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第01 讲 生活中的立体图形
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 常见的几何体
题型2 立体图形的分类
题型3 几何体中的点、棱、面
题型4 动态认识点、线、面、体
题型5 平面图形旋转所得立体图形
题型6 求平面图形旋转所得立体图形体积
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
识别分类
棱柱顶点、棱、面数的关系
点、线、面、体
1.认识圆柱、圆锥、正方体、棱柱、球.
2.会用数学的语言描述圆柱、圆锥、正方体、棱柱、球的某些特
征并能对它们进行简单的分类.
3.进一步认识点、线、面、体，感受点、线、面、体之间的关系.
4.经历从现实世界中抽象出图形的过程，会从构成图形的基本元
素的角度认识常见几何体的特征.
1.重点
（1）能从简单实物的外形中抽象出几何图形，并了解立体图形与平面图形的区别.
（2）认识“点动成线，线动成面，面动成体”的事实。
2.难点
（1）会判断一个图形是立体图形还是平面图形，能准确识别简单几何体.
（2）认识“面与面相交得到线、线与线相交得到点”的事实.
.
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知识点01 立体图形的认识
1.有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这
就是立体图形．
2.立体图形分类：除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：
圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等.
3.棱柱的有关概念及其特征:
①在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的
上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形.
②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n 确定该棱柱是n 棱柱，它有2n 个顶点，3n
条棱，n 条侧棱，有n+2 个面，n 个侧面.
【易错提醒】
- 分类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体，勿将圆柱归为棱柱。
- 棱与面：棱柱的侧棱平行且相等；圆柱、圆锥的侧面是曲面，不是平面。
- 展开图：正方体展开图有11 种，带“田”“凹”字形的不能折叠成立方体。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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即时即练1 将下图中的立体图形分类．
柱体
；锥体
；球体
．
【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③
【知识点】立体图形的分类
【分析】本题主要考查立体图形的分类，解题的关键掌握立体图形的特征．据此可得答案．
【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③．
故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③．
2．如图所示是一些常见的多面体．
(1)数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中：
多面体
顶点数（V）面数（F）
棱数（E）
正四面体
4
4
6
正方体
6
正八面体
6
12
正十二面
体
20
12
正二十面
体
12
20
30
(2)观察表中数据，猜想多面体的顶点数（V）和面数（F）的和与棱数（E）之间的关系；
(3)若已知一个多面体的顶点数
196
V
，棱数
294
E
，请你用（2）中的结果求这个多面体的面数．
【答案】(1)见解析
(2)
2
V
F
E
(3)100
【知识点】有理数加减混合运算的应用、用代数式表示数、图形的规律、几何体中的点、棱、面
【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键．
（1）根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可；
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（2）根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2 进行解答；
（3）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：所填数据如表所示：
正方体
8
12
正八面体
8
正十二面体
30
（2）解：∵4
4
6
2
，8
6 12
2
，6
8 12
2
，20 12
30
2
，12
20
30
2
∴
2
V
F
E
（3）解：由
2
V
F
E
，得196
294
2
F
，
所以
294
2 196
100
F
，
所以这个多面体的面数为100．
知识点02 点、线、面、体的关系
①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点．
②点动成线，线动成面，面动成体．
③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界．
【易错提醒】
- 构成：体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点。勿颠倒层次。
- 运动：点动成线，线动成面，面动成体。注意旋转体（如直角三角形绕直角边旋转得圆锥）。
- 抽象：几何中的点、线无大小粗细，与现实不同，勿混淆。
即时即练1．画卷即为卷轴形的画，如图是一幅画卷展开的过程，这个过程体现的数学原理是
．
【答案】线动成面
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线、线动成面、面动成体是解答本题的关
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键．根据线动成面解答即可．
【详解】解：这个过程体现的数学原理是线动成面．
故答案为：线动成面．
2．已知长方形的长为2a ，宽为b ，将这个长方形分别绕它的长和宽旋转一周，可以得到两个圆柱（如
图）．
(1)圆柱①的底面直径是_____，高是_____；圆柱②的底面直径是_____，高是_____；
(2)试比较这两个圆柱的侧面积．
【答案】(1) 2b ，2a ，4a ，b
(2)这两个圆柱的侧面积相等
【知识点】几何体中的点、棱、面、平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查圆柱的计算、几何体的表面积，掌握圆柱侧面积的计算公式是解题的关键．
（1）根据图作答即可；
（2）根据圆柱的侧面积公式分别计算圆柱①和圆柱②的侧面积并比较大小即可．
【详解】（1）解：圆柱①的底面直径是2b ，高是2a ；圆柱②的底面直径是4a ，高是b．
故答案为：2b ，2a ，4a ，b．
（2）解：圆柱①的侧面积是
2
2
4
b
a
ab
；圆柱②的侧面积是
4
4
a b
ab
，
∴这两个圆柱的侧面积相等．
题型1 常见的几何体
【例1】端午节吃粽子是我国传统节日里的一大亮点．2025 年端午节前夜，小红包了一个粽子后发现它每
个面均是等边三角形，如图所示，这个粽子可以近似看作（ ）
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A．长方体
B．四棱锥
C．三棱柱
D．三棱锥
【答案】D
【知识点】常见的几何体
【分析】本题考查了几何体，熟练掌握各基本几何体的特征是解题的关键．
根据三棱锥的形态特征进行判断即可．
【详解】解：小红包了一个粽子后发现它每个面均是等边三角形，这个粽子可以近似看作三棱锥，
故选：D．
【例2】下列几何体中，是三棱柱的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】常见的几何体
【分析】本题考查常见几何体的识别，底面为三角形的柱体叫作三棱柱，由此直接判断即可得出答案．
【详解】解：A．选项中的图形为长方体，不合题意；
B．选项中的图形为圆柱，不合题意；
C．选项中的图形为三棱锥，不合题意；
D．选项中的图形为三棱柱，符合题意；
故选D．
【技巧归纳】
识特征：柱体（上下底全等）、锥体（尖顶）、球（中心对称）。
【变式1-1】下列几何体中，是圆柱的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】常见的几何体
【分析】本题考查了几何体的认识，能认识常见的几何体是解题的关键．
【详解】解：由题意得
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是圆柱体，
故选：C．
【变式1-2】以下图片展示了生活中的常见物品，这些物品的形状最接近圆柱体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】常见的几何体
【分析】本题考查了生活中常见的几何体，掌握圆柱体的定义即可．
【详解】解：Ａ：形状接近圆柱体，符合题意；
Ｂ：形状为球体，不符合题意；
Ｃ：形状为正方体，不符合题意；
Ｄ：形状接近圆锥，不符合题意；
故选：A ．
题型2 立体图形的分类
【例3】将如图几何体分类，柱体有
，锥体有
，球体有
．（填序号）
【答案】
①②③
⑤
④
【知识点】立体图形的分类
【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握各定义是解题关键．解这类题首先要明确柱体、锥体、球体
的概念，然后根据图示进行解答即可．
【详解】解：柱体包括圆柱和棱柱，所以柱体有①②③；
锥体包括圆锥和棱锥，所以锥体有⑤；
球体属于单独的一类，是有且只有一个连续曲面的立体图形，所以球体有④；
故答案为：①②③，⑤，④．
【例4】将下图中的立体图形分类．
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柱体
；锥体
；球体
．
【答案】
①②⑤⑦⑧
④⑥/⑥④
③
【知识点】立体图形的分类
【分析】本题主要考查立体图形的分类，解题的关键掌握立体图形的特征．据此可得答案．
【详解】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③．
故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③．
【技巧归纳】
1. 按形状：柱（圆柱、棱柱）、锥（圆锥、棱锥）、球、台。
2. 按面特征：曲面（圆柱、圆锥、球）与平面（多面体）。
3. 按底面：棱柱看多边形边数，棱锥看顶点与底面。
4. 识展开图：判断能否围成立体图形，常用排除法。
【变式2-1】如图是8 个立体图形．其中，是柱体的有
，是锥体的有
，有曲面的
有
．（填序号）
【答案】
①②⑤⑦⑧
④⑥
③④⑧
【知识点】立体图形的分类
【分析】本题主要考查了认识立体图形，正确区分它们的定义和组成是解题关键．分别根据柱体、锥体、
曲面的定义进行求解即可．
【详解】解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧，
故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧．
【变式2-2】将下图的立体图形分类，柱体有
，锥体有
，球有
．（填序号）
【答案】
①②③
⑤⑥/⑥⑤
④
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【知识点】立体图形的分类
【分析】本题主要了立体图形的分类，理解立体图形的分类是解答关键．
根据柱体、锥体、球体进行分类求解．
【详解】解：根据图形可知
柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有①②③；锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有球属于单独的一类，球有
④．
故答案为：①②③；①②③；④．
题型3 几何体中的点、棱、面
【例5】银川承天寺塔（如图），始建于西夏天佑垂圣元年（公元1050 年），是宁夏现存古塔中最高的一
座砖塔．它是一座八角十一层楼阁式砖塔，它可以近似地看作由十一个八棱柱构成．请问：一个八棱柱一
共有 角
条棱， 有 面， 有
个顶点．
【答案】
16
24
10
16
【知识点】几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查立体几何的知识，解题的关键是掌握八棱柱的立体图形，根据图形，进行解答，即可．
【详解】解：八棱柱是一个有8 个侧面的棱柱，每个侧面都是矩形，有两个底面，每个底面都是都是一个八
边形，每个底面有8 个顶点；每个底面有8 条棱，每个底面的顶点都于另一个底面对应的顶点相连；
∴八棱柱有16个角；有3 8
24
条棱；有10个面；有8 2
16
个顶点；
故答案为：16；24 ；10；16．
【例6】如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5 个面，9条棱，6 个顶点，
观察图形，填写下面的空．
（1）四棱柱有
个面，
条棱，
个顶点；
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（2）六棱柱有
个面，
条棱，
个顶点；
（3）由此猜想n 棱柱有
个面，
条棱，
个顶点．
【答案】
6
12
8
8
18
12
2
n
/
2
n
3n
2n
【知识点】几何体中的点、棱、面
【详解】此题考查了认识立体图形，熟记常见棱柱的特征是解题的关键；
（1）结合已知四棱柱特征，即可求解；
（2）结合六棱柱的特征，即可求解；
（3）可知n 棱柱一定有(
2)
n
个面，3n条棱和2n 个顶点；
【解答】解：（1）四棱柱有6 个面，12条棱，8 个顶点；
（2）六棱柱有8 个面，18条棱，12个顶点；
（3）由此猜想n 棱柱有(
2)
n
个面，3n条棱，2n 个顶点．
故答案为：（1）6 ，12，8 ；（2）8 ，18，12；（3）(
2)
n
，3n，2n ．
【技巧归纳】
1. 欧拉公式：V - E + F = 2（顶点数－棱数＋面数），已知两个量可求第三个。
2. 分类计数：按不同类型（侧面、底面）分别计算棱数、面数。
3. 多面体展开：想象折合过程，判断顶点重合、棱对应关系，避免重复计数。
【变式3-1】已知一个直棱柱，它有21 条棱，其中一条侧棱长为10cm ，底面各边长都为5cm ．
(1)这个直棱柱是几棱柱？
(2)它有多少个面？多少个顶点？
(3)求这个棱柱的所有侧面的面积之和．
【答案】(1)七棱柱
(2)有9 个面，14 个顶点
(3)
2
350cm
【知识点】几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握n 棱柱有2n 个顶点，有
2
n
个面，有3n条棱．
（1）由n 棱柱有3n 条棱求解可得；
（2）由n 棱柱有2n 个顶点，有
2
n
个面求解可得；
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（3）将侧面长方形的底面周长乘以长方形的宽可得答案．
【详解】（1）解：因为21 3
7
，所以这个直棱柱是七棱柱．
（2）解：因为这个直棱柱是七棱柱，所以它有9 个面，14 个顶点．
（3）解：所有侧面的面积之和为
2
5 10 7
3
cm
50
．
答：这个棱柱的所有侧面的面积之和是
2
350cm ．
【变式3-2】欧拉为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的
贡献，他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V 、棱数E 、面数F 之间存在一定的数量关系，给出了
著名的欧拉公式．
(1)观察下列多面体，并把下表补充完整：
名称
三棱锥
三棱柱
五棱柱
正八面体
图形
顶点数
V
4
6
棱数E
6
面数
F
4
(2)分析表中的数据，请写出V 、E 、F 之间的等量关系：___________；
(3)某个饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和五边形两种多边形拼接而成的，且有36 个顶点，
每个顶点处都有3 条棱，请问该多面体表面三角形与五边形的个数之和是多少？
【答案】(1)见解析
(2)
2
V
F
E
(3)该多面体表面三角形与五边形的个数之和是20．
【知识点】几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查了探索规律，几何体中的点、棱、面，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察图形，直接写出答案即可；
（2）分析表格中的数据，发现
2
V
F
E
；
（3）根据有36 个顶点，每个顶点处都有3 条棱，得到总棱数，根据
2
V
F
E
即可求解．
【详解】（1）解：依题意，
名称
三棱锥
三棱柱
五棱柱
正八面体
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图形
顶点数
V
4
6
10
6
棱数E
6
9
15
12
面数
F
4
5
7
8
（2）解：分析表中的数据，能发现V 、E 、F 之间的关系为：
2
V
F
E
，
故答案为：
2
V
F
E
；
（3）解：依题意，设该多面体表面三角形的个数为x 个，五边形的个数为y 个，
有36 个顶点，每个顶点处都有3 条棱，
共有36 3
2
54
（条) ，
36
54
2
F
，解得
20
F
．
20
x
y
．
∴该多面体表面三角形与五边形的个数之和是20．
题型4 动态认识点、线、面、体
【例7】下面现象中，能说明“线动成面”的是（ ）
A．天空划过一道流星
B．时钟的钟摆摆动留下的痕迹
C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线
D．一枚硬币在桌面上旋转的轨迹
【答案】B
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握点、线、面、体四者之间的关系是解题的关键．根据点、
线、面、体四者之间的关系，对选项逐个分析判断即可．
【详解】解：A、天空划过一道流星，能说明“点动成线”，不符合题意；
B、时钟的钟摆摆动留下的痕迹，能说明“线动成面”，符合题意；
C、抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线，能说明“点动成线”，不符合题意；
D、一枚硬币在桌面上旋转的轨迹，能说明“面动成体”，不符合题意；
故选：B．
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【例8】朱自清的《春》一文里，在描写春雨时有“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里用数学的
眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明（ ）
A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．以上三个均有
【答案】A
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】此题考查了点、线、面、体，解题关键在于掌握从运动的观点来看：点动成线，线动成面，面动
成体．根据点动成线直接判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，这里用数学的眼光来看其实是把雨滴看成了点，把雨看成线，说明点动成线，
故选：A
【技巧归纳】
1. 运动生形：点动成线（轨迹）、线动成面（平移或旋转）、面动成体（旋转或平移）。
2. 找旋转轴：平面图形绕轴旋转一周，轴所在位置决定几何体形状（如矩形绕边得圆柱）。
3. 分情况：不同运动方向产生不同图形，画草图辅助想象。
【变式4-1】在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把
雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是（ ）
A．线动成面
B．点动成线
C．面动成体
D．点动成线、线动成面、面动成体
【答案】B
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键．根
据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答．
【详解】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把
雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是：点动成线，
故选：B．
【变式4-2】在中国传统文化中，折叠灯笼是一种既美观又富有创意的手工艺品．当它折叠起来时看起来是
平面的，当被提起来后又变成了如图所示的圆柱形的灯笼，这种现象说明的数学道理是（ ）
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A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．面与面相交的地方是线
【答案】C
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】本题考查了点、线、面、体的相关知识．熟练掌握由平面图形变成立体图形的过程是面动成体是
解题的关键．
根据由平面图形变成立体图形的过程是面动成体判断作答即可．
【详解】解：由题意知，这种现象说明的数学道理是面动成体，
故选：C．
题型5 平面图形旋转所得立体图形
【例9】下面图形中，以直线为轴旋转，可以得到圆锥体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了圆锥的认识及特点，灵活掌握圆锥的特点，是解答此题的关键．
根据一个直角三角形以一条直角边为轴，旋转一周，得到的图形是圆锥，据此解答即可．
【详解】解：一个直角三角形以一条直角边为轴，旋转一周，得到的图形是圆锥．
故选：C ．
【例10】陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给
定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷花瓶最为类似的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题主要考查了面动成体，解题关键在于能够通过几何直观得出选项．通过丰富的空间想象力类
比选项中各花瓶的外表即可得出答案．
【详解】解：将所给图形绕直线旋转一周后的几何体与D 选项的花瓶外表最为相似，
故选：D．
【技巧归纳】
1. 识旋转轴：图形绕轴旋转，轴为边界或对称轴时，得圆柱、圆锥、圆台或球。
2. 分部分旋转：将图形拆为简单图形（矩形、三角形、半圆）分别旋转再组合。
3. 找对应半径：旋转半径即点到轴距离，影响底面圆大小。
4. 画截面：过轴作截面辅助判断形状。
【变式5-1】将如图所示的平面图形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，根据如图所示的平面图形绕直线l 旋转一周得出两个
圆锥的组合体，即可作答．
【详解】
解：依题意，
绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是：
，
故选：C．
【变式5-2】如图，第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的哪个几何体？ 用线连起来．
【答案】见解析
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体：梯形绕底边旋转得中间圆柱、上下圆锥，半圆绕直
径旋转得球，矩形绕边旋转得圆柱，直角三角形绕直角边旋转得圆锥，可得答案．
【详解】解：第一行的图形绕虚线转一周，能形成第二行的某个几何体，用线连起来为：
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．
题型6 求平面图形旋转所得立体图形体积
【例11】如图，将长方形绕其长边所在直线旋转一周，得到一个立体图形．
(1)这个立体图形是______．
(2)求这个立体图形的侧面积．（结果保留π ）
【答案】(1)圆柱
(2)这个图形的侧面积是16π ．
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题主要考查了面动成体，解答此题的关键是找出旋转所得到的图形与原图形之间的数据关系．
（1）根据面动成体可知将正方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱；
（2）根据圆柱的高和底面周长，进行计算即可．
【详解】（1）解：将长方形围绕它的一条边为轴旋转一周，得到的是圆柱，
故答案为：圆柱；
（2）解：这个立体图形的侧面积为π
2 2 4
16π
；
答：这个图形的侧面积是16π ．
【例12】如图，某酒店大堂的旋转门内部由四块宽2m、高3m 的长方形玻璃隔板组成．
(1)每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是 ，这体现了 动成体；
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(2)求每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积（结果保留π）．
【答案】(1)圆柱；面；
(2)
3
12
m
．
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系、平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了点、线、面、体，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据圆柱的特征，以及点、线、面、体的关系，即可解答；
（2）利用圆柱的体积公式进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：每扇旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这体现了面动成体，
故答案为：圆柱；面；
（2）解：由题意得：
2
3
2
3
12
m
，
∴每扇旋转门旋转一周形成的几何体的体积
3
12 m
．
【技巧归纳】
1. 拆解法：将平面图形分割为矩形、三角形、半圆等，分别绕轴旋转后体积相加。
2. 公式法：圆柱V=πr2 h，圆锥 V=
1
3πr2 h，球 V=
4
3 πr2 hR3。
3. 找对应量：确定旋转半径r 与高h（旋转轴方向长度），代入公式。
【变式6-1】小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．我们
旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等．
(1)小红得到的立体图形可以看成是由_______和_______构成的，这个现象用数学知识解释为_______
(2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由．
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【答案】(1)圆锥；圆柱；面动成体
(2)小红的说法正确，理由见解析
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，面动成体：
（1）由题意得，小红得到的立体图形可以看成是由圆锥和圆柱构成的，这个现象用数学知识解释为面动成
体；
（2）根据圆柱和圆锥的体积计算公式分别计算出甲、乙两个立体图形的体积即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，小红得到的立体图形可以看成是由圆锥和圆柱构成的，这个现象用数学知识
解释为面动成体，
故答案为：圆锥；圆柱；面动成体；
（2）解：小红的说法正确，理由如下：
甲的体积为
3
1
3 3
6
3 3
6
3
45 cm
3
，
乙的体积为
3
1
3 3
3
3 3
6
3
36 cm
3
，
∴甲、乙两个立体图形的体积不相等，
∴小红的说法正确．
【变式6-2】当同一个平面图形绕不同的轴旋转时，得到的立体图形一般不同．
(1)如图1 是一张长方形纸片，AB 长为8cm ，BC 长为12cm ．若将这个长方形纸片绕它的对边中点所在直
线旋转一周，求形成的几何体的表面积．（结果保留π）
(2)已知一个直角三角形，它的各边长如图2 所示．当三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一
个几何体，你能求出这个几何体的体积吗？（结果保留π）
【答案】(1)
2
168 cm
或
2
128 cm
(2)
3
32 cm
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查点、线、面、体以及几何体的表面积，理解“面动成体”是正确解答的前提，掌握圆柱体、
圆锥体体积的计算方法是正确解答的关键．
（1）分绕AD 和BC 两边中点所在直线旋转一周和绕AB 和CD 两边中点所在直线旋转一周两种情况解答即
可；
（2）根据“面动成体”得出所得到的几何体的特征，再根据圆柱体、圆锥体积的计算方法进行计算即可．
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【详解】（1）解：当绕AD 和BC 两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：
2
2
12
2
π
12π 8
168π cm
2
；
当绕AB 和CD 两边中点所在直线旋转一周时，形成的几何体的表面积为：
2
2
8
2 π
8π 12
128π cm
2
；
故形成的几何体的表面积为
2
168πcm 或
2
128πcm ；
（2）解：三角形绕着图中所示的虚线旋转一周时，得到的是一个圆柱挖去一个圆锥后剩余的几何体，其中
圆柱和圆锥的底面半径均为4cm ，高均为3cm ，
得到的几何体的体积
2
2
3
1
π
4
3
π
4
3
32π cm
3
V
．
1．下列物体的形状可以抽象地看成圆柱的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：选项A 的物体形状上下粗细不一样，不能抽象为圆柱；
选项B 的物体形状可以抽象为球体；
选项C 的物体形状可以抽象为圆锥；
选项D 的物体形状可以抽象为圆柱．
2．“赣水欢腾 马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这
种现象可以用数学原理解释为（ ）
A．点动成线
B．线动成面
C．面动成体
D．两点定线
【答案】A
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【详解】解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线．
3．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据面动成体的原理，分析各选项中的平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形，与题干给出的
立体图形进行对比即可得出答案；
【详解】解：观察题干图形可知，该立体图形是一个圆柱和圆锥相叠，
A：旋转后得不到圆柱圆锥的组合，不符合；
B：图形上半部分是一边在轴上的矩形，旋转后得到圆柱；下半部分是直角边在轴上的直角三角形，旋转后
得到同底的圆锥，正好得到题目中的立体，符合要求；
C：完整矩形旋转后只得到一个圆柱，不符合；
D：旋转后得到两个同底的圆锥，不符合．
4．如图，小明在一个有盖可密封的正方体盒子里装了一定量的水，他不断改变正方体盒子的放置方式（假
设盒子可以采用任何方式放置），盒子里的水便形成不同的几何体，则下列选项中可能是盒子里的水形成
的几何体是：（ ）
①长方体；②正方体；③圆柱体；④三棱锥；⑤三棱柱
A．①②④
B．②③④
C．①③④
D．①④⑤
【答案】D
【分析】根据几何体的特点判断解答即可．
【详解】解：①长方体：将正方体盒子水平放置，装部分水时，水形成的几何体就是长方体，可能．
②正方体：要让水成为正方体，需要把正方体盒子完全装满水才能得到，题目说明是“一定量的水”，且未
装满，因此不可能．
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③圆柱体：水静止时水面是平面，正方体盒子的所有面都是平面，因此水形成的几何体所有面都是平面，
而圆柱体有曲面，不可能．
④三棱锥：将正方体一个顶点朝下放置，让水面刚好过该顶点相邻三条棱的各一点，水就形成三棱锥，可
能．
⑤三棱柱：将正方体侧放，让水面经过正方体一组相对的平行棱，水就能形成三棱柱，可能．
综上，可能的是①④⑤，答案选D．
5．如图，一个密封的瓶子里装着一些水，已知瓶子的底面积为
2
10cm ，请你根据图中标明的数据，则瓶子
的容积是（ ）
3
cm
A．50
B．60
C．70
D．80
【答案】B
【分析】由左图求得水的体积，由右图求得空白部分的体积，即可解答．
【详解】解：由左图知，水体积为
3
4 10
40 cm
，
由右图知，空白部分的体积为
3
7
5
10
20 cm
，
∴瓶子的容积是
3
40
20
60 cm
．
6．下面图形中是圆柱的是_________．圆柱的底面都是_________，并且大小一样．
【答案】
②⑤
圆
【分析】本题考查了圆柱的认识和特征，关键是根据特征进行识别；
根据圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样；圆柱上下粗细一样解答即可．
【详解】
解：
、
、
上下粗细不一样，不是圆柱；
、
符合圆柱的特征，是圆柱；
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两个底面不一样，不是圆柱．
所以上面图形中是圆柱的是②⑤；圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样．
故答案为：②⑤；圆
7．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来被誉为“制扇王国”．打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，
这种现象可以用数学原理___________ 解释．（填“点动成线”“线动成面”或“面动成体”）
【答案】线动成面
【分析】本题考查点、线、面、体的关系，掌握好相关知识是关键．
根据扇骨移动形成扇面的现象，结合数学原理进行分析．
【详解】解：扇骨可以看作一条线，当扇骨移动时，其运动轨迹形成一个扇面，即一个平面图形，这符合“线
动成面”的数学原理．
故答案为：线动成面．
8．正方体有_____个面，_____个顶点，经过每个顶点有______条棱．
【答案】
6
8
3
【详解】解：根据正方体的结构特征可得：正方体有6 个面，8 个顶点，经过每个顶点有3 条棱．
9．如图，直角三角形ABC 三边AB 、BC 、AC 分别长4cm 、3cm 、5cm ，将该三角形以直角边AB 所在直
线为轴旋转一周，所得到立体图形的体积为______
3
cm （结果保留一位小数）．
【答案】37.7
【分析】本题主要考查了圆锥的体积计算，熟练掌握圆锥的体积公式及旋转后圆锥的底面半径、高与直角
三角形边长的对应关系是解题的关键．判断旋转后得到的立体图形是圆锥，确定圆锥的底面半径和高，再
代入圆锥体积公式计算．
【详解】解：以直角边AB 为轴旋转一周，得到的是圆锥，
圆锥的底面半径
3cm
r
BC
，高
4cm
h
AB
，
∴圆锥的体积为
2
1
3
V
r h
2
1
3
4
3
1
9 4
3
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12
3
37.7 cm
，
故答案为：37.7 ．
10．如图是一张长方形纸片，长方形的长为8cm ，宽为4cm ，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转
一周，形成的几何体是______，该几何体的体积是______(结果保留)
【答案】
圆柱
3
256 cm
或
3
128 cm
【分析】本题考查了点、线、面、体，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体
是圆柱；据此即可求解，再根据题意可得，圆柱的底面半径为8cm ，高为4cm 或底面半径为4cm ，高为
8cm ，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答，熟练掌握圆知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是圆柱；
将此长方形纸片绕它的长所在直线旋转一周形成的几何体是圆柱的底面半径为8cm ，高为4cm ，体积为
2
3
8
4
256
cm
；
将此长方形纸片绕它的宽所在直线旋转一周形成的几何体是圆柱的底面半径为4cm ，高为8cm ，体积为
2
3
4
8
128
cm
；
故答案为：圆柱；
3
256 cm
或
3
128 cm
．
11．想一想，连一连．
【答案】见详解
【分析】本题考查了圆柱的认识及特征、圆锥的认识及特征，了解点、线、面、体的关系是解题的关键．圆
柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体．以直角三角
形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360 度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．据此分析各平
面图形的特点，确定旋转可以形成的立体图形．根据点动成线，线动成面，面动成体的特征即可求
解．
【详解】
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解：
，上下两个直角三角形，都是1 个顶点朝上，上边三角形大，下边三角形小，旋转1 周形成的是摞
起来的两个圆锥，且上面圆锥大，下面圆锥小；
，上下两个直角边拼起来的直角三角形，旋转1 周形成的是两个底面拼起来的圆锥；
，长方形上边1 个直角三角形，旋转1 周形成的是类似谷仓的立体图形，下面是圆柱，上面是圆锥；
，长方形上边1 个半圆，旋转1 周形成的是下面是圆柱，上面是球．
连线如下：
12．将下图中的立体图形分类．（填序号）
柱体___________；锥体___________；球体___________．
【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③
【分析】本题主要考查了几何体的分类，柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两
个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1 个顶点，一个底面，只有1 条高； 篮球、足球都是球，球是由
一个面所围成的几何体，据此可得答案．
【详解】解：①是正方体，属于柱体；
②是长方体，属于柱体；
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③是球，属于球体；
④是圆锥，属于锥体；
⑤是六棱柱，属于柱体；
⑥是五棱锥，属于锥体；
⑦是三棱柱，属于柱体；
⑧是圆柱，属于柱体；
故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③．
13．在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是3cm 、侧棱长是6cm的五棱柱几何
体模型．
(1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点．
(2)这个棱柱的侧面积是多少？
(3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有26 个面，则这个棱柱为 棱柱．
【答案】(1)15，10
(2)
2
90cm
(3)二十四
【分析】（1）根据五棱柱的结构特征解答即可；
（2 ）求出一个侧面的面积，再乘以5 即可求解；
（3）根据已知棱柱找出规律，再解答即可求解；
本题考查了几何体，正确识图是解题的关键．
【详解】（1）解：这个五棱柱共有15条棱，10个顶点，
故答案为：15，10；
（2）解：
2
3 6 5
90cm
，
答：这个棱柱的侧面积之和是
2
90cm ；
（3）解：三棱柱有3
2
5
个面，
四棱柱有4
2
6
个面，
五棱柱有5
2
7
个面，
六棱柱有6
2
8
个面，
L ，
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∴n 棱柱有
2
n
个面，
当
2
26
n
时，解得
24
n
，
∴这个棱柱为二十四棱柱，
故答案为：二十四．
14．观察下列图形，解决相关问题：
(1)把左侧的平面图形绕直线MN 旋转一周，得到的几何体是右图中的________（填“ A ”或“ B ”）；
(2)根据图中的数据，计算（1）中所得几何体的体积．（结果保留π ）
（已知：
2
π
V
r h
圆柱
，
2
1
3 π
圆锥
V
r h
，其中h 为对应几何体的高，r 为圆柱底面圆的半径，
1
3
V
Sh
棱锥
，S 为
棱锥底面的面积，h 为棱锥的高）
【答案】(1) A
(2)31.25π
【分析】（1）旋转得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆柱的图形．
（2）由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为2.5cm，圆柱高为4cm ，圆锥高为
7
4
3 cm
，
代入到圆柱和圆锥的体积公式中即可求解．
【详解】（1）解：将左侧的平面图形绕直线MN 旋转一周得到的几何体是上半部分为圆锥，下半部分为圆
柱的图形，
故答案为：A ．
（2）解：由题意得，得到的圆柱底面圆半径和圆锥底面圆半径均为2.5cm，圆柱高为4cm ，圆锥高为
7
4
3 cm
，
∴圆锥的体积为
2
3
1 π
2.5
3
6.25π
3
V
cm
圆锥
，圆柱的体积为
2
3
π
2.5
4
25π
V
cm
圆柱
，
∴这个几何体的体积为
3
25π
6.25π
31.25π
V
V
cm
圆锥
圆柱
．
15．综合与实践
新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是
常见的一些多面体：
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操作探究：
（1）通过数上面图形中每个多面体的顶点数
V 、面数
F 和棱数
E ，填写下表中空缺的部分：
多面体
顶点数
V
面数
F
棱数
E
四面体
4
4
六面体
8
6
八面体
8
12
十二面体
12
30
通过填表发现：顶点数
V 、面数
F 和棱数
E 之间的数量关系用式子表示为______，这就是伟大的数学
家欧拉（.L Euler ，1707 1783
）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；
探究应用：
（2）已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是______棱柱；
（3）已知一个多面体有16 个顶点，并且过每个顶点都有3 条棱，求这个多面体的面数．
多面体
顶点数
V
面数
F
棱数
E
四面体
4
4
6
六面体
8
6
12
八面体
6
8
12
十二面体
20
12
30
【答案】（1）填表见解析，
2
V
F
E
；（2）五；（3）10
【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，掌握图形中各量之间的关系是解题的关
键．
（1）填表，通过观察，发现棱数顶点数面数2
；
（2）根据棱柱的定义进行解答即可；
（3）由（1）得出的规律进行解答即可．
【详解】解：（1）填表如下：
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多面体
顶点数
V
面数
F
棱数
E
四面体
4
4
6
六面体
8
6
12
八面体
6
8
12
十二面体
20
12
30
顶点数
V 、面数
F 和棱数
E 之间的数量关系是
2
V
F
E
，
故答案为：
2
V
F
E
；
（2）∵一个棱柱只有七个面，必有2 个底面，
∴有7
2
5
个侧面，
∴这个棱柱是五棱柱，
故答案为：五；
（3）由题意得：棱的总条数为16 3
24
2
（条），
由
2
V
F
E
可得16
24
2
F
，
解得：
10
F
，
故该多面体的面数为10．
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或
未
通
过
：
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