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通州区 2021-2022 学年高三年级第一次模拟考试
数学试卷
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接求解即可
【详解】因为 ，
所以
故选：C
2. 复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法化简复数 ，即可得出结论.
【详解】因为 ，因此，复数 的虚部为 .
故选：A.
3. 设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 60 B. 70 C. 120 D. 140
【答案】B【解析】
【分析】根据等差数列的性质可求得 ，利用等差数列前n项和公式并化简，可得答案.
【详解】在等差数列 中， ，则 ，
故 ，
故选：B
4. 在 ABC中，已知 ， ， ，则 （ ）
△
A. 1 B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用余弦定理求解即可
【详解】因为在 ABC中， ， ， ，
△
所以由余弦定理得 ，
，得 ，
解得 ，或 （舍去），
故选：D
5. 若a， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用重要不等式 即可由“ ”推出“ ”；“ ”成立时，“
”不一定成立，举反例证明.【详解】 ，当且仅当 时，取等号，
当 ， 时， ，但 ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件
故选：A
6. 2022年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获9金4银2铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．获得的9
枚金牌中，5枚来自雪上项目，4枚来自冰上项目．某体育院校随机调查了100名学生冬奥会期间观看雪上
项目和冰上项目的时间长度（单位：小时），并按 ， ， ， ， 分组，
分别得到频率分布直方图如下：
估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时间长度的第75百分位数分别是 和 ，方差分别是
和 ，则（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】分别计算出 和 ，进行比较；由方差的意义比较 和 ，即可得到答案.
【详解】由题意进行数据分析，可得：
，解得： ；
，解得： ；所以 .
比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更集中，由方差的意义可以
得到： .
故选：A
7. 设 是抛物线 上的一点， 是抛物线的焦点， 是坐标原点，若 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点 作抛物线准线 的垂线，垂足为点 ，连接 ，分析出 为等边三角形，求出
，即可得解.
【详解】过点 作抛物线准线 的垂线，垂足为点 ，连接 ，如下图所示：
因为 ， 轴，则 ，
由抛物线的定义可得 ，所以， 为等边三角形，则 ，
抛物线 的准线方程为 ，设直线 交 轴于点 ，则 ，易知 ， ，则 .
故选：B.
8. 太阳高度角是太阳光线与地面所成的角（即太阳在当地的仰角）．设地球表面某地正午太阳高度角为 ，
为此时太阳直射点纬度， 为当地纬度值，那么这三个量满足 ．通州区某校学生科技
社团尝试估测通州区当地纬度值（ 取正值），选择春分当日（ ）测算正午太阳高度角．他们将长
度为1米的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结
果如下：
组别 甲组 乙组 丙组 丁组
木杆影长度（米） 0.82 0.80 0.83 0.85
则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是（ ）
A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到 ，设木杆的影长为 ，得到 ，根据表格中的数据得到当
时， 取得最小值，此时 求得最大值，即可求解.
【详解】如图所示，地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射点纬度， 为当地纬度值，那
么这三个量满足 ，
当 且 为正值，可得 ，即 ，
设木杆的影长为 ，可得 ，
因为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为 ，
所以当 时， 取得最小值，此时 求得最大值，
所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组.故选：D.
9. 已知直线l： 和圆C： ，若存在三点A，B，D，其中点A在直线l上，点
B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先判断出正方形的边长为1，对角线为 .把题意转化为存在点A使 .利用点到直线的
距离公式即可求解.
【详解】圆C的半径为1，所以 ，即正方形的边长为1，对角线为 ，即 .
设点C到直线l的距离为d.
存在点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，相当于存在点A使 .
所以 .
即 ，解得： .
故选：C
10. 已知函数 ，其中 ，且 ．给出下列三个结论：
①函数 是单调函数；
②当 时，函数 的图象关于直线 对称；
③当 时，方程 根的个数可能是1或2．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】讨论 与 时，函数 是否单调可判断①；把函数图象的对称问题转化为点的对称
问题即可证明②；直线 与 的位置关系即可判断③．
【详解】当 时， 在 单调递减，且 ，
在 单调递减，且 ，
故 在 上单调递减；
当 时， 在 单调递增，且 ，
在 单调递增，且 ，
故 在 上单调递增；则①正确；
设 为 图象上的任一点，不妨设 ，因为 则
点 关于直线 对称的对称点为
由 得 ，所以点 符合
所以当 时，函数 的图象关于直线 对称；故②正确；
当 时，令
若 ，则 ；若 ，则 化为 ．
设 ，则 ，所以在点 处的切线的斜率为
当 时，直线 与 相切，方程 根的个数是1，当 且 时，直线 与 相交，方程 根的个数是2，
则③正确．
故选：D
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在 的展开式中， 的系数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】代入二项展开式的通项公式即可求解
【详解】 ，令 ，则
故答案为：
12. 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合已知条件可求得正数 的值.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
直线 的方程可化为 ，所以， .
故答案为： .
13. 幂函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，能够使
是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．
【答案】1， （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据幂函数在 上的单调性得到 ，再根据 是奇函数可以得到幂函数 和幂函数 都是奇函数，从而可得 的很多组值.
【详解】因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，
因为幂函数 在 上单调递减，所以 ，
又因为 是奇函数，所以幂函数 和幂函数 都是奇函数，所以 可以是 ， 可以
是 .
故答案为：1， （答案不唯一）.
14. 在矩形ABCD中， ， ，点P在AB边上，则向量 在向量 上的投影向量的长度
是_____， 的最大值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据投影向量的概念，可求得向量 在向量 上的投影向量的长度；
建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算，表示出 ，利用二次函数的性质求得答案.
【详解】由题意可得 ，
即向量 在向量 上的投影向量的长度是 ；
如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，
设 ，则 ,
故 ，则 ，
当 时， 取最大值为 ，
故答案为： ；
15. 如图，在棱长为2的正方体 中，点E，F，G分别是棱BC， ， 的中点，点
P为底面 上任意一点．若P与 重合，则三棱锥E-PFG的体积是____；若直线BP与平面EFG
无公共点，则BP的最小值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由体积公式可得三棱锥E-PFG的体积，分别取 的中点 ，可得截面 即
为截面 ，线段 即为 点轨迹， 的高即为 的最小值．
【详解】若P与 重合，则 ， ；
若直线BP与平面EFG无公共点，则 平面 ，
分别取 的中点 ，连接 ，
则 ， ， ，而 ，所以 ，同理 ， ，
因此可得证 共面，即截面 即为截面 ，平面 ， 平面 ，则 平面 ，同理 平面 ，
而 ， 平面 ，所以平面 平面 ，只要 ，则有
平面 ，线段 即为 点轨迹， ，因此 的最小值为 ，
故答案为： ； ．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形， ， ． 为等边三角形，平面
平面ABCD，E为AD的中点．
（1）求证： ；
（2）求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可证明 平面ABCD，结合线面垂直的性质定理，即可证明结
论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，可求得相关向量的坐标，从而求得平面PAC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：因为 PAD为正三角形，E为AD中点，
所以 △ ，
因为平面 平面ABCD，
平面 平面 ，
平面PAD，
所以 平面ABCD．
因为 平面ABCD，
所以 ．
【小问2详解】
由（1）知， 平面ABCD．
取BC中点F，连结EF,
因为底面ABCD为矩形，E为AD中点，
,
所以
所以EA，EF，EP两两垂直．
分别以E为坐标原点，EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，
则 ， ， ， ，
所以 ， ．
设平面PAC的法向量 ，
由 ，得 ，令 ，得 ， ，
所以 ，
平面ABCD的法向量可取 ．
设平面PAC与平面ABCD夹角大小为 ，可知 为锐角，
则 ，
所以平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值为 ．
17. 已知函数 的最小正周期为 ．
（1）求 的值；
（2）从下面四个条件中选择两个作为已知，求 的解析式，并求其在区间 上的最大值和最
小值．
条件①： 的值域是 ；
条件②： 在区间 上单调递增；
条件③： 的图象经过点 ；
条件④： 的图象关于直线 对称．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由周期可得 ；（2）由①中确定 ，由③得出 的关系式，由④可确定 ，条件②不能得出确定的值， 在区间
上单调递增，没有说 就是单调增区间，由它可能确定参数的范围．因此考虑方案：
①③；①④；③④分别求解．
【小问1详解】
因为 ，所以 ．
【小问2详解】
（2）方案一：
选择①，③
因为 的值域是 ，
所以 ．
所以 ．
因为 的图象经过点 ，
所以 ，
即 ．
又 ，所以 ．
所以 的解析式为 ．
因为 ，
所以 ．当 ，
即 时，
取得最小值 ；
当 ，即 时，
取得最大值 ．
方案二：
选择条件①，④
因为 的值域是 ，
所以 ．
所以 ．
因为 的图象关于直线 对称，
所以 ，
所以 ．
又 ，所以 ．
所以 的解析式为 ．
以下同方案一．
方案三：选择条件③，④
因为 的图象关于直线 对称，
所以 ，
所以 ．
又 ，
所以 ．
因为 的图象经过点 ，
所以 ，
即 ．
所以 的解析式为 ．
以下同方案一．
18. 某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位
就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲员工 30天 20天 40天 10天
乙员工 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（1）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐
的概率；
（2）记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望 ；（3）试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说
明理由．
【答案】（1） ，
（2）分布列见解析，1.9
（3）在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用古典概型的概率公式计算可得；
的
（2）依题意 所有可能取值为1，2，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出所对应的概率，
列出分布列求出数学期望即可．
（3）根据古典概型的概率公式求出所对应的条件概率，即可判断；
【小问1详解】
解：设事件 “一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，事件 “一天中乙员工午餐和晚餐都选
择B餐厅就餐”．
由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就
餐的天数为40，
所以 ， ；
【小问2详解】
解：甲员工午餐、晚餐都选择 餐厅就餐的概率为 ，甲员工午餐、晚餐都选择 餐厅就餐的概率为
；
乙员工午餐、晚餐都选择 餐厅就餐的概率为 ，乙员工午餐、晚餐都选择 餐厅就餐的概率为 ．
依题意 的所有可能取值为1，2．
所以 ， ．
所以 的分布列为
1 2
0.1 0.9所以 ．
【小问3详解】
解：设 “甲员工晚餐选择B餐厅就餐”， “乙员工晚餐选择B餐厅就餐”， “甲员工在午餐时
选择A餐厅就餐”， “乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则 ，
．
因为 ，
所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐．
19. 已知函数 ， ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 的最小值是2，求a的值；
（3）设t为常数，求函数 的单调区间．
【答案】（1）
（2）
（3）减区间为 ， ，无增区间
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；
（2）求出导函数后，分类讨论 ，利用导数的符号得到函数的单调性，根据单调性求出最小值，结合已知
的最小值可求出结果；
（3）求导后，利用（2）中的结论，得到当 且 时， ，从而可得结果.
【小问1详解】当 时， ， ．
， ，即切线斜率 ．
所以切线方程为 ．
【小问2详解】
函数 的定义域为 ，
．
令 ，得 ．
当 时， ．所以 在 单调递增，无最小值．
当 时，令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在单调递减，在 单调递增，
所以 最小值为 ．
所以 ，即 ．
【小问3详解】
函数 的定义域为 ，
．
由（2）知，当 时，若 ，则 ．
所以 ，所以 的减区间为 ， ，无增区间．
20. 已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A，B， ，离心率为 ．
的
（1）求椭圆 方程；
（2）设点D为线段AB上的动点，过D作线段AB的垂线交椭圆C于不同的两点E和F，N为线段AE上一
点， ．是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明
理由．
【答案】（1）
（2）存在 ，使得
【解析】
【分析】（1）由左右顶点间距离得 ，再由离心率得 ，然后计算出 得椭圆方程；
（2）假设存在满足题意的实数 ，设 ， ， ，用 表示出 点坐标，
用正切表示后结合直线的斜率得出 的关系式，由 在椭圆上可求得 ．
【小问1详解】
由已知 得， ， ．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
所以椭圆C的方程为 ．
【小问2详解】假设存在满足题意的实数 ，
由已知得 ， ．
设 ， ， ，则
，
因为 ，
所以 ，
即 ．
所以 ， ，
即 ．
因为 ，
所以 ．
所以 ，
即 ，
化简得 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ，
解得 （舍），或 ．所以存在 ，使得 ．
21. 从一个无穷数列 中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，
则称之为 的一个无穷递增子列．已知数列 是正实数组成的无穷数列，且满足 ．
（1）若 ， ，写出数列 前 项的所有可能情况；
（2）求证：数列 存在无穷递增子列；
（3）求证：对于任意实数 ，都存在 ，使得 ．
【答案】（1） 、 、 、 或 、 、 、 或 、 、 、
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据数列 的递推公式以及 求出 、 的值，即可写出数列 前 项的所有可
能情况；
（2）分析可得由 或 ，即 或 ，分析数列 的单调
性，设集合 ， 、 ，且 ，取 ，可得出结论；
（3）考察数列 和 ．①当 或 时，显然成立；②当 时，设
，推导出 ，可得出
，解得 ，取 可证得结论成立.
【小问1详解】
解：由已知 ，即 ，可得 或 .
当 时，由 ，即 ，因为 ，可得 ；当 时，由 ，即 ，因为 ，可得 或 .
因此，若 ， ，写出数列 前 项的所有可能情况为： 、 、 、 或 、 、 、 或 、
、 、 .
【小问2详解】
证明：对于数列 中的任意一项 ，
由已知得， 或 ，即 或 ．
若 ，则由 可得 ；
若 ，则 ，此时 ，即 ．
设集合 ， 、 ，且 ，
， ， ， ， ， ，
则数列 是数列 一个无穷递增子列．
【小问3详解】
证明：考察数列 和 ．
①当 或 时，显然成立；
②当 时，设 ，由（2）可知 ．
如果 ，那么 ， 或 ，于是总有 ，
此时 ；
如果 ，那么 ， 或 ，于是总有 ，
此时 ．
综上，当 且 时总有 ．所以 ，
所以 ， ， ， ，
叠加得 ， ．
令 ，解得 ，
即存在 ，（其中 表示不超过 的最大整数），使得
．
又因为 是 的子列，令 ，则 ．
由①②可知，对于任意实数 ，都存在 ，使得 ．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，解决第三问的关键在于推导出 ，结
合叠加法得出 ，通过解不等式可找到符合条件的整数，即可解决问题.
