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9.2 椭圆（精讲）
一．椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2.焦点：两个定点F1，F2.
3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4.半焦距：焦距的一半．
5.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c 为常数：
(1)若a＞c，则集合P 为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P 为线段；
(3)若a＜c，则集合P 为空集.
二．椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
1
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图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a 且－b≤y≤b
－b≤x≤b 且－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－
b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，
0)，B2(b，0)
轴长
短轴长为2b，长轴长为2a
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴：x 轴和y 轴，对称中心：原点
离心率
e＝(0＜e＜1)
a，b，c 的关系
a2＝b2＋c2
一.若点P 在椭圆上，F 为椭圆的一个焦点，则
1.b≤|OP|≤a；
2.a－c≤|PF|≤a＋c.
二.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，
∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ 最大；
(2)S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc.
三．标准方程
1.利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也
可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.
2.椭圆的标准方程的两个应用
①方程＋＝1 与＋＝λ(λ＞0)有相同的离心率.
②与椭圆＋＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为＋＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运
算简便.
四．椭圆离心率
2
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建立关于a，b，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下：
1.直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解．
2.由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e＝ 求解．
3.构造a，c 的齐次式．离心率e 的求解中可以不求出a，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系式，从而求得
e.
五．弦长
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|
＝＝·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)．
六．直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数问题；
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
考点一 椭圆的定义及应用
【例1-1】（2023 春·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆
为两个焦点，
为椭圆
上一点，若
的周长为4，则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【例1-2】（2023·河南开封·统考三模）已知点
是椭圆
上一点，椭圆的左、右焦点分别为
、
，且
，则
的面积为（ ）
A．6
B．12
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023 春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点
，
是椭圆
上关于原点对称的两点，
3
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，
分别是椭圆
的左、右焦点，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．5
2．（2024 秋·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆
的两焦点分别为
，
是椭圆
上一点，当
的面积取得最大值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆
，
为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 椭圆的标准方程
【例2】（2023 秋·课时练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在
轴上，且经过两个点
和
；
(2)经过点
和点Q
.
(3)两个焦点的坐标分别为
和
，且椭圆经过点
；
(4)焦点在y 轴上，且经过两个点
和
；
(5)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点
．
4
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【一隅三反】
1．（2023 秋·课时练习）若方程
表示椭圆，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2（2023 秋·高二课时练习）以下方程表示椭圆的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023 秋·广东）已知
是椭圆
的一个焦点，则实数
（ ）
A．6
B．
C．24
D．
4．（2023 秋·高二课时练习）F，A 分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且
，
则椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
5
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C．
1 或
D．
1 或
考点三 离心率
【例3-1】（2023 秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知椭圆
的焦点在
轴上，若焦距为
4，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2023 秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C 的左右焦点分别为
，
，
P，Q 为C 上两点，
，若
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2022 秋·广东惠州·高三统考阶段练习）若焦点在
轴上的椭圆
的离心率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知
、
是椭圆的两个焦点，满足
的
点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线
与椭圆
交于
两点，若点
恰为弦
的中点，则椭圆
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 直线与椭圆的位置关系
【例4-1】．（2023 秋·课时练习）若直线
与椭圆
有唯一公共点，则实数
．
【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆
上点P(1,1)处的切线方程是 ．
【一隅三反】
1．（2023 春·上海闵行）直线
与椭圆
恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是 ．
2．（2022 秋·江西南昌·）如果直线l：
与椭圆C：
总有公共点，则实数a 的
取值范围是 .
3．（2023·全国·专题练习）直线
与椭圆
(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝
，点P 的坐标是 .
考点五 弦长与中点弦的问题
【例5-1】（2023 春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆
，左右焦点分别为
，
，直线
与椭圆交于
，
两点，弦
被点
平分．
(1)求直线的方程；
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(2)求
的面积．
【例5-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：
，过点
的直线l 与椭圆C 交于A，
B 两点，若点P 恰为弦AB 的中点，则直线l 的斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2023 秋·河南郑州·高三校考开学考试）已知椭圆C：
的一个焦点为
，
且离心率为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若过椭圆C 的左焦点，倾斜角为
的直线与椭圆交于A，B 两点，O 为坐标原点，求
的面积．
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2．（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为
的椭圆被直线
截得弦的中点
的横坐标为
，则椭圆的方程为 ．
考点六 直线与椭圆的综合运用
【例6】（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为
的椭圆被直线
截得弦的
中点的横坐标为
，则椭圆的方程为 ．
【一隅三反】
1．（2024·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）椭圆
的离心率
，过点
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点
且斜率不为0 的直线与椭圆交于
两点，椭圆的左顶点为
，求直线
与直线
的
斜率之积.
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2．（2023·海南海口·校考模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知定点
，定直线
，动点
在上的射影为
，且满足
.
(1)记点
的运动轨迹为
，求
的方程；
(2)过点
作斜率不为0 的直线与
交于
两点，与
轴的交点为
，记直线
和直线
的斜率
分别为
，求证：
.
10
