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第十一题 函数的极值与最值问题
高考真题
11. 已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A. B.
C. 是偶函数 D. 为 的极小值点
【思路分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项 ABC，举反例 即可排
除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数 进行判断即可.
【解析】方法一：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：
因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
知识点总结
1. 函数的极值
(1) 设函数f(x)在点x 附近有定义，如果对x 附近的所有的点，都有f(x) ≤ f(x )，那么
0 0 0
f(x )是函数f(x)的一个极大值，记作y ＝f(x )，x 为f(x)的 极大值点 ；如果对x 附近的
0 极大值 0 0 0
所有的点，都有f(x) ≥ f(x )，那么f(x )是函数f(x)的一个极小值，记作 y ＝f(x )，x 为
0 0 极小值 0 0
f(x)的 极小值点 .极小值点与极大值点统称为 极值点 ，极大值与极小值统称为极值．
(2) 当函数f(x)在x 处连续时，判别f(x )是极大(小)值的方法：
0 0
如果x<x 有f′(x) > 0，x>x 有f′(x)__<__0，那么f(x )是极大值．
0 0 0
如果x<x 有f′(x) < 0，x>x 有f′(x)__>__0，那么f(x )是极小值．
0 0 0
2. 求可导函数f(x)极值的步骤
(1) 求导数 f ′ ( x ) ；
(2) 求方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的根 ；
(3) 检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附
近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得 极大值 ；如果在根的左侧附近为负，右侧附近
为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得 极小值 .
3. 函数的最值的概念
设函数y＝f(x)在 [ a ， b ] 上连续，在 ( a ， b ) _内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中
的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值．
4. 求函数最值的步骤设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行：
(1) 求f(x)在(a，b)内的极值；
(2) 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
5. 常用结论
(1) 极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a，b]的整体而言；
(2) 在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一
个(或者没有)；
(3) 函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
(4) 对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
题型展示
求函数的极值
已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函数f(x)的极值．
【解答】 因为f(x)＝x2－1－2alnx(x>0)，所以f′(x)＝2x－＝.
①当a<0时，因为x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上
单调递增，f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x ＝，x ＝－(舍去)．
1 2
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，) (，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 极小值
所以当x＝时，f(x)取得极小值，且f()＝()2－1－2aln＝a－1－alna，无极大值．综上，当
a<0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上无极值；当 a>0 时，函数 f(x)在 x＝处取得极小值 a－1－
alna，无极大值．
根据极值求参数
(1) 已知函数f(x)＝(ax2＋x＋a)e－x(a∈R)．若a≥0，函数f(x)的极大值为，则实数a的值
为 2 .【解析】 f(x)＝(ax2＋x＋a)e－x的导数为f′(x)＝(2ax＋1)e－x－(ax2＋x＋a)e－x＝－e－x[ax2＋
(1－2a)x＋a－1]＝－e－x(x－1)·(ax＋1－a)．①当a＝0时，f′(x)＝－e－x(x－1)，令f′(x)＞0，
得x＜1；令f′(x)＜0，得x＞1，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以f(x)的极大值为f(1)＝≠，不合题意．②当a＞0时，1－＜1，令f′(x)＞0，得1－＜x＜
1；令f′(x)＜0，得x＜1－或x＞1.所以f(x)在上单调递增，在，(1，＋∞)上单调递减，所以
f(x)的极大值为f(1)＝＝，得a＝2.综上所述，a＝2.
(2) (2022·福州质检)已知函数f(x)＝a＋lnx在x＝1处取得极值，则实数a＝ － 2 .
【解析】 因为f(x)＝a＋lnx，x>0，所以f′(x)＝＋，则f′(1)＝＋1＝0，得a＝－2.当a＝
－2时，f′(x)＝＋＝，若0<x<1，则f′(x)>0，若x>1，则f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得
极值，所以实数a＝－2.
1. 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值
这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
2. 导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验．
求函数的最值
(1)已知函数f(x)＝ex＋cosx－2，f′(x)为f(x)的导数．当x≥0时，求f′(x)和f(x)的最小值．
【解答】 f′(x)＝ex－sinx，令g(x)＝ex－sinx，x≥0，则g′(x)＝ex－cosx≥1－cosx≥0，
g(x)为增函数，故g(x) ＝g(0)＝1，即f′(x)的最小值为1，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
min
f(x) ＝f(0)＝0.
min
(2)(人A选必二P104复习参考题14)用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若
制作的容器的底面的一边比另一边长 0.5m，那么当高为多少时，容器的容积最大？并求出它
的最大容积？
【解答】 设该容器底面矩形的短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，此容器的高为y＝
－x－(x＋0.5)＝3.2－2x, 于是，此容器的容积为 V(x)＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋
1.6x，其中0<x<1.6，令V′(x)＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，得x ＝1，x ＝－(舍去)．因为V(x)在
1 2
(0,1.6)内只有一个极值点，且当x∈(0,1)时，V′(x)>0，函数V(x)单调递增；当x∈(1,1.6)时，
V′(x)<0，函数V(x)单调递减．所以当x＝1时，函数V(x)有最大值V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－
2×1)＝1.8 m3，即当高为1.2m时，长方体容器的容积最大，且最大容积为1.8 m3.真题演练
一、单选题
1．函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3．函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图像如图所示，则函数 在 内极小值点
的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
4．已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x ，x （x ＜x ）（ ）
1 2 1 2
A．
B．
C．
D．
【答案】D5．函数 在闭区间 上的最大值、最小值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6．设函数 的定义域为R， 是 的极大值点，以下结论 一定正确的是
A． B． 是 的极小值点
C． 是 的极小值点 D． 是 的极小值点
【答案】D
7．设函数 满足 则 时，
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
8．设函数f（x）= +lnx ，则 （ ）
A．x= 为f(x)的极大值点 B．x= 为f(x)的极小值点
C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点
【答案】D
9．设 ，若函数 ， ，有大于零的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
10．如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A二、填空题
11．已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大值点．若 ，
则a的取值范围是 ．
【答案】
12．函数 的最小值为 .
【答案】1
13．已知函数 ，则 的最小值是 ．
【答案】
14．若函数 在 处取极值，则
【答案】3
模拟训练
一、单选题
1．已知实数 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．已知函数 在区间 上有且仅有4个极大值点，则正实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
3．若函数 在 内有且仅有一个零点，则 在 上的最大值与最小值的
和为（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】C
4．已知函数 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】C
5．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 为 的一个极值点
C．点 是曲线 的一个对称中心
D．函数 有且仅有一个零点
【答案】B
6．当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
二、多选题
7．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 有极大值 B． 有极小值C． 无最大值 D． 在 上单调递增
【答案】BCD
8．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为e B． 在区间 上单调递增
C．函数 有且只有一个零点 D．不等式 存在唯一整数解
【答案】BCD
三、填空题
9．已知 ，若 ，则 的最小值为 .
【答案】1
10．已知函数 若函数 有4个零点．则实数 的取值
范围是 ．
【答案】
11．已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为 ．
【答案】 /
12．若 在 内存在极值，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
