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《数学广角——数与形》教学设计
【教学内容】
人教版《义务教育教科书 数学》六年级上册 P107 例 1。
【教学目标】
1、 使学生通过自主探究发现数的问题可以用形来帮助解决 形的计算可以借助数
来实现，体会数形结合的思想，沟通数与形的联系
2、 使学生会利用数形结合来解决一些有关的问题
3、 使学生在解决数学问题过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学
思想
【教学重点】自主探究发现数的问题可以用形来帮助解决 图形中隐藏着的数的规
律。沟通数与形的联系。
【教学难点】体会数形结合的数学思想
【教学过程】
一、引入课题
1、谈话引入
师：同学们 你们知道吗？数学上有两大分支，一个是数，一个是形。那什么是
你们知道吗？数学上有两大分支，一个是数，一个是形。那什么是
数，
数，什么是形呢？谁能来说一说？
什么是形呢？谁能来说一说？
生：我认为数就是数字，形就是图形
师：说得真好，还有不同的理解吗？
生：我认为数就是数字和由数字组成的算式，形就是各种图形，包括正方形、长
方形和三角形等
师 刚才两位同学都说得很好。
刚才两位同学都说得很好。下面我们一起来回忆一下我们以前学过的数与形。
2、复习学过的数与形
师：这是一个加法算式，这是……
生：方程、数对、加法交换律、（长方形的周长）公式
师：我们再来看一下学过的形，这是一个点，这是……
生：一条线、一个圆、一个长方体。
师 那么数与形之间到底有什么联系呢？这节课我们就一起来探究一下。（板书
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数与形）
二、探究新知
化数为形
1、连续 n 个奇数的和是多少？
师：同学们
观察这个算式，这些加数有什么特点
观察这个算式，这些加数有什么特点？
生：它们都是奇数，每一个都比前面的数大 2。
师：每一个都比前面的数大 2，说明它们是什么样的奇数呢？
生：连续的奇数
师：真聪明，它们是从 1 开始的连续奇数，对不对？
师：谁能口算一下，这个算式结果是多少？
生 （异口同声）25。
师：对啦，由 25 你会联想到什么呢？
生：五五二十五
师 （出示课件）5 乘 5 也可以简写
成…… 生
5 的平方
师：那么由 5 乘 5 等于 25 你会联想到什么图形呢？
生：正方形
师：什么样的正方形？
生：边长是 5 的正方形，面积刚好是 25。
师 回答得真好。由这个算式我们可以联想到边长是 5 的正方形，这说明数与形之
间呢，确实是有联系的。
2、在正方形格子上表示算式
师 下面
下面以同桌为单位进行讨论，把这个算式在正方形格子中表示出来 在这里
老师有两个要求
1、用不同颜色表示不同数字，所设计的图案要尽量美观；2、
音乐响，讨论开始；音乐停，操作结束。可以吗？（可以）好，请拿出学习单
可以）好，请拿出学习单开
始操作
师 时间到 刚刚
刚刚老师随机拍了两位同学的作品。请 XX 同学来说一下你的想法。
生：我们小组是这样认为的，把数字 1 对应画在第一个格子上
1,3,5,7,9
个一个画。
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师：非常好
XX 小组把这些数按顺序有条理地画在格子上，正好把这个正方形
涂满，做法跟她一样的请举手。那我们再来看看 XX 小组的，请你也来说一说
生 我把 1 画在左下角第一格 接下来 3 画在第二圈 5 画在第三圈 以此类推。
师
XX 小组也成功地把这个算式表示在格子上。同意这种画法的请举手。对比
这两种方法，你们更喜欢哪一种呢？
生：我喜欢第二种，因为它看起来非常清楚，一目了然
生：我也喜欢第二种，因为它看起来很有规律，很美观。
师：解释得非常好
XX 和 XX 都是非常有想法的同学。
师：这两种方法都是对的，但是第二种更有规律，更加美观，看来我们班的同学
都很有艺术天赋，我们把掌声送给 XX 同学。
3、探究算式和图形之间的规律
师：通过操作，我们成功把这个算式表示在格子上，下面请同学们继续思考：如
果去掉最外一圈，剩下的图形还能有一个算式来表示吗？
生：可以，最外一圈有 9 个格子，去掉就变成 1+3+5+7=422
师：同意吗？
生：同意。
师 好 我们一起来数一下 1+3+5+7=422 除此之外，你们还能找出其他算式吗？
生：能，再去掉一圈，就变成 1+3+5=322
师：同意吗？（同意）全班接着往下说。
全班：再去掉一圈，就变成 1+3=222 ，再去掉一圈，就变成 1=122
师 同学们回答得非常好，反应都很快 你们觉得这四个算式之间有什么规律吗？
生：左边都是连续的奇数，右边都是一个数的平方。
师：对啦，而且都是从 1 开始的。同桌之间讨论一下，用一句话概括出这四个算
式的规律。
师：时间到，谁来说一说？
生：从 1 开始，连续奇数相加等于一个数的平方
师：那右边这个数和什么有关呢？谁还想说？
生：和奇数的个数有关，从 1 开始，连续奇数相加等于奇数个数的平方
师：同意吗？（同意）掌声送给他。也就是说，左边有 n 个奇数的话，右边就等
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于（n 的平方）
师：齐读一遍。我们数学上，把这些能用正方形表示的数叫做正方形数。这个规
律同学们明白了吗？我们是怎么探索出这个规律的呢？
生：利用图形的来帮助理解
师：对了，遇到不懂的题目可以借助图形来帮助理解，这就是化数为形、以形解
数的思想。（板书）现在同学们理解了吗？
生：理解了
师：那老师就来考考大家，知道的同学直接站起来说
（挑战 5 秒钟，第一题详细说理由，后面快速过，最后一题解释原因）
师：刚才我们利用正方形数的规律快速地完成了这些题目，除了正方形数以外
还有没有别的图形数呢？
生：三角形数、长方形数、梯形数、平行四边形数……
师 老师听到好多不同的答案 同学们思维都很活跃啊 下面我们一起来了解一下
化形为数
师 通过前面的探究我们发现 数的规律可以借助图形来帮助思考 那形的背后是
不是也隐藏着数的规律呢？我们继续来探究一下。
师：有一群同学要参加同学聚会，有一种长方形桌子，四面坐人可以坐 8 个人
如果两个桌子拼到一起就可以坐 12 个人 3 张桌子拼到一起可以坐 16 个人，这
样的 100 张桌子拼到一起可以坐多少个人？
师 老师听到有同学已经有想法了 请同学们把自己的思路和解答过程写在学习单
上。同样，音乐停止的时候，老师请同学来汇报。
师：时间到，老师随机拍了 XX 同学的答案，请你来说一说你的想法。
生：这里一共有 100 张桌子，首尾先不看，每张桌子坐 4 人一共可以坐 400 人
加上首尾 4 人总共 404 人
师：同意吗？（同意）XX 同学分析得很到位，但老师有一个疑问：这是一个图
形的问题，为什么你们不去画图，却用数来算呢？
生：老师我感觉画图太麻烦了，因为它有 100 张桌子
师：对，画图太麻烦了，这时候需要借助数的力量，把形的计算问题用数来做会
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更加的快速 简便而且准确。我们把这样的过程叫做化形为数 然后以数来解形。
（板书）
师：同学们，回顾这两个例子，在第一个例子当中，数的问题可以借助图形来思
考，而第二个例子当中，形的知识可以借助数来计算，数和形各有优点，这就是
数学上非常重要的数形结合的思想。（板书）
师：老师希望同学们在做题的时候能够充分运用这个思想，真正做到见数思形
见形想数。把这句话齐读一下，下面老师就来考考大家的思考力和想象力。
（快速讲解 5 道数形结合的题目）
师 同学们反应得真快 其实数形结合思想在数学上运用非常广泛 那么到底哪些
知识用到这个思想呢？下面我们通过一个小视频来了解一下。
师：看完短片，同学们觉得数与形之间的联系密切吗？（密切）希望同学们通过
利用课余时间再去找找身边还有哪些知识用到数形结合这个思想的。
如果时间有多 再做提高题 时间不够可以不做（老师这里还有一道提高性的题
目，想不想挑战一下？
生：想。
题目：课本练习
下面每个图中最外圈有多少个小正方形？109 页第 1
题师：最后我们一起来聊一聊，本节课你都收获了什么？
生 1：我学习了数形结合的思想
生 2：连续 n 个奇数的和等于 n 的平
方生 3：化数为形，以形解数的方法。
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