
+ −
． 
8．先化简
2
2
3
4
4
(
1
)
1
x
x
x
x
x
x
+
+
−−

+
+
，再从2
−，1
−，0，
1 四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 
【解答】解：原式
2
2
1
3
(
1)
1
(
2)
x
x x
x
x
−−
+
=

+
+
 
(
2)
2
x x
x
−
=
+
， 
由题意
1
x −或0，或2
−， 
所以当
1
x = 时，原式
1
3
= −
． 
9．先化简：
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
+
−

−
−
+
+
−，再从2
−，1
−，0，
1，2 中选择一个合适的数代入求值． 
【解答】解：原式
2
2
(
1)(
1)
2
(
1)
(
2)
1
x
x
x
x
x x
x
+
+
−
=

−
−
+
− 
1
2
(
1)
(
1)
x
x
x x
x x
+
=
−
−
−
 
1
(
1)
x
x x
−
=
−
 
1
x
= −
， 
当
2
x =
时， 
原式
1
2
= −
． 
10．先化简，再求值：
2
2
2
4
2
(
)
4
4
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−

−
+
−
−
，其
中x 是方程
2
1
0
3
x
x
−
=
−
的解． 
【解答】解：
2
2
2
4
2
(
)
4
4
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−

−
+
−
−
 
2
(
2)(
2)
2
[
]
(
2)
2
(
2)
x
x
x
x
x
x
x x
+
−
−
=
−

−
−
+
 
2
2
(
)
2
2
(
2)
x
x
x
x
x
x x
+
−
=
−

−
−
+
 
2
2
2
(
2)
x
x
x x
−
=

−
+
 
2
2
2
x
x
=
+
， 
由
2
1
0
3
x
x
−
=
−
可得
3
x = −， 
检验：当
3
x = −时，(
3)
0
x x −

， 

2
1
0
3
x
x
−
=
−
的解为
3
x = −， 
当
3
x = −时，原式
2
2
2
( 3)
2 ( 3)
3
=
=
−
+ −
． 
11．先化简，再求值：
2
2
8
6
9
(
1
)
1
x
x
x
x
x
x
−
+
+ −

−
−
，请从0，
1、2、3 中选取一个合适的数作为x 的值． 
【解答】解：
2
2
8
6
9
(
1
)
1
x
x
x
x
x
x
−
+
+ −

−
−
 
2
2
2
1
8
6
9
(
)
1
1
x
x
x
x
x
x
x
−
−
+
=
−

−
−
−
 
2
(
3)(
3)
(
3)
1
(
1)
x
x
x
x
x x
+
−
−
=

−
−
 
2
(
3)(
3)
(
1)
1
(
3)
x
x
x x
x
x
+
−
−
=

−
−
 
(
3)
3
x x
x
+
=
−
， 
1
0
x −
，
3
0
x −
，
0
x 
， 
1
x
，
3
x 
，
0
x 
， 
当
2
x =
时，原式
(
3)
2
(2
3)
10
3
2
3
x x
x
+

+
=
=
= −
−
−
． 
12．先化简，再求值：
2
2
1
3
1
(
)
1
1
a
a
a
a
a
a
−
−
−

+
−
−
，其中a 是
方程
2
2
0
x
x
−
−
=
的根． 
【解答】解：
2
2
1
3
1
(
)
1
1
a
a
a
a
a
a
−
−
−

+
−
−
 
1
3
1
(
)
(
1)
(
1)(
1)
1
a
a
a
a a
a
a
−
−
−
=
−

+
+
−
 
2
(
1)
(
3)
1
(
)
(
1)(
1)
(
1)(
1)
1
a
a a
a
a a
a
a a
a
−
−
−
=
−

+
−
+
−
 
2
(
1)
(
3)
1
(
1)(
1)
1
a
a a
a
a a
a
−
−
−
−
=

+
−
 
2
2
2
1
3
1
(
1)(
1)
1
a
a
a
a a
a a
a
−
+ −
+
−
=

+
−
 
1
1
(
1)(
1)
1
a
a
a a
a
+
−
=

+
−
 
1
a
=
， 
解方程
2
2
0
x
x
−
−
=
，得
1
2
x =
，
2
1
x = −， 
1
a ， 
2
1
x

= −不合题意，舍去， 
把
1
2
a
x
=
=
代入得， 
第16页（共50页） 
原式
1
1
2
a
==
=
． 
13．先化简，再求值：
2
2
1
4
2
2
1
1
a
a
a
a
a
a
a
−
−

−
−
−
+
−
，其中
tan60 sin60
tan45
a =

−
． 
【解答】解：原式
2
1 (
2)(
2)
2
(
1)
1
a
a
a
a
a
a
a
−
+
−
=

−
−
−
−
 
2
1
1
a
a
a
a
+
=
−
−
−
 
2
1
a
a
a
+
−
=
−
 
2
1
a
=
−
， 
当
3
3
1
tan60 sin60
tan45
3
1
1
2
2
2
a =

−
=

−=
−=
时， 
原式
2
4
1
1
2
=
= −
−
． 
14．先化简，再求值：
2
2
3
2
3
(
)
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
+
−
−

−
−
+
，其
中x 满足
2
2
1
0
x
x
−
−=
． 
【解答】解：原式
2
3
[
]
(
1)
(
1)
2
3
x
x
x
x x
x
x
+
=
−

−
−
−
 
2
2
2
(
3)(
1)
[
]
(
1)
(
1)
2
3
x
x
x
x
x x
x x
x
+
−
=
−

−
−
−
 
2
2
2
2
3
(
1)
2
3
x
x
x
x
x x
x
+
−
−
=

−
−
 
2
1
2
1
x
x
=
−
+
， 
2
2
1
0
x
x
−
−=
， 
2
2
1
x
x

−
= ， 
原式
1
2
=
． 
15．先化简，再求值：
2
2
3
4
2
2
(
)
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
+
+
−

−
−
−
+ ，从1
−，
1
+ ，2
−，3
−中选择一个合适的数作为x 值代入． 
【解答】解：
2
2
3
4
2
2
(
)
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
+
+
−

−
−
−
+ 
2
3
4
2(
1) (
1)
(
1)(
1)
2
x
x
x
x
x
x
+
−
+
−
=

+
−
+
 
2
2
(
1)
(
1)(
1)
2
x
x
x
x
x
+
−
=

+
−
+
 
1
1
x
x
−
=
+ ， 
要使分式有意义，必须
1
0
x −
，
1
0
x + 
，
2
0
x +

， 
即x 不能为1
−，1
+ ，2
−， 
取
3
x = −， 
当
3
x = −时，原式
3 1
4
2
3 1
2
−−
−
=
=
=
−+
−
． 
16．先化简，再求值：
2
3
4
4
(
1)
1
1
x
x
x
x
x
−
−
−
+
+

−
−
，其中
x 满足
2
3
2
0
x
x
+
+
=
． 
【解答】解：原式
2
3
(
1)(1
)
1
[
]
1
1
(
2)
x
x
x
x
x
x
+
−
−
=
+

−
−
−
+
 
2
2
3 1
1
1
(
2)
x
x
x
x
+ −
−
=

−
−
+
 
2
2
4
1
1
(
2)
x
x
x
x
−
−
=

−
−
+
 
2
(2
)(2
)
1
(
1)
(
2)
x
x
x
x
x
−
+
−
=

−
−
−
+
 
2
2
x
x
−
=
+
， 
由
2
3
2
0
x
x
+
+
=
，解得：
1
1
x = −，
2
2
x = −， 
2
0
x +

，即
2
x − 
1
x
= −， 
原式
2
( 1)
1
2
−−
= −+
 
2
1
1
+
=
 
3
=
． 
17．先化简
2
3
4
4
(
1)
1
1
x
x
x
x
x
−
+
−
+

+
+
，然后从1
−，0，1，
2 中选取一个合适的数作为x 的值代入求值． 
【解答】解：原式
2
2
3
1
(
2)
(
)
1
1
1
x
x
x
x
x
−
−
=
−

+
+
+
 
2
2
3
1
1
1
(
2)
x
x
x
x
−
+
+
=

+
−
 
2
2
4
1
1
(
2)
x
x
x
x
−
+
=

+
−
 
2
(
2)(
2)
1
1
(
2)
x
x
x
x
x
−
+
−
+
=

+
−
 
2
2
x
x
+
= −
−
， 
1
0
x + 
，
2
0
x −

， 
1
x
−，
2
x 
， 
当
0
x =
时，原式
0
2
1
0
2
+
= −
=
−
； 
当
1
x = 时，原式
1
2
3
1
2
+
= −
=
−
． 
18．先化简：
2
2
2
2
2
(
)
4
4
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
+
−

−
+
−
−
，然后从
1
3
x
−

中选一个合适的整数作为x 的值代入求值． 
【解答】解：原式
2
2
(
2)
[
]
(
2)
(
2)
2
a
a
a a
a
a a
+
−
=
−

−
−
 
第17页（共50页） 
2
2
2
2
4
(
2)
[
]
(
2)
(
2)
2
a
a
a a
a a
a a
−
−
=
−

−
−
 
2
2
2
4
(
2)
(
2)
2
a
a
a a
a a
−
+
−
=

−
 
2
4
(
2)
(
2)
2
a a
a a
−
=

−
 
2
2
a
=
−
， 
0
a 
且
2
a 
， 
当
1
a = 时，原式
2
2
1
2
=
= −
−
． 
19．先化简，再求值：
2
2
6
9
2
3
(
)
3
3
x
x
x
x
x
x
x
−
+
+
+

−
−
+
，其
中
3
3
x =
−
． 
【解答】解：原式
2
2
(
3)
(
3)
2
3
[
]
3
3
3
x
x x
x
x
x
x
x
−
+
+
+
=

−
−
+
+
 
2
2
3
2
3
(
3)
3
x
x
x
x
x
x
+
−
−
−
=
−

+
 
3
(
3)
3
x
x
x
+
=
−

−
 
3
x
=
+ ． 
当
3
3
x =
−
时， 
原式
3
3
3
3
=
−+
=
． 
20．化简求值：先化简
2
2
6
9
2
(
1)
4
2
x
x
x
x
x
−
+

−
+
−
−
，再对x
从2
−、1
−、0、1、2、3 中选一个你喜欢数的数代入求值． 
【解答】解：原式
2
(
3)
2
(
1)(
2)
(
2)(
2)
2
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
=

+
−
−
 
2
(
3)
(
3)
(
2)(
2)
2
x
x x
x
x
x
−
−
−
=

+
−
−
 
2
(
3)
2
(
2)(
2)
(
3)
x
x
x
x
x x
−
−
=

+
−
−
−
 
3
(
2)
x
x x
−
= −
+
， 
2
0
x +

，
2
0
x −

，
3
0
x −
， 
2
x
，
3
x 
，
0
x 
， 
选取
1
x = ，当
1
x = 时，原式
1 3
2
2
1 (1
2)
3
3
−
−
= −
= −
=

+
． 
21．先化简，再求代数式
2
1
2
1
(
)
1
2
1
1
x
x
x
x
x
−
−

+
+
+
+
的值，
其中
2cos30
tan45
x =
−
． 
【解答】解：由题意，原式
2
1
1
2
1
1
1
(
1)
1
x
x
x
x
x
x
+
+
=

−

+
−
+
− 
2
1
2
1
1
x
x
=
−
−
− 
1
2
(
1)(
1)
x
x
x
+ −
=
+
−
 
1
(
1)(
1)
x
x
x
−
=
+
−
 
1
1
x
=
+
． 
又
2cos30
tan45
x =
−
 
3
2
1
2
=

− 
3
1
=
−， 
原式
1
3
3
3
1 1
=
=
−+
． 
22．先化简，再求值：
2
2
2
4
4
4
(
2)
1
1
a
a
a
a
a
a
a
−
+
+
+
−
+

−
−
，
其中满足a 满足
2
4
3
a
a
−
= −． 
【解答】解：原式
2
2
2
2
4
3
2
1
(
)
1
1
(
2)
a
a
a
a
a
a
a
a
−
+
−
+
−
=
−

−
−
+
 
2
2
1
1 (
2)
a
a
a
a
+
−
=

−
+
 
1
2
a
= −
+
， 
解方程
2
4
3
a
a
−
= −，得
1
1
a = ，
2
3
a =
， 
1
0
a −
， 
1
a
， 
当
3
a =
时，原式
1
1
3
2
5
= −
= −
+
． 
23．先化简：
2
3
4
4
(
)
1
1
a
a
a
a
a
a
−
+
−

+
+
，然后在2
−，
1
−，
2 三个数中给a 选择一个你喜欢的数代入求值． 
【解答】解：
2
3
4
4
(
)
1
1
a
a
a
a
a
a
−
+
−

+
+
 
2
(
1)
3
1
1
(
2)
a a
a
a
a
a
+
−
+
=

+
−
 
2
2
2
1
1
(
2)
a
a
a
a
a
−
+
=

+
−
 
2
(
2)
(
2)
a a
a
−
=
−
 
2
a
a
=
−
， 
要使分式有意义，故
1
0
a + 
且
2
0
a −

， 
1
a
−且
2
a 
， 
当
2
a = −时， 
原式
2
1
2
2
2
−
=
=
−−
． 
第18页（共50页） 
24．先化简再求值
2
3
4
4
(
1
)
1
1
x
x
x
x
x
−
+
+ −

−
−
，再从1，2，
3 中选取一个适当的数代入求值． 
【解答】解：
2
3
4
4
(
1
)
1
1
x
x
x
x
x
−
+
+ −

−
−
 
2
(
1)(
1)
3
(
2)
1
1
x
x
x
x
x
+
−
−
−
=

−
−
 
2
2
4
1
1
(
2)
x
x
x
x
−
−
=

−
−
 
2
(
2)(
2)
1
1
(
2)
x
x
x
x
x
+
−
−
=

−
−
 
2
2
x
x
+
=
−
， 
要使分式有意义，必须
1
0
x −
且
2
0
x −

， 
所以x 不能为1 和2， 
取
3
x = ， 
当
3
x = 时，原式
3
2
5
3
2
+
=
=
−
． 
25．先化简，再求值：
2
2
2
2
1
(
1)
1
2
1
x
x
x
x
x
+
+
+

−
−
+
，其中
4
x =
． 
【解答】解：原式
2
2
2
2
2
2
1
(
1)
(
)
1
1
1
x
x
x
x
x
x
+
−
−
=
+

−
−
+
 
2
2
2
2
2
1 (
1)
1
1
x
x
x
x
x
+
+
−
−
=

−
+
 
2
2
(
1)
(
1)
(
1)(
1)
1
x
x
x
x
x
+
−
=

+
−
+
 
2
1 (
1)
1
1
x
x
x
x
+
−
=

−
+
 
1
x
=
−， 
当
4
x =
时，原式
4 1
3
=
−=
． 
26．先化简，再求值：已知
2
2
9
1
(
)
3
3
2
1
x
x
x
x
x
x
−
+

−
−
−
+ ，
其中x 满足
2
2
5
0
x
x
+
−
=
． 
【解答】解：原式
2
2
9
1
(
)
3
3
(
1)
x
x
x
x
x
−
=
−

−
−
−
 
2
(
3)(
3) (
1)
3
1
x
x
x
x
x
+
−
−
=

−
−
 
(
1)(
3)
x
x
=
−
+
 
2
2
3
x
x
=
+
−， 
2
2
5
0
x
x
+
−
=
， 
2
2
5
x
x

+
= ， 
则原式
5
3
2
= −=
． 
27．先化简：
2
1
2
(1
)
1
2
1
x
x
x
x
−
−

−
−
+ ，再从1，2，3 中选
择一个合适的数作为x 的值代入求值． 
【解答】解：
2
1
2
(1
)
1
2
1
x
x
x
x
−
−

−
−
+ 
2
1 1
2
1
(
1)
x
x
x
x
−−
−
=

−
−
 
2
2
(
1)
1
2
x
x
x
x
−
−
=

−
−
 
1
x
=
−， 
1
0
x −
，
2
0
x −

， 
1
x
，
2
x 
， 
当
3
x = 时，原式
2
=
． 
28．先化简
2
3
4
4
(
1
)
1
1
a
a
a
a
a
+
+
+ −

−
−
，再从2
−，0，1，
2 中选取一个适合的数代入求值． 
【解答】解：原式
2
2
1
3
1
(
)
1
1
4
4
a
a
a
a
a
a
−
−
=
−

−
−
+
+
 
2
(
2)(
2)
1
1
(
2)
a
a
a
a
a
+
−
−
=

−
+
 
2
2
a
a
−
=
+
， 
由题意得：
1
a 且
2
a −， 
当
0
a =
时，原式
0
2
1
0
2
−
=
= −
+
， 
当
2
a =
时，原式
2
2
0
2
2
−
=
=
+
． 
29．先化简，再求值：
2
2
2
2
4
4
4
4
(
1)
2
4
4
2
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
−


+
+
−
+
−
，
且x 满足2
2
x
−
，取一个值即可． 
【解答】解：原式
2
2
(
2)
(
2)(
2)
2
(
2)
(
2)
2
x
x
x
x
x x
x
x
+
+
−
+
=


+
−
−
 
2
2
2
.
2
2
x
x
x
x
x
x
+
+
−
=

−
+
 
2
x
x
+
=
， 
2
2
x
−
，且
0
x 
，2
， 
整数
1
x = 或1
−， 
当
1
x = 时，原式
1
2
3
1
+
=
=
（答案不唯一）． 
30．先化简：
2
2
(
)
2
2
4
x
x
x
x
x
x
x
+
−

−
+
−
，再从2
−，1
−，0，
1，2 之中选择一个合适的数作为x 的值代入求值． 
【解答】解：原式
(
2)
(
2) (
2)(
2)
(
2)(
2)
(
1)
x x
x x
x
x
x
x
x x
+
−
−
+
−
=

−
+
+
 
2
2
2
2
(
2)(
2)
(
2)(
2)
(
1)
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
+
−
+
+
−
=

+
−
+
 
4
(
2)(
2)
(
2)(
2)
(
1)
x
x
x
x
x
x x
+
−
=

+
−
+
 
4
1
x
=
+ ， 
2
0
x −

且
2
0
x +

且
0
x 
且
1
0
x + 
， 
x

可以取1， 
第19页（共50页） 
当
1
x = 时，原式
4
2
1 1
=
=
+
． 
31．先化简
2
2
2
1
1
(
1)
1
1
x
x
x
x
x
x
−
+
−

−
+
−
+
然后从3
1
x
−
中选
取一个合适的整数作为x 的值代入求值． 
【解答】解：原式
2
2
(
1)
1
1
(
)
(
1)(
1)
1
1
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=

−
+
−
+
+
 
2
1
1
1
x
x
x
x
x
−
−
+
=

+
+
 
1
1
1
(
1)
x
x
x
x x
−
+
=

+
−
−
 
1
x
= −
， 
(
1)(
1)
0
x
x
+
−

且(
1)
0
x x −

， 
1
x
且
0
x 
， 
取
2
x = −， 
则原式
1
2
=
． 
32．先化简再求值：2
6
5
(
2)
2
2
x
x
x
x
−

−
−
−
−
，在0
4
x


的
整数中选择合适的数代入求值． 
【解答】解：原式
2
2(
3)
5
4
(
)
2
2
2
x
x
x
x
x
−
−
=

−
−
−
−
 
2
2(
3)
9
2
2
x
x
x
x
−
−
=

−
−
 
2(
3)
2
2
(
3)(
3)
x
x
x
x
x
−
−
=
−
−
+
−
 
2
3
x
= −
+
， 
2
x 
且
3
x ， 
在0
4
x


的范围内符合题意的整数只有
1
x = ， 
则原式
2
1
1
3
2
= −
= −
+
． 
33．先化简，再求值：
2
2
2
2
2
2
(
)
x
y
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
x
y
−
−
+
−
−

+
−
+
，
其中
1
1
( )
2
x
−
=
，
0
( 2023)
y = −
． 
【解答】解：
2
2
2
2
2
2
(
)
x
y
x
xy
y
x
y
x
y
x
y
x
y
−
−
+
−
−

+
−
+
 
2
2
(
)
[
]
(
)(
)
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y x
y
x
y
−
−
+
=
−

+
+
−
−
 
2
(
)
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
−
−
+
=
−

+
+
−
 
x
x
y
x
y x
y
+
=

+
−
 
x
x
y
=
−
 
1
1
( )
2
2
x
−
=
=
，
0
( 2023)
1
y = −
= 
原式
2
2
2 1
x
x
y
=
=
=
−
−
． 
34．先化简，再求值：
2
2
4
2
(
)
4
4
2
2
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−

−
+
+
−
，其中
4cos30
2tan45
x =
−
． 
【解答】解：原式
2
(
2)(
2)
2
2
[
]
(
2)
2
x
x
x
x
x
x
x
+
−
−
−
=
−

−
+
， 
2
2
(
2)
(
2)
2
(
2)(
2)
x
x
x
x
x
x
+
−
−
−
=

+
−
， 
8
2
x
=
+
， 
当
3
4
2 1
2 3
2
2
x =

−=
−
时，原式
8
4 3
3
2 3
2
2
=
=
−
+
． 
35．先化简，再求值，
2
2
3
4
2
2
(
)
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
+
+
−

−
−
−
+
，从
2
2
x
−

中选出合适的x 的整数值代入求值． 
【解答】解：原式
2
3
4
2(
1)
2
[
]
(
1)(
1)
(
1)(
1)
(
1)
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
=
−

+
−
+
−
−
 
2
2
(
1)
(
1)(
1)
2
x
x
x
x
x
+
−
=

+
−
+
 
1
1
x
x
−
=
+
， 
2
2
x
−

且(
1)(
1)
0
x
x
+
−

，
2
0
x +

， 
x

的整数值为2
−，1
−，0，1，且
1
x ，2
−， 
0
x
=
， 
当
0
x =
时，原式
1
1
1
−
=
= −． 
36．先化简，再求代数式
2
5
(
3
)
3
3
x
x
x
x
−

−
+
+
+
的值，其中
8cos30
2tan45
x =
−
． 
【解答】解：
2
5
(
3
)
3
3
x
x
x
x
−

−
+
+
+
 
2
5
(3
)(
3)
[
]
3
3
3
x
x x
x
x
x
−
−
+
=

−
+
+
+
 
2
2
5
9
3
3
x
x
x
x
−
−
+
=

+
+
 
2
3
3 (
2)(
2)
x
x
x
x
x
−
+
=

+
+
−
 
1
2
x
=
+
， 
当
3
8cos30
2tan45
8
2 1
4 3
2
2
x =
−
= 
−=
−
时，原式
第20页（共50页） 
1
3
12
4 3
2
2
=
=
−
+
． 
37．先化简，再求值：
2
2
1
2
1
(1
)
1
2
4
x
x
x
x
−
+
+

−
−
−
，其中
3
1
x =
+ ． 
【解答】解：原式
2
2 1 (
2)(
2)
1
2
(
1)
x
x
x
x
x
−
+
+
−
=

−
−
−
 
2
1 (
2)(
2)
1
2
(
1)
x
x
x
x
x
−
+
−
=

−
−
−
 
2
1
1
x
x
+
=
−
−
 
2
1
1
x
x
x
+
−
+
=
−
 
3
1
x
=
−
， 
当
3
1
x =
+ 时， 
原式
3
3
1 1
=
+ −
 
3
3
=
 
3
=
． 
38．先化简，再求值：
2
3
4
4
4
(
1)
1
1
2
a
a
a
a
a
a
a
−
+
−
+

+
−
+
+
−
，
并从1
−，0，2 中选一个合适的数作为a 的值代入求值． 
【解答】解：原式
2
2
3
1
1
4
(
)
1
1
(
2)
2
a
a
a
a
a
a
a
−
+
=
−

+
−
+
+
−
−
 
2
2
4
1
4
1
(
2)
2
a
a
a
a
a
a
−
+
=

+
−
+
−
−
 
2
4
2
2
a
a
a
a
−−
=
+
−
−
−
 
2
2
a
a
a
−
=
−
−
 
1
a
= −−
， 
当
1
a = −或2 时，原式分母为0，无意义， 
当
0
a =
时，原式
1
= −． 
39．先化简，再求值：
2
2
1
2
4
(
)
(
1)
4
4
2
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−

−
−
+
−
，其
中x 是不等式2
5
3
3
x
x
−
−
的最小整数解． 
【解答】解：原式
2
1
2
4
[
]
(
)
(
2)
(
2)
x
x
x
x
x x
x
x
−
+
=
−

−
−
−
 
2
2
2
2
4
4
[
]
(
2)
(
2)
x
x
x
x
x x
x x
x
−
−
−
=
−

−
−
 
2
4
(
2)
4
x
x
x x
x
−
=

−
−
 
2
1
(
2)
x
=
−
， 
解不等式2
5
3
3
x
x
−
−
，得：
4
x
， 
则不等式的最小整数解为
4
x =
， 
当
4
x =
时，分式无意义， 
故分式的值不存在． 
40．先化简，再求值：
2
2
2
2
2
1
(
1)
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
+
+
+

−
−
−
+
，
然后从
5
2
x
−
的范围内选取一个合适的整数作
为x 的值带入求值． 
【解答】解：原式
2
2(1
)
2
(
1)
(
1)(
1)
1
(
1)
x
x
x
x
x
x
x x
−
−
+

+
−
−
+
 
2
2
2
1
1
x
x
x
−
= −
+
+
+
 
2
4
1
x
x
−
=
+
 
5
2
x
−
 
所以x 可取2
−．1
−，0，1 
由于当x 取1
−、0、1 时，分式的分母为0，所以x 只能
取2
−． 
当
2
x = −时，原式
8
=
． 
41．先化简，再求值：
2
2
3
2
(
)
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
−
−

−
−
+
+
，其中x
是不等式组
2
0
3
2
0
x
x
+



−


的整数解． 
【解答】解：
2
2
3
2
(
)
1
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
−
−

−
−
+
+
 
2
(
1)
3
(
1)
(
1)(
1)
2
x x
x
x
x
x
x
+
−
+
=

+
−
−
 
2
3
1
1
2
x
x
x
x
x
x
+
−
+
=

−
−
 
(
2)
1
1
2
x x
x
x
x
−
+
=

−
−
 
(
1)
1
x x
x
+
=
−
 
2
1
x
x
x
+
=
−
， 
由不等式组
2
0
3
2
0
x
x
+



−


可得：
2
2
3
x
−
， 
第21页（共50页） 
x 是不等式组
2
0
3
2
0
x
x
+



−


的整数解，(
1)(
1)
0
x
x
+
−

，
2
0
x −

， 
x
可以为2
−或0， 
当
2
x = −时，原式
2
( 2)
( 2)
2
2
1
3
−
+ −
=
= −
−−
； 
当
0
x =
时，原式
2
0
0
0
0
1
+
=
=
−
． 
42．先化简，再求值：
2
1
2
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
+

−
−
−
+
+
的值，其
中
2 3
2
x =
−
． 
【解答】解：原式
2
1
(
1)
2
1
2
2
x
x
x
x
−
=

−
−
+
+
 
1
2
2
2
x
x
x
−
=
−
+
+
 
1
2
2
x
x
−−
=
+
 
3
2
x
x
−
=
+
， 
当
2 3
2
x =
−
时，原式
2 3
2
3
6
5 3
6
2 3
2
2
−
−
−
=
=
−
+
． 
43．先化简
2
2
3
4
4
(
1
)
1
x
x
x
x
x
x
+
+
−−

+
+
，再从2
−，1
−，0，
1 四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值． 
【解答】解：原式
2
2
1
3
(
1)
1
(
2)
x
x x
x
x
−−
+
=

+
+
 
(
2)
2
x x
x
−
=
+
， 
由题意
1
x −或0，或2
−， 
所以当
1
x = 时，原式
1
3
= −
． 
44．先化简：
2
2
2
1
(
)
4
2
2
a
a
a
a
a
a
−

−
−
+
+
，再从2
−，1
−，1，
2 四个数中选一个合适的数作为a 的值，代入求值． 
【解答】解：原式
(
2)
1
(
2)(
2)
2
a a
a
a
a
a
−
−
=

+
−
+
 
2
2
1
a
a
a
a
+
=

+
−
 
1
a
a
=
−， 
由题意得：
2
a 、1， 
当
1
a = −时，原式
1
1
1 1
2
−
=
=
−−
． 
45．已知
3
5
0
a
b
−
+
=
，求
2
2
2
2
(
)
a
a
a
a
b
a
b
a
b
−

+
−
−
的值． 
【解答】解：由
3
5
0
a
b
−
+
=
得：
3
5
a
b
−
= −， 
原式
2 (
)
(
)
2
[
]
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
a a
b
a a
b
a
a
b a
b
a
b a
b
a
b a
b
−
+
=
−

+
−
+
−
+
−
 
2
2
2
2
(
)(
)
(
)(
)
2
a
ab
a
ab
a
b a
b
a
b a
b
a
−
−
−
+
−
=

+
−
 
2
3
2
a
ab
a
−
=
 
(
3 )
2
a a
b
a
−
=
 
3
2
a
b
−
=
 
5
2
= −
． 
46．先化简，再求值：
2
3
4
4
(
1)
1
1
x
x
x
x
x
−
+
−
−

−
−
，其中
2
3
1
tan45
8
(
)
2
x
−
=
+
−−
． 
【解答】解：原式
2
3
(
1)(
1)
1
[
]
1
1
(
2)
x
x
x
x
x
x
+
−
−
=
−

−
−
−
 
2
2
3
1
1
1
(
2)
x
x
x
x
−
+
−
=

−
−
 
2
(2
)(2
)
(2
)
x
x
x
−
+
=
−
 
2
2
x
x
+
=
−
， 
2
3
1
tan 45
8
(
)
1
2
4
1
2
x
−
=
+
−−
= +
−
= −． 
原式
2
1
1
2
1
3
−
=
=
+
． 
47．先化简，再求值：
2
3
2
1
2024
(
)
4
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+

−
+
−
−
+
，
其中
2025
a = −
． 
【解答】解：
2
3
2
1
2024
(
)
4
2
2
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+

−
+
−
−
+
 
2
2
(
2)
2
2024
(
2)(
2)
(
2)(
2)
a
a
a a
a
a a
a
a
a
a
+
+
+
−
+
=

+
−
+
−
+
 
2
2
2
(
2)(
2)
2024
(
2)(
2)
2
a
a
a
a
a a
a
a
a
a
+
+
−
+
=

+
−
+
+
+
 
1
2024
a
a
=
+
 
2025
a
=
， 
当
2025
a = −
时，原式
2025
1
2025
=
= −
−
． 
48．先化简：
2
2
6
9
3
3
2
2
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−

−
+
+
，然后在2
−，1
−，
0，3 中选择一个你喜欢的数代入x 中求值． 
第22页（共50页） 
【解答】解：原式
2
(
3)
2
3
2
(
3)
x
x
x
x x
x
−
+
=

−
+
−
 
3
3
x
x
x
−
=
−
 
6
x
x
−
=
， 
当
2
x = −，0，3 时，原分式没有意义， 
1
x
= −， 
当
1
x = −时，原式
1
6
7
1
−−
=
=
−
． 
49．先化简，再求值
2
2
8
16
12
1
(
2)
2
2
4
x
x
x
x
x
x
x
−
+

−
+
+
+
+
+
，
其中x 与1、3 构成△ABC 的三边长，且x 为整数． 
【解答】解：原式
2
2
(
4)
12
4
1
(
)
(
2)
2
2
4
x
x
x x
x
x
x
−
−
=

−
+
+
+
+
+
 
2
2
(
4)
16
1
(
2)
2
4
x
x
x x
x
x
−
−
=

+
+
+
+
 
2
(
4)
2
1
(
2)
(
4)(
4)
4
x
x
x x
x
x
x
−
+
=

+
+
−
+
−
+
 
4
(
4)
(
4)
x
x
x x
x x
−
= −
+
+
+
 
4
(
4)
x x
=
+
， 
x 与1、3 构成△ABC 的三边长，且x 为整数， 
2
4
x


， 
又x 为整数， 
3
x
=
， 
当
3
x = 时，原式
4
4
3 7
21
=
=

． 
50．先化简，再求值：
2
2
5
4
4
(
1
)
1
1
a
a
a
a
a
a
−
−
+
−+

−
−
，其中
1
1
16
2cos60
( )
2
a
−
=
+
−
． 
【解答】解：原式
2
2
2
1
2
5
1
1
(
2)
a
a
a
a
a
a
−
+ +
−
−
=

−
−
 
2
(
2)(
2)
1
1
(
2)
a
a
a
a
a
+
−
−
=

−
−
 
2
2
a
a
+
=
−
， 
1
1
1
16
2cos60
( )
4
2
2
3
2
2
a
−
=
+
−
=
+

−
=
， 
原式
3
2
5
3
2
+
=
=
−
． 
51．先化简，再求值：
2
1
6
9
(1
)
2
2
4
a
a
a
a
−
+
−

−
−
，其中a 从
1，2，3 中选一个恰当的数代入求值． 
【解答】解：
2
1
6
9
(1
)
2
2
4
a
a
a
a
−
+
−

−
−
 
2
3 2(
2)
2 (
3)
a
a
a
a
−
−
=

−
−
 
2
3
a
=
−
， 
2
0
a −

，
3
0
a −
， 
2
a

，3， 
1
a
= 时，原式
2
1
1
3
=
= −
−
． 
52．先化简，再求值：
2
2
2
2
4
(
2)
4
2
x
x
x
x
x
x
−
−

−
+
−
+
，其中x 是
不等式组
2(
3)
2
1
1
3
x
x
x
x
−
−

−
+


−

的整数解． 
【解答】解：原式
2
(
2)
2
4
4
(
)
(
2)(
2)
2
2
x x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=

+
+
−
+
+
 
2
2
2
2
x
x
x
x
x
−
=

+
+
 
2
2
(2
)
x
x
x
x
x
+
=

+
−
 
1
2
x
=
−
． 
解
2(
3)
2
1
1
3
x
x
x
x
−
−

−

+


−

， 
解2(
3)
2
x
x
−
−

−
得
4
x 
， 
解
1
1
3
x
x
+

−得
2
x
， 
不等式组的解集为2
4
x 
． 
x 为整数， 
2
x
=
或3， 
(
2)(
2)
0
x
x
+
−

，(2
)
0
x
x
−

， 
2
x
，0， 
3
x
=
， 
原式
1
1
2
3
=
= −
−
． 
53．已知：
2
0
a
b
−
−
=
，求代数式
2
2
2
1
(
) (
)
2
2
b
a
b
a
b
a
b
+

−
+
−
的值． 
【解答】解：
2
2
2
1
(
) (
)
2
2
b
a
b
a
b
a
b
+

−
+
−
 
2
2
[
] (
)
2(
)(
)
2(
)(
)
a
b
b
a
b
a
b a
b
a
b a
b
−
=
+

−
+
−
+
−
 
2
(
)
2(
)(
)
a
b
a
b
a
b a
b
+
=

−
+
−
 
2
a
b
−
=
， 
2
0
a
b
−−
=
， 
2
a
b
−
=
， 
第23页（共50页） 
则原式
2
1
2
=
= ． 
54．先化简，再求代数式
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
−
+
−
−

+
+
+
的值，
其中
sin60
2
a =
−
． 
【解答】解：原式
2
2
(
1)
1
(
2)
2
(
1)(
1)
a
a
a
a a
a
a
a
−
+
=
−

+
+
+
−
 
1
2
2
a
a
a
a
−
=
−
+
+
 
1
2
a
=
+
， 
当
3
sin60
2
2
2
a =
−
=
−
时，原式
1
2 3
3
3
2
2
2
=
=
+
−
． 
55．先化简，再求值：
2
2
4
4
(1
)
2
4
2
m
m
m
m
m
m
m
−
+
−

+
+
−
−
，
然后从2
−，1，2 三个数中选择一个合适的数作为m 的值
代入求值． 
【解答】解：
2
2
4
4
(1
)
2
4
2
m
m
m
m
m
m
m
−
+
−

+
+
−
−
 
2
2
(
2)(
2)
2
(
2)
2
m
m
m
m
m
m
m
m
+
−
+
−
=

+
+
−
−
 
2
2
(
2)(
2)
2
(
2)
2
m
m
m
m
m
m
+
−
=

+
+
−
−
 
2
2
2
m
m
m
=
+
−
−
 
2
2
m
m
+
=
−
， 
2
m =
或2
−时，原分式无意义， 
1
m

= ， 
当
1
m = 时，原式
1
2
3
1
2
+
=
= −
−
． 
56．先化简，再求值：
2
2
2
4
1
1
(
1)
(
)
4
4
2
a
a
a
a
+

−

−
−
，某中
3
2
a = −
． 
【解答】解：
2
2
2
4
1
1
(
1)
(
)
4
4
2
a
a
a
a
+

−

−
−
 
2
2
4
4
2
(
2)(
2)
4
2
a
a
a
a
a
a
a
+
−
−
=


+
−
 
2
2
(
2)
2
(
2)(
2)
4
2
a
a
a
a
a
a
−
=


+
−
−
 
1
2
a
=
+
， 
当
3
2
a = −
时，原式
1
2
3
2
2
=
=
−
+
． 
57．先化简，再求值：
2
2
2
1
(
1)(
3)
(
2)
(
1)
1
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
−
+
−
−

−
−
+
，其中
1
0
1
( )
(2
3.14)
2
a

−
=
−
−
． 
【解答】解：
2
2
2
1
(
1)(
3)
(
2)
(
1)
1
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
−
−
−
−
+
−
−

−
−
+
 
2
2
2
2
(
1)(
1)
4
3
4
4
(
1)
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
−
+
−
=
−
+
−
+
−
+

−
−
 
2
2
2
2
2
1
4
3
4
4
(
1)
1
a
a
a
a
a
a
a
a
−
+
=
−
+
−
+
−
+

−
−
 
2
2
2
1
4
3
4
4
(
1)
1
a
a
a
a
a
a
=
−
+
−
+
−
+

−
−
 
2
2
4
3
4
4
1
a
a
a
a
a
=
−
+
−
+
−
+
− 
2
a
=
−
， 
当
1
0
1
( )
(2
3.14)
2
1
1
2
a

−
=
−
−
=
−= 时，原式
1
2
1
= −
= −． 
58．先化简：
2
2
(
1
)
1
2
1
x
x
x
x
x
x
−−

+
+
+
，再从1
−，0，1
中选择一个合适的数作为x 的值代入求值． 
【解答】解：原式
2
2
(
1)(
1)
(
1)
1
x
x
x
x
x
x
+
−
−
+
=

+
 
2
2
2
1
(
1)
1
x
x
x
x
x
−−
+
=

+
 
2
1
(
1)
1
x
x
x
−
+
=

+
 
1
x
x
−−
=
， 
x 取1
−，0 时，原式无意义， 
当
1
x = 时，原式
1 1
2
1
−−
=
= −． 
59．先化简，
2
2
1
2
(
1)
1
2
1
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−

−
−
+
，然后从0
2
x
范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值． 
【解答】解：
2
2
1
2
(
1)
1
2
1
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−

−
−
+
 
2
2
1
(
1)(
1) (
1)
1
2
x
x
x
x
x
x
−−
+
−
−
=

−
−
 
2
2
2
1
1 (
1)
1
2
x
x
x
x
x
−−
+
−
=

−
−
 
2
(
2) (
1)
1
2
x x
x
x
x
−
−
−
=

−
−
 
(
1)
x x
= −
−
 
2x
x
= −
+
， 
0
2
x
，
1
0
x −
，
2
0
x −

， 
x

可以取整数0， 
当
0
x =
时，原式
2
0
0
0
= −
+
=
． 
第24页（共50页） 
60．先化简，再求代数式
2
2
9
2
1
1
(1
)
4
4
2
3
a
a
a
a
a
a
−
−

−

+
+
+
+
的
值，其中
2sin60
2tan45
a =
−
． 
【解答】解：
2
2
9
2
1
1
(1
)
4
4
2
3
a
a
a
a
a
a
−
−

−

+
+
+
+
 
2
(
3)(
3)
2
2
1
1
(
)
(
2)
2
2
3
a
a
a
a
a
a
a
a
−
+
−
+
−
=

−

+
+
+
+
 
2
(
3)(
3)
2
1
(
2)
(
3)
3
a
a
a
a
a
a
−
+
−
+
=


+
−
−
+
 
1
2
a
=
+
， 
2sin60
2tan45
a =
−
 
3
2
2 1
2
=

− 
3
2
=
−
， 
原式
1
1
3
2
3
3
2
2
a
=
=
=
+
−
+
．有，未经书面同意，不 
★类型五、解一元一次方程20 题★ 
1．解一元一次方程：2(
3)
3(
4)
x
x
−
=
+
． 
【解答】解：2(
3)
3(
4)
x
x
−
=
+
， 
2
6
3
12
x
x
−
=
+
， 
2
3
12
6
x
x
−
=
+
， 
18
x
−=
， 
18
x = −
． 
2．解方程：2(
1)
3
x
x
−
−
=
． 
【解答】解：2(
1)
3
x
x
−
−
=
， 
2
2
3
x
x
−
−=
， 
2
2
3
x
x
−
=
+ ， 
5
x =
． 
3．解方程：5
2(
1)
3
x
−
−
=
． 
【解答】解：5
2(
1)
3
x
−
−
=
， 
去括号，得5
2
2
3
x
−
+
=
， 
移项，得2
3
2
5
x
−
= −
−， 
合并同类项，得2
4
x
−
= −， 
系数化成1，得
2
x =
． 
4．解方程：
2
1
8
2
3
4
x
x
−
+
−
=
． 
【解答】解：
2
1
8
2
3
4
x
x
−
+
−
=
， 
24
4(2
1)
3(
8)
x
x
−
−
=
+
， 
24
8
4
3
24
x
x
−
+
=
+
， 
8
3
24
24
4
x
x
−
−
=
−
−
， 
11
4
x
−
= −， 
4
11
x =
． 
5．解下列方程：2
1
5
1
1
3
6
x
x
+
−
−
= ． 
【解答】解：2
1
5
1
1
3
6
x
x
+
−
−
= ， 
2(2
1)
(5
1)
6
x
x
+
−
−
=
， 
4
2
5
1
6
x
x
+
−
+ =
， 
4
5
6
2 1
x
x
−
=
−−， 
3
x
−= ， 
3
x = −． 
6．解方程：
1
2
5
2
1
2
3
x
x
x
−
−
+
= −
． 
【解答】解：
1
2
5
2
1
2
3
x
x
x
−
−
+
= −
 
12
3(
1)
6
2(2
5)
x
x
x
+
−
=
−
−
， 
12
3
3
6
4
10
x
x
x
+
−=
−
+
， 
12
3
4
6 10
3
x
x
x
+
+
=
+
+ ， 
19
19
x =
， 
1
x = ． 
7．解方程：3
2
5
4
1
3
6
x
x
−
−
−=
． 
【解答】解：去分母，得2(3
2)
6
5
4
x
x
−
−
=
−
， 
去括号，得6
4
6
5
4
x
x
−
−
=
−
， 
移项，合并同类项，得10
15
x =
， 
系数化为1，得
1.5
x =
． 
8．解方程：
4
3
5
3
1
4
6
x
x
x
−
+
−
=
−
 
【解答】解：两边同时乘以12，得
12
3(4
3 )
2(5
3)
12
x
x
x
−
−
=
+
−
 
去括号，得12 12
9
10
6 12
x
x
x
−
+
=
+
−
 
合并同类项，得9
6
2
x
x
=
−
 
移项，得11
6
x =
 
解得
6
11
x =
． 
9．解方程：1
5
2(
1)
8
2
4
x
x
x
+
+
=
+
． 
【解答】解：方程去括号得：3
2
8
x
x
+
= +
， 
移项合并得：2
6
x =
， 
解得：
3
x =
． 
10．解方程：0.1
0.4
0.2
1
1
1.2
0.3
x
x
−
+
−=
． 
【解答】解：原方程可化为
4
2
10
1
12
3
x
x
−
+
−=
， 
去分母得：
4
12
4(2
10)
x
x
−
−
=
+
， 
去括号得：
4 12
8
40
x
x
−
−
=
+
， 
移项得：
8
40
4 12
x
x
−
=
+
+
， 
合并得：7
56
x
−
=
， 
解得：
8
x = −． 
 
第25页（共50页） 
11．解方程：
2
1
8
2
3
4
x
x
−
+
−
=
． 
【解答】解：
2
1
8
2
3
4
x
x
−
+
−
=
， 
24
4(2
1)
3(
8)
x
x
−
−
=
+
， 
24
8
4
3
24
x
x
−
+
=
+
， 
8
3
24
24
4
x
x
−
−
=
−
−
， 
11
4
x
−
= −， 
4
11
x =
． 
12．解方程：2
1
3
5
2
3
4
x
x
−
−
−
=
 
【解答】解：去分母得：4(2
1)
3(3
5)
24
x
x
−
−
−
=
， 
8
4
9
15
24
x
x
−
−
+
=
， 
8
9
24
4 15
x
x
−
=
+
−
， 
13
x
−=
， 
13
x = −
． 
13．解方程：
1
5
1
1
3
6
x
x
+
−
−=
． 
【解答】解：去分母得，2(
1)
6
5
1
x
x
+
−
=
−， 
去括号得，2
2
6
5
1
x
x
+
−
=
−， 
移项、合并同类项得，3
3
x
−
= ， 
系数化为1 得，
1
x = −． 
14．解方程：3
2
5
4
1
3
6
x
x
−
−
−=
． 
【解答】解：去分母，得2(3
2)
6
5
4
x
x
−
−
=
−
， 
去括号，得6
4
6
5
4
x
x
−
−
=
−
， 
移项，合并同类项，得10
15
x =
， 
系数化为1，得
1.5
x =
． 
15．解方程：
4
3
5
3
1
4
6
x
x
x
−
+
−
=
−
 
【解答】解：两边同时乘以12，得
12
3(4
3 )
2(5
3)
12
x
x
x
−
−
=
+
−
 
去括号，得12 12
9
10
6 12
x
x
x
−
+
=
+
−
 
合并同类项，得9
6
2
x
x
=
−
 
移项，得11
6
x =
 
解得
6
11
x =
． 
16．解方程：
3
4
1
1
2
5
x
x
−
+
−
= ． 
【解答】解：由原方程去分母，得 
5
15 8
2
10
x
x
−
−
−
=
， 
移项、合并同类项，得 
3
27
x
−
=
， 
解得，
9
x = −． 
17．解方程： 
（1）2(
1)
1
(
3)
x
x
+
= −
+
． 
（2）5
7
3
1
1
6
4
x
x
−
−
+ =
． 
【解答】解：（1）去括号得：2
2
1
3
x
x
+
= −
−， 
移项合并得：3
4
x = −， 
解得：
4
3
x = −
； 
（2）去分母得：10
14 12
9
3
x
x
−
+
=
−
， 
移项合并得：
1
x = −． 
18．解方程： 
（1）
5
2
2
2
x
x
−
= −； 
（2）3
1
5
7
1
4
6
y
y
−
−
−=
． 
【解答】解：（1）
5
2
2
2
x
x
−
= −， 
4
5
4
x
x

−
= −， 
4
x
−= −， 
4
x
=
． 
（2）
3
1
5
7
1
4
6
y
y
−
−
−=
， 
3(3
1)
12
2(5
7)
y
y

−
−
=
−
， 
9
3 12
10
14
y
y

−
−
=
−
， 
9
15
10
14
y
y

−
=
−
， 
9
10
15
14
y
y

−
=
−
， 
1
y
−
= ， 
1
y

= −． 
19．解方程 
（1）
2(
4)
3(1
)
x
x
x
−
−
=
−
； 
（2）
3
1
3
1
4
2
x
x
−
+
−
=
． 
【解答】解：（1）去括号得：
2
8
3
3
x
x
x
−
+
= −
， 
移项合并得：2
5
x = −， 
解得：
2.5
x = −
； 
（2）去分母得：4
3
1
6
2
x
x
−
+ =
+
， 
移项合并得：5
1
x
−
= ， 
解得：
0.2
x = −
． 
20．解方程 
（1）2
1
2
1
1
3
6
x
x
+
−
−
= ． 
（2）
1 (3
5)
2(5
)
2
x
x
x
−
−
=
+
 
【解答】解：（1）去分母得：2(2
1)
(2
1)
6
x
x
+
−
−
=
， 
去括号得：4
2
2
1
6
x
x
+
−
+ =
， 
移项得：4
2
6
2 1
x
x
−
=
−−， 
合并同类项得：2
3
x =
， 
系数化为1 得：
3
2
x =
， 
（2）去分母得：2
(3
5)
4(5
)
x
x
x
−
−
=
+
， 
第26页（共50页） 
去括号得：2
3
5
20
4
x
x
x
−
+
=
+
， 
移项得：2
3
4
20
5
x
x
x
−
−
=
−， 
合并同类项得：5
15
x
−
=
， 
系数化为1 得：
3
x = −． 
★类型六、解一元一次不等式30 题★ 
1．解不等式：
1
2
1
3
2
x
x
+
−
−
，把它的解集表示在数轴
上．
 
【解答】解：
1
2
1
3
2
x
x
+
−
−
， 
2(
1)
6 3(2
)
x
x
+
−
−
， 
2
2
6 6
3
x
x
+
−
−
， 
2
3
6
6
2
x
x
+
+
−
， 
5
10
x
， 
2
x
， 
其解集在数轴上表示如下： 
． 
2．解不等式
1
3
1
3
2
x
x
−
−
+ ，并在数轴上表示解集． 
 
 
【解答】解：去分母得：2(
1) 3(
3)
6
x
x
−
−
+
， 
去括号得：2
2 3
9
6
x
x
−
−
+
， 
移项得：2
3
9
6
2
x
x
−
−
+
+
， 
合并同类项得：
1
x
−
−， 
系数化为1 得：
1
x
． 
． 
3．解不等式
7
:
3(
1)
4
2
x
x
+

−
+
，并在如图所示的数轴上
表示出其解集． 
 
【解答】解：
7
3(
1)
4
2
x
x
+

−
+
， 
7
6(
1)
8
x
x
+

−
+
， 
7
6
6
8
x
x
+

−+ ， 
6
6
8
7
x
x
−
−+ −
， 
5
5
x
−
−， 
则
1
x ， 
将解集表示在数轴上如下： 
 
4．解不等式：2(
1)
3(
1)
2
x
x
−

+
−
，并把它的解集在数
轴上表示出来． 
 
【解答】解：2(
1)
3(
1)
2
x
x
−

+
−
， 
2
2
3
3
2
x
x
−

+ −
， 
2
3
3
2
2
x
x
−
−
+
， 
3
x
−， 
解集在数轴上表示为：
． 
5．解不等式：
1
2
1
(
7)
2
x
x
−
+
，并把解集在数轴上表示
出来． 
 
【解答】解：去分母得，2(2
1)
7
x
x
−

+
， 
去括号得，4
2
7
x
x
−

+
， 
移项合并得，3
9
x 
， 
不等式的解集为
3
x 
， 
在数轴上表示为： 
． 
6．解不等式
1
2
3
1
3
4
x
x
−
+
−，并把解集在数轴上表示出
来． 
【解答】解：
1
2
3
1
3
4
x
x
−
+
−， 
4(
1) 3(2
3)
12
x
x
−
+
−
， 
4
4 6
9 12
x
x
−
+
−
， 
4
6
9 12
4
x
x
−
−
+
， 
2
1
x
−
， 
1
2
x
−
． 
不等式的解集在数轴上表示： 
． 
7．解不等式7
4(1
)
3(2
1)
x
x
−
−

−
，并把解集在数轴上表
示出来． 
【解答】解：去括号，得7
4
4
6
3
x
x
−
+

−， 
移项，得4
6
3
7
4
x
x
−
−−+
， 
合并同类项，得2
6
x
−
−， 
系数化为1，得
3
x 
， 
不等式的解集在数轴上表示如下： 
第27页（共50页） 
． 
8．解不等式2
3
1
2
1
3
6
x
x
−
−
+
，并把它的解集在数轴上表
示出来． 
【解答】解：去分母，得：2(2
3)
1
2
6
x
x
−
+ −
， 
去括号，得：4
6
1
2
6
x
x
−
+ −
， 
移项，合并，得：2
11
x 
， 
系数化1，得：
5.5
x
， 
数轴表示如图： 
． 
9．解不等式3
2
1
2
1
2
5
x
x
+
+
−
，并把不等式的解集在数
轴上表示出来． 
【解答】解：3
2
1
2
1
2
5
x
x
+
+
−
， 
去分母，两边乘以10，得：5(3
2 )
10
2(1
2 )
x
x
+
−

+
， 
去括号，得：15 10
10
2
4
x
x
+
−

+
， 
移项，得：10
4
2 15 10
x
x
−

−
+
， 
合并同类项，得：6
3
x −， 
系数化为1，得：
1
2
x −
， 
不等式的解集在数轴上表示如下： 
 
10．解不等式：1
5(
2)
3
x
−
+

． 
【解答】解：1
5(
2)
3
x
−
+

， 
1 5
10
3
x
−
−

， 
5
3 10 1
x
−
+
−， 
5
12
x
−

， 
12
5
x −
． 
11．解不等式
2
1
1
3
2
x
x
+
−
−
，并把它的解集在数轴上表
示出来． 
【解答】解：去分母得：2(
2)
3(
1)
6
x
x
+
−
−

， 
去括号得：2
4
3
3
6
x
x
+
−
+

， 
移项合并得：
1
x
−−， 
解得：
1
x ． 
将解集表示在数轴上如下： 
． 
12．解不等式：1
2
1
1
4
3
x
x
+
+
−
． 
【解答】解：1
2
1
1
4
3
x
x
+
+
−
， 
去分母，得：3(1
)
4(2
1) 12
x
x
+
−
+
． 
去括号，得：3
3
8
4 12
x
x
+
−
−
， 
移项，得：3
8
12
3
4
x
x
−
−+
， 
合并同类项，得：5
13
x
−
， 
两边都除以5
−，得：
13
5
x −
． 
13．解不等式：
4
4(
1)
1
2
3
x
x
+
+
+ 
． 
【解答】解：
4
4(
1)
1
2
3
x
x
+
+
+ 
 
去分母得：3(
4)
6 8(
1)
x
x
+
+
+
， 
去括号得：3
12
6 8
8
x
x
+
+
+ ， 
移项得：3
8
8 12
6
x
x
−
−
−
， 
合并同类项得，5
10
x
−
−
， 
系数化为1 得，
2
x
． 
14．解不等式：
3
1
1
5
4
x
x
−
−
−
−． 
【解答】解：
3
1
1
5
4
x
x
−
−
−
−， 
去分母，得：4(
3)
5(
1)
20
x
x
−
−
−
−
， 
去括号得：4
12
5
5
20
x
x
−
−
+
−
， 
移项得：4
5
20 12
5
x
x
−
−
+
−
 
合并同类项得：
13
x
−
−
， 
系数化为1 得
13
x
． 
15．解不等式：
1 (
1)
1
3
2
x
x
−
−
，并把解集在数轴上表示
出来． 
【解答】解：
1 (
1)
1
3
2
x
x
−
−
， 
2
3(
1) 6
x
x
−
−
， 
2
3
3 6
x
x
−
+
， 
3
x
−
， 
3
x
−
， 
在数轴上表示不等式的解集为：
 
16．解不等式：
1
2
1 1
4
2
x
x
−
+
−
． 
【解答】解：
1
2
1 1
4
2
x
x
−
+
−
， 
1
2(2
1) 4
x
x
−−
+
， 
1
4
2 4
x
x
−−
−
， 
4
4 1
2
x
x
−
+ +
， 
第28页（共50页） 
3
7
x
−
， 
则
7
3
x
−
． 
17．解不等式：2
4
2
3
x
x
+
+
． 
【解答】解：2
4
2
3
x
x
+
+
， 
2
4 3
6
x
x
+
+ ， 
2
x
−
， 
2
x
−
． 
18．解不等式
5
1
:12
3
6
x
x
−
−
． 
【解答】解：5
1
12
3
6
x
x
−
−
， 
去分母，得：5
4(
1) 2
x
x
−
−
， 
去括号，得：5
4
4 2
x
x
−
+
． 
移项及合并同类项，得：6
9
x
−
−
， 
系数化为1，得：
3
2
x
． 
19．解不等式
1
3
1
4
6
x
x
−
+
，并写出其负整数解． 
【解答】解：
1
3
1
4
6
x
x
−
+
 
去分母得：3
2(1
3 ) 12
x
x
+
−
， 
去括号得：3
2
6
12
x
x
+
−
， 
移项得：3
6
12
2
x
x
−
−
， 
合并同类项得：3
10
x
−
， 
系数化为1 得：
10
3
x
−
， 
不等式的负整数解为3
−、2
−、1
−． 
20．解不等式：
2
2
1 1
4
6
x
x
+
−
−
． 
【解答】解：
2
2
1 1
4
6
x
x
+
−
−
， 
3(
2)
2(2
1) 12
x
x
+
−
−
， 
3
6
4
2 12
x
x
+
−
+
， 
3
4
12
6
2
x
x
−
−
−
， 
4
x
−
， 
4
x
−
． 
21．解不等式3
2
1
2
1
2
5
x
x
+
+
−
，并把不等式的解集在数
轴上表示出来． 
【解答】解：3
2
1
2
1
2
5
x
x
+
+
−
， 
去分母，两边乘以10，得：5(3
2 )
10
2(1
2 )
x
x
+
−

+
， 
去括号，得：15 10
10
2
4
x
x
+
−

+
， 
移项，得：10
4
2 15 10
x
x
−

−
+
， 
合并同类项，得：6
3
x −， 
系数化为1，得：
1
2
x −
， 
不等式的解集在数轴上表示如下： 
 
22．解不等式
2
5
2
3
6
x
x
+
−
−

，并在如图所示的数轴上表
示出该不等式的解集． 
 
【解答】解：去分母，得：2(
2)
24
5
x
x
+
−
−
， 
去括号，得：2
4 12
5
x
x
+
−
−
， 
移项，得：2
5
4 12
x
x
−
−−
+
， 
合并同类项，得：
3
x
， 
将不等式的解集表示在数轴上如下： 
 
23．解不等式
1
2
:
1
3
2
x
x
+
−
−
，并把不等式的解集表示在
数轴上． 
 
【解答】解：不等式去分母，得2(
1)
3(2
) 6
x
x
+
−
−
， 
去括号，得2
2
6
3
6
x
x
+
−
+
， 
移项，得2
3
6
2
6
x
x
+
−
+
， 
合并同类项，得5
10
x
， 
系数化为1，得
2
x
． 
这个不等式的解集在数轴上表示如下： 
 
24．解不等式
2
(
1)
1
2
x
x
−
−
−
，并将其解集在数轴上表
示出来． 
 
【解答】解：去分母得，
2
2(
1)
2
x
x
−
−
−

， 
去括号得，
2
2
2
2
x
x
−
−
+

， 
移项得，
2
2
2
2
x
x
−

+
−
， 
合并同类项得，
2
x
−
， 
系数化为1 得，
2
x −． 
在数轴上表示为： 
． 
第29页（共50页） 
25．解不等式5
3
2
7
1
2
3
x
x
−
−
−
，并将其解集在数轴上表
示出来． 
 
【解答】解：5
3
2
7 1
2
3
x
x
−
−
−
， 
去分母，得：3(5
3)
42 6
4
x
x
−
−
−
， 
去括号，得：15
9
42 6
4
x
x
−
−
−
， 
移项及合并同类项，得：19
57
x
， 
系数化为1，得：
3
x
，其解集在数轴上表示如下， 
． 
26．解不等式2
1
3
2
1
3
2
x
x
−
−

−，并写出此不等式的非负
整数解． 
【解答】解：去分母得，4(2
1) 3(3
2)
12
x
x
−
+
−
， 
去括号得，8
4 9
6 12
x
x
−
+
−
， 
移项得，8
9
6
4
x
x
−
−
+
， 
合并同类项得，
2
x
−
−
， 
系数化为1 得，
2
x
， 
非负整数解为：0，1，2． 
27．解不等式：
3
2
5
1
5
3
x
x
+
−

−，并求出最小整数解． 
【解答】解：
3
2
5
1
5
3
x
x
+
−

−， 
3(
3)
5(2
5)
15
x
x

+

−
−
， 
3
9
10
25 15
x
x

+

−
−
， 
3
10
25 15
9
x
x

−
−
−
−， 
7
49
x
−
−
， 
7
x

， 
最小整数解为8． 
28．求不等式
2
5
4(
1)
14
2
x
x
+
−
−
−
的负整数解． 
【解答】解：去分母得，8(
1)
(2
5)
28
x
x
−
−
+
−
， 

5
2
x
−
， 
原不等式的负整数解为
2
x = −或1
−． 
29．求不等式
1
7
1
2
2
3
x
x
+
+
+
−
的非正整数解． 
【解答】解：
1
7
1
2
2
3
x
x
+
+
+
−
 
6
3(
1) 12
2(
7)
x
x
+
+
−
+
 
6
3
3 12
2
14
x
x
+
+
−
−
 
3
2
12 14
6
3
x
x
+
−
−
−
 
5
11
x
−
 
1
2 5
x
−
 
所以非正整数解为0，1
−，2
−． 
30．解不等式：2
6
1
3
2
x
x
−
−

+ ，并写出它的最小正整数
解． 
【解答】解：
2
6
1
3
2
x
x
−
−

+ ， 
2(2
) 3(
6)
6
x
x

−
−
+
， 
4
2
3
18
6
x
x
−
−
+
， 
2
3
18
6
4
x
x
−
−
−
+
−
， 
5
16
x
−
−
， 
则
16
5
x
， 
不等式的最小整数解为4． 
 
★类型七、解一元一次不等式组30 题★ 
1．解不等式组
(
)
5
1
3
1
3
2
2
1
x
x
x
x

−
+

−

+

①
②
，把解集在数轴上表示
出来． 
 
【解答】解：
(
)
5
1
3
1
3
2
2
1
x
x
x
x

−
+

−

+

①
②
， 
解不等式①，得：
2
x 
． 
解不等式②，得：
3
x
． 
2
3
x

． 
 
2．解不等式组：
2
6
3
2
1
0
5
4
x
x
x
x
−

+
−

−


，并把它们的解集表示
在数轴上． 
【解答】解：
2
6
3
2
1
0
5
4
x
x
x
x
−


+
−
−


①
②
， 
由①得，
6
x −， 
由②得，4(
2)
5(
1) 0
x
x
+
−
−
， 
13
x

． 
6
13
x
−
． 
解集在数轴上表示如下： 
第30页（共50页） 
 
3．解不等式组：
(
)
3
2
2
5
2
1
3
x
x
x

+

+

−


①
②
． 
【解答】解：解不等式①，得
1
x
−， 
解不等式②，得
5
x ， 
不等式组的解集为1
5
x
−

． 
4．解不等式组
4
6 3
7
3
14
2
9
4
x
x
x
x
+
+

+

−

． 
【解答】解：解不等式4
6 3
7
x
x
+
+
得，
1
x
； 
解不等式3
14
2
9
4
x
x
+

−
得，
10
x 
， 
原不等式组的解集为：1
10
x 
． 
5．解不等式组：
2
1
3
3
6
1
2
x
x
x
−

−

−

，并把它的解集表示在下
列数轴上． 
 
【解答】解：
2
1
3
3
6
1
2
x
x
x
−

−

−

①
②
， 
解不等式①，得：
2
x
， 
解不等式②，得：
4
x 
， 
原不等式组的解集是
2
x
， 
其解集在数轴上表示如下： 
． 
6．解不等式组：1
2
3(
2)
5
8
x
x
x
−
−


+

+

． 
【解答】解：
(
)
1
2
3
2
5
8
x
x
x
−
−

+

+

①
②， 
解不等式①，得：
3
x ， 
解不等式②，得：
1
x
−， 
原不等式组的解集为1
3
x
−
． 
7．解不等式组：
3(
2)
4
2
1
1
3
2
x
x
x
x
−
−


−
+



． 
【解答】解：
(
)
3
2
4
2
1
1
3
2
x
x
x
x
−
−


−
+


①
②
， 
解不等式①得：
1
x ， 
解不等式②得：
5
x
， 
不等式组解集为
1
x ． 
8．解不等式组：
3
8
2(1
)
5
3
2
x
x
x
x
−

−

+

，并将解集表示在数轴
上． 
【解答】解：
(
)
3
8
2 1
5
3
2
x
x
x
x
−

−

+

①
②
， 
解不等式①，得：
2
x 
； 
解不等式②，得：
1
x
−， 
所以不等式组的解集为：1
2
x
−

， 
在数轴上表示如图： 
 
9．解不等式组
8
3(
2)
2
1
1
3
x
x
x
x
+
−


+


−

，并把解集在数轴上表示
出来． 
【解答】解：
(
)
8
3
2
2
1
1
3
x
x
x
x
+
−


+

−

①
②
， 
解不等式①得：
1
x
−， 
解不等式②得：
4
x 
， 
故原不等式组的解集为：1
4
x
−

， 
在数轴上表示为： 
 
10．解不等式组：
2
2
3
1
4
3(1
2 )
x
x
x
x

+
−

−

+

． 
【解答】解：
(
)
2
2
3
1
4
3 1
2
x
x
x
x

+
−

−

+

①
②
， 
解不等式①，得
6
7
x −
， 
解不等式②，得
1
5
x −
， 
不等式组无解． 
第31页（共50页） 
11．解不等式组：
3
1
4
3
5
6
2(
3)
x
x
x
x
−

−


−

+

． 
【解答】解：
(
)
3
1
4
3
5
6
2
3
x
x
x
x
−

−


−

+

①
②
， 
解不等式①，得
0
x 
， 
解不等式②，得
4
x
， 
不等式组的解集为0
4
x

． 
12．解不等式（组
2
1
3
5
):
3
4
3(
3)
15
x
x
x
x
−
−




−

−

． 
【解答】解：解不等式2
1
3
5
3
4
x
x
−
−

，得：
11
x 
， 
解不等式3(
3)
15
x
x
−

−
，得：
3
x −， 
则不等式组的解集为：3
11
x
−

． 
13．解不等式组：
4(
1) 7
13
8
4
3
x
x
x
x
+
+

−
−


． 
【解答】解：
(
)
4
1
7
13
8
4
3
x
x
x
x

+
+

−
−


①
②
， 
由①得：
3
x
−
， 
由②得：
2
x 
， 
不等式组的解集是3
2
x
−

． 
14．解不等式组：
11
2
3
2
5
1
2
3
x
x
x
x
+

+

+

−
−

． 
【解答】解：解不等式组
11
2
3
2
5
1
2
3
x
x
x
x
+

+

+
−
−

①
②
， 
解①得：
8
x
， 
解②得：
4
5
x 
， 
不等式组
11
2
3
2
5
1
2
3
x
x
x
x
+

+

+
−
−

①
②
的解集为
4
5
x 
． 
15．解不等式组：
3
3
2
2
4(
2)
2
x
x
x
x
−

+



+

+

． 
【解答】解：解不等式
3
3 2
2
x
x
−
+
，得：
1
x
， 
解不等式4(
2)
2
x
x
+

+
，得：
2
x −， 
原不等式组的解集为2
1
x
−
． 
16．解不等式组：
3
2
4,
2
1
1,
5
2
x
x
x
x

−

−
−


并把它的解集在数轴上
表示出来． 
 
【解答】解：
3
2
4
2
1
1
5
2
x
x
x
x

−

−
−

①
②
， 
解不等式①，得
4
x −． 
解不等式②，得
3
x
． 
原不等式组的解集为4
3
x
−
． 
解集在数轴上表示： 
 
17．解不等式组：
3
4
2
1
2
1
1
2
3
x
x
x
x

−

−
+
−


． 
【解答】解：
3
4
2
1
2
1
1
2
3
x
x
x
x

−

−
+
−


①
②
， 
解3
4
2
x
x

−
得
4
5
x 
， 
解
1
2
1
1
2
3
x
x
−
+
−

得
1
x ， 
不等式组的解集是
1
x ． 
18．解不等式组：
3
6
2
5
4
3
1
2
3
x
x
x
x
+

−
−
−

−


． 
【解答】解：
3
6
2
5
4
3
1
,
2
3
x
x
x
x
+

−

−
−
−


①
②
 
解不等式①，得
4
x
−
， 
解不等式②，得
3
x −， 
原不等式组的解集为
3
x −． 
19．解不等式组：
(
)
2
1
2
1
2
1
4
2
x
x
x
x
+ 
+

−
+

①
②
． 
【解答】解：解不等式①，得
1
x
， 
解不等式②，得
2
x 
， 
故原不等式组的解集为：1
2
x 
． 
20．解不等式组
4(
1) 7
10
8
5
3
x
x
x
x
+
+

−
−


并写出它的解集在数轴
上表示出来． 
【解答】解：解不等式4(
1) 7
10
x
x
+
+
，得：
2
x
−
， 
解不等式
8
5
3
x
x
−
−

，得：
7
2
x 
， 
将不等式的解集表示在数轴上为： 
第32页（共50页） 
 
不等式组的解集为：
7
2
2
x
−

． 
21．解不等式组：
2
1
3 ,
2
1
0,
2
3
x
x
x
x
−
−
−

−


，并把它的解集在如
图所示的数轴上表示出来． 
 
【解答】解：
2
1
3
2
1
0
2
3
x
x
x
x
−

−
−
−


①
②
， 
解不等式①得：
1
x −， 
解不等式②得：
4
x
， 
不等式组的解集为：1
4
x
−
， 
在数轴上表示为： 
 
22．解不等式组：
3(
2) 2
5
3
1
2
1
2
x
x
x
x
+
+

+
−


． 
【解答】解：解不等式3(
2) 2
5
x
x
+
+ ，得：
1
x
−， 
解不等式
3
1
2
1
2
x
x
+
−
，得：
3
x ， 
则不等式组的解集为1
3
x
−
． 
23．解不等式组
5
1
3(
1)
2
1
5
1 1
3
2
x
x
x
x
−
+

−
+

−

，并把它们的解集表示
在数轴上． 
【解答】解：
(
)
5
1
3
1
2
1
5
1 1
3
2
x
x
x
x

−
+

−
+
−

①
②
， 
解不等式①得，
2
x 
， 
解不等式②得，
1
x
−， 
在数轴上表示如下： 
 
所以不等式组的解集为：1
2
x
−

． 
24．解不等式组
(
)
3
2
2
2
1
2
1
2
3
x
x
x
x

+

+

−
−


①
②
，并把解集在数轴上
表示出来． 
 
【解答】解：
(
)
3
2
2
2
1
2
1
2
3
x
x
x
x

+

+

−
−


①
②
， 
解不等式①得：
2
x 
， 
解不等式②得：
1
x
−， 
原不等式组的解集为：1
2
x
−

， 
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 
 
25．解关于x 的不等式组：
4(
1) 7
10
1
2
3
2
x
x
x
x
+
+

−
−


，把解集在
数轴上表示出来，并求出它所有整数解的和． 
【解答】解：由4(
1) 7
10
x
x
+
+
得：
2
x
−
， 
由
1
2
3
2
x
x
−
−

得：
5
3
x 
， 
则不等式组的解集为
5
2
3
x
−

， 
将解集表示在数轴上如下： 
 
所有整数解的和2 1 0 1
2
−−+
+ = −． 
26．解不等式组：
(
)
3
2
2
5
2
1
2
3
x
x
x
x

+

+

−
−

①
②
． 
【解答】解：解不等式①得：
1
x
−， 
解不等式②得：
2
x 
， 
则不等式组的解集为1
2
x
−

． 
27．解不等式组
3
2(
3)
1
1
1
2
3
x
x
x
x
−
−
−
+

−
−

，并把其解集表示在数
轴上． 
 
【解答】解：解不等式3
2(
3)
x
x
−
−
，得：
3
x
， 
解不等式
1
1
1
2
3
x
x
−
+
−
−，得：
1
x −， 
则不等式组的解集为1
3
x
−
， 
将不等式组的解集表示在数轴上如下： 
第33页（共50页） 
 
28．解不等式组
2(
1) 5
8
1
2
5
2
x
x
x
x
+
+

−
−


． 
【解答】解：
(
)
2
1
5
8
1
2
5
2
x
x
x
x
+
+

−
−


①
②
， 
解①得：
2
x
−
， 
解②得：
3
x ， 
2
3
x
−

． 
29．解不等式组：
(3
2)
4
1
2
( 1)
4
x
x
x
x
−
−

−
−−
−

． 
【解答】解：
(
)
(
)
3
2
4
1
2
1
4
x
x
x
x
−
−

−
−−
−

①
②
， 
解不等式①得， 
1
x −． 
解不等式②得， 
3
2
x
， 
所以不等式组的解集为：
3
1
2
x
−
． 
30．解不等式组
(
)
2
5
3
1
4
2
1 3
3
3
x
x
x
x

−

−

+
−

①
②
并将解集表示在数轴
上． 
【解答】解：由①得
2
x −， 
由②得
1
x
， 
解集为2
1
x
−
． 
解集表示在数轴上如下： 
★类型八、解二元一次方程组及三元一次方程组30 题★ 
1．解方程组：
2
1
3
2
11
x
y
x
y
−
=


+
=

． 
【解答】解：
2
1
3
2
11
x
y
x
y
−
=


+
=

①
②， 
①+ ②，可得4
12
x =
， 
解得
3
x = ， 
把
3
x = 代入①，可得：3
2
1
y
−
= ， 
解得
1
y = ， 
原方程组的解是
3
1
x
y
=


=

． 
2．解方程组：6
2
5
2
6
5
x
y
x
y
+
=


−
= −

． 
【解答】解：6
2
5
2
6
5
x
y
x
y
+
=


−
= −

①
②
， 
由①3
+ ②得
1
2
x =
； 
将
1
2
x =
代入②得
1
2
6
5
2
y

−
= −， 
解得
1
y = ； 

1
2
1
x
y
=


=

． 
3．解方程组：3
2
1,
3
7,
x
y
x
y
−
= −

+
=

①
②
． 
【解答】解：②3
−①，得 
11
22
y =
， 
解得
2
y =
， 
将
2
y =
代入①，得 
3
3
x =
， 
解得
1
x = ， 
原方程组的解为
1
2
x
y
=


=

． 
4．解方程组7
4
5
5
2
6
x
y
x
y
+
=


−
=

 
【解答】解：7
4
5
5
2
6
x
y
x
y
+
=


−
=

①
② 
①+ ②2
，可得17
17
x =
， 
解得
1
x = ， 
把
1
x = 代入①，解得
1
2
y = −
， 
原方程组的解是
1
1
2
x
y
=

= −

． 
5．解方程组：2
5
4
3
10
x
y
x
y
−
=


+
= −

． 
第34页（共50页） 
【解答】解：2
5
4
3
10
x
y
x
y
−
=


+
= −

①
②
， 
①3
+ ②得：10
5
x = ， 
解得：
1
2
x =
， 
把
1
2
x =
代入①得：
1
2
5
2
y

−
=
， 
解得：
4
y = −， 
所以方程组的解是
1
2
4
x
y
=


= −

． 
6．解方程组：
1
2
1
6
3
2
5
8
x
y
x
y
−
−

−=


−
=
−

． 
【解答】解：方程组整理得：
2
11
2
13
x
y
x
y
+
=


+
=

①
②， 
①2
−②得：3
9
y =
，解得
3
y =
， 
把
3
y =
代入①得：
6
11
x +
=
，解得
5
x =
， 
所以方程组的解为：
5
3
x
y
=


=

． 
7．解方程组
4
1
2
5
8
x
y
x
y
=
+


−
=

． 
【解答】解：把
4
1
x
y
=
+ 代入2
5
8
x
y
−
=
， 
解得
2
y −
， 
把
2
y =
代入
4
1
x
y
=
+ ， 
解得
4 2 1
9
x = + =
， 
方程组的解为：
9
2
x
y
=


=


 
8．解方程组
3
2
8,
5
6
x
y
x
y
−
+
=

−
=


①
②
． 
【解答】解：
3
2
8
5
6
x
y
x
y
−
+
=

−
=

①
②
， 
②3
，得3
15
18
x
y
−
=
③， 
①+ ③，得13
26
y
−
=
， 
解得
2
y = −， 
把
2
y = −代入②，得
4
x = −， 
所以方程组的解是
4
2
x
y
= −


= −

． 
9．用代入消元法解方程组：4
2
2
2
3
7
x
y
x
y
−
=


+
= −

①
②
． 
【解答】解：4
2
2
2
3
7
x
y
x
y
−
=


+
= −

①
②
， 
由②，得2
7
3
x
y
= −−
③， 
把③代入①，得2( 7
3 )
2
2
y
y
−−
−
=
， 
7
3
1
y
y
−−
−
= ， 
解得：
2
y = −， 
把
2
y = −代入③，得2
7
3 ( 2)
x = −−−
， 
解得：
1
2
x = −
， 
方程组的解为
1
2
2
x
y
= −


= −

． 
10．解方程组：
2
1
3
4
2
4
x
y
x
y
+

+
=


+
=

． 
【解答】解：方程组化简为：4
3
4
2
4
x
y
x
y
+
=


+
=

①
②， 
②2
得：4
2
8
x
y
+
=
③， 
①−③得：
4
y = −， 
把
4
y = −代入②得：
4
x =
， 
方程组的解为：
4
4
x
y
=


= −

． 
11．解方程组：
1
1
2
3
2(
)
8
3
x
y
x
y
y
+
+

=


−
=
−

． 
【解答】解：将原方程组化简整理得：3
2
1
2
8
x
y
x
y
−
= −


+
=

①
②
， 
①+ ②2
得，3
4
1 16
x
x
+
= −+
， 
7
15
x

=
， 
解得，
15
7
x =
， 
把
15
7
x =
代入②得，
15
2
8
7
y

+
=
， 
解得，
26
7
y =
， 
原方程的解为
15
7
26
7
x
y
=


=

． 
第35页（共50页） 
12．解方程组2
3
2
0
4
9
1
0
x
y
x
y
+
−
=


−
+ =

． 
【解答】解：2
3
2
0
4
9
1
0
x
y
x
y
+
−
=


−
+ =

①
②
， 
①3
+ ②得：10
5
0
x −
=
， 
解得：
0.5
x =
， 
把
0.5
x =
代入①得：
1
3
y =
， 
所以方程组的解为：
0.5
1
3
x
y
=

=

． 
13．解二元一次方程方程组：3
5
9
2
3
13
x
y
x
y
+
= −


−
=

①
②． 
【解答】解：3
5
9
2
3
13
x
y
x
y
+
= −


−
=

①
②， 
①2
，得6
10
18
x
y
+
= −
③， 
②3
，得6
9
39
x
y
−
=
④， 
③−④，得19
57
y = −
， 
解得
3
y = −， 
把
3
y = −代入②，得
2
x =
， 
所以方程组的解是
2
3
x
y
=


= −

． 
14．解方程组：3
2
11
2
3
16
x
y
x
y
−
=


+
=

． 
【解答】解：3
2
11
2
3
16
x
y
x
y
−
=


+
=

①
②， 
①3
+ ②2
，得13
65
x =
， 
解得
5
x =
， 
把
5
x =
代入①，得
2
y =
， 
故方程组的解为
5
2
x
y
=


=

． 
15．解二元一次方程组：
3
2
10
1
1
2
3
x
y
x
y
+
=

+

−
=

 
【解答】解：原方程组化为3
2
10
3
2
8
x
y
x
y
+
=


−
=

①
②， 
①+ ②得：6
18
x =
， 
解得：
3
x = ， 
把
3
x = 代入②得：9
2
8
y
−
=
， 
解得：
0.5
y =
， 
所以原方程组的解为：
3
0.5
x
y
=


=

． 
16．解方程组：
2
2
3
14
x
y
x
y
=


+
=

． 
【解答】解：
2
2
3
14
x
y
x
y
=


+
=

①
②
， 
将①代入②得：4
3
14
y
y
+
=
， 
解得：
2
y =
， 
将
2
y =
代入①得：
4
x =
， 
故原方程组的解为
4
2
x
y
=


=

． 
17．解方程组7
4
13;
5
6
3.
a
b
a
b
−
=


−
=

． 
【解答】解：7
4
13
5
6
a
b
a
b
−
=


−

①
②
， 
①3
−②2
，得：21
10
39
6
a
a
−
=
−
， 
解得：
3
a =
， 
将
3
a =
代入①得：7 3
4
13
b
−
=
， 
解得：
2
b =
， 
这个方程组的解为
3
2
a
b
=

=

． 
18．解方程组3
2
1
2
3
8
x
y
x
y
−
= −


+
=

． 
【解答】解：方程组3
2
1
2
3
8
x
y
x
y
−
= −


+
=

①
②， 
①2
−②3
得：13
26
y
−
= −
， 
解得
2
y =
， 
将
2
y =
代入①式得：3
4
1
x −
= −， 
解得
1
x = ， 
故方程组的解为：
1
2
x
y
=


=

． 
19．解二元一次方程组：
1
4
3
0.3
0.6
y
x
x
y

−
=


−
=

． 
【解答】解：方程组整理得：3
4
12
3
10
6
y
x
x
y
−
=


−
=

①
②， 
第36页（共50页） 
①3
+ ②4
，得31
60
y
−
=
， 
解得：
60
31
y = −
， 
把
60
31
y = −
代入①，得
180
4
12
31
x
−
−
=
， 
解得
138
31
x = −
， 
原方程组的解是
138
31
60
31
x
y
= −


= −

． 
20．解方程组：
2
2
3
4
0
2
6
x
xy
y
x
y

−
−
=
+
=

①
②
． 
【解答】解：
2
2
3
4
0
2
6
x
xy
y
x
y

−
−
=
+
=

①
②
， 
由①，得(
4 )(
)
0
x
y x
y
−
+
=
， 
4
0
x
y
−
=
或
0
x
y
+
=
， 
4
x
y
=
或x
y
= −， 
把
4
x
y
=
代入②，得4
2
6
y
y
+
=
， 
解得：
1
y = ， 
即
4 1
4
x = =
； 
把x
y
= −代入②，得
2
6
y
y
−+
=
， 
解得：
6
y =
， 
即
6
x = −， 
所以方程组的解是
1
1
4
1
x
y
=


=

，
2
2
6
6
x
y
= −


=

． 
21．解方程组：
2
1
3
3
2
2
3
7
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
−
=


−
+
=


+
+
=

． 
【解答】解：
2
1
3
3
2
2
3
7
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
−
=


−
+
=


+
+
=

①
②
③
， 
①+ ②，得4
3
x
y
−
=
④， 
①+ ③，得3
5
8
x
y
+
=
⑤， 
由④和⑤组成一个二元一次方程组： 
4
3
3
5
8
x
y
x
y
−
=


+
=

， 
解得：
1
1
x
y
=


=

， 
把
1
1
x
y
=


=

代入①，得1
2
1
z
+
−
= ， 
解得：
2
z =
， 
所以方程组的解是
1
1
2
x
y
z
=


=

=

． 
22．
6
2
5
7
4
x
y
z
x
y
z
x
y
+
+
=

−
+
=

=

①
②
③
． 
【解答】解：
2
5
4
x
y
z
x
y
z
x
y
+
+

−
+

=

①
②
③
， 
③5
−②得：14
33
23
x
y
−
=
， 
由①得：
2
7
y
x
=
−
，代入得：14
33(2
7)
23
x
x
−
−
=
， 
解得：
4
x =
， 
将
4
x =
代入得：
1
y = ， 
将
4
x =
，
1
y = 代入得：
1
z = ， 
则方程组的解为
4
1
1
x
y
z
=


=

=

． 
23．解方程组：
2
1
0
2
5
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
−
= −

−
−
=

−
+
=

． 
【解答】解：
2
1
0
2
5
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
−
= −

−
−
=

−
+
=

①
②
③
， 
①−③2
，得5
3
11
y
z
−
= −
④ 
②−③，得
2
5
y
z
−
= −⑤ 
④、⑤联立方程组得5
3
11
2
5
y
z
y
z
−
= −


−
= −

， 
解得
1
2
y
z
= −

=

， 
把
1
2
y
z
= −

=

代入②得：
1 2
0
x + −
=
，解得
1
x = ． 
故原方程组的解为
1
1
2
x
y
z
=


= −

=

． 
第37页（共50页） 
24．解方程组：3
18
10
x
y
z
x
y
x
y
z
=
+


+
=

+
+
=

． 
【解答】解：3
18
10
x
y
z
x
y
x
y
z
=
+


+
=


+
+
=

①
②
③
， 
将①代入②得：3(
)
18
y
z
y
+
+
=
， 
整理得：4
3
18
y
z
+
=
④， 
将①代入③得：
10
y
z
y
z
+
+
+
=
， 
整理得：
5
y
z
+
=
⑤， 
⑤3
得：3
3
15
y
z
+
=
⑥， 
④−⑥得：
3
y =
， 
把
3
y =
代入⑤得：3
5
z
+
=
， 
解得：
2
z =
， 
把
3
y =
，
2
z =
代入①得：
5
x =
， 
原方程组的解为：
5
3
2
x
y
z
=


=

=

． 
25．解方程组：
3
2
3
2
3
2
4
3
3
2
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=


−
−
= −


+
−
= −

． 
【解答】解：
3
2
3
2
3
2
4
3
3
2
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=


−
−
= −


+
−
= −

①
②
③
， 
①+ ②得3
1
x
z
+
= ④， 
( ②+ ③)
2

得3
2
2
x
z
−
= −⑤， 
④与⑤组成方程组得3
1
3
2
2
x
z
x
z
+
=


−
= −

④
⑤， 
解得
0
1
x
z
=

=

， 
把
0
1
x
z
=

=

代入①得，0
3
2
3
y
+
+
=
， 

1
3
y =
， 
方程组的解为
0
1
3
1
x
y
z
=


=


=

． 
26．解方程组
3
3
2
3
6
x
y
x
y
z
x
y
z
+
=

−
+
= −

−
+
+
= −

①
②
③
． 
【解答】解：②−③得：4
4
4
x
y
−
=
， 
即
1
x
y
−
= ④， 
④+ ①得：2
4
x =
， 
解得：
2
x =
， 
把
2
x =
代入①得：
1
y = ， 
把
2
x =
，
1
y = 代入②得：2
3
2
z
−+
= −， 
解得：
1
z = −， 
所以原方程组的解为
2
1
1
x
y
z
=


=

= −

． 
27．解方程组：
3
4,
3
4
5,
3
5
10
x
y
y
z
x
z
−
= −


−
=


−
=


①
②
③
． 
【解答】解：
3
4,
3
4
5,
3
5
10
x
y
y
z
x
z
−
= −


−
=


−
=


①
②
③
， 
①+ ②，得：
4
1
x
z
−
= ④， 
④3
−③，得：7
7
z
−
= −， 
1
z

= ， 
将
1
z = 代入④中，得：
4
1
x −
= ， 
5
x
=
， 
将
1
z = 代入②中，得：3
4
5
y −
=
， 
3
y

=
． 
方程组的解为
5
3
1
x
y
z
=


=

=

． 
28．解方程组：
2
3
2
7
x
y
z
x
y
x
y
z
+
+
=

−
=


−
+
=

． 
【解答】解：
2
3
2
7
x
y
z
x
y
x
y
z
+
+
=

−
=


−
+
=

①
②
③
， 
③−①得，
2
5
x
y
−
=
④， 
②−④得，
2
y = −， 
将
2
y = −代入②得，
1
x = ， 
将
1
x = ，
2
y = −代入①得，
3
z =
， 
第38页（共50页） 
方程组的解为
1
2
3
x
y
z
=


= −

=

． 
29．解方程组：
3
2
5
2
2
6
4
2
7
30.
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=

−
−
=


+
−
=

． 
【解答】解：
3
2
5
2
2
6
4
2
7
30
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
+
=

−
−
=


+
−
=

①
②
③
， 
①+ ②，得
2
x
z
+
=
④， 
②+ ③，得5
8
36
x
z
−
=
⑤， 
④5
−⑤，得13
26
z = −
， 
解得
2
z = −， 
把
2
z = −代入④，得
4
x =
， 
把
4
x =
，
2
z = −代入②，得
0
y =
． 
所以原方程组的解是
4
0
2
x
y
z
=


=

= −

． 
30．解方程组：
2
7
1
3
4
y
x
x
y
z
x
z
=
−

+
+
=


−
=

． 
【解答】解：
2
7
1
3
4
y
x
x
y
z
x
z
=
−

+
+
=


−
=

①
②
③
， 
①代入②得， 
2
7
1
x
x
z
+
−
+
= ， 
即3
8
x
z
+
= ④， 
③+ ④得，6
12
x =
， 
解得
2
x =
， 
把
2
x =
代入①得，
2
2
7
3
y =

−
= −， 
把
2
x =
，
3
y = −代入②得，2
3
1
z
−+
= ， 
解得
2
z =
， 
所以原方程组的解为
2
3
2
x
y
z
=


= −

=

． 
★类型九、解分式方程60 题★ 
1．解方程：1
1
3
2
6
x
x
x
x
−
=
−
−
−
． 
【解答】解：1
1
3
2
6
x
x
x
x
−
=
−
−
−
， 
2(1
)
(2
6)
x
x
x
−
=
−
−
， 
2
2
2
6
x
x
x
−
=
−
+
， 
2
2
6
2
x
x
x
−
−
+
=
−
， 
4
x
−=
， 
4
x = −， 
检验，
4
x = −时，2
6
0
x −

． 
4
x
= −是原分式方程的解． 
2．解方程：
2
1
2
1
1
2
x
x
x
= −
−
−
． 
【解答】解：原方程即
2
1
2
1
2
1
x
x
x
= +
−
−
 
去分母得
2
1
2
x
x
=
−+
 
1
x = − 
经检验：
1
x = − 
是原方程的解． 
所以原方程的解是
1
x = − 
3．解方程：
2
1
1
1
x
x
x
−
−=
+
． 
【解答】解：原方程去分母得：2
(
1)
(1
)(
1)
x
x x
x x
−
+
=
−
+
， 
解得：
1
x = ， 
检验：当
1
x = 时，(
1)
0
x x +

， 
故原方程的解为
1
x = ． 
4．解分式方程：
2
18
1
3
9
x
x
x
−=
−
−
． 
【解答】解：方程两边同乘以(
3)(
3)
x
x
+
−
，得
(
3)
(
3)(
3)
18
x x
x
x
+
−
+
−
=
， 
化简得3
9
18
x +
=
， 
解得：
3
x =
， 
经检验
3
x =
是增根，原分式方程无解． 
5．解分式方程：
2
1
2
7
1
1
1
x
x
x
+
=
+
−
−
． 
【解答】解：去分母得：
1 2
2
7
x
x
−+
+
=
， 
移项合并得：3
6
x =
， 
解得：
2
x =
， 
经检验
2
x =
是分式方程的解． 
6．解分式方程：
2
5
8
3
1
9
3
x
x
x
x
−
−
−
=
−
+
． 
【解答】解：
2
5
8
3
1
9
3
x
x
x
x
−
−
−
=
−
+
， 
方程两边同时乘(
3)(
3)
x
x
+
−
，得
5
8
(3
)(
3)
(
3)(
3)
x
x x
x
x
−
−
−
−
=
+
−
，即
2
5
8
(
3)
(
3)(
3)
x
x
x
x
−+
−
=
+
−
， 
去括号，得
2
2
5
8
6
9
9
x
x
x
x
−
+
−
+
=
−
， 
移项、合并同类项，得
10
x
−= −
， 
解得：
10
x =
， 
检验：把
10
x =
代入(
3)(
3)
0
x
x
+
−

， 
分式方程的解为
10
x =
． 
第39页（共50页） 
7．解分式方程：
2
2
1
2
5
2
5
x
x
x
−=
−
+
． 
【解答】解：去分母得：
2 (2
5)
(2
5)(2
5)
2(2
5)
x
x
x
x
x
+
−
−
+
=
−
， 
去括号得：
2
2
4
10
4
25
4
10
x
x
x
x
+
−
+
=
−
， 
移项得：10
4
10
25
x
x
−
= −
−
， 
合并得：6
35
x = −
， 
化系数为1，得：
35
6
x = −
， 
经检验：
35
6
x = −
是原方程的根． 
8．解方程：
2
4
1
1
1
1
x
x
x
+
+ =
−
−
． 
【解答】解：去分母，得
2
2
4
1
(
1)
x
x
+
−=
+
， 
去括号，得
2
2
4
1
2
1
x
x
x
+
−=
+
+ ， 
移项、合并同类项，得2
2
x
−
= −， 
系数化为1，得
1
x = ， 
检验：当
1
x = 时，(
1)(
1)
0
x
x
+
−
=
， 
1
x
= 是方程的增根，故原方程无解． 
9．解方程
1
2
1
1
(
1)
x
x
x x
+ −
=
+
−
． 
【解答】解：原方程约分得
2
1
1
(
1)
x x
−
=
−
， 
移项合并同类项，得
2
0
(
1)
x x
−
=
−
， 
2
0
−
， 
原方程无解． 
10．解方程：
1
2
1
1
3
3
x
x
x
−
=
−
−
． 
【解答】解：
1
2
1
1
3
3
x
x
x
−
=
−
−
， 
方程可化为
1
2
1
1
3(1
)
x
x
x
+
=
−
−
， 
方程两边同乘3(1
)
x
−
，得3
2
3(1
)
x
x
+
=
−
， 
解得
0
x =
， 
检验：当
0
x =
时，3(1
)
0
x
−

， 
所以原分式方程的解是
0
x =
． 
11．解方程：
1
3
2
5
x
x
=
−
． 
【解答】解：原方程去分母得：
6
15
x
x
=
−
， 
解得：
3
x = ， 
检验：当
3
x = 时，(2
5)
0
x
x −

， 
故原方程的解为
3
x = ． 
12．解方程
3
2
1
2(
1)
x
x
x
=
+
−
−
． 
【解答】解：去分母得：2
3
4
4
x
x
= +
−
， 
移项合并得：2
1
x = ， 
解得：
1
2
x =
， 
经检验
1
2
x =
是分式方程的解． 
13．解分式方程：
2
4
1
2
2
x
x
x
x
+
= −
−
−
． 
【解答】解：
2
4
1
2
2
x
x
x
x
+
= −
−
−
， 
去分母得：
2
2
4
2
x
x
x
−
= −
+
， 
解得：
2
x =
， 
当
2
x =
时，2
0
x
−
=
，
2
2
0
x
x
−
=
， 
原方程无解． 
14．解方程：
6
1
3
3
x
x
x
+
=
−
+
． 
【解答】解：方程两边乘(
3)(
3)
x
x
−
+
， 
得
2
(
3)
6(
3)
9
x x
x
x
+
+
−
=
−
， 
解得：
1
x = ， 
检验：当
1
x = 时，(
3)(
3)
0
x
x
−
+

， 
所以，原分式方程的解为
1
x = ． 
15．解分式方程：
3
1
2
4
4
x
x
x
−
+
=
−
−
． 
【解答】解：原方程可化为：3
2(
4)
1
x
x
−+
−
= −
，解得
4
x =
， 
把
4
x =
代入
4
x −
得，4
4
0
−
=
， 
故
4
x =
是原分式方程的增根，原方程无解． 
16．解方程：
3
1
1
(
1)(
2)
x
x
x
x
−=
−
−
+
 
【解答】解：方程两边乘(
1)(
2)
x
x
−
+
，得
(
2)
(
1)(
2)
3
x x
x
x
+
−
−
+
=
 
即：
2
2
2
2
3
x
x
x
x
+
−
−
+
=
 
整理，得
1
x = 
检验：当
1
x = 时，(
1)(
2)
0
x
x
−
+
=
， 
原方程无解． 
17．解方程：
3
1
1
3(
1)
x
x
x
=
−
+
+
． 
【解答】解：
3
1
1
3(
1)
x
x
x
=
−
+
+
， 
方程两边都乘3(
1)
x +
，得9
3(
1)
x
x
=
−
+
， 
9
3
3
x
x
=
−
−， 
3
3
9
x
x
−
= −−， 
2
12
x = −
， 
6
x = −， 
检验：当
6
x = −时，3(
1)
0
x +

， 
所以分式方程的解是
6
x = −． 
18．解分式方程：2
1
5
(
2)
2
x
x x
x
+
=
−
． 
第40页（共50页） 
【解答】解：2
1
5
(
2)
2
x
x x
x
+
=
−
， 
等号两边同时乘以2 (
2)
x x −
，可得4(
2)
2
5(
2)
x
x
−
+
=
−
， 
去括号，得4
8
2
5
10
x
x
−+
=
−
， 
移项、合并同类项，得
4
x
−= −， 
系数化为1，得
4
x =
， 
经检验，
4
x =
是该分式方程的解， 
所以，该分式方程的解为
4
x =
． 
19．解下列分式方程： 
2
2
6
0
2
4
x
x
−
=
−
−
． 
【解答】解：
2
2
6
0
2
4
x
x
−
=
−
−
， 
2
6
0
2
(
2)(
2)
x
x
x
−
=
−
+
−
， 
2(
2)
6
0
x +
−
=
， 
解得：
1
x = ， 
检验：当
1
x = 时，(
2)(
2)
0
x
x
+
−

， 
1
x
= 是原方程的根． 
20．解方程：
2
2
3
1
2
1
1
1
x
x
x
x
−
−
=
−
+
−
． 
【解答】解：两边同乘(
1)(
1)
x
x
+
−
得：
2
3
(
1)
2(
1)
x
x
x
−
−
−
=
+
， 
解得：
4
x = −， 
检验：把
4
x = −代入得：(
1)(
1)
0
x
x
+
−

， 
分式方程的解为
4
x = −． 
21．解方程
2
4
1
1
3
9
x
x
x
−
−
=
−
−
． 
【解答】解：原方程去分母得：
2
(
3)(
4) 1
9
x
x
x
+
−
+ =
−
， 
整理得：
11
9
x
−−
= −， 
解得：
2
x = −， 
检验：当
2
x = −时，
2
9
0
x −

， 
故原方程的解为
2
x = −． 
22．解分式方程：
3
2
1
2
2
x
x
x
=
+
−
−
． 
【解答】解：
3
2
1
2
2
x
x
x
=
+
−
−
， 
方程两边同乘以2(
1)
x −
，得2
3
4(
1)
x
x
=
+
−
， 
去括号，得2
3
4
4
x
x
= +
−
， 
移项，得2
4
3
4
x
x
−
= −
， 
合并同类项，得2
1
x
−
= −， 
系数化为1，得
1
2
x =
， 
经检验，
1
2
x =
是原分式方程的解， 
故方程的解为
1
2
x =
． 
23．解方程：
2
2
5
5
1
2
2
x
x
x
x
x
−
−
+ =
−
−
． 
【解答】解：
2
2
5
5
1
2
2
x
x
x
x
x
−
−
+ =
−
−
， 
2
2
5
2
(
5)
x
x
x
x x
−+
−
=
−
， 
2
2
2
5
2
5
x
x
x
x
x
−
+
−
=
−
， 
解得，
1
x = ， 
经检验，
1
x = 是原分式方程的解． 
24．解方程：
1
1
2
3
3
x
x
x
−
−
=
−
−
． 
【解答】解：方程两边同乘以(
3)
x −
得：
1
2(
3)
1
x
x
−−
−
= ， 
解得：
4
x =
， 
检验：当
4
x =
时，
3
0
x −
， 
所以
4
x =
是原方程的解． 
25．解方程
2
2
:
1
2
2
x
x
x
x
+
= −
−
−
． 
【解答】解：
2
2
1
2
2
x
x
x
x
+
= −
−
−
， 
2
1
(
2)
2
x
x x
x
−
= −
−
−
， 
方程两边都乘(
2)
x x −
，得
2
2
(
2)
x
x x
−
= −
−
， 
2
2
2
2
x
x
x
−
= −
+
， 
2
2
2
2
x
x
x
−
+
−
= −， 
2
2
x
−
= −， 
1
x = ， 
检验：当
1
x = 时，(
2)
0
x x −

， 
所以分式方程的解是
1
x = ． 
26．解方程：
2
3
3
1
1
1
x
x
x
x
+
−
=
+
−
． 
【解答】解：原方程两边都乘(
1)(
1)
x
x
+
−
，去分母得
(
3)(
1)
3
(
1)(
1)
x
x
x
x
x
+
−
−
=
+
−
， 
解得：
2
x = −， 
检验：当
2
x = −时，(
1)(
1)
0
x
x
+
−

， 
故原分式方程的解是
2
x = −． 
27．解方程：
2
3
1
2
2
1
x
x
x
x
−
−
=
+
+ ． 
【解答】解：
2
3
1
2
2
1
x
x
x
x
−
−
=
+
+ ， 
去分母得：2
2
2
6
x
x
x
+
−
+
=
， 
解得：
4
5
x =
， 
经检验，
4
5
x =
是原分式方程的解， 
所以方程的解为
4
5
x =
． 
第41页（共50页） 
28．解方程
3
:
2
3
3
x
x
x
+
=
−
−
． 
【解答】解：原方程去分母得：
2(
3)
3
x
x
+
−
= −， 
整理得：3
6
3
x −
= −， 
解得：
1
x = ， 
检验：当
1
x = 时，
3 1 3
2
0
x −= −= −
， 
故原分式方程的解为
1
x = ． 
29．解方程：
2
2
5
1
0
x
x
x
x
−
=
+
−
 
【解答】解：去分母得：5
5
1
0
x
x
−−
−=
， 
解得：
3
2
x =
， 
经检验
3
2
x =
是分式方程的解． 
30．解分式方程：
1
3
1
2
2
4
2
x
x
x
+
=
−
−
． 
【解答】解：
1
3
1
2
2
4
2
x
x
x
+
=
−
−
． 
方程两边都乘2(
2)
x −
，得2
3
2
x
x
+
=
−
， 
解这个方程，得
2
x = −， 
检验：当
2
x = −时，2(
2)
0
x −

， 
所以分式方程的解是
2
x = −． 
31．解方程：
1
2
1
2
1
3
6
3
x
x
x
−
+
=
−
−
． 
【解答】解：原方程去分母得：3
(
2)
2
1
x
x
−
−
=
−， 
整理得：3
2
2
1
x
x
−
+
=
−， 
解得：
2
x =
， 
检验：当
2
x =
时，3(2
1)
0
x −

， 
故原方程的解为
2
x =
． 
32．解分式方程：
2
2
1
3
1
1
1
x
x
x
−
=
−
+
−
． 
【解答】解：方程两边同时乘以(
1)(
1)
x
x
+
−
得： 
2(
1)
(
1)
3
x
x
+
−
−
= −， 
解得：
6
x = −， 
检验：当
6
x = −时， 
(
1)(
1)
x
x
+
−
 
( 6
1)( 6
1)
= −+
−−
 
35
0
=

， 
原方程的解为
6
x = −． 
33．解方程：
2
6
1
0
9
3
x
x
+
=
−
−
． 
【解答】解：原分式方程整理得：
6
1
0
(
3)(
3)
3
x
x
x
−
=
−
+
−
， 
6
(
3)
0
x
−
+
=
， 
解得：
3
x = ， 
当
3
x = 时，(
3)(
3)
0
x
x
−
+
=
， 
分式方程无解． 
34．解方程：2
1
1
6
5
3
3
3
9
x
x
x
x
−
−
−
=
−
−
． 
【解答】解：2
1
1
6
5
3
3
3
9
x
x
x
x
−
−
−
=
−
−
， 
3(2
1)
(
3)
6
5
x
x
x
−
−
−
=
−
， 
6
3
3
6
5
x
x
x
−−
+ =
−
， 
解得：
5
x =
， 
经检验：
5
x =
是原方程的解， 
原方程的解是
5
x =
． 
35．解分式方程：
3
1
1
(
1)(
2)
x
x
x
x
−
=
−
−
+
． 
【解答】解：去分母得：(
2)
3
(
1)(
2)
x x
x
x
+
−
=
−
+
， 
2
2
2
3
2
x
x
x
x
+
−
=
+
−
， 
1
x = ， 
检验：
当
1
x = 时，(
1)(
2)
0
x
x
−
+
=
， 
1
x
= 不是原分式方程的解， 
原分式方程无解． 
36．解方程：
2
1
2
2
1
1
1
x
x
x
x
+
+
=
−
+
−
． 
【解答】解：
2
1
2
2
1
1
1
x
x
x
x
+
+
=
−
+
−
， 
方程两边同乘以(
1)(
)
x
x
+
−得： 
1
2(
1)
2
x
x
x
+ +
−
=
+
， 
去括号，移项，合并同类项得： 
2
3
x =
， 
3
2
x

=
． 
经检验，
3
2
x =
是原方程的解， 
3
2
x

=
． 
37．解分式方程：
2
2
1
0
4
2
x
x
x
−
=
−
+
； 
【解答】解：
2
1
0
(
2)(
2)
2
x
x
x
x
−
=
+
−
+
， 
去分母得2
(
2)
0
x
x
−
−
=
， 
解得：
2
x = −， 
检验当
2
x = −时，(
2)(
2)
0
x
x
+
−
=
， 
所以
2
x = −是分式方程的增根，不是原方程的解． 
原方程无解； 
38．解分式方程：
2
2
3
3
1
6
9
3
x
x
x
x
x
x
+
−
= −
−
+
−
． 
【解答】解： 
去分母得：
2
2
3
9
(
3)
x
x
x
−
+
= −
−
， 
3
18
x =
， 
解得：
6
x =
， 
第42页（共50页） 
检验当
6
x =
时，
2
(
3)
6 9
54
0
x x −
= =

， 
所以
6
x =
是原方程的解． 
39．解方程 
3
1
2
4
4
x
x
x
−
=
−
−
−
； 
【解答】解：3
1
2
4
4
x
x
x
−
=
−
−
−
 
去分母得：3
1
2(
4)
x
x
−
= −−
−
 
解得：
4
x =
， 
检验：当
4
x =
时，
4
0
x −
=
， 
原方程无解； 
40．解方程
2
4
1
2
4
4
x
x
x
x
−=
−
−
+
 
【解答】解：
2
4
1
2
4
4
x
x
x
x
−=
−
−
+
 

2
4
1
2
(
2)
x
x
x
−=
−
−
 
去分母得：
2
(
2)
(
2)
4
x x
x
−
−
−
=
， 
解得：
4
x =
， 
检验：当
4
x =
时，
2
(
2)
0
x −

， 
原方程的解为
4
x =
． 
41．解方程：3
5
1
2
2
2
x
x
x
x
−
+
=
+
−
−
． 
【解答】解：去分母得：3
5
2(
2)
(
1)
x
x
x
−
=
−
−
+
， 
去括号得：3
5
2
4
1
x
x
x
−=
−−
−， 
移项合并得：2
0
x =
， 
解得：
0
x =
， 
经检验
0
x =
是分式方程的解． 
42．解方程：
2
1
3
1
1
1
x
x
x
−
=
+
+
−
． 
【解答】解：
2
1
3
1
1
1
x
x
x
−
=
+
+
−
， 
2
(
1)
3
(
1)(
1)
x
x
x
−
=
+
+
−
， 
2
2
2
1
3
1
x
x
x
−
+ =
+
−， 
解得：
1
2
x = −
， 
检验：当
1
2
x = −
时，
1
1
3
(
1)(
1)
(
1)(
1)
0
2
2
4
x
x
+
−
= −
+
−
−
= −

， 
所以
1
2
x = −
是原分式方程的解． 
43．解方程：
2
2
6
1
1
3
9
3
x
x
x
+
=
+
+
−
−
． 
【解答】解：
2
2
6
1
1
3
9
3
x
x
x
+
=
+
+
−
−
， 
方程两边同时乘(
3)(
3)
x
x
+
−
，得
2(
3)
6
3
(
3)(
3)
x
x
x
x
−
+
=
+
+
+
−
， 
去括号，得
2
2
6
6
3
9
x
x
x
−
+
=
+
+
−
， 
移项、合并同类项，得
2
6
0
x
x
−
−
=
， 
(
2)(
3)
0
x
x

+
−
=
， 
2
x
= −或
3
x =
， 
检验：把
3
x =
代入(
3)(
3)
0
x
x
+
−
=
， 
3
x
=
是原分式方程的增根． 
把
2
x = −代入(
3)(
3)
0
x
x
+
−

， 
分式方程的解为
2
x = −． 
44．解分式方程：
2
4
64
1
4
16
x
x
x
+
−
=
−
−
． 
【解答】解：
2
4
64
1
4
16
x
x
x
+
−
=
−
−
， 
方程两边同时乘(
4)(
4)
x
x
+
−
，得
2
2
(
4)
64
16
x
x
+
−
=
−
， 
即
2
2
8
16
64
16
x
x
x
+
+
−
=
−
， 
解得：
4
x =
， 
检验：把
4
x =
代入(
4)(
4)
0
x
x
+
−
=
， 
4
x
=
是分式方程的增根， 
分式方程无解． 
45．解分式方程： 
（1）11
2
1
4
4
x
x
x
x
−
−
=
−
−
； 
（2）3
6
5
1
(1
)
x
x
x
x
x
+
−
=
−
−
． 
【解答】解：（1）11
2
1
4
4
x
x
x
x
−
−
=
−
−
， 
11
2
(1
)
x
x
−
= −
−
， 
解得：
4
x =
， 
检验：当
4
x =
时，4
0
x
−
=
， 
4
x
=
是原方程的增根， 
原方程无解； 
（2）3
6
5
1
(1
)
x
x
x
x
x
+
−
=
−
−
， 
3(1
)
6
5
x
x
x
−
−
=
+
， 
解得：
0.2
x = −
， 
检验：当
0.2
x = −
时，(1
)
0
x
x
−

， 
0.2
x
= −
是原方程的根． 
46．解分式方程：2
1
5
(
2)
2
x
x x
x
+
=
−
． 
【解答】解：2
1
5
(
2)
2
x
x x
x
+
=
−
， 
等号两边同时乘以2 (
2)
x x −
，可得4(
2)
2
5(
2)
x
x
−
+
=
−
， 
去括号，得4
8
2
5
10
x
x
−+
=
−
， 
移项、合并同类项，得
4
x
−= −， 
第43页（共50页） 
系数化为1，得
4
x =
， 
经检验，
4
x =
是该分式方程的解， 
所以，该分式方程的解为
4
x =
． 
47．解方程：
2
4
2
2
4
x
x
x
x
x
−
=
−
+
−
． 
【解答】解：
2
4
2
2
4
x
x
x
x
x
−
=
−
+
−
 
(
2)
(
2)
4
x x
x x
+
−
−
=
， 
2
2
2
2
4
x
x
x
x
+
−
+
=
， 
4
4
x =
， 
1
x = ， 
检验：当
1
x = 时，
2
4
0
x −

， 
1
x
= 是原分式方程的根． 
48．解方程：
1
4
0
2
(
2)(
2)
x
x
x
−
=
−
−
+
． 
【解答】解：原方程去分母得到，
2
4
0
x +
−
=
， 
解得
2
x =
， 
当
2
x =
时，(
2)(
2)
0
x
x
+
−
=
， 
2
x
=
是增根，分式方程无解． 
49．解分式方程
3
1
1
(
1)(
2)
x
x
x
x
−=
−
−
+
． 
【解答】解：原方程两边同乘(
1)(
2)
x
x
−
+
，去分母得：
(
2)
(
1)(
2)
3
x x
x
x
+
−
−
+
=
， 
整理得：
2
2
2
2
2
3
x
x
x
x
x
+
−
−
+
+
=
， 
移项，合并同类项得：
1
x = ， 
检验：将
1
x = 代入(
1)(
2)
x
x
−
+
得：0 3
0
=
， 
则
1
x = 是分式方程的增根， 
故原分式方程无解． 
50．解分式方程：
2
1
1
4
1
1
1
x
x
x
x
x
+
−
−
=
−
+
−
． 
【解答】解：
2
1
1
4
1
1
1
x
x
x
x
x
+
−
−
=
−
+
−
， 
方程两边同时乘(
1)(
1)
x
x
+
−
，得
2
2
(
1)
(
1)
4
x
x
+
−
−
=
， 
2
2
2
1
2
1
4
x
x
x
x

+
+ −
+
−=
， 
解得：
1
x = ， 
检验：把
1
x = 代入(
1)(
1)
0
x
x
+
−
=
， 
1
x
= 是分式方程的增根， 
分式方程无解． 
51．解方程
2
3
:
1
3
9
x
x
x
−=
+
−
． 
【解答】解：
2
3
1
3
9
x
x
x
−=
+
−
， 
方程变形，得
2
3
1
3
9
x
x
x
−= −
+
−
， 
方程两边同乘(
3)(
3)
x
x
+
−
，得
2
(
3)
(
9)
3
x x
x
−
−
−
= −， 
去括号，得
2
2
3
9
3
x
x
x
−
−
+
= −， 
解得：
4
x =
， 
检验：当
4
x =
 时，
2
9
0
x −

， 
原分式方程的解为
4
x =
． 
52．解分式方程：3
3
2
2
x
x
x
x
−
−
=
−
−
． 
【解答】解：3
3
2
2
x
x
x
x
−
−
=
−
−
， 
方程两边都乘2
x
−
，得3
3(2
)
x
x
x
−
−
−
= −， 
3
6
3
x
x
x
−
−+
= −， 
3
6
3
x
x
x
−+
+
=
−
， 
3
3
x =
， 
1
x = ， 
检验：当
1
x = 时，2
0
x
−

， 
所以分式方程的解是
1
x = ． 
53．解分式方程：
4
1
2
3
6
x
x
x
x
−
−=
+
+
． 
【解答】解：
4
1
2
3
6
x
x
x
x
−
−=
+
+
， 
方程两边同时乘3(
2)
x +
，得3
3(
2)
4
x
x
x
−
+
=
−
， 
去括号，得3
3
6
4
x
x
x
−
−
=
−
， 
解得：
2
x = −， 
检验：把
2
x = −代入3(
2)
0
x +
=
， 
2
x
= −是原分式方程的增根， 
原分式方程无解． 
54．解方程：
2
2
16
1
2
4
2
x
x
x
x
+
−
=
−
−
+
． 
【解答】解：去分母得：
2
(
2)
16
2
x
x
+
−
=
−
， 
整理得：
2
4
4
16
2
x
x
x
+
+
−
=
−
，即
2
3
10
0
x
x
+
−
=
， 
分解因式得：(
2)(
5)
0
x
x
−
+
=
， 
解得：
2
x =
或
5
x = −， 
检验：当
2
x =
时，(
2)(
2)
0
x
x
+
−
=
， 
当
5
x = −时，(
2)(
2)
0
x
x
+
−

， 
2
x
=
是增根，分式方程的解为
5
x = −． 
55．解分式方程：
2
5
8
3
1
9
3
x
x
x
x
−
−
−
=
−
+
． 
【解答】解：
2
5
8
3
1
9
3
x
x
x
x
−
−
−
=
−
+
， 
方程两边同时乘(
3)(
3)
x
x
+
−
，得
5
8
(3
)(
3)
(
3)(
3)
x
x x
x
x
−
−
−
−
=
+
−
，即
2
5
8
(
3)
(
3)(
3)
x
x
x
x
−+
−
=
+
−
， 
去括号，得
2
2
5
8
6
9
9
x
x
x
x
−
+
−
+
=
−
， 
移项、合并同类项，得
10
x
−= −
， 
解得：
10
x =
， 
检验：把
10
x =
代入(
3)(
3)
0
x
x
+
−

， 
分式方程的解为
10
x =
． 
第44页（共50页） 
56．解分式方程：
2
1
1
6
2
2
4
x
x
x
+
=
+
−
−
． 
【解答】解：
2
1
1
6
2
2
4
x
x
x
+
=
+
−
−
， 
2
2
6
x
x
−
+
+
=
， 
6
2
2
x
x
+
=
+
−
， 
2
6
x =
， 
解得：
3
x = ， 
检验：当
3
x = 时，(
2)(
2)
0
x
x
+
−

， 
所以方程的解为：
3
x = ． 
57．解方程：
2
4
2
2
1
9
3
3
x
x
x
x
−=
−
−
+
−
． 
【解答】解：方程两边同乘以(
3)(
3)
x
x
+
−
得： 
2
4
(
9)
2(
3)
2(
3)
x
x
x
x
−
−
=
−
−
+
， 
整理得：
2
4
21
0
x
x
−
−
=
， 
解得：
7
x =
或3
−， 
经检验
3
x = −是原分式方程的增根，
7
x =
是原分式方程
的解， 
所以方程的解为
7
x =
． 
58．解方程：
2
2
16
1
2
4
x
x
x
+
+
= −
−
−
． 
【解答】解： 方程两边同乘以
2
4
x −
， 
(2
)(
2) 16
(
2)(
2)
x x
x
x
−
+
+
+
= −
−
+
 
2
2
4
4 16
4
0
x
x
x
−
−
−+
+
−
=
 
4
8
x =
 
2
x =
， 
把
2
x =
代入(
2)(
2)
0
x
x
−
+
=
， 
所以
2
x =
是原方程的增根， 
方程无实数根 ． 
59．解方程：
3
5
2
1
2
2
1
x
x
−
=
−
−． 
【解答】解：原方程去分母得：3
2(1
2 )
5
x
−
−
= −， 
去括号，得：3
2
4
5
x
−
+
= −， 
移项，合并同类项得：4
6
x = −， 
系数化为1，得：
3
2
x = −
， 
检验：当
3
2
x = −
时，1
2
0
x
−

， 
故原分式方程的解为
3
2
x = −
． 
60．解分式方程：
2
1
4
1
1
1
x
x
x
+ −=
−
−． 
【解答】解：
2
1
4
1
1
1
x
x
x
+ −=
−
−
， 
2
2
(
1)
(
1)
4
x
x

+
−
−
=
， 
1
x
= ， 
当
1
x = 时，
2
1
0
x −=
， 
1
x
= 不是方程的解， 
原方程无解． 
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/2 11:20:05；用户：程正林；邮箱：my10043@xyh.com；学号：24638828 
 
★类型十、解一元二次方程50 题★ 
1．解方程：
2
3
x
x
=
． 
【解答】解：移项得：
2
3
0
x
x
−
=
， 
(
3)
0
x x −
=
， 
0
x =
，
3
0
x −=
， 
解得：
1
0
x =
，
2
3
x =
． 
2．解方程：
2
2(
1)
18
0
x −
−
=
 
【解答】解：
2
2(
1)
18
0
x −
−
=
， 
2
(
1)
9
x

−
=
， 
1
3
x
−= ， 
4
x
=
或
2
x = −； 
3．解方程：
2
(
1)
4(
1)
x
x
−
=
−
． 
【解答】解：
2
(
1)
4(
1)
x
x

−
=
−
， 
2
(
1)
4(
1)
0
x
x

−
−
−
=
， 
(
1)(
5)
0
x
x

−
−
=
， 
1
0
x
−=
或
5
0
x −=
， 
1
1
x

= ，
2
5
x =
． 
4．解方程：
2
(
2)
8
4
x
x
+
−
=
． 
【解答】解：原方程整理得：
2
4
4
8
4
x
x
x
+
+
−
=
， 
即
2
4
0
x −
=
， 
则
2
4
x =
， 
解得：
1
2
x =
，
2
2
x = −． 
5．解方程：
2
2
(2
3)
(3
2)
x
x
+
=
+
． 
【解答】解：方程：
2
2
(2
3)
(3
2)
x
x
+
=
+
， 
开方得：2
3
3
2
x
x
+
=
+
或2
3
3
2
x
x
+ = −
−
， 
第45页（共50页） 
解得：
1
1
x = ，
2
1
x = −． 
6．解方程：
2
3
6
1
0
x
x
−
+ =
． 
【解答】解：
2
3(
2 )
1
x
x
−
= −． 
2
3(
2
1 1)
1
x
x
−
+ −
= −， 
2
3(
1)
1 3
x −
= −+ ， 
2
1
3
x −= 
， 
1
6
1
3
x = +
，
2
6
1
3
x = −
； 
7．解方程：
2
4
2
0
x
x
−
+
=
． 
【解答】解：
2
4
2
0
x
x
−
+
=
 
2
4
2
x
x
−
= − 
2
4
4
2
4
x
x
−
+
= −+
 
2
(
2)
2
x −
=
， 
则
2
2
x −
= 
， 
解得：
1
2
2
x =
+
，
2
2
2
x =
−
． 
8．解方程： 
（1）
2
2
5
0
x
x
+
−
=
； 
（2）
2
2
6
0
x
x
−
−
=
． 
【解答】解：（1）△
22
4 1 ( 5)
24
=
−−
=
， 

2
24
2
x
−
=
， 
解得
1
1
6
x = −+
，
2
1
6
x = −−
； 
（2）原方程整理得(2
3)(
2)
0
x
x
+
−
=
， 
解得
1
3
2
x = −
，
2
2
x =
． 
9．用适当的方法解方程：
2
3
2
2
0
x
x
+
−
=
． 
【解答】解：
2
3
2
2
0
x
x
+
−
=
， 
3
a =
，
2
b =
，
2
c = −， 
△
4
4
3 ( 2)
28
0
=
−
−
=

， 
2
28
6
x
−
=
， 
1
1
7
3
x
−+

=
，
2
1
7
3
x
−−
=
． 
10．解下列方程： 
（1）
2
6
1
0
x
x
−
−=
（配方法）； 
（2）
2
3
5
1
0
x
x
−
+ =
（公式法）． 
【解答】解：（1）
2
6
1
0
x
x
−
−=
， 
移项，得
2
6
1
x
x
−
= ， 
配方，得
2
6
9
10
x
x
−
+
=
， 
2
(
3)
10
x −
=
． 
3
10
x
−= 
． 
1
3
10
x

=
+
，
2
3
10
x =
−
； 
（2）
2
3
5
1
0
x
x
−
+ =
， 
3
a =
，
5
b = −，
1
c = ， 
△
2
( 5)
4 3 1 13
0
= −
−=

， 
5
13
5
13
2 3
6
x


=
=

， 
1
5
13
6
x
+

=
，
2
5
13
6
x
−
=
． 
11．解方程：
2
2 3
9
0
x
x
−
−
=
． 
【解答】解：这里
1
a = ，
2 3
b = −
，
9
c = −， 
△
2
( 2 3)
4 1 ( 9)
48
0
= −
−−
=

， 
2 3
48
3
2 3
2 1
x

=
=


， 

1
3 3
x =
，
2
3
x = −
． 
12．解方程：(3
2)(
1)
5
3
x
x
x
−
+
=
− 
【解答】解：原方程化为一般形式，得
2
3
4
1
0
x
x
−
+ =
， 
3
a =
，
4
b = −，
1
c = ， 
△
2
2
4
( 4)
4 3 1
4
0
b
ac
=
−
= −
−=

， 
方程有两个不等实根，
4
4
6
x

=
， 
即
1
2
1
1,
3
x
x
=
=
． 
13．解方程：
2
2
3(2
1)
x
x
=
+
． 
【解答】解：
2
2
3(2
1)
x
x
=
+
，即：
2
2
6
3
0
x
x
−
−
=
， 
这里
2
a =
，
6
b = −，
3
c = −， 
△
2
4
b
ac
=
−
 
( 6)
4
2
( 3)
= −
−
−
 
60
=
， 

2
4
6
60
3
15
2
4
2
b
b
ac
x
a
−
−


=
=
=
， 

1
3
15
2
x
+
=
，
2
3
15
2
x
−
=
． 
第46页（共50页） 
14．解方程：
2
2
1
(
3)
x
x x
−=
+
． 
【解答】解：方程整理得：
2
3
1
0
x
x
−
−=
， 
这里
1
a = ，
3
b = −，
1
c = −， 
△
2
4
9
4
13
0
b
ac
=
−
=
+
=

， 
2
4
3
13
2
2
b
b
ac
x
a
−
−


=
=
， 
解得：
1
3
13
2
x
+
=
，
2
3
13
2
x
−
=
． 
15．解方程：
2
4
2 3
1
0
x
x
−
−=
． 
【解答】解：
2
4
2 3
1
0
x
x
−
−=
， 
方程的系数分别是
4
a =
，
2 3
b = −
，
1
c = −， 

2
2
4
( 2 3)
4
4
( 1)
28
b
ac
−
= −
−
−
=
， 

2
4
( 2 3)
28
3
7
2
2
4
4
b
b
ac
x
a
−
−
−−


=
=
=

， 

1
3
7
4
x
+
=
，
2
3
7
4
x
−
=
． 
16．解方程：
2
2
(
3)
3
9
x
x
x
−
=
−
． 
【解答】解：
2
2
(
3)
3
9
x
x
x
−
=
−
， 
2
2
(
3)
(3
9 )
0
x
x
x
−
−
−
=
， 
2
(
3)
3 (
3)
0
x
x x
−
−
−
=
， 
(
3)(
3
3 )
0
x
x
x
−
−
−
=
， 
3
0
x −=
或
3
3
0
x
x
−−
=
， 
解得：
1
3
x = ，
2
3
2
x = −
． 
17．解下列方程： 
（1）
2
2
5
0
x
x
+
−
=
 
（2）
2
(
2)
(
2)
0
x
x x
−
+
−
=
 
【解答】解：（1）
2
2
5
0
x
x
+
−
=
， 
2
2
5
x
x

+
= ， 
2
2
1
6
x
x

+
+ =
， 
2
(
1)
6
x

+
=
， 
1
6
x
= −
， 
1
1
6
x

= −+
，
2
1
6
x = −−
 
（2）
2
(
2)
(
2)
0
x
x x
−
+
−
=
， 
(
2)(
2
)
0
x
x
x

−
−
+
=
， 
2
0
x
−
=
或
2
0
x
x
−
+
=
， 
1
2
x

=
，
2
1
x = ． 
18．解方程：
2
6
7
0
x
x
−
−
=
． 
【解答】解：原方程可化为：(
7)(
1)
0
x
x
−
+
=
， 
7
0
x −
=
或
1
0
x + =
； 
解得：
1
7
x =
，
2
1
x = −． 
19．解方程：(2
7)
8(7
2 )
x
x
x
−
=
−
． 
【解答】解：由题意得(2
7)
8(7
2 )
0
x
x
x
−
−
−
=
， 
(2
7)
8(2
7)
0
x
x
x
−
+
−
=
， 
(2
7)(
8)
0
x
x
−
+
=
， 
2
7
0
x −
=
或
8
0
x +
=
， 

1
7
2
x =
，
2
8
x = −． 
20．解下列方程： 
（1）
2
4
3
0
x
x
−
−
=
； 
（2）
2
2
(
2)
(2
3)
x
x
−
=
+
． 
【解答】解：（1）
2
4
3
0
x
x
−
−
=
， 
2
4
4
3
4
x
x
−
+
=
+
， 
2
(
2)
7
x −
=
， 
则
2
7
x −
= 
， 
所以
1
2
2
7,
2
7
x
x
=
+
=
−
． 
（2）
2
2
(
2)
(2
3)
x
x
−
=
+
， 
2
2
(
2)
(2
3)
0
x
x
−
−
+
=
， 
(
2
2
3)(
2
2
3)
0
x
x
x
x
−
+
+
−
−
−
=
， 
(3
1)(
5)
0
x
x
+
−−
=
， 
则3
1
0
x + =
或
5
0
x
−−=
， 
所以
1
2
1,
5
3
x
x
= −
= −． 
21．解下列方程： 
（1）
2
2
4
0
x
x
−
−
=
； 
（2）3 (
1)
2
2
x x
x
−
=
−
． 
【解答】解：（1）
2
2
4
0
x
x
−
−
=
 
2
(
1)
5
x −
=
， 
第47页（共50页） 
解得：
1
1
5
x = +
，
2
1
5
x = −
； 
（2）3 (
1)
2
2
x x
x
−
=
−
 
3 (
1)
2(
1)
0
x x
x
−
−
−
=
， 
(
1)(3
2)
0
x
x
−
−
=
， 
解得：
1
2
3
x =
，
2
1
x = ． 
22．计算： 
（1）
2
2
3
2
0
x
x
−
−
=
； 
（2）
2
(
4)
(
4)(2
5)
x
x
x
+
=
+
−
． 
【解答】解：（1）△
2
4
b
ac
=
−
 
2
( 3)
4 2 ( 2)
= −
−−
 
25
0
=

， 

( 3)
25
3
5
2 2
4
x
−−


=
=

， 
1
2
x

=
，
2
1
2
x = −
； 
（2）(
4)(
9)
0
x
x
+
−
=
， 
4
0
x
+
=
或
9
0
x −
=
， 
1
4
x

= −，
2
9
x =
． 
23．解方程：3 (
2)
6(
2)
x x
x
−
=
−
． 
【解答】解：
3 (
2)
6(
2)
x x
x
−
=
−
， 
3 (
2)
6(
2)
0
x x
x

−
−
−
=
， 
则(
2)(3
6)
0
x
x
−
−
=
， 
2
0
x
−
= 或3
6
0
x −
=
， 
解得
1
2
2
x
x
=
=
． 
24．解方程： 
（1）(
2)(
4)
7
x
x
+
−
=
； 
（2）3 (2
1)
2
4
x
x
x
−
=
−
． 
【解答】解：（1）整理得：
2
4
2
8
7
x
x
x
−
+
−
=
， 
将其为一般形式，得：
2
2
15
0
x
x
−
−
=
， 
因式分解，得：(
3)(
5)
0
x
x
+
−
=
， 
即：
3
0
x +
=
或
5
0
x −=
， 
解得：
1
3
x = −，
2
5
x =
； 
（2）整理得：
2
6
3
2
4
x
x
x
−
=
−
， 
将其为一般形式，得：
2
6
2
0
x
x
+
−
=
， 
因式分解，得：(2
1)(3
2)
0
x
x
−
+
=
， 
即：2
1
0
x −=
或3
2
0
x +
=
， 
解得：
1
1
2
x =
，
2
2
3
x = −
． 
25．解下列一元二次方程： 
（1）
2
12
27
0
x
x
+
+
=
； 
（2）
2
(2
1)
2(2
1)
x
x
−
=
−
． 
【解答】解：（1）
2
12
27
0
x
x
+
+
=
， 
(
9)(
3)
0
x
x
+
+
=
， 
9
0
x +
=
或
3
0
x +
=
， 
所以
1
9
x = −，
2
3
x = −； 
（2）
2
(2
1)
2(2
1)
x
x
−
=
−
， 
2
(2
1)
2(2
1)
0
x
x
−
−
−
=
， 
(2
1)(2
1
2)
0
x
x
−
−−
=
， 
2
1
0
x −=
或2
1 2
0
x −−
=
， 
所以
1
1
2
x =
，
2
3
2
x =
． 
26．解方程：(
2)(
5)
10
x
x
−
−
=
． 
【解答】解：(
2)(
5)
10
x
x
−
−
=
， 
 
2
7
10
10
x
x
−
+
=
， 
2
7
0
x
x
−
=
， 
(
7)
0
x x −
=
， 
0
x
=
或
7
0
x −
=
， 
1
0
x

=
，
2
7
x =
． 
27．解方程： 
（1）
2
10
16
0
x
x
+
+
=
； 
（2）3 (
1)
2
2
x x
x
−
=
−
． 
【解答】解：（1）
2
10
16
0
x
x
+
+
=
， 
因式分解得：(
2)(
8)
0
x
x
+
+
=
， 
2
0
x
+
=
或
8
0
x +
=
， 
1
2
x

= −，
2
8
x = −； 
（2）3 (
1)
2
2
x x
x
−
=
−
， 
右边因式分解得：3 (
1)
2(
1)
x x
x
−
=
−
， 
移项得：3 (
1)
2(
1)
0
x x
x
−
−
−
=
， 
因式分解得：(
1)(3
2)
0
x
x
−
−
=
， 
1
0
x
−=
或3
2
0
x −
=
， 
1
1
x

= ，
2
2
3
x =
． 
28．解方程：(2
3)(
x +
 
1)
(
1)(
x
x
+
=
+
 
3)
x +
 
【解答】解：(2
3)(
x +
 
1)
(
1)(
x
x
+
=
+
 
3)
x +
， 
移项得：(2
3)(
x +
 
1)
(
1)(
x
x
+
−
+
 
3)
0
x+
=
， 
提公因式得：(
1)[(2
3) (
3)]
0
x
x
x
+
+
−
+
=
， 
第48页（共50页） 
(
1)
0
x
x

+
= ， 
即
1
0
x + =
，
0
x =
， 
解方程得：
1
1
x = −，
2
0
x =
， 
原方程的解是
1
1
x = −，
2
0
x =
． 
29．解下列方程： 
（1）
2
2
1
x
x
−
= 
（2）
2
(
3)
8(
3)
16
0
x
x
+
−
+
+
=
 
【解答】解：（1）
2
2
1
x
x
−
= ， 
2
2
1
0
x
x
−
−=
， 
(2
1)(
1)
0
x
x
+
−
=
， 
2
1
0
x + =
，
1
0
x −=
， 
1
1
2
x = −
，
2
1
x = ； 
 
（2）
2
(
3)
8(
3)
16
0
x
x
+
−
+
+
=
， 
设
3
x
a
+ =
，则原方程化为
2
8
16
0
a
a
−
+
=
， 
2
(
4)
0
a −
=
， 
解得：
4
a =
， 
即
3
4
x + =
， 
1
x = ， 
即原方程的解为
1
2
1
x
x
=
= ． 
30．解方程：
2
(
1)
5(1
)
6
0
x
x
−
+
−
−
=
 
【解答】解：设
1
x
y
−=
，则原方程可化为：2
5
6
0
y
y
−
−
=
， 
1
1
y

= −，
2
6
y =
， 
1
1
x
−= −，
1
6
x −=
 
1
0
x

=
，
2
7
x =
．（6 分） 
31．解方程：(
8)(
1)
12
x
x
+
+
= −
 
【解答】解：由原方程，得 
2
9
8
12
x
x
+
+
= −
， 
即(
4)(
5)
0
x
x
+
+
=
， 
4
0
x
+
=
，或
5
0
x +
=
， 
解得
4
x = −或
5
x = −， 
原方程的根是
1
5
x = −，
2
4
x = −． 
32．解方程：5 (
3)
6
2
x x
x
−
= −
． 
【解答】解：移项得：5 (
3)
2(
3)
0
x x
x
−
+
−
=
， 
(
3)(5
2)
0
x
x
−
+
=
， 
3
0
x −=
，5
2
0
x +
=
， 
1
3
x = ，
2
2
5
x = −
． 
33．解方程：(2
3)
2
3
x
x
x
−
=
−
． 
【解答】解：(2
3)
(2
3)
0
x
x
x
−
−
−
=
．(2
3)(
1)
0
x
x
−
−
=
，
1
3
2
x =
，
2
1
x = ． 
34．解方程：
2
3
2
8
0
x
x
+
−
=
． 
【解答】解：原方程分解因式可得(3
4)(
2)
0
x
x
−
+
=
， 
3
4
0
x

−
=
或
2
0
x +
=
， 
解得
1
2
4
2,
3
x
x
= −
=
． 
35．解一元二次方程：
2
2
15
0
x
x
−
−
=
． 
【解答】解：
2
2
15
0
x
x
−
−
=
， 
(2
5)(
3)
0
x
x

+
−
=
， 
2
5
0
x

+
=
或
3
0
x −=
， 
解得：
1
5
2
x = −
，
2
3
x =
． 
36．（1）解方程：
2
4
12
9
81
x
x
+
+
=
； 
（2）解方程：(
2)
2
0
x x
x
−
+
−
=
． 
【解答】解：（1）
2
4
12
9
81
x
x
+
+
=
， 
2
2
(2
3)
9
x +
=
， 
2
3
9
x + = ， 
解得：
1
3
x =
，
2
6
x = −； 
（2）(
2)
(
2)
0
x x
x
−
+
−
=
， 
(
2)(
1)
0
x
x
−
+
=
， 
2
0
x −
=
，或
1
0
x + =
， 
解得：
1
2
x =
，
2
1
x = −． 
37．计算 
（1）
2
2
5
2
0
x
x
+
+
=
； 
（2）
2
3
3
x
x
x
−
=
−
． 
【解答】解：（1）
2
2
5
2
0
x
x
+
+
=
， 
(
2)(2
1)
0
x
x
+
+
=
， 
2
0
x +
=
或2
1
0
x + =
， 

1
2
1
2,
2
x
x
= −
= −
； 
（2）
2
3
3
x
x
x
−
=
−
， 
(
3)
(
3)
0
x x
x
−
−
−
=
， 
(
3)(
1)
0
x
x
−
−
=
， 
3
0
x −=
或
1
0
x −=
， 
第49页（共50页） 
1
3
x

=
，
2
1
x = ． 
38．解方程： 
（1）
2
(
3)
4(
3)
x
x
−
=
−
； 
（2）
2
2
5
1
0
x
x
−
+ =
． 
【解答】解：（1）移项，得：
2
(
3)
4(
3)
0
x
x
−
−
−
=
， 
因式分解，得：(
3)[(
3)
4]
0
x
x
−
−
−
=
， 
3
0
x
−=
或
7
0
x −
=
， 
解得：
1
3
x =
，
2
7
x =
； 
（2）
2
a =
，
5
b = −，
1
c = ， 
△
2
2
4
( 5)
4 2 1 17
0
b
ac
=
−
= −
−=

， 

5
17
4
x

=
， 
解得：
1
5
17
4
x
+
=
，
2
5
17
4
x
−
=
． 
39．解下列方程： 
（1）2
3
1
|
|
1
5
2
x
x
−
=
−； 
（2）
2
2
3(
1)
5(
1)(
4)
2(
4)
0
x
x
x
x
+
+
+
−
+
−
=
． 
【解答】解：（1）
1
1 0
2 x −
， 
解得
2
x
， 
当2
3
0
5
x −
，解得
3
2
x
， 
则2
3
1
1
5
2
x
x
−
=
−， 
解得
4
x =
，
4
x =
满足
2
x
，
3
2
x
， 
4
x
=
是方程的解， 
当2
3
0
5
x −

，解得
3
2
x 
（不满足
2)
x
， 
则
2
3
1
1
5
2
x
x
−
−
=
−， 
解得
16 16
(
2
9
9
x =

，不满足前提条件，舍去）， 
方程2
3
1
|
|
1
5
2
x
x
−
=
−的解为
4
x =
； 
（2）[3(
1)
2(
4)][(
1)
(
4)]
0
x
x
x
x
+
+
−
+
+
−
=
， 
3(
1)
2(
4)
0
x
x
+
+
−
=
或(
1)
(
4)
0
x
x
+
+
−
=
， 
1
1
x

= ，
2
3
2
x =
． 
40．解方程：
2
(
1)
3(
1)
0
x
x
+
−
+
=
． 
【解答】解：
2
(
1)
3(
1)
0
x
x
+
−
+
=
． 
(
1)(
1
3)
0
x
x
+
+ −
=
， 
1
0
x + =
或
1 3
0
x + −=
， 
所以
1
1
x = −，
2
2
x =
． 
41．解方程：3 (
2)
5(
2)
x x
x
+
=
+
 
【解答】解：原方程可化为 
3 (
2)
5(
2)
0
x x
x
+
−
+
=
， 
(3
5)(
2)
0
x
x
−
+
=
， 
解得
1
2
x = −，
2
5
3
x =
． 
42．解方程：(2
7)
8(7
2 )
x
x
x
−
=
−
． 
【解答】解：由题意得(2
7)
8(7
2 )
0
x
x
x
−
−
−
=
， 
(2
7)
8(2
7)
0
x
x
x
−
+
−
=
， 
(2
7)(
8)
0
x
x
−
+
=
， 
2
7
0
x −
=
或
8
0
x +
=
， 

1
7
2
x =
，
2
8
x = −． 
43．解方程：
2
1
4(
1)
x
x
−=
+
． 
【解答】解：
2
1
4(
1)
x
x
−=
+
， 
整理得：
2
4
5
0
x
x
−
−
=
， 
(
1)(
5)
0
x
x
+
−
=
， 
1
0
x + =
，
5
0
x −=
， 
1
1
x = −，
2
5
x =
． 
44．计算： 
（1）
2
2
3
2
0
x
x
−
−
=
； 
（2）
2
(
4)
(
4)(2
5)
x
x
x
+
=
+
−
． 
【解答】解：（1）△
2
4
b
ac
=
−
 
2
( 3)
4 2 ( 2)
= −
−−
 
25
0
=

， 

( 3)
25
3
5
2 2
4
x
−−


=
=

， 
1
2
x

=
，
2
1
2
x = −
； 
（2）(
4)(
9)
0
x
x
+
−
=
， 
4
0
x
+
=
或
9
0
x −
=
， 
1
4
x

= −，
2
9
x =
． 
45．解方程：(
1)
2(2
5)
x x
x
+
=
+
． 
【解答】解：
2
4
10
x
x
x
+
=
+
， 
2
3
10
0
x
x
−
−
=
， 
(
5)(
2)
0
x
x
−
+
=
， 
第50页（共50页） 
5
0
x −=
或
2
0
x +
=
， 
1
5
x =
，
2
2
x = −． 
46．按要求解下列方程： 
（1）
2
(3
7)
2(3
7)
x
x
−
=
−
（因式分解法）； 
（2）
2
5
11
0
x
x
+
−
=
（公式法）． 
【解答】解：
（1）原方程可变形为
2
(3
7)
2(3
7)
0
x
x
−
−
−
=
． 
(3
7)[(3
7)
2]
0
x
x

−
−
−
=
， 
3
7
0
x

−
=
或3
9
0
x −
= ， 

1
2
7 ,
3
3
x
x
=
=
； 
（2）
2
5
11
0
x
x
+
−
=
， 
这里
1,
5,
11
a
b
c
=
=
= −
， 

2
2
4
( 5)
4 1 ( 11)
49
0
b
ac
−
=
−
−
=

， 

5
49
5
7
2 1
2
x
−

−

=
=

， 
即
1
2
5
7
5
7
,
2
2
x
x
−
+
−
−
=
=
． 
47．解方程： 
（1）
2
6
5
x
x
+
= −； 
（2）
2
(2
1)
(2
1)
0
x
x
x
−
−
−
=
． 
【解答】解：（1）
2
6
5
0
x
x
+
+
=
， 
(
5)(
1)
0
x
x
+
+
=
， 
5
0
x +
=
或
1
0
x + =
， 
所以
1
5
x = −，
2
1
x = −； 
（2）(2
1)(2
1
)
0
x
x
x
−
−−
=
， 
2
1
0
x −= 或2
1
0
x
x
−−
=
， 
所以
1
1
2
x =
，
2
1
x = ． 
48．解方程： 
（1）
4
2
3
4
0
y
y
−
−
=
； 
（2）
2
1 (2
5)
2
0
2
x −
−
=
． 
【解答】解：（1）
4
2
3
4
0
y
y
−
−
=
， 
令
2y
t
= ， 
则原方程可变形为
2
3
4
0
t
t
−
−
=
， 
(
1)(
4)
0
t
t
+
−
=
， 
则1
1
t = −，2
4
t =
， 
因为
2 0
y
， 
所以
4
t =
， 
则
2
4
y =
， 
所以
1
2
y =
，
2
2
y = −． 
（2）
2
1 (2
5)
2
0
2
x −
−
=
， 
2
1 (2
5)
2
2
x −
=
， 
2
(2
5)
4
x −
=
， 
则2
5
2
x −= ， 
所以
1
2
7
3
,
2
2
x
x
=
=
． 
49．解方程：
2
(
3)
2(
3)
24
0
x
x
−
+
−
−
=
． 
【解答】解：
2
(
3)
2(
3)
24
0
x
x
−
+
−
−
=
， 
(
3
6)(
3
4)
0
x
x
−
+
−
−
=
， 
3
6
0
x −+
=
，
3
4
0
x −−
=
， 
1
3
x = −，
2
7
x =
． 
50．已知
2
2
2
2
(
)(
2) 15
0
a
b
a
b
+
+
+
−
=
，求
2
2
a
b
+
的值． 
【解答】解：令
2
2
(
0)
a
b
x x
+
=
，则原等式可化为： 
(
2)
15
0
x x +
−
=
， 
解得：
1
3
x =
，
2
5
x = −， 
0
x
， 
3
x
=
，即
2
2
3
a
b
+
=
． 
2
2
a
b
+
的值为3． 
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