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专题12 函数与方程
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题12 函数与方程
命题解读
命题预测
复习建议
函数与方程是高考的一个考
点，求方程的根、函数的零
点的个数问题以及零点存在
性定理判断零点是否存在都
是考试的出题方向.备考时应
理解函数的零点，方程的根
和函数图象与x 轴的横坐标
的等价性.
预计2024 年的高考函数与方
程还是一个重要的考点，在
此部分要注意第一函数零点
个数以及所在区间的判断方
法，第二由函数的零点求参
数的取值范围.
集合复习策略：
1.理解函数与方程的根和函
数图象与x 轴的横坐标的等
价性；
2.掌握判断函数零点的个数
方法；
3.掌握函数零点求参数的取
值范围.
→➊考点精析←
一、函数零点个数及零点所在区间
1.函数零点的定义
对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0 的实数x 叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点.
2.等价关系
方程f(x)=0 有实数根⇔函数y=f(x)的图像与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.
3.函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0 那么函数
y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)=0 的根.
二、函数的零点求参数的取值范围
已知函数的零点求参数的值或取值范围方法：直接法、分离参数法、数形结合法.
→➋真题精讲←
1.（2023 全国甲卷理科10）函数
的图象由函数
的图象向左平
移
个单位长度得到，则
的图象与直线
的交点个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.（2023 全国乙卷理科16）设
，若函数
在
上单调递
增，则a 的取值范围是______.
2
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3. （2023 天津卷15）若函数
有且仅有两个零点，则
的取
值范围为_________．
4.（2023 北京卷20） 设函数
，曲线
在点
处的切线方
程为
．
（1）求
的值；
（2）设函数
，求
的单调区间；
（3）求
的极值点个数．
→➌模拟精练←
1．（2023·重庆·统考三模）已知函数
，
，
．
(1)求曲线
在x＝1 处的切线方程；
(2)求使得
在
上恒成立的k 的最小整数值．
3
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2．（2023·山西晋中·统考三模）
．
(1)讨论
的单调性；
(2)
，若
有两个极值点
，且
，试求
的最
大值．
3．（2023·江苏南通·三模）已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，证明：
.
4
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4．（2023·吉林·统考三模）已知函数
（e 是自然对数的底数），
．
(1)若函数
，求函数
在
上的最大值．
(2)若函数
的图象与直线
有且仅有三个公共点，公共点横坐标的最大
值为
，求证：
．
→➍专题训练←
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象．若
是函数
的一个极值点，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·江苏·统考二模）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知函数f（x）的定义域为R，且
5
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，
，当
时，
，则
）=（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知函数
．设s 为正数，则在
中（ ）
A．
不可能同时大于其它两个
B．
可能同时小于其它两个
C．三者不可能同时相等
D．至少有一个小于
5．（2023·江苏南京·统考二模）已知函数
，
．下列说法正确的为（ ）
A．若
，则函数
与
的图象有两个公共点
B．若函数
与
的图象有两个公共点，则
C．若
，则函数
有且仅有两个零点
D．若
在
和
处的切线相互垂直，则
6．（2023·江苏·统考二模）已知函数
的图象是连续不间断的，函数
的图象关于点
对称，在区间
上单调递增.若
对任意
恒成立，则下列选项中
的可能
取值有（ ）
A．
B．
C．
D．
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7．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知经过点
的圆
的圆心坐标为
（为整数），且与直线
相切，直线
与圆
相交于
、
两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆
的标准方程为
B．若
，则实数的值为
C．若
，则直线
的方程为
或
D．弦
的中点
的轨迹方程为
8．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考三模）已知函数
.
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l 过点（0，1-e），求实数a 的值；
（2）当a＞0 时，若函数f（x）有且仅有3 个零点，求实数a 的取值范围.
9．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知
.
(1)若
，证明：
存在唯一零点；
(2)当
时，讨论
零点个数.
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10．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数
.
(1)证明：函数
在
上有且只有一个零点；
(2)当
时，求函数
的最小值；
(3)设
，若对任意的
恒成立，且不等
式两端等号均能取到，求
的最大值.
11．（2023·安徽黄山·统考三模）已知函数
，
(1)试判断函数
在
上是否存在极值.若存在，说出是极大值还是极小
值；若不存在，说明理由.
(2)设
，若
，证明：不等式
在
上恒成立.
8
