文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
9.3 双曲线（精讲）
一.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双
曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝
2c，其中a，c 为常数且a>0，c>0.
(1)若a<c，则集合P 为双曲线；
(2)若a＝c，则集合P 为两条射线；
(3)若a>c，则集合P 为空集.
二．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
性质
图形
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a 或x≥a，y∈R
y≤－a 或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，
长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
a，b，c 关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
三.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
四．直线与双曲线的位置关系和弦长
1.判断直线与双曲线交点个数的方法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．
当二次项系数等于0 时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不
等于0 时，用判别式Δ 来判定．
2.弦长公式
设直线y＝kx＋b 与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ |x1－x2|＝·.
一．求标准方程
1.定义法：根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，即“先定型，再定
量”
2.待定系数法：先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再
定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件
求解．
3.常用设法：①与双曲线－＝1 共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)；
②若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0)．
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
二.求双曲线离心率或其取值范围的方法
1.直接求出a，c 的值，利用离心率公式直接求解.
2.列出含有a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.
3.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由－＝0 即得两渐近线方程±＝0.
4.双曲线的渐近线的相关结论
(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±x(a＞0，b＞0)，即±＝0，则双曲线的方程可设为－＝λ(λ≠0).
(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.
(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±x 的斜率k 与离心率e 的关系：e＝＝.
三.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面
积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
①当P 为短轴端点时，θ 最大.
②S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b 时，即点P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc.
③焦点三角形的周长为2(a＋c).
(2) 若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝，其
中θ 为∠F1PF2.
考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2023·陕西渭南）如果双曲线
上一点
到它的右焦点的距离是，那么点
到它的左
焦点的距离是（ ）
A．
B．
C．
或
D．不确定
【答案】C
【解析】设双曲线
的左、右焦点为
，则
；则
，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由双曲线定义可得
，即
，
所以
或
，由于
，故点
到它的左焦点的距离是
或
，故选：C
【例1-2】（2023·广东潮州）已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，
为双曲线内一点，
点A 在双曲线的右支上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以要求
的最小值，
只需求
的最小值.
如图,连接
交双曲线的右支于点
.当点A 位于点
处时，
最小，最小值为
.
故
的最小值为
.
故选：C
【例1-3】（2023·江苏 ）设点P 在双曲线
上，
为双曲线的两个焦点，且
，
则
的周长等于 ，
．
【答案】 22
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】在双曲线
中，实半轴长
，半焦距
，则
，
显然
，又
，解得
，
所以
的周长等于
，
.
故答案为：22；
【一隅三反】
1．（2023·江苏）（多选）设
分别是双曲线
的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且
，
则
（ ）
A．5
B．3
C．7
D．6
【答案】BC
【解析】由双曲线的定义可知
，即
，所以
或
．故选：BC．
2．（2023 秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知
是双曲线
的左焦点，
是双曲线右支上的动点，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意知，
.
设双曲线的右焦点为
，
由
是双曲线右支上的点，则
，
则
，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当且仅当
三点共线时，等号成立.
又
，则
.
所以，
的最小值为
.
故答案为：
.
3．（2023·全国· 课堂例题）P 为双曲线
右支上一点，M，N 分别是圆
和
上的点，则
的最大值为 .
【答案】5
【解析】双曲线的两个焦点
，
分别为两圆的圆心，
两圆的半径分别为
，
，易知
，
，
故
的最大值为
.
故答案为：5
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
考点二 双曲线的标准方程
【例2-1】（2023 秋·课时练习）已知点
，曲线上的动点
到
的距离之差为6，则曲
线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
,
由双曲线定义可知，所求曲线方程为双曲线一支，且
,即
，
所以
.
又因为焦点在
轴上，所以曲线方程为
.
故选:A.
【例2-2】（2024 秋·浙江·高三舟山中学校联考开学考试）已知等轴双曲线
经过点
，则
的标准方
程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设双曲线的方程为
（
），
代入点
，得
，
故所求双曲线的方程为
，
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
其标准方程为
．
故选：A．
【例2-3】（2023·江苏 ）下列选项中的曲线与
共焦点的双曲线是（ ）
A．
B．
1
C．
1
D．
1
【答案】D
【解析】双曲线
的焦点在x 轴上，半焦距
，
对于A，方程
，即
，是焦点在x 轴上的双曲线，而半焦距为
，A 不是；
对于B，C，方程
、
都是焦点在y 轴上的双曲线，BC 不是；
对于D，方程
是焦点在x 轴上的双曲线，半焦距为
，D 是.
故选：D
【一隅三反】
（2023·江苏）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)
，经过点
；
(2)与双曲线
1 有相同的焦点，且经过点
；
(3)过点P
，Q
且焦点在坐标轴上．
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(4)两个焦点的坐标分别是
,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；
(5)焦点在
轴上，经过点
和点
．
(6)虚轴长为12，离心率为
；
(7)焦点在x 轴上，离心率为
，且过点
；
(8)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±
x.
(9)以直线
为渐近线，过点
；
(10)与椭圆
有公共焦点，离心率为
.
【答案】(1)
．(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
或
(7)
(8)
或
(9)
(10)
【解析】（1）由
，
当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为
，
把点A 的坐标代入，得
，不符合题意；
当焦点在y 轴上时，设所求双曲线的标准方程为
，
把点A 的坐标代入，得
．
故所求双曲线的标准方程为
．
（2）法一：∵双曲线
1 的焦点在
轴上，∴设所求双曲线的标准方程为
，
∴
，即
． ①
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∵双曲线经过点
，∴
．②
由①②得
，故双曲线的标准方程为
．
法二：设所求双曲线的方程为
．
∵双曲线过点
，∴
，
解得
或
（舍去）．
故双曲线的标准方程为
．
（3）设双曲线的方程为
．
∵点
在双曲线上，
∴
，解得
，
故双曲线的标准方程为
．
（4）由已知得，
即
,
∵
，∴
.∵焦点在
轴上，∴所求的双曲线的标准方程是
;
（5）设双曲线的方程为
，则
,
∴双曲线方程为
.
（6）设双曲线的标准方程为
或
.
由题意知
，
且
，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
∴双曲线的标准方程为
或
；
（7）
，
，
.
又∵焦点在
轴上，
∴设双曲线的标准方程为
，
.
把点
代入方程，解得
.
∴双曲线的标准方程为
.
（8）设以
为渐近线的双曲线方程为
（
），
当
时，
，
，得
；
当
时，
，
，得
；
∴双曲线的标准方程为
或
.
（9）方法一：由题意可设所求双曲线方程为
，
由题意，得
解得
，
故所求双曲线的标准方程为
；
方法二：由题意可设所求双曲线方程为
，
将点
的坐标代入方程解得
，
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故所求双曲线的标准方程为
；
（10）方法一：由椭圆方程可得焦点坐标为
，
，
即
且焦点在x 轴上，
设双曲线的标准方程为
，
因为
，所以
，则
，
故所求双曲线的标准方程为
；
方法二：因为椭圆焦点在x 轴上，所以可设双曲线的标准方程为
，
因为
，所以
，解得
，
故所求双曲线的标准方程为
.
考点三 离心率与渐近线
【例3-1】（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知双曲线
的焦距为
，则
的渐近线方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意得：
，解得：
，
即双曲线
的方程为
，所以
的渐近线方程是
.故选：A.
【例3-2】（2023·河南·校联考二模）已知双曲线
：
的左右焦点分别是
､
，
，
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
是双曲线
上的一点，且
，
，
，则双曲线
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设双曲线
的半焦距为
.
由题意，点
在双曲线
的右支上，
，
，
由余弦定理得
，
解得
，即
，
，
根据双曲线定义得
，
解得
，
故双曲线
的离心率
.
故选：D
【例3-3】（2023 秋·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：
（
，
），斜率为
的直线l 过原点O 且与双曲线C 交于P，Q 两点，且以PQ 为直径的圆经过双曲线的一个焦点，则双曲
线C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设双曲线C 的左焦点
，右焦点为
，P 为第二象限上的点，
连接PF，
，QF，
，
根据双曲线的性质和直线l 的对称性知，四边形
为平行四边形.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为以PQ 为直径的圆经过双曲线的一个焦点，
所以
，即四边形
为矩形，
由直线l 的斜率为
，得
，
又
，则
是等边三角形，所以
.
在
中，
，则
，故
，
又由双曲线定义知
，所以
，
则
.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023·广西桂林）双曲线
的渐近线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】化已知双曲线的方程为标准方程
，
可知焦点在y 轴，且a＝3，b＝2，故渐近线方程为
.故选：A．
2．（2023 春·新疆巴音郭楞）设
、
分别是双曲线
的左、右焦点，过
作
轴的垂线与
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
相交于
、
两点，若
为正三角形，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，因为
轴，则点
、
关于
轴对称，则
为线段
的中点，
因为
为等边三角形，则
，所以，
，
所以，
，则
，
所以，
，则
，
因此，该双曲线
的离心率为
.
故选：D.
3．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知
是双曲线C：
的左焦点，
，
直线
与双曲线
有且只有一个公共点，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】双曲线
的渐近线为
，
又
，
，所以直线
的斜率为
，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为直线
与双曲线
有且只有一个公共点，所以根据双曲线的几何性质，
直线
与双曲线的一条渐进线
平行，所以
，即
，
所以
，又
，所以
，
所以
，解得
或
（舍去），所以
，
故选：B
考点四 直线与双曲线的位置关系
【例4-1】（2023 湖南）已知双曲线
，直线
，试确定实数k 的取值范围，使：
(1)直线l 与双曲线有两个公共点；
(2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l 与双曲线没有公共点．
【答案】(1)
或
或
；
(2)
或
(3)
或
【解析】（1）联立
，
消
整理得
，（*）
因为直线l 与双曲线C 有两个公共点，
所以
，整理得
解得：
或
或
.
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）当
即
时，直线l 与双曲线的渐近线平行，
方程（*）化为
，故方程（*）有唯一实数解，
即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．
当
时， 因为直线l 与双曲线C 仅有一个公共点，
则
，解得
；
综上，
或
.
（3）因为直线l 与双曲线C 没有公共点，
所以
，
解得：
或
.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知直线
与双曲线
有两个不同的交点，则
的取值
可以是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【解析】双曲线
的渐近线方程为
，
直线
与双曲线
有两个不同的交点，又直线过原点
则
则
的取值可以是
.故选：B．
2．（2023·重庆·统考二模）已知点
和双曲线
，过点
且与双曲线
只有一个公共点的
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
直线有（ ）
A．2 条
B．3 条
C．4 条
D．无数条
【答案】A
【解析】由题意可得，双曲线
的渐近线方程为
，点
是双曲线的顶点.
①若直线的斜率不存在时，直线的方程为
，此时，直线与双曲线
只有一个公共点，合乎题意；
②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线
时，直线与双曲线只有一个公共点.
若直线的斜率为
，则直线的方程为
，此时直线为双曲线
的一条渐近线，不合乎题意.
综上所述，过点
与双曲线只有一个公共点的直线共有
条.
故选：A.
3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线
的右焦点为
，点
，若直线
与
只有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】双曲线
可得
，
，
，
所以双曲线的渐近线方程为
，右焦点为
，
因为直线
与
只有一个交点，所以直线
与双曲线的渐近线平行，
所以
，解得
.
故选：B.
4（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）过点
且与双曲线
有且只有一个
公共点的直线有（ ）条．
A．0
B．2
C．3
D．4
【答案】D
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】由双曲线
得其渐近线方程为
．
①过点
且分别与渐近线平行的两条直线
与双曲线有且仅有一个交点；
②设过点
且与双曲线相切的直线为
，联立
，
化为
得到
，解得
．
则切线
分别与双曲线有且仅有一个公共点．
综上可知：过点
且与双曲线
仅有一个公共点的直线共有4 条．
故选:
.
考点五 弦长与中点弦
【例5-1】（2023·全国·课堂例题）过双曲线
的右焦点F 作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，
B 两点，则弦长
．
【答案】8
【解析】由双曲线
，得
，
，
焦点为
，倾斜角
，
法一：直线斜率
，直线方程为
，
联立
消
得，
，
由韦达定理知
，
代入弦长公式
，
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
得
.
法二：
.
故答案为：8.
【例5-2】（2023·山东·模拟预测）过双曲线
的左焦点作直线，与双曲线交于
两点，若
，则这样的直线有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】D
【解析】由题意得双曲线左焦点
，当直线垂直于横轴时，
不符合题意，双曲线渐近线方
程为
；
故可设
，
与双曲线联立可得
，
，
由弦长公式知
，
则
或
.
故存在四条直线满足条件.
故选：D
【例5-3】（2023·福建）已知双曲线
过
点作一直线交双曲线于A、B 两点，并使P 为AB 的
中点，则直线AB 的斜率为（ ）
A．3
B．4
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．5
D．6
【答案】D
【解析】设
，
，则有
与
，两式相减得：
，即
，
又因为
为AB 的中点，所以
，得到
，
即直线AB 的斜率为6.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023·安徽）过点
的直线与双曲线
相交于
两点，若
是线段
的中点，则直
线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
，
两式相减得直线的斜率为
，
又直线过点
，
所以直线的方程为
，
经检验此时与双曲线有两个交点.
故选：A
2．（2023 春·河南周口 ）过点
作斜率为1 的直线，交双曲线
于A，B 两点，
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
点M 为AB 的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设点
，
则有
，两式做差后整理得
，
由已知
，
，又
，
，
得
故选：B
3．（2023 河北）经过点
作直线交双曲线
于
两点，且
为
中点．
(1)求直线的方程．
(2)求线段
的长．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设
，
代入双曲线方程得
，
两式相减得
，即
，
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
为
的中点，所以
，
所以
，所以直线的斜率为
所以的方程为
，即
，
经验证
符合题意，
所以直线的方程为
；
（2）将
代入
中得
，
故
，
所以
.
考点六 直线与双曲线的综合运用
【例6】（2023 秋·安徽）已知双曲线C：
（
，
）的离心率为2，
在C 上.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)不经过点P 的直线l 与C 相交于M，N 两点，且
，求证：直线l 过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得：
，则
，
又因为
在C 上，则
，
解得
，
，
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以双曲线C 的方程为
.
（2）若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为
，
，
，
联立方程
，消去y 得
，
由已知
，则
，且
，
可得
，
，
又因为
，
由
可得：
，
整理得：
，
则
，
可得
，则
，
由已知l 不经过点
，故
，
所以
，即
，
可得l：
，过定点
；
若直线l 的斜率不存在，设
，
，
可得
，
由
可得：
，
又因为
，解得
，满足条件，
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
综上所述：故直线l 过定点
.
【一隅三反】
1．（2023 秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）已知双曲线
的一条渐近
线方程为
，虚轴长为2.
(1)求双曲线
的方程；
(2)设直线
与双曲线
交于
，
两点，点
关于
轴的对称点为点
，求证：直线
恒过
定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得，
，解得
，
.
双曲线
的方程为：
.
（2）将
代入
，得，
.
因与
有两个交点，所以
，
，且
.
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
设
，
，
则
，
，
从而
.
根据对称性可知，如果直线
过定点，则所过定点必在
轴上，
不妨设为
，则
，
.
过定点
，即
对
恒成立.
即
，
即
.
因为
，
，
所以
.
所以
.
代入上式得，
，
.
上式对
恒成立，当且仅当
，
即直线
恒过定点
.
2．（2023 秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）已知双曲线
的渐近线方程为
，
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
且经过点
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)点
在直线
上，
、
分别为双曲线
的左、右顶点，直线
、
分别与双曲线
交于
、
两点．求证：直线
过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意
，可得
，∴双曲线
.
（2）法一：设直线
，代入
，得
，
，则有
，
直线
，直线
，
由直线
、
的交点
在
上得
，
即：
，
，
∴
恒成立，
若
，
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
将
代入得
，
∴
过双曲线的顶点，与题意不符，故舍去，∴
，
直线
过定点
.
法二：设
，则设直线
，
由
，得
，记
，
则
和
是该方程的两个根，则
，
由
，得
，
记
，则2 和
是该方程的两个根，
则
，
则直线
的斜率：
∴
，
令
，
，
故直线
过定点
.
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
29
