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专题 18.7 四边形中的四大最值模型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对四边形中的四大最值模型的理
解！
【题型1 两定一动型】
1．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的边长为4，且∠DAB=60°，E是BC的中
点，P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（ ）
A．2√7+2 B．√7+1 C．2√3+2 D．2√7+1
2．（2023春·山东滨州·八年级统考期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，E为BC的中点，
在对角线AC上存在一点P，使 PBE的周长最小，则 PBE的周长的最小值为 ( )
△ △
A．2√3 B．4 C．2√3+2 D．4+2√33．（2023春·湖南湘潭·八年级统考期末）如图，长方形OABC，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸
片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10,OC=6，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折
后，点B落在x轴上，记作B′点，
(1)求B'点的坐标；
(2)求折痕CM所在直线的表达式；
(3)求折痕CM上是否存在一点P，使PO+PB'最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由．
1
4．（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y= x+1的图
2
象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
(1)求正方形ABCD的面积；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)在x轴上是否存在点M，使 MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2023春·山东潍坊·八年级△统考期末）如图①，四边形ABCD是边长为4的正方形，M是正方形对角线
BD（不含B、D两个端点）上任意一点，将△BAM绕点B逆时针旋转60°得到△BEN，连接EA、MN；P
是AD的中点，连接PM．
（1）AM+PM的最小值等于 ；
（2）求证：△BNM是等边三角形；
（3）如图②，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，若点M使得AM+BM+CM的值最小，求M点的坐标．6．（2023春·全国·八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形， ABE是等边三角形，M为对角线BD
（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，△连接EN、AM、CM．
（1）求证： AMB≌△ENB；
（2）①当M△点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为2√3+2时，求正方形的边长．
7．（2023春·广东深圳·八年级校联考期中）长方形纸片OABC中，AB=10cm，BC=6cm，把这张长方形纸
片OABC如图放置在平面直角坐标系中，在边OA上取一点E，将 ABE沿BE折叠，使点A恰好落在OC
边上的点F处． △
（1）求点E、F的坐标；
（2）在AB上找一点P，使PE+PF最小，求点P坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q（x，y）是直线PF上一个动点，设 OCQ的面积为S，求S与x的函数关系
式． △8．（2023·四川广安·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD的边长为2，M、N分别为AB、AD的中点，
在对角线BD上找一点P，使△MNP的周长最小，则此时PM+PN= ．
【题型2 两动一定型】
1．（2023春·浙江杭州·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、
CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，此时∠MAN的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．45°
2．（2023春·广东广州·八年级广州市第四十一中学统考期中）如图，菱形ABCD的边长为2cm，
∠A=120°，点E是BC边上的动点，点P是对角线BD上的动点，若使PC+PE的值最小，则这个最小值
为（ ）3
A．5 B．2 C． D．√3
2
3．（2023春·甘肃兰州·八年级统考期中）如图正方形ABCD的面积为24，△ABE是等边三角形，点E在
正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，要使PD+PE最小，则这个最小值为（ ）
A．√3 B．2√3 C．2√6 D．√6
4．（2023春·浙江宁波·八年级宁波市第十五中学校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，若
在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值（ ）
2√119 96
A．2√3 B． C．2√10 D．
5 25
5．（2023春·广东湛江·八年级湛江市第二中学校考期中）如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，
点A在x轴上，点C在y轴上，OA=3，OC=2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点
B、C重合，过点P作∠CPD=∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E．(1)若△PAB为等腰直角三角形．
①求直线AP的函数解析式；
②在x轴上另有一点G的坐标为(2，0)，请在直线AP和y轴上分别找一点M、N，使△GMN的周长最小，
并求出△GMN周长的最小值．
(2)如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若以A、P、F、E为顶点的四边形是平行四边形，求直线
PE的解析式．
6．（2023春·广东广州·八年级中山大学附属中学校考期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，
E，F分别是BC,CD上的点，连接AE，AF，EF．
(1)如图①，AB=AD，∠BAD=120°，∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF；
(2)如图②，∠BAD=120°，△AEF周长何时最小，作出图形，并直接写出∠AEF+∠AFE=______°
(3)如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别BC,CD上，且∠EAF=45°，若BE=3，DF=2，
请求出线段EF的长度．
7．（2023春·陕西西安·八年级统考期末）探究：
（1）如图，P、Q为△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求作一点M，使△PQM的周长最短．
（不写作法）（2）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E、F分别为边AB、AD的中点，点M、N分别为BC、
CD上的动点，求四边形EFNM周长的最小值．
（3）如图，正方形ABCD的边长为2，点O为AB边中点，在边AD、CD、BC上分别确定点M、N、P．
使得四边形OMNP周长最小，并求出最小值．
【题型3 两定两动型】1．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，∠MON=30°，OA=2，OD=8，线段BC在射线
ON上滑动，BC=2√3，则四边形ABCD周长的最小值是 ．
2．（2023春·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将长方形纸
片折叠，使点C落在AD边的点M处，折痕为PE，此时PD=3．
（1）求MP的值；
（2）在AB边上是否存在一个动点F，且不与点A、B重合，使△MEF的周长最小．如果存在求出△MEF
的周长最小值：如果不存在，请说明理由；
（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=1．当四边形MEQG的周长最小时，
其周长的最小值是______．
3．（2023春·天津·八年级统考期末）如图1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC
所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将
△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）如图2，若点P是线段DA上的一个动点，过P作PH⊥DB于H点，设OP的长为x，△DPH的面积
为S，试用关于x的代数式表示S；
（3）如图3，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周
长的最小值．（直接写出结果即可）
4．（2023春·广东广州·八年级广州四十七中校考期中）已知矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为直线
BC上一点．
(1)如图1，当E在线段BC上，且DE=AD时，求BE的长．
(2)如图2，点E在线段BC边延长线上一点，若BD=BE，连接DE，M为DE的中点，连接AM、CM，求
证：AM⊥CM．
5
(3)如图3，在（2）的条件下，P、Q为AD边上两个动点，且PQ= ，连接P、B、M、Q，求四边形
2
PBMQ周长的最小值．3
5．（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=- x+b分别与x轴、y
4
轴交于点A、B，且点A为(4,0)，四边形ABCD是正方形．
(1)填空：b=______；
(2)求点D的坐标；
(3)若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，求四边形MNDC周长的最小值．
6．（2023春·江苏无锡·八年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）在矩形ABCD中，AB=6，
BC=12，E、F是直线AC上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长
度，运动时间为t秒（其中0≤t≤9）．
(1)如图1，M、N分别是AB、CD中点，当四边形EMFN是矩形时，求t的值；
(2)若G、H分别从点A、C沿折线A－B－C、C－D－A运动，与E、F相同速度同时出发．
①如图2，若四边形EGFH为菱形，求t的值；
5
②如图3，作AC的垂直平分线交AD、BC于点P、Q，若四边形PGQH的面积是矩形ABCD面积的 ，
9
则t的值是______；③如图4，在异于G、H所在矩形边上取P、Q，使得PD=BQ，顺次连接PGQH，请直接写出四边形
PGQH周长的最小值：______．
7．（2023春·福建南平·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠ABD=60°，G，H分别是
AD,BC边上的点，且AG=CH，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G，E，H，F，G．
(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；
(2)填空：①当AG= 时，四边形GEHF是矩形；
②当AG= 时，四边形GEHF是菱形；
(3)求四边形GEHF的周长的最小值．
【题型4 一定两动型】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，BC=8，
∠ABC=45°，在对角线BD上有一动点P，边BC上有一动点Q，使PQ+PC的值最小，则这个最小值为
（ ）
A．4 B．4√2 C．4√3 D．8
2．（2023春·河南郑州·八年级校联考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且∠EDF=90°，则下列说法：①AE=CF；②△DEF是等
腰直角三角形；③△CEF周长的最小值是2√2+4；④四边形DECF的面积是一个定值．其中正确的序号
是（ ）
A．①③④ B．①② C．②③ D．①②③④
3．（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶
点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为
点D，OD与BC交于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，是否存在点M、N，使得AM+MN最小？若存在，
求出其最小值，若不存在，请说明理由．
4．（2023春·广东汕头·八年级汕头市潮阳实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原
点，四边形ABCD是菱形，点A在x轴的正半轴上，点A的坐标为(8,0)，∠C=60°，点M在边BC上移动
（不与B、C重合），点N在边AB上移动（不与A、B重合），在移动的过程中保持CM+AN=8．(1)连接OM,ON，∠MON=____________________°；
(2)求△OMN周长的最小值及此时点N的坐标；
(3)在（2）的结论下，若P为平面内一点，当以点O,N,A,P为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写
出点P的坐标．
5．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分
别交于点 、点 ，C为线段 的中点．
A(-12,0) B(0,4√3) AB
(1)求直线AB的解析式；
(2)如图1，若E为线段AB上一动点，过点E作EF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，连接FG，P为FG
上一动点．当线段FG最短时，求△PCE周长的最小值；
(3)在（2）的条件下，直线FG与直线AB相交于点Q，将线段CE沿射线FG方向平移12个单位长度，平移
后的点C记为点C'，H为直线FG上的一动点，在平面内是否存在一点N，使得以C'、H、Q、N为顶点的
四边形是菱形．若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中有长方形OABC，
点C(0,4)，将长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，CD边交x轴于点E，∠OAC＝30°．
（1）求点D的坐标；
（2）如图2，在直线AC以及y轴上是否分别存在点M，N，使得△EMN的周长最小？如果存在，求出△EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由；
（3）点P为y轴上一动点，作直线AP交直线CD于点Q，是否存在点P使得△CPQ为等腰三角形？如果
存在，请求出∠OAP的度数；如果不存在，请说明理由．
7．（2023春·浙江湖州·八年级统考阶段练习）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O,∠BAD=60∘，边AB的长为8，点E,F分别是边CD,BC上的动点，则△OEF周长的最小值为
．
8．（2023春·全国·八年级期末）如图，菱形ABCD中，AB＝12，∠BAD＝60°，E为线段BC的中点．若点
P是线段AB上的一动点，Q为线段AD上一动点，则△PQE的周长的最小值是 ．
