夜雨聆风湖南商学院2005年度（线性代数）期末考试试卷2
一、填空（每小题2分，共20分）
1. 6级排列 与 的逆序数之和等于__________。
2.，，且有 ，则 __________。
3. 已知3阶矩阵 ， 的伴随矩阵为 ，则 __________。
4. 向量组 线性无关，则 线性__________。
5. 为 矩阵， 为 矩阵，线性方程组 有解的充分必要条件是__________。
6. 设矩阵 ，则 的特征值为__________。
7.、 均为5阶矩阵，，，则 __________。
8. 设 ，则 __________。
9. 若2阶矩阵 有一个特征值为2，且 ，则 的另一个特征值为__________。
10. 元实二次型 正定，它的正惯性指数 、秩 与 之间的关系为__________。
二、单项选择（每小题2分，共10分）
1. 若齐次线性方程组有非零解，则 （ ）
(A) 1或2 (B) 或 (C) 1或 (D) 或2
2.、 均为 阶可逆矩阵，则 、 乘积的伴随矩阵 （ ）
(A) (B) (C) (D)
3. 设 、 均为 阶矩阵，满足 ，则必有（ ）
(A) (B) (C) 或 (D) 或
4.、 为 阶矩阵，若存在 阶可逆阵 、 使 ，则矩阵 与 的关系是（ ）
(A) 合同 (B) 相似 (C) 等价 (D) 相等
5. 矩阵 合同于矩阵（ ）
(A) (B) (C) (D)
三、计算题（共66分）
1.（10分） 计算行列式：
(1)
(2)
2.（10分） 设 ，
(1) 求 ；(2) 求 。
3.（10分） 已知向量组，，，，。
(1) 求向量组的秩和一个极大线性无关组； (2) 将其余向量用所求的极大线性无关组线性表示。
4.（6分） 已知向量组，，和，，具有相同的秩，且 可由 线性表示，求 的值。
5.（10分） 设3阶矩阵 与对角矩阵 相似。
(1) 求 的值； (2) 求正交阵 ，使 。
6.（10分） 已知线性方程组
(1) 为何值时方程组有解？ (2) 有解时求出它的通解（用向量形式表示）。
7.（10分） 已知二次型 。
(1) 写出二次型 对应的矩阵； (2) 化二次型 为标准形，写出所用的可逆线性变换。
四、证明题（4分）
已知 阶矩阵 满足 。证明： 可逆，并求 。
《线性代数》统考试卷参考答案与评分标准
一、填空
； ； ； 无关； ； ； ； ； ； 。
二、单项选择
C 2. A 3. D 4. C 5. A
三、计算题
1. 计算行列式：
(1)
(2)
2.
3.
为最大无关组，
，。
4.
，；
，。
5.
(1) 。
(2) ，；。
6.
(1) 时方程组有解；
(2) 通解：，其中 ，。
7.
(1)
(2) ；
可逆线性变换：