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猜押 02 上海高考 7~12 题（填空题）
考点 3年考题 考情分析
考查方向等差数列前n项和、等比数列的性质、数列应
数列 2022年~2024年
用、数列求和、数列递推式。
近四年考查方向两个向量和或差的模的最值、平面向量
平面向量 2022年~2024年
数量积的性质及运算
解三角形 2023年、2024年 余弦定理、三角形中的几何计算
近四年考查方向棱锥的结构特征、旋转体、异面直线所
立体几何 2023年、2024年
成的角、两条平行线间的距离
查方向圆的一般方程、椭圆的性质、抛物线的定义、性
圆锥曲线 2023年、2024年
质、双曲线的性质
考查方向全概率公式、古典概型及其概率的计算公式、
频率分布直方图、众数、中位数、平均数、分部加法计
概率与统计 2022年~2024年
算原理、排列组合及其简单计数问题、排列组合与集合
的性质。
题型一 数列
1．（23-24高三上·上海黄浦·期中）设 是首项为3且公比为 的等比数列，则满足不等式
的最小正整数 的值为 ．
2．（24-25高三下·上海·开学考试）已知首项为 的数列 的前 项和为 ，定义在 上恒不为零
的函数 ，对任意的 ，都有 ．若点 在函数 的图象上，
且不等式 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为 ．
3．（2023·上海闵行·二模）已知在等比数列 中， 、 分别是函数 的两个驻点，则 ．
4．（2023·上海青浦·二模）已知数列 满足 ，若满足 且对任意
，都有 ，则实数 的取值范围是 .
5．（24-25高三上·上海·期中） ， 和 的零点按从小到大
顺序可以分别构成两个等差数列，则 所构成的集合为 .
6．（24-25高三下·上海杨浦·开学考试）已知等差数列 的公差为 ，集合
有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 .
7．（23-24高二上·上海·期末）已知数列 满足 设 表示 的前 项和，
则使得 成立的最小的正整数 的值为 .
8．（24-25高三上·上海·期中）已知数列 满足：对于任意正整数n有 ，且 ，
，其中 ，若 ， 数列 的前 项和为 ，则
.
9．（24-25高二上·上海·期中）已知正四面体 中， ， 、 ，…， 在线段 上，且
，过点 （ 、 、…、 ）作平行于直线 、 的平面，截面面积
为 ，则所有截面积之和为 .10．（24-25高三上·上海·期中）已知等差数列 ，若存在有穷等比数列 ，其
中 ，公比为 ，满足 ，其中 ，则称数列 为数列 的长度为 的“等比伴随
数列”．数列 的通项公式为 ，数列 为数列 的长度为 的“等比伴随数列”，则 的最大值为
．
11．（24-25高二上·上海·期中）设数列 ， …，即当
时， ，记 为数列 前 项和.对于 ，定义集合
是 的整数倍， ，且 .集合 中元素的个数为 .
12．（2023·上海松江·一模）已知数列 的各项都是正数， ，若数列 为严
格增数列，则首项 的取值范围是 ，当 时，记 ，若 ，则
整数
13．（2023·上海闵行·三模）数列 共有 项（常数 为大于5的正整数），对任意正整数 ，有
，且当 时， ．记 的前 项和为 ，若 对任意 都
成立，则 的最大值是 ．
14．（2023·上海嘉定·三模）已知首项为2、公差为 的等差数列 满足：对任意的不相等的两个正整数i，j，都存在正整数k，使得 成立，则公差d的所有取值构成的集合是 .
题型二 平面向量
1．（23-24高三下·上海嘉定·阶段练习）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识
别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和
余弦距离．设 ， ，则曼哈顿距离 ，余弦距离
，其中 （O为坐标原点）．已知点 ， ，则
的最大值为 ．
2．（23-24高三上·上海黄浦·期中）平面两点 ， 的坐标分别满足 和
. 为坐标原点，已知 ， 且 ，
.若存在 ，使得 ，则正实数 的值为 .
3．（24-25高三上·上海·开学考试）在边长为1的正六边形 中，以 为起点其它5个顶点之一为
终点的向量分别记为 ，以 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为 ，若
分别为 的最小值､最大值，其中 .则
的值为 .
4．（24-25高三上·上海·期中）平面上到两个定点距离之比为常数 的动点的轨迹为圆，且圆
心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知 满足
，则 的取值范围为 ．5．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量 满足 ，且对任意的实
数t，均有 则 的最小值为
6．（24-25高三上·上海·期中）已知实数 、 、 、 满足 ， ， ，记
，则 的最大值是 .
7．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知平面向量 ， ， 满足 与 的夹角为锐角， ， ，
，且 的最小值为 ，向量 的取值范围是 ．
8．（24-25高三下·上海·开学考试）已知 ，存在 ，当 时，都有
，则 的取值范围是 ．
9．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知 ， （i， ，2，3）均为实数，且满足 ，
， ， ，且 的最大值是
.
10．（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）帕拉图说“美是灵魂的反映”，有机物萘的结构可用下图所示的
键线式表示，其优美的结构简式可抽象为两个正六边形的图形.已知 与 为全等的正六边
形， ，点P为该图形边界（包括顶点）上的一点，则 的取值范围为 .
题型三 解三角形1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知 是锐角 的外心， ，若
，则实数 .
2．（24-25高三上·上海黄浦·期末）一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后
的形状．已知这个圆的半径是13cm， ， ，且 ，则圆心到点B的距离约为
cm．（结果精确到0.1cm）
3．（24-25高三上·上海金山·期末）某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400
米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB
间修建浮桥．已知 越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为
米．（结果精确到1米）
4．（24-25高三下·上海·阶段练习）如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道．现从B地和C地测
量得： ， ， ， ．若B、C的直线距离为5.8公里，
则隧道 长为 公里．（结果精确到0.1公里）
5．（2023·上海黄浦·一模）已知 的三边长分别为4、5、7，记 的三个内角的正切值所组成的
集合为 ，则集合 中的最大元素为 .6．（2023·上海嘉定·二模）如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上， ．点P为线段CB上任意
一点，点A绕着点C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则 的面积的最
大值为 ．
7．（2023·上海长宁·二模）已知 是双曲线 的左、右焦点，l是 的一条渐近
线，以 为圆心的圆与l相切于点P，若双曲线 的离心率为2，则 ．
8．（22-23高三上·上海浦东新·期中）如图，三棱锥 的顶点A在平面 上，侧棱 平面 ，底
面BCD是以B为直角的等腰直角三角形，且平面BCD与平面 平行． ， E是CD中点，M是
线段AE上的动点，过点M作平面ACD的垂线交平面 于点N，则点N到点C的距离的取值范围为 ．
题型四 立体几何
1．（24-25高三上·上海黄浦·期末）在正四面体 中，点N是 的中心，若
，则 ．
2．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知空间中三个单位向量 、 、 ，
， 为空间中一点，且满足 ， ， ，
则点 个数的最大值为 ．
3．（2023·上海徐汇·三模）在 中， ，顶点 在以 为直径的圆上.点 在平面 上的射影为 的中点， ，则三棱锥 外接球的半径为 .
4．（2023·上海黄浦·三模）已知正方形ABCD的边长是1，将 沿对角线AC折到 的位置，使
（折叠后）A、 、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为 ．
5．（2023·上海普陀·一模）体积为 的正四面体内有一个球 ，球 与该正四面体的各面均有且只有一
个公共点， ， 是球 的表面上的两动点，点 在该正四面体的表面上运动，当 最大时，
的最大值是 .
6．（2023·上海嘉定·一模）设 为多面体M的一个顶点，定义 在 处的离散曲率为
，其中 为 的所有与 相邻的顶
点，且平面 、 、 、 、 为 以 为公共点的面.已知在直四棱柱
中，四边形 为菱形， ，当 平面 时，四面体 在 处的离
散曲率为 .
7．（2024·上海奉贤·二模）学生到工厂劳动实践，利用 打印技术制作模型，如图所示.该模型为长方体
中挖去一个四棱锥 ，其中 为长方体的中心， ， ， ， 分别为所在棱
的中点， ， ， 打印所用原料密度为 .不考虑打印损耗，制作该模型所
需原料的质量为 .
8．（23-24高三下·上海·期中）棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方形内一个动点（包括边界），且 平面 ，则当三棱锥 体积取最大时，其外接球的
表面积为 .
9．（2023·上海杨浦·一模）我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖（biē）臑（nào）”的几
何体，它指的是由四个直角三角形围成的四面体，那么在一个长方体的八个顶点中任取四个，所组成的四
面体中“鳖臑”的个数是 .
10．（2023·上海嘉定·一模）正四棱台 是 的中点，在直线
上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段 的长度为 ．
11．（2024·上海黄浦·二模）在四面体 中， ， ， ，设
四面体 与四面体 的体积分别为 、 ，则 的值为 .
12．（24-25高三上·上海·期中）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆 和半圆 的直径均
为2.8米，平面 和平面 均垂直于平面 ，用任意平行于帐篷底面 的平面截帐篷，假
设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米）
13．（24-25高三上·上海·期中）如图所示，正八面体 的棱长为 ，点 为正八面体 内
(含表面)的动点 ，则 的取值范围为14．（2023·上海闵行·一模）已知点P在正方体 的表面上，P到三个平面ABCD、
、 中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满
足条件的点P的个数为 ．
15．（2023·上海嘉定·三模）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬
在编制《授时历》时所做的天文计算.图中的 都是以 为圆心的圆弧， 是为计算所做
的矩形，其中 分别在线段 上， .记 ， ，
， ，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有 .
①② ；
③ ；
④ .
题型五 圆锥曲线
1．（2023·上海嘉定·一模）焦点在 轴上的椭圆 与抛物线 ，椭圆的右焦点与抛物线的焦
点均为 ， 为椭圆上一动点，椭圆与抛物线的准线交于 、 两点，则 的最大值为 .
2．（2024·上海·一模）已知 是抛物线 上的两个不同的点，且 ，若点 为线段
的中点，则 到 轴的距离的最小值为 ．
3．（2024·上海长宁·二模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，
，则点 的横坐标为 ．
4．（2024·上海静安·二模）我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点 都满足方程
，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知
点 “爱心线”上任意一点的最小距离为 ，则用 表示心吧面积的最大值为 ．
5．（2024·上海普陀·二模）已知抛物线 的焦点 是双曲线 的右焦点，过点 的直线 的法向量， 与 轴以及 的左支分别相交 ， 两点，若 ，则双曲线 的实轴长为 .
6．（2024·上海金山·二模）已知双曲线 ( ， )，给定的四点 、 、
、 中恰有三个点在双曲线 上，则该双曲线 的离心率是 ．
7．（2025·上海崇明·二模）已知双曲线 的左、右焦点为 ，以O为顶点， 为焦点作
抛物线交双曲线于P，且 ，则 ．
8．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知 、 分别为双曲线 的左右焦点，过 的
直线与双曲线左支交于A，B两点，且 ，以 为圆心， 为半径的圆经过点B，则双曲线的
离心率为 .
9．（24-25高三上·上海·期末）有三个观测站 ,其中A在B正东方向m米，C在B正北方向m米.某处
D传来了爆炸声.若A站听到的时间比B站早1秒，B站听到的时间比C站早1秒，则m的最小整数值是
.(假定声波在空气中的传播速度为340米/秒，本题所有点均在同一平面上)
10．（2023·上海崇明·一模）已知椭圆 与双曲线 的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点 、 ，P
是 与 在第一象限的交点，当 时，双曲线 的离心率等于 .
11．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知抛物线 和 所围成的封闭曲线E如图所示，
点M，N在曲线E上，给定点 ，则下列说法中正确的是 ．①任意 ，都存在点M，N，使得
②任意 ，都存在点M，N，满足这对点关于点A对称
③存在 ，当点M，N运动时，使得
④任意 ，恰有三对不同的点M，N，满足每对点M，N关于点A对称
题型六 概率与统计
1．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）现有10个完全相同，尺寸为 的长方体箱子，将第
一个箱子平放在地面上，其余的9个箱子的每一个箱子都平放在前面的箱子上，可以任意旋转箱子，那么
使得这10个箱子堆放高度为41 的堆放方式共有 种.
2．（24-25高三上·上海·期末）一袋中装有除颜色外完全相同的4个黑球和3个红球，从袋中任取3球.已
知取出的球中有红球，则取出的3个球都是红球的概率为 .
3．（24-25高三上·上海杨浦·期末）某校高二有 人报名足球俱乐部， 人报名乒乓球俱乐部， 人报
名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为 ．
4．（24-25高三上·上海·阶段练习）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为 ，第二次出现的点数记
为 ，设任意投掷两次使两条不重合直线 平行的概率为 ，相交的概率为 ，若
点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是 .
5．（24-25高三上·上海·阶段练习）甲、乙两人进行投篮练习，甲投中的概率为0.8，乙未投中的概率为
0.1，甲、乙两人各投篮1次，设两人投篮互不影响，则两人中恰有1人投中的概率为 .
6．（24-25高三下·上海·阶段练习）某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动， 运送的卡车共装有 10
个纸箱， 其中 6 箱数学书， 4 箱语文书. 到目的地时发现丢失一箱， 但不知丢失哪一箱. 现从剩下 9
箱中任意打开 2 桶，则刚好都是数学书的概率为 .7．（24-25高三下·上海·阶段练习）如图，一个区域分为5块，现给每块着色，要求相邻区域不得使用同
一颜色．若有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．
8．（24-25高三下·上海·阶段练习）容量为 的一组数据，若所有第 百分位数（ 取遍 ）中至
少两个相同，则正整数 的最大值为 ．
9．（24-25高三下·上海·阶段练习）袋中有6个球，其中红黄绿蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有
放回的随机摸取一球，记事件 ：甲和乙至少一人摸到红球，事件 ：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件
概率 .
10．（24-25高三下·上海·阶段练习）某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，
且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为 ，
答对每道不会的题的概率为 ，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ．
11．（2023·上海普陀·模拟预测）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第10行中最大的数与第
二大的数的数值之比为 （用最简分数表示）.
12．（2023·上海闵行·一模）今年中秋和国庆共有连续 天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，
每天都需要有人值班．任选两名员工各值 天班，剩下的一名员工值 天班，且每名员工值班的日期都是
连续的，则不同的安排方法数为 ．
13．（2023·上海宝山·一模）在一次为期 天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），
得到样本的茎叶图（如下图），则该样本的第 百分位数是14．（2023·上海徐汇·一模）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布
直方图如图所示，数据的分组依次为 ，若该校的学生总人数为1000，则成绩低
于60分的学生人数为 ．
15．（2024·上海金山·二模）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表：
疾病
药物 合计
未患病 患病
服用 50
未服用 50
合计 80 20 100
取显著性水平 ，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则 ( )的最小
值为 ．
(参考公式： ；参考值： ）
16．（2024·上海浦东新·三模）一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地摸出2个
球，记2球中白球的个数为X，则 .
17．（2025·上海·模拟预测）为了增强法治观念，甲、乙两位老师在 共 所学校中各自选 所学校
开展普法讲座.在甲、乙一共选择了 所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择 学校开展讲座的概率为
.18．（24-25高三上·上海·期中）一个项数为 的正整数数列 满足 ，且 ，
若 为不大于 的偶数，则符合条件的数列 共有 个.
