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7.5 空间几何的外接球（精讲）
1
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2
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3
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考点一 汉堡模型
【例1】（2023 春·重庆）设直三棱柱
的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为
，
，则此直三棱柱的高是（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】D
【解析】设
外接圆得圆心为
，半径为，直三棱柱
得高为，
直三棱柱
外接球得球心为
，半径为
，
则
，且
平面
，
由正弦定理得
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
即直三棱柱
得高为
.
故选：D.
4
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【一隅三反】
1．（2023 春·安徽宣城）在三棱锥
中，△ABC 是边长为3 的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且
，则三棱锥
的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】根据已知，底面
是边长为3 的等边三角形，
平面
，
可得此三棱锥外接球，即以
为底面以
为高的正三棱柱的外接球．
设正三棱柱的上下底面的中心分别为
，则外接球的球心
为
的中点，
的外接圆半径为
，
，
所以球的半径为
，
5
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所以四面体
外接球的表面积为
，
故答案为：
．
2．（2023 春·广东韶关 ）三棱锥
中,
平面
,
,
,
,则三棱锥
外接球的体积是 ．
【答案】
【解析】如图,将三棱锥还原成直三棱柱,设三棱柱的外接球球心为
,
分别为上下底面的外心,则
为
的中点,
为底面外接圆的半径,
所以球心O 到面
的距离为
,
由正弦定理有:
,
所以
,
.
故答案为:
.
3．（2023 春·江苏扬州）已知正四棱柱
中，
，直线
与平面
所成角的正切
值为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为 .
【答案】
6
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【解析】连接
，在正四棱柱
中，
平面
，
所以
为直线
与平面
所成角，
因为在等腰直角三角形
中，
，所以
，
在直角三角形
中，
，
所以
，
，
又正四棱柱
的外接球的直径为
，则半径
.
所以球的表面积为：
.
故答案为：
考法二 墙角模型
【例2】（2023 春·天津河北）长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，且它的8 个顶点都在同一
个球面上，则这个球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意得长方体的对角线长为
，
又长方体的外接球的直径是长方体的对角线，
所以长方体的外接球的直径
，
7
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所以长方体的外接球的表面积为
.
故选：C
【一隅三反】
1．（2023 春·山西朔州）长方体的长、宽、高分别为4，3，2，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设球
的半径为
，由于长方体的体对角线为球
的直径，
则
，所以
，
因此，球
的表面积为
.
故选：A
2．（2023 春·贵州黔东南）在三棱锥
中，
平面
，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，在三棱锥
中，
平面
，
故将该三棱锥置于一个长方体中，如图所示，
则体对角线
即为外接球得直径，
，
故外接球的半径
，
所以三棱锥
的外接球的表面积为
.
故选：B.
8
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3．（2023 春·广东深圳）如图，在长方体
中，四边形
是边长为1 的正方形，
，则该长方体的外接球表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知长方体
的体对角线长为
,
故该长方体的外接球的半径为
，
该长方体的外接球表面积为
，
故选：D
考法三 斗笠模型
【例3-1】（2023 春·北京海淀）已知侧棱长为
的正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，且三个侧面
两两垂直，则这个球的表面积为（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图可将正三棱锥
放到棱长为
的正方体中，
则正方体的外接球即为三棱锥的外接球且正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，
设外接球的半径为
，则
，即
，即
（负值舍去），
所以外接球的表面积
.
故选：C
【例3-2】（2023·贵州贵阳·校联考三模）已知一圆锥内接于球，圆锥的表面积是其底面面积的3 倍，则圆
锥与球的体积之比是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示，设圆锥的底面圆圆心为点
，延长
与球面交于
.
设圆锥底面半径为r，母线为l，则
，得
，
圆锥的高
设球半径为R，则
中，
有
，即
，
即
，
10
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，故
，
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023 春·江西）在正四棱锥
中，
，若该棱锥的所有顶点都在球
的表面上，
则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，过点
作
平面
于点
，由
，得
，
显然球心
在
上，设球
的半径为
，则
，解得
，
所以球
的表面积
，
故选：C.
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2．（2022·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为
，则
该正三棱锥体积的最大值为___________.
【答案】
【解析】因为
，所以正三棱锥外接球半径
，
正三棱锥如图所示，设外接球圆心为
，过
向底面作垂线垂足为
，
因为
是正三棱锥，所以
是
的中心，
所以
，
,
又因为
，所以
，
所以
，
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令
，
解得
所以
在
递增，在
递减，
故当
时，
取最大值，
.
故答案为：
.
3．（2023·江西）正三棱锥P－ABC 底面边长为2，M 为AB 的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC 外接球的
体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由图，设
，则
，而
，
因为PM⊥PC，所以由勾股定理得
即
解得
，
由对称性可知：三棱锥P－ABC 外接球的球心在三棱锥P－ABC 的高PD 上，
假设为O 点，则
，因为
,所以
，
又由于点D 是三角形ABC 的外心，且三角形ABC 为等边三角形，所以
,
在三角形ODC 中，由勾股定理得
,即
， 解得
，
所以三棱锥P－ABC 外接球的体积为
.故选：C
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考点四 L 模型
【例4】（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为
的正方形ABCD 所在平面与矩形ABEF 所在的平
面垂直，
，N 为AF 的中点，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
可知，
，
，可求
，
，
，
因为平面
平面ABEF，平面
平面
，
又
，
平面
，
所以
平面ABEF，
平面ABEF，所以
，
由
，
，得
，
又
，同理可得得
，又
，
所以
，所以
.
所以MC 为外接球直径，
在Rt△MBC 中
，即
，
故外接球表面积为
．
故选：A．
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【一隅三反】
1．（2023 春·山东枣庄）已知三棱锥底面ABC 是边长为2 的等边三角形，顶点S 与AB 边中点D 的连线SD
垂直于底面ABC，且
，则三棱锥S－ABC 外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．12π
D．60π
【答案】B
【解析】如图：
设底面正三角形
的外心为
，三角形
的外心为
，
分别过
、
作所在面的垂线相交于
，则
为三棱锥
外接球的球心，
再设底面正三角形外接圆的半径为，则
.
由已知求得
，可得
也为边长是
的正三角形，
所以
外接圆的半径为
，则
.
所以三棱锥
外接球的半径满足：
.
则三棱锥
外接球的表面积为
.
故选：B.
2．（2023 秋·四川泸州已知三棱锥
的底面
是正三角形，侧面
底面
，且
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，
，若该三棱锥的外接球的表面积为
，则AB 的值为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解析】设
的外接圆的圆心为
，连
，并延长交
与
，则
为
的中点，
设
为
的中点，因为侧面
底面
，
，平面
平面
，
平面
，
所以
底面
，又
底面
，所以
，所以
为三角形
的外接圆的圆心，
设该三棱锥的外接球的球心为
，连
，
，则
平面
，
平面
，
取
的中点
，则
，因为
底面
，所以
平面
，
所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
所以四边形
为矩形，所以
，
因为三棱锥的外接球的表面积为
，所以
，得
，
设
，则
，
，
因为
，
，
，所以
，
所以
，
由
，得
，得
，即
.
16
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故选：C.
3．（2023 春·广东广州）已知三棱锥
所在顶点都在球
的球面上，且
平面
，若
，则球
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在
中，
，由余弦定理得
，
令
外接圆圆心
，则
平面
，且
，
而
平面
，因此
，取
中点
，连接
，有
，
又
平面
，即有
，
，于是四边形
为平行四边形，
则
，球
的半径
，体积为
.
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故选：A
考点五 棱台外接球
【例5】（2023 春·黑龙江）（多选）已知四棱台
上下底面均为正方形，其中
，
，
，则下述正确的是（ ）
A．该四棱台的高为
B．该四棱台外接球的表面积为
C．
与
所在直线的夹角为
D．该四棱棱台的表面积为26
【答案】ABC
【解析】将四棱台
的侧棱延长，相交于点，形成四棱锥
，
设正方形
和
的中心分别为
，
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由于
，
，则
分别为
中点，
则
，
，则
，
则
，该四棱台的高为
，故A 正确；
由于上下底面都是正方形，则外接球的球心在
上，
在平面
上中，由于
，
，
则
，即点
到点
与点
的距离相等，则外接球半径
，
该四棱台外接球的表面积为
，故B 正确；
因为
，则
与
所在直线的夹角为
，故C 正确；
该四棱台的表面积为
，故D 错误.
故选：ABC．
【一隅三反】
1．（2023 秋·湖北）在正三棱台
中，侧棱长均为
，侧棱
与底面所成的角60°，
，则该三棱台的外接球的体积＝ .
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【答案】
【解析】设
中心为
，
中心为
，连接
，如图，
因为正三棱台
，所以
平面
，
∥
，
在四边形
中，过
作
于
，则
∥
，
，
所以
平面
，所以
为侧棱
与底面所成的角，即
，
所以
，
又正三角形
和
中，
，
所以
，即
，
，
所以
，
，
即
，
根据正三棱台对称性，可知
到各顶点距离相等，
则点
为正三棱台
外接球的球心.
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所以
，
，
故答案为：
2．（2023 春·黑龙江绥化 ）正四棱楼台的上、下底面的面积分别为
，
，若该正四棱台的体积为
，则其外接球的表面积为
．
【答案】
【解析】设正四棱台的高为cm，则
，解得
cm．
如图，取正方形
的中心为
，正方形
的中心为
，则
cm，
故该正四棱台的外接球的球心在
上，设为点
，连接
，
易知正四棱台的上、下底面边长分别为
，
，
故
cm，
cm，设
cm，则
cm，
由勾股定理得
，
，
故
，解得
，
故外接球半径为
，表面积为
．
故答案为：
3．（2023 春·广东广州）在正四棱台
中，上、下底面边长分别为
、
，该正四棱
台的外接球的球心在棱台外，且外接球的表面积为
，则该正四棱台的高为 ．
【答案】
【分析】求出外接球半径，找到球心的位置，根据外接球的球心在棱台外，求出高.
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【解析】
设正四棱台的外接球的半径为
，则
，解得
，
连接
相交于点
，连接
相交于点
，连接
，
则球心
在直线
上，连接
，
因为正四棱台的外接球的球心在棱台外，则球心
在
的延长线上，
由条件可得，
，
因为上､下底面边长分别为
，
所以
，
由勾股定理得
，
，
此时该正四棱台的高为
.
故答案为：
考点六 最值
【例6】（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥
中，
，
平面ABC，
，
，则三棱锥
外接球体积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意三棱锥
可以补成分别以
为长、宽、高的长方体，其中
为长方体
的对角线，
则三棱锥
的外接球球心即为
的中点，要使三棱锥
的外接球的体积最小，则
最小．
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设
，则
，
，
，
所以当
时，
，则有三棱锥
的外接球的球半径最小为
，
所以
．
故选：A
【一隅三反】
1．（2023 秋·广东·高三校联考阶段练习）在正三棱柱
中，
，点D 在棱BC 上运动，
若
的最小值为
，则三棱柱
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，将
与矩形
展开至同一平面，易知
.
设
，由题意知
的最小值为
，即
.
由余弦定理可得
，
即
，解得
或
（舍去）.
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取
的中心分别为M，N，连接MN，
则MN 的中点O 为三棱柱
的外接球的球心，
设
的外接圆的半径为r，则
，即
，
设三棱柱
的外接球的半径为R，
在
中，
,则
，
故三棱柱
的外接球的表面积为
.
故选：A.
2．（2023 秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球O 内接三棱锥
，
平面
，
.若
，球O 表面积为
.则三棱锥
体积最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
平面
，
面
，则
，
，
又
，
，
面
，所以
面
，
由
面
，故
，
所以
都为直角三角形，且
为它们的斜边，
所以
的中点
为棱锥外接球球心，如下图示，即球体半径
，
24
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，则
，即
，而
，
又
，
，即
，
故
，仅当
取等号，
所以
.
故选：B
25
