文档文本内容
高中物理的一些概念阐明、隐含结论及技巧
高中物理的思维难度可以说远不及数学，平时多积累，多思考，理解清楚物理公式，物
理一般就能学好。然而很多同学不能物准确理解物理公式的含义、适用条件，这儿阐明一些
基本概念，帮助大家理解一下。同时还有一些小技巧和挖掘教材得到的小结论，可以提高做
题速度以及帮助熟悉概念。
最好有比较好的数学基础。如果数学非常好，理论物理大部分都可以进行纯数学分析了。
说明：
带△的含有技巧。
带*的如果时间充裕最好看看，可能会涉及。
粗体字母表示矢量。
𝑑𝑥、𝑑𝑦等表示微元、即𝛥𝑥、𝛥𝑦无穷小。没必要害怕，不会涉及微积分，这些东西都很直观。
𝑑𝑦
𝑑𝑥就是𝑦对𝑥求导，即𝑦′ = 𝑑𝑦
𝑑𝑥；𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 表示𝑦对𝑥求两次导，即𝑦′′ =
𝑑൬𝑑𝑦
𝑑𝑥൰
𝑑𝑥
= 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 。
𝑑𝑦 = 𝑦′𝑑𝑥， 𝑑𝑦、𝑑𝑥等微元可以像普通的数一样进行四则运算。以下的微元都用“𝑑”表示。
一.一般的平衡条件
高中常常把一个物体简化为质点。因而平衡的数学条件只有外力的矢量和为0，这仅仅
针对共点力。
但某些物体是不能简化为一个质点的，比如一根杆，中心固定，两头施加等大法向的力，
其力的矢量和为0，然而按照生活常理，这根杆是可以转动的，转动的物体显然是不平衡的。
因而对于一般物体，还有1 个平衡条件，就是外力力矩（矢量和）和为0。
然而力矩是相对某点或某根轴而言的，对于不同点的力矩是不一定相同的。这里有一个
结论，是充分必要的：如果外力矢量和为0，则对任意点的力矩相等。
（至于力矩的方向确定，简单地讲就是这样一种规则：若对某一点取矩，则假定这点不
动，看力作用在物体上是相对这点做顺时针还是逆时针转动，设一个正方向，一般取逆时针
为正，顺时针为负。）
所以平衡的数学条件是：
1.外力矢量和为0
2.外力对任意一点的力矩和为0
注意：平衡与物体的速度无关，比如一个简谐运动，质点位于平衡位置，则它出于平衡状态，
只不过是瞬时的平衡状态。
由平衡的数学条件衍生出以下几个常用结论：
1.对于刚体（不变形的物体），力可以沿作用下平移。
2.一个物体受二力作用平衡，则二力一定等大共线反向。
3.一个物体受三力作用平衡，则三力作用线一定交于一点。
4.分布力可以简化成作用于某点的集中力。常见分布力：重力、摩擦力、浮力、万有引力等。
重力简化成作用在重心；摩擦力粗略简化成作用在中心（实际情况是简化成作用在接触面形
心）；一般性结论：线性分布力一般简化在物体中心。
*浮力简化成作用在浮心，浮心不等于重心，若物体的截面为矩形或圆，浮心一般等于重
心。
*关于万有引力，将施力物体简化成质点，即引力中心。引力中心不等于重心，对于匀质
球壳，球壳也可简化成球心的质点，以此可以类推匀质圈层构造的球体，可以简化成球心处
的质点。
二.速度、加速度的精确定义
我们知道速度𝒗= 𝑑𝒔
𝑑𝑡，即位移对时间的导数（注意𝑑𝒔也是矢量，矢量的变化量还是矢量）
加速度𝒂= 𝑑𝒗
𝑑𝑡 = 𝑑2𝒔
𝑑𝑡2 ，即速度对时间的导数，位移对时间的二阶导数
如果建立一个直角坐标系。矢量𝑑𝒔= (𝑑𝒙, 𝑑𝒚)
所以速度𝒗的𝑥轴分量：𝑣𝑥= 𝑥′；𝑦轴分量：𝑣𝑦= 𝑦′（注意：对时间𝑡求导）
容易知道位置坐标的变化量与位移变化量相等。设𝒓是从坐标原点指向某点的矢量，即𝑑𝒓= 𝑑𝒔。
加速度同理。
角速度同理𝜔= 𝑑𝜑
𝑑𝑡
建立坐标系后，设𝜃为从𝑥轴开始逆时针选择的角度，转角𝜑的变化量𝑑𝜑= 𝑑𝜃，即位置角度坐
标变化量等于转角变化量（角度位置坐标可以随便选择，一般选择成上面的形式）。所以
𝜔= 𝑑𝜃
𝑑𝑡= 𝜃′
△三.速度分解
速度分解的一般2 种比较难的题型：
1.系统是一个刚体，求刚体上的两点的速度关系。
2.系统不一是个刚体或者由几个刚体组成，要分析某点的速度，包含转动的角速度。
对于题型1 就用速度投影
速度往某个方向的分解量的意义是在这个方向的速度大小。
在刚体上，由于任意两点间距离不变，所以任意两点的在这两点连线上的速度分量是相等的。
所以我们可以通过这个关系求一些稍微复杂点的运动关系。
例1：一根杆靠在光滑的直角墙角处，倾角𝜃，若已知上端点𝐴的速度𝑉𝐴，求下端点𝐵的速度𝑉𝐵。
解：对𝐴、𝐵的速度向杆的方向进行速度分解，虽然投影有无数种情况，但不管另一个速度分
量如何，因为杆是不变形的，在杆上的速度分量总是相等的。所以取最简单的矢量投影形式
即可。
𝑉𝐴𝑠𝑖𝑛𝜃= 𝑉𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃，所以𝑉𝐵= 𝑉𝐴𝑡𝑎𝑛𝜃
若一个质点的速度分量𝑉′和与某固定点的连线垂直，则可以看出，这个质点相对这个固定点
在转动。如果另一个速度分量满足一定关系，则有圆周运动的关系𝑉′ = 𝜔𝑟。
对于题型二就用这个不严格的速度投影方法，只能叫方法，不严格，但对高中范围是正确的。
这个要求2 个方向的分解要是确定的，一个分量垂直于与某固定点的连线（转动分量），一个
分量沿着这条连线（相对速度分量）。
常见的模型：探照灯模型、人在岸上通过定滑轮拉船模型等。
例2：探照灯以匀角速度照射，某高度ℎ有一片云，求灯光在云上的光斑的速度。
选取云上的光斑，其速度在与光线垂直的方向，是绕光源定轴转动，其沿着光线的方向是在
远离光源，可知此速度分量就是角速度𝜔与光斑到灯距离𝑟的乘积𝑉′ = 𝜔𝑟。只要知道光线倾
角𝜃，即可知道光斑的速度𝑉= 𝑉′
𝑠𝑖𝑛𝜃= 𝜔𝑟
𝑠𝑖𝑛𝜃= 𝜔ℎ𝑐𝑠𝑐2𝜃。
就是如果知道速度在某个方向的分量具体意义，就能通过这个关系知道其绝对速度；反之，
知道绝对速度，也能根据这个关系知道这个速度在这个方向的分量。
附：或许对于大家来说，理解这些太复杂了，做这种速度分解的题有没有模式化的方法？当
然有。前面讲的用隐函数求导法则。
就拿例1 来说吧。设杆长𝐿，以墙角作为坐标原点，建立直角坐标系。
𝐴端距墙角距离为𝑦，𝐵端距离墙角距离为𝑥。
显然任意时刻𝑥2 + 𝑦2 = 𝑙2
𝑥, 𝑦皆可看作关于时间𝑡的函数。
我们已知位置函数对时间求导是速度，𝑦′ = 𝑉𝐴， 𝑥′ = 𝑉𝐵。
对时间𝑡求导，2𝑥𝑥′ + 2𝑦𝑦′ = 0
即𝑥𝑉𝐵+ 𝑦𝑉𝐴= 0，𝑦
𝑥= 𝑡𝑎𝑛𝜃，所以有𝑉𝐵= −𝑉𝐴𝑡𝑎𝑛𝜃
（由于这个做法没有规定速度方向，所以有个负号，只表示速度大小取个绝对值就行了。）
还可以有第二种求导的方式：
𝐴端距墙角距离为𝑦，显然𝑦= 𝐿𝑠𝑖𝑛𝜃，B 端距离墙角距离为𝑥，显然𝑥= 𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃。位置转角对时
间的函数是角速度𝜃′ = 𝜔
对𝑡求导
𝑦′ = 𝑉𝐴= 𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃𝜃′ = 𝐿𝜔𝑐𝑜𝑠𝜃，𝑥′ = 𝑉𝐵= −𝐿𝑠𝑖𝑛𝜃𝜃′ = 𝐿𝜔𝑠𝑖𝑛𝜃，两式相除。
𝑉𝐴𝑠𝑖𝑛𝜃= −𝑉𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃，即𝑉𝐵= −𝑉𝐴𝑡𝑎𝑛𝜃
还可以有第二种求导的方式：显然任意时刻𝑥2 + 𝑦2 = 𝑙2，对时间𝑡求导，2𝑥𝑥′ + 2𝑦𝑦′ = 0
即𝑥𝑉𝐵+ 𝑦𝑉𝐴= 0，𝑦
𝑥= 𝑡𝑎𝑛𝜃，所以同样有𝑉𝐵= −𝑉𝐴𝑡𝑎𝑛𝜃
同理对于例2。以光源作为坐标原点，建立直角坐标系。
显然𝑥= ℎ𝑐𝑜𝑡𝜃，𝑉= 𝑥′ = −ℎ𝑐𝑠𝑐2𝜃𝜃′ = −ℎ𝑐𝑠𝑐2𝜃𝜔，取绝对值就是|𝑉| = ℎ𝜔𝑐𝑠𝑐2𝜃
求导首先要建立坐标系，然后写出所有变量的几何关系，然后求一次导就可以得到速度的关
系。几何关系的表达可以有多种，但最后都是一回事，选择最简单的途径就行。
△四.已知图形轨迹求解的技巧
打点计时器的纸带求解技巧
一般常用到2 个公式
1.求某个点的速度
这个点的速度等于从这个点之前的点到之后的点的位移上的平均速度。
设这个点与前后两点的距离之和为𝛥𝑠1 + 𝛥𝑠2，时间间隔𝛥𝑡，则𝑣= 𝛥𝑠1 + 𝛥𝑠2
2𝛥𝑡
2.求加速度
书上的标准公式
𝛥𝑠4 −𝛥𝑠1 = 3𝑎1𝛥𝑡2，𝛥𝑠5 −𝛥𝑠2 = 3𝑎2𝛥𝑡2，𝛥𝑠6 −𝛥𝑠3 = 3𝑎3𝛥𝑡2，𝑎= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
3
事实上带入𝑎1、𝑎2、𝑎3，显然有(𝛥𝑠4 + 𝛥𝑠5 + 𝛥𝑠6) −(𝛥𝑠1 + 𝛥𝑠2 + 𝛥𝑠3) = 𝑎(3𝛥𝑡)2
发现后三段之和减去前三段之和，时间间隔为3𝛥𝑡
令𝛥𝑋= 𝛥𝑠4 + 𝛥𝑠5 + 𝛥𝑠6，𝛥𝑌= 𝛥𝑠1 + 𝛥𝑠2 + 𝛥𝑠3，𝛥𝑇= 3𝛥𝑡
即𝛥𝑋−𝛥𝑌= 𝑎𝛥𝑇2，和基本公式的形式不是完全一样吗？
因而求解时不必一个个去算了，直接计算就行。（扩大测量范围，可以减小误差，这是很显然
的。）
平抛运动的求解技巧
常常见到求解平抛运动问题的轨迹坐标图。
一般两类问题：
1.求水平速度𝑉𝑥
在横轴上选取间隔相等的两段，记一段长度𝛥𝑥，因为水平方向速度恒定，所以时间间隔𝛥𝑡相
等，所以𝛥𝑥= 𝑉𝑥𝛥𝑡。竖直方向上是匀加速度运动，所以相等时间间隔的位移差𝛥𝑦2 −𝛥𝑦1 =
𝑔𝛥𝑡2。所以
𝑉𝑥= ඨ
𝑔𝛥𝑥2
𝛥𝑦2 −𝛥𝑦1
2.求平抛运动的抛出点坐标
一般性解法就不说了，有人觉得套公式很烦，有个更好的方法，用纯数学方法。
平抛运动的物体轨迹是抛物线，所以抛出点就是抛物线的顶点。
只需设抛物线方程顶点坐标(𝑥0, 𝑦0)，用其顶点式𝑦−𝑦0 = 𝑎(𝑥−𝑥0)2，3 个未知数，带入3
个点的坐标就求出来了。
五.曲线运动
速度大小𝑣= 𝑑𝑠
𝑑𝑡，即位移对时间的导数
物体做圆周运动会用掉一部分外力提供向心加速度。
比如一个小球冲上一个半圆轨道，到达最高点的速度不为０，最小都是ඥ𝑔𝑅，否则小球会因
重力剩余而掉下来。
宇宙飞船上的人因为重力全部提供向心力，因而重力的实际作用效果为0。
∗法向加速度𝑎𝑡= 𝑣2
𝜌，和向心加速度是一个表达式，纯粹使速度改变方向。
（*数学上，某曲线的曲率半径可以根据此公式来求）
∗切向加速度𝑎𝑡= 𝑑𝑣
𝑑𝑡，即速率对时间的导数，纯粹使速度改变大小。
六.动量问题
1.两个质点在一条直线上的碰撞问题，容易证明以下结论。
(1)弹性碰撞（没有产生应变能，无机械能损失）的基本结论：
若有一个质点静止，则小质量的质点在碰撞后会反向；质量相同的质点碰撞后交换速度。
*(2)完全非弹性碰撞（形变无法恢复）的一些结论：
若一个质点去去碰撞另一个静止的质点，则系统损失的机械能大于静止质点碰撞后的动能。
引申到子弹打击木块，则子弹在木块中的相对位移大于木块的绝对位移。
若有一个小质量质点去碰撞一个静止的大质量质点，则系统机械能损失还大于剩余机械能。
2.典型模型：人船模型、弹簧模型。类似人船模型的，定滑轮两端分别连接两个物体（把一
端的全部受力翻转180 度）。
七.动能、势能、能量
动能定理：𝐹𝑠= 𝑚𝑣2
2
，𝑠是力作用点的绝对位移，不是相对位移。
动能定理和机械能守恒定律以及能量守恒定律，是有根本区别的。区别就在于动能定理中位
置变化量的区别。在机械能守恒定律和能量守恒定律中，位置变化量可能是相对变化量。如
重力势能、弹簧弹性势能是位置相对变化量，摩擦生热的定律𝑄= 𝐹𝛥𝑠，也是相对变化量（顺
便说一句，在系统动量为0 时，常常结合能量守恒、动量守恒和摩擦生热来求相对位移）。
物理意义上场：高中学过的场：重力场、引力场、静电场、磁场、感应电场。
有势能的物体在势场（如重力场、引力场、静电场（*感应电场不是势场）……）中，势场力
做功与路径无关。
注意：磁场不是势场，没有磁势能这一说法。
八.简谐运动
简谐运动的受力：只要合外力力与位移成一次函数且斜率小于0，即𝐹= −𝑘𝑥+ 𝑏 (𝑘> 0)，
就是简谐运动。合外力为0 的点就是平衡位置。（由于位移是个相对量，故可以通过平移坐标
系，使得和简谐运动的精确定义一致。）
周期：𝑇= 2𝜋ට𝑚
𝑘
简谐运动模型：固定弹簧振子振动、单摆、*匀速圆周运动的物体水平或竖直方向的运动、*
两个物体连接弹簧整体无初速度的运动。
（高中生完全可以利用匀速圆周运动的那个特点不用微积分证明周期公式。）
*下面用高中方法来证明一下两个物体连接弹簧整体无初速度的运动，两个物体都是做简谐运
动。
设弹簧压缩𝛥𝑙后释放。两物体𝑋, 𝑌质量𝑚1, 𝑚2，弹簧劲度系数𝑘。
证明：记初状态位移为0，某时刻𝑋的位移𝑥，𝑌的位移𝑦
𝑚1的受力𝐹= 𝑘(𝛥𝑙−𝑥−𝑦)
又由二者动量守恒，所以𝑚1𝑣1 = 𝑚2𝑣2，𝑚1𝑣1𝑑𝑡= 𝑚2𝑣2𝑑𝑡，𝑚1𝑥= 𝑚2𝑦
所以对于𝑋，有𝐹1 = 𝑘൬𝛥𝑙−𝑥−𝑚1𝑥
𝑚2
൰= −𝑚1 + 𝑚2
𝑚2
𝑥+ 𝛥𝑙
平衡位置：𝐹1 = −𝑚1 + 𝑚2
𝑚2
𝑥+ 𝛥𝑙= 0，得到𝑥=
𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
𝛥𝑙，即系统质心处。
将坐标向系统质心处平移即知𝑋做简谐运动。
周期：𝑇= 2𝜋ට𝑚
𝑘= 2𝜋ඨ
𝑚1
𝑚1 + 𝑚2
𝑚2
= 2𝜋ඨ
𝑚1𝑚2
𝑚1 + 𝑚2
（二物体周期相等）
𝑌同理可证。
（附：在弹簧模型中，如果系统有初速度，则是以初速度的匀速运动与此简谐运动的叠加。）
△九.波动
波的频率只与波源有关，机械波的速度只与介质有关（弹性、密度，*弹性越差、密度越小波
速越大），波长是可变的。光波的颜色取决于波的频率而不是波长。
判断机械波质点振动方向：质点振动方向与波的传播方向的箭头指示在波形的同侧。
*非高考问题：机械波中，为什么纵波比横波快？
原因：纵波𝑣𝑛= ඨ𝐸
𝜌，横波𝑣𝑠= ඨ𝐺
𝜌（E 是弹性模量，G 是剪切弹性模量，𝜌是密度）
（若某弹性物体劲度系数为𝑘，则𝑘= 𝐸𝐴
𝐿（𝐴是横截面积））
所谓剪切简单理解就是垂直横截面积方向的力，横波是靠剪切力带动的。
又𝐸=
𝐺
2(1 + 𝑣) ，−0.5 < 𝑣< 1，𝐸> 𝐺，所以𝑣𝑛> 𝑣𝑠
*折射定律为什么是那个正弦关系？
原因：光在不同介质中速度不同，折射后经过的时间最短。（有兴趣可以用求导的知识证明一
下啊。）
十.分子热运动
对气体做功：压缩气体（压力有位移）
气体对外做功：气体膨胀
两个公式：𝑃𝑉= 𝑛𝑅𝑇
𝑃= 1
3 𝜂𝐸𝑘
തതത൫𝜂为单位体积内分子个数൯，故压强与分子平均动能成正比
（1
3 与微元立方体的六面分子速度分布概率相等有关）
十一.电场的基本概念和结论
（真空电场力的正规公式是𝐹=
1
4𝜋𝜀0
𝑄𝑞
𝑟2 ，有些教材仍然写成𝐹= 𝑘𝑄𝑞
𝑟2 ，𝑘=
1
4𝜋𝜀0
𝜀0是真空电容率，我以下按照老公式书写。
区别导体和绝缘体
导体的净电荷（除去相互抵消的电荷）分布在导体表面。
绝缘体的净电荷均匀分布在带电的部分。
如果两个带点球壳，带电量分别为𝑞、𝑄时
(1)若电性相反，则它们之间的电场力要大于𝑘𝑞𝑄
𝑟2
原因在于电荷会因引力作用聚集到近端。
(2)若电性相反，则它们之间的电场力要小于𝑘𝑞𝑄
𝑟2
原因在于电荷会因斥力作用聚集到远端。
有关静电场的结论：
电场线越密集的地方场强越大。
沿着电场线方向电势减小。
（电势能𝐸= 𝜑𝑞，大小除了看电场线外，还要看电性。）
电场一定垂直等势线（若不垂直，则在等势线切向的分量会做功）。
稳定带电导体的表面为等势面，所以某处的电场一定垂直于这点的切面。
大地的电势取0。
静电平衡
1.一电荷在导体空腔外部，不管导体是否接地，导体腔内场强为0（带电导体内部场强均为0）。
2.一电荷在导体空腔内部，则这个导体外部场强不为0。
3 一电荷在导体空腔内部，若导体外侧接地，则导体外部场强为0。这个不好理解，可以这样
（理解：导体内部（是导体内部的部分，区别于导体腔内部）在任何情况下场强均为0，如
果接地，外表面电荷消失，相当于外表面扩大到了无穷远处，除了导体内表面外的所有空间
均为导体“内部”，又导体内部场强均为0，除了导体内表面围成的区域，场强均为0。）
电容的结论
电容常考，有2 个电容的结论：
1. 根据定义式𝐶= 𝑄
𝑈和决定式𝐶=
𝜀𝑆
4𝜋𝑘𝑑消去C 得到𝑄= 𝜀𝑆𝑈
4𝜋𝑘𝑑（𝜀是电容率）
所以外加电源，𝑈不变，𝑄与𝑑成反比。
2. 又𝐸= 𝑈
𝑑，所以𝐸= 4𝜋𝑘𝑄
𝜀𝑆
所以孤立电容，𝑄不变，𝐸与𝑄成正比，电场是定值，与电极板距离无关。
十二.恒定电流的结论
∗电压与电子漂移速度成正比。𝑈 = 𝐼𝑅= 𝑛𝑞𝑣𝑠𝜌𝑙
𝑠= 𝑛𝑞𝑣𝜌𝑙
*电能与电子的动能成正比。𝐸= 𝑈𝐼= 𝑛𝑞𝑣𝜌𝑙𝑛𝑞𝑣𝑠= 𝑟𝑣2 = 𝑘𝐸𝑘
电路关键是搞清楚实际加在某元件两端的电压，消耗能量的元件都可视为等效电阻，都可以
用欧姆定律进行计算，只不过电阻是把电能转化为热能、而其他元件是转化为其他形式的能
量。
串反并同原则：一个电路中，某个元件的电阻升高，与之广义串联（把其他元件看成导线，
与之是串联就是广义串联）的元件两端电压、电流、功率都下降；与之广义并联（把其他元
件看成导线，与之并联的就是广义并联）的元件两端电压、电流、功率都升高。
自己：判断电流变化：可以假设串联一个理想电流表（无内阻），电流降低。
判断电压变化：可以假设串联一个理想电压表（内阻无穷），电压升高。功率不确定。
电容、断路一律视为等效电阻无穷大。
恒定电流部分主要考实验，实验的部分我有空再写。
十三.磁场
磁通量
磁感线条数的确定原则是单位面积上磁感线条数正比于磁感应强度
即𝑘𝑑𝑁
𝑑𝑆= 𝐵，又磁通量𝜑也有𝑑𝜑= 𝐵𝑑𝑆𝑐𝑜𝑠𝜃，所以𝑑𝑁= 𝑑𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃，𝜑= 𝑘𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃
即某个面上穿过的磁感线条数正比于这个面的磁通量。
（这是判断基本的磁通量问题的依据。）
*磁场与速度方向不垂直时洛伦兹力的方向：𝑭= 𝑞𝒗× 𝑩，右手除拇指以外的四指从𝒗的方向
弯向𝑩的方向，拇指方向就是𝑭的方向（向量外积的右手定则）。
洛伦兹力是产生安培力的原因，但是安培力可以做功然而洛伦兹力不能做功：因为洛伦兹力
是把运动电荷的方向往垂直于通电导线的方向偏移，使电荷和导线作用从而使导线受力。就
如同一根绳子连着一个电荷，去撞击通电导线，通电导线收到力，消耗的是电荷的动能，绳
子并没有做功，同时电源会源源不断地为电荷补充失去的动能。
电荷在磁场中的偏转问题（速度垂直于磁场的情形）
常用结论：速度方向偏转角度等于电荷做圆周运动轨迹的圆心角。
计算经过的时间的常用公式：
由𝑞𝑣𝐵= 𝑚𝜔2𝑟，𝑣= 𝜔𝑟，𝜔= 𝜃
𝑡得到𝑡= 𝜃𝑚
𝑞𝐵。
*用到的几何知识：圆周角等于对应圆心角的一半，圆周角等于对应弦切角。
十四.电磁感应的一些问题
小结论：闭合电流回路所受安培力合力为0。（提示：从最简单的闭合图形三角形出发）
磁场变化时，求导体棒的运动趋势
比如一个线圈，一块磁铁靠近线圈，问线圈是收缩还是拉伸或者受力方向？
这类问题最好不要直接用楞次定律判断受力方向。先用楞次定律判断感应电流的方向，再用
安培左手定则判断受力方向。
感应电动势产生的原因
1.动生电动势：由于洛伦兹力的作用，使电子的运动方向从垂直于导体棒的方向偏转到导体
棒的方向，从而使电子与导体棒直接有相对运动，从而产生电流，本质上是外部提供导体棒
的动能，从而转化为电子的动能，进而转化为电能。洛伦兹力不会做功。
*2.感生电动势是由于产生了有旋电场。二者有本质区别。
由𝐸= 𝑑𝜑
𝑑𝑡= 𝜑′，𝜑= 𝐵𝑆（𝑆 为闭合回路围成的面积）
𝐵、𝑆皆可视为时间𝑡的函数，𝐸= 𝜑′ = 𝐵′𝑆+ 𝐵𝑆′
𝐵′即磁场随时间的变化率，𝑆′即面积随时间的变化率
𝐵′𝑆就是感生电动势，𝐵𝑆′就是动生电动势，所以
感应电动势＝动生电动势＋感生电动势
如果磁场随时间变化，则一定要加上感生电动势。
在导体棒切割磁感线的模型中，𝐸= 𝐵𝐿𝑣+ 𝐵′𝑆
当然，最标准的是用𝐸= 𝑑𝜑
𝑑𝑡，只不过会涉及求导，看个人习惯了。
注意𝐸= 𝐵𝐿𝑣的适用条件：
1.𝑣要垂直于导体棒，如果不垂直，则是𝑣在垂直导体棒方向的投影。
2.适用磁场可以随空间变化，但仅在运动方向上的变化。𝑥为运动方向，即𝐵= 𝐵(𝑥)。
3.磁场不随时间变化
导体棒转动
1. 导体棒绕一端在转动，刚好某个微元上的感应电动势是线性的，所以总电动势𝐸= 𝐵𝜔𝐿2
2
2.导体棒绕中点转动，注意以中点把导体棒分成两部分来看，两个部分运动方向相反，产生
的感应电动势大小相等，刚好抵消，因而总电动势为0。
3. 导体棒绕某一点转动，类同1、2，注意抵消的部分。 𝐸= 𝐵𝜔(𝐿1
2 −𝐿2
2)
2
（𝐿1、𝐿2分别是远端和近端到转轴的距离）
隐含结论：
若磁场为匀强磁场，由𝐸= 𝑑𝜑
𝑑𝑡，𝐸= 𝐼𝑅，𝑑𝑄= 𝐼𝑑𝑡
得到𝑑𝑄= 𝑑𝜑
𝑅，所以𝛥𝑄= 𝛥𝜑
𝑅
即不管变化过程如何，闭合回路中电荷通过量只与磁通量变化量有关。
最基本的模型：磁场垂直于导轨平面，2 根导轨，1 根导体棒切割磁感线运动。
*问题导体切割磁感线产生感应电动势𝐸= 𝐵𝐿𝑣 ，从而回路中有电流，有电流就又会产生磁场，
会不会对原磁场有影响？
会产生自感，有一定影响，考试时可以忽略。
1.如果回路中有一电源𝐸0，则导体棒会收到安培力作用运动。
导体棒只要切割磁感线就会产生感应电动势，这个电动势𝐸= 𝐵𝐿𝑣，由右手定则已知这个感
应电动势会抵消一部分原电源，因而实际电流为𝐼= 𝐸0 −𝐸
𝑅。
安培力的决定因素就是通过导体棒的实际电流𝐼，此时安培力𝐹= 𝐵𝐼𝐿。
电源提供的功率𝑃0 = 𝐸0 𝐼= 𝐸0
𝐸0 −𝐸
𝑅
，焦耳定律知热功率𝑃𝑄= 𝐼2𝑅=
(𝐸0 −𝐸)2
𝑅
安培力对导体棒的功率𝑃′ = 𝐹𝑣= 𝐵𝐼𝐿𝑣= 𝐸𝐼= 𝐸𝐸0 −𝐸
𝑅
感应电动势的功率𝑃= 𝐸𝐼= 𝐸𝐸0 −𝐸
𝑅
= 𝑃′，安培力的功率就等于感应电动势的功率。
由能量守恒知，外来能量只有电源电能，确定消耗能量的地方有电阻生热和提供导体棒动能，
产生感应电动势是否消耗能量暂时不确定。但是发现𝑃0 = 𝑃′ + 𝑃。说明感应电动势以产生安
培力的形式把能量转化导体棒的动能，事实上自身并没有消耗能量，这是因为感应电源不会
像化学电源那样储存能量。感应电动势既不产生能量，也不消耗能量，只是一个转化能量的
中介。这个特点在其他模型中也会看到。
2.回路中无电源，外力作用导体棒运动。
显然会产生感应电动势，然而有了感应电动势后，回路中就有电流，有了电流，导体棒上就
有安培力。用左手定则很容易知道，安培力肯定和外力方向相反（否则能量不守恒）。
某时刻速度v，安培力大𝐹= 𝐵𝐼𝐿= 𝐵𝐸
𝑅𝐿= 𝐵2𝐿2𝑣
𝑅
，安培力的功率𝑃′ = 𝐹𝑣= 𝐵2𝐿2𝑣2
𝑅
感应电动势的功率𝑃= 𝐸𝐼= 𝐸2
𝑅= 𝐵2𝐿2𝑣2
𝑅
= 𝑃′
再次看到，感应电动势的功率同样等于安培力的功率，由此发现安培力和感应电动势是伴随
产生的，感应电动势转化能量以安培力的形式来做功。
这个过程有点类似汽车加速。最终当加速到一定速度时，安培力会和外力相等达到稳定。
即稳定时的速度𝑣𝑚，外力𝐹0 = 𝐹= 𝐵2𝐿2𝑣𝑚
𝑅
，𝑣𝑚= 𝐹0𝑅
𝐵2𝐿2
稳定时感应电动势𝐸𝑚= 𝐵𝐿𝑣𝑚= 𝐹0𝑅
𝐵𝐿
可能仅在某个方向的运动是在切割磁感线
比如磁场方向垂直于竖直平面、一个线圈做平抛运动进入磁场，则仅有水平方向的速度对产
生感应电动势起作用。
3.回路无电源、无外力作用，导体棒有初速度。（详见最后阻尼运动问题）
自感
一个自感线圈和灯泡并联
1.开关闭合时，自感线圈产生感应电动势与加在两端的外电压抵消，通过的电流几乎等于0，
可暂时把自感线圈视为断路。此时通过灯泡的电流几乎等于干路电流。过一会，随着自感线
圈的感应电动势减小，灯泡被短路，因此灯泡是缓慢熄灭。
2.开关断开时，自感线圈产生感应电动势，线圈与灯泡组成新的闭合回路，灯泡原来被短路，
此时连通，因此灯泡闪亮一下，然后缓慢熄灭。
回旋加速器
决定粒子最终速度的式子是𝑞𝑣𝑚𝐵= 𝑚𝑣𝑚2
𝑅
与加速狭缝的电压无关。
因为电压大小只影响加速次数和所用时间，最终出来的速度是一定的。
隐含结论：即任何粒子加速所需的时间相同。
∗粒子加速时间𝑡= 𝐵𝑆
2𝑈（𝑆为回旋加速器面积）
能看懂下面这个推导过程，差不多这一部分就没问题了。
*证明：设通过加速狭缝次数为𝑛，狭缝宽𝑑
𝑞𝑣𝑚𝐵= 𝑚𝑣𝑚
2
𝑅
，𝑛𝑞𝑈= 𝑚𝑣𝑚
2
2
，得𝑛= 𝑞𝐵2𝑅2
2𝑚𝑈
偏转时间𝑡1 = 𝑛𝑇
2 ，𝑇= 2𝜋𝑚
𝑞𝐵，得𝑡1 = 𝜋𝐵𝑅2
2𝑈
加速时间𝑡2
可以把所有每一段在狭缝的加速位移拼接起来，其实就是匀加速直线运动。总位移为𝑛𝑑，加
速度是𝑞𝑈
𝑚𝑑，所以𝑛𝑑= 1
2
𝑞𝑈
𝑚𝑑𝑡2
2，𝑡2 = ඨ2𝑛𝑚𝑑2
𝑞𝑈
= ඨ2 × 𝑞𝐵2𝑅2
2𝑚𝑈
𝑚𝑑2
𝑞𝑈= 𝐵𝑅𝑑
𝑈
因此𝑡= 𝑡1 + 𝑡2 = 𝜋𝐵𝑅2
2𝑈
+ 𝐵𝑅𝑑
𝑈
= 𝐵(𝜋𝑅2 + 2𝑅𝑑)
2𝑈
= 𝐵𝑆
2𝑈
十五.不用微积分解决的非线性问题
二次平方反比力（万有引力和单个点电荷的电场力）
万有引力的引力中心圈层
取无穷远处势能为0。（负电荷电场力的和万有引力有共同的形式及方向，可以类比）
建议记住下面的势能公式。
引力势能𝐸𝑝= −𝐺𝑀𝑚
𝑟
，动能𝐸𝑘= −𝐸𝑝
2
到引力中心的距离增大，势能增大，动能减小，机械能增大
势能𝐸𝑝= 𝑘𝑄𝑞
𝑟
，动能𝐸𝑘= −𝐸𝑝
2
对于负电荷，到电荷距离增大，势能增大，动能减小，机械能增大，正电荷反之。
下面就重点说万有引力，电场力可以类比万有引力。
开普勒第二定律可以推出：天体运动中，做圆锥曲线运动的某点速度𝑣与到天体中心距离𝑟成
反比。
（*实质是动量矩守恒，个人觉得反比关系的表述反而比那个面积关系的表述更加简单）
变轨：小圆加速变椭圆，椭圆远地点加速变大圆（近地点加速不涉及），减速同理。这个可用
来判断轨道上机械能的大小。
第一宇宙速度𝑣1，第二宇宙速度𝑣2。卫星在地球表面以初速度𝑣切向发射，中途不受其他力（不
考虑其他星体引力影响）
1.𝑣= 𝑣1做匀速率圆周运动2.𝑣1 < 𝑣< 𝑣2做椭圆运动
（*3.𝑣= 𝑣2做抛物线运动*4.𝑣> 𝑣2做双曲线运动）
同理，可将地球简化为一质点。某高度的卫星，速度若大于此高度做匀速率圆周运动的卫星
的速率，将做椭圆运动（未逃逸的情况下）。
举个例子：2 质量相等的卫星，一个做椭圆运动，一个做圆周运动，椭圆的远地点距离等于
圆的半径，哪个卫星的机械能更大？椭圆的远地点距离等于圆的半径相等说明最大引力势能
相等，所以做椭圆运动的物体要想做圆周运动，就必须加速。也可以这样理解，在远地点，
做椭圆运动的卫星因为速度不够大，会被引力拖回来，而做圆周运动的物体则不会，所以做
圆周运动的物体动能机械能更大。
*周期相等（椭圆长轴相等）的运动机械能相等，所以周期越大，机械能越大。
（可以用高中方法证明，要用开普勒第二定律。记不起哪个省份的高考题考了一道选择题，
可能教材不一样）如果要考证明，那也没办法（肯定会给出引力势能公式）。给你证明，有兴
趣可以看看。
∗证明：已知势能公式𝐸𝑝= −𝐺𝑀𝑚
𝑟
某椭圆运动，设远地点距离𝑎，近地点距离为𝑏，周期相等，由开普勒第一定律知长轴长𝑎+ 𝑏是
个定值。
设远地点速度为𝑣1，近地点速度为𝑣2。
由开普勒第二定律，取一个微元面积𝑑𝑠= 𝑎𝑣1𝑑𝑡= 𝑏𝑣2𝑑𝑡，所以𝑣2 = 𝑎
𝑏𝑣1。
又远地点和近地点机械能相等
𝑚𝑣1
2
2
−𝐺𝑀𝑚
𝑎
= 𝑚𝑣2
2
2
−𝐺𝑀𝑚
𝑏
，所以𝑚𝑣1
2
2
= 𝐺𝑀𝑚𝑏
𝑎(𝑎+ 𝑏)
机械能𝐸= 𝑚𝑣1
2
2
−𝐺𝑀𝑚
𝑎
= −𝐺𝑀𝑚
𝑎+ 𝑏
因此，机械能是个定值，故周期相等机械能相等。
∗（同时也说明机械能𝐸= −𝐺𝑀𝑚
𝑑
，𝑑为椭圆长轴长）
其他星球皆可类比地球。点电荷的问题也可以类比地球。
阻尼运动问题
即初速度为𝑣0，合外力力与速度成正比，即𝐹= −𝑘𝑣，求最终位移（这种情况物体一定会停
下来）或者已知某时刻的速度的位移。
这种类型有个巧合，虽然是变加速运动，但刚好可以不用微积分求出位移，高考常考。
由动量定理−𝐹𝑑𝑡= 𝑚= 𝑚𝑑𝑣，带入力的表达式𝐹= −𝑘𝑣，得到𝑘𝑣𝑑𝑡= 𝑚𝑑𝑣
𝑣𝑑𝑡= 𝑑𝑠，所以𝑘𝑑𝑠= 𝑚𝑑𝑣，即每时每刻都有这个关系，无限个𝑑𝑠相加就是位移𝑠，无限个𝑑𝑣相
加就是速度总变化量𝑣0，因此𝑘𝑠= 𝑚𝑣0，𝑠= 𝑚𝑣0
𝑘
。
已知某时刻的速度的位移，速度总变化量为𝑣0 −𝑣𝑡，所以𝑠= 𝑚(𝑣0 −𝑣𝑡)
𝑘
具有这种受力特点的受力模型有：
1. 导体棒有初速度切割磁感线𝐹= 𝐵𝐼𝐿= 𝐵𝐸
𝑅𝐿= 𝐵2𝐿2𝑣
𝑅
2.在水中悬浮的球收到水粘滞力的作用𝑓= −𝑘𝑣
3.空气阻力𝑓= −𝑘𝑣𝑛，低速状态𝑛通常为１。
合外力是牵引力的情况也可以这样计算。
汽车加速问题
不管汽车以何种方式加速，中途过程如何，速度必然增大，因为加速度是速度对时间的导数，
所以加速度大于或等于0，即牵引力大于等于阻力，当速度增加到一定值，即功率达到额定
功率，𝐹𝑣= 𝑃𝑚时，由于速度增大，牵引力会不断减小，最终大小等于阻力。
即𝑓𝑣= 𝑃𝑚，最终速度可以求出，𝑣𝑚= 𝑃𝑚
𝑓。
建议大家留意一下这些巧合，即可以不用微积分证明非线性问题的。用高中知识能解决的东
西都可能考，教材上有不少东西可以挖掘。
