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第 19 章 二次根式
19.2 二次根式的乘法
第 3 课时 最简二次根式
【素养目标】
1. 理解最简二次根式的概念，会根据最简二次根式被开方数的两个条件判别二
次根式是不是最简二次根式；(重点)
2. 会将非最简二次根式化为最简二次根式；(难点)
3. 通过对化简二次根式方法的探讨， 体会比较与分析的思维方法和“求简”、
抓“本质”的数学思考方法， 培养思维的严谨性。
【情境导入】
广播电视塔越高， 从塔顶发射出的电磁波传播得越远， 从而能收听收看
到电视节目的区域就越广。广播电视塔高 h (单位： km ) 与广播电视节目信
号的传播半径r (单位：km ) 之间存在近似关系：r = √2Rh ，其中R是地球
半径， R ≈ 6400km . 如果两个电视塔的高分别是 h km , h km ，那么它
1 2
们的传播半径之比是 √2R ℎ . 如何化简这个式子呢？
1
√2Rh
2
【合作探究】
探究点1：最简二次根式的概念
√3 √3 √y3 y√y √10 √30
√27→2√3 → → →
100 10 x2 x √3 3
问题1: 观察各小题的最后结果，这些式子中的二次根式，有什么特点？
【知识要点】
(1) 被开方数不含分母；
(2) 被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式。
第 1 页我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式。
注意：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式， 并且
分母中不含二次根式。
例1 下列各式是最简二次根式的是( )
√5
A. √13 B. √12 C√a2. D.
3
【练一练】
1. 在下列各式中，哪些是最简二次根式？ 哪些不是？对不是最简二次根式的
进行化简。
√1 √5 √ 4
(1) √45 ; (2) ; (3) ; (4) 1 (5) √x2y2z .
3 2 5
探究点2：最简二次根式的概念
例2 计算：
√3 3√2 √8
(1) ; (2) ; (3) .
√5 √27 √2a
【练一练】
2. 化简：
√72 2√27 √ 18 19
(1) ; (2) (3) 1 +
√6 3 8 27 27
通过上面的学习，同学们来化简一下新课导入中的问题吧！
√2R ℎ √2R ℎ √ℎ √ℎ √ℎ ×√ℎ √ℎℎ
1 = 1 = 1 = 1 = 1 2 = 1 2
√2R ℎ 2 2R ℎ 2 ℎ 2 √ℎ 2 √ℎ 2 ×√ℎ 2 ℎ 2
第 2 页例3 高空抛物现象被称为 “悬在城市上空的痛”。据报道：一个30g的鸡蛋从
18 楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从 25楼抛下可以使人当场死亡。 据研究
从高空抛物时间 t 和高度 近似的满足公式t =
√2h
. 从100米高空抛物
ℎ
10
到落地所需时间t 是从50米高空抛物到落地所需时间 t 的多少倍？
2 1
第 3 页当堂反馈
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是( )
√1
A. B. √8 C. √0.9 D. √7
2
2. 已知 √2a+2 是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数 a 的值：
____.
3. 判断下列式子是否为最简二次根式， 若不是， 请化简。
√3
(1) √28 ; (2) ; (3) √4.5 (4) √9a2b5 (a > 0) .
4
第 4 页参考答案
探究点1：最简二次根式的概念
问题1: (1) 被开方数不含分母；
(2) 被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式。
例1 A.
【练一练】
1. 解：只有 (3) 是最简二次根式，
(2) √1 √1 1×√3 √3
(1)√45=3√5 = = =
3 √3 √3×√3 3
√ 4 √9 √9×5 3√5
(4) 1 = = = .(5) √x2y2z = xy√z .
5 5 5×5 5
探究点2：最简二次根式的概念
例2 (1) √3 √3 √3×5 √15 √15 √15 .
= = = = =
√5 5 5×5 52 √52 5
3√2 3√2 √2 √2×√3 √6
(2) = = = = .
√27 3√3 √3 √3×√3 3
√8 √8×√2a 4√a 2√a
(3) = = = .
√2a √2a×√2a 2a a
【练一练】
2. 解：(1) √72 √72 .
= =√12=2√3
√6 6
(2) 2√27 2√27 2×3√3 √3 √3×√2 √6 .
= = = = =
3 8 3√8 3×2√2 √2 √2×√2 2
(3) √ 18 19 √64 √64 8 8×√3 8√3 .
1 + = = = = =
27 27 27 √27 3√3 3√3×√3 9
√2×100
例3 解： 由题意得
t
2 =
10
=
√20
= √2 .
t
1
√2×50 10
10
第 5 页当堂反馈
1. D.
2. 2 (答案不唯一).
3. 解：(1)不是 √28=2√7 . (2) 是
(3) 不是。 √4.5 =
√9
=
√9
×2 =
3
√2 .
2 4 2
(4) 不是。 √9a2b5 = 3ab2 √b .
第 6 页
