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西城区高三模拟测试试卷
数学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求 ，再求并集即可
【详解】易得 ，故
故选：A
2. 已知双曲线的焦点分别为 ， ， ，双曲线上一点 满足 ，则该双曲线的
离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由双曲线的定义和焦距即可求出 和 的值，进而可求离心率.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以由双曲线的定义可知 ，解得 ，
则双曲线的离心率 ，故选： .
3. 已知 为等差数列，首项 ，公差 ，若 ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；
【详解】解：因为首项 ，公差 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得
故选：D
4. 下列函数中，与函数 的奇偶性相同，且在 上有相同单调性的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指对函数的性质判断A、B，由正弦函数性质判断C，对于D有 ，即
可判断奇偶性和 单调性.
【详解】由 为奇函数且在 上递增，
A、B： 、 非奇非偶函数，排除；
C： 为奇函数，但在 上不单调，排除；
D： ，显然 且定义域关于原点对称， 上递增，满足.
在故选：D
5. 已知直线 与圆 ： 交于 ， 两点，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求k值.
【详解】由题设 且半径 ，弦长 ，
所以 到 的距离 ，
即 ，可得 .
故选：B
6. 已知 是单位向量，向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义即可求解.
【详解】依题意， ，
， ， ，
又∵ ， ，
故选：C.7. 已知函数 ， ，那么“ ”是“ 在 上是增函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求得当 时， 是增函数,进而判断 时，函数的单
调性，即可得出结果.
【详解】当 ， , 单调递增.
则当 时， 是增函数,
当 时, 在 单调递增，可得 在 上是增函数；
当 时, 在 单调递增，可得 在 上是增函数；
反之，当 在 上是增函数时，由 ，可知，此时 ，即
不成立.
所以“ ”是“ 在 上是增函数”的充分而不必要条件.
故选：A.
8. 已知 ，记关于 的方程 的所有实数根的乘积为 ，则 （ ）
A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值
C. 既有最大值，也有最小值 D. 既无最大值，也无最小值
【答案】D
【解析】【分析】求出方程 的实数根，从而可得 ，再根据指数函数的性质即可得解.
【详解】解：由 ，
得 ，所以 或 ，
故 ，
所以函数 既无最大值，也无最小值.
故选：D.
9. 若函数 的定义域和值域的交集为空集，则正数 的取值范围是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先得到函数的定义域，再分析当 时 的取值，即可得到 ，再对 时分
和 两种情况讨论，求出此时 的取值，即可得到 的值域，从而得到不等式，解得
即可；
【详解】解：因为 ，所以 的定义域为 ， ，
当 时 ，则 在 上单调递增，所以 ；
要使定义域和值域的交集为空集，显然 ，
当 时 ，
若 则 ，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若 时 在 上单调递减，此时 ，则 ，
所以 ，解得 ，即
故选：B
10. 如图为某商铺 、 两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知 商品卖出一件盈利20元，
商品卖出一件盈利10元.图中点 、 、 的纵坐标分别表示 商品2022年前3个月的销售量，点 、
、 的纵坐标分别表示 商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是（
）
①2月 、 两种商品的总销售量最多；
②3月 、 两种商品的总销售量最多；
③1月 、 两种商品的总利润最多；
④2月 、 两种商品的总利润最多.
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】对①②，根据统计图的相关点纵坐标高低判断即可；
对③④，根据 利润是 的两倍，根据卖得更多的商品判断利润高低即可
【详解】对①②，根据统计图可得， ， 的纵坐标之和显然最大，故3月 、 两种商品的总销售量
最多；故②正确；
对③④，因为 商品卖出一件盈利20元， 商品卖出一件盈利10元，根据统计图，若用对应的点表示对
应点的纵坐标，则易得 ，故③正确综上②③正确
故选：C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 二项式 的展开式中 的系数为21，则 __________.
【答案】7
【解析】
【分析】写出二项式展开式通项，根据已知条件有 ，即可求n值.
【详解】由题设，展开式通项为 ，而 的系数为21，
所以 ，即 且 ，可得 .
故答案为：7
12. 已知复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ，则 为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的定义以及运算规则即可求解.
【详解】由题意， ，则 ，
；
故答案为： .
13. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，则焦点到准线的距离为___________；直线
与抛物线分别交于 、 两点（点 在 轴上方），过点 作直线 的垂线交准线 于点 ，则
__________.【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】求出焦点及准线方程，从而可得焦点到准线的距离，作 交准线 于点 ，易得直线
过焦点，则 从而可得出答案.
【详解】解：抛物线 的焦点 ，准线 为 ，，
所以焦点到准线的距离为2，
如图，作 交准线 于点 ，
因为直线 过焦点 ，
则 ，
因为 ，所以 轴，
又直线 的倾斜角为 ，
所以 ，所以 ，
则 .
故答案为：2；14. 已知数列 是首项为16，公比为 的等比数列， 是公差为2的等差数列.若集合
中恰有3个元素，则符合题意的 的一个取值为__________.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】易得数列 逐项递减，可先确定集合 中的3项再列式求 的范围即可
【详解】易得数列 逐项递减， 逐项递增，故可考虑 ，
，
此时只需 即可，即 ，解得 ，
故符合题意的 的一个取值为 （答案不唯一）
故答案为： （答案不唯一）
15. 已知四棱锥 的高为1， 和 均是边长为 的等边三角形，给出下列四个结论：
①四棱锥 可能为正四棱锥；
②空间中一定存在到 ， ， ， ， 距离都相等的点；③可能有平面 平面 ；
④四棱锥 的体积的取值范围是 .
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】对①，分析当四棱锥 为正四棱锥时是否满足条件即可；
对②，设四棱锥 的高为 ，分析可得点 满足；
对③，假设平面 平面 ，再推导得出矛盾即可判断；
对④，设 ，得出四棱锥 的体积表达式再求解即可
【详解】根据题意，设 ，则 ，又因为 和 均是边长为 的等边三角形，
易得 ，且
对①，当 时，底面为正方形，且 为底面中心，此时四棱锥 可能
为正四棱锥，故①正确；
对②， ，故一定存在到 ， ， ， ， 距离都相等的点 ，故②正
确；
对③，当平面 平面 时，因为 ，故 平面 ，此时 ，又因为 ，此时 重合，不满足题意，③错误；
对④，设 ，则
，因为 ，
故 ，所以 ，故④正确
故答案为：①②④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中， .
（1）求 的大小；
（2）若 ，证明： .
【答案】（1） ；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】(1)利用降幂公式化简已知条件，求出tanB即可求出B；
(2)结合余弦定理和已知条件即可证明．
【小问1详解】
在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ；
【小问2详解】
∵ ，∴ ．
由余弦定理得 ①，
∵ ，∴ ②，
将②代入①，得 ，
整理得 ，∴ ．
17. 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价
包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公
布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设
置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男
生和女生选考乒乓球的比例分别为 和 ，选考1分钟跳绳的比例分别为 和 .假设选考项目
中所有学生选择每一项相互独立.
（1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；
（2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分
钟跳绳的概率；
（3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，
40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考
试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为 ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为 ，试比较 与 的大小.（结论不需要证明）
【答案】（1）
（2）0.32 （3）
【解析】
【分析】（1）分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解；
（2）根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九年级全体女生中随机抽取1人选考跳
绳的概率，再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解；
（3）根据平均数公式分别求出 ，即可得解.
【小问1详解】
解：样本中男生的人数为 人，
样本中女生的人数为 人，
设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件 ，
则该学生选考乒乓球的概率 ；
【小问2详解】
解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件 ，
从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件 ，
由题意 ，
则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟
跳绳的概率为 ；
【小问3详解】
解： ，
，所以 .
18. 如图，在三棱柱 中，四边形 是边长为4的菱形， ，点D为棱AC
上动点（不与A，C重合），平面 与棱 交于点E.
（1）求证： ；
（2）若 ，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面
所成角的正弦值.条件①：平面 平面 ；条件②： ；条件③：
.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由棱柱的性质可得 ，即可得到 平面 ，再根据线面平行的性质证明
即可；
（2）选①②，连接 ，取 中点 ，连接 ， ，即可得到 ，根据面面垂直的性质
得到 平面 ，即可得到 ，再由 ，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
选②③，连接 ，取 中点 ，连接 ， ，依题意可得 ，再由勾股定理逆定理得到
，即得到 平面 ，后续同①②；
选①③，取 中点 ，连接 ， ，即可得到 ，由面面垂直的性质得到 平面
，从而得到 ，再由勾股定理逆定理得到 后续同①②；
【小问1详解】
在三棱柱 中， ，又 面 ， 面 ，
所以 平面 ，又面 面 ， 面 ，
所以 .
【小问2详解】
选①②：连接 ，取 中点 ，连接 ， .
在菱形 中 ，所以 为等边三角形.
为
又 中点，所以 ，
又面 面 ，面 面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故 .
又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
选②③：连接 ，取 中点 ，连接 ， .
在菱形 中 ，所以 为等边三角形.
又 为 中点，故 ，且 ，又 ， .
所以 ，则 .
又 ， 面 ，所以 面 ，
由 平面 ，故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故 .
又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
选①③：取 中点 ，连接 ， .
在 中，因为 ，所以 ，且 ， .
又面 面 ，面 面 ， 面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
在 中， ，又 ， ，
所以 ，则 .
由 ， 面 ，则 面 ，
由 平面 ，故 ，又 ，所以 .
以 为原点，以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， .
所以 ， .
设面 的一个法向量为 ，则 ，令 ，故 .又 ，设直线 与面 所成角为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19. 已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）当 时，
①求证： 有唯一的极值点 ；
②记 的零点为 ，是否存在 使得 ？说明理由.
【答案】（1）
（2）①证明见解析，②不存在，详细见解析.
【解析】
【分析】（1）求得导函数，由 ，代入计算即可.
(2) ①求得 设 , 由函数性质可知 在 上单调递减.
进而由 ，可得 有 有唯一解，进而利用导数可判断
有唯一的极值点 .
②由题意，可得 假设存在a，使 ，进而可知 由 在 单调递减，，则 ，求得 ，与已知矛盾，则假设错误.
【小问1详解】
因为 ，所以
因为 ，所以
【小问2详解】
① 的定义域是 ，
令 ，则 .
设 ,因为 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减.
因为 ，所以 在 上有唯一的零点，|
所以 有 有唯一解，不妨设为 .
与 的情况如下,
+ 0 -
增 极大值 减
所以 有唯一的极值点 .
②由题意， ，则若存在a，使 ，则 ，所以
因为 在 单调递减， ，
则需 ，即 ，与已知矛盾.
所以，不存在 ,使得 .
20. 已知椭圆 ： 的左顶点为 ，圆 ： 经过椭圆 的上、下
顶点.
（1）求椭圆 的方程和焦距；
（2）已知 ， 分别是椭圆 和圆 上的动点（ ， 不在坐标轴上），且直线 与 轴平行，线段
的垂直平分线与 轴交于点 ，圆 在点 处的切线与 轴交于点 .求线段 长度的最小值.
【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
的
【分析】（1）根据给定条件，求出 ，写出椭圆C 方程并计算焦距作答.
（2）设出点P，Q坐标，求线段AP中垂线方程得点M，求圆O在点Q处的切线方程得点N，再借助均值
不等式求解作答.
【小问1详解】
依题意， ，由 ，得 ，
所以椭圆C 的方程为： ，焦距为 .
【小问2详解】设 ，则 ，依题意，设 ，且 ，
因 ，则线段AP的中点为 ，直线AP的斜率 ，
则线段AP的中垂线方程为： ，
令 得点M的纵坐标 ，而 ，则 ，即
，
直线OQ的斜率 ，因此，圆O在点Q处的切线斜率为 ，
切线方程为 ，令 得点N的纵坐标 ，即 ，
则有 ，当且仅当 ，即
时取“=”，
所以线段 长度的最小值为 .
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为
变量，建立函数关系求解作答.
21. 已知数列 ： ， ，…， ，其中 是给定的正整数，且 .令 ，
， ， ， ，
.这里， 表示括号中各数的最大值， 表示括号中各数的最小值.（1）若数列 ：2，0，2，1，-4，2，求 ， 的值；
（2）若数列 是首项为1，公比为 的等比数列，且 ，求 的值；
（3）若数列 是公差 的等差数列，数列 是数列 中所有项的一个排列，求 的所有
可能值（用 表示）.
【答案】（1） ， ；
（2） ；
（3）所有可能值为 .
【解析】
【分析】（1）根据函数定义写出 ， 即可.
（2）讨论数列A的项各不相等或存在相等项，当各项都不相等，根据题设 定义判断
，当存在相等项，由等比数列通项公式求q，进而确定 的值；
（3）利用数列A的单调性结合（2）的结论求 的取值范围，估计所有可能取值，再应用分类
讨论求证 对应所有可能值均可取到，即可得结果.
【小问1详解】
由题设， ， ， ，则 ，
， ， ，则 ，
所以 ， .
【小问2详解】
若数列 任意两项均不相等，
当 时 ；
当 且 时， ，又 ， ，
此时 ；
综上， ，故 ，不合要求；
要使 ，即存在 且 使 ，即 ，
又 ，则 ，
当 ，则 ，不合要求；
当 ，则 ，满足题设；
综上， .
【小问3详解】
由题设数列 单调递增且 ，
由（2）知： ，
根据题设定义，存在 且 ， ，
则 ，
由 比数列 中 个项大， ，同理 ，
所以 ；
又 至少比数列 中一项小， ，同理 ，
所以 ；
综上， .
令数列 ，下证 各值均可取到，
ⅰ、当 ，而数列 递增，， 且 ，
此时， ， ，
则 ；
ⅱ、当 时， ，则
，
当 且 时，令 ，则 ，
所以 ，
，
此时 ；
ⅲ、给定 ，
令 ( )且 ( )，
则 ( )， ( )，
又数列 递增， ，
( )， ( )，
所以 ，
此时 且 ，
故 ，
综上， .
【点睛】关键点点睛：第三问，首先根据数列的单调性和定义求 的取值范围，再由定义结合分类讨论求证范围内所有可能值都可取到.
