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专题04 曲线运动
1、（2022·湖南卷·T5）2022 年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边，有一根系有飘带的风力指示
杆，教练员根据飘带的形态提示运动员现场风力的情况。若飘带可视为粗细一致的匀质长绳，其所处范围
内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变。当飘带稳定时，飘带实际形态最接近的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
飘带上任意选取一点
，以
点及
点以下的部分飘带为研究对象，设飘带总长L，飘带宽度为d，质量
为m，
点距离飘带下端距离x，
点以下的部分飘带受到的重力与风力分别为
，
则重力与风力的的合力与水平方向的夹角为
根据题中数据可得，
恒定，则
点以下的部分飘带的受到的重力与风力的合力方向不变，则P 点上
方飘带对其拉力方向不变。
故选A。
2、（2022·广东卷·T6）如图5 所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩
具枪的枪口与小积木上P 点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v 从枪口向P 点射出时，小积木恰好
由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是
（ ）
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A. 将击中P 点，t 大于
B. 将击中P 点，t 等于
C. 将击中P 点上方，t 大于
D. 将击中P 点下方，t 等于
【答案】B
【解析】
由题意知枪口与P 点等高，子弹和小积木在竖直方向上做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木运
动时间相同，根据
可知下落高度相同，所以将击中P 点；又由于初始状态子弹到P 点的水平距离为L，子弹在水平方向上做
匀速直线运动，故有
故选B。
3、（2022·广东卷·T3）图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M 点由静止自由滑下，
经过水平NP 段后飞入空中，在Q 点落地。不计运动员经过N 点的机械能损失，不计摩擦力和空气阻力。
下列能表示该过程运动员速度大小v 或加速度大小a 随时间t 变化的图像是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【答案】C
【解析】
设斜坡倾角为
，运动员在斜坡MN 段做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律
可得
运动员在水平
段做匀速直线运动，加速度
运动员从
点飞出后做平抛运动，加速度为重力加速度
设在
点的速度为
，则从
点飞出后速度大小的表达式为
由分析可知从
点飞出后速度大小与时间的图像不可能为直线，且
C 正确，ABD 错误。
故选C。
4、（2022·山东卷·T11）如图所示，某同学将离地
的网球以
的速度斜向上击出，击球点到
竖直墙壁的距离
。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为
的P 点。网球与墙壁碰
撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75 倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g 取
，
网球碰墙后的速度大小v 和着地点到墙壁的距离d 分别为（ ）
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A
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】
设网球飞出时的速度为
，竖直方向
代入数据得
则
排球水平方向到
点的距离
根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量
平行墙面的速度分量
反弹后，垂直墙面的速度分量
则反弹后的网球速度大小为
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网球落到地面的时间
着地点到墙壁的距离
故BD 正确，AC 错误。
故选BD。
5、（2022·山东卷·T8）无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为
的半圆弧
与长
的
直线路径
相切于B 点，与半径为
的半圆弧
相切于C 点。小车以最大速度从A 点驶入路径，到
适当位置调整速率运动到B 点，然后保持速率不变依次经过
和
。为保证安全，小车速率最大为
。在
段的加速度最大为
，
段的加速度最大为
。小车视为质点，小车从A 到D
所需最短时间t 及在
段做匀速直线运动的最长距离l 为（ ）
A.
B.
C.
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D.
【答案】B
【解析】
在BC 段的最大加速度为a1=2m/s2，则根据
可得在BC 段的最大速度为
在CD 段的最大加速度为a2=1m/s2，则根据
可得在BC 段的最大速度为
可知在BCD 段运动时的速度为v=2m/s，在BCD 段运动的时间为
AB 段从最大速度vm减速到v 的时间
位移
在AB 段匀速的最长距离为
l=8m-3m=5m
则匀速运动的时间
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则从A 到D 最短时间为
故选B。
6、（2022·全国甲卷·T14）北京2022 年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a 处由静
止自由滑下，到b 处起跳，c 点为a、b 之间的最低点，a、c 两处的高度差为h。要求运动员经过一点时对
滑雪板的压力不大于自身所受重力的k 倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c 点处这一
段圆弧雪道的半径不应小于（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
运动员从a 到c 根据动能定理有
在c 点有
FNc ≤ kmg
联立有
故选D。
7、（2022·浙江6 月卷·T2）下列说法正确的是（ ）
A. 链球做匀速圆周运动过程中加速度不变
B 足球下落过程中惯性不随速度增大而增大
C. 乒乓球被击打过程中受到的作用力大小不变
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D. 篮球飞行过程中受到空气阻力的方向与速度方向无关
【答案】B
【解析】
A．链球做匀速圆周运动过程中加速度方向在改变，A 错误；
B．惯性只与质量有关，则足球下落过程中惯性不随速度增大而增大，B 正确；
C．乒乓球被击打过程中受到的作用力随着形变量的减小而减小，C 错误；
D．篮球飞行过程中受到空气阻力的方向与速度方向有关，D 错误。
故选B。
8、 （2022·浙江1 月卷·T6）图甲中的装置水平放置，将小球从平衡位置O 拉到A 后释放，小球在O 点
附近来回振动；图乙中被细绳拴着的小球由静止释放后可绕固定点来回摆动。若将上述装置安装在太空中
的我国空间站内进行同样操作，下列说法正确的是（ ）
A. 甲图中的小球将保持静止
B. 甲图中的小球仍将来回振动
C. 乙图中的小球仍将来回摆动
D. 乙图中的小球将做匀速圆周运动
【答案】B
【解析】
AB．空间站中的物体处于完全失重状态，甲图中的小球所受的弹力不受失重的影响，则小球仍将来回振动，
选项A 错误，B 正确；
CD．图乙中的小球在地面上由静止释放时，所受的回复力是重力的分量，而在空间站中处于完全失重时，
回复力为零，则小球由静止释放时，小球仍静止；若给小球一定的初速度，则做匀速圆周运动，选项CD
错误。
故选B。
9.（2022·河北·T10）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以
为圆心、
和
为半径的同心圆上，
圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水
全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分
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别用
、
、
和
、
、
表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，
忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A. 若
，则
B. 若
，则
C. 若
，
，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D. 若
喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
【答案】BD
【解析】
AB．根据平抛运动的规律
解得
可知若h1=h2，则
v1:v2 =R1:R2
若v1=v2，则
选项A 错误，B 正确；
C．若
，则喷水嘴各转动一周的时间相同，因v1=v2，出水口的截面积相同，可知单位时间喷出水的
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质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较小，可知得到的水量较多，选项
C 错误；
D．设出水口横截面积为S0，喷水速度为v，若
，则喷水管转动一周的时间相等，因h 相等，则水
落地的时间相等，则
相等；在圆周上单位时间内单位长度的水量为
相等，即一周中每个花盆中的水量相同，选项D 正确。
故选BD。
10、（2022·全国甲卷·T24）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪
每隔
发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。
图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3 个影像，所标出的两个线段的长度
和
之比为3：7。重力加速度大小取
，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
【答案】
【解析】
频闪仪每隔0.05s 发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3 个影像，故相邻两球的时间间隔为
设抛出瞬间小球的速度为
，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为
、
，根
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据平抛运动位移公式有
令
，则有
已标注的线段
、
分别为
则有
整理得
故在抛出瞬间小球的速度大小为
1．（2021·山东卷）如图所示，载有物资的热气球静止于距水平地面H 的高处，现将质量为m 的物资以相
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对地面的速度
水平投出，落地时物资与热气球的距离为d。已知投出物资后热气球的总质量为M，所受
浮力不变，重力加速度为g，不计阻力，以下判断正确的是（ ）
A．投出物资后热气球做匀加速直线运动
B．投出物资后热气球所受合力大小为
C．
D．
【答案】BC
【解析】
AB．热气球开始携带物资时处于静止状态，所受合外力为0，初动量为0，水平投出重力为
的物资瞬
间，满足动量守恒定律
则热气球和物资的动量等大反向，热气球获得水平向左的速度
，热气球所受合外力恒为
，竖直向上，
所以热气球做匀加速曲线运动，A 错误，B 正确；
CD．热气球和物资的运动示意图如图所示
热气球和物资所受合力大小均为
，所以热气球在竖直方向上加速度大小为
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物资落地
过程所用的时间内，根据
解得落地时间为
热气球在竖直方向上运动的位移为
热气球和物资在水平方向均做匀速直线运动，水平位移为
根据勾股定理可知热气球和物资的实际位移为
C 正确，D 错误。
故选BC。
2．（2021·广东卷）长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡销的山头，居高临下向敌方工事内投掷手
榴弹，战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m 的手榴弹，手榴弹从投出的位置到落地点的高度差
为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g，下列说法正确的有（ ）
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少
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D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为
【答案】BC
【解析】
A．由平抛运动规律可知，做平抛运动的时间
因为两手榴弹运动的高度差相同，所以在空中运动时间相等，故A 错误；
B．做平抛运动的物体落地前瞬间重力的功率
因为两手榴弹运动的高度差相同，质量相同，所以落地前瞬间，两手榴弹重力功率相同，故B 正确；
C．从投出到落地，手榴弹下降的高度为h，所以手榴弹重力势能减小量
故C 正确；
D．从投出到落地，手榴弹做平抛运动，只有重力做功，机械能守恒，故D 错误。
故选BC。
3．（2021·河北卷）如图，矩形金属框
竖直放置，其中
、
足够长，且
杆光滑，一根
轻弹簧一端固定在M 点，另一端连接一个质量为m 的小球，小球穿过
杆，金属框绕
轴分别以角
速度
和
匀速转动时，小球均相对
杆静止，若
，则与以
匀速转动时相比，以
匀速转动
时（ ）
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
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C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
【答案】BD
【解析】
对小球受力分析，设弹力为T，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球竖直方向
而
可知θ 为定值，T 不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变。则A 错误，B 正确；
水平方向当转速较小时，杆对小球的弹力FN背离转轴，则
即
当转速较大时，FN指向转轴
即
则因
，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大。则C 错误；
根据
可知，因角速度变大，则小球受合外力变大。则D 正确。
故选BD。
4．（2021·广东卷）由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆
与横杆
链
接而成，P、Q 为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆
始终保持水平。杆
绕O 点从与水平方
向成30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．P 点的线速度大小不变
B．P 点的加速度方向不变
C．Q 点在竖直方向做匀速运动
D．Q 点在水平方向做匀速运动
【答案】A
【解析】
A．由题知杆OP 绕O 点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P 点绕O 点做匀速圆周运动，则P 点的线
速度大小不变，A 正确；
B．由题知杆OP 绕O 点从与水平方向成30°匀速转动到60°，则P 点绕O 点做匀速圆周运动，P 点的加速
度方向时刻指向O 点，B 错误；
C．Q 点在竖直方向的运动与P 点相同，相对于O 点在竖直方向的位置y 关于时间t 的关系为
y = lOPsin(
+ ωt)
则可看出Q 点在竖直方向不是匀速运动，C 错误；
D．Q 点相对于O 点在水平方向的位置x 关于时间t 的关系为
x = lOPcos(
+ ωt) + lPQ
则可看出Q 点在水平方向也不是匀速运动，D 错误。
故选A。
5．（2021·浙江卷）质量为m 的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正
确的是（ ）
A．秋千对小明的作用力小于
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B．秋千对小明的作用力大于
C．小明的速度为零，所受合力为零
D．小明的加速度为零，所受合力为零
【答案】A
【解析】
在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为
，秋千对小明
的作用力为F，则对人，沿摆绳方向受力分析有
由于小明的速度为0，则有
沿垂直摆绳方向有
解得小明在最高点的加速度为
所以A 正确；BCD 错误；
故选A。
6．（2021·河北卷）铯原子钟是精确的计时仪器，图1 中铯原子从O 点以
的初速度在真空中做平抛
运动，到达竖直平面
所用时间为
；图2 中铯原子在真空中从P 点做竖直上抛运动，到达最高点Q 再
返回P 点，整个过程所用时间为
，O 点到竖直平面
、P 点到Q 点的距离均为
，重力加速度取
，则
为（ ）
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A．100 1∶
B．1 100
∶
C．1 200
∶
D．200 1∶
【答案】C
【解析】
铯原子做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，即
解得
铯原子做竖直上抛运动，抛至最高点用时
，逆过程可视为自由落体，即
解得
则
故选C。
7．（2021·全国卷）“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在
一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达
50r/s，此时纽扣上距离中心1cm 处的点向心加速度大小约为（ ）
A．10m/s2
B．100m/s2
C．1000m/s2
D．10000m/s2
【答案】C
【解析】
纽扣在转动过程中
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由向心加速度
故选C。
8．（2021·浙江卷）某一滑雪运动员从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝
光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C 和D 表示重心
位置，且A 和D 处于同一水平高度。下列说法正确的是（ ）
A．相邻位置运动员重心的速度变化相同
B．运动员在A、D 位置时重心的速度相同
C．运动员从A 到B 和从C 到D 的时间相同
D．运动员重心位置的最高点位于B 和C 中间
【答案】A
【解析】
A．因每次曝光的时间间隔相等，而运动员在空中只受重力作用，加速度为g，则相邻位置运动员重心的速
度变化均为g∆t，选项A 正确；
B．运动员在A、D 位置时重心的速度大小相同，但是方向不同，选项B 错误；
C．由图可知，运动员从A 到B 为4∆t，从C 到D 的时间5∆t，时间不相同，选项C 错误；
D．运动员重心位置的最高点位于C 点，选项D 错误。
故选A。
9．（2021·山东卷）海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤（贝类动物）后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲
击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量
的鸟蛤，在
的高度、以
的水平速度飞行时，
松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度
，忽略空气阻力。
（1）若鸟蛤与地面的碰撞时间
，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力的大
小F；（碰撞过程中不计重力）
（2）在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地
面平齐、长度
的岩石，以岩石左端为坐标原点，
建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的高度仍为
，速度大小在
之间，为保证鸟蛤一
定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x 坐标范围。
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【答案】（1）
；（2）
或
【解析】
（1）设平抛运动的时间为t，鸟蛤落地前瞬间的速度大小为v。竖直方向分速度大小为
，根据运动的合
成与分解得
，
，
在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度v 的方向为正方向，由动量定理得
联立，代入数据得
（2）若释放鸟蛤的初速度为
，设击中岩石左端时，释放点的x 坐标为x1，击中右端时，释放点
的x 坐标为
，得
，
联立，代入数据得
，
m
若释放鸟蛤时的初速度为
，设击中岩石左端时，释放点的x 坐标为
，击中右端时，释放点的
x 坐标为
，得
，
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联立，代入数据得
，
综上得x 坐标区间
或
1．（2020·海南卷）小朋友玩水枪游戏时，若水从枪口沿水平方向射出的速度大小为
，水射出后落
到水平地面上。已知枪口离地高度为
，
，忽略空气阻力，则射出的水（ ）
A．在空中的运动时间为
B．水平射程为
C．落地时的速度大小为
D．落地时竖直方向的速度大小为
【答案】BD
【解析】
A．根据
得，运动时间
故A 错误；
B．水平射程为
故B 正确；
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CD．竖直方向分速度为
水平分速度为
落地速度为
故C 错误，D 正确。
故选BD。
2．（2020·江苏卷）如图所示，小球A、B 分别从
和l 的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B 的水平
位移分别为l 和
。忽略空气阻力，则（ ）
A．A 和B 的位移大小相等
B．A 的运动时间是B 的2 倍
C．A 的初速度是B 的
D．A 的末速度比B 的大
【答案】AD
【解析】
A．位移为初位置到末位置的有向线段，如图所示可得
，
A 和B 的位移大小相等，A 正确；
B．平抛运动运动的时间由高度决定，即
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，
则A 的运动时间是B 的
倍，B 错误；
C．平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则
，
则A 的初速度是B 的
，C 错误；
D．小球A、B 在竖直方向上的速度分别为
，
所以可得
，
即
，D 正确。
故选AD。
3．（2020·浙江卷）如图所示，底部均有4 个轮子的行李箱a 竖立、b 平卧放置在公交车上，箱子四周有一
定空间。当公交车（ ）
A．缓慢起动时，两只行李箱一定相对车子向后运动
B．急刹车时，行李箱a 一定相对车子向前运动
C．缓慢转弯时，两只行李箱一定相对车子向外侧运动
D．急转弯时，行李箱b 一定相对车子向内侧运动
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【答案】B
【解析】
A．有题意可知当公交车缓慢启动时，两只箱子与公交车之间的有可能存在静摩擦使箱子与公交车一起运
动，故A 错误；
B．急刹车时，由于惯性，行李箱a 一定相对车子向前运动，故B 正确；
C．当公交车缓慢转弯时，两只箱子与车之间的摩擦力可能提供向心力，与车保持相对静止，故C 错误；
D．当公交车急转弯时，由于需要向心力大，行李箱一定相对车子向外侧运动，故D 错误。
故选B。
4．（2020·全国卷）如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平
宽度为3h，其左边缘a 点比右边缘b 点高0.5h。若摩托车经过a 点时的动能为E1，它会落到坑内c 点。c 与
a 的水平距离和高度差均为h；若经过a 点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b 点。
等于
（ ）
A．20
B．18
C．9.0
D．3.0
【答案】B
【解析】
有题意可知当在a 点动能为E1时，有
根据平抛运动规律有
当在a 点时动能为E2时，有
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根据平抛运动规律有
联立以上各式可解得
故选B。
5．（2020·全国卷）如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质
量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子
平均承受的拉力约为（ ）
A．200 N
B．400 N
C．600 N
D．800 N
【答案】B
【解析】
在最低点由
知
T=410N
即每根绳子拉力约为410N，故选B。
6．（2020·浙江卷）如图所示，钢球从斜槽轨道末端以
的水平速度飞出，经过时间t 落在斜靠的挡板
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中点。若钢球以
的速度水平飞出，则（ ）
A．下落时间仍为t
B．下落时间为2t
C．下落时间为
D．落在挡板底端B 点
【答案】C
【解析】
钢球以
飞出后落在长为
的AB 挡板中点，假设挡板与水平地面的夹角为
，钢球做平抛运动分解位移：
解得：
若钢球恰好落在B 点，则：
解得：
又因为
，所以钢球以
抛出，落在地面上B 点右侧，落地时间与落在B 点时间相同，综合上述分
析可知落地时间：
故C 正确，ABD 错误。
故选C．
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7．（2020·北京卷）无人机在距离水平地面高度
处，以速度
水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻
力，重力加速度为
。
(1)求包裹释放点到落地点的水平距离
；
(2)求包裹落地时的速度大小
；
(3)以释放点为坐标原点，初速度方向为
轴方向，竖直向下为
轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包
裹运动的轨迹方程。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【解析】
(1)包裹脱离无人机后做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，则
解得
水平方向上做匀速直线运动，所以水平距离为
(2)包裹落地时，竖直方向速度为
落地时速度为
(3)包裹做平抛运动，分解位移
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两式消去时间得包裹的轨迹方程为
8．（2020·江苏卷）如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O 转动。在轮上沿相互垂直的
直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m 的小球，球与O 的距离均为
。在轮上绕有长绳，绳
上悬挂着质量为M 的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速
度为
。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h。
【答案】(1)
；(2)
；(3)
【解析】
(1)由题意可知当重物落地后鼓形轮转动的角速度为ω，则根据线速度与角速度的关系可知小球的线速度为
(2)小球匀速转动，当在水平位置时设杆对球的作用力为F，合力提供向心力，则有
结合(1)可解得杆对球的作用力大小为
(3)设重物下落高度为H，重物下落过程中对重物、鼓形轮和小球组成的系统，根据系统机械能守恒可知
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而重物的速度等于鼓形轮的线速度，有
联立各式解得
9．（2020·天津卷）长为l 的轻绳上端固定，下端系着质量为
的小球A，处于静止状态。A 受到一个水
平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A 回到最低点时，质量为
的小球B 与之迎面正碰，碰后A、B 粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻
力，重力加速度为g，求
（1）A 受到的水平瞬时冲量I 的大小；
（2）碰撞前瞬间B 的动能
至少多大？
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）A 恰好能通过圆周轨迹的最高点，此时轻绳的拉力刚好为零，设A 在最高点时的速度大小为v，由牛
顿第二定律，有
①
A 从最低点到最高点的过程中机械能守恒，取轨迹最低点处重力势能为零，设A 在最低点的速度大小为
，
有
②
由动量定理，有
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③
联立①②③式，得
④
（2）设两球粘在一起时速度大小为
，A、B 粘在一起后恰能通过圆周轨迹的最高点，需满足
⑤
要达到上述条件，碰后两球速度方向必须与碰前B 的速度方向相同，以此方向为正方向，设B 碰前瞬间的
速度大小为
，由动量守恒定律，有
⑥
又
⑦
联立①②⑤⑥⑦式，得碰撞前瞬间B 的动能
至少为
⑧
10．（2020·山东卷）单板滑雪U 型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型： U
形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次
练习过程中，运动员以vM=10 m/s 的速度从轨道边缘上的M 点沿轨道的竖直切面ABCD 滑出轨道，速度方
向与轨道边缘线AD 的夹角α=72.8°，腾空后沿轨道边缘的N 点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动
员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10 m/s2， sin72.8°=0.96，cos72.8°=0.30。求：
(1)运动员腾空过程中离开AD 的距离的最大值d；
(2)M、N 之间的距离L。
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【答案】(1)4.8 m；(2)12 m
【解析】
(1)在M 点，设运动员在ABCD 面内垂直AD 方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得
①
设运动员在ABCD 面内垂直AD 方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得
mgcos17.2°=ma1 ②
由运动学公式得
③
联立①②③式，代入数据得
d=4.8 m ④
(2)在M 点，设运动员在ABCD 面内平行AD 方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规得
v2=vMcos72.8° ⑤
设运动员在ABCD 面内平行AD 方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得
mgsin17.2°=ma2 ⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得
⑦
⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得
L=12 m ⑨
11．（2020·浙江卷）小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨
道
和倾角
的斜轨道
平滑连接而成。质量
的小滑块从弧形轨道离地高
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处静止释放。已知
，
，滑块与轨道
和
间的动摩擦因数均为
，
弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力。
(1)求滑块运动到与圆心O 等高的D 点时对轨道的压力；
(2)通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端C 点；
(3)若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距A 点x 处的质量为
的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因
数仍为0.25，求它们在轨道
上到达的高度h 与x 之间的关系。（碰撞时间不计，
，
）
【答案】(1)8N，方向水平向左；(2)不会冲出；(3)
（
）；
（
）
【解析】
(1)机械能守恒定律
牛顿第二定律
牛顿第三定律
方向水平向左
(2)能在斜轨道上到达的最高点为
点，功能关系
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得
故不会冲出
(3)滑块运动到距A 点x 处的速度为v，动能定理
碰撞后的速度为
，动量守恒定律
设碰撞后滑块滑到斜轨道的高度为h，动能定理
得
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