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第 04 讲 三角形的外角
课程标准 学习目标
①三角形的外角定义 1. 掌握三角形外角的定义，能够判断三角形的外角。
②三角形的外角定理 2. 能够利用三角形的外角的性质进行相关的计算。
知识点01 三角形的外角
1. 三角形外角的定义：
如图，三角形的一条边与另一条边的 延长线 构成的夹角叫做三角形的外角。
知识点02 三角形的外角定理
1. 三角形的外角性质：
①外角定理：三角形的一个外角等于 它不相邻的两个内角之和 。
即∠1= ∠ 2+ ∠ 3 。
②三角形的一个外角 大于 不相邻的任意一个内角。
③三角形的外角与相邻的内角 互补 。
④三角形的外角和都等于 360 ° 。
【即学即练1】
1．如图，已知点D是△ABC的BC边延长线上一点，且满足∠A＝85°，∠B＝25°，则∠ACD的度数为（）
A．100° B．110° C．40° D．70°
【分析】由∠ACD是△ABC的外角，利用三角形的外角性质，即可求出∠ACD的度数．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝85°+25°＝110°．
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，BD为△ABC的角平分线，∠C＝80°，∠ADB＝105°，则∠A的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80
【分析】由角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，再由三角形的外角性质可得∠ADB＝∠C+∠CBD，可
求得∠CBD＝25°，结合三角形的内角和即可求解．
【解答】解：∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ADB是△BCD的外角，∠ADB＝105°，
∴∠ADB＝∠C+∠ABD＝105°，
∴∠ABD＝∠ADB﹣∠C＝25°，
∴∠aBD＝25°，
∵∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，
∴∠A+105°+25°＝180°，
∠A＝50°．
故选：A．
【即学即练3】
3．下列图形中，∠2大于∠1的是（ ）
A． B．C． D．
【分析】利用垂直的定义，对顶角的定义，等弧对等角，三角形的外角的性质对各选项进行分析即可．
【解答】解：A、由垂直可知：∠1＝∠2＝90°，故A不符合题意；
B、由∠1与∠2属于对顶角，则∠1＝∠2，故B不符合题意；
C、由等弧对等角可得∠1＝∠2，故C不符合题意；
D、由三角形的外角性质可得∠2＞∠1，故D符合题意．
故选：D．
【即学即练4】
4．已知三角形三个内角的比为2：3：4，则这个三角形三个外角的比为（ ）
A．2：3：4 B．4：3：2 C．7：6：5 D．5：3：1
【分析】由一个三角形的三个内角度数之比为2：3：4，根据三角形内角和定理，即可求得此三角形三
个内角的度数，继而求得与之对应的三个外角度数，则可求得答案．
【解答】解：∵一个三角形的三个内角度数之比为4：3：2，
∴三个内角分别为：180°× ＝40°，180°× ＝60°，
180°× ＝80°，
∴与之对应的三个外角度数分别为：140°，120°，100°，
∴与之对应的三个外角度数之比为：7：6：5．
故选：C．
题型01 利用三角形的外角性质进行计算
【典例1】如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠A＝75°，∠ACD＝105°，则∠B＝（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠A＝75°，∠ACD＝105°，
∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝105°﹣75°＝30°．
故选：A．
【变式1】如图，图中x的值为 60 ° ．【分析】利用三角形的内角和定理的推论列出等式解答即可．
【解答】解：由题意得：
x+70＝x+x+10，
解得：x＝60°，
故答案为：60°．
【变式2】某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的∠3＝110°，则∠1比∠2大（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】由平角的定义可得∠ABC＝70°，再利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠3＝110°，
∴∠ABC＝180°﹣∠3＝70°，
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠2+∠ABC＝∠1，
∴∠1﹣∠2＝∠ABC＝70°．
故选：C．
【变式3】如图，l ∥l ，△ABC的顶点B，C分别在l ，l 上，∠1＝70°，∠2＝40°，则∠A的大小为（
1 2 1 2
）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”求出∠1＝∠3＝70°，再根据三角形外角性质求解即可．
【解答】解：如图，∵l ∥l ，∠1＝70°，
1 2
∴∠1＝∠3＝70°，
∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝40°，
∴∠A＝30°，
故选：C．
【变式4】如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，CD是△ABC的角平分线，
∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝ ，∠EFC＝ ，∠ADC＝ ，则 、 、 三者间的数量关系是
＝ 2 ﹣ ．
α β γ α β γ β
γ α
【分析】根据平行线的性质得到∠B＝∠EFC＝ ，由角平分线的定义得到∠ACB＝2∠BCD，根据
∠ADC是△BDC的外角，得到∠ADC＝∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC＝∠B+∠ACB，
β
于是得到结果．
【解答】解：∵EF∥AB，∠EFC＝ ，
∴∠B＝∠EFC＝ ，
β
∵CD平分∠BCA，
β
∴∠ACB＝2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD，
∵∠ADC＝ ，
∴∠BCD＝ ﹣ ，
γ
∵∠MAC是△ABC的外角，
γ β
∴∠MAC＝∠B+∠ACB，
∵∠MAC＝ ，
∴ ＝ +2（ ﹣ ），
α
即 ＝2 ﹣ ，
α β γ β
故答案为： ＝2 ﹣ ．
β γ α
β γ α
题型02 三角形的外角与直角三角板【典例1】将一副三角板按图中方式叠放，则∠AOB等于 105 ° ．
【分析】由题意可得∠A＝60°，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，从而可求得∠ACO的度数，再利用三角形
的外角性质即可求∠AOB的度数．
【解答】解：如图：
由题意得：∠A＝60°，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，
∴∠ACO＝∠ACD﹣∠BCD＝45°，
∵∠AOB是△AOC的外角，
∴∠AOB＝∠A+∠ACO＝105°．
故答案为：105°．
【变式1】如图，将一副常规的三角板按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为（ ）
A．75° B．95° C．100° D．105°
【分析】求出∠ACO的度数，根据三角形的外角性质得到∠AOB＝∠A+∠ACO，代入即可．
【解答】解：∵∠ACO＝45°﹣30°＝15°，
∴∠AOB＝∠A+∠ACO＝90°+15°＝105°．
故选：D．
【变式2】在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要工具之一，每副三角板由两个特殊的直角
三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有 30°的直角三角板，一副三角板如图摆放，其中
A、D、B共线，此时∠BEF的度数为（ ）A．90° B．100° C．110° D．120°
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝30°，∠EDB＝90°，
∴∠BEF＝∠ABC+∠EDB＝120°．
故选：D．
【变式3】一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是（ ）
α
A．75° B．60° C．65° D．55°
【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∠ ＝30°+45°＝75°，
故选：A．
α
【变式4】将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．15°
【分析】先求出∠2和∠3的度数，再根据三角形外角性质求解即可．
【解答】解：由三角板的性质可得：∠2＝30°，∠3＝45°，
∴∠1＝∠2+∠3＝30°+45°＝75°．
故选：C．
题型03 三角形的内外角与角平分线
【典例1】如图，BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，若∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBD＝（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】根据三角形外角性质得出∠CBD，进而利用角平分线的定义解答即可．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠C＝60°，
∴∠CBD＝50°+60°＝110°，
∵BE为△ABC的外角∠CBD的平分线，∴∠EBD＝ ，
故选：B．
【变式1】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P；若
∠BPC＝25°，则∠ACB的度数为（ ）
A．25° B．50° C．65° D．70°
【分析】由角平分线的定义可得∠PBC＝ ∠ABC，∠ACP＝∠DCP＝ ∠ACD，从而可求得∠DCP＝
90°﹣ ∠ACB，再利用三角形的外角性质得∠DCP＝∠PBC+∠P，从而可求解．
【解答】解：如图，
∵∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点P，
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠ACP＝∠DCP＝ ∠ACD，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠PBC＝ ∠ACB，∠DCP＝ （180°﹣∠ACB）＝90°﹣ ∠ACB，
∵∠DCP是△BCP的外角，∠BPC＝25°，
∴∠BPC+∠PBC＝∠DCP，
25°+ ∠ACB＝90°﹣ ∠ACB，
解得：∠ACB＝65°．
故选：C．
【变式2】在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平
分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E，下列结论：① ；② ；
③ ；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．其中所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【分析】由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝90°﹣ ∠A，再由三角形的内
角和定理可求解∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+ ∠A，即可判定①；由角平分线的定义可
得∠DCF＝ ∠ACF，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠NCB＝
180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得
∠E+∠DCF＝90°+∠DBC，结合∠ABD＝∠DBC可判定④．
【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABD＝∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝∠ACO＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝90°﹣ ∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°﹣ ∠A）＝90°+ ∠A，
故①正确，符合题意；
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF＝ ∠ACF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，
∴2∠OBC+2∠D＝∠ABC+∠A，
∴∠D＝ ∠A，
故②正确，符合题意；
如图，
∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
∴∠EBC+∠ECB＝90°+ ∠A，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝90°﹣ ∠A，
∴∠A＝180°﹣2∠E，
故③错误，不符合题意；
∵∠DCF＝∠DBC+∠D，
∴∠E+∠DCF＝90°﹣ ∠A+∠DBC+ ∠A＝90°+∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD，
故④正确，符合题意；
综上正确的有：①②④．
故选：C．
【变式3】如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，BH是∠ABC的平分线，BD和CD是△ABC两个外角的平
分线，D、C、H三点在一条直线上，下列结论中：①DB⊥BH；② ；③DH∥AB；
④ ；⑤∠CBD＝∠D，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】①根据BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，可得∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，再由邻补角的性质，可得①正确；②根据 BD 和 CD 是△ABC 两个外角的平分线，可得
，可得②正确；③根据∠A＝∠ABC，可得
∠ BCF ＝ ∠ A+∠ ABC ＝ 2∠ ABC ， 可 得 ∠ BCD ＝ ∠ ABC ， 可 得 ③ 正 确 ； ④ 根 据
，可得④正确；⑤根据∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，可
得 ，再由∠A＝∠ABC，可得 ，可得⑤正确，即可求解．
【解答】解：①∵BH、BD是∠ABC与∠CBE的平分线，
∴∠ABC＝2∠CBH，∠CBE＝2∠CBD，
∵∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠CBH+∠CBD＝90°，即∠DBH＝90°，
∴DB⊥BH，故①正确；
②∵BD和CD是△ABC两个外角的平分线，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝
＝
＝
＝
＝ ，故②正确；
③∵∠A＝∠ABC，
∴∠BCF＝∠A+∠ABC＝2∠ABC，
∵CD是∠BCF的平分线，
∴ ，
∴DH∥AB，故③正确；
④∵ ，
∴ ，故④正确；
⑤∵∠ABC+∠CBE＝180°，BD平分∠CBE，
∴ ，
∵∠A＝∠ABC，∴ ，
∵ ，
∴∠CBD＝∠D，故⑤正确．
综上所述，正确的有5个．
故选：D．
1．如图，点 D在线段BC的延长线上，过点 B作射线BF交AC于点E，则下列是△ABE的外角的是
（ ）
A．∠ACD B．∠AEB C．∠AEF D．∠CEF
【分析】根据三角形的外角的概念判断即可．
【解答】解：A、∠ACD是△ABC的外角，不是△ABE的外角，不符合题意；
B、∠AEB是△ABE内角，不是△ABE的外角，不符合题意；
C、∠AEF是△ABE的外角，符合题意；
D、∠CEF是△EBC的外角，不是△ABE的外角，不符合题意；
故选：C．
2．如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ACD的度数是（ ）
A．140° B．120° C．110° D．100°
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算．
【解答】解：∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝100°，
故选：D．
3．如图，已知∠ACD＝119°，∠B＝19°，则∠A的度数是（ ）A．100° B．119° C．90° D．30°
【分析】由∠ACD是△ABC的外角，利用三角形的外角性质，即可求出∠A的度数．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝119°﹣19°＝100°．
故选：A．
4．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为（ ）
A．90° B．100° C．105° D．110°
【分析】根据三角板的性质得出∠ACB＝60°，∠BAC＝45°，再利用外角的性质计算即可．
【解答】解：由题意可得：
∠ACB＝60°，∠BAC＝45°，
∴∠CBE＝∠ACB+∠BAC＝60°+45°＝105°，
故选：C．
5．在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要作图工具之一．每副三角板由两个特殊的直角三
角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有 30°的直角三角板．现有一副三角板如图（一）所示
摆放，其中A，D，B三点共线，此时∠FEB的度数为（ ）
A．150° B．100° C．135° D．120°
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝30°，∠EDB＝90°，
∴∠BEF＝∠ABC+∠EDB＝120°．
故选：D．
6．一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你!这
个人字架中的∠3＝110°，你能求出∠1比∠2大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是
（ ）A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】由邻补角的性质求出∠4＝180°﹣∠3＝70°，由三角形外角的性质得到∠1﹣∠2＝∠4＝70°．
【解答】解：∵∠3＝110°，
∴∠4＝180°﹣∠3＝70°，
∴∠1﹣∠2＝∠4＝70°．
故选：C．
7．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容：
已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．
求证：AB∥CD．
证明：延长BE交※于点F，
则∠BEC＝◎+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．
又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝▲．
故AB∥CD（@相等，两直线平行）．
则回答正确的是（ ）
A．◎代表∠FEC B．@代表同位角
C．▲代表∠EFC D．※代表AB
【分析】延长BE交CD于点F，由三角形外角的性质得到∠BEC＝∠EFC+∠C，而∠BEC＝∠B+∠C，
得∠B＝∠EFC，即可证明AB∥CD．
【解答】解：A、◎代表∠EFC，故A不符合题意；
B、@代表内错角，故B不符合题意；
C、▲代表∠EFC，正确，故C符合题意；
D、※代表CD，故D不符合题意．
故选：C．
8．如图是速度滑冰运动员比赛时的瞬间，此时摆动的手臂和肩膀形成三角形，A、B和D在同一条直线上，
∠B＝73°，∠DAC＝126°，则∠ACB的度数为（ ）A．73° B．53° C．107° D．54°
【分析】根据三角形的外角性质得出∠ACB即可．
【解答】解：∵∠B＝73°，∠DAC＝126°，
∴∠ACB＝∠DAC﹣∠B＝126°﹣73°＝53°，
故选：B．
9．如图，已知MB∥EF，BD与EF相交于点C，连接MC．则下列结论：①∠1＝∠3；②∠2＝∠B；
③∠M与∠MCB是同旁内角；④∠MCD＝∠M+∠B；⑤若CE平分∠MCD，则∠MCD＝2∠M．其中
正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④⑤ C．①③④ D．②④⑤
【分析】根据平行线的性质即可判断②④；根据同旁内角的定义即可判断③；由角平分线的定义得到
∠MCD＝2∠3，再由∠3＝∠M即可判断⑤；根据现有条件无法证明∠1＝∠3，即可判断①．
【解答】解：①根据现有条件无法证明∠1＝∠3，故①错误；
②∵MB∥EF，
∴∠2＝∠B，故②正确；
③∠M与∠MCB是同旁内角，故③正确；
④∵MB∥EF，
∴∠3＝∠M，∠B＝∠2，
∴∠MCD＝∠2+∠3＝∠M+∠B，故④正确；
⑤若CE平分∠MCD，则∠MCD＝2∠3，则∠MCD＝2∠M，故⑤正确；
故选：B．
10．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以
下结论：① AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③ ④ 2∠ADB+∠CDB＝90°；
⑤∠ADC+∠ABD＝135°．其中正确的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据相关判定定理和性质，逐项判断，即可得到答案．
【解答】解：①∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAC＝2∠ABC，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确，
②∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB，故②正确；
③∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠DCF，
∴2∠DCF+∠ACB＝180°，
∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF，
∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝2∠BDC，
∴ ，故③正确；
④∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACF＝2∠DCF，
∵∠ADB+∠CDB＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°，
∴2∠DCF+∠ABC＝2∠DCF+2∠ABD＝180°，∴∠DCF+∠ABD＝90°，
∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°，
∴ ，
∴2∠ADB+∠CDB＝90°，故④正确；
⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCF，
∴∠ADC+∠ABD＝90°，故⑤不正确．
故选：C．
11．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝
50°，则∠P＝ 3 0 °．
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，
故答案为：30°．
12．如图，五角星ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 18 0 度．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和把五个角转化为一个三角形的内角的和，
再根据三角形内角和定理解答．
【解答】解：如图，∵∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，
∴∠1+∠2＝∠A+∠C+∠B+∠D，
∵∠1+∠2+∠E＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故答案为：180．13．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°．李叔叔量得∠BCD
＝138°，他断定这个零件 不合格 （填“合格”或“不合格”）．
【分析】连接AC，延长AC到点M，由∠DCM是△ACD的外角，∠BCM是△ABC的外角，利用三角
形的外角性质，可得出∠DCM＝∠DAC+∠D，∠BCM＝∠BAC+∠B，将其相加后，可得出∠BCD＝
∠BAD+∠B+∠D＝140°，结合李叔叔量得∠BCD＝138°，即可得出这个零件不合格．
【解答】解：连接AC，延长AC到点M，如图所示.
∵∠DCM是△ACD的外角，∠BCM是△ABC的外角，
∴∠DCM＝∠DAC+∠D，∠BCM＝∠BAC+∠B，
∴∠BCD＝∠BCM+∠DCM
＝∠BAC+∠B+∠DAC+∠D
＝∠BAD+∠B+∠D
＝90°+20°+30°
＝140°．
又∵李叔叔量得∠BCD＝138°，
∴他断定这个零件不合格．
故答案为：不合格．
14．在社会实践手工课上，小茗同学设计了如图这样一个零件，如果∠A＝52°，∠B＝25°，∠C＝30°，
∠D＝35°，∠E＝72°，那么∠F＝ 7 0 °．【分析】连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，利用三角形的外角性质，可得出
∠BEM＝∠BAE+∠B，∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C，将
其相加后可得出∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C，再代入各角的度数，即可求出结论．
【解答】解：连接AD，连接AE并延长到点M，连接AF并延长到点N，如图所示．
∵∠BEM是△ABE的外角，
∴∠BEM＝∠BAE+∠B．
同理可得出：∠DEM＝∠DAE+∠ADE，∠DFN＝∠DAF+∠ADF，∠CFN＝∠CAF+∠C，
∴∠BEM+∠DEM+∠DFN+∠CFN＝∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE+∠DAF+∠ADF+∠CAF+∠C，
即∠BED+∠CFD＝∠A+∠B+∠EDF+∠C，
∴72°+∠CFD＝52°+25°+35°+30°，
∴∠CFD＝70°．
故答案为：70．
15．如图，在△ABC 中，BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG 分别平分三角形的两个外角
∠EBC、∠FCB，∠G＝48°，则∠D＝ 13 2 °．
【分析】连接DG，根据角平分线定义得∠DBC＝ ∠ABC，∠GBC＝ ∠EBC，则∠DBC+∠GBC＝
（∠ABC+∠EBC）＝90°，即∠DBG＝90°，同理∠DCG＝90°，再由三角形内角和定理得
∠BDG+∠BGD＝90°，∠CDG+∠CGD＝90°，即∠BDC+∠BGC＝180°，然后根据∠BGC＝48°可是
∠BDC的度数．
【解答】解：连接DG，如下图所示：∵BD平分∠ABC，BG平分∠EBC，
∴∠DBC＝1/2∠ABC，∠GBC＝1/2∠EBC，
∴∠DBC+∠GBC＝1/2（∠ABC+∠EBC），
∵∠ABC+∠EBC＝180°，
∴∠DBC+∠GBC＝1/2×180°＝90°，
即∠DBG＝90°，
同理：∠DCG＝90°，
∴∠BDG+∠BGD＝90°，∠CDG+∠CGD＝90°，
∴∠BDG+∠BGD+∠CDG+∠CGD＝180°，
即∠BDC+∠BGC＝180°，
∵∠BGC＝48°，
∴∠BDC＝180°﹣∠BGC＝180°﹣48°＝132°．
故答案为：132．
16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，
（1）若∠B＝40°，∠E＝25°，求∠BAC的度数．
（2）探究∠BAC，∠B，∠E的关系，并说明理由．
【分析】（1）先根据三角形外角的性质得出∠DCE的度数，再由角平分线的性质得出∠ACD的度数，
由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）先由三角形外角的性质得出∠BAC＝∠E+∠ACE，故可得出∠BAC＝∠E+∠DCE，再由∠DCE＝
∠B+∠E即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠E＝25°，
∴∠DCE＝∠B+∠E＝65°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠DCE＝130°，
∴∠ACB＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°；
（2）∠BAC＝∠B+2∠E，理由：
∵∠BAC＝∠E+∠ACE，∠DCE＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠E+∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠B+2∠E．
17．数学课上，李老师提出下面的问题：
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AE是△ABC的外角∠CAD的角平分线．
求证：AE∥BC．
小晗的思路如下，请在括号内填写推理依据并完成证明．
证明：∵∠CAD是△ABC的外角，
∴∠CAD＝∠B+∠C（ 三角形的外角性质 ）．
∵∠B＝∠C，
∴ ．
……
【分析】根据三角形的外角性质填空，根据角平分线的定义、平行线的判定定理证明．
【解答】证明：∵∠CAD是△ABC的外角，
∴∠CAD＝∠B+∠C（三角形的外角性质），
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝ ∠CAD，
∵AE是∠CAD的角平分线，
∴∠DAE＝ ∠CAD，
∴∠B＝∠DAE，
∴AE∥BC．
故答案为：三角形的外角性质．
18．如图1，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数．（2）如图2，过点A作AF⊥BC于点F，若∠B＝2∠E，∠ECD＝2∠FAC，求∠EAC的度数．
【分析】（1）利用角平分线的意义，及∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ACE+∠E两次外角定理即可求
解；
（2）设∠E＝ ，通过外角定理表示出∠DCE＝3 ，通过直角三角形的性质表示出 ，
最后由平角的性质建立关于 的方程，求解即可．
α α
【解答】解：（1）∵CE平分∠ACD，
α
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，∠B＝35°，∠E＝20°，
∴∠DCE＝35°+20°＝55°，
∴∠ACE＝55°，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝55°+20°＝75°．
（2）∵∠B＝2∠E，
∴设∠E＝ ，则∠B＝2 ，
∵CE平分∠ACD，
α α
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠DCE＝3 ，
∵CE平分∠ACD，
α
∴∠ACE＝∠DCE＝3 ，
∵∠ECD＝2∠FAC，
α
∴ ，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴ ，
∵∠ACF+∠DCE+∠ACE＝180°，
∴ ，解得： ＝20°，
α
∴ ，
∵∠EAC＝∠B+∠ACF，
∴∠EAC＝60°+40°＝100°．
19．在△ABC中，∠A＝n°
（1）设∠B，∠C的平分线交于点O．求∠BOC的度数：
（2）设△ABC的外角∠CBD．∠BCE的平分线交于点O′，∠BO′C的度数：
（3）∠BOC与∠BO′C有怎样的数量关系？
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可；
（2）利用角平分线的性质和三角形的外角性质解答即可；
（3）根据（1）、（2）可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相交于O．
∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠ACB，
∵∠1+∠2+∠COB＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠COB， （∠ABC+∠ACB+∠A）＝90°，
∴180°﹣∠COB+ ∠A＝90°，
∴∠BOC＝90°+ ∠A，
∵∠A＝n°，
∴∠BOC＝90°+ n°；
（2）∵B′O′、C′O′为△A′B′C′两外角∠C′B′D、∠B′C′E的平分线，∠A°＝n°，
∴∠B′C′O′＝ （∠A′+∠A′B′C′），∠C′B′O′＝ （∠A′+∠A′C′B′）；
由三角形内角和定理得：
∠ O′ ＝ 180°﹣ ∠ B′ C′ O′ ﹣ ∠ C′ B′ O′ ＝ 180°﹣ [∠ A′ + （ ∠ A′ +∠ A′ B′ C′
+∠A′C′B′）]＝180°﹣ （∠A′+180°）
＝90°﹣ n°；
（3）由（1）、（2）可知，∠BOC+∠B′O′C′＝180°；
设∠A＝∠A′＝n°，则∠BOC＝90°+ ∠A；∠B′O′C′＝90°﹣ ∠A′．20．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：
（1）【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相
交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
（2）【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的
平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，若∠B＝40°，求∠CEF和
∠CFE的度数；
（3）【探究延伸】如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD
于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，求∠CFE
的度数．
【分析】（1）由余角的性质可得∠B＝∠ACD，由角平分线的性质和外角的性质可得结论；
（2）由三角形内角和定理可求∠GAF＝130°，由角平分线的性质可求∠GAF＝65°，由余角的性质可求
解；
（3）由平角的性质和角平分线的性质可求∠EAN＝90°，由外角的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD，∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
（2）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠GAF＝∠B+∠ACB＝40°+90°＝130°，
∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF＝ ×130°＝65°，∵CD为AB边上的高，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠GAF＝90°﹣65°＝25°，
又∵∠CAE＝∠GAF＝65°，∠ACB＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝90°﹣65°＝25°；
（3）证明：∵C、A、G三点共线，AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
∴∠CFE＝90°﹣∠M＝90°﹣35°＝55°．
