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专题10.5 古典概型、概率的基本性质（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 古典概型】..................................................................................................................................................3
【题型2 有放回与无放回问题的概率】..................................................................................................................3
【题型3 根据古典概型的概率求参数】..................................................................................................................4
【题型4 几何概型】..................................................................................................................................................5
【题型5 概率基本性质的应用】..............................................................................................................................6
【题型6 古典概型与统计综合】..............................................................................................................................6
【题型7 古典概型与数列的交汇问题】..................................................................................................................8
【题型8 古典概型与其他知识的交汇问题】.......................................................................................................10
1、古典概型、概率的基本性质
考点要求
真题统计
考情分析
(1)掌握古典概型及其计算公
式，能计算古典概型中简单
随机事件的概率
(2)了解概率的基本性质，能
计算简单随机事件的概率
2023 年全国乙卷（文数）：
第9 题，5 分
2023 年全国甲卷（文数）：
第4 题，5 分
2024 年新高考I 卷：第14
题，5 分
2024 年全国甲卷（文数）：
第4 题，5 分
2024 年全国甲卷（理数）：
第16 题，5 分
2025 年上海卷：第17 题
（2），4 分
古典概型、概率的基本性质是概率
的基础内容，从近几年的高考情况来
看，本节是高考的热点内容，主要考查
古典概型及其计算、概率的基本性质
等，主要以选择题或填空题的形式考
查，难度不大；在解答题中出现时，往
往古典概型会与统计等知识结合考查，
作为解答题中的一小问考查，难度中
等，复习时需要加强这方面的练习，学
会灵活求解.
知识点
1 古典概型及其解题策略
1．古典概型
(1)事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A 的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(3)古典概型的判断标准
1
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一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所
有的试验都是古典概型.
下列三类试验都不是古典概型：
①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能；
②样本点(基本事件)个数无限，但等可能；
③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能.
2．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E 是古典概型，样本空间A 包含n 个样本点，事件A 包含其中的k 个样本点，则定义事件
A 的概率P(A)=
，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A 和样本空间Ω 包含的样本点个数.
3．求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举
法
：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题.
(2)树
状图法
：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同，有
时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同.
(3)排列组合法：再求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识进行求解.
4．古典概型与统计结合
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题，无论是直接描述还
是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.复杂事件的概率可
将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.
知识点
2 概率的基本性质
1．概率的基本性质
性质1
对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2
必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)= 1，P(∅)=0.
性质3
如果事件A 与事件B 互斥，那么P(A∪B)=P(A)＋P(B). 推广：如果事件A1，
A2，…，Am．两两互斥，那么事件
发生的概率等于这m 个事件
分别发生的概率之和，即P(
)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
性质4
如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).
性质5
如果
，那么P(A)≤P(B).
性质6
设A，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
2．复杂事件概率的求解策略
(1)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是
这些简单事件的概率的和.
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其对立事件，通过求其对立事件
的概率，然后转化为所求问题.
【方法技巧与总结】
1 ．概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 中，易忽视只有当A∩B=∅，即A,B 互斥时，
P(A∪B)=P(A)+P(B)，此时P(A∩B)=0.
2
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【题型1 古典概型】
【例1】（2025·河南新乡·模拟预测）某校高三年级编制的数学模拟卷，其多项选择题中的四个选项A、
B、C、D 中至少有两个选项正确，规定：只要选择了错误项一律得0 分，部分选对的得2 分，若某题的正
确答案是A，C，D，某考生随机选了两个选项，则其得分的概率为（ ）
A．3
4
B．3
10
C．1
6
D．1
2
【变式1-1】（2025·山东临沂·三模）苏轼，字子瞻，号铁冠道人、东坡居士.北宋文学家，书法家、画家，
历史治水名人.与父苏洵、弟苏辙三人并称“三苏”.为了纪念苏轼在文学方面的伟大成就，某中学开展
“苏轼文化竞赛”活动，最终参加决赛共有7位同学，参加决赛的同学都有奖，决赛设置一、二、三等奖.
若要求获得一等奖的人数不少于1人，获得二等奖的人数不少于2人，获得三等奖的人数不少于3人，则恰
有2人获得二等奖的概率为（ ）
A．6
13
B．3
13
C．4
13
D．9
13
【变式1-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）某校派高一、高二、高三每个年级各2 名学生参加某项技能大
赛，比赛要求每2 名学生组成一个小组，则在这6 名学生组成的小组中，只有一个小组的2 名学生来自同
一年级的概率为（ ）
A．2
15
B．1
3
C．2
5
D．4
5
【变式1-3】（2025·江西·模拟预测）老师从7 篇不同的诗歌中随机抽3 篇让同学背诵，规定至少能背出其
中2 篇才算及格，甲同学只能背诵其中的3 篇，则他能及格的概率为（ ）
A．13
35
B．12
35
C．13
70
D．6
35
【题型2 有放回与无放回问题的概率】
【例2】（2025·四川成都·二模）袋中有5 个除颜色外完全相同的小球，其中3 个红球，2 个白球.从袋中不
放回地依次随机取出2 个球，则这2 个球颜色相同的概率为（ ）
A．13
25
B．12
25
C．3
5
D．2
5
【变式2-1】（2025·山东潍坊·模拟预测）从分别标有数字1，2，3，4 的4 张卡片中有放回地随机抽取3
次，每次取一张，则抽到的3 张卡片上的数字之和大于9 的概率为（ ）
A．3
32
B．7
64
C．5
32
D．3
16
【变式2-2】（2025·四川宜宾·一模）从标有1，2，3，4，5，6 的六张卡片中无放回随机抽取两张，则抽
3
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到的两张卡片数字之积是3 的倍数的概率为（ ）
A．3
10
B．1
3
C．3
5
D．2
3
【变式2-3】（2025·河南·模拟预测）袋子中装有5 个形状和大小相同的球，其中3 个标有字母a,2个标有
字母b.甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标有
字母a的球的概率分别为p1, p2，则（ ）
A．p1= p2
B．2 p1=3 p2
C．p1=3 p2
D．2 p1= p2
【题型3 根据古典概型的概率求参数】
【例3】（24-25 高一下·山西·期末）一个口袋中装有20 个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前
提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1 个球，记下球的颜色后再
把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900 次，共摸出红球400 次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个
数为（ ）
A．25
B．30
C．35
D．40
【变式3-1】（2025·上海徐汇·一模）一个不透明的盒子中装有若干个红球和5 个黑球，这些球除颜色外均
相同.每次将球充分搅匀后，任意摸出1 个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸
到黑球的频率稳定在0.1 左右，则据此估计盒子中红球的个数约为（ ）
A．40 个
B．45 个
C．50 个
D．55 个
【变式3-2】（24-25 高二上·广东佛山·期末）一个袋子中装有形状大小完全相同的6 个红球，n个绿球，现
采用不放回的方式从中依次随机取出2 个球.若取出的2 个球都是红球的概率为1
3
，则n的值为（ ）
A．4
B．5
C．12
D．15
【变式3-3】（24-25 高一下·江苏南京·期末）一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出
来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的
颜色后再把球放回口袋中摇匀．不断重复上述过程200次，共摸出红球80次，根据上述数值，估计口袋中
大约有黄球（ ）个．
A．10
B．15
C．25
D．40
【题型4 几何概型】
【例4】（2025·陕西榆林·模拟预测）七巧板被誉为“东方魔板”，是我国古代劳动人民的伟大发明之一，
由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图是一个用七巧板拼成的正方
4
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形，若向此正方形内丢一粒小种子，则种子落入黑色平行四边形区域的概率为（ ）
A．1
8
B．3
8
C．5
16
D．3
32
【变式4-1】（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，圆O是正三角形ABC的内切圆，则在△ABC内任取一
点，该点取自阴影部分的概率为（ ）
A．√3π
9
−1
4
B．√3π
6
−1
4
C．√3π
9
−1
2
D．1−√3π
9
【变式4-2】（2025·陕西安康·模拟预测）将长度为1 的线段随机剪成两段，则两段长度都不小于1
3
的概率
是（ ）
A．1
6
B．1
4
C．1
3
D．1
2
【变式4-3】（2025·四川南充·三模）如图，圆O 内接一个圆心角为60°的扇形ABC，在圆O 内任取一点，
则该点落在扇形ABC 内的概率为（ ）
A．1
4
B．√3
4
C．1
2
D．√3
2
5
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【题型5 概率基本性质的应用】
【例5】（24-25 高二下·上海·期中）已知事件A与事件B相互独立，且P( A)=0.3, P(B)=0.4，则
P( A ∪B)=（ ）
A．0.1
B．0.12
C．0.58
D．0.7
【变式5-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）随机事件A 发生的概率为4
5
，随机事件B 发生的概率为2
3
，则事
件A，B 同时发生的概率的取值范围是（ ）
A．[
8
15 , 2
3]
B．[
7
15 , 4
5]
C．[
7
15 , 2
3]
D．[
2
3 , 4
5]
【变式5-2】（24-25 高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B 满足P( A)= 1
3
，P(B)= 3
4
，
P( A ∪B)= 5
6
，则P( A ∩B)=（ ）
A．1
16
B．1
8
C．3
16
D．1
4
【变式5-3】（24-25 高三上·上海·开学考试）事件A 与B 独立，A、B分别是A、B 的对立事件，则下列命
题中成立的是（ ）
A．P( A ∪B)= P( A )P(B)
B．P( A ∪B)= P( A )+ P(B)
C．P( A B)= P( A )P(B)
D．P( A ∪B)= P( A )+1−P(B)
【题型6 古典概型与统计综合】
【例6】（24-25 高一下·北京·期中）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取
了200 名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组
区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[ 40,45)，[ 40,45]）.
(1)求选取的市民年龄在[ 40,45]内的人数；
(2)利用频率分布直方图，估计200 名市民的年龄的平均数和第80 百分位数；
6
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(3)若从第3，4 组用分层抽样的方法选取5 名市民进行座谈，再从中选取2 人在座谈会中作重点发言，求作
重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.
【变式6-1】（2025·北京东城·二模）已知近10 年北京市12 月和1 月历史气温分别如下图所示.
(1)从2016 年至2024 年这9 年中随机抽取一年，求该年12 月平均高温和平均低温都低于前一年的概率；
(2)将当年12 月和次年1 月作为当年的冬季周期，记当年12 月平均高温与平均低温的差值为a（单位：摄
氏度），次年1 月平均高温与平均低温的差值为b（单位：摄氏度）.从2015 年至2024 年这10 个冬季周期
中随机抽取3 个，求至少有2 个冬季周期中a=b的概率；
(3)依据图2 中信息，能否预测北京市2026 年1 月平均高温低于4 摄氏度?请说明理由.
【变式6-2】（2025·上海杨浦·一模）为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间
进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一高二和高三年级中共抽取了
､
100 名学生的日均睡眠时间作为
样本，其中高一35 人，高二33 人.已知该校高三年级一共512 人.
(1)学校高中三个年级一共有多少个学生？
(2)若抽取100 名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中x<10,n是正整数）
日均睡眠时间（小
时）
x
8.5
9
9.5
10
学生数量
n
32
13
11
4
7
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求该样本的第40 百分位数.
(3)从这100 名学生的样本中随机抽取三个学生的日均睡眠时间，求其中至少有1 个数据来自高三学生的概
率.
【变式6-3】（2025·上海·一模）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这
两种芯片中各抽取100 件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)求频率分布直方图中x 的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）；
(2)已知甲型芯片指标在[80,100)为航天级芯片，乙型芯片指标在[60,70)为航天为航天级芯片．现分别采用
分层抽样的方式，从甲型芯片指标在[70,90)内取2 件，乙型芯片指标在[50,70)内取4 件，再从这6 件中任
取2 件，求至少有一件为航天级芯片的概率．
【题型7 古典概型与数列的交汇问题】
【例7】（2025·江西·一模）从1，2，……，10 中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列
是等差数列的概率为（ ）
8
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A．1
3
B．1
12
C．1
4
D．1
6
【变式7-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）从−2，−1，1，2，3，4，5，6 这8 个数中随机选取3 个不同
的数，则这3 个数可以构成等差或等比数列的概率是（ ）
A．9
56
B．5
28
C．11
56
D．3
14
【变式7-2】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）对n∈N，通过抛掷一枚均匀硬币n次后生成有序数对(an,bn)
，具体生成规则如下：①规定(a0,b0)=(0,0)；②当第n(n≥1)次抛掷硬币时：如果出现硬币正面朝上，若
an−1<bn−1
，则(an,bn)=(an−1−1,bn−1−1)，否则(an,bn)=(an−1−1,bn−1)；如果出现硬币反面朝上，若
bn−1<an−1
，则(an,bn)=(an−1−1,bn−1−1)，否则(an,bn)=(an−1,bn−1−1)．抛掷n次硬币后，记an=bn
的
概率为Pn．
(1)写出(a2,b2)的所有可能结果，并求P1
，P2
；
(2)证明：数列{Pn−1
3}(n≥1,n∈N )是等比数列，并求Pn；
(3)设Fn=e
Pn+e
−Pn，求Fn
的最大值．
【变式7-3】（2025·山东泰安·二模）抛掷一枚质地均匀的骰子n次，n∈N
∗，记ai为第i次抛掷得到的点
数，i=1,2,⋯,n．
(1)求a1+a2=7的概率；
(2)若前m次点数之和为7 的概率为Pm,m=2,3,⋯,7，且∑
m=2
7
Pm= t
r −1
6 ,t ,r ∈N
∗，t与r互质，设
b=log 1
7
t +log6r
9
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（ⅰ）求b的值；
（ⅱ）已知正项数列{cn}的前n项和为Sn,c1= 2b
3 ,Sn+1−Sn=∑
i=1
n
ci
2,i∈N
∗，证明：∑
i=2
n
1
ci+1 < 9
4
．
【题型8 古典概型与其他知识的交汇问题】
【例8】（2025·江西新余·模拟预测）从正方体ABCD−A1B1C1 D1的8 个顶点中任取4 点，若这4 个点能
构成正三棱锥，则这4 点构成正四面体的概率为（ ）
A．1
2
B．1
4
C．1
3
D．1
5
【变式8-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知(
3
√x +
3√x)
n的展开式中第3 项与第7 项的二项式系数相等，
将展开式中所有的项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为（ ）
A．8
9
B．7
9
C．2
3
D．1
3
【变式8-2】（2025·浙江宁波·三模）在1，2，3，…，7 这7 个自然数中，任取3 个数.
(1)求这3 个数中恰有1 个是偶数的概率；
(2)设X为这3 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2 和2，3，此
时X的值是2）.求随机变量X的分布列及其数学期望E (X ).
【变式8-3】（2025·湖南·三模）某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了20 位高三学生作为
样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分4 个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示：
等
级
不及
格
及
格
良
优
分
数
1
2
3
4
10
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人
数
3
9
5
3
(1)若从样本中随机选取2 位学生，求所选的2 位学生分数不同的概率；
(2)用样本估计总体，以频率代替概率.若从高三年级学生中随机抽取n 位学生，记所选学生分数不小于3 的
人数为X.
（ⅰ）若n=3，求X 的分布列与数学期望；
（ⅱ）若n=20，当k 为何值时，P(X =k )最大？
一、单选题
1．（24-25 高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件A 和B，其中P( A)= 1
2
，P(B)= 3
8
，P( A ∪B)= 3
4
，则P( AB)=（ ）
A．1
4
B．1
3
C．1
2
D．1
8
2．（2025·吉林白城·模拟预测）6 个数字1，2，2，2，3，5 排成一排构成一个六位数，则这个六位数为偶
数的概率为（ ）
A．1
2
B．2
3
C．4
15
D．2
5
3．（2025·广东佛山·模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅
了5 本古代数学名著：《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》和《张丘建算经》，该小
､
､
､
组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是
《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（ ）
A．1
15
B．9
125
C．18
125
D．1
30
4．（24-25 高二上·浙江杭州·期中）设A ,B是一个随机试验中的两个事件，记A ,B为事件A ,B的对立事
件，且P( A)= 2
5 , P(B)= 1
3 , P( A B)= 2
15
，则P( A + B)=（ ）
11
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A．11
15
B．8
15
C．14
15
D．13
15
5．（2025·陕西铜川·三模）如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某人朝
靶上任意射击一次没有脱靶，则其命中9环的概率为（ ）
A．3
16
B．1
16
C．1
8
D．1
5
6．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合A =¿，从集合A 的非空子集中任取两个集合B1，B2，则它们的
交集为空集的概率为（ ）
A．5
7
B．10
21
C．5
21
D．1
7
7．（2025·山东·模拟预测）在4 个人中选若干人在3 天假期中值班（每天只需1 人值班），不出现同一人
连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（ ）
A．1
4
B．1
2
C．7
12
D．3
4
8．（2025·甘肃白银·模拟预测）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5 的5 张标签，随机地选取两张标签
并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6 的概率为P1，有放回地选取且和为6 的概率为P2，则
P1: P2的值为（ ）
A．2
B．1
C．2
3
D．1
2
二、多选题
9．（2025·安徽合肥·模拟预测）粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5 支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了
3 支，下列结论中正确的是（ ）
A．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1 支用到”为互斥事件
B．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1 支用到”为对立事件
C．白色与红色粉笔都用到的概率为2
5
12
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D．白色与红色粉笔至少1 支用到的概率为9
10
10．（2025·甘肃白银·三模）定义：对一个三位数来说，如果其十位数字比个位数字和百位数字都小，则
称它为“三位凹数”，如果其十位数字比个位数字和百位数字都大，则称其为“三位凸数”，现从1 至9
共9 个数中，选取3 个不同的数排成三位数M，则（ ）
A．排成的“三位凹数”共有168 个
B．排成的“三位凸数”和“三位凹数”的可能性相等
C．从所有的M中随机抽取一个三位数，该三位数是“三位凸数”的概率为1
3
D．从所有的M中随机抽取两个三位数，至少有一个是“三位凹数”的概率为2
3
11．（2025·湖北十堰·模拟预测）高考来临之际，某校食堂的午饭针对高三学生推出了多种营养套餐，其
中10 元套餐是从A 、B、C 、D、E五道菜中任选三道菜，甲、乙两位同学午饭都选择了此套餐，假设
甲、乙两人选择每道菜品都是等可能的且两人选择菜品互不影响，则（ ）
A．甲选了A的概率为3
5
B．甲选了A且乙不选B的概率为6
25
C．甲乙两人所选的菜品完全相同的概率为1
5
D．甲乙两人选的菜品恰有一个相同的概率为3
10
三、填空题
12．（2025·湖南·三模）甲、乙两人向同一目标各射击1 次，已知甲、乙命中目标的概率分别为3
4
，4
5
，则
目标至少被击中1 次的概率为
．
13．（2025·湖北黄冈·模拟预测）甲乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各自随机投掷质地均匀
､
的骰子一次，规定点数大的得2分，点数小的得0分，点数相同时各得1分，三轮比赛结束后，甲得4分的概
率为
.
14．（2025·广东广州·模拟预测）如图，某停车场有2 行4 列共8 个停车位，现有2 辆红色汽车和2 辆黑色
汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为 .
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四、解答题
15．（24-25 高一下·山东临沂·期末）猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节
猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为3
5
，乙猜对的概率为p，甲、乙都猜不对的概率为2
15
.活动中，甲和乙猜
对与否互不影响.
(1)求p；
(2)求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率.
16．（2025·河北秦皇岛·三模）某村为提高村民收益，种植了一批苹果树，现为了更好地销售，从该村的
苹果树上随机摘下100 个苹果，测得其质量（单位：克）均分布在区间[150, 300]内，并绘制了如图所示
的频率分布直方图：
(1)按比例分配的分层随机抽样的方法从质量落在区间[175, 200), [200, 225)的苹果中随机抽取5 个，再
从这5 个苹果中随机抽取2 个，求这2 个苹果质量均小于200 克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，已知该村每亩苹果树上大约还有50000 个苹果待出
售，某电商提出两种收购方案：
A．所有苹果均以4 元/千克收购；
B．低于225 克的苹果以0.8元/个的价格收购，高于或等于225 克的苹果以1 元/个的价格收购．
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请你通过计算为该村选择收益最好的方案．
17．（2025·云南昆明·模拟预测）某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两
人负责活动通知，已知该社团共有n位同学，每次活动均需k位同学参加．假设甲和乙分别将各自活动通知
的信息独立、随机地发给该社团k位同学，且所发信息都能收到．
(1)当n=8，k =3时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率；
(2)记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X，当n=5，k =2时，求随机变量X的分布列和数学期望．
18．（2025·上海·高考真题）2024 年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌．以下是历届
奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78
207.46
207.95
209.34
209.35
210.68
213.73
214.84
216.93
216.93
(1)求这组数据的极差与中位数；
(2)从这10 个数据中任选3 个，求恰有2 个数据在211 以上的概率；
(3)若比赛成绩y 关于年份x 的回归方程为y =−0.311 x + ^b，年份x 的平均数为2006，预测2028 年冠军队
的成绩（精确到0.01 秒）．
19．（2025·江苏扬州·模拟预测）某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球1个，白球2个，黑球3个，小
球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记1分，摸到白球记0分，摸到黑球记−1分.抽奖人摸3个球为一
次抽奖，总分记为X，若X ≥0，则获奖.
方案一：从中一次摸1个球，记录分数后不放回.
方案二：从中一次摸1个球，记录分数后放回.
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(1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率；
(2)若丙顾客按照方案二摸球记分，求X的分布列和数学期望.
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